二项式定理的复习(高三复习)PPT优选课件
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第3节 二项式定理--2025湘教版高中数学一轮复习课件(新高考新教材)
为 6.
考向3三项展开式中的特定项(或系数)
例3(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( C )
A.10
B.20
C.30
D.60
解析 (方法一)(x2+x+y)5 的展开式的通项为 Tr+1=C5 (x2+x)5-ryrFra bibliotek令 r=2,则
T3=C52 (x2+x)3y2.
又(x2+x)3 的展开式的通项为 Tk+1=C3 (x2)3-kxk=C3 x6-k,令 6-k=5,则 k=1.所以
3
1
(2)(2024·福建福州模拟)若(3 + 2 ) 的展开式中存在常数项,则正整数n
可以是( C )
2
A.3
B.5
C.6
1
2
解析 (3 + 2) 的展开式的通项为
2n-4r=0,解得
r= ,又
2
D.7
2 -
Tr+1=C (3 )
1
n-r 2n-4r
=3
C x ,令
所以
C2 ×22
=
56
,得(n-2)(n-3)=56,解得
3
1
n=10 或 n=-5(舍去),
10-5
所以 Tr+1=C10
( 2 )10-r(2x-2)r=2rC10
2
10-5
.令
=0,解得 r=2,所以展开式中的常
2
数项为第三项,T3=180.
(2)由
2 C10
2 C10
x 的系数为(-1)225-2C52 =80.
考向3三项展开式中的特定项(或系数)
例3(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为( C )
A.10
B.20
C.30
D.60
解析 (方法一)(x2+x+y)5 的展开式的通项为 Tr+1=C5 (x2+x)5-ryrFra bibliotek令 r=2,则
T3=C52 (x2+x)3y2.
又(x2+x)3 的展开式的通项为 Tk+1=C3 (x2)3-kxk=C3 x6-k,令 6-k=5,则 k=1.所以
3
1
(2)(2024·福建福州模拟)若(3 + 2 ) 的展开式中存在常数项,则正整数n
可以是( C )
2
A.3
B.5
C.6
1
2
解析 (3 + 2) 的展开式的通项为
2n-4r=0,解得
r= ,又
2
D.7
2 -
Tr+1=C (3 )
1
n-r 2n-4r
=3
C x ,令
所以
C2 ×22
=
56
,得(n-2)(n-3)=56,解得
3
1
n=10 或 n=-5(舍去),
10-5
所以 Tr+1=C10
( 2 )10-r(2x-2)r=2rC10
2
10-5
.令
=0,解得 r=2,所以展开式中的常
2
数项为第三项,T3=180.
(2)由
2 C10
2 C10
x 的系数为(-1)225-2C52 =80.
高考一轮复习理科数学课件二项式定理
02
二项式定理在概率论中的应用
学习如何利用二项式定理计算概率、期望等。
03
多元二项式定理
了解多元二项式定理的基本概念、展开方式及应用场景。
下一讲预告
下一讲将介绍排列组合的基本概念、分类计数原理与分步计数原理等基 础知识。
还将学习排列组合在解决实际问题中的应用，如分配问题、抽取问题等 。
最后，将通过大量例题和练习题来巩固所学知识，提高解题能力。
例如
引导学生在解题后进行反思和总结，提炼 解题方法和技巧。
在解题过程中要注意利用二项式定理的通项 公式进行求解；同时要注意区分二项式系数 和项的系数等概念。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
二项式定理的基本形式
$(a+b)^n$的展开式及通项公式。
二项式系数的性质
对称性、增减性、最大值等。
二项式定理的应用
解题关键
06 先根据二项式系数的性质确定
n的值，再利用通项公式找到 常数项并计算其值。
答案解析及评分标准
答案解析
对每道题目的答案进行详细解析，包括解题思路、步骤和 结果。
例如
对于基础题中的例子，先写出(2x-1)^5的展开式的通项 公式，然后找到含x^3项的项，并计算其系数得到结果。
评分标准
根据题目的难易程度和学生的掌握情况，给出每道题目的 分值和评分标准。
04
基础步骤
验证n=1时，二项式定理成立 。
归纳假设
假设当n=k时，二项式定理成 立。
归纳步骤
证明当n=k+1时，二项式定 理也成立。
结论
根据数学归纳法，二项式定理 对一切自然数n都成立。
组合恒等式证明
01
2025届高中数学一轮复习课件《二项式定理》ppt
3．二项式系数 二项展开式中各项的系数___C_nk__(k∈{0，1，…，n})叫做二项式系数．
高考一轮总复习•数学
第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
