江苏专转本高数 第八节 函数的连续性与间断点
高等数学的教学课件1-8函数的连续性
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
如例4中, 令 f (1) 2,
则
f (x)
2 1
x, x,
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
y
2 1
o1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点 函数在点x0处的左、右极限都存在.
值 M 与最小值 m之间的任何值.
例8 证明方程 x3 4x2 1 0在区间(0,1)内 至少有一根.
证 令 f ( x) x3 4x2 1, 则f ( x)在[0,1]上连续,
又 f (0) 1 0, f (1) 2 0, 由零点定理,
(0,1), 使 f ( ) 0, 即 3 4 2 1 0,
定义: 如果 x0使 f (x0 ) 0, 则 x0称为函数 f (x)的零点.
定理 6(零值定理) 设函数 f ( x) 在闭区间 a, b
上连续，且 f (a) 与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0 ),
那末在开区间a, b内至少有函数 f ( x) 的一个零
点,即至少有一点 (a b)，使 f () 0 .
证 lim f ( x)存在，设为A。取 1， x 则存在一个X 0，使得当x X时， 有 f ( x) A 1.
故在( X ,)上，f ( x) A 1. f ( x)在( X ,)上有界。
又函数f ( x)在[a, X ]上连续, 函数f ( x)在[a, X ]上有界. 故f ( x)在[a,)上有界。
y f ( x1 ) f ( x0 )或 y f ( x0 x) f ( x0 )
2.连续的定义
第八节 函数的连续性与间断点
(1) 在 x = x0 没有定义；
(2) 虽在 x = x0 有定义，但 lim f ( x ) 不存在； x x0
(3) 虽在 x = x0 有定义，且 lim f ( x ) 存在，但 x x0 lim f (x) f (x0 ) , x x0
注意 增量 u 可正可负还可以为零.
第八节 函数的连续性与间断点
2. 连续的定义
定义 设函数 y = f (x) 在 x0 的某一邻域内有定义，
如果 l i m y l i m [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,
x 0
x 0
那么就称函数 y = f (x) 在点 x0 连续. y
例如
第八节 函数的连续性与间断点
y
(1) x π 为其无穷间断点 .
2
(2)
O - π x
2
y
x 0 为其振荡间断点 .
x
(3)
y
x 1 为可去间断点 .
O1 x
第八节 函数的连续性与间断点
x , x 1,
y
(4)
y1.
显然 lim f ( x ) 1 f (1) , 1
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性 二、函数的间断点
第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
1. 变量的增量 定义 设变量 u 从初值 u1 变到终值 u2 ，终值与初值
的差 u2 – u1 称为变量 u 的增量，记作 u = u2 – u1 .
设 y = f (x)，则 x 称为自变量的增量， y 称为函 数的增量.
x1
1
x 1 为其可去间断点 .
函数的连续性与间断点(重点内容全)
函数的连续性与间断点一、函数的连续性1． 增量：变量x 从初值1x 变到终值2x ，终值与初值的差叫变量x 的增量，记作x ∆，即x ∆＝1x －2x 。
（增量可正可负）。
例1 分析函数2x y =当x 由20=x 变到05.20=∆+x x 时，函数值的改变量。
2．函数在点连续的定义定义１：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果自变量x 的增量x ∆=0x x -趋向于零时，对应的函数增y ∆＝)()(0x f x f -也趋向于零，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义２：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果函数)(x f 当0x x →时的极限存在，即)()(lim 00x f x f x x =→，则称函数y ＝)(x f 在点0x 处连续。
定义3：设函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，如果对任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于适合不等式δ<-0x x 的一切x ，所对应的函数值)(x f 都满足不等式：ε<-)()(0x f x f ，则称函数y ＝)(x f 在点0x 连续。
注：1、上述的三个定义在本质上是一致的，即函数)(x f 在点0x 连续，必须同时满足下列三个条件：（1） 函数y ＝)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义（函数y ＝)(x f 在点0x 有定义），（2） )(lim 0x f x x →存在；（3）)()(lim 00x f x f x x =→。
3．函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续、右连续的定义：（1）函数y ＝)(x f 在点0x 处左连续⇔)(x f 在(]00,x x δ-内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =-→（即)()0(00x f x f =-）。
（2）函数y ＝)(x f 在点0x 处右连续⇔)(x f 在[)δ+00,x x 内有定义，且)()(lim 000x f x f x x =+→（即)()0(00x f x f =+）。
高数上1.8函数的连续与间断
f (x)
lim 1 x0
x 2
1
lim f ( x) lim 1 x2 1
x0
x0
因为 lim f ( x) lim f ( x) 1
x0
x0
解 如图所示，
lim
x0
f (x)
lim 1 x0
x 2
1
lim f ( x) lim 1 x2 1
x0
x0
因为 lim f ( x) lim f ( x) 1
1,
x1
1 x, x 1
在 x 1 处的连续性.
注： 若修改定义 f (1) 2, 则
2 x, 0 x 1
例9
讨论函数
f (x)
1,
x1
1 x, x 1
在 x 1 处的连续性.
