有理数常见题型
专题03有理数混合运算的七种常见题型2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂「含答案」
专题03有理数混合运算的七种常见题型题型01与有理数的概念有关的计算【典例分析】【例1-1】（23-24七年级上·广东深圳·期中）1．若a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，那么322ab c d ++= ．【例1-2】（22-23七年级上·山东济南·期中）2．若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是1．(1)直接写出a b +、cd 、和m 的值．(2)计算2019()2a b cd m ++-的值．【例1-3】（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）3．已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值为3．(1)求m a b cd --+的值；(2)求()20232332024a b cd m m+-+-+的值．【变式演练】【变式1-1】（23-24七年级上·重庆黔江·期中）4．若a ，b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 是最大的负整数，则2019cd a b m --+的值是【变式1-2】（23-24七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）5．已知21x +与()22y -互为相反数，求()201724xy y +-的值．【变式1-3】（23-24七年级上·广东佛山·期中）6．已知a ，b 互为相反数，m ，n 互为倒数，c 的绝对值为2，但c 是一个负数，求代数式a b mn c ++-的值．题型02与绝对值和平方的非负性有关的计算【典例分析】【例2-1】（22-23七年级上·江西宜春·期中）7．已知()2230n m -++=，则n m 的值等于 ．【例2-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）8．若320a b -+-=，求a b +的值．【变式演练】【变式2-1】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）9．若120a b -+-=，则22a b +的值为 ．【变式2-2】（22-23七年级上·甘肃平凉·阶段练习）10．若230m n -++=，求23n m -．【变式2-3】（22-23七年级上·河南安阳·阶段练习）11．已知：()234430x y x y --++-=，求x 和y 的值．题型03与程序有关的计算【典例分析】【例3-1】（23-24七年级上·河北邯郸·期末）12．如图，输入数值1921，按所示的程序运算（完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算），输出的结果为（ ）A ．1840B ．1921C ．2023D ．2021【例3-2】（23-24七年级上·广东潮州·期中）13．如图是一个程序计算器，现输入6m =-，那么输出的结果是 ．【例3-3】（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）14．如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）．(1)当小明输入2时，输出的结果是______；当小明输入6时，输出的结果是______；当小明输入78-时．输出的结果是______；(2)你认为这个“有理数转换器”不可能输出______数；(3)你认为当输入______时，其输出结果是0．【变式演练】【变式3-1】（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）15．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1，这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的．例如：取自然数5，经过下面5步运算可得1，即如图所示．如果自然数m 恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m 的值有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式3-2】（23-24七年级上·四川内江·阶段练习）16．定义一种对正整数n 的“F ”运算：①当n 为奇数时，结果为35n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2k n 为奇数的正整数），并且运算可以重复进行．例如，取26=，则：若23n =，则第2022次“F ”运算的结果是 ．【变式3-3】（23-24七年级上·河南郑州·阶段练习）17．解密数学魔术：魔术师请观众心想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：魔术师能立刻说出观众想的那个数．(1)如果小明想的数是2-，则她计算后告诉魔术师结果是 ；(2)如果小玲想了一个数计算后，告诉魔术师结果为 10235，那么魔术师立刻说出小玲想的那个数是 ；(3)观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数．若设观众心想的数为 a ， 请你按照魔术师要求的运算过程列代数式并化简，再用一句话解释这个魔术的奥妙．题型04与新定义有关的计算【典例分析】【例4-1】（22-23七年级上·四川成都·期中）18．如果规定符号“*”的意义是()22*()a b a b a b b a a b ì-³=í+<î，比如23*1318=-=，22*33211==+，求()()()3*24*1--+-= ．【例4-2】（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）19．如果规定符号“*”的意义是22()*()a b a b a b b a a b ì-³=í+<î，比如231318*=-=，232112*3=+=．求下列各式的值：(1)()51*-(2)()33-*【变式演练】【变式4-1】20．定义一种新运算“※”，规则为：()1n m n m n m =--※例：()323231211=-´-=※，则()24-=※ ．【变式4-2】（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）21．用“※”定义一种新运算，规定2a b b a =-※，如213318=-=※，(1)求12※的值；(2)求()()125-※※的值．【变式4-3】（23-24七年级上·广东汕尾·期末）22．定义一种新运算“☆”，规定有理数()()a b a b a b =+-☆，例如()()434343717=+-=´=☆．(1)计算：()35-☆；(2)计算：()53-☆；(3)根据（1）（2）的结果直接写出a b ☆与b a ☆之间的关系．题型05与规律有关的计算【典例分析】【例5-1】（23-24七年级上·河南周口·期末）23．观察下列等式：12345314,3110,3128,3182,31244,+=+=+=+=+=×××，归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测202431+的个位数字是 ．【例5-2】（23-24七年级上·宁夏银川·期中）24．观察下列各式：2131312422-==´；2182413933-==´；211535141644-==´；212446152555-==´；…．(1)用你发现的规律填写下列式子的结果：21 () 1101001010()()-==´；(2)用你发现的规律计算：22211111111232100æöæöæöæö-´-´-´´-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL ．【例5-3】（23-24七年级上·广东东莞·期中）25．观察下面的式子，解答下列问题311=，11=；33129+=，123+=；33312336++=，1236++=；33331234100+++=，123410+++=；……(1)3333312345++++=________；(2)3333123n ++++=L _____；(3)利用上面的规律计算：333320212260++++L (4)计算：3333505254100++++=L ___________．【变式演练】【变式5-1】（23-24七年级上·重庆渝中·期末）26．黑板上有按规律排列的20个整数：1，2-，3，4-，5，6-，7，…，18-，19，20-．对它们进行如下操作：划掉其中三个数，并将这三个数之和的个位数字添写在黑板上，其符号与划掉的这三个数之和的符号相同；然后连同所添写的数一起，重复上述操作，直到剩下两个数为止．如：某次划掉的数是5，10-，16-，则添写数字1-．若某次划掉的数是7，15，6-，则添写数字 ；经过9次操作后剩下两个数，若一个数是14-，则另一个数是 ．【变式5-2】（23-24七年级上·湖北随州·期末）27．观察以下等式：第1个等式：21131232-=´´；第2个等式：31182343-=´´；第3个等式：411153454-=´´；第4个等式：511244565-=´´；……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第n （n 取正整数）个等式：______（用含n 的等式表示）；(2)利用以上规律计算36111283524210æö+--´ç÷èø的值．【变式5-3】（22-23七年级上·河南信阳·期末）28．观察下面三行数：①2，4-，8，16-，¼②1-，2，4-，8，¼③3，3-，9，15-，¼(1)第①行数按什么规律排列的，请写出来？(2)第②、③行数与第①行数分别对比有什么关系？(3)取每行的第9个数，求这三个数的和？题型06与法则有关的混合计算【典例分析】【例6-1】（24-25七年级上·全国·假期作业）29．脱式计算，能简算的要简算．(1)6.80.3540824´+¸(2)21120.282025æö+´¸ç÷èø【例6-2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）30．计算：(1)()()34287´-+-¸(2)()()10041524-´+-¸【例6-3】（22-23七年级上·云南昆明·期中）31．计算：(1)()75364-´-¸；(2)()2020331405 3.14πæö-+ç÷èø´-+---．【变式演练】【变式6-1】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）32．（1）125(16)(17)-++---；（2）512.584æö-¸´-ç÷èø．【变式6-2】（22-23七年级上·甘肃白银·期中）33．计算：(1)4735127æöæö´-´-ç÷ç÷èøèø；(2)()477216483æö-+¸--´-ç÷èø【变式6-3】（23-24七年级上·河北廊坊·阶段练习）34．计算：(1)()()()43772743+----+；(2)()511210.5626æöæö+----+ç÷ç÷èøèø；(3)()()111328137æö-´-´´-ç÷èø；(4)()()304 2.50.5-´--¸-；(5)257113681224æöæö+-++-ç÷ç÷èøèø．题型07与运算律有关的混合运算【典例分析】【例7-1】（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）35．用简便方法计算：(1)357241468æö´-+ç÷èø(2)6664.278.732111111æöæö´--´-´-ç÷ç÷èøèø【例7-2】（22-23七年级上·甘肃白银·期中）36．计算：(1)()()()40281924-----+-；(2)13170.5 3.7542æöæö---+-+ç÷ç÷èøèø；(3)()11176034515æö--+-´-ç÷èø【例7-3】（21-22七年级上·河北石家庄·期中）37．计算(1)()111148636412æö+-+´-ç÷èø(2)311515154432æö´--´+´ç÷èø【变式演练】【变式7-1】（23-24七年级上·广东清远·期中）38．计算：()()301125301125-+++-．【变式7-2】（23-24七年级上·四川眉山·期中）39．计算下列各题：(1)0.8 5.211.6 5.6--+-；(2)3778148127æöæö--´-ç÷ç÷èøèø．【变式7-3】（22-23七年级上·山东济南·期中）40．计算：(1)()()()38226278+-++-+；(2)()157362912æö-+´-ç÷èø1．3【分析】本题考查了相反数与倒数的定义以及代数式求值，正确理解相反数与倒数的定义是解题的关键．只有符号不同的两个数是互为相反数；若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．根据相反数的定义和倒数的定义，即得1ab =，0c d +=，再代入代数式计算，即得答案．【详解】Q a ，b 互为倒数，1ab \=Q c ，d 互为相反数，c d \+=32232()31203ab c d ab c d \++=++=´+´=．故答案为：3．2．(1)0a b +=，1cd =，1m =±；(2)1或3；【分析】本题考查相反数，倒数及绝对值，根据互为相反的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，绝对值等于1的数有1±直接代入求解即可得到答案；【详解】（1）解：∵a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 的绝对值是1，∴0a b +=，1cd =，1m =±；（2）解：由（1）得，当1m =时，2019201902111()2a b cd m ´+=++--=，当1m =-时，22019019021(1)213()2a b cd m =++--=+´-+=．3．(1)4或2-(2)8【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值的定义，代数式求值，含乘方的有理数混合运算，准确理解并灵活运用所学知识是解答本题的关键．（1）根据题意得到0a b +=，1cd =，3m =±，再代入原式进行求解即可；（2）根据题意得到0a b +=，1cd =，3m =±，再代入原式进行求解即可．【详解】（1）解：由题意，得0a b +=，1cd =，3m =±．当3m =时，原式()3014m a b cd -++=-+=；当3m =-时，原式()3012m a b cd -++=--+=-．所以m a b cd --+的值为4或2-；（2）当3m =时，原式()()2023233013198202432027a b +´=-+-=-+-=+；当3m =-时，原式()()()2023233013198202432021a b +´=-+--=-+-=-．所以()20232332024a b cd m m +-+-+的值为8．4．0【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数，相反数和最大负整数的定义，根据乘积为1的两个数互为相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，最大的负整数为负1得到011a b cd m +===-，，，据此代值计算即可．【详解】解：∵a ，b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 是最大的负整数，∴011a b cd m +===-，，，∴()()2019202019191011010cd a c b m m a b d =-++=-+-=----=+，故答案为：0．5．1-【分析】本题主要考查了相反数，非负数的性质，求代数式的值．根据相反数的性质可得()20212x y ++-=，再由非负数的性质，可得1,22x y =-=，然后代入，即可求解．【详解】解：∵21x +与()22y -互为相反数，∴()20212x y ++-=，∴210,20x y +=-=，解得：1,22x y =-=，∴()()20172017124222412xy y éù+-=-´+´-=-êúëû．6．3【分析】本题考查了代数式求值，相反数，绝对值，以及倒数，熟练掌握各自的定义是解答本题的关键．根据互为相反数的两数之和为0，互为倒数的两数之积为1，绝对值为2的负数为2-，得到关系式，代入所求式子中计算即可解题．【详解】解：Q a ，b 互为相反数，0a b \+=，Q m ，n 互为倒数，\1mn =，Q c 的绝对值为2，但c 是一个负数，\2c =-，\()0123a b mn c ++-=+--=．7．9【分析】本题考查非负性，有理数的乘方运算，根据非负性求出,m n 的值，代入代数式计算即可．【详解】解：∵()2230n m -++=，∴20,30n m -=+=，∴3,2m n =-=，∴()239n m =-=；故答案为：9．8．5【分析】本题考查非负数的性质．根据非负数的性质，可得30a -=，20b -=，求出a 、b 的值，据此即可求解．【详解】解：∵320a b -+-=，∴30a -=，20b -=，∴3a =，2b =，∴325a b +=+=．9．5【分析】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．根据非负数的性质求出a ，b ，代入代数式求值即可．【详解】解：120a b -+-=Q ，10a \-=，20b -=，解得1a =，2b =，22145a b \+=+=，故答案为：5．10．12-【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据一个数的绝对值是非负数可求得m 和n 的值，将其代入即可求得结果．【详解】解：由题可得：20m -=，30n +=，解得：2m =，3n =-，则()2323326612n m -=´--´=--=-．11．1,1x y ==-【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程．根据非负数的性质，可得340430x y x y --=ìí+-=î①②，解出方程组，即可求解．【详解】解：∵()234430x y x y --++-=，∴340430x y x y --=ìí+-=î①②，①②+得：77x =，解得：1x =，将1x =代入①得：34y -=，解得：1y =-，则1,1x y ==-．12．D【分析】本题考查了有理数的混合运算，弄清程序中的运算过程是解本题的关键．把1921代入程序中计算，判断即可得到结果．【详解】解：把1921代入得：(1921184050)(1)1311000-+-=-<´，把131-代入得：(131184050)(1)19211000--+-=>´，则输出结果为19211002021+=．故选D ．13．25【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确计算程序．根据右面的程序，可以得到输入m 后，执行221m m ++的命令，然后即可得到问题的答案．