高考一轮总复习•数学
第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
高考一轮总复习•数学
第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
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第6页
二 二项式系数的性质 1．对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数__相__等_____．
2．增减性与最大值：当 n 是偶数时，中间的一项_________取得最大值；当 n 是奇数时，
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第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项．( ) (2)通项公式 Tr＋1＝Crnan－rbr 中的 a 和 b 不能互换．( √ ) (3)(a＋b)n 的展开式中某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的 二项式系数不同．(√ ) (4)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则 a7＋a6＋…＋a1 的值为 128.( )
或者其他量.
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第19页
对点练 1(1)在2x－mx 6 的展开式中，若常数项为－20，则实数 m 的值为(
)
A．12
B．－12
C．－2
D．2
(2)(2024·湖北部分重点中学第二次联考)用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中
个位小于百位且百位小于万位的五位数有 n 个，则(1＋x)3＋(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)n
(3)(3
3－2)7 的展开式的通项
Tk＋1＝Ck7·(3
7－k
3)7－k·(－2)k＝Ck7·3 3
·(－2)k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7)，
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第17页
要使第 k＋1 项为有理数，则7－3 k∈Z，则 k 可取 有理项的求法．
第十章 §10.2 二项式定理-2024-2025学年高考数学大一轮复习(人教A版)配套PPT课件
(x＋y)8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8x8－kyk，k＝0,1，…，7,8. 令 k＝6，得 T6＋1＝C68x2y6； 令 k＝5，得 T5＋1＝C58x3y5， 所以1－yx(x＋y)8 的展开式中 x2y6 的系数为 C68－C58＝－28.
(2)若(x2＋a)x＋1x8 的展开式中 x8 的系数为 9，则 a 的值为__1___.
自主诊断
2.(选择性必修第三册P31T4改编) 1x－
x10
的展开式中x2的系数等于
√A.45
B.20
C.－30
D.－90
k
因为展开式的通项为Tk＋1＝(1)k C1k0x 2
·x－(10－k)＝(
1)k
C1k0
x
10
3 2
k
Hale Waihona Puke ，令－10＋32k＝2，得 k＝8，
所以展开式中 x2 的系数为(－1)8×C810＝45.
则CC4n2n＝134，
nn－1 故nn－11n×－22n－3＝134，
1×2×3×4
得n2－5n－50＝0，解得n＝10(负值舍去)，故A正确；
则Tk＋1＝
(1)k
C1k0
x
20
5k 2
，
令 20－52k＝0，解得 k＝8， 则展开式中的常数项为(－1)8C810＝45，故 B 正确；
令 20－52k＝5，解得 k＝6，
第十章
§10.2 二项式定理
课标要求
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理 解决与二项展开式有关的简单问题.
内容索引
第一部分 落实主干知识 第二部分 探究核心题型
课时精练
第一部分
二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习
30
解析 表示5个因式 的乘积，在这5个因式中，有2个因式选,其余的3个因式中有一个选,剩下的2个因式选,即可得到含的项，故含 的项的系数是 .
4.（改编）若 的展开式的第6项为常数，则展开式中所有有理项的个数为___.
