Dirichlet积分的计算方法
Dirichlet卷积及积性函数详解
Dirichlet卷积及积性函数详解Dirichlet卷积 (狄利克雷卷积)定义若有两个函数f与g，则其Dirichlet卷积为(∗为卷积，为避免混淆，乘号⽤×表⽰)f(n)∗g(n)=∑d|n f(d)g(nd)⼀些性质交换律：f∗g=g∗f结合律：(f∗g)∗h=f∗(g∗h)分配律：f∗(g+h)=f∗g+f∗h单位元ϵ定义元函数：ϵ(n)=[n=1]其中[a]指如果a为真，其值为1，反之则为0。
所以f∗ϵ=ϵ∗f=f证明：f(n)∗ϵ(n)=∑d|n f(d)ϵ(nd)∵当nd≠1时⟹ϵ(nd)=0⟹f(d)ϵ(nd)=0∴f(n)∗ϵ(n)=∑d|n且d≠n f(d)ϵ(nd)+f(n)ϵ(1)=f(n)积性函数对于⼀个函数f，若对于所有互质的正整数a,b，均有f(ab)=f(a)f(b)，则f为⼀个积性函数。
对于⼀个函数f，若对于所有正整数a,b，均有f(ab)=f(a)f(b)，则f为⼀个完全积性函数。
数学语⾔：对于函数f，若对于∀a,b∈N+,gcd，都有f(ab)=f(a)f(b)，则f为⼀个积性函数。
对于函数f，若对于\forall a,b \in N^+，都有f(ab)=f(a)f(b)，则f为⼀个积性函数。
性质：对于两个积性函数f,g，f*g也为积性函数⼀些常见的积性函数1.除数函数：n的约数的k次幂之和，\sigma_k(n)=\sum_{d|n} d^k。
2.约数个数函数：n的约数个数，d(n)=\sigma_0(n)=\sum_{d|n}1。
Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js3.约数和函数：n的所有约数之和，\sigma(n)=\sigma_1 (n)=\sum_{d|n}d。
4.欧拉函数：[1,n]中与n互质的数的个数，\phi(n)=\varphi(n)=\sum_{n}^{i=1}[gcd(i,n)=1]。
莱布尼兹积分准则
莱布尼兹积分准则莱布尼兹积分准则是微积分中重要的工具之一，它为我们解决一类特殊的积分问题提供了便利。
通过莱布尼兹积分准则，我们可以快速判断一个函数的原函数是否存在，并进行求解。
下面我将用生动的语言为大家介绍莱布尼兹积分准则。
让我们来看一个简单的例子。
假设我们要求函数f(x) = x^2的原函数F(x)。
我们可以首先对原函数F(x)进行求导，得到f(x) = x^2。
然后，我们再对f(x)进行积分，就可以得到原函数F(x)。
这个过程可以用数学公式来表示为：F(x) = ∫f(x)dx这里的∫表示积分，dx表示对x进行积分。
可以看出，求解一个函数的原函数就是对该函数进行积分的逆过程。
但是，并不是所有的函数都能找到原函数。
莱布尼兹积分准则就告诉我们，一个函数能找到原函数的条件是它在某个区间上连续，并且满足可积性条件。
也就是说，函数在该区间上应该满足Riemann 可积的条件。
莱布尼兹积分准则的具体表述如下：如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，并且存在函数M(x)，使得对于该区间上的任意x，都有|f(x)| ≤ M(x)，则函数f(x)在区间[a, b]上可积。
这个准则的意思是，如果一个函数满足在某个区间上连续且有界，那么它在该区间上就是可积的。
也就是说，我们可以找到一个原函数，对它进行积分。
通过莱布尼兹积分准则，我们可以快速判断一个函数是否可积，从而避免进行不必要的积分计算。
这对于解决一些复杂的积分问题非常有帮助。
同时，莱布尼兹积分准则也为我们提供了一个判断函数可积性的标准，帮助我们更好地理解微积分的基本概念。
莱布尼兹积分准则是微积分中的重要工具，它告诉我们一个函数是否可积的条件，帮助我们解决一类特殊的积分问题。
通过莱布尼兹积分准则，我们可以更好地理解微积分的基本概念，并在实际问题中应用它来解决积分计算。
希望通过这篇文章的介绍，大家对莱布尼兹积分准则有了更深入的理解。
解二维LAPLACE方程DIRICHLET问题直接边界积分方程的GALERKIN..
摘要Laplace方程是最典型，最简单但应用广泛的椭圆型偏微分方程。
用边界元法解边值问题，由不同的边界归化方法可以得到不同的边界积分方程，数值求解边界积分方程也有好几种方法。
本文考虑用Green公式和基本解推导得出直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题，该直接边界积分方程是第一类Fredholm积分方程。
对二维问题，一般的带对数积分核第一类Fredholm积分方程并不总是唯一可解的，特别是对外边值问题，解在无穷远处的形态有很大的影响。
人们在用直接边界元方法进行计算时，并不刻意去考虑积分方程的可解性，但可解性的问题是不能回避的，这涉及到原问题的解与边界积分方程的解的等价性问题。
事实上，对内边值问题，第一类Fredholm直接边界积分方程的可解性条件是自然得到满足的，本文对此做了验证。
对外边值问题，考虑到二维Dirichlet 问题的解应当在无穷远处有界，故解的边界积分表达式要做修正，对积分方程的解要有约束，这样去解边界积分方程得出的解才等同于原问题的解。
一般来说，直接边界积分方程可以很方便的用配点法求解，还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道。
本文采用Galerkin边界元方法求解直接边界积分方程，是为了验证这两种方法的效率和精度，且Galerkin法易于进行收敛性分析。
Galerkin 边界元方法是把积分方程转化为等价的边界变分方程，经用边界元离散后，通过求解线性代数方程组和计算解的离散的积分表达式求得原问题的数值解，该方法需要在边界上计算重积分。
本文推出了第一重积分的解析计算公式，对外层积分则采用高斯数值积分。
对外边值问题，第一类Fredholm积分方程的解要附加在边界上积分为零的条件，本文采用Lagrange乘子放松这个约束，求解扩展的变分方程时，可同时得出解在无穷远的值。
本文采用常单元和线性元这两种离散方式，分别用Fortran90编写了计算程序，对误差与边界元的数量的关系做了数值实验。
不定积分的级数敛散判别法
不定积分的级数敛散判别法在数学学科中，不定积分是一个十分重要的概念，可以帮助我们求解复杂的函数积分。
但是，对于不定积分问题的研究并没有止步于此，我们还需要掌握不定积分的级数敛散判别法。
这些判别法可以帮助我们更好地解决不定积分问题，本文将对不定积分的级数敛散判别法进行详细介绍。
1. 条件收敛级数在探究级数敛散问题之前，我们需要先了解一下“条件收敛级数”的概念。
所谓条件收敛级数，是指级数的绝对值收敛，但是本身并不收敛。
例如，下面这个级数就是条件收敛级数：$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$$要判断一个级数是否是条件收敛级数，我们需要判断它的绝对值级数是否收敛。
如果收敛，则这个级数就是绝对收敛级数；如果发散但是绝对值级数收敛，则这个级数就是条件收敛级数。