注： 若修改定义 f (1) 2, 则
2 x, 0 x 1 f (x)
1 x, x 1 在 x 1 处连续.
f ( x)当 x x0 时的极限存在, 且等于它在点 x0
处的函数值
f ( x0 ),
即 lim x x0
f (x)
f ( x0 ),
函数的连续性
定义2 设函数 f ( x) 在 U ( x0 ) 内有定义, 如果
f ( x)当 x x0 时的极限存在, 且等于它在点 x0
处的函数值 f ( x0 ),
例 10(1)
讨论函数
f
(
x)
1 x
,
x 0在x 0
x, x 0
处的连续性.
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 0 为函数的第二类间断点(无穷间断点).
例 10(2)
江苏专升本函数知识点归纳
江苏专升本函数知识点归纳江苏专升本考试是许多专科生提升学历的重要途径，其中数学是必考科目之一。
函数作为高等数学中的核心内容，其知识点的掌握对于考试至关重要。
以下是江苏专升本函数知识点的归纳：函数的定义与性质- 函数的定义：设A和B是两个非空的集合，如果存在一个确定的对应关系f，使得对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素f(x)与之对应，那么我们就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，其中x称为自变量，y称为因变量。
- 函数的三要素：定义域、值域、对应法则。
- 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
函数的表示方法- 列表法：适用于定义域有限的情况。
- 分段函数：适用于函数在不同区间有不同的表达式。
- 公式法：最常见的表示方法，如多项式函数、指数函数、对数函数等。
- 图像法：直观展示函数的图形特征。
基本初等函数- 幂函数：形如y=x^n的函数，其中n为实数。
- 指数函数：形如y=a^x的函数，其中a>0且a≠1。
- 对数函数：形如y=log_a(x)的函数，其中a>0且a≠1。
- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
复合函数与反函数- 复合函数：两个函数的组合，如f(g(x))。
- 反函数：如果f(x)是一个函数，那么它的反函数f^-1(x)满足f(f^-1(x))=x。
函数的极限与连续性- 极限：函数在某一点或无穷远处的逼近值。
- 连续性：函数在某一点或某区间内无间断的特性。
导数与微分- 导数：函数在某一点处的瞬时变化率。
- 微分：函数在某一点处的线性主部。
积分学- 不定积分：求原函数的过程。
- 定积分：计算曲线与x轴所围成的面积。
级数- 无穷级数：项数无限多的数列。
- 收敛性：级数的和是否趋向于一个有限的值。
函数方程与不等式- 函数方程：涉及函数的等式。
- 不等式：函数值之间的大小关系。
结束语：掌握上述函数知识点，对于江苏专升本的考生来说，是提高数学成绩的关键。
(整理)2001—年江苏专转本高等数学真题(附答案) (2).
江苏专转本高数考纲及重点总结一、函数、极限和连续（一）函数（1）理解函数的概念：函数的定义，函数的表示法，分段函数。
（2）理解和把握函数的简单性质：单调性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函数：反函数的定义，反函数的图象。
（4）把握函数的四则运算与复合运算。
（5）理解和把握基本初等函数：幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。
（6）了解初等函数的概念。
重点：函数的单调性、周期性、奇偶性，分段函数和隐函数（二）极限（1）理解数列极限的概念：数列，数列极限的定义，能根据极限概念分析函数的变化趋势。
会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。
（2）了解数列极限的性质：唯一性，有界性，四则运算定理，夹逼定理，单调有界数列，极限存在定理，把握极限的四则运算法则。
（3）理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义，左、右极限及其与极限的关系，x趋于无穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限。
（4）把握函数极限的定理：唯一性定理，夹逼定理，四则运算定理。
（5）理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义，无穷小量与无穷大量的关系，无穷小量与无穷大量的性质，两个无穷小量阶的比较。
（6）熟练把握用两个重要极限求极限的方法。
重点：会用左、右极限求解分段函数的极限，把握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限。
（三）连续（1）理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义，左连续和右连续，函数在一点连续的充分必要条件，函数的中断点及其分类。
（2）把握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性，会求函数的中断点及确定其类型。
（3）把握闭区间上连续函数的性质：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零点定理），会运用介值定理推证一些简单命题。
（4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。
重点：理解函数（左、右连续）性的概念，会判别函数的中断点。
函数的连续性与间断点
3 单侧连续及闭区间的连 续性
若 lim f ( x) ＝f ( x 0 ) ，则称f ( x )在 x 0 点左连续； －
x x0
若 lim f ( x) ＝f ( x 0 ) ，则称f ( x )在 x 0 点右连续。 ＋
x x0
若f ( x )在 (a , b )内点点连续，且在 x＝a 点右连续 ; 记作 f ( x ) Ca ， b
由夹挤准则可知： 当 x 0 时, lim y 0 x 0
再由 x 0 点的任意性推知 y sin x 在( , )连续。
内有定义， 定义 2 设 y＝f ( x ) 在 U x 0，δ
若 lim f ( x )＝ f ( x 0 )
x x0
②
则称 f ( x ) 在 x 0 点处连续。
例 讨论 f ( x)＝sin x 在 （－，＋） 的连续性。
解： 任取 x 0 ( ,)
x x y sin( x 0 x ) sin x 0 2 sin cos( x 0 ) 2 2
x x x 2 sin cos( x 0 ) 2 sin x 2 2 2
x 0 为其跳跃间断点 .
