高等数学A1教学PPT课件1：01-函数概念与基本性质

二、函数的基本性质
单调性 有界性 奇偶性 周期性
1.单调性 设函数 f (x) 在区间I 上有定义， x1，x2 I ,
若 x2 x1 f (x2 ) f (x1)，则称函数 f (x) 在区 间 I 上是单调增加的。
若 x2 x1 f (x2 ) f (x1)，则称函数 f (x) 在区 间 I 上是严格单调增加的。
高等院校非数学类本科数学课程
高等数学A1
—— 一元微积分学
首先，理解基本概念。数学中有很多概念。
概念反映的是事物的本质，弄清楚了它是如何定 义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。
其次，掌握基本理论（定理性质推论结论
等）。定理是一个正确的命题，分为条件和结论 两部分。对于定理除了要掌握它的条件和结论以 外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。
x “整数” + “正的纯小数” 或
“零” 函数
y = [ x ] = “整数”
称为取整函数，它是一个分段函数。
[ x ]：不大于x的最大整数
2 1 0.4142
y
[ 2] 1
0.5 1 0.5
3
[0.5] 1
2
2.7 3 0.3
1 3 2 1
。 y [x] 。。。
[2.7] 3
解
f
(x)
1 2
0 x1 1 x2
f
(x
3)
1 2
0 x31 1 x32
1 3 x 2
2 2 x 1 故 D f :[3,1]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2， 0 x 1，
例3 已知 f (x 1)
求 f (x) 的表达式。
2x， 1 x 2，
解 令 t x 1，得
x 代替 t
t2 2 t 1， 1 t 2， f (t)
2 t 2， 2 t 3，
x2 2x 1， 1 x 2， 故 f (x)
2x 2， 2 x 3，
1, x 0
例4
求
y
sgn x
0,
x0
的定义域。
1, x 0
解
y y = sgn x
1
O
x
1
该函数称为符号函数,其定义域为 ( , ) .
也称为克朗涅哥函数
例5
x R , 将 x 表示为:
2. 了解函数的单调性、有界性、奇偶性和 周期性，熟悉基本初等函数的性质及其图 形。
3. 理解初等函数的概念，会建立简单实际 问题中的函数关系式。
函数的概念与基本性质
一、函数的概念 二、函数的基本性质 三、函数的代数运算 四、反函数
一、函数的基本概念
1. 函数的定义
设A 为非空实数集。若存在一个规则 f，使得
。 O 1 2 3 4 x
3 3 0 [3] 3
1
。。 2
3 3 0
3
[3] 3
想想取整函数的图形是什么样子？
例6
Dirichlet 1805—1859
狄利克雷函数就不能作 出几何图形.
1, x 为有理数 y D(x)
0 , x 为无理数
狄利克雷是德国数学家，他以出色的数学才 能，以及在数论、分析和数学物理方程等领域的 杰出成果，成为继高斯之后与雅可比齐名的德国 数学界的核心人物之一。
x0 I , 使得 | f ( x0 ) | > M 成立。
例8 讨论函数函数的有界性 ：y x2。
解 函数的定义域为： Df (, ) 。
因为 M 0，取 x0 M 1(, )，有 | f (x0 ) | ( M 1)2 M 1 M，
故函数 y x2 在其定义域内是无界的。
证明提示：令 f (x) g(x) h(x)，其中
g(x) f (x) f (x)，h(x) f (x) f (x)。
2
2
4. 周期性
设函数 y = f ( x ) , x (, ) 。
若存在 0 , 对一切 x (, ) 恒有
y=f(x)=f(x),
则称 f ( x )为周期函数， 称为函数 f ( x )
x A, 存在唯一的y R，按照规则 f 与 x 对应，
则称 f 为定义在 A 上的函 数，记为
y f (x)，x A。 其中，A 称为函数 f 的定义域。
习惯上，称 f (x) 为函数，或称 y
实质上，函数 y f (x) 就是映射
是 x 的函数；称
f : AR
曲线 y f (x) 为
达朗贝尔
告诫学习他的学生们： 坚持, 你就会有信心.