【详解】解：根据计算程序可得，6m =-时，()()222162613612125m m ++=-+´-+=-+=．故答案为：25．14．(1)2；1；87(2)负(3)0或7n （n 为自然数）【分析】本题考查了倒数、绝对值及相反数的概念，解答本题的关键是弄懂图表中的程序的意义．（1）先判断出2、6、78-与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可；（2）根据绝对值的性质和倒数的定义可找出规律；（3）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0．【详解】（1）解：根据题意得：当小明输入2时，输出的结果是22-=；当小明输入6时，输出的结果是()1167=éù-+-ëû；当小明输入78-时．输出的结果是18778=æö--ç÷èø；故答案为：2；1；87；（2）解：由图表知，不管输入正数、0或者负数，输出的结果都是非负数．所以输出的数应为非负数，不可能输出负数．故答案为：负（3）解：∵0的相反数及绝对值均为0，且04<，∴输入0时，输出结果为0；∵当输入的数大于4时要加上7-再重新输入，一直需要循环到小于4时，∴只要输入的数是7的正整数倍数即可输出0，∴应输入0或7n（n为自然数）．故答案为：0或7n（n为自然数）15．D【分析】本题考查了数字类规律探索，采用逆推法和分类讨论的思想，判断出所有符合条件的m的值即可，注意观察总结规律，并能正确的应用规律．=´+，【详解】解：如图，偶数643211=´+，16351，如图：当得数为64之前输入的数为偶数时，642128m=´=，当得出为64之前输入的数为奇m=，数时，3164m+=，则21，如图，当得出为16之前输入的数为奇数时，则第一次计算的结果为10，则10220m=´=或m+=，即3m=，3110，综上所述，m的值为3或20或21或128，共4个，故选：D．16．23【分析】本题考查了数字类规律，蕴涵了结果规律探索问题，检测学生阅读理解及应用能力．根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出第2022次“F运算”的结果．【详解】解：由“F运算”的含义，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，n=为奇数应先进行F①运算，由于23´+=（偶数），即323574需再进行F②运算，即74237¸=（奇数），再进行F ①运算，得到3375116´+=（偶数），再进行F ②运算，即2116229¸=（奇数），再进行F ①运算，得到329592´+=（偶数），再进行F ②运算，即292223¸=（奇数），再进行F ①运算，得到323574´+=（偶数），…，即第1次运算结果为74，…，第6次运算结果为23，第7次运算结果为74，…，则6次一循环，20226337¸=，则第2022次“F 运算”的结果是23．故答案为：23．17．(1)35；(2)100；(3)100235a +，这个魔术的奥妙是根据所得的数字减去235，再除以100，即可得到心中所想的数字．【分析】（1）本题根据程序框图按有理数四则混合运算法则计算即可．（2）本题设小玲想的那个数是x ，根据程序框图列出方程求解，即可解题．（3）本题根据程序框图列出代数式化简即可，再根据化简后的代数式解释这个魔术的奥妙．【详解】（1）解：()248575éù-´+´+´ëû75=´35=．故答案为：35．（2）解：设小玲想的那个数是x ，根据题意可得，()4857510235x éù+´+´=ëû10023510235x +=10010000x =100x =，故答案为：100．（3）解：由题意得，()48575a éù+´+´ëû()20475a =+´100235a =+，这个魔术的奥妙是根据所得的数字减去235，再除以100，即可得到心中所想的数字．【点睛】本题考查了程序框图、有理数的四则混合运算、一元一次方程的应用、列代数式、代数式化简，本题解题的关键在于正确理解程序框图的运算顺序．18．18【详解】利用题目中所给的运算法则计算即可．【分析】解：∵()22*()a b a b a b b a a b ì-³=í+<î，∴()()()3*24*1--+-()()()224231éùéù=-+-+--ëûëû()()43161=-++117=+18=．故答案为：18．【点睛】本题考查了新定义的运算法则、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．19．(1)26(2)6【分析】（1）根据新定义计算即可求出值；（2）根据新定义计算即可求出值．【详解】（1）解：根据题中的新定义得：()2515(1)26*-=--=；（2）解：()2333(3)6-*=+-=．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．4【分析】此题主要考查了新定义以及有理数的混合运算，正确利用新定义转化为有理数混合运算是解题关键．根据题中的新定义将所求式子化为有理数混合运算，计算即可．【详解】解：Q ()1n m n m n m =--※，\()()()4242412éù-=--´--ëû※，1643=-´，1612=-，4=；故答案为：4．21．(1)3(2)22【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，新定义下的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．（1）根据新定义计算即可；（2）根据新定义的运算法则求解即可．【详解】（1）解：212213=-=※；（2）Q 212213=-=※，\()()()()2125355322-=-=--=※※※．22．(1)16-(2)16(3)a b ☆与b a ☆互为相反数【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握新定义的运算法则是解本题的关键．（1）根据题中的新定义化简即可得到结果；（2）根据题中的新定义化简即可得到结果；（3）利用题中的新定义分别计算a b ☆与b a ☆，即可做出判断．【详解】（1）()35-☆(35)[3(5)]=-´--28=-´16=-；（2）()53-☆(53)(53)=-+´--2(8)=-´-16=；（3）a b ☆22()()a b a b a b =+-=-；b a ☆22()()b a b a b a =+-=-，故a b ☆与b a ☆互为相反数．23．2【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据题意归纳出个位数字的循环规律是解题的关键．根据个位数字以4，0，8，2循环出现的规律计算即可．【详解】解：由题中算式可知，计算结果尾数以4，0，8，2为一个循环组依次循环出现，20244506¸=Q ，∴202431+的个位数字与43182+=一样，为2，故答案为：2．24．(1)见解析(2)101200．【分析】本题考查了有理数乘法的规律探究，关键找到规律写出分数相乘的形式．（1）根据等式规律写出分数相乘的形式计算结果．（2）按规律写出分数相乘形式，再根据分数乘法进行约分求解．【详解】（1）解：2119991111101001001010-=-==´；（2）解：22211111111232100æöæöæöæö-´-´-´´-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL13243599101223344100100æöæöæöæö=´´´´´´´´ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøL 11012100=´101200=．25．(1)225(2)()212n n +éùêúëû(3)3312800(4)12285000【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，难度适中，注意找等式的规律时，要注意观察等式的左边和右边的规律，还要注意观察等式的左右两边之间的关系．（1）根据题意材料即可得出()2333331234512345++++=++++，进行计算即可；（2）根据题意材料即可得出()2333312312.....3.n n +++=+++++，进行计算即可；（3）首先求出333312319++++L 和333312360++++L 的值，然后作差求解即可；（4）同（3）的方法求出333325262750+++×××+的值，然后将3333505254100++++L 变形为()33333225262750´+++×××+代入求解即可．【详解】（1）解：∵311=，11=；33129+=，123+=；33312336++=，1236++=；3333124100x +++=，123410+++=；……∴()2333332123451234515225++++=++++==；（2）根据题意得，3333123...n ++++()2123...n =++++()212n n +éù=êúëû；（3）根据题意得，()233331919112319361002´+éù++++==êúëûL ()23333606011236033489002´+éù++++==êúëûL ∴333320212260++++L ()333333331236012319=++++-++++L L 334890036100=-3312800=．（4）根据题意得，()233332424112324900002´+éù++++==êúëûL ()23333505011235016256252´+éù++++==êúëûL ∴333325262750+++×××+()333333331235012324=++++-++++L L 162562590000=-1535625=，∴3333505254100++++L ()()()()3333226227252250=´´++´++´L 33333333225226227250=´+´+´+×××+´()33333225262750=´+++×××+81535625=´12285000=．26． 6 6-或4##4或6-【分析】本题主要考查了有理数加减运算，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出数字运算规律．【详解】解：∵()715616++-=，∴若某次划掉的数是7，15，6-，则添写数字为6；∵()()()12341920+-++-+×××++-()()()12341920éùéùéù=+-++-+×××++-ëûëûëû()()111=-+-+×××+-10=-，∴将所有这些数字相加后个位数字为0，∵经过9次操作后剩下两个数，若一个数是14-，∴另外一个数一定是一个个位数，∵()14620-+-=-或14410-+=-，∴另外一个数为6-或4．故答案为：6；6-或4．27．(1)()()()1212111n n n n n n n -=+++++(2)6【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．（1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n 个等式；（2）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可．【详解】（1）解： 第1个等式：21131232-=´´；第2个等式：31182343-=´´；第3个等式：411153454-=´´；第4个等式：511244565-=´´；……第n 个等式：()()()1212111n n n n n n n -=+++++．故答案为：()()()1212111n n n n n n n -=+++++．（2）解：由（1）的规律化解原式：36111283524210æö+--´ç÷èø1111111232346524210æö=+++--´ç÷´´´6´7èø11111232462102421011æö=+++--´ç÷èø112316æö=+´ç÷èø12123161=´+´42=+6=．28．(1)第①行的第1个数是2，从第2个数起，每一个数与前一个数的比是―2(2)见解析(3)769【分析】本题考查了规律型−数字的变化类等知识点，（1）把第①行整理得12342222--，，，，…；（2）易得把第①行中的各数都除以2-得到第②行中的相应的数；把第①行中的各数都加上1得到第③行中的相应的数；（3）先确定第①行的第9个数为92，再确定第②行的第9个数为82-，第③行的第9个数为921+，然后把它们相加即可．通过特殊数字的变化情况找出其中不变的因素，然后进行推广得到一般的变化规律是解题关键．【详解】（1）第①行数12，22-，32，42-，¼，故第①行的第1个数是2，从第2个数起，每一个数与前一个数的比是―2；（2）把第①行中的各数都除以2-得到第②行中的相应的数；把第①行中的各数都加上1得到第③行中的相应的数；（3）第①行的第9个数为92，第②行的第9个数为82-，第③行的第9个数为921+，所以9892221769-++=．29．(1)19.38(2)340【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据运算顺序和法则进行计算即可．（1）先算乘法和除法，再算加法；（2）先算小括号里面的加法，再算乘法，最后算除法．【详解】（1）解：6.80.3540824´+¸2.3817=+19.38=（2）解：21120.282025æö+´¸ç÷èø12112852025æö=+´¸ç÷èø421128202025æö=+´¸ç÷èø251282025=´¸3158=´340=30．(1)16-(2)9【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．（1）原式先计算乘除运算，再计算加法运算即可求出值；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．【详解】（1）解：原式124=--16=-；（2）原式15164=´+¸54=+9=．31．(1)44-(2)28.89π-【分析】本题考查有理数的混合运算，实数的混合运算．（1）根据有理数的混合运算法则计算即可；（2）先计算乘方，化简多重符号，化简绝对值，再按顺序计算即可．【详解】（1）解：()75364-´-¸359=--44=-；（2）解：()202031305 3.14π4æö-´-++---ç÷èø31305π 3.144æö=-´-+--+ç÷èø0.75305π 3.14--+=+28.89π=-．32．（1）6-；（2）1．【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则即可求解；（2）根据有理数的乘除混合运算法则即可求解；本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键．【详解】解：（1）125(16)(17)-++---71617=--+6=-；（2）512.584æö-¸´-ç÷èø581254æö=-´´-ç÷èø，1=．33．(1)15(2)1【分析】本题主要考查了有理数的混合计算：（1）根据乘法法则计算即可；（2）先算乘方，再算乘除，最后计算加减即可．【详解】（1）解：原式4735127=´´15=；（2）解：原式()78216473æö=-+´--´-ç÷èø()124=-+-+1=．34．(1)50-(2)1-(3)4-(4)125-(5)23【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．（1）根据有理数的混合运算法则进行计算即可；（2）根据有理数的混合运算法则进行计算即可；（3）根据有理数的混合运算法则进行计算即可；（4）根据有理数的混合运算法则进行计算即可；（5）根据有理数的混合运算法则进行计算即可．【详解】（1）解：()()()43772743+----+43772743=-+-43437727=--+50=-．（2）解：()511210.5626æöæö+----+ç÷ç÷èøèø5171=26262-+-5711=26622+--=23-1=-．（3）解：()()111328137æö-´-´´-ç÷èø()()11=1328137æö-´´-´-ç÷èø()=14-´=4-．（4）解：()()304 2.50.5-´--¸-=1205--125=-．（5）解：257113681224æöæö+-++-ç÷ç÷èøèø257113681224=+-+-162021212424242424=+-+-1620212124+-+-=1624=23=．35．(1)5-(2)6-【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则，以及乘法分配律在有理数范围依旧适用．（1）根据乘法分配律进行计算即可；（2）根据乘法分配律的逆用进行计算即可．【详解】（1）解：357241468æö´-+ç÷èø3724242448116=´-´+´184421=-+=5-．（2）解：6664.278.732111111æöæö´--´-´-ç÷ç÷èøèø6664.278.732111111æöæöæö=´-+´--´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø()6 4.278.73211=-´+-61111=-´6=-．36．(1)17-(2)2-(3)51【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）先把减法转化为加法，再根据交换律和结合律可以解答本题；（2）先把减法转化为加法，小数转化为分数，再根据加法交换律和结合律计算即可；（3）利用乘法分配律计算即可；【详解】（1）解：原式()40281924=-+++-()()40242819=-+++6447=-+17=-；（2）解：原式13170.5 3.7542æö=-+++-ç÷èø11315172442æö=-+++-ç÷èø11713332244æöæö=-+++ç÷ç÷èøèø97=-+2=-；（3）解：原式()()()()11176060606034515æö=-´--´-+´--´-ç÷èø20151228=+-+51=．37．(1)43-(2)30-【分析】本题考查了有有理数的乘法运算：（1）利用有理数乘法运算律进行求解即可；（2）逆用有理数的乘法运算律即可求解；【详解】（1）解：原式()()()()111148484848636412=´-+´--´-+´-481243=--+-412123=-+-43=-．（2）解：原式33115424æö=´--+ç÷èø131522æö=´--ç÷èø()152=´-30=-．38．0【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，根据有理数加法运算法则及交换律与结合律进行简便计算，即可得出结果．【详解】解：原式()()301301125125éùéù=-++-+ëûëû00=+0=．39．(1)0(2)13-【分析】本题考查有理数混合运算：（1）运用加法交换律、加法结合律，先凑整数，再进行加法计算；（2）运用乘法分配律计算即可；【详解】（1）解：0.8 5.211.6 5.6--+-()()0.8 5.211.6 5.6=--+-答案第21页，共21页66=-+0=；（2）解：3778148127æöæö--´-ç÷ç÷èøèø7878784787127æöæöæö=´--´--´-ç÷ç÷ç÷èøèøèø2213=-++13=-．40．(1)0(2)19-【分析】（1）利用有理数加法运算律计算即可；（2）先利用乘法分配律，然后在进行加减计算即可；本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及其运算律．【详解】（1）解：()()()38226278+-++-+()()()38622278éùéù=+++-+-ëûëû，()100100=+-，0=；（2）解：()157362912æö-+´-ç÷èø()()()1573636362912=´--´-+´-，182021=-+-，19=-．。