3
解析 根据题意，可得 的展开式的通项公式为 ， 由第6项为常数项，得当时，，解得 . 因此，若为有理项，则，且，1,2,3, ,10，分析可得当,5,8时， ，则展开式中所有有理项的个数为3.
基础课55 二项式定理
基础知识·诊断
考点聚焦·突破
考点考向
课标要求
真题印证考频热度核心素养来自二项式定理掌握
2023年北京卷 2023年天津卷 2022年新高考Ⅰ卷
★★★
逻辑推理数学运算
二项式系数的性质
理解
2022年浙江卷
★★☆
逻辑推理数学运算
命题分析预测
从近几年高考的情况来看，选择题、填空题都出现过，属于基础题，命题热点是以展开式通项公式为载体求相关项的系数.预计2025年高考命题情况变化不大，应重视基础，夯实一轮复习
能
解析 ,上式中的每一项都可以被整除，故能被 整除.
题组3 走向高考
5.（2023 · 天津卷）在的展开式中， 项的系数为____.
60
解析 展开式的通项公式为 ，令可得，，则项的系数为 .
考点聚焦·突破
考点一 二项展开式的特定项或特定系数［自主练透］
1.（2023 · 北京卷）在的展开式中， 的系数为( ) .
二项式系数的最值问题
典例2 （2024 · 济南模拟）若二项式 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中 的指数为整数的项的个数为( ) .
D
解析 表示5个因式 的乘积，在这5个因式中，有2个因式选,其余的3个因式中有一个选,剩下的2个因式选,即可得到含的项，故含 的项的系数是 .
4.（改编）若 的展开式的第6项为常数，则展开式中所有有理项的个数为___.
3
解析 根据题意，可得 的展开式的通项公式为 ， 由第6项为常数项，得当时，，解得 . 因此，若为有理项，则，且，1,2,3, ,10，分析可得当,5,8时， ，则展开式中所有有理项的个数为3.
基础课55 二项式定理
基础知识·诊断
考点聚焦·突破
考点考向
课标要求
真题印证考频热度核心素养来自二项式定理掌握
2023年北京卷 2023年天津卷 2022年新高考Ⅰ卷
★★★
逻辑推理数学运算
二项式系数的性质
理解
2022年浙江卷
★★☆
逻辑推理数学运算
命题分析预测
从近几年高考的情况来看，选择题、填空题都出现过，属于基础题，命题热点是以展开式通项公式为载体求相关项的系数.预计2025年高考命题情况变化不大，应重视基础，夯实一轮复习
能
解析 ,上式中的每一项都可以被整除，故能被 整除.
题组3 走向高考
5.（2023 · 天津卷）在的展开式中， 项的系数为____.
60
解析 展开式的通项公式为 ，令可得，，则项的系数为 .
考点聚焦·突破
考点一 二项展开式的特定项或特定系数［自主练透］
1.（2023 · 北京卷）在的展开式中， 的系数为( ) .
二项式系数的最值问题
典例2 （2024 · 济南模拟）若二项式 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中 的指数为整数的项的个数为( ) .
D
高三一轮复习课件：二项式定理
x－1{1－[－x－1]5} (2)解法一：原式＝ 1－[－x－1] x－1＋x－16 ＝ x ∴展开式中 x2 的系数为 C63(－1)3＝－20.
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
解法二：展开式中 x2 的系数为－C20＋C31(－1)1－C42(－ 1)2＋C53(－1)3＝－20. (3)由 Cnm＝Cnn－m 知 C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝C2120 ＋C2119＋C2118＋…＋C2112＋C2111，而 C210＋C211＋C212＋…＋ C2110＋C2111＋…＋C2121＝221 221－2 20 ∴C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝ ＝2 －1. 2
A．－1
[解析]
展开式的通项公式 Tr＋1＝C8r·8－r· x)r，则含 2 (－
x4 项的系数为 1， x＝1， 令 得展开式所有项系数和为(2－ 1)8 ＝1，因此展开式中不含 x4 项的系数的和为 1－1＝0，故选 B.