1
x
返回
三、内容小结
在点 连续的等价形式
左连续
在点 间断的类型 可去间断点 第一类间断点 跳跃间断点 无穷间断点 第二类间断点 振荡间断点
右连续
左右极限都存在
左右极限至少有一个不存在
返回
思考与练习
1. 设 连续函数. 提示:
, x 0 , a ____ 时 x sin 1 为 x f ( x ) f ( x) 2 a x ,可去间断点 .
1-8 函数的连续性与间断点
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
第一类间断点:跳跃型, 可去型. 间断点 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
返回
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y 跳跃型
y 可去型
o y
x0
x y
o
x0
x
o
x0
x
o
x 振荡型 返回
返回
第 一 类 间 断 点 第 二 类 间 断 点
y 跳跃型
y 可去型
o y
x0
x y
o
x0
x
o
x0
x
o
x 振型 返回
无穷型
例10 当a取何值时,
cos x , x 0, 函数 f ( x ) 在 x 0处连续. a x , x 0,
解 f ( 0) a ,
定理 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续 .
返回
函数 f ( x )在 x0 处连续
左、右极限与函数值相等.
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x 0 )
x x0
返回
x 2, x 0, 例2 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
y
f (0 0) ,
o x
这种情况称为无穷间断点.
返回
间断点分类：
左、右极限都存在的间断点,
称为函数的第一类间断点 .
不是第一类间断点的间断点，
高等数学（8）函数的连续性与间断点
⾼等数学（8）函数的连续性与间断点⼀、函数的连续性增量变量u:初值u1 -> 终值u2增量Δu: Δu = u2-u1正的增量Δu:u1变到u2时是增⼤的负的增量Δu:u1变到u2时是减⼩的函数的增量即:当因变量增量随⾃变量增量趋于0，称为连续。
单侧连续·左连续:如果limx->x0- f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0-) = f(x0)·右连续:如果limx->x0+f(x)存在且等于f(x0) 即f(x0+) = f(x0)·定理函数f(x)在x0处连续=函数f(x)在x0处既左连续⼜右连续连续函数定义:在区间上每⼀点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数或者说函数在该区间上连续注1 如果区间包括端点,那么函数在右端点处左连续，在左端点处右连续注2 连续函数的图形是⼀条连续⽽不间断的曲线例题例证明函数y = sinx 在区间(-∞,+∞)内连续⼆、函数的间断点第⼀类间断点(左右极限都存在)跳跃间断点·如果f(x)在x0处左右极限都存在·但f(x0-0)≠f(x0+0)则称点x0为函数f(x)的跳跃间断点讨论f(x) = { -x,x<=0 1+x,x>0} 在x=0处的连续性可去间断点·如果f(x)在x0处极限存在·但limx->x0 f(x) = A ≠f(x0) 或在点x0处⽆定义则称点x0为函数f(x)的可去间断点注意·注1:可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点·注2:跳跃间断点与可去间断点统称为第⼀类间断点第⼆类间断点·如果f(x)在x0处左右极限⾄少有⼀个不存在·则称x0为函数f(x)的第⼆类间断点例题1讨论f(x) = { 1/x (x>0 x(x<=0 ) 在x=0处的连续性四、章⼩结·函数在⼀点连续必须满⾜的三个条件；1.在这⼀点有定义2.在这⼀点极限是存在的3.极限存在的情况下还要等于在这⼀点的函数值·区间上的连续函数;函数在区间上的任意⼀点都连续,我们就说函数在区间上是连续的·间断点的分类与判别;间断点{第⼀类间断点:可去型，跳跃型 (左右极限都存在第⼆类间断点:⽆穷型, 振荡型 (⾄少有⼀个极限不存在}。
高等数学第八节函数的连续性
这算定义吗？
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29
例6
讨论函数 f(x)1在x0处的连.续性 x
解 f (x) 1 在 x = 0 无定义, y
x
y1
x = 0为函数的间断点,
x
又lim f(x)lim 1,
O
x
x 0
x 0x
故 x = 0为函数 f (x) 1 的第二类间断点. x
由于 limf(x)所以称它为无穷间断点.
x x 0
x x 0 x x 0
limf(x)xl ixm 0 f(x)a (b0)
xx0 g(x) lim g(x) b
xx0
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34
1、连续函数的四则运算
设函数 f (x)、 g(x), fi (x) 在点 x0 处连续, 即 xl ixm 0 f(x)f(x0),
xl ixm 0g(x)g(x0), x l x i0fim (x ) fi(x 0 ) (1 ,2 , ,n ) 则
将左、右极限存在但不相等的间断点,
称为函数的跳跃型间断点.
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24
例5 讨论 f(x)x21在x1处的连. 续 x1
解 函数在 x =1 无定义, x =1 为函数的间断点.
y
P(1,2) 1
而lim x21li(m x1)2 x 1x1 x 1
O 1x
故 x =1 为函数的第一类间断点.
(1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义) (2)lim f(x)a存； 在 (x x0时 , f(x)有极 )
x x0
(3 )af(x0).(极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
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18
1-8 函数的连续性与间断点
f (x)
f ( x0 ),
则称 f ( x)在 x0点右连续.
