第二类曲线积分典型例题解析

第二类曲面积分例题

第二类曲面积分例题曲面积分是对曲面上某个量进行积分的数学工具，用于计算曲面上的各种物理量或几何特性。

下面我会给出一个例题，并从多个角度进行解答。

例题，计算曲面积分 $\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS$，其中曲面$S$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$，且法向量与 $z$ 轴的夹角小于$\frac{\pi}{2}$。

解答：1. 参数化法：我们可以使用球坐标系来参数化球面 $S$，令$x=a\sin\phi\cos\theta$，$y=a\sin\phi\sin\theta$，$z=a\cos\phi$，其中 $0\leq\phi\leq\frac{\pi}{2}$，$0\leq\theta\leq2\pi$。

计算曲面积分可转化为计算参数化后的积分：$$\iint_S (x^2+y^2+z^2)dS =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\pi}(a^2\sin^2\phi\cos^2\theta + a^2\sin^2\phi\sin^2\theta +a^2\cos^2\phi)a^2\sin\phi d\theta d\phi$$。

化简后可得结果。

2. 法向量法，由于曲面 $S$ 是球面，其法向量可以表示为$\mathbf{N} = \frac{\mathbf{r}}{a}$，其中 $\mathbf{r} =x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k}$ 是曲面上的任意一点。

计算曲面积分可转化为计算 $\iint_S(\mathbf{r}\cdot\mathbf{N})dS$。

代入球面方程和法向量表达式后，进行积分即可得结果。

3. 散度定理法，根据散度定理，曲面积分可以转化为对曲面所围立体的体积分。

因为球面 $S$ 是闭合曲面，所以可以使用散度定理。

计算散度 $\nabla\cdot(\mathbf{F})$，其中 $\mathbf{F} = (x^2+y^2+z^2)\mathbf{i} + (x^2+y^2+z^2)\mathbf{j} +(x^2+y^2+z^2)\mathbf{k}$。

9(2)第二类曲线积分

12
y B
对坐标的曲线积分
例2 计算
I = ∫ xdy + ydx
L
其中L分别为其中分别为: 分别为 (1) 抛物线
y = 2x
2
上从原点到B(1,2)的一段的一段; 上从原点到的一段
(2) 直线段OB: 直线段
y = 2x;
(3) 任意以为起点,B为终点的光滑曲线任意以O为起点为终点的光滑曲线为起点为终点的光滑曲线. 结论:被积函数起点终点都相同结论被积函数,起点终点都相同被积函数起点终点都相同, 虽然积分路径不同,但积分值不同虽然积分路径不同但积分值不同. 但积分值不同
′ (t ) dt = dx, dy, dz T =r { }
从而单位切向量为
t = cos t , x , cos t , y , cos t , z
{ ( ) ( ) ( )} = {cos α , cos β , cos γ }
∫
C
又设 F ( x, y, z ) = P ( x, y , z )i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z ) k 则
∫
L
F d s = ∫ F d s
L
y
L
L
O
x
第二类曲线积分与 3. 存在条件
曲线的方向有关. 曲线的方向有关.
当F ( x, y ) 在光滑曲线弧上连续时, 在光滑曲线弧L上连续时,
第二类曲线积分存在. 第二类曲线积分存在
5
对坐标的曲线积分
4. 物理意义
变力 F = P ( x , y )i + Q ( x , y ) j 沿AB所作的功 W 所作的功

高等数学第二类曲线积分与路径无关问题1

∫
C
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy = ∫
C + c0
(1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy − ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy
C0
=
∫∫ ( 2 − 3 y
D
2
)dxdy − ∫ (1 + 0 3 ) dx =
π
=
3a 2 2
∫
2π
0
3 sin 2 t cos 2 tdt = πa 2 . 8
例 3 在过点Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲线族 y = a sin x 中，求一条曲线Ｃ，使沿该曲线从Ｏ到Ａ的线积分 ∫ (1 + y 3 ) dx + ( 2 x + y ) dy 的值最小。
C
解本题可用代入法直接求解，这里采用“补线法”用格林公是求解。令 C 0 : y = 0, x : π → 0 ，即 AO 直线段。
xdy − ydx ,其中 L 为: L x2 + y2
（1）任一简单闭曲线,该闭曲线包围的区域不含有原点; （2）以原点为圆心的任一圆周. 解这里 P ( x, y ) =
−y x , Q ( x, y ) = 2 , 2 x +y x + y2
2
∂Q y2 − x2 ∂P = 2 = ,且 P ( x, y ) 与 Q ( x, y ) 在不含原点的任意一个区域内具有一 2 2 ∂x ( x + y ) ∂x 阶连续偏导数. （1）这个曲线积分与路径无关,所以
I =∫ xdy − ydx = 0. x2 + y2