有理数各种常见题型
有理数各种题型题型一 绝对值（非负数），平方（非负数）的综合应用 1、已知│x │=3，│y │=7，而xy<0，则x+y 的值是_________ 2、已知，，且＞0，则= 3、│3-a │+│4-b │=0,求a+b 的值4、已知，则=_________。
5、已知0563=-+++-c b a ,求a+b+c 的值。
6、若|m －n |＝n －m ，且|m |＝4，|n |＝3，则(m ＋n )2＝______. 7、若==-+-x y x ，则0)32(22 ，=y 。
8、已知与互为相反数，求的值．+-y 1999-+y 互为相反数，求yx y x -+2的值10.若|x-y+3|+()22013y x -+=0，则yx x2-= .11、若0432=-+-+-c b a ，求c b a ++2的值．12已知2a -＋（b+1）4＝0，求（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的值.题型二 相反数倒数整数的综合应用1、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数（即1cd =-），x 是最小的正整数。
试求220082008()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值2..若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数， m 在数轴上的对应点到原点的距离为1，则m cd cb a ba +++++ 的值是 ．||3a =||2b =ab a b -()02|4|2=-++b a a b a 2+|1|a +|4|b -b a3．若a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，2=m ，=-+⨯+23)(m ab bad c 4．已知a 与b 互为倒数，c 与d 互为相反数，且3=x ，求x d c ab 23+--的值．5.已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3， 求()()()20032001231ab x n m x ab n m x -++++++-的值6. 已知a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且x 的绝对值是5，试求x －（a+b －cd ）+│（a+b ）－4│+│3－cd│的值． 题型三有理数与裂项结合反思说明：一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可以用裂项相消法求值。
初中有理数经典题型
初中有理数经典题型一、有理数的混合运算有理数的混合运算是指将加减乘除和乘方运算综合在一起进行计算的问题。
解决这类问题时，需要注意运算顺序，先乘除后加减，并且要注意正负数的运算特点。
二、绝对值及其应用绝对值是一个数在数轴上到原点的距离。
在有理数中，任何数的绝对值都是非负的。
解决与绝对值相关的问题时，需要注意绝对值的定义和性质，并且要注意分类讨论的思想方法。
三、有理数的加法法则有理数的加法法则是加减混合运算的基础。
解决与有理数加法相关的问题时，需要掌握加法交换律和结合律，注意正负数的加法运算。
四、代数式的值及其求法代数式的值是指将代数式中的字母代入具体的数值后得到的计算结果。
求代数式的值时，需要注意代数式的化简和变形，并且要注意代入数值的合理性。
五、数轴及相反数的概念数轴是一条直线，每个实数都可以用数轴上的一个点来表示。
相反数是指只有符号不同的两个数。
解决与数轴和相反数相关的问题时，需要理解数轴的概念和性质，掌握相反数的定义和特点。
六、有关有理数的大小比较题有理数的大小比较是初中数学的重要知识点之一。
解决这类问题时，需要注意正负数的性质，掌握比较大小的规则和方法。
七、含字母的有理数大小的比较含字母的有理数大小的比较是代数中的常见问题之一。
解决这类问题时，需要理解代数式的意义和性质，掌握代数式的化简和变形方法，并且要注意分类讨论的思想方法。
八、有理数的乘除混合运算有理数的乘除混合运算是代数中的常见问题之一。
解决这类问题时，需要掌握乘除运算法则和运算顺序，注意正负数的乘除运算特点。
九、有理数的乘方运算有理数的乘方运算是代数中的重要知识点之一。
解决这类问题时，需要理解乘方的意义和性质，掌握乘方运算的规则和方法。
同时需要注意乘方运算的优先级高于加减乘除运算。
初一有理数 题型总结
初一有理数题型总结
初一有理数的题型总结主要包括以下几种：
1.数的认识：包括正数、负数、0、有理数、无理数的概念和性质，
以及它们在数轴上的表示方法。
2.数的运算：包括加减乘除、乘方、开方等基本运算，以及运算律
（如交换律、结合律、分配律等）的应用。
3.绝对值与相反数：了解绝对值与相反数的概念，能够熟练地求一
个数的绝对值和相反数。
4.有理数的混合运算：包括有理数的加减乘除、乘方、开方等基本
运算的综合应用，以及解决与有理数运算有关的实际问题。
5.应用题：包括行程问题、工程问题、利润问题等与有理数相关的
问题，能够运用有理数的知识解决实际问题。
6.实数：了解无理数的概念和性质，能够进行实数的运算，并解决
与实数运算有关的实际问题。
7.代数式：了解代数式的基本概念，能够进行简单的代数式运算和
变形，并解决与代数式相关的实际问题。
8.方程与不等式：了解方程和不等式的概念和性质，能够解一元一
次方程和一元一次不等式，并解决与方程和不等式相关的实际问题。
9.图形与几何：了解图形的概念和性质，能够进行简单的几何计算
和证明，并解决与图形和几何相关的实际问题。
在初一有理数的题型总结中，以上内容是较为常见的题型和知识点，但具体题型可能因教材版本和学校教学要求而有所不同。
因此，在学习的过程中，要全面掌握知识点，灵活运用知识解决实际问题。
有理数经典题型汇编
有理数经典题型汇编一、填空题1、 数的相反数大于它本身； 的倒数等于它本身.2、a 为有理数,且|a|=-a,则a 是 .3、绝对值等于它本身的数是 ；绝对值小于5且大于2的整456789。
=+++2m cd m ba __________。
15、若1=a a，则a _______0，若1-=a a，则a _______0。
（填：“ ”或“ ”） 16、已知每辆汽车要装4个轮胎，则51只轮胎至多能装配 辆汽车。
17. 规定运算：a ☆b=(a ＋b)(a －b),那么（－2）☆（－3）=_________18、某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有“质量为(25±0.1)kg、(25±0.2)kg、(25±0.3)kg”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多能相差 kg；19、17．已知|x| = 3 ，|y| = 4 ，则|x－y| 的值是_________20、在数轴上，与表示数－1的点的距离是2的点表示的数是_________二、选择题1、下列个组数中，数值相等的是………………………………………………（）A、2333322222（A3. 在）（A4A5A.2-6A7、把Aa=0，则一定有（）8、若bA、a=0，b≠0B、b=0，a≠0C、a=0或b=0D、a=b=09.已知a，b是有理数，|ab|=－ab（ab≠0），|a＋b|=|a|－b用数轴上的点来表示a，b下列正确的是( )10、已知｜ab ｜=－ab ≠0 且｜a ｜=｜b ｜，则下列式子中运算结果不正确．．．的是（ ）．A 、a+b=0B 、011=+ba C 、022=+b a D 、033=+b a11、已知不为零的a,b 两数互为相反数，则下列各数不是互为相反数的是（ ）（A ）5 a 与5 b. (B)a 3与b 3. (C)a 1与b 1. (D)a 2与b 2.1213( A 14.A ．15.有和，A 1、（ （4）（7）—34 ， （8）()34-＝ ， （9）()34--＝ 。
有理数(压轴必刷30题8种题型专项训练)—2023-2024学年七年级数学上册(人教版)(解析版)
有理数（压轴必刷30题8种题型专项训练）一．正数和负数（共1小题）1．（2022秋•江都区期中）“十一”国庆期间，俄罗斯特技飞行队在黄山湖公园特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表： 高度变化记作 上升4.4km4.4km 下降3.2km﹣3.2km 上升1.1km+1.1km 下降1.5km ﹣1.5km（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？【分析】（1）根据表格列出算式，计算即可得到结果；（2）求出表格中数据绝对值之和，再乘以2即可得到结果．【解答】解：（1）4.4﹣3.2+1.1﹣1.5＝0.8（千米），答：这架飞机比起飞点高了0.8千米；（2）|4.4|+|﹣3.2|+|+1.1|+|﹣1.5|＝10.2（千米）10.2×2＝20.4升．答：一共消耗了20.4升燃油．【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，正数和负数，弄清题意是解本题的关键．二．有理数（共1小题） 2．（2022秋•浏阳市期中）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a ，b ，c 满足abc ＞0，求的值．【解决问题】解：由题意，得a ，b ，c 三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．z①a ，b ，c 都是正数，即a ＞0，b ＞0，c ＞0时，则；②当a ，b ，c 中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a ＞0，b ＜0，c ＜0，则．综上所述，值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a ，b ，c 满足abc ＜0，求的值； （2）若a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且，求的值．【分析】（1）仿照题目给出的思路和方法，解决（1）即可；（2）根据已知等式，利用绝对值的代数意义判断出a ，b ，c 中负数有2个，正数有1个，判断出abc 的正负，原式利用绝对值的代数意义化简计算即可．【解答】解：（1）∵abc ＜0，∴a ，b ，c 都是负数或其中一个为负数，另两个为正数，①当a ，b ，c 都是负数，即a ＜0，b ＜0，c ＜0时，则：＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； ②a ，b ，c 有一个为负数，另两个为正数时，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，则＝++＝﹣1+1+1＝1． （2）∵a ，b ，c 为三个不为0的有理数，且，∴a ，b ，c 中负数有2个，正数有1个，∴abc ＞0，∴＝＝1． 【点评】本题主要考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法．能不重不漏的分类，会确定字母的范围和字母的值是关键．三．数轴（共11小题）3．（2022秋•阳新县校级期末）已知在数轴上A ，B 两点对应数分别为﹣4，20．（1）若P 点为线段AB 的中点，求P 点对应的数．（2）若点A、点B同时分别以2个单位长度/秒的速度相向运动，点M（M点在原点）同时以4个单位长度/秒的速度向右运动．①几秒后点M到点A、点B的距离相等？求此时M对应的数．②是否存在M点，使3MA＝2MB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用中点坐标计算方法直接得出答案即可；（2）①画出图形，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，分别表示出AM和BM的长度，建立方程求得答案即可；②利用（2）中的AM和BM的长度，分两种情况：M在AB之间，A在BM之间，结合3MA＝2MB建立方程求得答案即可．【解答】解：（1）P点表示的数是＝8；（2）①如图，设t秒后点M到点A、点B的距离相等，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，则2t+4＝20﹣6t，z解得t＝2，M表示2×4＝8．A、B重合时，MA＝BM，此时t＝6，此时M表示24．②如图①，AM＝4t﹣（﹣4+2t）＝2t+4，BM＝20﹣2t﹣4t＝20﹣6t，∵3MA＝2MB，∴3（2t+4）＝2（20﹣6t），∴t＝，∴点M表示×4＝；z 如图②，AM ＝4t ﹣（﹣4+2t ）＝2t+4，BM ＝2t+4t ﹣20＝6t ﹣20，∵3MA ＝2MB ，∴3（2t+4）＝2（6t ﹣20），∴t ＝，∴点M 表示×4＝． 【点评】此题考查数轴，一元一次方程的实际运用，利用图形，得出数量关系是解决问题的关键．4．（2022秋•鲤城区校级期末）如图，数轴上点A 、C 对应的数分别为a 、c ，且a 、c 满足|a +4|+（c ﹣1）2＝0．，点B 对应的数为﹣3，（1）求a 、c 的值；（2）点A ，B 沿数轴同时出发向右匀速运动，点A 速度为2个单位长度/秒，点B 速度为1个单位长度/秒，若运动时间为t 秒，运动过程中，当A ，B 两点到原点O 的距离相等时，求t 的值；（3）在（2）的条件下，若点B 运动到点C 处后立即以原速返回，到达自己的出发点后停止运动，点A 运动至点C 处后又以原速返回，到达自己的出发点后又折返向点C 运动，当点B 停止运动时，点A 随之停止运动，在此运动过程中，A ，B 两点同时到达的点在数轴上表示的数是 ．（说明：直接在横线上写出答案，答案不唯一，不解、错解均不得分，少解、漏解酌情给分）【分析】（1）根据非负数的性质列式求解即可得到a 、c 的值；（2）求出AB ，再根据到原点距离相等时，分两种情况：①点A 、B 重合，②点A 在原点的右边，点B 在原点的左边，列出方程求解即可；（3）由（2）可知A ，B 两点第一次同时到达的点为﹣2，A ，B 两点第二次同时到达的点，是在A 点到达C 点返回与B 点相遇的点，A ，B 两点第三次同时到达的点，是在A 点返回到出发点后又折返向点C 运动，与B 点运动到点C 处后返回的相遇点．【解答】解：（1）∵|a+4|+（c ﹣1）2＝0，且|a+4|≥0，+（c ﹣1）2≥0，∴a+4＝0，c ﹣1＝0，∴a ＝﹣4，c ＝1；（2）由（1）可知A点表示的数为﹣4，C点表示的数为1，∵点B对应的数为﹣3，∴AB＝1，由A，B两点到原点O的距离相等，分两种情况：①点A、B重合，②点A在原点的右边，点B在原点的左边①当点A、B重合时，A、B均在原点的左边，此时A点运动的距离等于B点运动的距离+1，即：2t＝t+1，解得：t＝1；②当点A在原点的右边，点B在原点的左边时，A、B两点表示的数互为相反数，即：（2t﹣4）+（﹣3+t）＝0，解得：t＝，综上所述当t＝1或t＝时，A，B两点到原点O的距离相等；（3）由（2）可知A，B两点第一次同时到达的点，在数轴上表示的数为：﹣2；A，B两点第二次同时到达的点，A点从﹣2到达C点（C点表示1）时，用时1.5秒，此时B点运动1.5个单位长度，到达﹣2+1.5＝﹣0.5的位置，A、B之间相距1.5个单位长度，经过1.5÷（1+2）＝0.5秒，A、B相遇，此时A、B两点均在原点，即A，B两点第二次同时到达的点在数轴上表示的数为：0；A，B两点第三次同时到达的点，在第二次相遇后，B到C点用时1秒，A点到出发点（表示﹣4的点）用时2秒，此时B点有到达原点，A、B两点再一次相遇用时4÷（2+1）＝秒，此时A、B两点均在数轴上表示的数为﹣．综上所述，在此运动过程中，A，B两点同时到达的点在数轴上表示的数是﹣2，0，﹣．故答案为：﹣2，0，﹣．【点评】此题考查了数轴的有关知识，解题的关键是：借助数轴分析A，B两点同时到达的点．5．（2022秋•新城区期中）一辆货车从仓库0出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5个销售地点分别为A，B，C，D，E，最后回到仓库0．货车行驶的记录（单位：千米）如下：+1，+3，﹣6，﹣1，﹣2，+5．请问：（1）请以仓库0为原点，向东为正方向，选择适当的单位长度，画出数轴，并标出A，B，C，D，E的位置；（2）试求出该货车共行驶了多少千米？（3）如果货车运送的水果以100千克为标准重量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，则运往A，B，C，D，E五个地点的水果重量可记为：+50，﹣15，+25，﹣10，﹣15，则该货车运送的水果总重量是多少千克？【分析】（1）根据数轴的三要素画出数轴，并根据题意在数轴上表示出A、B、C、D、E的位置；（2）求出行驶记录的数据的绝对值的和即可；（3）根据有理数的加法进行计算即可．【解答】解：（1如图所示：取1个单位长度表示1千米，；（2）1+3+|﹣6|+|﹣1|+|﹣2|+5＝18，答：该货车共行驶了18千米；（3）100×5+50﹣15+25﹣10﹣15＝535（千克），答：货车运送的水果总重量是535千克．z【点评】本题考查了正数和负数和数轴，掌握数轴的画法，掌握正负数所表示的意义是解决问题的关键．6．（2022秋•法库县期中）如图在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a、b满足|a+2|+|b﹣4|＝0；（1）点A表示的数为 ；点B表示的数为 ；（2）若在原点O处放一挡板，一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒），①当t＝1时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；当t＝3时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【分析】（1）利用绝对值的非负性即可确定出a，b即可；（2）①根据运动确定出运动的单位数，即可得出结论．②根据（I）0＜t≤2，（Ⅱ）t＞2，根据甲、乙两小球到原点的距离相等列出关于t的方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵|a+2|+|b﹣4|＝0；∴a＝﹣2，b＝4，∴点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4，故答案为：﹣2，4；（2）①当t＝1时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球1秒钟向左运动1个单位，此时，甲小球到原点的距离＝3，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球1秒钟向左运动2个单位，此时，乙小球到原点的距离＝4﹣2＝2，故答案为：3，2；当t＝3时，∵一小球甲从点A处以1个单位/秒的速度向左运动，∴甲小球3秒钟向左运动3个单位，此时，甲小球到原点的距离＝5，∵一小球乙从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴乙小球2秒钟向左运动2个单位，此时，刚好碰到挡板，改变方向向右运动，再向右运动1秒钟，运动2个单位，∴乙小球到原点的距离＝2．