Dirichlet积分的计算方法

[基金项目]长江大学精品课程（概率论与数理统计）

Dirichlet 积分的计算方法

赵天玉（长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023）

[摘要] 著名的Dirichlet 积分在物理学等领域有广泛的应用．本文以积分变换为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet 积分的六种方法． [关键词] Dirichlet 积分；Fourier 变换；Laplace 变换；广义函数

The Calculation Method of Dirichlet Integral

ZHAO Tian-yu

(School of Information and Mathematics, Yangtze University, Jingzhou ,434023, China)

Abstract The famous Dirichlet integral is widely used in physics and other fields. In this paper, the integral transform as a research tool, using the methods of mathematical physics, six kinds of calculation methods for Dirichlet integral is given.

Keywords Dirichlet integral ; Fourier transform; Laplace transform; Generalized function

积分

sin 2

x dx x π

+∞

=⎰

是著名的Dirichlet 积分，在光学、电磁学、无线电技术和有阻尼的机械振动等领域有广泛的应用[1]

．因为该积分收敛非绝对收敛，被积

函数的原函数不能用初等函数表示，不能用传统的牛顿－莱布尼茨公式求出该积分值，所以该积分在《数学分析》和《复变函数》教材中作为典型例子来讨论，寻求该积分的种种不同的计算方法一直是人们感兴趣的研究课题．文献[2-3]总结了该积分多种不同的计算方法，但这些方法多数不但比较复杂，需要较高的分析技巧，而且需要较广的数学知识．在多年的教学实践中，作者发现用数学物理方法很容易解决这个问题．本文首先综述了计算Dirichlet 积分的传统经典方法，即含参变量积分法和围道积分法，然后以积分变换和广义函数为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet 积分四种新方法．

1 含参变量积分方法

我们知道，含参变量积分

sin ()(0)px x

F p e dx p x

+∞

-=

>⎰ （1） 11

000cos cos px

px

e

xydy dx dx e xydy +∞

+∞--⎛⎫=

= ⎪⎝⎭

⎰⎰⎰⎰

由于cos px

px

e

xy e

--≤，积分

px e dx +∞

-⎰收敛，由Weierstrass M 判别法，含参变量积分

cos px

e xydx +∞

-⎰

在[0,1]上一致收敛．由于cos px e xy -在[0,)[0,1]+∞⨯上连续，根据积分顺序交换定理[4]

，11

22

1

()cos arctan px

p F p dy e

xydx dy p y p

+∞

-===+⎰⎰⎰

． 又由阿贝尔(Abel) 判别法知，积分（1）在0p ≥时一致收敛，根据连续性定理[4]，

()F p 在0p ≥时连续，故

000

sin 1(0)lim ()lim arctan 2

p p x dx F F p x p π

+++∞

→→====⎰

2 围道积分方法

设()iz

e f z z =，12,L L 分别是实数轴上[,]R r --与

[,]r R 线段，,r R C C 分别是以原点为圆心，以r 与R 为

半径的上半圆周，Γ是如图1所示的积分路径．由Cauchy-Goursat 定理知，()0f z dz Γ

=⎰，即

1

2

()()()()0R

r

L L C C f z dz f z dz f z dz f z dz +++

=⎰⎰⎰⎰

（2）

经化简1

2

sin ()()2R

L L r

x

f z dz f z dz i dx x +=⎰⎰⎰

，由小圆弧引理[5]，0lim ()r

r C f z dz i π+→=-⎰，由Jordan 引理[5]，lim

()0R

R C f z dz →+∞

=⎰

．在式（2）两边令0,r R +→→+∞，并整理

得：

sin 2

x dx x π

+∞

=⎰

3 Fourier 变换方法

图1 围道积分路径

设1,1;

()0, 1.t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则它的Fourier 变换为[()]()j t F f t f t e dt ω+∞

--∞

=⎰sin 2ωω=

()F ω．

当1t <时，有1

1

()[()]()2j t

f t F F F e d ωωωωπ

+∞

--∞

==⎰

2

sin cos t

d ωωωπ

ω

+∞

=

⎰

，

特别取0t =得：

sin 2

d ω

π

ωω

+∞

=

⎰

．

4 能量积分方法

设()f t 在Fourier 变换下的象函数为()F ω，则有

2

2

1[()]()2f t dt F d ωωπ+∞

+∞

-∞

-∞

=⎰⎰

（3）

式（3）称为Parseval 等式[6]

，其中2[()]f t dt +∞

-∞

⎰称为()f t 的能量积分.

将上文中Fourier 变换方法的()f t 和()F ω应用在式（3）中，可以得到

22

0sin 2

d ω

π

ωω+∞

=

⎰

．又由分部积分法，

22

sin d ω

ωω+∞

=

⎰

sin 2sin u

d du u

ω

ωω

+∞

+∞

=⎰

⎰

，故 0

sin 2

u du u π

+∞

=⎰

． 5 Laplace 变换方法

设()sin f t t =，则它的Laplace 变换为0

[()]()st L f t f t e dt +∞

-=

⎰

21

1

s =

+()F s ．

又0sin lim 1t t t →=，()arctan 2s

F s ds s π

∞

=-⎰，由Laplace 变换象函数的积分性质[6]，有sin t L t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()arctan 2s

F s ds s π∞=-⎰，特别取0s =得：0

sin 2

t dt t π

+∞

=⎰

． 6 广义函数方法

单位脉冲函数()t δ也叫狄拉克(Dirac)函数，简称δ-函数，它是一个广义函