第二类曲面积分例题

第二类曲面积分例题摘要：一、引言二、第二类曲面积分的概念和基本方法1.概念2.基本方法三、例题解析1.例题12.例题2四、总结正文：一、引言在数学中，曲面积分是一种常见的积分形式。

第二类曲面积分是曲面积分的一种，主要研究空间曲线或曲面与某个曲面的相对位置关系。

本文将介绍第二类曲面积分的概念和基本方法，并通过两个例题进行解析。

二、第二类曲面积分的概念和基本方法1.概念第二类曲面积分指的是空间中一个曲线或曲面在某个曲面上的投影面积与该曲面的有向法线长度的乘积的积分。

具体而言，设曲面S 由参数方程x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v) 表示，曲面S 上的曲线C 由参数方程x = x(u), y = y(u), z = z(u) 表示，曲面S 的单位法向量场为N(u, v)，则曲线C在曲面S 上的第二类曲面积分为：∫(C) = ∫∫(N·r) dμ其中，r 为曲线C 上的一个有向微元，dμ为曲面S 上的一个有向微元。

2.基本方法求解第二类曲面积分的基本方法有以下两种：(1) 直接积分法：通过在曲面上选取一个适当的坐标系，将曲线和曲面的参数方程转化为直角坐标方程，然后直接对直角坐标方程进行积分。

(2) 切平面法：在曲线或曲面上任取一点，在该点处作一个切平面，将切平面与曲面相交得到一个曲边三角形。

通过求解曲边三角形的面积，再乘以该点处的法向量长度，最后进行积分。

三、例题解析1.例题1设曲面S 由参数方程x = 2cosθ, y = 2sinθ, z = θ表示，曲线C 由参数方程x = 3cosφ, y = 3sinφ表示。

