2018高考数学全国Ⅰ卷(文)(解析版)

2018高考数学全国Ⅰ卷(文)(解析版)
2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =
（ ）
A ．{}02，
B ．{}12，
C ．{}0
D ．{}21012--，，，，
2．设121i z i i
-=++，则z =（ ） A ．0 B ．12 C ．1 D ．2 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ） A ．新农村建设后，种植收入减少
B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．已知椭圆C ：
22
214
x y a +=的一个焦点为()2,0，则C 的
离心率（ ）
A ．
13
B ．1
2 C D
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1
O ，2
O ，
过直线1
2
O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为
8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A ．
B ．12π
C ．
D ．10π 6．设函数()()3
21f x x
a x ax
=+-+．若()f x 为奇函数，则曲
线()y f x =在点()00，处的切线方程为（ ） A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x =
D ．y x =
7．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）
A ．3144A
B A
C - B ．13
44AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344
AB AC + 8．已知函数()2
22cos
sin 2f x x x =-+，则（ ）
A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3
B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4
C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3
D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4 9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为
B
，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短
路径的长度为（ ）
A ．217
B ．25
C ．3
D ．2 10．在长方体11
1
1
ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1
AC 与平面
11BB C C
所成的角为30︒，则该长方体的体积为（ ）
A ．8
B ．62
C ．82
D ．8311．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1,A a ，()2,B b ，且2cos 23α=，则a b -=（ ）
A ．15
B 5
C 25
D ．1 12．设函数
()20
1 0
x x f x x -⎧=⎨
>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取
值范围是（ ）
A ．(]1-∞，
B ．()0+∞，
C ．()10-，
D ．()0-∞，
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知函数()()
2
2
log f x x
a =+，若()31f =，则a =________．
14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪
-+⎨⎪⎩
≤≥≤，则32z x y =+的最
大值为________． 15．直线1y x =+与圆2
2230
x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =
________．
16．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知
sin sin 4sin sin b C c B a B C
+=，2
228
b
c a +-=，则ABC △的面积为
________．
三、解答题（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

