常数项级数练习解答
考研数学高等数学强化习题-常数项级数
考研数学⾼等数学强化习题-常数项级数模块⼗三常数项级数Ⅰ经典习题⼀．具体级数收敛性的判别1、判断下列级数的收敛性（1）21ln n nn ∞=∑ （2）)11n ∞=∑（3）1n ∞=∑ （4）2211ln 1n n n ∞=+-∑ （5）()()()2111...1nnn a a a a ∞=+++∑ （6）()211212n n n ∞+=??+-??∑ （7）21nn n e∞-=∑ （8）ln 1n n x dx ∞=+∑?2、判断下列级数的收敛性（包括绝对收敛与条件收敛）（1）()22ln 1nn nn ∞=-∑ （2）11nn ∞=-（3）()11111...2nn n∞=-+++∑（4）()2111nnnn a a ∞=-+∑，（1a >）3、下列级数中不⼀定收敛的是（）（A ）12!n n n n n ∞=∑ （B ）()1111n n n n n -∞+=+∑ （C ）11,0,0n a b anbn c α∞=>>++∑（D ）1,01nn np p ∞=<<∑ 4、下列级数条件收敛的是（）（A ）()211nn k n n ∞=+-∑ （B ）1(2)sin 3nnn π∞=-∑ （C ）()11nn ∞=-∑，其中21n n a ∞=∑收敛. （D ）121nn n n ∞=-?? ?+??∑ 5、对于常数0k>，级数1211(1)tan()n n kn n∞-=-+(C)条件收敛 (D)收敛性与k 的取值有关 6、设a为常数，则级数21sin()[).n na n ∞=-∑ （A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）收敛性与a 的取值有关7、判别级数111[ln ]n n nn ∞=+-∑的敛散性，并证明1112lim1.ln n n n →∞+++= ⼆．抽象级数收敛性的判别8、131sin (1)1nn n kxdx x ∞=-+∑?(k 为常数) （）（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）敛散性有k 有关9、设()f x 是微分⽅程2(1)xy xy x e '+=+满⾜初始条件(0)0y =的特解，则⽆穷级数1(1)()nf n-∑ ( ) （A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）敛散性不定 10、设函数()f x 在区间(0,1)内可导，且导函数()f x '有界：()f x M '≤，证明（1）级数111()()1n f f n n ∞=??- ?+??∑绝对收敛；（2）1lim ()n f n11、设函数()y y x =是微分⽅程'y x y =+当()01y =时的⼀个特解，试讨论级数1111n f n n ∞=-- ??∑的收敛性. 12、设()f x 在[)1,+∞上单调增加，且()lim .x f x A →+∞= （1）证明级数()()11n f n f n ∞=+-∑收敛，并求其和；（2）进⼀步设()f x 在[)1,+∞上⼆阶可导，且()0,f x ''<证明级数()1n f n ∞='∑收敛。
辽宁工业大学高数习题课11-1
an ≥ 0
正项级数
二,判别常数项级数收敛的解题方法
的敛散性, 判别常数项级数∑an的敛散性,应先考察是否有
n=1
liman = 0 成立.若不成立,则可判定级数发散; 成立.若不成立,则可判定级数发散;
n→∞
若成立,则需作进一步的判别. 若成立,则需作进一步的判别.
此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 此时可将常数项级数分为两大类,即正项级数与任意项级数. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法. 对于正项级数,可优先考虑应用比值法或根值法.若此 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 二方法失效,则可利用比较法(或定义)作进一步判别; 对于任意项级数, 是否收敛. 对于任意项级数,一般应先考虑正项级数 ∑ an 是否收敛. 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛; 若收敛,则可判定原级数收敛,且为绝对收敛;
n=1
∞
问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数, 问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性(如几何级数,
p 级数等),然后根据 an 的特点,进行有针对性的放缩. 级数等), ),然后根据 的特点,进行有针对性的放缩.
a nn! 的收敛性. 【例6】判别级数 ∑ nn 的收敛性. 】 n =1
un+1 ∵ = un e >1 1 n (1 + ) n
∴ un+1 > un lim un ≠ 0
n →∞
所以,原级数发散. 所以,原级数发散. 的因子时, 注:在级数一般项 un 中,若含有形如 nk , an , n!, nn 的因子时, 适于使用比值审敛法. 适于使用比值审敛法.