[答案] B
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
1．二项式定理 (a＋b)n ＝Cn0an ＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2 ＋…＋Cnran－rbr ＋… ＋Cnnbn.(n∈N＋) 通项公式：Tr＋1＝Cnran－rbr，(r＝0,1,2，…，n)．
＋…＋a2n＝________，a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝________；
(4)(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)37的展开式中x3的
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
解法二：展开式中 x2 的系数为－C20＋C31(－1)1－C42(－ 1)2＋C53(－1)3＝－20. (3)由 Cnm＝Cnn－m 知 C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝C2120 ＋C2119＋C2118＋…＋C2112＋C2111，而 C210＋C211＋C212＋…＋ C2110＋C2111＋…＋C2121＝221 221－2 20 ∴C211＋C212＋C213＋…＋C2110＝ ＝2 －1. 2
A．－1
[解析]
展开式的通项公式 Tr＋1＝C8r·8－r· x)r，则含 2 (－
x4 项的系数为 1， x＝1， 令 得展开式所有项系数和为(2－ 1)8 ＝1，因此展开式中不含 x4 项的系数的和为 1－1＝0，故选 B.
[答案] B
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
高考总复习 数学
第十四章
计数原理（选修· 理科）
1．二项式定理 (a＋b)n ＝Cn0an ＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2 ＋…＋Cnran－rbr ＋… ＋Cnnbn.(n∈N＋) 通项公式：Tr＋1＝Cnran－rbr，(r＝0,1,2，…，n)．
＋…＋a2n＝________，a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝________；
(4)(1－x)4＋(1－x)5＋(1－x)6＋…＋(1－x)37的展开式中x3的
高三一轮复习二项式定理.pptx
＝15.
(2)含 x4 的项为 C38x5( a )3＝C38a3x4， 3 x
∴C38a3＝7，∴a＝12.
第10页/共43页
(3)a＝∫π20(sin2x2－12)dx＝∫π20(1－c2os x－12)dx
＝∫π20(－co2s x)dx＝－12.此时二项式的展开式的通项为 Tr＋1＝
Cr9(－12x)9－r(－
第33页/共43页
考点二
二项式系数或各项系数和
【例2】 (1)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋ y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b。若13a＝7b，则m＝( )
A．5 B．6 C．7 D．8
(2)在二项式 x2－1x n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项 系数的和为( )
第23页/共43页
3．求证：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)．
【证明】因为 n∈N*，且 n>2，
所以 3n＝(2＋1)n 展开后至少有 4 项．
(2
＋
1)n
＝
2n
＋
C
1 n
·2n
－
1
＋
…＋
Cnn－1
·2 ＋
1≥2n
＋
n·2n
－
1
＋
2n
＋
1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1，
所以 T4＝C36x3(－2)3＝－160x3，所以 x3 项的系数为－160.
第29页/共43页
第30页/共43页
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2．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为( )
二项式定理课件-2025届高三数学一轮复习
A.−
B.−
)
C.−
√
D.−
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，
所以 = , −
的展开式的通项为+
= −
− ，
= ,1,2,
⋯ ，8，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的
D.50
] 求解.
思路二：利用因式分解把 + − 转化为二项式
思路三：
+
)
−
求解.
− 表示5个因式 + − 的乘积，利用组合知识求解.
解析：方法一： + −
=[ − +
] ,
通项为+ = − −
逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项加1直
到 .
2.二项式系数的性质
若二项展开式的通项为+ = ⋅
( = , , , ⋯ , ), ≠ ,则
有以下常见结论：
（1） = ⇔ + 是常数项；
（2） 是非负整数 ⇔ + 是整式项；
的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，所
以 = ，解得 = .
