北航理论力学王琪

理论力学
上次课的主要内容
§3-1 刚体平面运动的运动学
研究刚体平面运动速度问题的几种方法： 1、基 点 法： v B = v A + v BA
y
ω
y'
vBA
B
vB β B vA vA
2、速度投影法： [v B ]AB = [v A ]AB
v M = v MP = ω × rPM 3、速度瞬心法：
A r0
上式在铅垂轴上投影： aBA cosθ = aB =
t n
上式在水平轴上投影：
t aBA sin
θ
t = aB
u L u
2
A
B
θ
α AB =
t aBA
u = 2 AB L cosθ
2
α BC
t aB u2 = = 2 tan θ BC L
u2 aB = α AB L = L cosθ
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α
ω
vr O ar
a
vr ω= R
u
v &r − ar α =ω &= = R R
v rB = v rO + v rBO v aB = v eB + v rB v aB = v e + v rO + v rBO
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2、求圆盘最高点B的速度
A
vaB = u − vr − ωR = u − 2vr
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§3-1 刚体平面运动的运动学
例：图示机构中，AB杆的A端以速度 u 匀速运动，求图示瞬时
DE杆的角速度。已知该瞬时，AB杆与水平线的夹角为450，套
筒D 位于AB杆的中点，DE杆水平。
B P
va ve
D
解： 动点：套筒D， 动系：AB杆
v a = ve + v r
vr
u
A
E
上式在DP轴上投影可得：
βA
x'
问题： 如何将上述方法推广到研究 刚体平面运动的加速度问题？
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o
x
Ax’y’为平移动系，B为动点
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理论力学
动 动
§3-1 刚体平面运动的运动学
y
三、平面图形上各点的加速度
系：Ax’y’ 平移 点：刚体上的B点
ω
y'
a
t BA
α
x'
B
n a BA
牵连运动：平移 相对运动：圆周运动
ve
u
A
t n ae = aDA + aDA (2)
E
（2）式在AB杆上投影可得：
n ae cos450 = aDAae arae源自（1）式在DP轴上投影可得：
α DE ⇐ aa
aa cos 450 = −ae cos 450 − aC
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§3-1 刚体平面运动的运动学
思考题：已知杆AB上的A点以匀速 u 铅垂运动，圆盘在地面 上纯滚动。试确定当系统运动到图示位置时，圆盘角速度的 转向和角加速度的转向。
t aB = a A + aBA
t aBA = AB ⋅ α
此时加速度瞬心在：….
问题：当平面运动刚体在某瞬时角加速度为零、角 速度不为零时，如何确定加速度瞬心的位置？
n aB = a A + aBA
n aBA = AB ⋅ ω 2
此时加速度瞬心在：….
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理论力学
§3-1 刚体平面运动的运动学
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a rnBO vr O
B
§3-1 刚体平面运动的运动学
a
ar a
t rBO
3、求圆盘最高点B的加速度
α
ω
a rB = a rO + a rtBO + a rnBO aaB = aeB + a rB aaB = ae + a rO + a rtBO + a rnBO
u
A
aaBx = ae + arO + artBO
aaBy = − arnBO
思考题：在纯滚动的条件下，圆盘与板的接触点具有相 同的速度，这两点的加速度是否也相等？
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§3-1 刚体平面运动的运动学
例：已知图示瞬
R
时圆盘的角速度 和角加速度。
α
B
ω
A r
求该瞬时圆盘最 高点B的速度和 加速度。 R＝2r
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例：滑块A沿水平直线以匀速 u 运动，求BC杆铅垂时AB杆和
AB = BC = L,θ BC杆的角加速度以及铰链B 的加速度。已知：
解：1、运动分析： AB 杆瞬时平移
v A = vB = u
ωAB = 0
t a BA t a v B
B
C
n aB
2、求加速度： 研究AB 杆 t t n n t = aBA = aB + aB aB = a A + aBA + aBA
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§3-1 刚体平面运动的运动学
解：因为圆盘纯滚动 vO ω= R 上式两边对时间 t 求导
例：已知半径为R圆盘在地面上纯 滚动，图示瞬时轮心的速度为VO 和加速度aO 。 求圆盘的角速度、 角加速度和A点的加速度。
t a AO
A
n R a AO
ω
vO
x
y
v &O aO α =ω &= = R R
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§3-1 刚体平面运动的运动学
解：取圆盘为研究对象 （1）求B点的速度
v B = 2ω r
（2）求B点的加速度 取A为基点
a
n BA
R
vA = ω r t & r =α r &A = a A v =ω
α
a
t A
B A
a
t BA
a =ω r
n A 2
ω
a
n A
r
vA
aB = a + a + a + a n t a BA = ω 2 r a BA =α r t t aBx = a A + aBA =α R n n aBy = a A − aBA = 0