1 的敛散性. 【例7】判断级数∑ [ln(n + 1)]n 的敛散性 】 n =1
高数 常数项级数的审敛法 知识点与例题精讲
解
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故函数 x 单调递减, x1
un un1 ,
又
lim
n
un
lim
n
n
n 1
0.
原级数收敛.
三、绝对收敛与条件收敛
定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理 若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
例 2 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明 1 1 , n(n 1) n 1
而级数
1
1
发散,
n1 n 1 n2 n
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
3.比较审敛法的极限形式:
定理4:
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n源自n12n收敛,但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim
n
un 1 un
lim
n
an
不存在.
例 5 判别下列级数的收敛性:
n4
收敛
因此
sin n
n1
n4
7.1 常数项级数的概念和性质-习题
1．写出下列级数的一般项： ⑴13572468++++；【解】分析级数各项的表达规律：分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为212n n u n-=，1,2,3,....n =。
⑵1111112349827++++++；【解法一】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即122n +，偶数项为3的乘幂，幂指数为项数的一半，即23n ，于是有1221, 2121, 23n n n n k u n k +⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，k J ∈，1,2,3,....n =。
也可为1221(1)11(1)12223n n n n n u +--+-=⋅+⋅，1,2,3,....n =。
【解法二】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成，若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有11123u =+， 21149u =+221123=+，311827u =+331123=+，......于是得1123n n nu =+，1,2,3,....n =。
⑶345622345-+-+-。
【解】分析数列各项的表达规律：各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1(1)n +-，从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n于是得11(1)n n n u n++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律，从而得 11(1)n n n u n++=-，1,2,3,....n =。
2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴11(21)(21)n n n ∞=-+∑；【解】级数前n 项和为11(21)(21)nn i S i i ==-+∑1111()22121nn i i ==--+∑1111()22121n n i i ==--+∑11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+11(1)221n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n→∞=-+12=，知级数收敛，收敛于12。
高数A2习题课1常数项级数
常用审敛法
03
比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法和积分审敛法等。
比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法应用举例
01
02
03
比较审敛法
通过找一个已知收敛或发 散的级数，与原级数进行 比较来判断原级数的敛散 性。
比值审敛法
通过计算级数相邻两项的 比值，根据比值的极限来 判断级数的敛散性。
根值审敛法
通过计算级数项的n次方 根，根据n次方根的极限 来判断级数的敛散性。
典型例题分析与解答
例题1
判断级数$sum_{n=1}^{infty}(-1)^{n-1}frac{n}{n+1}$ 的敛散性，并说明理由。
分析
首先判断级数是否满足交错级数审敛法的条件，然后利用 极限性质进行进一步判断。
解答
由于$u_n=frac{n}{n+1}$不满足单调递减的条件，因此该 级数不能用交错级数审敛法判断。进一步观察可知，该级数 的通项不趋于0，因此该级数发散。
05 Fourier级数展开式及其 应用
Fourier系数计算公式推导过程
1 2
三角函数系的正交性
利用三角函数系在不同区间上的正交性，推导出 Fourier系数的基本形式。
积分求解
通过计算函数与三角函数系中各项的积分，得到 Fourier系数的具体表达式。
3
简化计算
利用三角函数的奇偶性、周期性等性质，简化 Fourier系数的计算过程。
计算题、证明题解题思路梳理
明确题目要求
理清题目中的已知条件和求解目标。
选择合适的求解方法
如利用级数求和公式、裂项相消法、错位相减法等。
注意证明过程的严谨性
在证明题中，每一步推理都要有明确的依据，避免跳跃式推理。
(习题解答)习题9 常数项级数收敛性的判定
习题 9-21.判断下列级数的敛散性.<1）； <2）； <3）；<4）； <5）； <6）<）．解：<1）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而调和级数发散，从而也发散；由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
<2）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论）；由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
<3）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为<），且调和级数发散；则由正项级数的比较判别法，得级数发散。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而，所以，即，又调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
<4）；方法一：<利用正项级数的比较判别法）因为，而级数收敛<级数的结论），由正项级数的比较判别法，得级数收敛。
方法二：<利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为，而级数收敛<级数的结论），则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
<5）；因为，而调和级数发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数发散。
注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。
<6）<）．当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，则由级数收敛的必要条件，得级数<）发散；当时，，且级数是公比为<）的等比级数，是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数收敛。
高数 常数项的级数 知识点与例题精讲
例6.判断级数的敛散性: 解: 考虑加括号后的级数
发散 , 从而原级数发散 .