②当0＜t≤2时，得t+2＝4﹣2t，解得t＝；当t＞2时，得t+2＝2t﹣4，解得t＝6．故当t＝秒或t＝6秒时，甲乙两小球到原点的距离相等．故答案为：5，2．【点评】此题主要考查了数轴，点的运动特点，解本题的关键是抓住运动特点确定出结论．7．（2022秋•宜兴市期中）已知数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，且（a﹣1）2+|b+2|＝0．（1）求a，b的值；（2）点C在数轴上表示的数是c，且与A、B两点的距离和为11，求c值；（3）小蜗牛甲以1个单位长度/s的速度从点B出发向其左边6个单位长度外的食物爬去，3s后位于点A 的小蜗牛乙收到它的信号，以2个单位长度/s的速度也迅速爬向食物，小蜗牛甲到达后背着食物立即返回，与小蜗牛乙在数轴上D点相遇，则点D表示的有理数是什么？从出发至此时，小蜗牛甲共用去多少时间？【分析】（1）根据几个非负数的和为0的性质得到a﹣1＝0，b+2＝0，求出a、b的值；（2）分类讨论：点C在点B的左边时或点C在点A的右边，利用数轴上两点间的距离表示方法得到关于c 的方程，解方程求出c的值即可；（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，根据题意得到t+2t＝1﹣（﹣2）﹣（﹣6）+（6﹣1×3），解方程得t＝4，点D表示的有理数是1﹣2×4，小蜗牛甲共用的时间为3+4．【解答】解：（1）根据题意得a﹣1＝0，b+2＝0，解得a＝1，b＝﹣2．（2）①当点C在点B的左边时，1﹣c+（﹣2﹣c）＝11，解得c＝﹣6；②当点C在点A的右边时，c﹣1+c﹣（﹣2）＝11，解得c＝5；（3）设小蜗牛乙收到信号后经过t秒和小蜗牛甲相遇，根据题意得：t+2t＝1﹣（﹣2）﹣（﹣6）+（6﹣1×3），∴t＝4，∴1﹣2×4＝﹣7，3+4＝7．答：点D表示的有理数是﹣7，小蜗牛甲共用去7秒．【点评】本题考查了数轴的三要素：正方向、原点和单位长度．也考查了几个非负数的和为0的性质以及数轴上两点间的距离．8．（2022秋•天河区校级期中）如图，数轴上有A、B、C三个点，A、B、C对应的数分别是a、b、c，且满足|a+24|+|b+10|+（c﹣10）2＝0，动点P从A出发，以每秒1个单位的速度向终点C运动，设运动时间为t秒．z（1）求a 、b 、c 的值；（2）若点P 到A 点的距离是点P 到B 点的距离的2倍，求点P 对应的数；（3）当点P 运动到B 点时，点Q 从点A 出发，以每秒3个单位的速度向C 点运动，Q 点到达C 点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A ．在点Q 开始运动后第几秒时，P 、Q 两点之间的距离为4？请说明理由．【分析】（1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得a+24＝0，b+10＝0，c ﹣10＝0，解可得a 、b 、c 的值；（2）分两种情况讨论可求点P 的对应的数；（3）分类讨论：当P 点在Q 点的右侧，且Q 点还没追上P 点时；当P 在Q 点左侧时，且Q 点追上P 点后；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点左侧时；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点右侧时，根据两点间的距离是4，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵|a+24|+|b+10|+（c ﹣10）2＝0∴a+24＝0，b+10＝0，c ﹣10＝0解得a ＝﹣24，b ＝﹣10，c ＝10（2）﹣10﹣（﹣24）＝14，①点P 在AB 之间，AP ＝14×＝， ﹣24+＝﹣，点P 的对应的数是﹣； ②点P 在AB 的延长线上，AP ＝14×2＝28，﹣24+28＝4，点P 的对应的数是4；（3）设在点Q 开始运动后第a 秒时，P 、Q 两点之间的距离为4，当P 点在Q 点的右侧，且Q 点还没追上P 点时，3a+4＝14+a ，解得a ＝5；当P 在Q 点左侧时，且Q 点追上P 点后，3a ﹣4＝14+a ，解得a ＝9；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点左侧时，14+a+4+3a ﹣34＝34，a ＝12.5；当Q 点到达C 点后，当P 点在Q 点右侧时，14+a ﹣4+3a ﹣34＝34，解得a ＝14.5，综上所述：当Q点开始运动后第5、9、12.5、14.5秒时，P、Q两点之间的距离为4．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题．9．（2022秋•临平区月考）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣20，B点对应的数为100．（1）请写出与A、B两点距离相等的点M所对应的数；（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，你知道C点对应的数是多少吗？（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？【分析】（1）根据中点坐标公式即可求解；（2）此题是相遇问题，先求出相遇所需的时间，再求出点Q走的路程，根据左减右加的原则，可求出﹣20向右运动到相遇地点所对应的数；（3）此题是追及问题，分相遇前两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，相遇后两只蚂蚁间的距离为20个单位长度，列出算式求解即可．z【解答】解：（1）M点对应的数是（﹣20+100）÷2＝40；（2）A，B之间的距离为120，它们的相遇时间是120÷（6+4）＝12（秒），即相同时间Q点运动路程为：12×4＝48（个单位），即从数﹣20向右运动48个单位到数28；（3）相遇前：（100+20﹣20）÷（6﹣4）＝50（秒），相遇后：（100+20+20）÷（6﹣4）＝70（秒）．故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．【点评】此题考查的是数轴上点的运动，还有相遇问题与追及问题．注意用到了路程＝速度×时间．10．（2022秋•南安市月考）点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且到A的距离是点C到B的距离3倍，那么我们就称点C是{A，B}的奇点．例如，如图1，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1．表示0的点C到点A的距离是3，到点B的距离是1，那么点C是{A，B}的奇点；又如，表示﹣2的点D到点A的距离是1，到点B的距离是3，那么点D就不是{A，B}的奇点，但点D是{B，A}的奇点．如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣3，点N所表示的数为5．（1）数所表示的点是{M，N}的奇点；数所表示的点是{N，M}的奇点；（2）如图3，A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30．现有一动点P从点B出发向左运动，到达点A停止．P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点？【分析】（1）根据定义发现：奇点表示的数到{ M，N}中，前面的点M是到后面的数N的距离的3倍，从而z得出结论；根据定义发现：奇点表示的数到{N，M}中，前面的点N是到后面的数M的距离的3倍，从而得出结论；（2）点A到点B的距离为80，由奇点的定义可知，分2种情况讨论：①P是{A，B}的奇点；②P是{B，A}的奇点．【解答】解：（1）5﹣（﹣3）＝8，8÷（3+1）＝2，5﹣2＝3；﹣3+2＝﹣1．故数3所表示的点是{ M，N}的奇点；数﹣1所表示的点是{N，M}的奇点．故答案为：3；﹣1；（2）∵A、B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣50，点B所表示的数为30，∴AB＝30﹣（﹣50）＝80．分2种情况：①P是{A，B}的奇点，PA＝3PB，∴PB＝20，P点表示的数为10；②P是{B，A}的奇点，PB＝3PA，∴PB＝60，P点表示的数为﹣30；故P点运动到数轴上的10或﹣30的位置时，P、A和B中恰有一个点为其余两点的奇点．【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A 的距离是到后面的数B的距离的3倍，列式可得结果．11．（2022秋•魏都区校级月考）操作探究：已知在纸面上有一数轴（如图所示），操作一：（1）折叠纸面，使表示的1点与﹣1表示的点重合，则﹣3表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数 表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间距离为11，（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少．【分析】（1）1与﹣1重合，可以发现1与﹣1互为相反数，因此﹣3表示的点与3表示的点重合；（2）①﹣1表示的点与3表示的点重合，则折痕点为1，因此5表示的点与数﹣3表示的点重合；z②由①知折痕点为1，且A、B两点之间距离为11，则A表示1﹣5.5＝﹣4.5，B点表示1+5.5＝6.5．【解答】解：（1）∵1与﹣1重合，∴折痕点为原点，∴﹣3表示的点与3表示的点重合．故答案为：3．（2）①∵由表示﹣1的点与表示3的点重合，∴可确定折痕点是表示1的点，∴5表示的点与数﹣3表示的点重合．故答案为：﹣3．②由题意可得，A、B两点距离折痕点的距离为11÷2＝5.5，∵折痕点是表示1的点，∴A、B两点表示的数分别是﹣4.5，6.5．【点评】题目考查了数轴上点的对称，通过点的对称，发现对称点的规律，题目设计新颖，难易程度适中，适合课后训练．12．（2022秋•槐荫区校级月考）如图，已知数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，点C是AB 的中点，动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为x秒（x＞0）．（1）当x＝ 秒时，点P到达点A．（2）运动过程中点P表示的数是 （用含x的代数式表示）；（3）当P，C之间的距离为2个单位长度时，求x的值．【分析】（1）直接得出AB的长，进而利用P点运动速度得出答案；（2）根据题意得出P点运动的距离减去4即可得出答案；（3）利用当点P运动到点C左侧2个单位长度时，当点P运动到点C右侧2个单位长度时，分别得出答案．【解答】解：（1）∵数轴上的点A表示的数为6，点B表示的数为﹣4，∴AB＝10，∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，z∴运动时间为10÷2＝5（秒），故答案为：5；（2）∵动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，∴运动过程中点P表示的数是：2x﹣4；故答案为：2x﹣4；（3）点C表示的数为：[6+（﹣4）]÷2＝1，当点P运动到点C左侧2个单位长度时，2x﹣4＝1﹣2解得：x＝1.5，当点P运动到点C右侧2个单位长度时，2x﹣4＝1+2解得：x＝3.5综上所述，x＝1.5或3.5．【点评】此题主要考查了数轴，正确分类讨论得出PC的长是解题关键．13．（2022秋•和平区校级期中）数轴上点A，C对应的数分别是a，c，且a，c满足：|a+6|+（c﹣1）2＝0，点B对应的数是﹣2．（1）填空：a＝ ，c＝ ；在数轴上描出点A，B，C；（2）若点M在数轴上对应的数为m，且满足|m﹣1|+|m+6|＝15，则m＝ ；（3）若A，B两点同时沿数轴正方向匀速运动，点A的速度为每秒2个单位长度，点B的速度为每秒1个单位长度，在运动过程中，点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍时，点A对应的数是多少？【分析】（1）根据非负数的性质得出a、c的值，再在数轴上描点即可得；（2）分m＜﹣6、﹣6≤m≤1、m＞1三种情况去绝对值符号，再解所得方程可得；（3）设运动时间为t，则点A表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为﹣2+t，根据点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍列出方程|﹣6+2t﹣1|＝3|﹣2+t﹣1|，解之可得．【解答】解：（1）∵|a+6|+（c﹣1）2＝0，∴a+6＝0且c﹣1＝0，z解得：a＝﹣6、c＝1，如图所示：，故答案为：﹣6、1；（2）若m＜﹣6，则1﹣m﹣m﹣6＝15，解得：m＝﹣10；若﹣6≤m≤1时，1﹣m+m+6＝5≠15，此情况不存在；若m＞1，则m﹣1+m+6＝15，解得：m＝5；综上，m＝﹣10或5，故答案为：﹣10或5；（3）设t秒时，点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，则此时点A表示的数为﹣6+2t，点B表示的数为﹣2+t，则|﹣6+2t﹣1|＝3|﹣2+t﹣1|，整理，得：|2t﹣7|＝3|t﹣3|，∴2t﹣7＝3（t﹣3）或2t﹣7＝﹣3（t﹣3），解得：t＝2或t＝，∴点A表示的数为﹣2或，答：点A到点C的距离是点B到点C距离的3倍，点A对应的数为﹣2或．【点评】本题考查了一元一次方程的应用与数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．四．绝对值（共6小题）14．（2022秋•包河区期末）若不等式|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥a对一切数x都成立，则a的取值范围是 ．【分析】数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．【解答】解：数形结合．绝对值的几何意义：|x﹣y|表示数轴上两点x，y之间的距离．画数轴易知，|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|表示x 到﹣3，﹣1，1，2这四个点的距离之和．令y＝|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|，x＝﹣3时，y＝11，x＝﹣1时，y＝7，x＝1时，y＝7，x＝2时，y＝9，可以观察知：当﹣1≤x≤1时，由于四点分列在x两边，恒有y＝7，当﹣3≤x＜﹣1时，7＜y≤11，当x＜﹣3时，y＞11，当1≤x＜2时，7≤y＜9，当x≥2时，y≥9，综合以上：y≥7 所以：a≤7即|x﹣2|+|x+3|+|x﹣1|+|x+1|≥7对一切实数x恒成立．从而a的取值范围为a≤7．【点评】本题考查绝对值，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．15．（2022秋•深圳校级期中）已知a，b，c，d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字不小于高位上的数字，当|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值时，这个四位数的最小值是．【分析】依题意a≤b≤c≤d 原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，所以d＝9，a＝1，即可求解．【解答】解：依题意a≤b≤c≤d，则原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，则d＝9，a＝1 四位数要取最小值且可以重复，故答案为1119．【点评】此题考查了绝对值的性质，同时要根据低位上的数字不小于高位上的数字进行逻辑推理．16．（2022秋•定远县期中）同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索（1）求|5﹣（﹣2）|＝ ；（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是 ．（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．【分析】（1）5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离为5﹣（﹣2）＝7；（2）在数轴上，找到﹣1008和1005的中点坐标即可求解；（3）利用数轴解决：把|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，然后根据数轴可写出满足条件的整数x；（4）把丨x﹣3丨+丨x﹣6丨理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，求出表示3和6的两点之间的距离即可．【解答】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝7；（2）（﹣1008+1005）÷2＝﹣1.5；（3）式子|x+5|+|x﹣2|＝7理解为：在数轴上，某点到﹣5所对应的点的距离和到2所对应的点的距离之和为7，所以满足条件的整数x可为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；（4）有，最小值为﹣3﹣（﹣6）＝3．故答案为：7；﹣1.5；﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2．【点评】此题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对的关键是确定绝对值里面的数的正负性．17．（2022秋•南城县校级月考）先阅读，后探究相关的问题【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．（1）如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为和，B，C两点间的距离是；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为；如果|AB|＝3，那么x为；（3）若点A表示的整数为x，则当x为时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是．【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离；（2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到一点距离相等的点有两个；z（3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案；（4）根据线段上的点到这两点的距离最小，可得范围．【解答】解：（1）如图，点B为所求点．