东北林业大学2014-2015年高等数学试题

东北林业大学
2014－2015学年第二学期期末考试试题
开课学院：理学院 教研室主任（专业负责人）：
考试科目： 高等数学A2 试卷总分：100分
1、函数2(,)2y
f x y x xe =+在点(1,0)的全微分为。

2、已知曲线积分
124(6)L
xy dx x y y dy λλ-+-⎰
与路径无关，则=λ 。

3、已知S 为上半球面221y x z --=，则
22()S
x y zdS +=⎰⎰。

4、级数
1
1
(01)1n
n a a ∞
=<<+∑的敛散性为 。

5、若幂级数1
(2)
n
n n a x ∞
=+∑在4x =-条件收敛，则
1
n
n n a x
∞
=∑的收敛域为 。

二、单选题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）
1、旋转曲面12
2
2
=--z y x 是（ ）。

(A) xoy 平面上的双曲线绕x 轴旋转而成；(B) xoz 平面上的双曲线绕z 轴旋转而成； (C) xoy 平面上的椭圆绕x 轴旋转而成； (D) xoz 平面上的椭圆绕x 轴旋转而成。

2、设)0(:2
2
2
2
≥=++z a z y x S ，1S 为S 在第一卦限中的部分，则有( )。

（A ）1
4S
S x dS x dS =⎰⎰⎰⎰； （B ）1
4S
S y dS y dS =⎰⎰⎰⎰；
（C ）1
4S
S zdS z dS =⎰⎰
⎰⎰； （D ）1
4S
S xyz dS xyz dS =⎰⎰⎰⎰。

3、设C 为平面内任意一条有向闭曲线，则下列积分中一定为零的是( )。

（A ）
C ydx xdy -⎰Ñ； （B ）C
xydx xydy +⎰Ñ； （C ）()()C
x y dx x y dy +-+⎰Ñ； （D ）()()C
x y dx x y dy ---⎰
Ñ。

4、下列4个级数中，收敛的级数个数为（ ）。

（1）11n n ∞
=∑（2）211n n ∞=∑（3
）1(1)n n ∞=-∑（4）1
11ln n n ∞
=+∑ （A ） 3个； （B ） 2个 ； （C ） 1个； （D ） 0个。

5、若级数1
n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑都发散，则下列级数中一定发散的是（ ）。

(A)
1
()n
n n u
v ∞
=+∑；(B)
1
n n
n u v
∞
=∑；(C )
2
21
()n
n
n u
v ∞
=+∑；(D)
1
()n
n n u
v ∞
=+∑。

三、解答下列各题（本大题共10小题，每小题7分，总计70分）
1、求微分方程54='-''y y 的通解。

2、求⎰⎰⎰
+V
dV y x )(2
2。

其中，V 是由曲面z y x 222=+及平面2=z 围成的区域。

东北林业大学
2014－2015学年第二学期期末考试试题
开课学院：理学院 教研室主任（专业负责人）：
3、设L 为空间曲线t t x cos =，t t y sin =，t z =从0=t 到1=t 的弧段，求
L
z ds ⎰。

4、设L 为正向圆周12
2=+y x 在第一象限中的部分，求曲线积分
2L
xdy ydx -⎰。

5、设∑为球面12
22=++z y x 的外侧，求222xy dydz yz dzdx zx dxdy ∑
++⎰⎰。

6、判别级数()
1
1n
n ∞
=-∑的敛散性，若收敛指明是绝对收敛还是条件
收敛。

东北林业大学
2014－2015学年第二学期期末考试试题
开课学院：理学院 教研室主任（专业负责人）：
7、求幂级数1(1)2
n n
n
n x n ∞
=-⋅∑的收敛域。

8、将函数()ln(12)f x x x =+展开为x 的幂级数。

9、求幂级数()()1
1,1!
n n x x n -∞
=∈-∞+∞+∑的和函数。

10、设函数()f x 以2π为周期，且0,0
(),0x f x x x ππ
-≤<⎧=⎨≤<⎩，试将()f x 展开成
傅里叶级数。

东北林业大学
2014－2015学年第二学期期末考试试题
开课学院：理学院 教研室主任（专业负责人）：
东北林业大学2014----2015学年度第二学期
高等数学A2期末试题答案及评分标准
一、填空题
1、
dy dx 24+ 2、3 3、
2
π
4、发散
5、)2,2[- 二、选择题 1、 A 2、 C 3、 D 4、 B 5、 D
三、 1、解：特征方程为 042=-r r ，特征根为01=r ，42=r ，
x
H e C C y 421+= ………………3分
设ax y =*
，带入原方程得45-=a ， …………………5分
则原方程通解为x e C C y x
H 4
5421-+= …………………7分
2、解：原式
dz r dr d r ⎰⎰⎰=πθ20
20
2
2
32 …………………3分
⎰-=2
05
3
)22(2dr r r π …………………5分
3
16π= …………………7分
3、解：原式
⎰+=1
22dt
t t …………………3分
()
1
23223
1
t += …………………5分
3
2
23-
= …………………7分 4、解：原式
t d t t d t cos sin 2sin cos 20
-=⎰π
…………………3分
⎰+=20
2sin 1π
tdt
， …………………5分
4
3π=
…………………7分
5、解：原式
dV x z y V
⎰⎰⎰++=222， …………………3分
21
40
sin d d d ππθφρφρ=⎰
⎰⎰ …………………5分
45
π=
…………………7分
6、解：
1
21
111+≥++=
-+=n n n n n u n
原级数非绝对收敛 …………………3分
)(0∞→→n u n 且n n u u ≤+1 …………………5分
由莱布尼茨判别法知原级数收敛。

故原级数条件收敛。

…………………7分
7、解： 收敛半径222)1(lim lim 1
1
=⋅⋅+===+∞→+∞→n n n n n n n n a a R ，
因此收敛区间为)2,2(- …………………4分
2-=x 时，∑∞=11n n 发散；2=x 时，∑∞
=-1
1
)1(n n n 收敛，
故原幂级数的收敛域为]2,2(- ………………7分
8、解： ]1,1(1
)1()1ln(1
0-∈+-=++∞=∑x x n x n n n …………………3分
即有 ]21
,21(21)1()21ln(1
1-∈+-=++∞
=+∑x x n x n n n n …………………5分
故
]2
1
,21(21)1()1ln(2
10
-∈+-=+++∞
=∑x x
n x x n n n n 。

…………………7分
9、解：设 )()!1(11x S n x n n =+∑∞
=-，则 )()!1(211
x S x n x n n =+∑∞
=+ …………………3分 即有 1)(2--=x e x S x x
…………………5分
故0≠x 时，21)(x x e x S x --且有21
)0(=S …………………7分
10、解： 2
1)(100π
πππππ===⎰⎰-dx x dx x f a 2011(1)1()cos cos n n a f x nx dx x nx dx n ππππππ---===⎰⎰
n
dx nx x dx nx x f b n n 1
0)1(cos 1sin )(1+--===⎰⎰πππππ …………………4分
⎪
⎩⎪⎨⎧±=-∈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+∑∞=+ππππππx x x f nx n nx n x f n n n 2
),()(sin )1(cos 1)1(4~)(11
2 …………………7分。