成绩的构成
三次机试，各占10%, 平时10%, 作业10%, 期末50%。
参考书目：
高等数学
同济大学主编 高等教育出版社
吴赣昌老师的教案
函数(2学时，第一章)
(与中学内容相衔接，以复习为主。)
1. 理解函数和概念，了解反函数和复合函 数的概念。
P21 第5，7行有误。
三、函数的代数运算 函数的加减乘除
判断函数相同
如何判断两个函数是否相同? 定义域与对应规则均相同的两个函数相同。
例11 函数 f (x) ln x2 与 g(x) 2 ln x 是否相同？
解
f (x) 的定义域为
Df (, 0) (0, ) ,
g(x) 的定义域为 Dg (0, ) ,
2. 函数的表示法
解析法 表格法 图示法
3. 求函数定义域举例
数学分析的主要研究对象是函数，确定函数的 定义域是一件十分重要的事情。
通常依据：分式的分母不能为零；负数不能开 偶次方；已知的一些函数的定义域；物理意义；几 何意义等来确定函数的定义域。
例1
求函数 y 4 x2 1 的定义域. ln(x 1)
若函数 y f (x) 在区间 I 上有下界，则必有
无穷多个下界，所有下界中最大者称为函数在区 间 I 上的下确界，记为 inf f (x) 。
xI
可以证明：有上(下)界的函数必有上(下)确界.
提一个问题： 如何证明或判断函数无界？
证明或判断无界，通常依据:
函数 y = f (x) 在区间 I 上无界， 则不论 M > 0 的值取得多么大， 总
否则, 称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上无界。
函数有界示意图
y
y
B y= f( x )
O
x
A
O
x
B
y= f( x ) A
函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界
M 0，使 | f (x) | M。
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。
若存在实数 M (可正， 可负)，对一切 x I 恒有
在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函 数在区间 I 上单调增加, 记为 f (x) I 。
设函数 f (x) 在区间 I 上有定义， x1，x2 I, 若 x2 x1 f (x2 ) f (x1)，则称函数 f (x) 在区
间 I 上是单调减少的。 若 x2 x1 f (x2 ) f (x1)，则称函数 f (x) 在区
函数的图形。
x0 A 所对应的 y0 R 称为函数 f 在点 x0处的
函数值，记为y0
f (x0 ) 或y0
y
。此时，称函数
x x0
f 在点 x0 处有定义。
x A时的全体函数值的集合，称为函数 f 的值 域，记为R( f ) 或 f ( A)，即
R( f ) { y | y f (x)，x A}。
4) 既不是奇函数又不是偶函数
定理
在关于坐标原点对称的区间 I 内： 两个偶(奇)函数之和仍是一偶(奇)函数。 两个偶(奇)函数之积均为一个偶函数。 一个偶函数与一个奇函数之积是一个奇函数。
定理
在关于坐标原点对称的区间 I 内有 定义的任何一个函数 f ( x )，均可表示为 区间 I 内的一个偶函数与一个奇函数之和 的形式。
间 I 上是严格单调减少的。
在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函数 在区间 I 上单调减少, 记为 f (x) I 。
函数的单调性是一个局部性的
性质, 它与所讨论的区间I 有关.