−
展开式的通项为
−
+ =
−
=
⋅ −
⋅ − ⋅ − ，
B.−
)
C.−
√
D.−
解析：因为只有第5项的二项式系数最大，
所以 = , −
的展开式的通项为+
= −
− ，
= ,1,2,
⋯ ，8，所以展开式中奇数项的二项式系数与相应奇数项的系数相等，偶
数项的二项式系数与相应偶数项的系数互为相反数，而展开式中第5项的
D.50
] 求解.
思路二：利用因式分解把 + − 转化为二项式
思路三：
+
)
−
求解.
− 表示5个因式 + − 的乘积，利用组合知识求解.
解析：方法一： + −
=[ − +
] ,
通项为+ = − −
逐项减1直到零；字母 按升幂排列，从第一项开始，次数由零逐项加1直
到 .
2.二项式系数的性质
若二项展开式的通项为+ = ⋅
( = , , , ⋯ , ), ≠ ,则
有以下常见结论：
（1） = ⇔ + 是常数项；
（2） 是非负整数 ⇔ + 是整式项；
的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，所
以 = ，解得 = .
−
展开式的通项为
−
+ =
−
=
⋅ −
⋅ − ⋅ − ，
二项式定理课件高三数学一轮复习
角度2 两个二项式之积、三项展开式问题
典例2（1） 在
x2
− 3x +
A.−30
[解析] −
+
−
⋅
⋅ −
−
⋅
C )
C.−25
的展开式的通项+
令 = ， =
=
1−
1 5
的展开式中，常数项为(
x
B.30
−
4
x
=
−
= −
知识拓展
若二项展开式的通项为Tr+1 = g r ⋅ xh r (r = 0,1,2, ⋯ , n)，g r ≠ 0，则有以下常见结论：
（1） h r = 0 ⇔ Tr+1 是常数项.
（2）h r 是非负整数 ⇔ Tr+1 是整式项.
（3）h r 是负整数 ⇔ Tr+1 是分式项.
（4）h r 是整数 ⇔ Tr+1 是有理项.
令 = −，则 = − + − + ⋯ − .
又 + + ⋯ +
− + + ⋯ +
= + + + ⋯ + − + − + ⋯ + − = ，
∴ +
⋅ = ，∴ + = ，∴ = −或 = .故答案为−或1.
D.−1
= − ，可知 ， ，
都小于0，则 − + − + − = + + + + + .
二项式定理课件-2025届高三数学一轮专题复习
1 6 15 20 15 6 1 C60 C61 C62 C63 C64 C65 C66
系数杨辉三角找，对称特性立其中。
2.二项式系数的性质
一 一一 一 二一
一 三三 一
性质
一四六四一 一五 十 十 五一
性质描述
一 六 十五二十十五 六 一
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即_C_nm_＝__C__nn－_m_
1 x6
感悟提升
求展开式中某指定项（如有理项、常数项、第r+1项，含xr的项） 以及指定项的系数、二项式系数等问题是高考的一大热点，通常 要用二项式的通项求解，有时要先变形再应用。
注意区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数。
二项乘方知多少，万里源头通项找!
变式探究2: （1）求(1+x)6(1-x)4的展开式中含x3项的系数；
变式探究2:
（2）求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中x2
（2）解法一：分别求出各个二项展开式中x2的系数；
0，C20 , C31, C42 , C53, ，取和，可知所求x2的系数等于-20.
解法二：∵(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5
（4）求展开式中第四项的系数及二项式系数.
变式探究1:
Tk+1 = Cnk (
x
)
8-k
(
2 x2
)k
8-5k
= Ck8 2k x 2
求该展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.
设Tr 1 的系数为 A r 1 ，那么A r 1 为最大应有:
Ar1 Ar且Ar 1 Ar 2 .
