矩阵的初等行变换

行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在 A 的 右边乘以相应的 n 阶初等矩阵．
定理 2.6.2 把矩阵的初等变换与矩阵的乘法运算 联系起来，可以利用初等变换研究矩阵的乘法问题， 也可以利用矩阵的乘法运算研究矩阵的初等变换问 题.
定义 2.6.2 下面三种变换称为矩阵的初等行变 换:
互换变换：交换方程，改变方程次序；
倍乘变换：以不等于零的数乘某个方程两边；
倍加变换：一个方程的 k 倍加到另一个方程上去. 如果从矩阵的角度看方程组的初等变换，就有矩
阵的初等行变换的概念.
利用这些变换求解方程组，只需提取出方程的系 数和常数，得到相应的矩阵，对该矩阵进行变换，便 可求得方程组的解.为了利用变换系统全面的介绍方 程组的解法，本部分介绍矩阵初等变换的概念及应用.
0 5 2 7
0 5 2 7
1
2
1
3
4
6
0
14
0 2 4 2
rr1334r 522rr22 10 0
2 1 0
1 0 2
3
1
1 (r4122)r3r3 0
2
0
2 1 0
1 0 1
3
. 1
B
1
0 0 4 4
0 0 0
0
这里的矩阵 B 根据其特点称为行阶梯形矩阵．
定义 2.6.4 满足下列条件的矩阵称为行阶梯形 矩阵：
1 2 0 4
1 0 0 2
. B 0 1 0
1
r1r3 0
1
0
1
r12r2 0
1
0
1
C
0 0 1 1
0 0 1 1
0 0 1 1
0 0 0
0
0 0 0
0
0 0 0
0
这种特殊的行阶梯形矩阵C 称为行最简形矩阵．
(1) 对调两行(对调 i,j 两行，记作 ri↔rj);
(2) 以数 k ≠0 乘某一行中的所有元素(第 i 行乘
k,记作 ri×k);
(3) 把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的 元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上，记作 ri+krj).
把定义中的“行”换成“列”, 即得矩阵的初等 列变换的定义(所用记号是把“r”换成“c”).
矩阵的初等行变换与初等列变换，统称初等变换．
定义 2.6.3 如果矩阵 A 经有限次初等行变换变 成矩阵 B ，就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B ．
矩阵之间的等价关系具有下列性质: (1) 反身性 A ~ A ; (2) 对称性 若 A ~ B , 则 B ~ A; (3) 传递性 若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C . 数学中把具有上述三条性质的关系称为等价.若
3x2 2x3 5. ③
x1 2,
①
x2
x3
3,
②
3x2 2x3 5.③
③式减②式乘以 2，得
x1 x2
2, x3
① 3, ②
x2 1. ③
②式减③式，得
x1 2, ①
x3
4,
②
x2 1.③
最后求得方程组（2.6.1）的解， x1 2, x2 1, x3 4.
上述求解过程中，对方程组用到了三种变换：
.
大连理工大学出版社说
目录
1.初等矩阵与初等变换 2.行最简形矩阵 3.用初等行变换求矩阵的逆 4.用初等行变换求矩阵方程
1. 初等矩阵与初等变换
例 2.6.1 求解线性方程组
x1 2x2 x3 4, ①
x1
x2
x3
1,
②
2x1 3x2 2x3 9.③
解 ①式与③式交换，得
(1)对调两行或对调两列
左乘： Em (i, j)Amn 相当于把 A 的第 i 行与第 j 行
对调；
右乘： Amn En (i, j) 相当于把 A 的第 i 列与第 j 列
对调.
(2)以数 k≠0 乘某行或某列
左乘： Em (i(k)Amn 相当于用数 k 乘 A 的第 i 行； 右乘： Amn En (i(k)) 相当于用数 k 乘 A 的第 i 列.
（3）以数 k 乘某行 (列) 加到另一行 (列) 上去
左乘：Em (ij(k)) Amn 相当于把 A 的第 j 行乘 k 加到 第 i 行；
右乘：Amn En (ij(k)) 相当于把 A 的第 j 列乘 k 加到
第 i 列.
为此，我们介绍以下定理： 定理 2.6.2 设 A 是一个 m 行 n 列的矩阵，对 A 施
③式减②式，得
2x1 3x2 2x3 9, ①
x1
x2
x3
1,
②
x1 2x2 x3 4. ③
2x1 3x2 2x3 9, ①
x1
x2
x3
1,
②
3x2 2x3 5.③
（2.6.1）
①式减③式，所得结果两边同时除以 2，得
①式减②式，得
x1 2,
①
x1 x2 x3 1, ②
定理 2.6.1 初等变换可逆；初等矩阵可逆，且 (1) E(i, j)1 E(i, j) ；
(2) E(i(k))1 E(i(1)) ；
k
(3) E(ij(k)) 1 E(ij(k)) . 即初等变换可逆，且逆变换是同种初等变换.
根据矩阵乘法的定义，用定义 2.6.2 的三种初等 矩阵去左乘和右乘一个矩阵，发现有以下三个运算规 律：
两个方程组同解,则称这两个方程组等价.
2. 行最简形矩阵
4 6 0 14
例 2.6.2
已知矩阵
A
1 0
1 5
1 2
0 7
，对其施以如下
1
2
1
3
初等行变换：
4 6 0 14
1 2 1 3
1 2 1 3
A 1 1 1
0
r1r4 1
1
1
0
r2 r1
r4 4r1
0
3
0 3
0 5 2 7
定义 2.6.1 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得 到的矩阵称为初等矩阵．
为了方便叙wenku.baidu.com，我们引进三个符号：
E(i, j) ，表示对单位矩阵 E 做了第 i 行和第 j 行的交 换后的初等矩阵；
E(i(k)) ，表示对单位矩阵 E 的第 i 行的所有元素都 乘以 k 后的初等矩阵；
E(ij(k)) ，表示对单位矩阵 E 的第 i 行的元素都乘以 k 后加到第 j 行上去得到的初等矩阵.
(1) 从上而下的各行中，各非零行的首非零元位 于上一行首非零元之右；
(2)元素全为零的行(如果有的话)位于矩阵的最 下方.
下列两个矩阵就是行阶梯形矩阵：
. 0
0
1 0
2 0
15，002
1 1 0
2 1 1
1 1 2
0 0 0 0 0 0 0 5
对例 2.6.2 中矩阵 B 继续施以初等行变换：
1 2 1 3