第七节 空间向量的应用(一) 平行与垂直

第七节 空间向量的应用(一) 平行与垂直

高考概览：1.理解直线的方向向量与平面的法向量；2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；

3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理．

[知识梳理]

1．直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量．

(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量．

2．空间位置关系的向量表示

[辨识巧记]

1．确定平面的法向量的两种方法

(1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定．

(2)待定系数法：取平面的两条相交向量a ，b ，设平面的法向量

为n ＝(x ，y ，z )，由⎩

⎪⎨⎪⎧

n ·a ＝0，n ·b ＝0解方程组求得．

2．方向向量和法向量均不为零向量且不唯一．

[双基自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )

(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( )

(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )

(4)若直线a 的方向向量与平面α的法向量垂直，则a ∥α.( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×

2．(选修2－1P 104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n 1＝(2,3,5)，n 2＝(－3,1，－4)，则( )

A ．α∥β

B ．α⊥β

C ．α，β相交但不垂直

D ．以上均不对

[解析] 不能确定唯一的实数λ，使n 1＝λn 2，所以n 1与n 2不平行，故α与β不平行；n 1·n 2＝－6＋3－20＝－23，故α与β不垂直．所以α与β相交但不垂直．故选C.

[答案] C

3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )

A ．(－1,1,1)

B ．(1，－1,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，－33，－33 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫33，33，－33 [解析] 设n ＝(x ，y ，z )为平面ABC 的法向量，

则⎩⎨⎧ n ·AB →＝0，n ·AC

→＝0，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0， ∴x ＝y ＝z .故选C.

[答案] C

4．(2019·陕西黄陵模拟)若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－

x )，当|AB →|取最小值时，x 的值等于( )

A ．19

B ．－87 C.87 D.1914

[解析] ∵A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，

∴|AB

→|＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2 ＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －872＋57， ∴当|AB →|取最小值时，x ＝87.故选C.

[答案] C

5．(2019·潍坊摸底)已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外

一点，如果AB

→＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论： ①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP

→是平面ABCD 的法向量；④AP

→∥BD →.其中正确的是________． [解析] ∵AB →·AP →＝0，AD →·AP

→＝0， ∴AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确．

又AB

→与AD →不平行， ∴AP

→是平面ABCD 的法向量，则③正确． ∵BD

→＝AD →－AB →＝(2,3,4)，AP →＝(－1,2，－1)， ∴BD

→与AP →不平行，故④错误． [答案] ①②③

考点一 证明平行关系

【例1】

如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.

证明：PQ∥平面BCD.

[证明]证法一：如图，取BD的中点O，

以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz.

由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)．

设点C的坐标为(x0，y0,0)．

因为AQ

→＝3QC →， 所以Q 34x 0，24＋34y 0，12.

因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1)．

又P 为BM 的中点，故P 0,0，12，

所以PQ →＝34x 0，24＋34y 0,0.

又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0,0,1)，

故PQ →·a ＝0.

又PQ ⊄平面BCD ，

所以PQ ∥平面BCD .

证法二：在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，D 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0,0)．

∵CF →＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y,0)，则(x －x 0，y －y 0,0)＝14

(－x 0，2－y 0,0)，

∴⎩⎨⎧

x ＝34x 0，y ＝24＋34y 0，

∴OF →＝34x 0，24＋34y 0,0

又由证法一知PQ →＝34x 0，24＋34y 0,0，

∴OF

→＝PQ →，∴PQ ∥OF .

又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，

∴PQ ∥平面BCD .