北师大版 九年级 数学下册 2.1二次函数概念 课件(共20张PPT)
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比例函数。
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函
数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数
yk=kx(k≠0), x 反比例函数y= (k≠0) ，
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
（1）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪 些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少 棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.
可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。
例2:m取何值时，
函数y=
m2
(m+1)x
2m
1
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3
驶向胜利 的彼岸
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的有 C 。
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
xk2 3k 2
2.1二次函数(1)
基础回顾
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函
数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
变
量
之
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
总产量=果树的总数X每棵-5树x²+产10量0x+60000
y=(100+x)(600-5x)=
Biblioteka Baidu
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
S=-a²+30a y= -5x²+100x+60000
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
注意（1）等号左边是因变量y，右边是关于自变量 x的整式
（2）a,b,c为常数，且a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，即b,c可为0，但不能没有 二次项，a不可为0。 （4）一般的x的取值范围是任意实数，实际 问题则要使问题有意义。
2.如果函数y=(k-3)
+kx+1是二次函数,则
k的值一定是______
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
4. n支球队参加比赛,每两队之间进行
一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队
数 n 之间的关系式.
m 1 nn 1
2
即
m 1 n2 1 n 22
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
间
的 关 系
函 数
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
反比例函数 y=k/x (k≠0)
探究展示
问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,设
正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关
系可以表示为 y=6x2①
问题 2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地， 场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关 系是什么？是函数关系吗？
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式：
当b＝0，c＝0时， y＝ax2 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx
例题讲解
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
解：S=a(60 - a)
2 = -a²+30a .
问题2
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根
据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
拓展提高
例、y=（m+3）x m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函
数。 （３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数。
现在我们学习过的函数有: 一次函数y=kx+b (k ≠0),其中包括正比例函数
yk=kx(k≠0), x 反比例函数y= (k≠0) ，
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)。
(2)
y=x+
_1_ x
(3) s=3－2t²
(4) y=(x+3)²－x²
(5)y= _x1_²－x
(6) v=8π r²
解: (1)y=3(x-1)²+1
(4) y=(x+3)²-x²=x2+6x+9-x2
=3(x2-2x+1)+1
=3x2-6x+3+1 即 y=6x+9
即 y=3x2-6x+4
（1）问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪 些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少 棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.
可以发现,这些函数的名称都形象地反映了函 数表达式与自变量的关系。
例2:m取何值时，
函数y=
m2
(m+1)x
2m
1
+(m-3)x+m 是二次函数？
解:由题意得
m2—2m-1=2 m+1 ≠0 ∴m=3
驶向胜利 的彼岸
1、下列函数中，（x是自变量），是二次函数
的有 C 。
A y=ax2+bx+c
B y2=x2-4x+1
C y=x2
D y=2+ √x2+1
xk2 3k 2
2.1二次函数(1)
基础回顾
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x 在某个范围内取一个确定的值，另一个变量y 总有唯一的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫 做函数关系。
对于上述变量x 、y，我们把y叫x的函
数。 x叫自变量， y叫应变量。
目前，我们已经学习了那几种类型的函数？
变
量
之
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
总产量=果树的总数X每棵-5树x²+产10量0x+60000
y=(100+x)(600-5x)=
Biblioteka Baidu
观察：函数①②③有什么共同点?
y=6x2①
S=-a²+30a y= -5x²+100x+60000
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式表示的。
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项 系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一 次项，c为常数项。
注意（1）等号左边是因变量y，右边是关于自变量 x的整式
（2）a,b,c为常数，且a≠0.
（3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有 一次项和常数项，即b,c可为0，但不能没有 二次项，a不可为0。 （4）一般的x的取值范围是任意实数，实际 问题则要使问题有意义。
2.如果函数y=(k-3)
+kx+1是二次函数,则
k的值一定是______
3.一个圆柱的高等于底面半径,写出它 的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
4. n支球队参加比赛,每两队之间进行
一场比赛,写出比赛的场次数 m与球队
数 n 之间的关系式.
m 1 nn 1
2
即
m 1 n2 1 n 22
一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形 菜园，和墙垂直的一边长为Xm，菜园的面积为Ym2， 求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围。 当x=12m时，计算菜园的面积。
解：由题意得： Y=x(40-2x)
x
即：Y=-2x2+40x(0<x<20) m
间
的 关 系
函 数
一次函数
y=kx+b (k≠0)
正比例函数
y=kx (k≠0)
反比例函数 y=k/x (k≠0)
探究展示
问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,设
正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个 值,y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关
系可以表示为 y=6x2①
问题 2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地， 场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关 系是什么？是函数关系吗？
二次函数的一般形式:
y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0) 二次函数的特殊形式：
当b＝0，c＝0时， y＝ax2 当b＝0时， y＝ax2＋c 当c＝0时， y＝ax2＋bx
例题讲解
例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是, 分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。
(1) y=3(x－1)²+1
解：S=a(60 - a)
2 = -a²+30a .
问题2
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少. 根
据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减 少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结 5个橙子.
不是二次函数.
是二次函数.
二次项系数: 3 一次项系数: -6
(5)y= _1_ -x x²
常数项: 4
(2) y=x+
_1_ x
不是二次函数.
不是二次函数. (6) v=8π r² 是二次函数.
(3) s=3-2t²是二次函数.
二次项系数: 8π
二次项系数: -2 一次项系数: 0 常数项: 3
一次项系数: 0 常数项: 0
y m2
x m
当x＝12m时，菜园的面积为：（40-2x ）m
Y=-2x2+40x＝-2×122+40×12
＝192（m2）
拓展提高
例、y=（m+3）x m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2） m取什么值时，此函数是反比例函数？
（3） m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正