解三角形经典例题

解三角形

一、 知识点梳理：

1、正弦定理：在△ABC 中，

R C

c B b A a 2sin sin sin === 注：①R 表示△ABC 外接圆的半径 ②正弦定理可以变形成各种形式来使用

2、余弦定理：在△ABC 中， A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= 也可以写成第二种形式：

bc a c b A 2cos 222-+=，ac b c a B 2cos 222-+=，ab

c b a C 2cos 2

22-+= 3、△ABC 的面积公式，B ac A bc C ab S sin 2

1sin 21sin 21===

二、题组训练： 1、在△ABC 中， a=12，A=060，要使三角形有两解，则对应b 的取值范围为

2、判定下列三角形的形状

在△ABC 中，已知38,4,3===c b a ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知bc a A ==

2,2

1cos ，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，已知C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，请判断△ABC 的形状。

在△ABC 中，,sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++请判断△ABC 的形状。

3、在△ABC 中，已知030,4,5===A b a ，求△ABC 的面积。

4、在△ABC 中，若△ABC 的面积为S ，且22)(2c b a S -+=，求tanC 的值。

5、在△ABC 中，已知8

7cos ,6,0222=

==--A a c bc b ，求△ABC 的面积。

6、在△ABC 中，已知,sin sin ,360C B ab ==△ABC 的面积为315，求边b 的长。

7、在△ABC 中，求证：

2222112cos 2cos b a b B a A -=-

三、典型例题 1、设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5

a B

b A

c -=． （Ⅰ）求B

A tan tan 的值； （Ⅱ）求tan()A

B -的最大值．

2、在ABC △中，内角A B C ，，对边的边长分别是a b c ，，，已知2c =，3

C π=

．

（Ⅰ）若ABC △a b ，；

（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积．

3、设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求边长a ；

（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．

4、在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷

达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45且与点A 相距海里的位置

B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45+θ(其中sin θ，090θ<<)且与点A 相

距C .

（I ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;

（II ）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

四、课后练习

1、如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．

已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的

半径OA 的长（精确到1米）．

2、在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5

C =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长．