例7 y sin x 在其定义域内不是单调函数，但
在 [ , ] 上，sin x ;
22
在 [ , 3 ] 上，sin x ;
的一个周期。
通常所说的周期是
如果一个周期函数有最小正周期 存在, 记为
T = min { } , > 0
则称 T 为周期函数的周期。
例10
= 2k ( k Z 且 k 0) 均为函数
y = sin x 的周期, 而它的最小正周期为
T = min{ 2k }= 2 kZ+
故称正弦函数 y = sinx 的周期为2 。
f ( x )≤ M 成立，则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上是上方有界的, 简称有上界。
y
OM
x
O y=f(x) x
设函数 y = f ( x )在区间 I 上有定义。
若存在实数 m (可正， 可负), 对一切 x I 恒有
f ( x )≥m 成立，则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上是下方有界的, 简称有下界。
y
y= f( x )
O
x
m
O
x
在区间 I 上:
函数 y = f ( x ) 有界
f ( x ) 既有上界又有下界.
y
B
y f (x)
O
x
A
若函数 y f (x) 在区间 I 上有上界，则必有 无穷多个上界，所有上界中最小者称为函数在区 间 I 上的上确界，记为 sup f (x) 。
xI
有上(下)界的函数是否必有上(下)确界？
易知： y x2 在任何一个有限区间内有界。
3. 奇偶性
设函数 y = f ( x ) 的定义域 Df 关于坐标原点对称。
若 x Df , 有 f ( x ) = f ( x )
成立，则称 f ( x ) 为偶函数。
若 x Df , 有 f ( x ) = f ( x )
成立，则称 f ( x ) 为奇函数。
22
画画图就一目了然.
我们以后将运用微积分的方法研究函数的单调性。
2. 有界性 有界性
有界 有上界 有下界
函数有界性的定义
设函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有定义。 若存在实数 A , B , 使对一切 x I 恒有
A f(x)B 则称函数 y = f ( x ) 在区间 I 上有界。
x (, )
y 1 x2
x [1, 1]
函数复合后一般应重新验证它的定义域
例14 解
函数 y arccos ln(x2 1) 是由哪几个
x D~g Dg
称之为函数 y f (u) 与 u g(x) 复合而成的复合函数。
其中，u 称为中间变量。
复合函数
u g(x)
·x
D g D~ g
Rg Df
Rg
y f (u)
u
· · D f
··y R f
？ 如何
描述
例13
由函数 y u
u [0, ) ,
u 1 x2 可构成复合函数
D f Dg
f (x) 与 g(x) 不相同。
例12 函数 f (x) | x |与 g(x) x2 是否相同？ 解 f (x) 与 g(x) 的定义域均为实数域R ,
又 x2 | x | , 即 f (x) 与 g(x) 的对应关系相同 , 函数 f (x) 与g(x) 相同。
复合函数
设有映射 y f (u) , u Df 及 u g(x) , x Dg ,
如果对于映射 g(x) 的定义域 ( 或定义域的一部分 )中
的每一个 x 所对应的 u 值，都属于 f (u) 的定义域 Df ，
那么， 将 u g(x) 代入 y f (u) 消去 u 后, 就有
y f (g(x)) ( f g) (x)
解
由负数不能开偶次方, 得
4 x2 0 x [2, 2 ]
由对数函数的定义域, 得
x 1 0 x (1, )
由分母不能为零, 得
ln (x 1) 0 x 2
综上所述,该函数的定义域为 D = ( 1, 2 ) 。
例2
设f
(x)
1 2
0
x
1 ,
求函数
f
(x
3)的定义域.
1 x2
第三，熟悉基本方法。在弄懂例题的基础上
做适量的习题。要特别提醒的是，课本上的例题 都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要 注意不同例题的特点和解法。做题时要善于总 结——不仅总结方法，也要总结错误。这样，做 完之后才会有所收获，才能举一反三。
第四，理清脉络。对所学的知识要有一个整
体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加 深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。
偶函数的图形 关于 y 轴对称。
奇函数的图形 关于坐标原点对称。
例9 指出下列函数在其定义域内 哪些是奇函数,哪些是偶函数:
奇 1) y sin x 偶 2) y cosx 奇 3) y x
4) y x x4 偶 5) y | x | 偶 6) y 5 奇 7) y sgn x 奇 8) y ln ( x 1 x2 )