2. Weierstrass判别法Weierstrass判别法是判别不定积分级数收敛的常用方法之一。
它的判别条件为：如果存在一个正数数列 $M_n$ 使得 $\forall x \in [a, b]$，有 $|f_n(x)| \leq M_n$，而 $M_n$ 是收敛的，那么该级数收敛。
举个例子，如果有一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(nx)}{n^2}$，我们可以判断它是否收敛。
考虑到 $\sin$ 函数的取值范围在 $[-1,1]$ 之间，因此我们可以令 $M_n = \frac{1}{n^2}$，则 $| \frac{\sin(nx)}{n^2} | \leq\frac{1}{n^2} = M_n$，因此这个级数收敛。
3. Abel判别法与Weierstrass判别法不同，Abel判别法并不要求级数的每一项都小于某个收敛级数，而是要求级数的部分和满足一定的条件。
Abel判别法的判别条件为：如果存在一个单调有界数列$\{b_n\}$ 使得 $\forall x \in [a,b]$，$|f_n(x)| \leq b_n$ 且 $\{ \int_a^b f_n(x)dx\}$ 收敛，则该级数收敛。
傅里叶级数逐点收敛性1
xi
xi −1 xi
f ( x ) − f * ( x ) dx = ∑ ∫
i =1 n
xi
xi −1
f ( x ) − mi dx
≤ ∑ ∫ ωi dx = ∑ ωi Δxi < ε
i =1 xi −1 i =1
由此，我们可得：
∫ f ( x ) sin pxdx ≤ ∫ f ( x ) − f ( x ) dx + ∫
∫ f ( x ) sin pxdx
a
b
的积分当 p → ∞ 时的性质，为此，先引入一个引理：
Riemann-Lebesgue 引理：设 f ( x ) 在 [ a, b ] 上可积或广义绝对可积，则有：
b ⎧sin px ⎫ lim ∫ f ( x ) ⎨ ⎬ dx = 0 ，其中 p ∈ R 。 a p →∞ ⎩cos px ⎭
证明： 证明思路是分为如下三个步骤进行： ① 对 f ( x ) 为阶梯函数证明结论； ② 对 f ( x ) 为 Riemann 可积函数证明结论； ③ 对 f ( x ) 为广义绝对可积函数证明结论。 ① 假设 f ( x ) 为一阶梯函数，即：
f ( x ) = ci ， xi ≤ x < xi +1 ， i = 0,1," , n − 1 ， a = x0 < x1 < " < xn = b ，
因而 S n f ( x0 ) 之收敛性只与
(
)
1
π
∫
δ
0
⎡ ⎣ f ( x0 + u ) + f ( x0 − u ) ⎤ ⎦
sin ( n + 1 2 )u 2sin 1 2u
4.AD判别法
积的情况加以证明。
∫ 记 F( x) = x f (t)dt ，则 F (x) 在[a,b] 连续，且 F(a) = 0 。由于 f ( x) 在[a, b]上 a
连续，于是 F (x) 是 f ( x) 在[a, b]上的一个原函数，利用分部积分法，有
∫b a
f
( x) g ( x)dx
=
F ( x) g ( x)
收敛：
∫ (1)（Abel 判别法） +∞ f (x)dx 收敛， g( x) 在[a, + ∞) 上单调有界； a
(2)（Dirichlet
判别法） F (
A)
=
∫A a
f
( x )dx
在 [a,
+
∞)
上有界，g( x
)
在 [a,
+
∞)
上单调且 lim g(x) = 0 。 x→+∞
证 设ε 是任意给定的正数。
∫ A′ f (x)dx < 2M ； A
因为 lim x→+∞
g(x)
=
0 ，所以存在
A0
≥
a
，当 x
>
A0
时，有
|g(x) |< ε 。 4M
于是，对任意 A, A′ ≥ A0 ，
∫ ∫ ∫ A′
f (x)g(x)dx
≤ g( A) ⋅
ξ f (x)dx + g( A′) ⋅
A′
f (x)dx
A
ak +1Bk + ap BpB
k =1
k =1
p −1
∑ = ap - BpB
(ak+1 − ak )Bk 。
Dirichlet积分的一个推广
Dirichlet积分的一个推广王佛生【摘要】推广了Dirichlet积分和几个类似的积分和级数结果.推广后的证明方法基于Bernoulli多项式和Fourier变换.【期刊名称】《内江师范学院学报》【年(卷),期】2018(033)006【总页数】3页(P59-61)【关键词】Dirichlet积分;Bernoulli多项式;Fourier变换;反演定理;Poisson求和公式【作者】王佛生【作者单位】绵阳师范学院数理学院, 绵阳 621000【正文语种】中文【中图分类】O174.22用符号R,Z,N分别表示实数集, 整数集和正整数集. 极限(1)以及和式0<x<π是众所周知的[1-4].Dirichlet积分sinx/xdx→π/2(A→)也是(1)的一个特例.Spiege [5]给出了一个类似的结果如下(2)上述几个积分和求和结果在数学文献中极为常见. 本文的目的是将这些结果推广至任意次数n(n∈N), 也就是下面的定理3. 我们的推广要用到Fourier变换和Bernoulli多项式, 尽管Bernoulli多项式并不会出现在我们的结果中.本文以下部分, 都假定n∈Ν和t,a1,…,an∈R. 为简化结果的表述, 定义一个和式.定义1 定义φn(t;a1,…,an)为sgn(t+b1a1+…+bnan),其中b1,…,bn分别遍历{-1,1}, 即上述和式有2n项. 其中符号函数sgn是指上述和式有如下命题, 其证明在第二部分.命题2 设n≥2, 那么函数φn(t;a1,…,an)数是关于t连续的. 如果t≥n, 那么φn(t;a1,…,an)=0.命题2简化了下述定理3中的描述.定理3 设n≥2,那么φn(t;a1,…,an).(3)且(4)命题2说明, (4)的右端中关于r的和式是有限项之和.注1 定理3对n=1也成立, 如果(3)中的被解释为的话. 注意sinx/x在R上不可积, 也就是说.注2 对n=2, 等式(3)给出了(2)的另一种形式, 即|t-a1+a2|+|t-a1-a2|).注3 综合(3)和命题2, 得到一个推论: 如果那么这一节将证明上述命题2和定理3.用L1表示R上的所有复Lebesgue可积函数. 如果f∈L1, 其Fourier变换定义为将用到Fourier反演定理和如下的Possion求和公式.Possion求和公式 [6]如果f在R上连续, 且对某个s>1成立, 那么引理4 对r=0,1,…n, 有证明首先考虑r<n的情形. 将(t+b1a1+…+bnan)r展开, 那么它就等于其中h(A,t,a1,…,an)是由A,t,a1,…,an决定的值. 所以,至于情形(t+b1a1+…+bnan)n, 我们注意到(t+b1a1+…+bnan)n=n!b1…bna1…an+其中h1(A,t,a1,…,an)是由A,t,a1,…,an决定的. 证毕.对n≥2, 函数φn(t;a1,…,an)是2n个关于t的连续函数之和, 所以也是连续的. 