( f ( x)在x0点连续 f ( x)在x0点既左连续又右连续.)
2. 函数在区间上的连续性
定义4. 若 f ( x)在区间 I上每点连续,则称 f ( x)为 I上的 连续函数, 记作 : f ( x) C(I ). 如: f ( x) C[a, b]
(2) lim f ( x)存在 x xo
f ( x 00). f ( x0 0)都存在且相等
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 )
若三者有一不满足,则 x0为 f ( x)的间断点.
2. 间断点的分类: (各举一例,分别说明)
例1. 讨论 y f ( x) x2 1在 x 1点的连续性. 图像 x 1
都存在
第二类间断点
无穷间断点 振荡间断点
f ( x0 0). f ( x0 0)
至少有一不存在
例5.讨论函数 f ( x) 3 的间断点. 2 2 x
解：观察知 x 0.x 1时 f (x)无定义,
x 0.x 1为 f (x)的间断点.
例 证明 y sin x 在 (, )内连续.
证. x0 R 0 y sin( x0 x) sin x0
2sin x cos 2x0 x 2 x 1 x
2
2
2
由两边夹准则,
lim y 0,
x0
y sin x在 x0 点连续.
函数的图形在 x 0 处产生了 跳跃
例3. 讨论 y tan x 在 x 点的连续性。
2024专转本高数考纲
2024专转本高数考纲高等数学是江苏省普通高校“专转本”选拔考试理、工、农、经、管等专业的必考科目，其考试目的是科学、公平、有效地测试考生在高职（专科）阶段对大学数学的基本概念、重要理论与思想方法的掌握水平，考查考生对大学数学课程的掌握程度。
以下是2024年江苏专转本高数考纲的具体内容：一、函数、极限、连续与间断函数的概念及表示法：函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立。
数列极限与函数极限的定义及其性质：函数的左极限与右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算。
极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限、函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
二、一元函数微分学导数的概念及其几何意义：切线斜率、瞬时速度、相对变化率与平均变化率、导数的定义、左导数与右导数。
导数的计算：导数的四则运算、复合函数的导数、反函数的导数。
导数的应用：单调性判定与增减性判定、函数的极值判定与求法、最大值与最小值判定与应用。
导数的综合应用。
三、一元函数积分学定积分的概念与性质：定积分的几何意义。
定积分的计算：换元法、分部积分法。
广义积分。
定积分的几何应用：平面图形的面积、体积。
定积分的物理应用：变力沿直线所作的功、水压力。
四、向量代数与空间解析几何向量的概念及其表示：向量的模、向量的加法与数乘运算。
向量的数量积与向量积：向量的数量积的几何意义和性质、向量的向量积的几何意义和性质。
平面方程和直线方程：点向式方程和平面点法式方程、平面的一般方程和直线的标准方程与参数方程。
平面和直线的位置关系：平行和相交的条件，点到平面的距离和点到直线的距离。
曲面及其方程：球面和柱面，旋转曲面，二次曲面，曲线和曲面在坐标面上的投影。
江苏专转本高数考纲及重点总结
一、函数、极限和连续一函数1理解函数的概念：函数的定义,函数的表示法,分段函数.2理解和掌握函数的简单性质：单调性,奇偶性,有界性,周期性. 3了解反函数：反函数的定义,反函数的图象.4掌握函数的四则运算与复合运算.5理解和掌握基本初等函数：幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数.6了解初等函数的概念.重点：函数的单调性、周期性、奇偶性,分段函数和隐函数二极限1理解数列极限的概念：数列,数列极限的定义,能根据极限概念分析函数的变化趋势.会求函数在一点处的左极限与右极限,了解函数在一点处极限存在的充分必要条件.2了解数列极限的性质：唯一性,有界性,四则运算定理,夹逼定理,单调有界数列,极限存在定理,掌握极限的四则运算法则.3理解函数极限的概念：函数在一点处极限的定义,左、右极限及其与极限的关系,x趋于无穷x→∞,x→+∞,x→-∞时函数的极限.4掌握函数极限的定理：唯一性定理,夹逼定理,四则运算定理.5理解无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义,无穷小量与无穷大量的关系,无穷小量与无穷大量的性质,两个无穷小量阶的比较.6熟练掌握用两个重要极限求极限的方法.重点：会用左、右极限求解分段函数的极限,掌握极限的四则运算法则、利用两个重要极限求极限以及利用等价无穷小求解极限.三连续1理解函数连续的概念：函数在一点连续的定义,左连续和右连续,函数在一点连续的充分必要条件,函数的间断点及其分类. 2掌握函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算,复合函数的连续性,反函数的连续性,会求函数的间断点及确定其类型.3掌握闭区间上连续函数的性质：有界性定理,最大值和最小值定理,介值定理包括零点定理,会运用介值定理推证一些简单命题.4理解初等函数在其定义区间上连续,并会利用连续性求极限. 重点：理解函数左、右连续性的闭区间上连续函数的性质,并会定理用于不等式的证明.