高中数学函数解答题及答案

《函数》解答题及答案

1、已知函数2

lg(43)y x x =--定义域为M ，求x M ∈时，函数2()24x x

f x +=-的值域。

解：

由2

430x x --> 即 (1)(3)0x x --< 得 13x << 所以 {}|13M x x =<< 由2

222()2

4(2)42(22)4x x x x f x +=-=-+⋅=--+

x M ∈ ∴当 13x <<时 0226x <-<

32()4f x ∴-<<

∴ 函数()f x 的值域是()32,4-

2、已知函数 错误!未找到引用源。。

（1）求函数错误!未找到引用源。的定义域和值域；

（2）设错误!未找到引用源。（错误!未找到引用源。为实数），求错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。时的最大值错误!未找到引用源。；

（3）对（2）中错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。对满足错误!未找到引用源。所有的实数错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围。

【解】错误!未找到引用源。由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤x≤1,所以定义域为错误!未找到引用源。 又错误!未找到引用源。由错误!未找到引用源。≥0 得值域为错误!未找到引用源。 （2）因为错误!未找到引用源。

令错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，

∴错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)+t=错误!未找到引用源。 由题意知g(a)即为函数错误!未找到引用源。的最大值。

注意到直线错误!未找到引用源。是抛物线错误!未找到引用源。的对称轴。

因为a<0时,函数y=m(t), 错误!未找到引用源。的图象是开口向下的抛物线的一段，

（3）易得错误!未找到引用源。， 由错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立，

即要使错误!未找到引用源。即220m tm ⇒-≥恒成立，

错误!未找到引用源。令错误!未找到引用源。，对所有的错误!未找到引用源。成立， 只需错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。.

3、已知函数2()lg

,(1)0x

f x f ax b

==+，当0x >时，恒有1()()lg f x f x x -=

（1）求()f x 的表达式；

（2）若方程()lg(8)f x x m =+的解集为∅，求实数m 的取值范围.

【解】（1）当时，恒成立

，即恒成立，

又，即，从而

（2）解法一：

由

方程的解集为，故有两种情况：

①方程无解，即，得

②方程

有解，两根均在

内，

则

综合①②得实数的取值范围是

（2）解法二： 若方程有解，

则由

由

当则，

当且仅当时取到18 当，则是减函数，所以

即

在

上的值域为

故当方程无解时，的取值范围是

4、设12,x x 为函数2

()(1)1(,0R,f x ax b x a b a =+-+∈>）两个不同零点. （1）若11x =，且对任意R x ∈,都有(2)(2)f x f x -=+，求()f x ；

（2）若23b a =-，则关于x 的方程()22+f x x a =-是否存在负实根?若存在,求出该负

根的取值范围，若不存在,请说明理由；

【解析】（1）由(2)(2)f x f x -=+得函数()f x 关于2x =对称，则1

22b a

--= 又110a b +-+= 解得11,33a b =

=- 214

()133

f x x x =-+

（2）由0a >知只需考虑2a x ≤

时的情况 当2

a

x ≤时()22+f x x a =-可化为 22(24)122(22)10+ax a x a x ax a x a +-+=-+---=即

221

(22)4(1)84400a a a a a a a

--∆=-++=-+><且

所以关于x 的方程()22+f x x a =-存在唯一负实根0x

01(1)x a ⎡=--+⎢⎣ 令111

22

t t a =-

>-则

071122=x t ⎡⎤⎢⎥⎡⎢--=-⎢⎢⎣⎢⎣在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增

则0112x ⎛

⎫∈- ⎪⎝

⎭-

5、已知奇函数()x f 的定义域为[]1,1-,当[)0,1-∈x 时,()x

x f ⎪⎭

⎫

⎝⎛-=21.

(1)求函数()x f 在[]1,0上的值域； (2) 若(]1,0∈x ,

()()12

4

12

+-x f x f λ的最小值为2-，求实数λ的值.

【解】(1) 设(]1,0∈x ,则[)0,1-∈-x 时,所以()x x

x f 221-=⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=--

又因为()x f 为奇函数,所以有()()x f x f -=- 所以当(]1,0∈x 时,()()x

x f x f 2=--=,

所以()(]2,1∈x f , 又()00=f

所以,当[]1,0∈x 时函数()x f 的值域为(]}0{2,1⋃ (2)由(1)知当(]1,0∈x 时()x f (]2,1∈,所以()x f 21⎥⎦

⎤ ⎝⎛∈1,21 令()x f t 21=

,则12

1

≤

12

+-x f x f

λ

12

+-=t t λ4122

2

λ

λ-+⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=t