这就给出了命题2的一部分. 命题2的其它部分由上面的引理4给出.下一个目标是引理6. 其证明需要Bernoulli多项式Bn, 这是有理系数多项式, 可以定义为关于x的幂级多项式Bn满足以下两个等式[8]66-68:Bn(t+1)-Bn(t)=ntn-1;(5)(0<t<1).(6)在(6)中, {t}表示t的小数部分, 0≤{t}<1.另外, 还要用到一个结果, 即Bn(t)=ntn-1+t的更低次项.引理5 表达式φn(t+k;a1,…,an)实际上是关于k的有限和, 并且等于bnBn({t+b1a1+…+bnan})/n.(8)证明设p,q(p<q)是整数, 使得t+b1a1+…+bnan<0且t+q+1+b1a1+…+bnan>0.由(5), 有等于(Bn(t+k+1+b1a1+…+bnan)-Bn(t+k+b1a1+…+bnan)).(9)设b1a1+…+bnan∉Ζ. 那么(9)等于b1a1+…+bnan)+Bn(t+p+b1a1+…+bnan)-2Bn({t+p+b1a1+…+bnan}). (10)一个简单的使用(5)的计算表明, 即使当b1a1+…+bnan∈Ζ. (9)也等于(10).最后, 值(10)等于(8)的结果可以通过观察下式得到2nn!a1…an.此式来源于(7)和引理4. 证毕.定理3的证明还需要以下引理.引理6 对表达式n≥2和x∈R\{0}, 有证明由φn的定义, 有φn(2πy/x;a1,…,an)=y∈R.设t=2πy/x, 有引理5表明, 上式等于该结果可化为于是, (6)说明进一步的化简, 可将上式右端化为引理6证毕.最后, 定理3由引理6,Fourier反演定理和Possion 求和公式得出.参考文献:[1] RUDIN W. Real and complex analysis [M]. McGraw-Hill Publishing Company, 1986:266-267.[2] Rudin W. Principles of mathematical analysis [M]. McGraw HillPublishing Company, 1976:198.[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法 [M]. 北京：高等教育出版社, 2006:779.[4] 郑庆玉, 郭政. 数学分析方法 [M]. 北京：电子工业出版社, 2010:322-325.[5] SPIEGEL M R , LIPSCHUTZ S，LIU J. Mathematical handbook of formulas and tables [M]. McGraw Hill, 2009:110.[6] GODEMENT R. Analysis II-Differential and integral calculus, Fourier series, holomorphic functions [M]. Springer-Verlag, 2005:359.[7] LANG S. Algebra [M]. Springer-Verlag, 2002.[8] IWANIEC H，KOWALSKI E. Analytic number theory [M]. American Mathematical Society, 2004.。
狄利克雷函数的黎曼几分
狄利克雷函数的黎曼几分
摘要：
1.狄利克雷函数简介
2.狄利克雷函数的黎曼积分
3.黎曼积分的应用
4.总结
正文：
一、狄利克雷函数简介
狄利克雷函数（Dirichlet Function）是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出的，其定义如下：
f(x) = 1，如果x是有理数；
f(x) = 0，如果x是无理数。
这个函数在实数范围上定义，值域不连续，是一个偶函数。
它处处不连续，处处极限不存在，不可黎曼积分，但是一个处处不连续的可测函数。
二、狄利克雷函数的黎曼积分
狄利克雷函数的黎曼积分是一个重要的数学概念。
黎曼积分的定义如下：设f(x)在[a, b]上可积，F(x)是f(x)在[a, b]上的一个原函数，那么f(x)在[a, b]上的黎曼积分为：
∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)
对于狄利克雷函数，我们可以求其黎曼积分。
由于狄利克雷函数在有理数和无理数之间交替取值，因此在区间[0, 1]上，狄利克雷函数的黎曼积分为1。
三、黎曼积分的应用
黎曼积分在数学和物理等领域有广泛的应用。
例如，在求解定积分、计算面积和体积、研究函数的性质等方面都有重要作用。
对于狄利克雷函数，黎曼积分可以帮助我们理解无理数和有理数在实数范围内的分布情况。
通过对狄利克雷函数的黎曼积分，我们可以得到无理数和有理数在[0, 1]区间内的数量比例。
四、总结
狄利克雷函数是一个特殊的函数，其定义基于有理数和无理数的性质。
狄利克雷函数的黎曼积分帮助我们理解无理数和有理数在实数范围内的分布情况，对于研究实数范围内的数学问题具有重要意义。
反常积分
2. 若 f (x) ≥ 0, 可用比较判别法或比较判别法的极限形式进行判断 ∫ 3. 若 f (x) ≥ 0, 可考查
a A
f (x)dx 是否有界
4. 以上 f (x) ≥ 0的条件，只要对于充分大的x(x ≥ a)保持成立即可 ∫ 5. 因
a +∞
∫ f (x)dx 与
a
+∞
− f (x)dx 同时收敛，对于 f (x) ≤ 0 有类似的方法
6.
若 x → +∞ 时 (x) 无 穷 次 变 号 ， 上 述 判 别 法 失 效 ， 可 考 查Abel判 别 法 或 ∫ +f ∞ 者Dirichlet判别法( f (x) g(x)dx)
a
∫
+∞
7. 用Abel、Dirichlet 判别法判定为收敛，只是 f (x)dx本身收敛。至于是绝对收敛 a ∫ +∞ | f (x)|dx的敛散性 还是条件收敛，还有依赖于进一步考虑
反常积分
一、反常积分的计算： 三大基本方法 (1). Newton-Leibniz 公式 (2). 换元法 (3). 分部积分方法 ∫ 二、反常积分敛散性判定: 以
a +∞
f (x)dx 为例
1. 若 f (x) ≥ 0, 且 lim f (x) = 0, 可考查x → +∞时无穷小量 f (x)的阶.若阶数 λ > 1, 则反 x→+∞ ∫ +∞ f (x)dx 收敛； λ ≤ 1 时发散。（例13.2.1） 常积分
f (x)dx 与 lim f (x) = 0的关系
x→+∞a源自8. 以上方法无效，可以考虑用Cauchy 准则来判断 ∫ 9. 用定义,看极限 lim
几种特殊积分的计算方法
积分的基本定义：设F 为函数 的一个原函数，我们把函数f 的所有原函数F C（C为任意常数）叫做函数f 的不定积分记做 .其中∫叫做积分号，f 叫被积函数， 叫做积分变量，f 叫做被积因式.C叫积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.