二、一元函数微分学一导数与微义,了解可导性与连续性的关系数.2会求曲线上一点处的切线方的基本公式、四则运算法则以及函数的求导法、对数求导法以及方法,会求分段函数的导数.5理数的n阶导数.6理解函数的微分与可导的关系,会求函数的一阶重点：会利用导数和微分的四则方程的求导,会求简单函数的高二中值定理及导数的应用1了解罗尔中值定理、拉格朗日2熟练掌握洛必达法则求“0/0”∞”、“00”和“∞0”型未定式3掌握利用导数判定函数的单调方法,会利用函数的增减性证明4理解函数极值的概念,掌握求函且会解简单的应用问题.5会判定曲线的凹凸性,会求曲线6会求曲线的水平渐近线与垂直重点：会用罗必达法则求极限,掌数单调性证明不等式,掌握函数其运用,会用导数判别函数图形三、一元函数积分学一不定积分1理解原函数与不定积分概念及原函数存在定理.2熟练掌握不定积分的基本公式3熟练掌握不定积分第一换元法与简单的根式代换.4熟练掌握不定积分的分部积分二定积分1理解定积分的概念与几何意义2掌握定积分的基本性质.3理解变上限的定积分是变上限数的方法.4掌握牛顿—莱布尼茨公式.5掌握定积分的换元积分法与分部积分法.6理解无穷区间广义积分的概念,掌握其计算方法.7掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积.重点：掌握不定积分的基本性质和基本积分公式,掌握不定积分的换元法与分部积分法,会求一般函数的不定积分；掌握积分上限的函数并会求它的导数,掌握牛顿—莱布尼兹公式以及定积分的换元积分法和分部积分法；会计算反常积分,会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积.四、向量代数与空间解析几何一向量代数1理解向量的概念,掌握向量的坐标表示法,会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影.2掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法.3掌握二向量平行、垂直的条件.二平面与直线1会求平面的点法式方程、一般式方程.会判定两平面的垂直、平行.2会求点到平面的距离.3了解直线的一般式方程,会求直线的标准式方程、参数式方程.会判定两直线平行、垂直.4会判定直线与平面间的关系垂直、平行、直线在平面上.重点：会求向量的数量积和向量积、两向量的夹角,会求平面方程和直线方程.五、多元函数微积分一多元函数微分学1了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极值与连续概念对计算不作要求.会求二元函数的定义域.2理解偏导数、全微分概念,知道全微分存在的必要条件与充分条件.3掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法.4掌握复合函数一阶偏导数的求法.5会求二元函数的全微分.6掌握由方程Fx,y,z=0所确定的隐函数z=zx,y的一阶偏导数的计算方法.7会求二元函数的无条件极值.重点：会求多元复合函数的一阶、二阶偏导数,会求多元隐函数的偏导数.二二重积分1理解二重积分的概念、性质及其几何意义. 2掌握二重积分在直角坐标系及重点：掌握二重积分的计算方法及会交换累次积分的次序六、无穷级数一数项级数1理解级数收敛、发散的概念.掌数的基本性质.2掌握正项级数的比值数别法.会3掌握几何级数、调和级数与p 4了解级数绝对收敛与条件收敛二幂级数1了解幂级数的概念,收敛半径, 2了解幂级数在其收敛区间内的项积分.3掌握求幂级数的收敛半径、收重点：掌握正项级数收敛性的判敛性,了解任意项级数绝对收敛的关系,了解交错级数的莱布尼径、收敛区间及收敛域.八、常微分方程一一阶微分方程分方程的阶、解、通解、初始条程的解法.3掌握一阶线性方程的解二阶线性微分方程解的结构.方程的解法.重点：掌握变量可分离微分方程方程的求解方法、会解二阶常系项为多项式、指数函数的二阶常。
江苏专转本高等数学 极限、连续与间断 例题加练习
第一章 极限、连续与间断本章主要知识点● 求极限的几类主要题型及方法 ● 连续性分析 ● 间断判别与分类● 连续函数的介值定理及应用一、求极限的七类题型求极限问题归纳为七类主要题型，这里介绍前五类，后两类在相应的章节（洛必达法则，变限积分）再作相应介绍。
（1）题型I ()()limm x nP x P x ->∞方法：上下同除以x 的最高次幂例1.1．5422lim x x x x x->∞+-+ 解：原式534111lim 11x x x x x ->∞+-==∞+ 例1.2．()()2243123lim31x x x x ->∞+-+解：原式()()222243123lim13x x x x x x ->∞+-=+2241332lim 13x x x x->∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=12 例1.3．111313lim-++-++∞→x x x x x解：原式=111313lim-++-++∞→x x x x x =xx x x x 11111313lim-++-++∞→=3 例1.4．)214(lim 2x x x x -+-+∞→解：原式=xx x x x 2141lim2++-+-+∞→=211411lim 2++-+-+∞→xx x x =41-例1.5．xx x xx x x 234234lim --+++∞→解：原式=xx xx x )21()43(1)21()43(1lim--+++∞→=1 （2）题型II ()lim()m x an p x p x → 原式=()(),0(),()0,()0()()0m n n n m n m p a p a p a p a p a p a p a ⎧≠⎪⎪⎪∞=≠⎨⎪==⎪⎪⎩上下分解因式(或洛比达）, 例1.6．12cos lim1++→x x x π解：原式=1/2例1.7．