求曲线C 在曲面S 上的第二类曲面积分。

解：首先，计算曲面S 的单位法向量场N，有N = (x/θ, y/θ, z/θ) = (2sinθ, 2cosθ, 1)。

然后，计算曲线C 在曲面S 上的单位法向量场r，有r = (x/φ, y/φ, 0) = (3sinφ, 3cosφ, 0)。

数学分析20.2第二型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章曲线积分 2第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功.在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1，与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n).若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记ii M ML 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为W i ≈F(ξi ,ηi )·ii M ML 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点.因而力F(x,y)沿曲线⌒AB所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1≈∑=∆n i i i i x P 1),(ηξ+∑=∆ni i i i y Q 1),(ηξ.定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上.对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ+∑=→∆ni i i i T y Q 1),(lim ηξ且与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分，记作：⎰L dx y x P ),(+Q(x,y)dy 或⎰AB dx y x P ),(+Q(x,y)dy ，也可简写为⎰LPdx +Qdy 或⎰ABPdx +Qdy ，若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰LPdx +Qdy.若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F . 若L 为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L 的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为：⎰Ldx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 或⎰ABdx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ，也可简写为⎰L Pdx +Qdy+Rdz 或⎰AB Pdx +Qdy+Rdz.当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有向量形式⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F .注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A 到B 改变由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△x i ,△y i 也随之变号，故有⎰AB Pdx +Qdy= -⎰BA Pdx +Qdy.性质：1、若⎰L i dx P +Q i dy 存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1也存在，且 dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛∑=1=()dy Q dx P c iLiki i +⎰∑=1.2、若有向曲线L 是由有向曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL Pdx +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则⎰LPdx +Qdy 也存在，且⎰LPdx +Qdy =∑⎰=ki L iPdx 1+Qdy.二、第二型曲线积分的计算设平面曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且点A 与B 的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L 上的连续函数，则沿L 从A 到B 的第二型曲线积分⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),(([.注：1、对沿封闭曲线L 的第二型曲线积分的计算，可在L 上任取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点.2、设空间有向光滑曲线L 的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t ∈[α,β]，起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则Rdz Qdy Pdx L ++⎰=⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x P t x t z t y t x P )]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([.例1：计算⎰L xydx +(y-x)dy ，其中L 分别沿如图中路线： (1)直线AB ；(2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界).解：(1)方法一：L:⎩⎨⎧+=+=ty tx 211, t ∈[0,1]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+++10]2)21)(1[(dt t t t =625. 方法二：L: y=2x-1, x ∈[1,2]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰-+-21)]1(2)12([dx x x x =625. (2)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+--++-2122)]352)(44()342([dx x x x x x x=⎰-+-2123)12353210(dx x x x =610.(3)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰AD xydx +(y-x)dy+⎰DB xydx +(y-x)dy+⎰BA xydx +(y-x)dy. 又⎰AD xydx +(y-x)dy=⎰21xdx =23;⎰DBxydx +(y-x)dy=⎰-31)2(dy y =0;⎰BAxydx +(y-x)dy=-625；∴⎰L xydx +(y-x)dy=23+0-625=-38.例2：计算ydx xdy L +⎰，这里L(如图) (1)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (2)沿直线段OB ：y=2x ； (3)沿封闭曲线OABO.解：(1)ydx xdy L +⎰=⎰+1022)24(dx x x =2. (2)ydx xdy L +⎰=⎰+10)22(dx x x =2. (3)ydx xdy OA +⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB+⎰=⎰2dy =2;ydx xdy BO+⎰=-2；∴⎰+L ydx xdy =ydx xdy OA +⎰+ydx xdy AB +⎰+ydx xdy BO +⎰=0+2-2=0.例3：计算第二型曲线积分⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(，L 是螺旋线：x=acost, y=asint, z=bt 从t=0到t=π上的一段. 解：⎰+-+L dzx dy y x xydx 2)(=dt t b a t t t a t t a ⎰+-+-π022223]cos )sin (cos cos cos sin [=⎰⎰⎰-++-πππ222223cos sin cos )1(cos sin tdtt a atdt b a tdt t a=⎰+π022cos )1(tdt b a =21a 2(1+b)π.例4：(如图)求在力F(y,-x,x+y+z)作用下， (1)质点由A 沿螺旋线L 1到B 所作的功. 其中L 1: x=acost, y=asint, z=bt, 0≤t ≤2π； (2)质点由A 沿直线L 2到B 所作的功. 