B点表示的数﹣2.5，C点表示的数1，BC的长度是1﹣（﹣2.5）＝3.5；（2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|，如果|AB|＝3，那么x为﹣4，2；（3）若点A表示的整数为x，则当x为﹣1，时，|x+4|与|x﹣2|的值相等；（4）要使代数式|x+5|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣5≤x≤2，故答案为：﹣2.5，1，3.5；|x﹣（﹣1）|，﹣4，2；﹣1；﹣5≤x≤2．【点评】本题考查了绝对值，由数轴上点的关系，得出到一点距离相等的点有两个，到两点相等的点是这两点的中点，到两点距离和最小的点是这条线段上的点．18．（2022秋•隆昌市校级月考）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探索：（1）求|4﹣（﹣2）|＝ ．（2）若|x﹣2|＝5，则x＝（3）同理|x﹣4|+|x+2|＝6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|＝6，这样的整数是 ．【分析】（1）根据4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，可得|4﹣（﹣2）|＝6．（2）根据|x﹣2|＝5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，可得x＝﹣3或7．（3）因为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，所以使得|x﹣4|+|x+2|＝6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），据此求出这样的整数有哪些即可．【解答】解：（1）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，∴|4﹣（﹣2）|＝6．（2）|x﹣2|＝5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，∵﹣3或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，∴若|x﹣2|＝5，则x＝﹣3或7．（3）∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，∴使得|x﹣4|+|x+2|＝6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），∴这样的整数是﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．故答案为：6；﹣3或7；﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．【点评】（1）此题主要考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．（2）解答此题的关键是要明确：|x﹣a|既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离．19．（2022秋•花垣县月考）同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：。
七年级数学有理数加减运算不同题型
七年级数学有理数加减运算不同题型一、正数加减正数题型一：同号数相加例题：计算3+7。
解题方法：将题目中的两个数相加，即3+7=10。
题型二：同号数相减例题：计算12−5。
解题方法：将被减数减去减数，即12−5=7。
二、负数加减负数题型一：同号数相加例题：计算(−4)+(−8)。
解题方法：将题目中的两个负数相加，即(−4)+(−8)=−12。
题型二：同号数相减例题：计算(−9)−(−3)。
解题方法：将被减数减去减数，即(−9)−(−3)=−6。
三、正数加负数题型一：正数加负数例题：计算5+(−3)。
解题方法：将正数与负数相加，即5+(−3)=2。
题型二：正数减负数例题：计算10−(−6)。
解题方法：将被减数的相反数加上减数，即10−(−6)=10+6=16。
四、负数加正数题型一：负数加正数例题：计算(−7)+2。
解题方法：将负数与正数相加，即(−7)+2=−5。
题型二：负数减正数例题：计算(−12)−4。
解题方法：将被减数减去正数，即(−12)−4=−16。
五、有理数加减混合题型题型一：多个正数求和例题：计算5+3+2+6。
解题方法：将所有正数相加，即5+3+2+6=16。
题型二：多个有理数求和例题：计算(−9)+2+7+(−5)。
解题方法：将所有有理数相加，即(−9)+2+7+(−5)=−5。
题型三：多个有理数求差例题：计算10−(−4)+3−(−7)。
解题方法：根据运算顺序，先计算减法10−(−4)和3−(−7)，再将两个结果相加，即10−(−4)+3−(−7)=17。
这些题型涵盖了七年级数学中有理数加减运算的不同情况。
通过这些例题，学生可以熟悉和掌握有理数的加减运算规则，并通过练习提高计算能力。
在实际生活中，有理数的加减运算能够帮助我们解决许多实际问题，如计算温度变化、海拔高度等。
因此，掌握有理数加减运算是数学学习的重要一步。
希望同学们通过不断练习，掌握有理数加减运算的方法，提高数学能力。
专题01 有理数及其运算六大题型(解析版)
专题01 有理数及其运算六大题型
相反意义的量
【变式训练】
1．（广东省云浮市罗定第一中学2022~2023学年七年级下学期期末数学试题）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上20℃记作20+℃，则零下10℃可记作（ ）A ．10-℃
B ．0℃
C ．10℃
D ．20-℃
【答案】A
【分析】根据正负数表示相反意义的量进行作答即可．
【详解】解：由题意可知，零下10℃可记作10-℃，
故选：A ．
【点睛】本题考查了正负数表示相反意义的量．解题的关键在于理解题意．
求一个数的相反数、绝对值【变式训练】
科学记数法
【变式训练】
有理数比较大小
【变式训练】
【变式训练】
利用数轴比较大小
A ．a b
>B ．0a c ->【变式训练】
1．（2023上·广东东莞·七年级统考期末）有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错
①a b <；②a b >；③0
b a ->
A．2B．1
故选：A
【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，绝对值的性质，熟练掌握有理数的乘方运算，绝对值的性质是解题的关键．
二、填空题
三、解答题。
有理数的大小比较(4种题型)(解析版)(浙教版)
有理数的大小比较（4种题型）【知识梳理】1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ．2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：要点：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b＜0，a ＜b ；反之成立． 4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若，则；若，则；若，则；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．【考点剖析】 题型一：借助数轴直接比较数的大小例1.画出数轴，在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接：＋5，－3.5，12，－112，4，0.解析：画出数轴，在数轴上标出表示各数的点，然后根据右边的数总比左边的数大进行比较． 解：如图所示：1a b >a b >1a b =a b =1ab<a b <因为在数轴上右边的数大于左边的数，所以－3.5＜－112＜0＜12＜4＜＋5.方法总结：此类问题是考查有理数的意义以及数轴的有关知识，正确地画出数轴是解决本题的关键． 【变式1】在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． 5，1-22，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3）【答案】数轴见详解，1(3)2(1)452−+<−<−−<−<．【分析】将各数表示在数轴上，再用“＜”连接即可． 【详解】解：如图所示：∴用“＜”连接各数为：1(3)2(1)452−+<−<−−<−<；【点睛】此题考查了有理数大小比较，以及数轴，将各数正确表示在数轴上是解本题的关键．【变式2】如图，数轴上依次有四个点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的数互为相反数，则在这四个点中表示的数绝对值最大的点是（ ）A ．MB ．PC ．ND ．Q【答案】D【分析】先利用相反数的定义确定原点为线段MN 的中点，则可判定点Q 到原点的距离最大，然后根据绝对值的定义可判定点Q 表示的数的绝对值最大． 【详解】解：∵点M ，N 表示的数互为相反数， ∴原点为线段MN 的中点， ∴点Q 到原点的距离最大， ∴点Q 表示的数的绝对值最大． 故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．也考查了相反数． 【变式3】（1）在数轴把下列各数表示出来，并比较它们的相反数的大小：－3，0，－13，52，0.25（2）比较下列各组数的大小①35-与34− ②| 5.8|−−与( 5.8)−−【答案】（1）数轴见详解；10.2503523−<−<<<；（2）①3354−>−；② 5.8(5.8)−−<−− 【分析】（1）由数轴的定义画出数轴并标出各数，然后写出它们的相反数并比较大小； （2）由比较大小的法则进行比较，即可得到答案． 【详解】解：（1）数轴如图所示：由题意，3−的相反数是3；0的相反数是0；13−的相反数是13；52的相反数是52−；0.25的相反数是0.25−；∴10.2503523−<−<<<；（2）①∵3354<， ∴3354−>−； ②| 5.8| 5.8−−=−，( 5.8) 5.8−−=， ∴5.8(5.8)−−<−−；【点睛】本题考查了数轴的定义，比较有理数的大小，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．题型二：借助数轴间接比较数的大小例2.已知有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示．比较a 、b 、－a 、－b 的大小，正确的是( )A ．a ＜b ＜－a ＜－bB ．b ＜－a ＜－b ＜aC ．－a ＜a ＜b ＜－bD ．－b ＜a ＜－a ＜b解析：由图可得a ＜0＜b ，且|a|＜|b|，则有：－b ＜a ＜－a ＜b.故选D.方法总结：解答本题的关键是结合数轴和绝对值的相关知识，从数轴上获取信息，判断数的大小． 【变式1】下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（ ） A ．2− B ．1.3C ．0.4−D ．0.6【答案】C【分析】离原点最近，即求这四个点对应的实数绝对值的最小值即可．【详解】解：22,1.3 1.3,0.40.4,0.60.6−==−==又2 1.30.60.4>>>∴离原点最近的是0.4−，故选：C ．【点睛】本题考查有理数的大小比较、有理数与数轴的对应关系、绝对值等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．【变式2】已知0a <，0ab <，且a b >，那么将a ，b ，a −，b −按照由大到小的顺序排列正确的是（ ） A ．a b b a −>−>> B ．b a a b >>−>− C ．b a a b >−>>− D ．a b b a −>>−>【答案】D【分析】根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答． 【详解】解：∵a ＜0，ab ＜0， ∴b ＞0， 又∵|a|＞|b|，∴设a=-2，b=1，则-a=2，-b=-1 则-2＜-1＜1＜2． 故-a ＞b ＞-b ＞a ． 故选：D ．【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，比较简单，解答此题的关键是根据条件设出符合条件的数值，再比较大小．题型三：运用法则直接比较大小 例3.比较下列各对数的大小：①－1与－0.01； ②2−−与0； ③－0.3与31−； ④⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−91与101−−。
有理数经典题型十题
有理数经典题型十题一、题型一：有理数的概念判断1. 下列数中：-2，0，(1)/(3)，0.5，π，-0.3，-(5)/(2)，其中有理数有（）A. 6个B. 5个C. 4个D. 3个解析：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
-2是整数，0是整数，(1)/(3)是分数，0.5=(1)/(2)是分数，-0.3 =-(3)/(10)是分数，-(5)/(2)是分数，而π是无理数。
所以有理数有-2，0，(1)/(3)，0.5，-0.3，-(5)/(2)共6个，答案是A。
二、题型二：有理数的大小比较2. 比较-3，-(5)/(2)，0，1的大小，并用“<”连接。
解析：先把-(5)/(2)=- 2.5。
负数小于0和正数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
| - 3|=3，|-(5)/(2)| = 2.5，因为3>2.5，所以-3<-(5)/(2)。
所以-3<-(5)/(2)<0<1。
三、题型三：有理数的加法运算3. 计算(-2)+3+(-5)解析：begin{align}(-2)+3+(-5) =(-2)+3 - 5 =1-5 =-4end{align}四、题型四：有理数的减法运算4. 计算5 - (-3)解析：减去一个数等于加上这个数的相反数，所以5-(-3)=5 + 3=8。
五、题型五：有理数的乘法运算5. 计算(-2)×(-3)×(-4)解析：begin{align}(-2)×(-3)×(-4) =6×(-4) = - 24end{align}几个不为0的数相乘，负因数的个数为奇数时，积为负。
这里有3个因数，其中负因数有2个，负因数个数为偶数，先计算(-2)×(-3) = 6，再乘以-4得到-24。
六、题型六：有理数的除法运算6. 计算(-12)÷(-3)解析：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
初一数学有理数经典题型
初一数学有理数经典题型
初一数学的有理数经典题型主要包括以下几种：
1. 加减乘除运算：涉及有理数的加法、减法、乘法和除法运算，考察对有理数四则运算规则的掌握。
2. 数轴上的有理数表示：给出一个有理数，要求在数轴上标出对应的点，考察对有理数在数轴上的位置的理解。
3. 有理数的大小比较：给出两个或多个有理数，要求按照大小顺序进行排列或比较大小，考察对有理数大小关系的认识。
4. 有理数的绝对值：给出一个有理数，要求计算其绝对值，考察对有理数绝对值概念的理解和计算能力。
5. 有理数的约分与化简：给出一个有理数，要求将其约分为最简形式，或给出一个分数，要求将其化简为最简形式，考察对有理数约分与化简规则的应用。
6. 有理数的混合运算：综合运用加减乘除等运算进行计算，可能涉及括号运算、优先级规则等。
7. 有理数的应用问题：通过实际问题，要求运用有理数的知识进行解决，如钱的计算、温度的变化等。
以上只是初一数学有理数的经典题型之一，具体题目难易程度和要求会因学校、教材和教学进度的不同而有所差异。
为了更好地应对考试，建议认真学习教材内容，多做习题和模拟试题，提高解题能力和应用能力。
第1章有理数(易错必刷30题14种题型专项训练)(原卷版)
第1章 有理数（易错必刷30题14种题型专项训练）➢ 正数和负数 ➢ 有理数 ➢ 数轴 ➢ 相反数 ➢ 绝对值 ➢ 有理数大小比较 ➢ 有理数的减法➢ 有理数的乘法 ➢ 有理数的乘方 ➢ 非负数的性质：偶次方 ➢ 有理数的混合运算 ➢ 科学记数法—表示较大的数 ➢ 实数大小比较 ➢ 规律型：数字的变化类一．正数和负数（共4小题）1．（2022秋•霍林郭勒市校级月考）如果向东走6km ，记作+6km ，那么﹣3km 表示（ ） A ．向西走3kmB ．向北走3kmC ．向南走3kmD ．向东走3km2．（2022秋•桂林月考）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作 ．3．（2022秋•惠济区期中）为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O 地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km ） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 ﹣4+7﹣9+8+6﹣5﹣1（1）求收工时距O 地多远？ （2）在第几次记录时距O 地最远？（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？4．（2022秋•福清市校级月考）超市购进8筐白菜，以每筐25kg 为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣2，﹣2，﹣2.5． （1）这8筐白菜总计超过或不足多少千克？（2）这8筐白菜一共多少千克？（3）超市计划这8筐白菜按每千克3元销售，为促销超市决定打九折销售，求这8筐白菜现价比原价便宜了多少钱？二．有理数（共1小题）5．（2022秋•旌阳区校级月考）请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：﹣2，﹣20%，﹣0.13，，10，，21，6.2，4.7，﹣8．正整数：{ …}；负整数：{ …}；正分数：{ …}；负分数：{ …}．三．数轴（共3小题）6．（2022秋•隆昌市校级月考）数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（）A．1B．5C．1或﹣5D．1或57．（2022秋•雁塔区校级月考）有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a|﹣|a﹣b|+|c﹣a|+|b﹣c|的值是（）A．2c﹣3a B．a C．2c﹣a D．2c﹣2b8．（2022秋•广信区月考）数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简：|a+c|+|b﹣c|﹣|c﹣b|．四．相反数（共1小题）9．（2022秋•齐河县校级月考）的相反数是（）A．2B．﹣2C．D．五．绝对值（共1小题）10．（2022秋•启东市校级月考）已知|m|＝4，|n|＝6，且m+n＝|m+n|，则m﹣n的值是（）A．﹣10B．﹣2C．﹣2或﹣10D．2六．有理数大小比较（共3小题）11．（2022秋•连山区月考）在有理数0，2，﹣1，﹣2中，最小的数是（）A．0B．2C．﹣1D．﹣212．（2022秋•高明区月考）写出一个比﹣3大的负整数为．13．