12sin lim 231+-++→x x xx x x π解：原式=∞例1.8．32lim 221-+-→x x xx x解：原式=)3)(1()1(lim 1+--→x x x x x =3lim 1+→x x x =41例1.9．11lim31--→x x x解：令u ==322111(1)(1)lim lim 1(1)(1)u u u u u u u u u →→--++=--+＝23例1.10. 2232lim 221=+-++→x x bx ax x 解：a+2+b=0,原式=222)2)(1()2)(1(lim )2)(1()2(2lim2=--=--++-=--+-+a x x a ax x x x a x ax a=2,b=-4 （3）题型III若0)(lim =→x f ax ，)(x g 有界⇒0)()(lim =→x g x f ax例1.11. 22limarccot(sin(1))3x x x →+∞++解：因为 limx →+∞2arccot(sin(1))x +有界 所以 原式＝０。
江苏专转本高数考试大纲
数学考试大纲第一章函数1．区间与邻域2．函数(1)函数的定义(2)函数的表示法与分段函数(3)函数的几何特性：单调性(4)复合函数(5)反函数有界性、奇偶性、周期性(6)常见的经济函数：成本函数、收益函数、利润函数、需求函数二、考核目标和基本要求1．理解区间和邻域的概念。
2．理解函数的定义，会区别两个函数的相同与不同，会求函数的定域。
3．能熟练地求初等函数、分段函数的函数值。
4．掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和简单的几何性质。
5．理解复合函数的概念，会正确地分析复合函数的复合过程，理解初等函数的概念。
6．了解反函数的概念，会求简单函数的反函数。
7．了解常见的经济函数：需求函数、成本函数、收益函数、利润函数，会建立一些较简单的经济问题的函数关系。
第二章极限与连续一、考核知识点1．数列的极限（1）数列（2）数列的极限定义2．函数的极限（1）x?x0时函数极限的定义（2）单侧极限及x?x0时f(x)极限存在的充分必要条件（3）x?∞时函数的极限（4）极限的性质3．极限的运算法则4．极限存在的准则和两个重要极限5．函数的连续性（1）函数的连续性定义（2）函数的间断点（3）初等函数的连续性（4）闭区间上连续函数的性质6．无穷小量与无穷大量（1）无穷小量与无穷大量（2）无穷大量及它与无穷小量的关系（3）无穷小量的阶二、考核目标和基本要求1．了解数列与函数极限的概念（分析定义不作要求）（1）能将简单数列的前若干顶用数轴上的点表示出来，从而观察出它是否存在极限（2）知道常见发散数列有振荡发散和无穷发散两种情形（3）能从函数图象x?x0或x?∞时，它是否存在极限2．能正确运用极限的四则运算法则、两个重要极限求数列与函数的极限。
3．了解无穷小量与无穷大量的概念，能判别无穷小量与无穷大量的关系，会对无穷小量的阶进行比较。
4．了解函数连续性的概念，会判断分段函数在分段点处的连续性，会求函数的间断点（但不要求判断间断点的类型）和连续区间。
江苏专转本数学知识点分布
江苏专转本数学知识点分布（仅供参考）1．区间与邻域2．函数(1)函数的定义(2)函数的表示法与分段函数(3)函数的几何特性：单调性(4)复合函数(5)反函数有界性、奇偶性、周期性二、考核目标和基本要求1．理解区间和邻域的概念。
2．理解函数的定义，会区别两个函数的相同与不同，会求函数的定域。
3．能熟练地求初等函数、分段函数的函数值。
4．掌握基本初等函数的表达式、定义域、图形和简单的几何性质。
5．理解复合函数的概念，会正确地分析复合函数的复合过程，理解初等函数的概念。
6．了解反函数的概念，会求简单函数的反函数。
第二章极限与连续一、考核知识点1．数列的极限（1）数列（2）数列的极限定义2．函数的极限（1）x®x0时函数极限的定义（2）单侧极限及x®x0时f(x)极限存在的充分必要条件（3）x®∞时函数的极限（4）极限的性质3．极限的运算法则4．极限存在的准则和两个重要极限5．函数的连续性（1）函数的连续性定义（2）函数的间断点（3）初等函数的连续性（4）闭区间上连续函数的性质6．无穷小量与无穷大量（1）无穷小量与无穷大量（2）无穷大量及它与无穷小量的关系（3）无穷小量的阶二、考核目标和基本要求1．了解数列与函数极限的概念（分析定义不作要求）（1）能将简单数列的前若干顶用数轴上的点表示出来，从而观察出它是否存在极限（2）知道常见发散数列有振荡发散和无穷发散两种情形（3）能从函数图象x®x0或x®∞时，它是否存在极限2．能正确运用极限的四则运算法则、两个重要极限求数列与函数的极限。
3．了解无穷小量与无穷大量的概念，能判别无穷小量与无穷大量的关系，会对无穷小量的阶进行比较。
4．了解函数连续性的概念，会判断分段函数在分段点处的连续性，会求函数的间断点（但不要求判断间断点的类型）和连续区间。
5．会利用函数的连续性求函数的极限。
6．知道连续函数的运算法则，知道初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。
高数第一章_8连续性间断点
x
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x , x ≠1 (4) y = f (x) = 1 2 , x =1
显然 lim f (x) =1≠ f ( ) 1
x→ 1
y
1
1 2
x =1为其可去间断点 .
x −1, x < 0 (5) y = f (x) = 0 , x = 0 x +1, x > 0
o
1
x
y
1
o
f (0 ) = −1,
−
f (0 ) =1
+
−1
x
x = 0 为其跳跃间断点 .