二项式定理复习课ppt
二项式定理在统计学中的应用
统计学中，二项式定理可以帮助我们分析样本概率分布、假设检验等。
二项式定理在数学竞赛中的应用
二项式定理是中学数学竞赛中常考的基础知识点。
二项式定理的推广与拓展
除了扩展和推广，还可以将二项式定理与其他数学分支、物理学等学科相结 合，进一步应用和推广。
二项式定理与别的数学分支的 联系
二项式定理中的交错和与拆项 技巧
在应用二项式定理时，交错和和拆项是一些经常使用的技巧。
二项式定理在数学教学中的意 义及教学方法
二项式定理在高中数学教学中占有重要地位，教师应尽可能活跃课堂氛围， 激发学生兴趣，使学生充分理解和掌握二项式定理相关知识。
容斥原理与二项式定理的关系
容斥原理和二项式定理有着紧密的联系，容斥原理中的交错和即为二项式定理中的交错和。
表述
二项式定理是指对于任意实数a、b和任意非负整数 n，都有$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC(n,k)a^{n-k}b^k$
推导
二项式定理可以由数学归纳法证明，也可以通过二 项式系数的计算证明。
二项式定理的证明方法
除了归纳法和计算，还可以使用其他方法证明二项式定理，比如几何证明、 二项式函数证明等。
性质
二项式系数具有对称性、递推性、整数性等性质。
杨辉三角和二项式系数
杨辉三角的定义
杨辉三角是一个由数字组成的三角形，其左右两边 的数字均为1，中间的数字是上面两个数字之和。
帕斯卡三角形
帕斯卡三角形是指把杨辉三角标成二项式系数的数 表。在帕斯卡三角形中，第n行的第k个数是二项式 系数C(n-1,k-1)。
二项式定理在计算机学科中的 应用场景
在计算机科学中，二项式定理可以应用于算法分析、搜索和排序算法等领域。
2025年高考数学总复习课件80第十章第二节二项式定理
考向1 求二项展开式中的特定项
【例1】(1)(2024·烟台模拟7的展开式中x13的系数是84，则实数a＝
()
A．2
√B．5 4
C．1
D．
2 4
B
解析：二项式
x+
a
x
7展开式的通项为Tk＋1＝C7kx7－k
a
x
k＝C7kakx7-2k.又展开式中
x13的系数是84，令7－2k＝－3，得k＝5，所以C75a5＝84，解得a＝5 4.故选B．
2 x
13 的 展 开 式 的 通 项 为 Tk ＋ 1 ＝ C1k3
－2
13－3k kx 2 ，令
13－2 3k＝2，得k＝3，所以－8C133·x2＝－2 288x2，即含x2的项的系数是－2 288.
3．已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.
2 5
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 二项式系数的性质
1．在
1 x
－
x
10的展开式中，二项式系数最大的项是(
)
A．第5项
√B．第6项
C．第7项
D．第5或第7项
B
解析：在
1 x
－
x
10的二项展开式中，第6项的二项式系数最大．故选B．
第二节 二项式定理
第二节 二项式定理
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
考向3 形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式
【例3】(2024·烟台模拟)在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为( )
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2 , 求 （ x 1 ) 8 的 展 开 式 中 x 2 的 系 数 和 中 间 项 x
2020/10/18
4
练习3：若（1 + x）n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1
（n∈N*）， 且 a ：b=3 ： 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
练习4：求（1 + x + x2）（1－x）10展开式 中含 x 项的系数
注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此 如(1+x) 2020/10/18n =1&#; 2 xn
应用 例 1： 已 知 (2x1)6， 求 第 3 项 的
x 二 项 式 系 数 和 第 6项 的 系 数
2020/10/18
5
二项式系数的性质
2020/10/18
6
(1)对称性：与首末两端“等距离”
的 两个二项式系数相
等
代几数何意意义义：：C直nm线C r nnmn 作为对称轴
2
2020/10将/18 图象分成对称的两部分
7
(2)增减性与最大值
当 k n 1 时 ,二 项 式 系 数 是 逐 渐 增 大 的 .由 对 称 性 2
即 ： ( a b ) n 的 展 开 式 中 ， 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 等 于 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和
这种方法叫做赋值法
2020/10/18
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谢谢您的聆听与观看
THANK YOU FOR YOUR GUIDANCE.