积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在十七世纪分别独自确立.微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分.积分和导数已成为高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用.
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）.黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限.从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分.比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间[a,b]），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替.对微分形式的积分是微分几何中的基本概念.
几种特殊积分的计算方法
1前言
积分发展的动力来自于实际应用中的需求.实际操作中，有时候可以粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值.要求简单几何形体或者体积，可以套用已知的公式.比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长乘宽乘高求出.但如果游泳池是卵形、抛物型或者更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积.物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个（比如力）的累积效果，这时候也需要积分.在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的.比如，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和.再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和阿基米德使数学分析变得更加明确，但还不是很正式.他们在使用穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念.
第七讲 勒贝格积分的概念
第7讲勒贝格积分的概念研究内容1.非负可测简单函数的积分2.非负可测函数的积分3.一般可测函数的积分4.积分的性质3c 1. 非负可测简单函数的L 积分(),nx E ϕ⊆若是上的非负简单可测函数即1():()d ().pi i Ei x E x x c m L E ϕϕ==∑⎰定义在上积分的为一、勒贝格积分(L 积分)的概念1E 2E 3E O()y x ϕ=(1,2,),i i p E c i =它在子集上取值1.()()i pi E i x c x ϕχ==∑也即1c 2c 定义11, (),pi i j i E E E E i j ==⋂=∅≠其中0i c ≥[0,1]()d D x x⎰1,[0,1]()0,[0,1]\x D x x ∈⎧=⎨∈⎩例1 求Dirichlet 函数10010.=⋅+⋅=在[0,1]上的L 积分. 解([0,11])m =⋅([0,10]\)m +⋅{}121 (),()()()() lim ()(), ().nk k k k k f x E x x x x x f x x x E ϕϕϕϕϕϕ+→∞⊆≤≤≤≤≤=∀∈设是可测集上的当且仅当非负可测函数非负可测的简单存在得函数列：使简单函数逼近定理 回顾：非负函数可测性的等价描述 2. 非负可测函数的L 积分渐升列简单函数列构造如下:1 ···E()f x [0,1]y 对轴作二等分1 E 11E 12F 11()x ϕ11102E E f ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭1(1)F E f =≥12112E E f ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭112111()()()2i F E i i x x x ϕχχ=-=+∑E()f x [0,2]y 对轴作八等分2 · 1 2 · · · · ··· · E 21 E 22 E 23 E 24 E 28 F 22()x ϕ依次类推, 得到简单函数列 {}()k x ϕ[0,]2ky k k ⋅对轴作次等分1, 1,2,,2,22(),kki k k k i i E E f i k F E f k -⎛⎫=≤<=⋅ ⎪⎝⎭=≥(),k x ϕ作简单函数列其中211()()(),2kk ki k k F E k i i x k x x x Eϕχχ⋅=-=+∈∑可以证明 {}().k x ϕ即为所求(),nf x E ⊆定义2非 设是的负上可测函数():f x E L 定在上的积分义为()()()d sup {()d :() },EEx f x x Ef x x x x x E ϕϕϕ≤∈=⎰⎰为上的非负可测简单函数;+∞这里的积分可以是()d ,Ef x x <+∞⎰(),(),f x E L f x E L 则称在上是可积的或称是上的可积函数 简称可积函数.若3. 一般可测函数的L 积分(),f x E 是定义在上的广义实值函数设令()y f x =()y f x +=()y f x -=())()(,f x x f x f -+并分别称为正部函数的与负部.(())()f x f x x f +-=-{}{}max (),0,max ())),(0(,f f x f x f x x -+==-(),n f x E ⊆设是上的可测函定义3 数 若积分,中至少有一个是有限值则称()d ,()d E E f x x f x x +-⎰⎰().f x E L 为在上的积分()d ()d ()d E E Ef x x f x x f x x +-=-⎰⎰⎰()E E 在上可积的函数的全体记为.,().f x E 当上式右端两个积分值皆为有限时则称在上是可积的(())),(E E f x f ∈∈当且仅当且 ()()f x f x 的可积性与的可注积性是等价的. ()()();()()().f x f x f x f x f x f x +-+-=-=+提示 结论 ()d ()d .E E f x x f x x ≤⎰⎰2)(),(),().f x E m E f E <+∞∈ 若是上的有界可测函数且则1)(),().f E f x E ∈ 若则在上是几乎处处有限的二、勒贝格积分的性质——L 可积的必要条件1. L 可积的必要和充分条件——L 可积的充分条件3)(),(),()(), ,().f x E g E f x g x x E f E ∈≤∈∈ 若是上的可测函数且 则——L 可积的充分条件2. L 积分的基本性质,(),,,(),f g E f f g E λλ∈∈+∈若则且性质1(线性性） 性质2(有限可加性）(1)(),,();f E A E f A ∈∈若是的任一可测子集则(2),,,,E A B AB A B ==∅又若且为可测子集则 ()d ()d ; (()())d ()d ()d .EE E E Ef x x f x x f xg x x f x x g x x λλ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰()d ()d ()d .E A B f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰,(),()(),,f g E f x g x x E ∈≤∀∈ 设且则性质3(保序性)()d ()d .E Ef x xg x x ≤⎰⎰,(),(),, ()()d ().Em E b f x B x E bm E f x x Bm E <+∞≤≤∀∈≤≤⎰特别的若且则性质4 零测度集上的任何函数的积分为零, 即()0()d 0.Em E f x x =⇒=⎰推论 ),()(()() a.e.,f x f xg x E E ∈= 若且于3. L 积分的几个特殊重要性质(),g E ∈则且()d ()d .E Ef x xg x x =⎰⎰1()(,(1,2,)(),,)i i i i j f x E E E i E E i j E ∞=∈===∅≠若均为可测集则且,性质5 (可数可加性)性质6(可积性与绝对可积性等价) ()(( ()d ()d .)),E E f x f f x x f x x E E ∈∈≤⎰⎰当且仅当且1()d ()d .i E E i f x x f x x ∞==∑⎰⎰性质7(绝对连续性)(),0,0,,(),f E e E m e εδδ∈∀>∃>⊆< 若则使得任何可测子集当时有|()d ||()|d .e ef x x f x x ε≤<⎰⎰即：当积分区域很小时, 积分值也很小.注 反映了L 积分值与积分域之间的一种依赖关系：()0()d 0.em e f x x →⇒→⎰三、黎曼积分和勒贝格积分的关系 注 黎曼可积性取决于函数的不连续点集的测度. 定理2 [,]()([,]),()([,]),()()d ()()d .ba b a f x a b f x a b L f x x R f x x ∈∈=⎰⎰若则且 ——R 积分与L 积分的关系定理1 ()[,],()([,])()[,]f x a b f x a b f x a b ∈⇔若是上的有界函数则在上的不连续点集是零测集.定理2表明: 黎曼积分的相关问题可以转化为勒贝格积分后, 再利用其有关理论, 这是因为相较于黎曼积分理论来说, 勒贝格积分理论限制更少, 使用起来更为方便有效. 关于这一点, 我们将在下一讲展开叙述并举例说明.感谢大家的聆听！。
傅里叶级数前 n 项和,dirichlet 积分
傅里叶级数前 n 项和,dirichlet 积分傅里叶级数前 n 项和与dirichlet积分一、前言在数学领域中，傅里叶级数和dirichlet积分都是重要的概念，它们在分析、信号处理和物理学等领域都有着广泛的应用。
本文将深入探讨傅里叶级数前 n 项和和dirichlet积分的概念及其在实际中的意义。
二、傅里叶级数前 n 项和的概念傅里叶级数是一种将周期函数表示为三角函数(或复指数)的级数形式的方法。
对于一个周期为2π的函数f(x)，其傅里叶级数可以表示为：f(x) = a0/2 + Σ(an*cos(nx) + bn*sin(nx))其中a0/2为直流分量，an和bn为频率为n的余弦项和正弦项系数。
而傅里叶级数前 n 项和指的是将前n个三角函数项相加所得到的部分和。
我们知道，傅里叶级数前 n 项和可以用于逼近原始函数，当n足够大时，傅里叶级数可以逼近原函数的任意精度。
这在信号处理、图像压缩等领域有着重要的应用价值。
三、dirichlet积分的概念dirichlet积分是指一类特殊的积分，形式为∫f(x)*g(x)/x dx，其中f(x)和g(x)是定义在半开区间[0,∞)上的函数。
dirichlet积分在数论、逼近论等领域有着广泛的应用，其中最著名的是与黎曼ζ函数的关系。
dirichlet积分的性质非常丰富，它与傅里叶级数、特殊函数等领域有着紧密的联系，并在分析学的研究中发挥着重要的作用。
特别是在研究一些特殊函数的积分表示以及数论中的一些问题时，dirichlet积分有着独特的价值。
四、傅里叶级数前 n 项和与dirichlet积分的关系傅里叶级数前 n 项和和dirichlet积分在数学上有着内在的联系。
事实上，在一些特定的情况下，傅里叶级数前 n 项和可以表示为dirichlet 积分的形式，这种联系为我们理解傅里叶级数和dirichlet积分提供了一个新的视角。
通过研究傅里叶级数前 n 项和和dirichlet积分的关系，我们可以发现它们在数学分析中的共性和区别，从而更好地理解它们在数学理论和实际应用中的作用。
数学分析反常积分11.3瑕积分的收敛判别法
1 x
x 0 1
x
作业 (习题集)
习题11.3 1、偶; 3、偶.
如何判断瑕积分的敛散性?
设a是f的瑕点, 作代换x a 1 , 那么 y
lim
0
b a
f ( x)dx lim 0
1
ba 1
f
(a
1) y
1 y2
dy
1 ba
f
(a
1) y
1 y2
dy
瑕积分 无穷积分
约定 : 积分下限a是瑕点, f , g R[a ,b]
定理11.2' (比较审敛法) 设0 f ( x) g( x), ( x a且充分靠近a), 那么
1
ln x
1
1
1
x4
lim x4 ln x lim
x0
x0
1
4lim x0
11 0
x4
xx 4Βιβλιοθήκη sinxcos1例11： 0
x x dx
解： 0
sinx x dx
收敛
{cos 1 } 有界 x
收敛
收敛
例5： 0
sin2 xm
xdx
1<m<3,收敛
解： 0
sin2 xm
xdx
1 0
1
而对于 2
ln x dx， ln x
2 ln x
0 1 x2
1 x2
1
1
1
2 ln xdx lim 2 ln xdx lim x ln x x 2 存在
0
0
0
例4：1 0
lnxln(1+ x) x(1+ x) dx
lnxln(1+ x)
瑕积分的收敛判别法
三、瑕积分收敛的判别法
１.定理4.1(柯西准则)
若f ( x)在(a,b]上有定义，且 lim f ( x) , 0, f ( x)在
xa
[a
,b]上可积，则
b
a
f
( x)dx
(a为瑕点)收敛的充要条件是
0, 0,只要当a u1 u2 a δ, 有
设f ( x)，g( x)在(a,b]上有定义，瑕点同为 x a, 且对
0, f ( x), g( x)在[a ε,b]上可积，对充分靠近a的
x ( x a), 如果有0 f ( x) g( x), 则
1o
若
b
a
g(
x
)dx
收敛
b
a
f ( x)dx 收敛;
2o
若 b a
当上述右边的两个极限都存在时，称该瑕积分收敛；
当上述右边的其中的一个极限不存在时，称该瑕积分发散.
例1
讨论瑕积分
1 0
1 xp
dx ( p
0)的收敛性.
解: 由于x 0是瑕点，且
1
1 xp
dx
1
1
p
(1
1
p
),
p 1,
ln
,
p 1.