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内容小结
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 振荡间断点 个不存在
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思考与练习
1. 讨论函数 间断点的类型.
答案: 答案 x = 1 是第一类可去间断点 , x = 2 是第二类无穷间断点 . 2. 设 连续函数. 提示: 提示 3. P64 题 2 , P65 题 5
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时
为
P65 题5 提示 提示:
作业
P64 3 ; 4
第九节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 确定函数 f (x) =
解: 间断点 x = 0, x =1
1
x 1 x −
间断点的类型.
1−e
Q lim f (x)= ∞, ∴ x = 0 为无穷间断点;
x→ 0
x →+∞, ∴ f (x) →0 当x → 时 1 , 1−x x + 1 →−∞, ∴ f (x) → 当x → 时 1 , 1−x
高等数学 函数的连续性(第八节、第九节、第十节)
22
1.8 函数的连续性与间断点
1. 函数在一点连续的定义、必须满足的 三个条件; 2. 区间上的连续函数; 3. 函数间断点的分类: 间断点 第一类间断点: 跳跃型, 可去型 第二类间断点: 无穷型, 振荡型 (见下图)
23
1.8 函数的连续性与间断点
y
第一类间断点 第二类间断点
可去型
y
1.8 函数的连续性与间断点
1 sin , x 0, 例 函数 f ( x ) x (P63,例2) x 0, 0, 1 f ( x )在x 0处 有定义, 但当x 0时, sin 在 x 1 1, 1 之间来回无穷次振荡, lim sin 不存在, x0 x 故 x 0 为f (x)的第二类 间断点. y
P ( x ) a0 a1 x an x n
x0 ( , ) , lim P ( x ) P ( x0 ) 前面已证
x x0
因此有理整函数在 ( , ) 内是连续的.
P( x) 有理分式函数 R( x ) Q( x )
只要 Q( x0 ) 0 , 都有 lim R( x ) R( x0 )
x x0 x x0
(3) lim f ( x ) f ( x0 ).
6
1.8 函数的连续性与间断点
定义1
x 0
lim y 0
例 证明 函数 y sin x在区间 ( , )内连续. (P63) 证 任取 x ( , ),
y sin( x x ) sin x
若 f ( x0 ) f ( x0 ) , 称 若 f ( x0 ) f ( x0 ) , 称
x0 为可去间断点 . x0 为跳跃间断点 .
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在点x 处连续. 则称函数 y = f (x) 在点 0处连续 处连续的三个条件( 【注】f (x)在x0处连续的三个条件(三条缺一不可) )
; ① f ( x)在x0的某邻域内有定义
lim ② x→x f ( x) ;
0
x→x0
lim f ( x) = f ( x0 )
lim ③ x→x f ( x) = f ( x0 ). 0 "ε δ "定义:
f ( x)在x0连续 ε > 0, δ > 0, 使当x x0 =| x |< δ 时 , 恒有 f ( x) f ( x0 ) < ε .
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1 x sin , 补例1】 【补例 】 试证函数 f ( x ) = x 0, 处连续
【证】
5/27
x ≠ 0, x = 0,
f ( x )的跳跃间断点 . x, 补例4】 【补例 】讨论 f ( x ) = 1 + x ,
x ≤ 0, x > 0,
在x = 0处的连续性
y
【 解 】 f ( 0 0 ) = 0,
f (0 + 0) = 1,
∵ f (0 0) ≠ f (0 + 0),
1
o
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∴ x = 0为函数的跳跃间断点 . 为函数的跳跃间断点
相关结论】 【相关结论】 ④ y = sin x 及 y = cos x 在 R 内连续 .
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11/27
二,函数的间断点
在点x 连续必须满足的三个条件 函数 f (x) 在点 0处连续必须满足的三个条件
; ① f ( x)在x0的某邻域内有定义 lim ② x→x f ( x) ;
0
有定义, lim 存在, ③虽在 x=x0 有定义,且 x→x f ( x) 存在,但 →
x→x0
lim f ( x) ≠ f ( x0 )
0
不连续( 间断), ),并称 则函数 f (x) 在点 x0 处不连续(或间断),并称 不连续点( 间断点) 点 x0 为 f (x) 的不连续点(或间断点).
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9/27
【相关结论】 相关结论】 ① 有理函数 ( 多项式 ) 在区间 ( ∞ ,+∞ )内是连续的 . ∵§5中已证多项式 f (x)有 lim f ( x) = f ( x0 ) )
x→x0
②
P( x) (Q ( x0 ) ≠ 0 ) 有理分式函数 F ( x ) = Q( x ) 在定义域内连续. 在定义域内连续.