（2022秋•阿图什市校级月考）在数轴上把下列各数表示出来，并用小于符号从小到大排列出来﹣2，0，|﹣4|，0.5，﹣5，﹣（﹣3）．七．有理数的减法（共1小题）14．（2022秋•扬州月考）对于含绝对值的算式，在有些情况下，可以不需要计算出结果也能将绝对值符号去掉，例如：|7﹣6|＝7﹣6；|6﹣7|＝7﹣6；＝；＝．观察上述式子的特征，解答下列问题：（1）把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不用写出计算结果）：①|23﹣47|＝；②＝；（2）当a＞b时，|a﹣b|＝a﹣b；当a＜b时，|a﹣b|＝；（3）计算：．八．有理数的乘法（共1小题）15．（2022秋•南安市月考）如果两数之和是负数，且它们的积是负数，那么（）A．这两个数都是负数B．这两个数都是正数C．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且负数的绝对值较大D．这两个数中，一个是正数，一个是负数，且正数的绝对值较大九．有理数的乘方（共2小题）16．（2021秋•香洲区校级月考）下列说法正确的是（）A．倒数等于它本身的数只有1B．平方等于它本身的数只有1C．立方等于它本身的数只有1D．正数的绝对值是它本身17．（2022秋•桂林月考）下列各数中，互为相反数的是（）A．|﹣1|和1B．﹣3和﹣（﹣2）C．（﹣2）2和﹣22D．﹣3和一十．非负数的性质：偶次方（共1小题）18．（2022春•南岗区校级月考）已知|a﹣2|+（b+3）2＝0，则b a＝．一十一．有理数的混合运算（共8小题）19．（2022秋•怀柔区校级月考）如果a＞0，那么下面各式计算结果最大的是（）A．B．C．D．20．（2022秋•西城区校级月考）（1）﹣5+1﹣（﹣2）；（2）（﹣）2+8×（﹣）；（3）（+﹣）÷（﹣）；（4）[﹣33×（）2﹣|﹣1|]×（﹣）．21．（2022秋•朝阳区校级月考）计算（能用简便方法的用简便方法）：（1）（﹣3）+12+（﹣17）+（+8）；（2）；（3）；（4）．22．（2022•越秀区校级开学）39×+148×+48×．23．（2022•越秀区校级开学）．24．（2022秋•宛城区校级月考）某水果店以每箱200元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重10千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下表：与标准重量的差值（单位：千克）﹣0.5﹣0.2500.250.30.5箱数1246n2（1）求n的值及这20箱樱桃的总重量：（2）若水果店打算以每千克25元销售这批樱桃，若全部售出可获利多少元；（3）实际上该水果店第一天以（2）中的价格只销售了这批樱桃的60%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以原零售价的70%全部售出，水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元．25．（2022秋•朝阳区校级月考）对于任意的非零有理数a，b，定义：，解决以下问题：（1）计算（﹣3）*4；（2）计算（﹣6）*2*（﹣3）；（3）请你举例验证一下交换律即a*b＝b*a在这一运算中是否成立．（举一个例子即可）．26．（2022秋•庐江县期中）小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．问题：（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时，；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，．（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]；（3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．一十二．科学记数法—表示较大的数（共2小题）27．（2022秋•沈丘县月考）2021年末河南省常住人口9883万人，其中城镇常住人口5579万人，乡村常住人口4304万人；常住人口城镇化率为56.45%，比上年末提高1.02个百分点，数据“9883万”用科学记数法可以表示为（）A．9.883×107B．9.883×108C．98.83×107D．98.83×10628．（2022秋•茅箭区校级月考）据国家航天局消息，航天科技集团所研制的天问一号探测器由长征五号运载火箭发射，并成功着陆于火星预选着陆区，距离地球320000000千米．其中320000000用科学记数法表示为．一十三．实数大小比较（共1小题）29．（2021秋•松山区期中）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列；（2）若数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的数是多少？（3）在（2）的条件下，若数a与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是多少？一十四．规律型：数字的变化类（共1小题）30．（2020秋•新市区校级月考）阅读下面的解答过程．计算：．解：因为，所以原式＝＝＝＝．根据以上解题方法计算：（1）＝﹣（n为正整数）；（2）．（3）．。
专题1.10 有理数应用的七大经典题型(人教版)(原卷版)
专题1.10 有理数应用的七大经典题型【人教版】【题型1 走向问题】 (1)【题型2 质量问题】 (2)【题型3 销售问题】 (3)【题型4 生产问题】 (5)【题型5 游客问题】 (6)【题型6 股票问题】 (8)【题型7 比赛问题】 (9)【题型1走向问题】【例1】（2023春·河北邢台·七年级校联考期末）为了有效遏制酒后驾车行为，区交警大队的一辆警车在城区的一条东西走向的路上巡逻，如果规定向东为正，向西为负，在某段时间内，这辆警车从出发点开始所走的路程为：+6，−5，+2，−8，+3，−4，+7，−3．（单位：千米）(1)巡逻结束时，这辆警车在出发点的哪个方向？距离出发点多远？(2)如果这辆警车每千米耗油0.2升，在这段时间内巡逻共耗油多少升？【变式1-1】（2023春·吉林长春·七年级长春外国语学校校考期末）登山队5名队员以一号高地为基地，开始向海拔距一号高地500米的顶峰冲击．设他们向上走为正，行程记录如下（单位：米）：+150，−32，−43，+205，−30，+25，−18，−5，+130，−27，+75．(1)他们最终有没有登上顶峰？如果没有，那么他们离顶峰还差多少米？(2)登山时，5名队员全程都使用了氧气，且每人每米要消耗氧气0.04升．他们共使用了氧气多少升？【变式1-2】（2023春·江西萍乡·七年级统考期中）某牛奶厂在一条东西走向的大街上设有O，A，B，C四家特约经销店．A店位于O店的西面3千米处；B店位于O店的东面1千米处，C店在O店的东面2千米处．(1)请以O为原点，向东的方向为正方向，1个单位长度表示1千米，画一条数轴，你能在数轴上分别表示出O，A，B，C的位置吗？(2)牛奶厂的送货车从O店出发，要把一车牛奶分别送到A，B，C三家经销店，那么送货车走的最短路程是多少千米？【变式1-3】（2023春·湖北荆门·七年级校考期中）某辆出租车一天下午以公园为出发地在东西方向行驶，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：公里）依先后次序记录如下：+9、−3、−5、+6、−7、+10、−6、−4、+4、−3、+7(1)将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公园的什么方向?离公园多远?(2)若出租车每公里耗油量为0.1升，则这辆出租车这天下午耗油多少升?(3)规定出租车的收费标准是4公里内付7元，超过4公里的部分每公里加付1元（不足1公里按1公里算），那么该出租车司机在前四位客人中共收了多少钱?【题型2质量问题】【例2】（2023春·山东济南·七年级统考期末）某校七年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了9筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重后记录如下：回答下面问题：(1)这9筐白萝卜，最接近25千克的这筐白萝卜实际质量为千克．(2)以每筐25千克为标准，这9筐白萝卜总计超过或不足多少千克？(3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这9筐白萝卜可得多少元？【变式2-1】（2023春·河南周口·七年级校联考期中）萧红中学排球队购进一批新的排球，并对新的排球进行了质量检测。
七年级数学有理数经典题型总结
七年级数学有理数经典题型总结题型一：有理数大小比较1、有理数在数轴上表示的点如图所示，则的大小关系是？2、若＞0，＜0，＞，用“＜”号连接，，，－。
3、如图，数轴上A ，B 两点分别对应有理数a ，b ，则下列结论正确的是( )．A.ab>0 B ．a －b>0 C ．a ＋b>0 D ．|a |－|b |>04、若＞0，＜0，＞，用“＜”号连接，，－，－。
题型二：相反数（相反的两数相加等于0，相反数与数轴的联系）1、a,b 互为相反数是什么意思？a 与-2互为相反数，求a 的值。
2、如果和互为相反数，且，那么的倒数是（ ）3、a 与a+2互为相反数，求a 的值。
4、a 与a+2互为相反数，b 与2b+6互为相反数，求2a+3b 。
题型三：倒数（互为倒数的两数的积为1）1、a,b 互为倒数是什么意思？2、2的倒数是多少？题型四：相反数倒数结合1、已知数在数轴上对应的点在原点两侧，并且到原点的位置相等；数是互为倒数，那么的值等于（ ）2、若a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，则3c ＋3d －9ab ＝__________3、若a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，则│5c ＋3d －9ab+2d │＝__________ 题型五：距离专题（注意：a 与点b 的距离为│a-b │）1、数轴上表示有理数－3.5与4.5两点的距离是多少？2、-3与其相反数的距离是多少？3、-5到原点的距离是多少？4、在数轴上，与表示－1的点距离为3的点所表示的数是______m n n m m n n m m n n m m n n m b a ,y x ,xy b a 2||2-+5、已知数轴上表示－2和－101的两个点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离等于 6数轴上与这个点的距离等于6个单位长度的点所表示的数是题型六：数轴上的点的平移规律1、如图所示，在数轴上将表示－1的点向右移动3个单位后，对应点表示的数是_________.2、已知点A 在数轴上对应的有理数是a ，将点A 向左移动4个单位，再向右移动一个单位与点B 重合，点B 对应的有理数是25，求a3、某检修小组乘汽车沿公路检修路线,约定前进为正,后退为负.某天自A 地出发到收工时所走路线(单位:km)为+10,-3,+4,+2,-8,+13,-2,+12,+8,+5.（1）问收工时距A 地多远?（2）若每千米蚝油0.2L,问从A 地出发到收工共蚝油多少升?题型七：非负数的应用（｜a ｜≥0，即非负数;化简｜a+b ｜类式子时关键看a+b 的符号;如果｜a ｜＝b ，则a=±b ） 1、已知│x │=3，│y │=7，而xy<0，则x+y 的值是2、已知，，且＞0，则=3、│3-a │+│4-b │=0,求a+b 的值3、已知，则=_________。
七年级数学有理数经典题型
七年级数学有理数经典题型
有理数是初中数学中的一个重要概念，它包括正整数、负整数和零。
在七年级的数学课程中，有理数的学习是非常重要的。
下面是一些七年级数学有理数的经典题型。
1. 有理数的加减法：这类题目主要考察学生对有理数加减法运算规则的掌握。
例如，计算-3+5和-7-(-4)。
2. 有理数的乘除法：这类题目主要考察学生对有理数乘除法运算规则的掌握。
例如，计算-3×(-5)和(-2)÷4。
3. 有理数的混合运算：这类题目主要考察学生对有理数混合运算顺序的掌握。
例如，计算2/3+(-1/2)×(-6)。
4. 有理数的应用题：这类题目主要考察学生运用有理数解决实际问题的能力。
例如，小明有5元钱，他买了一本书花了2元，还剩下多少钱？
以上这些题型都是七年级数学有理数学习中的经典题型。
通过熟练掌握这些题型，同学们可以更好地掌握有理数的概念和运算方法，为以后更深入地学习数学打下坚实的基础。
有理数章节常见拓展题型
有理数章节常见拓展题型题型一：新定义问题1、历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号f（x）来表示．例如f（x）=x2+3x-5，把x=某数时多项式的值用f（某数）来表示．例如x=-1时多项式x2+3x-5的值记为f（-1）=（-1）2+3×（-1）-5=-7．（1）已知g（x）=-2x2-3x+1，分别求出g（-1）和g（-2）值．）=a，求a的值．（2）已知h（x）=ax3+2x2-x-14，h（122、把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，…，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，2020﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，2020}就是一个黄金集合，（1）若一个黄金集合中最大的一个元素为4016，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案，否则说明理由；（2）若一个黄金集合中只有一个元素a，请求出a的值。
（3）若一个黄金集合所有元素之和为整数M，且23200＜M＜24000，则该集合共有几个元素？说明你的理由。
3、一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：.我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为（）.（1）若（）是“相伴数对”，求b的值；（2）写出一个“相伴数对”（），其中且；（3）若（）是“相伴数对”，求代数式的值.4、若一个两位数恰好等于它各位数字之和的4倍，这样的两位数我们称之为“巧数”，试写出所有的巧数。
题型二：解绝对值方程1、有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解．例如：解方程 x+2|x|=3当x≥0时，方程可化为：x+2x=3解得x=1，符合题意．当x<0时，方程可化为：x-2x=3解得x=-3，符合题意．所以，原方程的解为：x=1或x=-3．仿照上面解法，解方程：x+3|x-1|=7．2、化简：|2x−1|+|x+2|，并求出这个方程等于3时x的值。
专题 有理数的乘除法计算题(8大题型提分练)(解析版)
七年级上册数学《第2章有理数及其运算》专题 有理数的乘除法计算题题型一 两个数有理数相乘1．计算：（1）﹣0.5×（﹣6）；（2）23×（−56）； （3）2021×（﹣1）；（4）（﹣2020）×0．【分析】根据有理数的乘法法则解答即可．【解答】解：（1）﹣0.5×（﹣6）＝3；（2）23×（−56）=−59； （3）2021×（﹣1）＝﹣2021；（4）（﹣2020）×0＝0．【点评】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答．2．计算：（1）（﹣5）×4；（2）1×（﹣7）；（3）(−25)×(−14)；（4）312×(−213)．【分析】（1）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果；（2）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果；（3）原式利用同号两数相乘的法则计算即可得到结果；（4）原式利用异号两数相乘的法则计算即可得到结果．【解答】解：（1）（﹣5）×4＝﹣20；（2）1×（﹣7）＝﹣7；（3）(−25)×(−14)=110；（4）312×(−213)=−72×73=−496． 【点评】本题考查了有理数的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．计算：（1）（﹣3.75）×（﹣135）； （2）（﹣10.8）×527．【分析】根据有理数乘法法则进行计算便可．【解答】解：（1）（﹣3.75）×（﹣135） =+154×85＝6；（2）（﹣10.8）×527=−10810×527＝﹣2．【点评】本题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．4．计算：（1）12×（−14）； （2）（﹣2）×（﹣6）；（3）（−12023）×0；（4）（﹣2.5）×213； （5）123×（﹣115）． 【分析】利用有理数的乘法法则计算各题即可．【解答】解：（1）原式=−18；（2）原式＝12；（3）原式＝0；（4）原式=−52×73=−356； （5）原式=53×（−65）＝﹣2．【点评】本题考查有理数的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．5．计算：（1）0×（﹣112）； （2）（﹣0.25）×（−45）；（3）85×（−154）； （4）（﹣416）×0.2．【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：（1）0×（﹣112）＝0； （2）（﹣0.25）×（−45）=14×45=15；（3）85×（−154） =−85×154＝﹣6；（4）（﹣416）×0.2 =−256×15=−56．【点评】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键．6．计算：（1）14×（﹣8）； （2）−12×（−13）；（3）﹣4×112； （4）（﹣0.6）×（﹣113）． 【分析】根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．【解答】解：（1）14×（﹣8） =−14×8＝﹣2；（2）−12×（−13）=12×13=16；（3）﹣4×112 =−4×32＝﹣6；（4）（﹣0.6）×（﹣113） =610×43=45．【点评】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． 题型二 多个有理数相乘7．计算：（1）（﹣2）×（−12）×（﹣3）；（2）（﹣0.1）×1000×（﹣0.01）．【分析】根据有理数的乘法法则进行计算便可．【解答】解：（1）（﹣2）×（−12）×（﹣3）＝﹣2×12×3＝﹣3；（2）（﹣0.1）×1000×（﹣0.01）＝+0.1×1000×0.01＝1．【点评】本题主要考查了有理数的乘法，关键是熟记有理数乘法法则．8．计算：（1）8×（﹣134）×（﹣4）×（﹣2）； （2）（﹣3）×56×（−45）×（−14）；（3）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7）．【分析】根据有理数乘法的运算法则计算即可．