感谢阅读！为了方便学习和使用，本文档的内容可以在下载后随意修改，调整和打印。欢迎下载！
注：1）注意对二项式定理的灵活应用
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 C
r n
；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
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3
3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将 二项式展开
4)求二项式系数、项的系数或项的另一 种方法是利用二项式的通项公式
练习1、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 减 小 的 ,且 在 中 间 取 得 最 大 值 .
n
当 n 是 偶 数 时 ,中 间 的 一 项 C n 2 取 得 最 大 值 ;当 n 是 奇
n 1 n 1
数 时 ,中 间 的 两 项 C n 2,C n 2相 等 ,且 同 时 取 得 最 大 值 .
二项式定理
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二项展开式定理
一般地，对于n N*有
(a b )n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n 2 b 2
C n ra n rb r C n n b n
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 1) Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 2) Cnr ： 二项式系数
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(3)各二项式系数的和
( 1 ) C n 0 C n 1 C n 2 C n r C n n 2 n
即 ： ( a b ) n 的 展 开 式 的 各 个 二 项 式 系 数 的 和 等 于 2 n
( 2 ) C n 0 C n 2 C n 1 C n 3 2 n 1
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4
练习3：若（1 + x）n = x n +…+ ax3 + bx2 +…+1
（n∈N*）， 且 a ：b=3 ： 1 ，那么 n =_____ （95上海高考）
练习4：求（1 + x + x2）（1－x）10展开式 中含 x 项的系数
注1）．二项展开式共有n+1项 2）．各项中a的指数从n起依次减小1，到0为此
各项中b的指数从0起依次增加1，到n为此 如(1+x) 2020/10/18n =1&#; 2 xn
应用 例 1： 已 知 (2x1)6， 求 第 3 项 的
x 二 项 式 系 数 和 第 6项 的 系 数
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二项式系数的性质
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6
(1)对称性：与首末两端“等距离”
的 两个二项式系数相
等
代几数何意意义义：：C直nm线C r nnmn 作为对称轴
2
2020/10将/18 图象分成对称的两部分
7
(2)增减性与最大值
当 k n 1 时 ,二 项 式 系 数 是 逐 渐 增 大 的 .由 对 称 性 2
即 ： ( a b ) n 的 展 开 式 中 ， 奇 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和 等 于 偶 数 项 的 二 项 式 系 数 的 和
这种方法叫做赋值法
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注：1）注意对二项式定理的灵活应用
2）注意区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为 C
r n
；
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
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3）求二项式系数或项的系数的一种方法是将 二项式展开
4)求二项式系数、项的系数或项的另一 种方法是利用二项式的通项公式
练习1、求（x+a)12的展开式中的倒数第4项
汇报人：XXX 日期：20XX年XX月XX日
知 它 的 后 半 部 分 是 逐 渐 减 小 的 ,且 在 中 间 取 得 最 大 值 .
n
当 n 是 偶 数 时 ,中 间 的 一 项 C n 2 取 得 最 大 值 ;当 n 是 奇
n 1 n 1
数 时 ,中 间 的 两 项 C n 2,C n 2相 等 ,且 同 时 取 得 最 大 值 .
二项式定理
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二项展开式定理
一般地，对于n N*有
(a b )n C n 0 a n C n 1 a n 1 b C n 2 a n 2 b 2
C n ra n rb r C n n b n
右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式 1) Cnr an-rbr：二项展开式的通项，记作Tr+1 2) Cnr ： 二项式系数
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(3)各二项式系数的和
( 1 ) C n 0 C n 1 C n 2 C n r C n n 2 n
即 ： ( a b ) n 的 展 开 式 的 各 个 二 项 式 系 数 的 和 等 于 2 n
( 2 ) C n 0 C n 2 C n 1 C n 3 2 n 1