(0
1),
故当0 p 1时， 瑕积分收敛， 且
11
11
1
0
x
p dx
lim
0
xp
dx
1
; p
当p 1时, 瑕积分发散于 .
dirichlet积分计算
dirichlet积分计算
Dirichlet积分是一类常见的积分形式，在计算中常常会遇到。
具体来说，Dirichlet积分可能包含一个分子函数和一个分母函数，分母函数中可能含有一个反常积分。
为了计算这类积分，我们需要借助
一些特定的方法和技巧。
首先，对于一般的Dirichlet积分，我们可以通过对分母函数进
行变换，化为标准形式来计算。
这里的标准形式通常是指，分母函数
变换后能够简化为一个以$x$为变量的无穷级数，而分子函数则是一个
幂级数或三角级数。
其次，还可以通过进行换元来计算Dirichlet积分。
具体来说，
我们可以通过将分母函数中的参数$t$替换为另一个参数$s$，以使得
积分变为一个常规的积分形式。
最后，我们还可以通过利用特定的公式和性质来计算Dirichlet
积分。
例如，我们可以通过熟悉的Gamma函数公式、Beta函数公式和Fresnel积分的表达式来计算Dirichlet积分。
此外，对于一些特殊的Dirichlet积分形式，我们还可以利用对称性和变量代换等方法来求解。
总之，Dirichlet积分是一类非常重要的积分形式，对于它的求解，我们需要掌握一些特定的方法和技巧。
一类欧拉积分公式与广义菲涅尔积分的计算
一类欧拉积分公式与广义菲涅尔积分的计算邢家省;杨小远【摘要】考虑一类欧拉积分的计算问题,利用对参变量求导的方法,给出了欧拉积分公式的简短证明.利用欧拉积分公式,给出了菲涅尔积分和广义菲涅尔积分的一种简单的计算方法.利用积分交换次序定理,给出了一类广义积分的计算结果.对相关几类广义积分的计算给出了统一的计算方法,沟通了几类广义积分之间的相互联系.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)001【总页数】6页(P1-6)【关键词】含参变量广义积分;欧拉积分公式;内闭一致收敛性;菲涅尔积分;广义菲涅尔积分【作者】邢家省;杨小远【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191【正文语种】中文【中图分类】O177.2欧拉积分公式[1-3]是数学分析中的经典结果.费定晖等[1]利用对含参变量积分的求导方法，给出了欧拉公式的证明，但证明过程较为繁琐.华罗庚[3]指出，利用复围道积分方法也可得到欧拉积分公式，但这种证明所用的知识点较多.笔者发现，利用欧拉积分公式可以对几类重要的广义积分[1-14]给出统一的处理，而这几类广义积分在现有文献中是分别给予解决的，并且解决的办法相当复杂.笔者利用积分交换次序定理[1-7]，给出了一类广义积分的计算结果，在导出结果的过程中完全是利用数学分析自身已有的理论方法.1 一类欧拉积分公式的简便证明定理1[4-5] 对任意实数u，有eucos xcos(usin x)dx=2π.证明记F(u)=eucos xcos(usin x)dx，显然F(0)=2π，于是F′(u)=0，故F(u)=2π，即eucos xcos(usin x)dx=2π.定理1仅出现在文献[4-5]中，原因是证明过程相当复杂，限制了它的传播.笔者给出了其简短的证明过程.定理2[1-2] 设则有如下欧拉公式:证明记I(α)=tx-1e-λtcos αe-iλtsin αdt=tx-1e-λt(cos α+isin α)dt=tx-1e-λteiαdt.可以证明，对∀和关于α∈[-δ,δ]一致收敛[1].于是从而I(α)=I(0)e-iαx，显然故两端分别取实部、虚部，就得定理2的结果.文献[1]中给出了定理2的证明，但证明过程较为繁琐.笔者利用对变量求导的方法，给出了简洁的证明过程，以便于理解和应用.定理3 设则有欧拉公式证明由于显然tx-1e-λtcos αsin(λtsin α)dt关于x∈[0,1]一致收敛，于是关于x 在[0,1]上连续，且有对-1<z<0，经过分部积分计算，并利用定理2，可得定理3得证.定理4[1-2] 设则有欧拉公式利用定理2，可得如下结论：定理5[3] 设则有如下欧拉公式:2 欧拉积分公式的直接应用定理6[1-3] 设k>0,λ>-1，则有其中证明令利用定理4，可得定理7[1-3] 设k>0,λ>0，则有e-kxxλ-1cos xdx=(sin α)λΓ(λ)cos λα，其中证明令利用定理2，可得e-kxxλ-1cos xdx=(sin α)λtλ-1e-tcos αcos(tsin α)dt=(sin α)λΓ(λ)cos λα.设k>0,p>0，b为实数，对形如e-kxpsin bxpdx，e-kxpcos bxpdx的积分，也可以给出其计算结果[3,8-9,11-12].3 欧拉积分公式在广义菲涅尔积分计算中的应用定理8[1-4] 设-1<λ<1，则有证明容易知道，当-1<λ<1时，xλ-1sin xdx收敛，e-kxxλ-1sin xdx关于k>0一致收敛，e-kxxλ-1sin x在(k,x)∈[0,+∞)×(0,+∞)上连续，所以e-kxxλ-1sin xdx 关于k≥0连续.在e-kxxλ-1sin λα两端，令k→0+，取极限，则有xλ-1sin定理9[1-4,6] 设0<μ<2，则有证明利用定理8、Γ函数的性质和余元公式，[1-5]可得定理10[1-4] 设0<λ<1，则有证明容易知道，当0<λ<1时，xλ-1cos xdx收敛，e-kxxλ-1cos xdx关于k>0一致收敛，e-kxxλ-1cos x在(k,x)∈[0,+∞)×(0,+∞)上连续，所以e-kxxλ-1cos xdx关于k≥0连续.在e-kxxλ-1cos xdx=(sin α)λΓ(λ)cos λα两端，令k→0+，取极限，则有xλ-1cos定理11[1-4,6] 设0<μ<1，则有证明利用定理10 和Γ函数的性质及余元公式，[1-5]可得利用定理9，可得Dirichlet积利用定理9和定理11，可得如下的广义菲涅尔积分计算结果：定理12[1-4] 设p>1，则有：于是菲涅尔积定理 13[1-4,6] 设α>0,0<λ<2，则有定理14[1-4,6] 设α>0,0<λ<1，则有4 欧拉积分公式在一些广义积分计算中的应用定理15[1-4,6] 设k>0,-1<λ<1，则有其中证明考察e-kyyλ-1sin ydy，将代入，于是利用积分交换次序的理论方法[1-2,6-7]，可以证明于是从而令利用定理4，可得于是利用定理15，可得如下结论：定理16[3] 设则有利用积分交换次序的理论方法，可以证明(1)利用(1)式，可得如下结论：定理17[2,15] 设k>0,0<λ<1，则有其中证明考察e-kyyλ-1cos ydy，将代入，并利用(1)式,可得利用(2)式，可得令利用定理2，可得e-kyyλ-1cos ydy=(sin α)λtλ-1e-tcos αcos(tsin α)dt=(sin α)λΓ(λ)cos λα，于是设k>0，对形如的积分，当p,q满足一定的条件时，也可给出其计算结果.定理18[3] 设-1<z<3，则有证明利用贝塔函数的性质、Γ函数的性质和余元公式，[1-5]可得文献[11-12]中，实际上是利用复围道积分的理论方法进行两道路上积分的转换，给出了一类广义积分的计算，其严格理论方法可见文献[3].参考文献：[1] 费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解5[M].济南:山东科学技术出版社,1980:709-751.[2] 黄玉民,李成章.数学分析(下册)[M].2版.北京:科学出版社,2007:518-556.[3] 华罗庚,著.高等数学引论(第三册)[M].王元,校.北京:高等教育出版社,2009:129-133.[4] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2002:819-831.[5] 常庚哲,史济怀.数学分析教程(下册)[M].北京:高等教育出版社,2003:344-359.[6] 匡继昌.Dirichlet积分九种解法的思路分析[J].高等数学研究,2012,15(4):61-66.[7] 白玉兰,陈述涛.