1 2n
5 n1 n(n 1)
n1
1 2n
n1
5 n(n
1)
5
n1
1 n
n
1
1
令gn
5 n k1
1 k
k
1
1
5(1
1 n
), 1
lim n
gn
5 lim(1 n
1) n1
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三、级数收敛的必要条件
设收敛级数
则必有
证: un Sn Sn1
lim un lim Sn lim Sn1 S S 0
n
n
n
可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .
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注意:
练习题答案
一、1、1 1 2 1 3 5 1 3 5 7 1 3 5 7 9 ； 2 2 4 2 4 6 2 4 6 8 2 4 6 810
2、 1! 11
2! 22
3! 33
4! 44
5! 55
；
n
3、
x2
； 4、(1)n1 a n1 ；
数学分析12-4 常数项级数判别方法和习题
e n! （4 ） nn 1
e nn! 解 un n n n1 n un 1 lim e n 1! e n ! lim n n u n 1n1 n n n
n
e e nn lim 1 n lim n n n 1n 1 1 un 1 e n 而 1 1 un 所以un1 un 1 n 1 n 又u1 e 所以 lim un e , lim un 0 故：原级数发散。
an n
1 而 a n与 2 均收敛 n 1 n 1 n
所以
n 1
an 收敛。 n
n
常数项级数审敛法
一般项级数
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛; 2. 当 n , un 0, 则级数发散 ; 3.按基本性质; 4.绝对收敛 4.充要条件 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理)
5.比较法 6.比值法 7.根值法
(2)
比较判别法的极限形式un 1 (数或 ) 设 un 是正项级数,如果 lim n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.
(5) 根值判别法 (柯西判别法)
设
u
n 1
n
是正项级数,
如果lim n un ( 为数或 ) ,
n 1
所以N 0,当 n N 时，有an 1, an 2 an
由比较法（推论）知道 a n 收敛。 1
n 1 2
（ ） an an1 2
n 1
1 an an1 2
a n a n 1 收敛
无穷级数常数项级数的概念与性质题目
第十一章 无穷级数§11.1 常数项级数的概念与性质一、判断题 1．∑∞=1n n u 收敛，则3)3(lim 2=+-∞→n n n u u （ ）2．若0lim ≠∞→n n u ，∑∞=1n nu发散。
（ ）3.∑∞=1n nu收敛,则∑∞=+1)10(n nu收敛。
（ ）4．∑∞=1n nu发散，∑∞=1n nv发散，则)(1n n nv u-∑∞=也发散。
（ ）5．若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=+12n n u也收敛。
（ ）二、填空题1．∑∞=⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(642)12(531n n n 该级数的前三项是 。
2．级数⋅⋅⋅-+-+-5645342312的一般项是 。
3．级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+86426424222x x x x x 的一般项为 。
4．级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 。
三、选择题1． 下列级数中收敛的是（ ）（A ）∑∞=+1884n n n n （B ）∑∞=-1848n n nn （C ）∑∞=+1842n n nn （D ）∑∞=⋅1842n nn n2． 下列级数中不收敛的是（ ）（A ）)11(ln 1n n +∑∞= （B ）∑∞=131n n （C ）∑∞=+1)2(1n n n （D ）∑∞=-+14)1(3n nnn3． 如果∑∞=1n nu收敛，则下列级数中（ ）收敛。
（A ）∑∞=+1)001.0(n n u （B ）∑∞=+11000n n u （C ）∑∞=12n n u (D) ∑∞=11000n nu4． 设∑∞=1n n u =2，则下列级数中和不是1的为（ ）（A ）∑∞=+1)1(1n n n （B ）∑∞=121n n （C ）∑∞=22n n u (D)∑∞=12n nu 四、求下列级数的和1．∑∞=+1523n nnn 2. ∑∞=+-1)12)(12(1n n n3.)122(1n n n n ++-+∑∞= 4.)1()12(11<-∑∞=-q qn n n五、判断下列级数的收敛性。
第13章 无穷级数重点内容与练习
都收敛
（B）
un 与
un2 都发散
n 1
n 1
n 1
n 1
（C） un 收敛，而
u
2 n
发散（D）
un 发散，而
un2
n 1
n 1
n 1
n 1
收敛
6. 级数 sin( n2 1) （ ）．答案： B n1
（A）发散
（B）条件收敛
（C）绝对收敛 （D）敛散性无法判定
7.