A
C
aA
ωOA
O
QvC = 2vB
Ca
vC
aC
vB
aB
B
&C = 2v &B Qv
aC = 2aB
思考题：若OA逆时针匀角速转动，板C 加速度方向是否改变？
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§3-1 刚体平面运动的运动学
例：已知OA以匀角速度绕O轴转动，确定图示瞬时AB杆和 BD杆角加速度的转向。
A
a a = a e + a rn + a rt
ae = a A , a = a , a = a
n r n BA t r t BA
o
aA
x
t n aBA = AB ⋅ α , aBA = AB ⋅ ω 2
n t aB = a A + aBA + aBA
n t aBA // AB ，aBA ⊥ AB
问题：是否有加速度投影定理？是否有加速度瞬心？
n A t A n BA
t BA
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机构运动演示
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§3-1 刚体平面运动的运动学
思考题：已知杆AB上的A点以匀速 u 铅垂运动，圆盘在地面上纯 滚动。确定图示瞬时，杆和圆盘的角速度、角加速度的转向。
u
A
情况1
u
A
情况2
B
B
A：顺时针
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B：逆时针
C：大小为零
思考题：确定图示瞬时平面运动刚体的加速度瞬心。
ω
为 常 量
A
Ca
aA
ω
ω
O
AB杆瞬时平移
B a B
o
CV
纯滚动
当平面运动刚体瞬时平移时，若其角加速度不为零，则其 加速度瞬心在加速度矢量的垂线上。 注意：瞬时平移的角速度为零，但其角加速度不一定为零。
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§3-1 刚体平面运动的运动学
角加速度的转向为顺时针。
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§3-1 刚体平面运动的运动学
例：半径为R 的圆盘在水平板A上纯滚动，若该瞬时板的速度 为u，加速度为a，轮心O相对板的速度为vr，相对加速度为ar。 求圆盘的角速度和角加速度以及圆盘最高点B的速度和加速度
v rBO
B
解：1、求圆盘的角速度和角加速度
n 2 MP
n aMP
= MP ⋅ ω
2
ω
aM
t a MP
α
M
n a MP
aM = ( a ) + ( a )
t 2 MP
L = MP
β
= (ω 2 L) 2 + (αL) 2
= L (ω 2 ) 2 + (α ) 2 t aMP αL α tan β = n = 2 = 2 aMP ω L ω
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作业：3-6、3-7、3-9
刚体平面运动的加速度问题
问题： 若已知活塞移动的加速度， 如何求连杆或曲轴的角加速度。
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问题的引出
问题：若滑块A匀速运动，如何求图示瞬时各机械臂的角加速度。 问题：若曲柄OA匀角速转 动， 如何确定图示位置时 板C 的加速度方向。
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§3-1 刚体平面运动的运动学
•加速度瞬心：在某瞬时，平面图形上加速度为零的点。 当平面图形的角速度与角加速度不同时为零时，必存在 唯一的一点，在该瞬时其加速度为零。
n t aM = a P + aMP + aMP
n t aM = aMP + aMP
t aMP
= MP ⋅ α ,
取O为基点
t n a A = a O + a AO + a AO t aAx = aO + aAO = 2aO 2 v n aAy = aAO = ω2R = O R
aO
O
α
x:
y:
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问题：如何求圆盘最高点A的曲率半径
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§3-1 刚体平面运动的运动学
问题：若OA匀角速转动，试确定该瞬时板C 的加速度方向。
u
A
B
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a
O
t B
a
t BA
t n a B = a A + a BA + a BA
ω
aA
A
a
B
Q ω AB = 0
t a B = a A + a BA n t t aB + aB = a A + a BA n t y : − aB = aA + aBA cosθ
n B
θ
D
n t − aB − aA = aBA cosθ t aBA <0
va = 0
ωDE = 0
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§3-1 刚体平面运动的运动学
例：图示机构中，AB杆的A端以速度u匀速运动，求图示瞬时
DE杆的角加速度。已知该瞬时，AB杆与水平线的夹角为450，
套筒D位于AB杆的中点，DE杆水平。
B P
解：动点：套筒D，动系：AB杆
aa vr aC
D
aa = ae + ar + aC (1)
P
P为加速度瞬心
由此得出平面运动刚体上点的加速度的分布规律：……
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§3-1 刚体平面运动的运动学
问题：如何确定平面运动刚体加速度瞬心的位置？
n t aB = a A + aBA + aBA
t n aBA = AB ⋅ α , aBA = AB ⋅ ω 2
问题：当平面运动刚体在某瞬时角速度为零时， 如何确定加速度瞬心的位置？