一个二次广义积分的顺序交换问题[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,1987,3(3):13-18.[8] FLANDERS H.On the Fresnel Integrals[J].American Mathematical Monthly,1982,89(4):264-266.[9] LEONARD I E.More on Fresnel Integrals[J].American Mathematical Monthly,1988,95(5):431-433.[10] 邢家省,杨小远,白璐.两无穷区间上积分交换次序充分条件的改进及其应用[J].四川理工学院学报(自然科学版),2016,29(1)：87-92.[11] 邢家省,杨小远.广义菲涅尔积分的积分交换次序计算方法[J].四川理工学院学报(自然科学版)，2016,29(3)：85-92.[12] 邢家省,杨小远,白璐.菲涅尔积分计算中的一致收敛性的证明方法[J].吉首大学学报(自然科学版)，2016，37(5)：1-9.[13] 邢家省,杨义川，王拥军.菲涅尔积分的几种计算方法[J].四川理工学院学报(自然科学版)，2016,29(5)：88-96.[14] 邢家省,杨义川,王拥军.函数列的广义积分的极限定理及其应用[J].吉首大学学报(自然科学版)，2016，37(6)：1-9.。
狄利克雷积分 复变
狄利克雷积分与复变一、引言狄利克雷积分是数学中的一个重要概念，与复变函数理论密切相关。
它是由法国数学家狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）在19世纪提出的，用来描述函数在边界上给定值的问题。
狄利克雷积分在数学、物理等领域具有广泛的应用，并且在复变函数理论中起着重要的作用。
二、复变函数与复积分为了理解狄利克雷积分，首先需要了解复变函数和复积分的概念。
1. 复变函数复变函数是指定义在复平面上的函数，即输入和输出都是复数。
一个典型的复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy是复平面上的一个点，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部。
通过对实部和虚部进行偏导数运算，可以得到该函数的导数和导数存在条件。
2. 复积分与实变量类似，我们可以定义在复平面上曲线上的路径积分，在这里我们只关注闭合路径上的积分，即沿着一条封闭曲线的路径进行积分。
复积分可以用来计算复变函数在闭合路径上的综合效应。
三、狄利克雷积分的定义狄利克雷积分是一种特殊的复积分，它描述了在边界上给定值的问题。
对于一个给定的函数f(z)，我们考虑一个包含闭曲线Γ的区域D，其中Γ是D的边界。
我们希望找到一个函数F(z)，使得它在D内是解析的，并且在Γ上取给定值。
定义狄利克雷积分为：F(z)=12πi∫f(ζ)ζ−zΓdζ其中，ζ是沿着曲线Γ积分的变量，dζ表示微元长度。
四、狄利克雷积分的性质狄利克雷积分具有一些重要的性质，这些性质使得它成为复变函数理论中一个重要且有用的工具。
1. 解析性由于狄利克雷积分中被积函数是解析函数，所以狄利克雷积分也是解析函数。
这意味着狄利克雷积分在整个区域D内都是解析的。
2. 谐函数如果被积函数f(z)是谐函数，即满足∇2f=0，那么狄利克雷积分得到的函数F(z)也是谐函数。
这一性质对于物理学中的电势问题具有重要意义。
3. 边界条件狄利克雷积分的定义中明确指定了在边界Γ上给定值的条件。
dirchelt函数
dirchelt函数Dirichlet函数Dirichlet函数是一种在实数集上定义的函数，它在数学分析中具有重要的作用。
它的定义方式比较特殊，可以按照其性质和应用来进行分类。
一、定义Dirichlet函数的定义方式比较特殊，它在实数集上的定义如下：$$D(x)=\begin{cases}1, & x\in\mathbb{Q}\\0, &x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$$其中，$\mathbb{Q}$表示有理数集，$\notin$表示不属于。
这个定义方式看起来比较简单，但是却具有很多奇特的性质。
二、性质1. Dirichlet函数在有理数集上等于1，在无理数集上等于0。
这个性质可以从定义中直接得出。
2. Dirichlet函数在任意点处不存在极限。
这个性质可以通过反证法来证明。
假设在某个点$x_0$处存在极限$L$，则对于任意$\epsilon>0$，存在$\delta>0$，使得当$|x-x_0|<\delta$时，$|D(x)-L|<\epsilon$。
由于有理数和无理数在$x_0$处的分布是随机的，因此可以找到一个有理数$q$和一个无理数$p$，使得$|q-x_0|<\delta$且$|p-x_0|<\delta$。
那么根据定义，$D(q)=1$，$D(p)=0$，因此$|D(q)-D(p)|=1>\epsilon$，与假设矛盾。
3. Dirichlet函数在任意点处不连续。
这个性质可以通过定义来证明。
对于任意$x_0$，可以找到一个有理数$q$和一个无理数$p$，使得$|q-x_0|<\delta$且$|p-x_0|<\delta$。
那么根据定义，$D(q)=1$，$D(p)=0$，因此$\lim\limits_{x\to x_0}D(x)$不存在，即$D(x)$在$x_0$处不连续。
三、应用1. Dirichlet函数在测度论中的应用测度论是数学分析中的一个分支，研究的是集合的大小和结构。
对Dirichlet积分的几种简便证明
对Dirichlet积分的几种简便证明
张瑰;张梅
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2005(8)4
【摘要】借助复变函数、积分变换、数学物理方程等数学方法和工具,可通过多种途径证明Dirichlet积分的结果.
【总页数】3页(P28-29,63)
【作者】张瑰;张梅
【作者单位】解放军理工大学理学院,江苏南京,211101;南京农业大学,江苏南京,210095
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.泊松积分的几种简便证明 [J], 钱学明
2.二重积分简便运算的证明 [J], 白旭亚;王冲
3.概率积分∫0∞e-x2dx=√π/2及数e的简便证明方法 [J], 林信恩;
4.Dirichlet积分的几种新证明 [J], 张博
5.欧拉积分类型与Dirichlet公式的一个证明 [J], 赵贤淑
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[基金项目]长江大学精品课程（概率论与数理统计）
Dirichlet 积分的计算方法
赵天玉（长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023）
[摘要] 著名的Dirichlet 积分在物理学等领域有广泛的应用．本文以积分变换为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet 积分的六种方法． [关键词] Dirichlet 积分；Fourier 变换；Laplace 变换；广义函数
The Calculation Method of Dirichlet Integral
ZHAO Tian-yu
(School of Information and Mathematics, Yangtze University, Jingzhou ,434023, China)
Abstract The famous Dirichlet integral is widely used in physics and other fields. In this paper, the integral transform as a research tool, using the methods of mathematical physics, six kinds of calculation methods for Dirichlet integral is given.