级数
n1
sin n n2
( )．
（A） a ,b （B） a 2 ,b 2 2 +
2
2
2
2
(C) a ,b
22
答案： D ．
（D） a 2 ,b
2
2
x2 1, 0 x ,
25.设
f
(x)
x2
1,
则 f (x) 以周期为 2 的傅
x 0.
里叶级数在点 x 处收敛于
．
答案： 2 ．
1 n
（
）．答案： C
（A）条件收敛 （B）绝对收敛
（C）发散
（D）无法确定
8. 设正项数列{an }单调减少，且级数 (1)n an 发散， n1
试讨论
(1)n (1 an1 ) 的敛散性．
n1
an
解：依题知
lim
n
an
存在，设
lim
n
an
a
则
a
0
，且
an a, n 1, 2,
而 (1)n (1 an1 ) an an1 an an1
ln
2
2
x
．当
3.5常数项级数的判别法(1)
1
例8. 判别下列级数的敛散性 . 1 n (1) n ; (2) 2 sin n n 3 n1 8 6 n1
解: （1）所给级数的一般项为
1 1 1 un n n n 8 6 8 1 ( 3 )n 4
1 1 n 8 1 ( 3 )n 1 un 4 1, lim 令 vn n , 则因 lim 1 n v n 8 n 8n 1 而 n 收敛，所以原级数收敛。 n 1 8
1 1 n 1 1 n p 1 1 p 1 p 1 k (k 1) (n 1) k 1
n
故强级数收敛 , 由比较判别法知 p 级数收敛 .
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等比级数、调和级数与 p 级数是三个常用的参照级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切
收敛, 则有 有界 也收敛 .
有 . 由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有
这说明强级数
也发散 .
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1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p p (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.
sin 1 ～ n
1 n
1 根据比较判别法的极限形式知 sin 发散 . n 1 n
例7. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. ln(1 12 ) ～ n12 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 根据比较判别法的极限形式知 ln 1 2 收敛 . n1 n
常数项级数考研辅导
收敛, 性质 5 如果级数 un 收敛,则 lim un = 0 n→ ∞ n=1 注意 ∞
∑
∞
1 (1)仅仅是必要条件,不是充分条件. 如∑ 仅仅是必要条件, 仅仅是必要条件 不是充分条件. n =1 n
(2)如果级数的一般项不趋于零,则级数发散. 如果级数的一般项不趋于零,则级数发散. 如果级数的一般项不趋于零
∞n =1 n =1 n
∞
n= 2
∞
∑ u 收敛时 , Sn 可看成是和的近似值 .
∞
= s − s n= u n + 1 + u n + 2 + ⋯ = ∑ u n + i ∞ i =1 即当 ∑ u n 收敛时 , lim rn = 0
(2) un ＝ Sn－ Sn－1
n=1
n→ ∞
( 3 ) lim u n 存在 ⇔
∑u
n =1 ∞
∞
n
的 和 . 并 写 成
s = u1 + u2 + ⋯ + u3 + ⋯＝∑ un
n =1
极限不存在, 如果 sn 极限不存在,则称无穷级数
P1771(2)
考研辅导
发散. ∑ un 发散. n =1
∞
收敛， 收敛， 例1 已知数列 {nan } 收敛， n(an − an−1 ) 收敛， ∑ 证明： 收敛。 证明：级数 ∑ an 收敛。 注 (1)当 (1)当 余项 rn
n=1 n =1
P155例3
例4 讨论下列级数的敛散性。 讨论下列级数的敛散性。 ∞ ∞ ln n n ln n (2) (1 − ) (1)∑ p n n= 2 n n =1
∑
解(2)un = e
《高等数学》例题解析-第十七讲 常数项级数的敛散性
A． Un n1
B. 2008Un n1
C． Un 0.001 n1
D．
1
U n1 u
解： 2008Un ＝2008 Un
n1
n1
U
收敛
n
由性质
2008U
n
收敛
n1
n1
3．下列级数中一定收敛的是…( A )
A．
n10
n2
1
4
B．
n10
2n
4n
4n
C．
n
10
1
n
n
!
