常数项级数练习解答

即原级数非绝对收敛． ( 1) n 又由于 是交错级数, n1 n ln n 1 1 n 0, lim lim ln n n n ln n n 1 n
考虑
f ( x ) x ln x ( x 0),
1 f x 单增 f ( x ) 1 0 ( x 1), x 1 1 故 当 n 1 时单减, 即 单减, n ln n x ln x
解
1
若un 是绝对收敛（正项）级 数，则 un v n收敛
n1

lim v n 0
un v n un
则 un v n绝对收敛
n1
n1
n
n充分大时 v n 1
un v n 收敛 (绝对）

( 1) n 又 un vn n
n 1
un v n发散
2、正项级数及其审敛法
性质
un , n1

un 0
正项级数收敛 部分和所成的数列 s n 有界.
(1) 比较审敛法 若 0 v n un
当
n N ,
un 收敛 n 1
n 发散

v
n 1
n 1

n 也收敛
v
n 1

u
n 也发散
比较审敛法的极限形式:
3 判断级数敛散性 : (1)
n 1


n
n
n
4. 判别收敛性 : 1
n 2



1n ln
n1 n p 0 ln p n
1 n (n ) n
; ( 2)
ln( n 2) (a 0). n 1 ( a 1 ) n n

2 sin( n 2 1 )
1 n (lnln n )
1 n2 (n e
e2
1 e
ln n (ln ln n )
)
级数收敛
7. 讨论 : 1
n1


un 与
n1


v n 收敛, 则在什么条件下 un v n 收敛
n1

un 2若 lim 1, 且 v n 收敛, 问 un 是否收敛 n v n n 1 n 1
un1 设 un 是正项级数,如果 lim (数或 ) n u n 1 n
则 1时级数收敛; 1 时级数发散; 1 时失效.

(3).根值审敛法 (柯西判别法)：
设
un 是正项级数,如果lim n 1
n

n
un (或),
则 1时级数收敛;

练习题解答
1 1 1 1 1 1 1 1 1. 判别 1 的收敛性 2 3 4 5 6 3n 3n 1 3n 2
解
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( ) ) ( ) 2 3 4 5 6 3n 3n 1 3n 2 3n 3
n 1 n 1 n 1



常数项级数审敛法归纳
一般项级数
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
; 2. 当 n , un 0, 则级数发散
3.按基本性质; (1).比较法 (2).比值法 (3).根值法 (4).绝对收敛,条件收敛 (5) 交错级数 (莱布尼茨定理)

End
测 验 题
一、选择题: 1、下列级数中,收敛的是( ). 1 1 (A) ； (B) ； n 1 n n 1 n n 1 n (C) 3 2 ； (D) ( 1) . n n 1 n 1 2、下列级数中,收敛的是( ). 5 n 1 4 ( ) ； ( ) n 1 ； (A) (B) n 1 4 n 1 5 5 4 n 1 n 1 5 n 1 (C) ( 1) ( ) ； (D) ( ) . 4 5 n 1 n 1 4
n1 2 1 1 (1 ) n n

级数发散
2
n
un ( n
a n) p

a
a 1 收敛 a 1 发散
而a 1时
1 p 1 收敛 p n1 n p 1 发散
3 判断级数敛散性 : (1)
n 1
1 n


n
n
1 n
解
n 1

( 1) n 3 n1 n ln n
5. 判别 : 1

n2
n
n 1 1 a
2

an
n
n 1 a
1
的收敛性 (a 0)
5. 判别 : 1
6. 判别 : 1


n2
n
n 1 1 a

2

an
n
n 1 a

1
的收敛性 (a 0)
则级数收敛,且其和 s u1 ,
其余项 rn 的绝对值 rn un 1 .
4、任意项级数及其审敛法
定理 若
u
n 1

n
收敛,则
u
n 1

n
收敛.
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n 1 n 0


若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n 1 n 1


应用于 p 级数判别级数的收敛性：
设
un 为正项级数, n 1
un 或 lim n 1 n

k k un ~ ( k 0) 是 的同阶无穷小。 n n
则级数
u
n1

n
发散 ;
若 un ~
k n
p
p 1
则级数

n1
u n 收敛 .
(2).比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)：
当p 1时, 收敛 当p 1时, 发散
又由于 un 单减
n1 1 ln n 收敛 n 2 ln p n
n
un 0
当p 1时, 绝对收敛 则 当p 1时, 条件收敛
2 sin( n 2 1 )
n1

sin( n 2 1 ) sin ( n 2 1 n) n
n
1 np
p1 0 p1 p0
绝对收敛 条件收敛 发散
练习题
1 1 1 1 1 1 1 1 1. 判别 1 的收敛性 2 3 4 5 6 3n 1 3n 2 3n 3 2 an ( n! ) 2 p a 0 2. 判别收敛性 : 1 n 1 n n 1 ( 2n) n 1
n 1 a


