自动控制系统—— 第8章-3 描述函数法

r(t) 0 x(t) N ( A)
y (t )
G(s)
c(t )
若非线性环节和线性部分满足描述函数应用的 条件，则描述函数可以作为一个具有可变增益的比 例环节，于是系统近似为一个等效的线性系统
14
1.变增益线性系统的稳定性分析
变增益系统如图
r(t) e(t)
K
c(t )
G(s)
K 为比例环节增益 设G(s)的极点均位于s左半平面，即P=0 闭环系统特征方程的频率特性为
y(t) A1 cost B1 sin t Y1 sin( t 1)
6
非线性环节稳态输出中一次谐波分量和输入信 号的复数比定义为非线性环节的描述函数
N ( A) N ( A) e jN ( A) Y1 e j1 B1 jA1
A
A
2. 一些性质
1）一般情况下，N(A)是A和ω的函数 若非线性环节无储能元件，则N(A)只是A的函数
N ( A) 1 称为非线性环节的负倒描述函数
N ( A)
18
在复平面上分别绘制
1 N ( A)
曲线和
G 曲线
(1)两条曲线不相交
两条曲线不相交，表明特 征方程
G( j) j
1 N ( A) G( j) 0
无实数ω解
1 0
N ( A)
G(
j)曲线包围
1 N ( A)
曲线
图A
所以，闭环系统不稳定，振幅A会增大
转换关系 Yn
An2 Bn2 ,
n
arctg
An Bn
An , Bn 为傅里叶系数
5
傅里叶系数计算
An
1
2
y(t) cos ntd(t)
0
Bn
1
2
y(t) sin ntd(t)
0
(n 1,2,)
若 A0 0 ， 且 n 1 时，Yn 均很小
则可以用一次谐波近似表示非线性环节的正弦响应
10
8.3.2 典型非线性特性的描述函数 典型非线性环节一般是奇函数，且具有分段线性特性
【例8.3.1】计算如图所示继电特性的描述函数
解：继电特性的特性方程为
M , x 0
y f (x) 0,
x0
M , x 0
y
M
0x
M
继电特性函数为奇函数，因为
f (x) f (x) 所以 A0 0
11
当 x Asin t 时
M ,
y(t) f (Asin t) 0,
M ,
0t t t 2
M , 0 t
y(t) f (Asin t) 0,
t
M , t 2
y(t) y(t) 所以，y(t)为奇函数
A1 0
12
y
M
0x
M
y(t)
x(t)
0 2 t
11
j
K1 K2
0
G
则 ( 1 , j0) 为实轴上的一段直线
K
若 G不包围这段曲线，则系统稳定，否则系 统不稳定
17
2.应用描述函数分析非线性系统的稳定性 用描述函数N(A)近似表示非线性环节的系统如图
r(t) 0 x(t) N ( A)
y (t )
G(s)
c(t )
系统特征方程为 1 N ( A) G( j) 0 即 G( j) 1 j0
2）非线性环节为输入x的奇函数，即 y f (x)
满足 f (x) f (x)
7
则非线性环节的正弦响应是关于t的奇对称函数，即
y(t) f (Asin( t)) y(t )
那么，直流分量 A0 0
A1
2
y(t) costd(t)
0
B1

2
y(t) sin td(t)
0
若y(t)为奇函数，即 y(t) y(t)
自控原理
第8章非线性控制系统分析
8.3 描述函数法
1
8.3 描述函数法 8.3.1 描述函数的基本概念 8.3.2典型非线性特性的描述函数 8.3.3 非线性系统稳定性分析的描述函数法
2
8.3 描述函数法
达尼尔(P.J. Daniel)1940年提出描述函数法
描述函数法基本思想： 当系统满足一定条件时，系统中的非线性环
19
G(
j)
曲线不包围
1 N ( A)
曲线
G( j) j
所以，闭环系统稳定，振 幅A会减小
9
3）系统的线性部分应具有较好的低通滤波特性，可 将高次谐波分量大大削弱，闭环通道内近似只有一次 谐波通过，从而保证描述函数法的结果比较准确
4. 描述函数的物理意义
线性系统的频率特性 G( j)是频率ω的函数，而与
输入正弦信号幅值无关
非线性环节的描述函数是输入正弦信号幅值A的函 数N(A)，描述函数可以认为是输入幅值A的复变增 益放大器
节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来 近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性， 即描述函数。
描述函数法的应用： 1）分析无外作用时，非线性系统的稳定性和自振 问题 2）不受系统阶次限制 3）只能给出频率响应特性
3
8.3.1 描述函数的基本概念 1. 描述函数的定义 设非线性环节输入输出模型描述为
y f (x)
设非线性环节输入为正弦信号
x(t) Asin t
对稳态输出进行谐波分析，展开为傅里叶级 数，可得
4
y(t) A0 ( An cos nt Bn sin nt) n1
A0 (Yn sin( nt n ) n1
其中，
A0
1
2
2
y(t)d (t)
0
为直流分量
Yn sin( nt n ) 为n次谐波
1 K G( j) 0
15
1 K G( j) 0
j
或写为
G( j) 1 j0
K
1
0
G
若K=1，为常值，则简化为普通的 Nyquist稳定性判断问题，只要
Z P 2N 0
则系统稳定，即 G 曲线不包围(-1,j0)点
16
G( j) 1 j0
K
若K是变化的，如
K1 K K2
那么 A1 0
B1
4
2 y(t) sin td(t)
0
8
3. 非线性系统描述函数法分析的应用条件
1）系统简化为一个非线性环节和一个线性部分闭环 连接的典型结构形式
r(t) 0 x(t) N
y (t )
c(t )
G(s)
2）非线性环节的输入输出特性y(x)应是x的奇函数，
即 y(x) y(x) ,以保证非线性环节的正弦响应不 含有直流分量，即 A0 0
1
B1
2 y(t) sin td(t) 2
0
M sin td(t)
0
2M cos(t) 2M (cos cos 0) 4M
0
N ( A) B1 4M 继电非线性的描述函数
A A
13
8.3.3 非线性系统稳定性分析的描述函数法
非线性系统整理为如下的典型结构，用描述 函数N(A)近似表示非线性环节