收敛
18．判别
n1
n2
arctan 3n
n的敛散性
解 ：（ 1 ）
arctan n
2
n2 3n
arctan n
＝
Un
2
n2 3n
取Vn
2n2 3n（2） Nhomakorabea别n1
2
n2 3n
的收敛性
＝ lim Vn1 ＝ lim
V n n
n
n 1 3n1
2
3n n2
<1
Vn 收敛 n1
n1
n
arctan
1 2n3
的敛散性
解：（1）当 n
时， arctan
1 2n3
~
1 2n 3
(2) lim Un V n
n
Vn
1 2n2
lim
n arctan
1 2n2
＝
n
1
2n2
1，且
n1
1 2n2
收敛（p=2>1）由比较法的极
限形式知，
n1
n
常数项级数练习解答共33页文档
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
•Байду номын сангаас
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
常数项级数练习解答
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
常数项级数练习解答
1 n2
级数收敛
2
1 (ln n)ln n
1 eln n(ln ln n)
e ln
1
n(ln ln
n)
1
n(ln ln n)
1 n2
(n ee2 )
级数收敛
7.
讨论 :
1
un
与
vn
收敛,
则在什么条件下
unvn收敛
n1
n1
n1
2若 lim un
n vn
1, 且
vn
n1
收敛,问
un是否收敛
n1
un
是正项级数,如果
lim
n
un1 un
(数或 )
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1时失效.
(3).根值审敛法 (柯西判别法)：
设
un
是正项级数,如果lim n
n
un
(或),
n1
则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
3、交错级数及其审敛法
(1)n1un或 (1)nun
1 1n
un n n
vn
收敛,
n1
lim un 1 n vn
但是
un发散.
n1
End
测验题
一、选择题:
1、下列级数中,收敛的是( ).
(A) 1 ；
n1 n
(C)
1；
n 3 2
n1
(B)
1；
n1 n n
(D) (1)n .
n1
2、下列级数中,收敛的是( ).
(A) (5)n1 ；
n1
n1
应用于 p 级数判别级数的收敛性：
设 un 为正项级数,
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原级数发散．
ln( n 2) ( 2) (a 0). n 1 ( a 1 ) n n
解
ln( n 2) n u lim lim n n n 1 a n
n
1 n ln(n 2) n n,
1 当 1 , 即a 1时 a 1 当 1 , 即a 1时 a
则级数收敛,且其和 s u1 ,
其余项 rn 的绝对值 rn un 1 .
4、任意项级数及其审敛法
定理 若
u
n 1
n
收敛,则
u
n 1
n
收敛.
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1 n 0
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1 n 1
常数项级数审敛法归纳
一般项级数
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
; 2. 当 n , un 0, 则级数发散
3.按基本性质; (1).比较法 (2).比值法 (3).根值法 (4).绝对收敛,条件收敛 (5) 交错级数 (莱布尼茨定理)
v1 v 2 v n
1 vn 3n
n1
v n 发散
加括弧发散则原级数发散.
2. 判别收敛性 : 1
2 ( n! ) n 1 ( 2n) n
2
解
n 1 n
an
p
a 0
1
(( n 1)! ) 2 un 1 ( 2n 2) n 1 un ( n! ) 2 ( 2n ) n
n
1 np
p1 0 p1 p0
绝对收敛 条件收敛 发散
练习题
1 1 1 1 1 1 1 1 1. 判别 1 的收敛性 2 3 4 5 6 3n 1 3n 2 3n 3 2 an ( n! ) 2 p a 0 2. 判别收敛性 : 1 n 1 n n 1 ( 2n) n 1
原级数也发散．
n1 1 ln n p 0 4. 判别收敛性 : 1 n 2 ln p n
n
2 sin( n 2 1 )
n1
解
( 1) n ( 3) n1 n ln n
1
n1 ln n un ln p n
～
1 n ln p n
End
测 验 题
一、选择题: 1、下列级数中,收敛的是( ). 1 1 (A) ； (B) ； n 1 n n 1 n n 1 n (C) 3 2 ； (D) ( 1) . n n 1 n 1 2、下列级数中,收敛的是( ). 5 n 1 4 ( ) ； ( ) n 1 ； (A) (B) n 1 4 n 1 5 5 4 n 1 n 1 5 n 1 (C) ( 1) ( ) ； (D) ( ) . 4 5 n 1 n 1 4
n1
1 1 (n ) a
级数 v n 收敛，
n2
n
n 1 1 a
收敛性
2
an
n
n 1 a
1
的收敛性 .(a 0)
an an 1 an a 1
n
a 1 时, a 1 时,
an 1 2
级数收敛
级数发散
6. 判别 : 1
3 判断级数敛散性 : (1)
别收敛性 : 1
n 2
1n ln
n1 n p 0 ln p n
1 n (n ) n
; ( 2)
ln( n 2) (a 0). n 1 ( a 1 ) n n
2 sin( n 2 1 )
un 2若 lim 1, 且 v n 收敛, 问 un 是否收敛 n v n n 1 n 1
未必收敛,
( 1) 例如 v n , n
n
1 1 un n n
n
n1
v n 收敛,
un lim 1 n v n
但是 un 发散.