解：(1)W=⎰+++-L dzz y x xdy ydx )(=dt bt t a t a b t a t a ⎰+++--π202222)]sin cos (cos sin [=dt t b t ab t ab a ⎰+++-π2022)sin cos (=-2πa 2+2π2b 2=2π(πb 2-a 2).(2)∵L 2: x=a,y=0,z=bt ，0≤t ≤2π；∴W=⎰+++-L dz z y x xdy ydx )(=dt bt a b ⎰+π20)(=2πb(a+πb)三、两类曲线积分的联系设L 为从A 到B 的有向光滑曲线，它以弧长s 为参数，于是L: ⎩⎨⎧==)()(s y y s x x , 0≤s ≤l ，其中l 为曲线L 的全长，且点A,B 的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)). 曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(),()分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦为dsdx=cos(),dsdy=cos().若P(x,y), Q(x,y)为曲线L 上的连续函数，则由⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'lds s y s y s x Q s x s y s x P 0)]())(),(()())(),(([得⎰LPdx +Qdy=⎰ls y s x P 0))(),(([cos()+))(),((s y s x Q cos()]ds=⎰L y x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds.最后得到一个根据第一型曲线积分化为定积分的等式. 即两类曲线积分之间的转换公式.注：当⎰L Pdx +Qdy 的方向改变时，⎰Ly x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds 中的夹角与原夹角相差弧度π，从而cos()和cos()也随之变号.因此，一旦方向确定，两类曲线积分之间的转换公式总是成立.习题1、计算第二型曲线积分：(1)⎰-L ydx xdy , 其中L (如图)(i)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (ii)沿直线段OB ：y=2x ； (iii)沿封闭曲线OABO.(2)⎰+-L dy dx y a )2(, 其中L 为摆线a(t-sint),y=a(1-cost) (0≤t ≤2π)，沿t 增加方向的一段； (3)⎰++-Lyx ydy xdx 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2依逆时针方向； (4)⎰+L xdy ydx sin , 其中L 为y=sinx(0≤x ≤π)与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；(5)⎰++L zdz ydy xdx , 其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 解：(1)(i)ydx xdy L -⎰=⎰-1022)24(dx x x =32. (ii)⎰-L ydx xdy =⎰-10)22(dx x x =0.(iii)ydx xdy OA -⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB -⎰=⎰20dy =2;ydx xdy BO -⎰=-32； ∴⎰-L ydx xdy =ydx xdy OA -⎰+ydx xdy AB -⎰+ydx xdy BO -⎰=0+2-32=34.(2)⎰+-L dy dx y a )2(=⎰+---π20}sin )cos 1)](cos 1(2[{dt t a t t a a a =dt t a dt t a ⎰⎰+-ππ202022sin )cos 1(=πa 2.(3)由圆的参数方程：x=acost, y=asint, (0≤t ≤2π)得⎰++-L y x ydyxdx 22=⎰+π20222)cos sin sin cos (adt t t a t t a =0. (4)记点A(π,0)则⎰+Lxdy ydx sin =⎰⎰⋂+++OAAOxdyydx xdy ydx sin sin=⎰⎰++000)cos sin (sin ππdx dx x x x =-cosx π0=2.(5)L 的参数方程为：x=t, y=2t-1, z=3t-2, (1≤t ≤2)， ∴⎰++L zdz ydy xdx =⎰-+-+21)6924(dt t t t =⎰-21)814(dt t =13.2、设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比. 若由质点与(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功. 解：椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint, 0≤t ≤2π.F=k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+222222,y x y y x x y x =(-kx,-ky), k>0. ∴力所作的功W=⎰L Pdx +Qdy=⎰+-L ydy xdx k )(=-k ⎰+-2022)cos sin sin cos (πdt t t b t t a =2k(a 2-b 2).3、设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比. 若质点沿直线x=at, y=bt, z=ct(c ≠0)从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c)，求力所作的功.解：F=zk , k ≠0. 由力的方向指向原点，故其方向余弦为：cos α=r x -, cos β=r y -, cos γ=r z-, 其中r=222z y x ++F 的三个分力为P=-r x z k , Q=-r y z k , P=-rz z k =-r k, ∴力所作的功为W=-dz r kdy rz ky dx rz kx L ++⎰=-k ⎰++++21222222)(dt tc b a ct t c b a =c c b a k 222++'ln2.4、证明曲线积分的估计公式：⎰+ABQdy Pdx ≤LM, 其中L 为AB 的弧长，M=22),(maxQ P ABy x +∈.利用上述不等式估计积分I R =⎰=+++-222222)(R yx y xy x xdyydx ，并证明+∞→R lim I R =0. 证：(1)∵⎰+AB Qdy Pdx =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+AB ds dy Q dsdx Pds 且 ds dy Q ds dx P +≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222)(ds dy ds dx Q P ≤22Q P +，从而 ⎰+ABQdy Pdx ≤⎰+ABdsdyQ ds dx Pds ≤⎰+AB Q P 22ds ≤⎰AB M ds=LM. (2)42222)(max222y xy x y x R y x +++=+=4222)21(R R R -=34R ; 由(1)知222)(y xy x xdyydx ++-≤2πR·34R =28R π.∵|I R |≤28R π→0 (R →+∞), ∴+∞→R lim I R =0.5、计算沿空间曲线的第二型积分：(1)⎰L xyzdz , 其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8封限；(2)⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zz 平面部分.解：(1)曲线L 的参数方程为：x=cost, y=z=t sin 22, 0≤t ≤2π，当t 从0增加到2π时，点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限，于是⎰Lxyzdz =⎰π20224sin cos 2tdt t =162π.(2)(如图)设I=⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222=⎰1L +⎰2L +⎰3L ,其中L 1: ⎪⎩⎪⎨⎧===0sin cos z y x θθ(0≤θ≤2π); L 2: ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕsin cos 0z y x (0≤φ≤2π); L 3: ⎪⎩⎪⎨⎧===ψψcos 0sin z y x (0≤ψ≤2π); 则⎰-+-+-1)()()(222222L dz y x dy x z dx z y =⎰--2033)cos sin (πθθθd =-32-32=-34.同理⎰2L =⎰3L =-34，∴I=-34-34-34=-4.。