【解答】解：（1）8×（﹣134）×（﹣4）×（﹣2） ＝﹣8×74×4×2＝﹣112；（2）（﹣3）×56×（−45）×（−14）＝﹣3×56×45×14=−12；（3）（﹣2）×5×（﹣5）×（﹣2）×（﹣7）＝（2×5）×（5×2）×7＝700．【点评】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法的运算法则．有理数的乘法：（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．9．计算：（1）3×（﹣1）×（−13）．（2）﹣1.2×5×（﹣3）×（﹣4）．（3）（−512）×415×（−32）×（﹣6）．（4）54×（﹣1.2）×（−19）． 【分析】根据有理数的乘法法则进行计算便可．【解答】解：（1）3×（﹣1）×（−13）＝+3×1×13＝1；（2）﹣1.2×5×（﹣3）×（﹣4）＝﹣1.2×5×3×4＝﹣72；（3）（−512）×415×（−32）×（﹣6）=−512×415×32×6＝﹣1；（4）54×（﹣1.2）×（−19）=+54×1210×19=16． 【点评】本题主要考查了有理数的乘法，熟记运算法则与是解题的关键．10．计算下列各式：（1）（﹣8）×9×（﹣1.25）×（−19）；（2）（﹣5）×6×（−45）×14；（3）（﹣0.25）×（−79）×4×（﹣18）；（4）﹣3×56×（−95）×（−14）；（5）37×（−45）×712×58； （6）（﹣8）×（−43）×（﹣1.25）×（54）．【分析】（1）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案；（2）先确定符号，再用约分即可得答案；（3）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案；（4）先确定符号，再用约分即可得答案；（5）先确定符号，再用约分即可得答案；（6）先确定符号，把小数化为分数，再用约分即可得答案；【解答】解：（1）原式＝﹣8×9×54×19＝﹣10；（2）原式＝5×6×45×14＝6；（3）原式=−14×79×4×18＝﹣14；（4）原式＝﹣3×56×95×14=−98；（5）原式=−37×45×712×58=−18；（6）原式＝﹣8×43×54×54=−503．【点评】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法法则，注意计算时先确定积的符号．11．计算：（1）（﹣18）×（﹣49）×0×（﹣13）×（﹣49）；（2）﹣5×（﹣8）×（﹣7）×（﹣0.125）；（3）（−14）×（﹣123）×（﹣4）×35；（4）−35×（−56）×（﹣6）．【分析】根据有理数乘法法则进行计算便可．【解答】解：（1）（﹣18）×（﹣49）×0×（﹣13）×（﹣49）＝0；（2）﹣5×（﹣8）×（﹣7）×（﹣0.125）＝+5×8×7×0.125＝35；（3）（−14）×（﹣123）×（﹣4）×35=−14×53×4×35＝﹣1；（4）−35×（−56）×（﹣6）=−35×56×6＝﹣3．【点评】本题主要考查了有理数的乘法，解题关键是熟记有理数的乘法法则：几个有理数相乘，其中有个因数为0，其积为0；几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数个数决定，负因数个数为奇数积为负，负因数个数为偶数积为正，并把绝对值相乘．12．计算：（1）（﹣8）×（﹣12）×（﹣0.125）×（−13）×（﹣0.001）；（2）（﹣127）×57÷（−34）×213÷（−57）+（﹣2.5）÷（﹣0.25）×25． 【分析】（1）原式变形后，约分即可得到结果；（2）原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝﹣8×12×18×13×11000=−0.004；（2）原式=−97×57×（−43）×73×（−75）+52×4×25=−4+4＝0．【点评】此题考查了有理数的除法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型三 利用乘法运算律简便计算13．（2023秋•泰州月考）用简便方法计算：（1）191516×(−8)； （2）（﹣99）×999．【分析】（1）原式变形后，利用乘法分配律计算即可求出值；（2）先将题目中的式子变形，然后根据乘法分配律可以解答本题．【解答】解：（1）原式＝（20−116）×（﹣8） ＝20×（﹣8）−116×（﹣8） ＝﹣160+12＝﹣15912； （2）原式＝（1﹣100）×999＝999﹣100×999＝999﹣99900＝﹣98901．【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．14．用简便方法计算：（1）（﹣2）×（﹣7）×（+5）×（−17）；（2）﹣0.125×7×（﹣5）×8．【分析】根据有理数的乘法法则计算便可．【解答】解：（1）（﹣2）×（﹣7）×（+5）×（−17）=−2×7×5×17＝﹣10；（2）原式=18×7×5×8＝7×5×（18×8） ＝35．【点评】本题主要考查了有理数乘法，熟记乘法法则是解题的关键．15．用简便方法计算：（1）（﹣7.5）×（+25）×（﹣0.04）；（2）（﹣4120）×1.25×（﹣8）．【分析】（1）根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算；（2）运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可．【解答】解：（1）（﹣7.5）×（+25）×（﹣0.04）＝+7.5×（25×0.04）＝7.5×1＝7.5；（2）（﹣4120）×1.25×（﹣8）＝+4120×（1.25×8）＝（4+120）×10＝40+12＝4012． 【点评】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律．16．（2024春•南岗区校级期中）用简便方法计算：（1）24×(34−156+78)；（2）4.27×(−611)−8.73×611−2×(−611)． 【分析】（1）运用乘法分配律进行简算；（2）运用乘法分配律进行简算．【解答】解：（1）24×(34−156+78)＝24×34−24×116+24×78＝18﹣44+21＝﹣5；（2）4.27×(−611)−8.73×611−2×(−611)＝﹣4.27×611−8.73×611+2×611=611×（﹣4.27﹣8.73+2） =611×（﹣11） ＝﹣6．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据运算定律进行简便计算．17．（2024春•南岗区校级月考）用简便方法计算：（1）(−65)×(−23)+(−65)×173；（2）−361229×112． 【分析】（1）逆用乘法分配律进行计算即可；（2）除法变乘法，利用乘法分配律进行计算即可．【解答】解：（1）原式=(−65)×(−23+173)=(−65)×(−5)=6；（2）原式=(−36−1229)×112=−36×112−1229×112=−3−129=−3129． 【点评】本题考查有理数的运算，掌握乘法分配律是解题的关键．18．用乘法运算律，将下列各式进行简便计算：（1）（﹣112）×（﹣7）×23； （2）)25.1()541(8)5(-⨯-⨯⨯-（3）（﹣48）×（−34+56−712）； （4）0.7×311−6.6×37−1.1×37+0.7×811． （5）﹣392324×（﹣12） （6）4.61×37−5.39×（−37）+3×（−37）．【分析】（1）利用乘法的交换律与结合律计算；（2）利用乘法的交换律与结合律计算；（3）利用乘法的分配律计算即可；（4）逆用乘法的分配律，以简化运算即可．（5）利用乘法的分配律计算即可；（6）逆用乘法的分配律，以简化运算即可．【解答】解：（1）（﹣112）×（﹣7）×23=(−32)×23×(−7)＝7；（2）（﹣5）×8×（﹣145）×（﹣1.25） =[（-5）×(−95)]×[8×（﹣1.25）] =9×（-10） =90（3）（﹣48）×（−34+56−712）=−48×(−34)−48×56−48×(−712)＝36﹣40+28＝24；（4）0.7×311−6.6×37−1.1×37+0.7×811=0.7×(311+811)+37×(−6.6−1.1)＝0.7﹣3.3＝﹣2.6．（5）原式＝（﹣40+124）×（﹣12）＝﹣40×（﹣12）−124×12＝480−12=47912；（6）原式＝4.61×37+5.39×37−3×37=37×（4.61+5.39﹣3）=37×7＝3．【点评】本题主要考查有理数的运算，关键是使用运算律可使运算简便．题型四两个有理数的除法19．计算：（1）（﹣6.5）÷（﹣0.5）；（2）4÷（﹣2）；（3）0÷（﹣1 000）；（4）（﹣2.5）÷5 8．【分析】（1）先判断出符号，再绝对值相除即可；（2）先判断出符号，再绝对值相除即可；（3）零除以任何一个不为零的数，商为零，（4）先判断出符号，再绝对值相除，既有分数，又有小数，一般把小数化为分数直接约分即可；【解答】解：（1）（﹣6.5）÷（﹣0.5）＝6.5÷0.5＝13；（2）4÷（﹣2）＝﹣4÷2＝﹣2（3）0÷（﹣1 000）＝0；（4）（﹣2.5）÷58=−2.5÷58=−52×85=−4；【点评】此题是有理数的除法，主要考查了有理数除法的法则，进行计算时，先判断符号，再绝对值相除．20．计算：（1）0÷（﹣2022）；（2）（﹣27）÷9；（3）（−43）÷43；（4）−32÷1.5【分析】（1）0除以任何数都为0；（2）根据九九乘法表计算；（3）根据有理数的除法运算进行计算；（4）换算成小数进行计算；【解答】解：（1）0÷（﹣2022）＝0；（2）（﹣27）÷9＝﹣3；（3）（−43）÷43＝﹣1；（4）−32÷1.5＝﹣1；【点评】本题考查了有理数的除法运算，解题关键在于熟知除以一个数等于乘以它的倒数．21．计算：（1）（﹣68）÷（﹣17）；（2）（﹣0.75）÷0.25；（3）（−78）÷（﹣1.75）；（4）312÷（﹣7） 【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案；（3）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案；（4）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）（﹣68）÷（﹣17）＝4；（2）（﹣0.75）÷0.25＝﹣0.75×4＝﹣3；（3）（−78）÷（﹣1.75）=78×47=12；（4）312÷（﹣7）=72×（−17） =−12．【点评】此题主要考查了有理数的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．22．用简便方法计算：99989÷（﹣119）． 【分析】本题属于基础题，考查了对有理数的除法运算法则掌握的程度，一个数除以另一个数，等于乘以它的倒数，再用乘法的分配律来简便计算．【解答】解：99989÷（﹣119） ＝（1000−19）×（−910）＝1000×（−910）−19×（−910）＝﹣900+110＝﹣899910．【点评】解答本题要灵活运用有理数的除法运算法则，一个数除以另一个不为零数，等于乘以它的倒数，用乘法的运算律来计算，较为简单．题型五 多个有理数的除法23．计算：（1）﹣5÷（﹣123）； （2）（−34）÷（−37）÷（﹣116）． 【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用有理数的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣5÷（﹣123） ＝﹣5×(−35)＝3；（2）原式＝（−34）÷（−37）÷（﹣116） ＝（−34）×（−73）×（−67）=−32．【点评】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．24．计算：（1）﹣36÷（﹣113）÷（−32）； （2）15÷（﹣123）÷（−910）． 【分析】直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．【解答】（1）﹣36÷（﹣113）÷（−32） ＝﹣36×（−34）×（−23）＝﹣18；（2）15÷（﹣123）÷（−910） ＝15×（−35）×（−109）＝﹣9×（−109）＝10．【点评】本题考查了有理数的除法的运算，解题关键在于熟知除以一个数等于乘以它的倒数．25．计算：（1）（−47）÷（−314）÷（−23）；（2）（﹣0.65）÷（−57）÷（﹣213）÷（+310）．【分析】根据有理数的乘除法则和混合运算顺序进行计算便可．【解答】解：（1）（−47）×（−143）÷（−23）=−47×143×32 ＝﹣4；（2）（﹣0.65）÷（−57）÷（﹣213）÷（+310）．=−65100×75×37×103＝﹣1.3．【点评】本题主要考查了有理数乘除法，关键是熟记有理数乘除法法则和混合运算顺序．26．计算：（1）﹣3÷（−34）÷（−34）；（2）（﹣12）÷（﹣4）÷（﹣115）； （3）（−23）÷（−87）÷0.25；（4）（﹣212）÷（﹣5）÷（﹣310）．【分析】（1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；（3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案；（4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣3×（−43）×（−43）=−163；（2）原式＝（﹣12）×（−14）×（−56）=−52；（3）原式＝（−23）×（−78）×4=73；（4）原式＝（−52）×（−15）×（−103）=−53．【点评】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．27．计算：（1）（−23）÷（−85）÷（﹣0.25）；（2）（﹣81）÷94÷94÷（﹣16）；（3）（﹣6.5）÷（−12）÷（−25）÷（﹣5）．【分析】应用有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a ÷b ＝a •1b （b ≠0），有理数乘法法则：（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0，（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．进行计算即可得出答案．【解答】解：（1）原式＝（−23）×（−58）×（﹣4）＝﹣（23×58×4）=−53；（2）原式＝（﹣81）×49×49×（−116）＝（﹣16）×（−116） ＝1；（3）（﹣6.5）×（﹣2）÷（−25）÷（﹣5）．原式＝13×（−52）×（−15）＝13×（52×15） ＝13×12=132． 【点评】本题主要考查了有理数乘法及有理数除法，熟练掌握有理数乘法及有理数除法法则进行求解是解决本题的关键．题型六 有理数乘除混合运算28．（2023秋•大兴区期中）计算：（﹣6）×（﹣4）÷（﹣3）×2．【分析】把有理数乘除法统一成有理数乘法进行计算．【解答】解：（﹣6）×（﹣4）÷（﹣3）×2＝﹣24÷3×2＝﹣8×2＝﹣16．【点评】本题考查了有理数的混合运算，关键是熟记有理数混合运算的顺序，运算法则与运算定律．29．(−64)÷223×(−38)÷9．【分析】根据有理数乘除法则把乘除法则统一成乘法进行计算便可．【解答】解：原式＝+64×38×38×19＝1．【点评】本题考查了有理数混合运算，熟记有理数有理数的乘除运算法则是解题的关键．30．（2024春•松江区期末）计算：25÷(−212)×334． 【分析】根据有理数的乘除法法则进行解题即可．【解答】解：原式=25÷（−52）×154=−25×25×154 =−35．【点评】本题考查有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．31．（2024春•杨浦区校级期中）计算：178÷（﹣412+34）×（−34） 【分析】原式先计算括号中的加法运算，再计算乘除运算即可求出值．【解答】解：原式=158÷（154）×（−34）=38． 【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．32．计算：619÷（﹣112）×1924． 【分析】原式利用乘除法则计算即可求出值．【解答】解：原式=−619×23×1924=−16．【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．33．（2023秋•九江期末）计算：15×(−34)+(−15)×32+15÷4．【分析】先把有理数的除法转化为乘法，然后利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答．【解答】解：15×(−34)+(−15)×32+15÷4＝﹣15×34−15×32+15×14＝（−34−32+14）×15＝（﹣2）×15＝﹣30．【点评】本题考查了有理数的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．34．（2023秋•榆树市期中）计算：（﹣54）÷34×43÷（﹣32）．【分析】先确定符号，再把除法化为乘法，根据有理数乘法法则计算．【解答】解：原式＝54×43×43×132＝3．【点评】本题主要考查了有理数的乘法、除法，掌握有理数乘法、除法法则，符号的确定是解题关键．35．（2024春•黄浦区期中）计算：(−412)÷725×(−43)×(−125)．【分析】先把除法运算化为乘法运算，再根据有理数的乘法运算法则计算即可．【解答】解：(−412)÷725×(−43)×(−125)=−92×257×(−43)×(−75)＝﹣30．【点评】本题考查了有理数的乘除，熟练掌握其运算法则是解题的关键．36．计算：（1）（﹣32）÷4×（−1 16）；（2）（−23）×（−85）÷（﹣178）．【分析】根据有理数的乘除法则进行计算便可．【解答】解：（1）（﹣32）÷4×（−1 16）＝+32×14×116=12；（2）（−23）×（−85）÷（﹣178）=−23×85×815=−128225． 【点评】本题考查了有理数乘除法，熟记有理数乘除法则是解题的关键．37．（2024•香坊区校级开学）计算．（1）813÷6+16×413． （2）78÷(1−15÷415)．【分析】（1）先把除法转化成乘法，然后利用乘法运算律求解即可；（2）先计算括号内，然后计算除法即可．【解答】解：（1）813÷6+16×413 =813×16+16×413=(813+413)×16=1213×16=213；（2）78÷(1−15÷415) =78÷(1−15×154)=78÷(1−34) =78÷14 =78×4 =72．【点评】题目主要考查分数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．38．计算：（1）1.25÷（﹣0.5）÷（﹣212）×1 （2）（﹣81）÷（+314）×（−49）÷（﹣1113） 【分析】（1）把小数化为分数，带分数化为假分数，并把除法转化为乘法，然后进行计算即可得解；（2）把带分数化为假分数，除法转化为乘法，然后约分计算即可得解．