∵ Q( x0 ) ≠ 0 时, F( x) = F( x0 ) 已证 lim
x→x0
③ 函数 y =
x 在 (0,+∞ )内是连续的
0
lim ∵§3 例5 已证明 x0 > 0时, x x = x0 x→
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10/27
【例3】 证明函数 y = sin x在区间( ∞ ,+∞ )内连续. 】 【证】 任取 x ∈ ( ∞ ,+∞ ),
y x . . 则称 = f ( x)在点 0处连续x0称为连续点
设 x = x0 + x, y = f ( x) f ( x0 ), x → 0 就是 x → x0 ,
y → 0 就是 f ( x ) → f ( x0 ). 故定义又可叙述为 :
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4/27
定义2】 ⑶【定义 】 设函数 y = f ( x ) 在 U ( x0 , δ )内有定义 , 如果
如果函数在开区间 (a , b )内连续, 并且在左端点 x = a处右连续, 在右端点 x = b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续. 记 f ( x) ∈C[a, b].
几何表现】 【几何表现】
闭区间[a,b]上的连 上的连 闭区间 续函数的集合
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
x x y = sin( x + x ) sin x = 2 sin cos( x + ) 2 2 x x ∵ cos( x + ) ≤ 1, 则 y ≤ 2 sin . 2 2
对任意的 α , 当α ≠ 0时,
有 sin α < α ,
x ∴当x → 0时, y → 0. 故 y ≤ 2 sin < x , 2 即 函数 y = sin x对任意 x ∈ ( ∞ ,+∞ )都是连续的 .
增量的几何解释】 【增量的几何解释】 y
y = f (x)
y
y
y = f (x)
y
x
0 x0 + x
0
x0
x x 0 + x x
x0
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x
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2.【连续的定义】 . 连续的定义】
⑴【概念描述】 概念描述】 , 若当 x → 0时 y → 0,即lim y = 0
x→0
3/27
或
x→0
lim[ f ( x0 + x) f ( x0 )] = 0,
y x . 则称 = f ( x)在点 0处连续
y U , 内有定义 如果 ⑵【定义1】 定义1 设函数 = f ( x)在 ( x0 ,δ ) lim y = lim[ f ( x0 + x) f ( x0 )] = 0,
x→0 x→0
定理】 ⑶【定理】
f ( x)在 x0 处连续 f ( x)在 x0处既左连续又右连续
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7/27
x + 2, 补例2】 【补例 】 讨论函数 f ( x ) = x 2, 连续性
x ≥ 0, 在 x = 0处的 x < 0,
【解】
x →0 x →0
lim+ f ( x ) = lim+ ( x + 2) = 2 = f (0),
在x = 0
f (x) 在x0的邻域内显然有定义
1 ∵ lim x sin = 0, x→0 x
又 f ( 0 ) = 0,
由定义2知 由定义 知
lim f ( x ) = f (0), x →0
函数 f ( x )在 x = 0处连续
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6/27
3.【单侧连续】 . 单侧连续】
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16/27
如例5中 如例 中, 令 f (1) = 2,
y
2 1
2 x , 0 ≤ x < 1, 则 f ( x) = x ≥ 1, 1 + x , 在x = 1处连续 .
o
1
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点】 【特点】 函数在间断点 x0处的左,右极限都存在 . 处的左, 左右极限存在且相等 相等. 可去型 : 左右极限存在且相等. 跳跃型: 左右极限存在但不相等 不相等. 跳跃型: 左右极限存在但不相等.
x →0 x→0
lim f ( x ) = lim ( x 2) = 2 ≠ f (0),
右连续但不左连续, 右连续但不左连续,
故函数 f ( x )在点 x = 0处不连续 .
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8/27
4.【连续函数与连续区间】 【连续函数与连续区间】
在区间上每一点都连续的函数, 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 连续函数,或者说函数在该区间上连续 函数在该区间上连续. 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
y
【解】 f ( 0 0) = 0, f (0 + 0) = +∞ ,
∴ x = 1为函数的第二类间断点
o
x
这种情况称为无穷间断点 这种情况称为无穷间断点
+ f ( x0 ) 与 f ( x0 ) 中至少有一个是 ∞ , 称之 . 特点】 【特点】
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1 【例7】 讨论函数 f ( x ) = sin 在 x = 0处的连续性 . 】 x
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2.【函数间断点的几种常见类型】 【函数间断点的几种常见类型】
(1).【第一类间断点】(左右极限都存在的点). 【第一类间断点】 左右极限都存在的点).
13/27
①[跳跃间断点]如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都 跳跃间断点]
+ 存在, 但 f ( x0 ) ≠ f ( x0 ), 则称点 x0为函数
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1. 【间断点定义】 间断点定义】
在点x 某去心邻域内有定义 有定义. 设函数 f (x) 在点 0的某去心邻域内有定义.如果 有下列三种情形之一 之一: 函数 f (x) 有下列三种情形之一: 没有定义; ①在 x=x0 没有定义;
lim 有定义, 不存在; ②虽在 x=x0 有定义,但 x→x f ( x)不存在; →
0
lim ③ x→x f ( x) = f ( x0 ).
0
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 如果上述三个条件中只要有一个不满足,则 【描述】 描述】 不连续( 间断), 称函数 f (x) 在点 x0 处不连续(或间断), 不连续点( 间断点) 并称点 x0 为 f (x) 的不连续点(或间断点).
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第八节 函数的连续性与间断点 一,函数的连续性 二,函数的间断点 三,小结 思考题