大学课件高等数学下学期9-2第二型曲线积分

(2) L : x x( y) y起点为c, 终点为d
则 L P( x, y)dx Q( x, y)dy
d
c {P[ x( y), y]x( y) Q[ x( y), y]}dy
12/28
x (t)
(3) 推广
:
y
(t ),
t起点 , 终点
z (t)
P( x, y, z)dx Q( x, y, z)dy R( x, y, z)dz
L
L
其中
F
P,Q,
ds
dx,
dy.
式
6/28
4. 物理意义
变力F
P( x,
y)i
Q( x,
y) j
沿A⌒B所作的功W
W A⌒B F ds
ds
dx,dy.
A⌒B (Pi Qj ) (dxi dyj )
⌒ Pdx Qdy AB
7/28
5. 推广
空间有向曲线弧Γ, Pdx Qdy Rdz
L F dl L(P cos Qsin )ds
L Pdx Qdy
(P cos Q cos )ds
L
26/28
推广空间曲线
上点( x, y, z)处的切线向量的方向角为 , , ,
则 Pdx Qdy Rdz
(P cos Q cos Rcos )ds
可用向量表示
0
P(x, y)为 y的偶函数
L
P
(
x
,
y
)dx
2
P( x, y)dx P(x, y)为 y的奇函数
L1
其中L1是曲线L的上半平面的部分.
类似地, 对 Q( x, y)dy的讨论也有相应的结论. L

第二型曲线积分

y
x
( x)2x ，( x) x2 C ，
代入 (0)0 ，得C 0 ，( x) x2 。
取 y x ， x: 01 作为积分路径，则
(1,1) x
y2dx
y(
x)dy
(1,1)xy2dx yx2dy
1
2
x
3dx
1
.
(0,0)
(0,0)
0
2
东南大学数学系
HECHUANFU
或 du PdxQdy xy2dx yx2dyd 1( x2 y2 ), 2
1 dx
x dxC
]
HECHUANFU
1[ 4x3dxC] C x3.
x
x
由 f (1)2 ，得C 1 ，故 f ( x) 1 x3 。 x
（2）
4x3 ydx xf ( x)dy
C ( AB )
4x3 ydx(1 x4 )dy
C( AB )
3
(181)dy246. 0
东南大学数学系
c a.
d b ab
db
东南大学数学系
另解：∵ P Q ，∴u( x, y) ， y x
HECHUANFU
使得
du
1 [1 y
y2
f
( xy)]dx
x y2
[
y
2
f
( xy)1]dy
1
x
ydx yf ( xy)dx xf ( xy)dy y2 dy
d( x ) f ( xy)d( xy)d[ x F( xy)]
8．已知曲线积分
C
xdy ydx 2 y2 ( x)
A(
A为
常
数),
其中

高等数学9-2第二类曲线积分(2)

特殊情形
(1) L : y y( x )
b L a
x起点为a，终点为b.
则 Pdx Qdy { P[ x , y( x )] Q[ x , y( x )] y( x )}dx.
( 2) L : x x ( y )
d L c
y起点为c，终点为d .
则 Pdx Qdy { P[ x ( y), y]x ( y) Q[ x ( y), y]}dy.

(2) L－表示 L 的反向弧
k
i 1
L i P( x, y)d x Q( x, y)d y
L
P( x, y )d x Q( x, y )d y
第二型曲线积分必须注意积分曲线弧段的方向!
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3. 计算
x (t ) • 对有向光滑弧 L : , t : y (t )
曲线积分
对弧长的曲线积分
定义
对坐标的曲线积分

L
f ( x, y )ds
L P( x, y)dx Q( x, y)dy
LPdx Qdy
L f ( x, y )ds
计
f [, ] dt
2 2
[ P (, ) Q(, )]dt
解 (1) 化为对 x 的积分.
B(1,1)
L : y x , x从0变到1,
2
y x2
原式 ( 2 x x 2 x 2 2 x )dx
0
1
4 x 3 dx 1.
0
1
A(1,0)
( 2) 化为对 y 的积分.
x y2

数学分析20.2第二型曲线积分(含习题及参考答案)