【解答】解：（1）1.25÷（﹣0.5）÷（﹣212）×1 =54÷（−12）÷（−52）×1 =54×（﹣2）×（−25）×1＝1；（2）（﹣81）÷（+314）×（−49）÷（﹣1113） ＝（﹣81）÷（+134）×（−49）÷（−1413） ＝（﹣81）×413×（−49）×（−1314） ＝﹣1027． 【点评】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，把带分数化为假分数，小数化为分数，除法转化为乘法，可以使计算更加简便．39．（2023秋•秀峰区校级月考）计算：（1）(−81)÷94×49÷(−16)．（2）−5÷(−127)×45×(−214)÷7．【分析】（1）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可；（2）先根据有理数的除法法则计算，再根据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：（1）(−81)÷94×49÷(−16)=(−81)×49×49×(−116)＝1；（2）−5÷(−127)×45×(−214)÷7=−5×(−79)×45×(−94)×17＝﹣1．【点评】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握有理数的乘除法法则是解题的关键．题型七 有理数加减乘除混合运算40．（2023秋•昌邑区校级期末）（−112+13−12）÷（−118）．【分析】根据有理数的除法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数，再根据乘法分配律，可得计算结果．【解答】解：（−112+13−12）÷（−118） ＝（−112+13−12）×（﹣18）=−112×（﹣18）+13×（﹣18）−12×（﹣18） =32−6+9 ＝412．【点评】本题考查了有理数的除法，先把除法变成乘法，再根据乘法分配律相乘，把所得的积相加，注意运算符号．41．计算：24÷（12−13+14−16） 【分析】原式先计算括号中的加减运算，再计算除法运算即可得到结果．【解答】解：原式＝24÷12−8+6−424=24÷14=24×4＝96． 【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．42．（2023春•浦东新区校级期中）−142÷（16−27+23−314）【分析】首先计算括号内的式子，按首先正负数分别计算，然后把结果相加即可计算括号内的式子，最后进行除法计算即可．【解答】解：原式=−142÷（56−714） =−142÷（56−12） =−142÷13=−142×3 =−114．【点评】本题考查了有理数的混合运算，正确确定运算的顺序是关键．43．（2024春•呼兰区校级月考）用简便方法计算：（1）(−178)−(−214)+(−414)−(+318)；（2）−24×(−12+34−13)−|−312|．【分析】（1）根据加法的交换律即可解决问题；（2）利用有理数的乘法分配律即可得答案．【解答】解：（1）(−178)−(−214)+(−414)−(+318)=(−178)+(−318)+214−414＝﹣5﹣2＝﹣7；（2）−24×(−12+34−13)−|−312|=12−18+8−312=−32．【点评】本题考查了有理数的四则运算，掌握有理数的乘法的分配律是解答本题的关键．44．计算：（1）75×(13−12)×37÷54； （2）(56−37+13−914)÷(−142)．【分析】（1）先计算括号中的运算，以及除法化为乘法运算，约分即可得到结果；（2）原式先将除法运算化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式=75×（−16）×37×45=−225；（2）原式＝（56−37+13−914）×（﹣42）＝﹣35+18﹣14+27＝﹣4．【点评】此题考查了有理数的乘法与除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．45．计算．（1）（﹣1155）÷[（﹣11）×（+3）×（﹣5）]；（2）375÷(−23)÷(−32)（3）(−1313)÷(−5)+(−623)÷(−5)．【分析】（1）原式先计算括号中的运算，再计算除法运算即可得到结果；（2）原式从左到右依次计算即可得到结果；（3）原式先计算除法运算，再计算加减运算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝﹣1155÷165＝﹣7；（2）原式＝375×32×23=375；（3）原式=83+43=4．【点评】此题考查了有理数的除法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．46．计算：（1）（+1.25）÷（﹣0.5）×（−8 5）；（2）﹣2.5÷（−516）×（−18）÷（−14）．（3）（﹣45）÷（﹣9）＋4×（﹣34）（4）2111 ()() 32305⎡⎤-÷⨯-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）、（2）根据有理数的乘除法则计算即可．（3）先计算乘除法，再计算加法即可.（4）利用有理数的加减乘除混合运算法则计算求解即可.【解答】解：（1）（+1.25）÷（﹣0.5）×（−8 5）=+125100×105×85＝4；（2）﹣2.5÷（−516）×（−18）÷（−14）=+2510×165×18×4＝4．(3)（﹣45）÷（﹣9）＋4×（﹣34） =5-3=2．（4）2111()()32305⎡⎤-÷⨯-⎢⎥⎣⎦ 4311=()()66305⎡⎤-÷⨯-⎢⎥⎣⎦ 1130()65⎡⎤=⨯⨯-⎢⎥⎣⎦ 15()5=⨯- 1=-【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，熟记有理数的运算顺序是解题的关键．47．（2023春•松北区校级月考）计算：（1）8+（−14）﹣5﹣（﹣0.25）；（2）﹣36×（−23+56−712−89）；（3）﹣2+2÷(−12)×2；（4）﹣3.5×(16−0.5)×37÷12．【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式利用乘法分配律计算即可求出值；（3）原式先算乘除运算，再算加减运算即可求出值；（4）原式先算括号中的减法运算，再算乘除运算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝8﹣0.25﹣5+0.25＝（8﹣5）+（﹣0.25+0.25）＝3+0＝3；（2）原式＝﹣36×（−23）﹣36×56−36×（−712）﹣36×（−89）＝24﹣30+21+32＝﹣6+21+32＝15+32＝47；（3）原式＝﹣2﹣2×2×2＝﹣2﹣8＝﹣10；（4）原式=−72×（−13）×37×2＝1．【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型八 利用“倒数法”解决问题48．阅读下列材料：计算：112÷（13−14+112） 解：原式的倒数为（13−14+112）÷112 ＝（13−14+112）×12 =13×12−14×12+112×12＝2故原式=12请仿照上述方法计算：（−142）÷（16−314+23−27） 【分析】根据有理数乘法的分配律求出除法的倒数，即可解答．【解答】解：原式的倒数为（16−314+23−27）÷（−142） ＝（16−314+23−27）×（﹣42） ＝（﹣42）×16−（﹣42）×314+（﹣42）×23−（﹣42）×27＝﹣7+9﹣28+12＝﹣14，故原式=−114． 【点评】本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是利用乘法的分配律．49．阅读材料，回答问题．计算：（−115）÷（15−13）． 解：方法一：原式＝（−115）÷（315−515）＝（−115）÷（−215）=12． 方法二：原式的倒数为：（15−13）÷（−115）＝（15−13）×（﹣15）=15×（﹣15）−13×（﹣15）＝﹣3+5＝2故原式=12．用适当的方法计算：（−130）÷（23−110+16−25）． 【分析】求出原式的倒数，即可确定出原式的值．【解答】解：∵（23−110+16−25）÷（−130） ＝（23−110+16−25）×（﹣30） ＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10，∴原式=−110．【点评】此题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．50．（2023秋•望花区期末）我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可以运用乘法分配律很容易去解决．（1）计算：(13−16+14)×12；（2）由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算过程120÷(14−15+12) 解：原式的倒数为：(14−15+12)÷120=(14−15+12)×20=14×20−15×20+12×20 ＝5﹣4+10＝11．故原式=111请你根据对小明的方法的理解，计算(−124)÷(14−512+38)． 【分析】利用题干中的方法，先计算原式的倒数，再利用倒数的意义得到原式的值．【解答】解：原式的倒数为：（14−512+38）÷（−124） ＝（14−512+38）×（﹣24） =14×(−24)−512×（﹣24）+38×（﹣24） ＝﹣6+10﹣9＝﹣15+10＝﹣5，∴原式=−15．【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是阅读型题目，正确利用题干中的方法解答是解题的关键．。
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2.1数怎么不够用了1.负数代表相反意义的量例：（1）下列有正数和负数表示相反意义的量，其中正确的是（ ）A. 一天凌晨的气温是—50C ，中午比凌晨上升100C ，所以中午的气温是+100CB. 如果生产成本增加12%，记作+12%，那么—12%表示生产成本降低12%C. 如果+5.2米表示比海平面高5.2米，那么—6米表示比海平面低—6米D. 如果收入增加10元记作+10元，那么—8表示支出减少8元（2）某粮店出售三种品牌的面粉，袋上分别标有质量为（50±0.1）kg 、（50±0.2）kg 、（50±0.3）kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相 差 . 2.有理数的定义例：把下列各数填在相应的大括号内-7，3.5，12，3.3333,0，3π，+29,1.362109…,-1.15，-0.1010010001… 非负数集合{ }；整数集合{ }；负分数集合{ }；有理数集合{ }。
2.2.数轴与相反数1.（1）数轴上到-2点的距离是3的点是（2）在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a2.-3的相反数是 ，3-π的相反数是3.a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，a+b-cd=4.比较大小45- 89- 5.（1） 有理数a 对应点在数轴上的位置如下图所示，则a ，-a ，1的大小关系是。
（2）有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示： 则（ ）0-11abA ．a + b ＜0B ．a + b ＞0;C ．a －b = 0D ．a －b ＞02.3绝对值1.若∣a ∣=-a ，则a ，若∣a ∣=a ，则a若a 为有理数，且1,a b c a b c ++==1，则a 0，若a ∠0，则1,a b c a b c++== 2. ∣3-π∣=若用A 、B 、C 分别表示有理数a ，b ，c ，O 为原点，如下图所示：化简||||||2a c b c b a c ---+++= 。
3.绝对值为2的数是 ，绝对值小于6的所有整数是5.若∣a ∣=3,∣b ∣=5, 且ab>0，则∣a+b ∣=若|X|=2，则X=______,若|X —3|=0，则X=______，|X —3|=6，则X=______若∣a ∣=∣b ∣，则a 与b ，即 。
6. ∣a+2∣+∣b-3∣=0，a+b=2.4-2.7 加减运算1.加减混合运算：先去括号，再把同号的相加，最后异号两数相加例：38+（－22）+（+62）+（－78） （－8）+（－10）+2+（－1）0.5+（－41）－（－2.75）+21 （+4.3）－（－4）+（－2.3）－（+4）2.标准求和某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量分别为：445,448,450,451,453,456（单位：克）则抽样检测的总质量是多少？这批样品的平均质量比标准质量多还是少？3.水位的变化勘察队的技术员要测量A 、B 两处的高度差（A 、B 两处无法直接测量），他首先选择了D 、E 、F 、G 四个中间点，并测得它们的高度差如下表：根据以上数据，可以判断A 、B 之间的高度关系为（ ）。
A 、B 处比A 处高 B 、A 处比B 处高C 、A 、B 两处一样高D 、无法确定4.求位置和耗油量某一出租车一天下午以一中为出发地在东西方向运营，向东走为正，向西走为负，行车里程（单位：㎞）依先后次序记录如下：+9，-3，-5，+4，-8，+6，-3，-6，-4，+10.（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离一中出发点多远？在一中的什么方向？（2）若每千米的价格为1元，司机一个下午的营业额是多少？2.8-2.9有理数的乘除1.倒数等于本身的数 ，-2的倒数是2.乘除混合运算例：－172÷（－165）×183×（－7） －87×（－143）÷（－83）56×（－31－21）÷45 75÷（－252）－75×125－35÷43.乘法的分配率 （74－181+143）×56 （65―43―97）×(-36)（－36）×（94＋65－127） （－43）×（8－34－0.4）25×43－（－25）×21＋25×412.10有理数的乘方运算1.若a 2=4，b 2=9，则a+b= ，.若a 3=8，b 3=-27，则a+b=2.若a 2=b 2 ，则a 与b ，即 。
3.当x= 时，3-（x-5）2有最大值为4.若（a-2）2+（b+4）2=0，则b a =5.混合运算例：－27+2×()23-+（－6）÷()231- －41+（1－0.5）×31×［2×()23-］)61()61(514-÷-⨯-- ()42-÷（-8）－()321-×（-22）有理数一、填空题（每空2分，共38分）1、31-的倒数是____；321的相反数是____. 2、比–3小9的数是____；最小的正整数是____.3、在数轴上，点A 所表示的数为2，那么到点A 的距离等于3个单位长度的点所表示的数是4、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____.5、某旅游景点11月5日的最低气温为 2-，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是____. C6、计算：.______)1()1(101100=-+- 7、平方得412的数是____；立方得–64的数是____. 8、+2与2-是一对相反数，请赋予它实际的意义：___________________。
9、绝对值大于1而小于4的整数有____________，其和为_________。
10、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则 3 (a + b) 3-cd =__________。
11、若0|2|)1(2=++-b a ，则b a +=_________。
12、数轴上表示数5-和表示14-的两点之间的距离是__________。
13、在数5-、 1、 3-、 5、 2-中任取三个数相乘，其中最大的积是___________，最小的积是____________。
14、若m ，n 互为相反数，则│m-1+n │=_________．二、选择题（每小题3分，共21分）15、有理数a 、b 在数轴上的对应的位置如图所示：则（ ）0-11ab A ．a + b ＜0 B ．a + b ＞0; C ．a －b = 0 D ．a －b ＞016、下列各式中正确的是（ ）A ．22)(a a -=B ．33)(a a -=;C ．|| 22a a -=-D ．|| 33a a =17、如果0a b +>，且0ab <，那么（ ）Ａ．0,0a b >> ;Ｂ．0,0a b << ;Ｃ．a 、b 异号;D. a 、b 异号且负数和绝对值较小18、下列代数式中，值一定是正数的是( )A ．x 2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x 2+1 19、算式（-343）×4可以化为（） （A ）-3×4-43×4 （B ）-3×4+3 （C ）-3×4+43×4 （D ）-3×3-3 20、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分．那么小明第四次测验的成绩是…………（）A 、90分B 、75分C 、91分D 、81分21、一家商店一月份把某种商品按进货价提高60％出售，到三月份再声称以8折（80％）大拍卖，那么该商品三月份的价格比进货价………………………………………（）三、计算（每小题5分，共15分）22、)1279543(+--÷361; 23、|97|-÷2)4(31)5132(-⨯--24、322)43(6)12(7311-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡÷-+--四、解答题（共46分）25、已知|a|=7，|b|=3，求a+b 的值。
(7分)26、若x>0，y<0，求32---+-x y y x 的值。
(7分)27、已知a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 绝对值为2，求x n m c b mn --++-2的值(7分)28、现规定一种运算“*”，对于a 、b 两数有：ab a b a b 2*-=,试计算2*)3(-的值。
(7分)29、某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km ）依先后次序记录如下：+9、 -3、 -5、 +4、 -8、 +6、 -3、-6、 -4、 +10。
（1）将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？（2）若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？(8分)30、某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东走100米到聪聪家,再向西走150米到青青家,再向西走200米到刚刚家,请问:(1)聪聪家与刚刚家相距多远?(2)如果把这条人民路看作一条数轴,以向东为正方向,以校门口为原点,请你在这条数轴上标出他们三家与学校的大概位置(数轴上一格表示50米).(3)聪聪家向西210米是体育场，体育场所在点所表示的数是多少?(4)你认为可用什么办法求数轴上两点之间的距离? (10分)。