） （一）必考题：共60分。

17．（12分） 已知数列{}n
a 满足1
1a =，()1
21n n
na
n a +=+，设n
n
a b n =．
(1)求1
2
3
b b b ，，；
(2)判断数列{}n
b 是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{}n
a 的通项公式．
18．（12分）
在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =︒∠，以AC 为折痕将ACM △折起，使点M 到达点D 的位置，且
AB DA
⊥．
(1)证明：平面ACD ⊥平面ABC ；
(2)Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且
2
3
BP DQ DA ==，求三棱锥Q ABP -的体积．
19．（12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m 3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
20．（12分） 设抛物线2
2C y
x
=：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与
C
交于M ，N 两点．
(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：ABM ABN =∠∠．
21．（12分） 已知函数()ln 1
x
f x ae
x =--．
(1)设2x =是()f x 的极值点．求a ，并求()f x 的单调区间；
(2)证明：当1a e ≥，()0f x ≥．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1
C 的方程为2y k x =+．以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2
C 的极坐标方程为2
2cos 30
ρ
ρθ+-=．
(1)求2
C 的直角坐标方程；
(2)若1
C 与2C 有且仅有三个公共点，求1
C 的方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知()11
=+--．
f x x ax
(1)当1a=时，求不等式()1
f x>的解集；
(2)若()
x∈，时不等式()f x x>成立，求a的取值范围．01
【参考答案】
一、选择题
1.【答案】A
【解析】{0,2}
A B
⋂=，故选A.
2.【答案】C
【解析】∵121i
z i i i
-=+=+，∴1z =，∴选C 3.【答案】A
【解析】由图可得，A 选项，设建设前经济收入为x ，种植收入为0.6x .建设后经济收入则为2x ，种植收入则为0.3720.74x x ⨯=，种植收入较之前增加． 4.【答案】C
【解析】知
2c =，∴2
228
a b c =+=，a =，∴离心率e =
5.【答案】B
【解析】截面面积为
8，所以高h =
r =22212S πππ
=⋅⋅+=.
6.【答案】D
【解析】∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-，即1a =，∴3()f x x x
=+，∴'(0)1f =，∴切线方程为：y x =，∴选
D.
7.【答案】A 【解析】由题可知
11131
[()]22244
EB EA AB AD AB AB AC AB AB AC
=+=-+=-++=-.
8.【答案】B 【解析】2
22()2cos
(1cos )23cos 1
f x x x x =--+=+，
∴最小正周期为π，最大值为4. 9.【答案】B
【解析】三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为,M N 连线的距离，所以
224225MN =+=，所以选
B.
10.【答案】C
【解析】连接1
AC 和1
BC ，∵1
AC 与平面1
1
BB C C 所成角为
30
，∴1
30AC B ∠=，
∴1
1
tan 30,23
AB
BC BC
==，∴1
22CC =，∴222
282
V =⨯⨯=，
∴选C.
11.【答案】B
【解析】由2
2cos22cos 13
αα=-=可得22
2225cos 1cos 6sin cos tan 1
ααααα===
++，化简可得5tan α=±；当
5tan α=
时，可得51a =，52
b =，即5a =
，25b =时5a b -=
5tan α=.
12.【答案】D 【解析】取12
x =-
，则化为
1
()(1)2
f f <-，满足，排除A ，
B ；
取1x =-，则化为(0)(2)f f <-，满足，排除C ，故选
D .
二、填空题 13.【答案】7-
【解析】可得2
log (9)1a +=，∴92a +=，7a =-.
14.【答案】6
【解析】画出可行域如图所示，可知目标函数过点(2,0)时取得最大值，max
32206
z
=⨯+⨯=.
15.【答案】22【解析】由2
2230
x
y y ++-=，得圆心为(0,1)-，半径为2，
∴圆心到直线距离为22
d ==∴222
2(2)22
AB =-=16.23
【解析】根据正弦定理有：
sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C
+=，
∴2sin sin 4sin sin sin B C A B C =，∴1sin 2
A =.∵2
228
b c a +-=，
∴
22243
cos 2b c a A bc bc +-===
83bc =，∴123
sin 2S bc A ==.
三、解答题
17.解： (1)依题意，2
1224
a
a =⨯⨯=，3
21
(23)122
a
a =⨯⨯=，
∴1
1
11
a b ==，2
2
22
a b =
=，3
3
43
a b
=
=.
(2)∵1
2(1)n n
na
n a +=+，∴1
21n n
a a
n n
+=+，即1
2n n
b b +=，所以{}n
b 为
等比数列. (3)∵1112n n n
n
a b
b q n
--===
，∴1
2n n
a
n -=⋅.
18. (1)证明：∵ABCM 为平行四边形且90ACM ∠=,∴
AB AC
⊥,
又∵AB DA ⊥,∴AB ⊥平面ACD ,∵AB ⊂平面ABC , ∴平面ABC ⊥平面ACD .
(2)解：过点Q 作QH AC ⊥,交AC 于点H ，∵AB ⊥平面
ACD
，∴AB CD ⊥,
又∵CD AC ⊥,∴CD ⊥平面ABC ,∴1
3
HQ AQ CD AD ==,∴1HQ =, ∵
BC BC AM AD ====,∴BP =又∵ABC ∆为等腰
直角三角形，
∴1
332ABP
S
∆=
⋅⋅=，∴11
31133
Q ABD
ABD V
S HQ -∆=⋅⋅=⨯⨯=.
19.解：(1)
(2)由题可知用水量在[0.3,0.4]的频数为10，所以可估计在[0.3,0.35)的频数为5，
故用水量小于3
0.35m 的频数为1513524+++=，其概率为240.4850
P ==. (3)未使用节水龙头时，50天中平均每日用水量为：
31
(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.657)0.50650m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
一年的平均用水量则为3
0.506365184.69m ⨯=.
使用节水龙头后，50天中平均每日用水量为：
31
(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.3550
m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
一年的平均用水量则为3
0.35365127.75m ⨯=，
∴一年能节省3
184.69127.7556.94m -=.
20.解：(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2x =，代入22y x
=，∴(2,2),(2,2)M N -或(2,2),(2,2)M N -，∴BM 的方程为：220,y x ++=或220y x --=.
(2)设MN 的方程为2x my =+，设1
1
2
2
(,),(,)M x y N x y ，联立方
程2
22x my y x
=+⎧⎨=⎩， 得2240
y my --=，∴1
2
122,4
y y
m y y +==-，1
1222,2
x
my x my =+=+，
∴
1212
12122244
BM BN y y y y k k x x my my +=
+=+
++++
12121224()
(4)(4)
my y y y my my ++=
=++，
∴BM
BN
k
k =-，∴ABM ABN ∠=∠.
21.解：(1)()f x 定义域为(0,)+∞，1()x
f x ae x
'=-
.
∵2x =是()f x 极值点，∴(2)0f '=，∴2
211022ae
a e
-
=⇒=.
∵x
e 在(0,)+∞上增，0a >，∴x
ae 在(0,)+∞上增. 又1x 在(0,)+∞上减，∴()f x '在(0,)+∞上增.又(2)0f '=， ∴当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 减；当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，
()
f x 增.
综上，2
12a e
=，单调增区间为(2,)+∞，单调减区间为(0,2)
.
(2)∵0
x
e
≥，∴当1a e
≥时有11
x
x x ae
e e e
-≥⋅=，
∴1()ln 1ln 1x
x f x ae x e x -=--≥--.
令1
()ln 1
x g x e
x -=--，(0,)x ∈+∞.
11()x g x e x
-'=-
，同（1）可证()g x '在(0,)+∞上增，又111
(1)0
1
g e -'=-=，
∴当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 减；当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，
()
g x 增.
∴11min
()
(1)ln111010
g x g e -==--=--=，
∴当1a e ≥时，()()0f x g x ≥≥. 22.解：(1)由2
2cos 30
ρ
ρθ+-=可得：2
2230
x
y x ++-=，化为
22(1)4
x y ++=.
(2)1
C 与2
C 有且仅有三个公共点，说明直线
2(0)
y kx k =+<与圆2
C 相切，圆2C 圆心为(1,0)-，半径为2，
2
=，解得43k =-，故1
C 的方程为4
23
y x =-+. 23.解：(1)当1a =时，
2
1()|1||1|21121
x f x x x x
x x ≥⎧⎪
=+--=-<<⎨⎪-≤-⎩
，
∴()1f x >的解集为1{|}2
x x >. (2)当0a =时，()|1|1f x x =+-，当(0,1)x ∈时，()f x x >不成立. 当0a <时，(0,1)x ∈，∴()1(1)(1)f x x ax a x x =+--=+<，不符合
题意.
当01
a
<≤时，(0,1)
x∈，()1(1)(1)
f x x ax a x x
=+--=+>成立.
当1
a>时，
1
(1),1
()
1
(1)2,
a x x
a
f x
a x x
a
⎧
+-<<
⎪⎪
=⎨
⎪-+≥
⎪⎩
，∴(1)121
a
-⋅+≥，即2
a≤.
综上所述，a的取值范围为(0,2].。