Keywords Dirichlet integral ; Fourier transform; Laplace transform; Generalized function
积分
sin 2
x dx x π
+∞
=⎰
是著名的Dirichlet 积分，在光学、电磁学、无线电技术和有阻尼的机械振动等领域有广泛的应用[1]
．因为该积分收敛非绝对收敛，被积
函数的原函数不能用初等函数表示，不能用传统的牛顿－莱布尼茨公式求出该积分值，所以该积分在《数学分析》和《复变函数》教材中作为典型例子来讨论，寻求该积分的种种不同的计算方法一直是人们感兴趣的研究课题．文献[2-3]总结了该积分多种不同的计算方法，但这些方法多数不但比较复杂，需要较高的分析技巧，而且需要较广的数学知识．在多年的教学实践中，作者发现用数学物理方法很容易解决这个问题．本文首先综述了计算Dirichlet 积分的传统经典方法，即含参变量积分法和围道积分法，然后以积分变换和广义函数为研究工具，采用数学物理方法，给出了计算Dirichlet 积分四种新方法．
1 含参变量积分方法
我们知道，含参变量积分
sin ()(0)px x
F p e dx p x
+∞
-=
>⎰ （1） 11
000cos cos px
px
e
xydy dx dx e xydy +∞
+∞--⎛⎫=
= ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰
由于cos px
px
e
xy e
--≤，积分
px e dx +∞
-⎰收敛，由Weierstrass M 判别法，含参变量积分
cos px
e xydx +∞
-⎰
在[0,1]上一致收敛．由于cos px e xy -在[0,)[0,1]+∞⨯上连续，根据积分顺序交换定理[4]
，11
22
1
()cos arctan px
p F p dy e
xydx dy p y p
+∞
-===+⎰⎰⎰
． 又由阿贝尔(Abel) 判别法知，积分（1）在0p ≥时一致收敛，根据连续性定理[4]，
()F p 在0p ≥时连续，故
000
sin 1(0)lim ()lim arctan 2
p p x dx F F p x p π
+++∞
→→====⎰
2 围道积分方法
设()iz
e f z z =，12,L L 分别是实数轴上[,]R r --与
[,]r R 线段，,r R C C 分别是以原点为圆心，以r 与R 为
半径的上半圆周，Γ是如图1所示的积分路径．由Cauchy-Goursat 定理知，()0f z dz Γ
=⎰，即
1
2
()()()()0R
r
L L C C f z dz f z dz f z dz f z dz +++
=⎰⎰⎰⎰
（2）
经化简1
2
sin ()()2R
L L r
x
f z dz f z dz i dx x +=⎰⎰⎰
，由小圆弧引理[5]，0lim ()r
r C f z dz i π+→=-⎰，由Jordan 引理[5]，lim
()0R
R C f z dz →+∞
=⎰
．在式（2）两边令0,r R +→→+∞，并整理
得：
sin 2
x dx x π
+∞
=⎰
3 Fourier 变换方法
图1 围道积分路径
设1,1;
()0, 1.t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则它的Fourier 变换为[()]()j t F f t f t e dt ω+∞
--∞
=⎰sin 2ωω=
()F ω．
当1t <时，有1
1
()[()]()2j t
f t F F F e d ωωωωπ
+∞
--∞
==⎰
2
sin cos t
d ωωωπ
ω
+∞
=
⎰
，
特别取0t =得：
sin 2
d ω
π
ωω
+∞
=
⎰
．
4 能量积分方法
设()f t 在Fourier 变换下的象函数为()F ω，则有
2
2
1[()]()2f t dt F d ωωπ+∞
+∞
-∞
-∞
=⎰⎰
（3）
式（3）称为Parseval 等式[6]
，其中2[()]f t dt +∞
-∞
⎰称为()f t 的能量积分.
将上文中Fourier 变换方法的()f t 和()F ω应用在式（3）中，可以得到
22
0sin 2
d ω
π
ωω+∞
=
⎰
．又由分部积分法，
22
sin d ω
ωω+∞
=
⎰
sin 2sin u
d du u
ω
ωω
+∞
+∞
=⎰
⎰
，故 0
sin 2
u du u π
+∞
=⎰
． 5 Laplace 变换方法
设()sin f t t =，则它的Laplace 变换为0
[()]()st L f t f t e dt +∞
-=
⎰
21
1
s =
+()F s ．
又0sin lim 1t t t →=，()arctan 2s
F s ds s π
∞
=-⎰，由Laplace 变换象函数的积分性质[6]，有sin t L t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦()arctan 2s
F s ds s π∞=-⎰，特别取0s =得：0
sin 2
t dt t π
+∞
=⎰
． 6 广义函数方法
单位脉冲函数()t δ也叫狄拉克(Dirac)函数，简称δ-函数，它是一个广义函
数，是弱收敛函数序列的弱极限[6]，即对于任何一个无穷次可微的函数()f t ，有
sin ()()lim
()(0)t
t f t dt f t dt t ωωδωπ+∞
+∞
→+∞-∞
-∞
=>⎰⎰ （4）
在式（4）中特别取()1f t =，由δ-函数的筛选性质知，左边()1t dt δ+∞
-∞
=⎰，右边
积分中作换元变换u t ω=得：0
sin 1sin 2
sin lim lim t u u
dt du du t u u
ωωωπππ+∞+∞+∞
→+∞→+∞-∞-∞
==
⎰⎰⎰
．故 0
sin 2
u du u π
+∞
=⎰
. 参考文献
[1] 梁昌洪．复变函数札记[M ]．北京：科学出版社，2011．
[2] 匡继昌．Dirichlet 积分九种解法的思路分析[J ]．高等数学研究，2012，15 ( 4) ：62~ 66.
[3] 张瑰，张梅. 对Dirichlet 积分的几种简便证明[J ]．高等数学研究，2005，8（4）：28~29. [4] 华东师范大学数学系. 数学分析（下册）[M].第三版.北京：高等教育出版社，2001. [5] 姚端正，梁家宝．数学物理方法[M ]．第二版.武汉：武汉大学出版社，1997． [6] 张元林．积分变换[M ]．第四版.北京：高等教育出版社，2003．。