1
n
( a 0) 2
1 a
lim
n

1
ln n
n1 (ln n)
的收敛性
解
1 a 1 时,
a 1 时,
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
级数发散
即 a 1
n
n2
n a n
1 o 2 n
级数收敛
2
1 1 ln n(ln ln n ) ln n (ln n) e
1 sin( n 2 1 n) 1 sin
n n


n2 1 n
sin

n 1 n
2
~

n 1 n
2
~

2n
级数条件收敛.
( 1) ( 3) n1 n ln n 1 1 解 , n ln n n
n
1 而 发散, n1 n n ( 1) 1 发散, n1 n ln n n 1 n ln n
n1
1 1 (n ) a


级数 v n 收敛，
n2
n
n 1 1 a
收敛性
2

an
n
n 1 a
1
的收敛性 .(a 0)
an an 1 an a 1
n
a 1 时, a 1 时,
an 1 2
级数收敛
级数发散

6. 判别 : 1
n n n un , 1 n 1 n (n ) (1 2 ) n n 1 1 n 1 n2 n lim(1 2 ) lim[(1 2 ) ] e 0 1; n n n n
n
1 n
1 n (n ) n
;
n
lim
1 nn
1
lim un 1 0, n
v1 v 2 v n
1 vn 3n

n1


v n 发散
加括弧发散则原级数发散.
2. 判别收敛性 : 1
2 ( n! ) n 1 ( 2n) n
2
解
n 1 n


an
p
a 0
1
(( n 1)! ) 2 un 1 ( 2n 2) n 1 un ( n! ) 2 ( 2n ) n
原级数发散．
ln( n 2) ( 2) (a 0). n 1 ( a 1 ) n n

解
ln( n 2) n u lim lim n n n 1 a n
n
1 n ln(n 2) n n,
1 当 1 , 即a 1时 a 1 当 1 , 即a 1时 a
基本级数:
1.几何(等比)级数
n aq n 0

q 1 1 q
收敛 发散
(
a ) 1 q
2.P-级数
1 n 1 n p
p1 p1 p1 p1
收敛 发散 收敛 发散
推广

n2 n ln p


1 n

3.
n 1

1
1
n
n 1 a
( a 0) 2

1
ln n
n1 (ln n)
的收敛性

7. 讨论 : 1 un 与 v n 收敛, 则在什么条件下 unv n收敛
n 1 n 1 n 1
un 2若 lim 1, 且 v n 收敛, 问 un 是否收敛 n v n n 1 n 1
设
un 与 v n 都是正项级数,
n 1 n 1


若
un lim l, n v n
则(1) 当 0 l 时, 二级数有相同的敛散性; (2) 当 l 0 时，若
vn 收敛,则 un 收敛; n 1
n 1


(3) 当 l 时, 若
v n 发散,则 un 发散;
1 lim n ln( n 2) , a n 1 . a 当n 2
原级数收敛；
原级数发散；
当 a 1时,
ln( n 2) 原级数为 , 1 n n1 (1 ) n

ln( n 2) 1 n n 1 (a ) n

ln( n 2) lim , n 1 n (1 ) n

un 2若 lim 1, 且 v n 收敛, 问 un 是否收敛 n v n n 1 n 1
未必收敛,
( 1) 例如 v n , n
n


1 1 un n n
n
n1
v n 收敛,
un lim 1 n v n
但是 un 发散.
n1
原级数也发散．
n1 1 ln n p 0 4. 判别收敛性 : 1 n 2 ln p n
n
2 sin( n 2 1 )
n1

解
( 1) n ( 3) n1 n ln n

1
n1 ln n un ln p n
～
1 n ln p n
所以此交错级数收敛， 故原级数是条件收敛．
5. 判别 : 1

n2
n
1
n 1 1 a
2
n2

an
n
n 1 a
1
的收敛性 .(a 0)
a 1 时, a 1 时,
n
n2 n 2 1 a n2 1 a
2
n
级数发散
vn

n2 a
n
级数收敛
( n) nv n a
1时级数发散; 1 时失效.
3、交错级数及其审敛法
( 1)n1un或 ( 1)n un
n 1 n 1
(其中un 0)
莱布尼茨定理
如果交错级数满足条件:
(ⅰ) un un 1 ( n 1,2,3,) ;
(ⅱ) lim un 0,
n
十二章习题课1
常数项级数
1、常数项级数的概念与性质
un u1 u2 u3 un n1
级数的部分和 sn u1 u2 un

ui i 1
n
常数项级数收敛(发散) lim sn 存在(不存在).
n
基本性质
性质1: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 性质2: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质3: 加减或更改前有限项不影响级数的敛散 性. 性质4:收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和. 级数收敛的必要条件: lim un 0. n