n1
基本级数:
1.几何(等比)级数
n aq n 0
q 1 1 q
收敛 发散
(
a ) 1 q
2.P-级数
1 n 1 n p
p1 p1 p1 p1
收敛 发散 收敛 发散
推广
n2 n ln p
1 n
3.
n 1
1
1 lim n ln( n 2) , a n 1 . a 当n 2
原级数收敛；
原级数发散；
当 a 1时,
ln( n 2) 原级数为 , 1 n n1 (1 ) n
ln( n 2) 1 n n 1 (a ) n
ln( n 2) lim , n 1 n (1 ) n
十二章习题课1
常数项级数
1、常数项级数的概念与性质
un u1 u2 u3 un n1
级数的部分和 sn u1 u2 un
ui i 1
n
常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在).
n
基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3: 加减或更改前有限项不影响级数的敛散 性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. 级数收敛的必要条件: lim un 0. n
1 n (lnln n )
1 n2 (n e
e2
1 e
ln n (ln ln n )
)
级数收敛
7. 讨论 : 1
n1
un 与
n1
v n 收敛, 则在什么条件下 un v n 收敛
n1
un 2若 lim 1, 且 v n 收敛, 问 un 是否收敛 n v n n 1 n 1
练习题解答
1 1 1 1 1 1 1 1 1. 判别 1 的收敛性 2 3 4 5 6 3n 3n 1 3n 2
解
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ) ( ) 2 3 4 5 6 3n 3n 1 3n 2 3n 3
n 1 n 1
应用于 p 级数判别级数的收敛性：
设
un 为正项级数, n 1
un 或 lim n 1 n
k k un ~ ( k 0) 是 的同阶无穷小。 n n
则级数
u
n1
n
发散 ;
若 un ~
k n
p
p 1
则级数
n1
u n 收敛 .
(2).比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
n n n un , 1 n 1 n (n ) (1 2 ) n n 1 1 n 1 n2 n lim(1 2 ) lim[(1 2 ) ] e 0 1; n n n n
n
1 n
1 n (n ) n
;
n
lim
1 nn
1
lim un 1 0, n
n 1
( 1) n 3 n1 n ln n
5. 判别 : 1
n2
n
n 1 1 a
2
an
n
n 1 a
1
的收敛性 (a 0)
5. 判别 : 1
6. 判别 : 1
n2
n
n 1 1 a
2
an
n
n 1 a
1
的收敛性 (a 0)
当p 1时, 收敛 当p 1时, 发散
又由于 un 单减
n1 1 ln n 收敛 n 2 ln p n
n
un 0
当p 1时, 绝对收敛 则 当p 1时, 条件收敛
2 sin( n 2 1 )
n1
sin( n 2 1 ) sin ( n 2 1 n) n
设
un 与 v n 都是正项级数,
n 1 n 1
若
un lim l, n v n
则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l 0 时，若
vn 收敛,则 un 收敛; n 1
n 1
(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
解
1
若un 是绝对收敛（正项）级 数，则 un v n收敛
n1
lim v n 0
un v n un
则 un v n绝对收敛
n1
n1
n
n充分大时 v n 1
un v n 收敛 (绝对）
( 1) n 又 un vn n
n 1
un v n发散
n 1 a
1
n
( a 0) 2
1 a
lim
n
1
ln n
n1 (ln n)