第二十章曲线积分 2第二型曲线积分一、第二型曲线积分的定义引例：如图，一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力F(x,y)所作的功.在曲线⌒AB 内插入n-1个分点M 1, M 2, …, M n-1，与A=M 0, B=M n 一起把有向曲线⌒AB分成 n 个有向小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n).若记小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，则分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .设力F(x,y)在x 轴和y 轴方面的投影分别为P(x,y)与Q(x,y)，则 F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)). 又设小弧段⌒M i-1M i 在x 轴与y 轴上的投影分别为 △x i =x i -x i-1与△y i =y i -y i-1，(x i ,y i )与(x i-1,y i-1)分别为分点M i 与M i-1的坐标. 记ii M ML 1-=(△x i ,△y i )，于是力F(x,y)在小弧段⌒M i-1M i 上所作的功为W i ≈F(ξi ,ηi )·ii M ML 1-=P(ξi ,ηi )△x i +Q(ξi ,ηi )△y i ，其中(ξi ,ηi )是⌒M i-1M i 上任一点.因而力F(x,y)沿曲线⌒AB所作的功近似地等于 W=∑=n i i W 1≈∑=∆n i i i i x P 1),(ηξ+∑=∆ni i i i y Q 1),(ηξ.定义1：设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L ：⌒AB 上.对L 的任一分割T 把L 分成n 个小弧段⌒M i-1M i (i=1,2,…,n), A=M 0, B=M n . 记各小弧段⌒M i-1M i 的弧长为△s i ，分割T 的细度为T =i ni s ∆≤≤1max .又设T 的分点M i 的坐标为(x i ,y i )，并记△x i =x i -x i-1,△y i =y i -y i-1(i=1,2,…,n). 在每个小弧段⌒M i-1M i 上任取一点(ξi ,ηi )，若存在极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ+∑=→∆ni i i i T y Q 1),(lim ηξ且与分割T 与点(ξi ,ηi )的取法无关，则称此极限为函数P(x,y), Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分，记作：⎰L dx y x P ),(+Q(x,y)dy 或⎰AB dx y x P ),(+Q(x,y)dy ，也可简写为⎰LPdx +Qdy 或⎰ABPdx +Qdy ，若L 为封闭的有向曲线，则记为⎰LPdx +Qdy.若记F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，ds=(dx,dy)，则有向量形式：⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F . 若L 为空间有向可求长度曲线，P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)为定义在L 的函数，可类似地定义沿空间有向曲线L 上的第二型曲线积分，并记为：⎰Ldx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz 或⎰ABdx z y x P ),,(+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz ，也可简写为⎰L Pdx +Qdy+Rdz 或⎰AB Pdx +Qdy+Rdz.当把F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds=(dx,dy,dz)看作三维向量时，有向量形式⎰⋅L ds F 或⎰⋅AB ds F .注：第二型曲线积分与曲线L 的方向有关，对同一曲线，当方向由A 到B 改变由B 到A 时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得△x i ,△y i 也随之变号，故有⎰AB Pdx +Qdy= -⎰BA Pdx +Qdy.性质：1、若⎰L i dx P +Q i dy 存在，c i (i=1,2,…,k)为常数，则dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=1也存在，且 dx P c L k i i i ⎰∑⎪⎭⎫⎝⎛=1+dy Q c k i i i ⎪⎭⎫⎝⎛∑=1=()dy Q dx P c iLiki i +⎰∑=1.2、若有向曲线L 是由有向曲线L 1,L 2,…,L k 首尾相接而成，且⎰iL Pdx +Qdy(i=1,2,…,k)存在，则⎰LPdx +Qdy 也存在，且⎰LPdx +Qdy =∑⎰=ki L iPdx 1+Qdy.二、第二型曲线积分的计算设平面曲线L:⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ, t ∈[α,β]，其中φ(t),ψ(t)在[α,β]上具有一阶连续导函数，且点A 与B 的坐标分别为(φ(α),ψ(α))与(φ(β),ψ(β)). 又设P(x,y)与Q(x,y)为定义在L 上的连续函数，则沿L 从A 到B 的第二型曲线积分⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),(([.注：1、对沿封闭曲线L 的第二型曲线积分的计算，可在L 上任取一点作为起点，沿L 所指定的方向前进，最后回到这一点.2、设空间有向光滑曲线L 的参量方程为x=x(t), y=y(t), z=z(t), t ∈[α,β]，起点为(x(α),y(α),z(α))，终点为(x(β),y(β),z(β))，则Rdz Qdy Pdx L ++⎰=⎰'+'+'βαdt t z t z t y t x R t y t z t y t x P t x t z t y t x P )]())(),(),(()())(),(),(()())(),(),(([.例1：计算⎰L xydx +(y-x)dy ，其中L 分别沿如图中路线： (1)直线AB ；(2)ACB(抛物线：y=2(x-1)2+1)； (3)ADBA(三角形周界).解：(1)方法一：L:⎩⎨⎧+=+=ty tx 211, t ∈[0,1]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+++10]2)21)(1[(dt t t t =625. 方法二：L: y=2x-1, x ∈[1,2]，∴⎰L xydx +(y-x)dy=⎰-+-21)]1(2)12([dx x x x =625. (2)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰+--++-2122)]352)(44()342([dx x x x x x x=⎰-+-2123)12353210(dx x x x =610.(3)⎰L xydx +(y-x)dy=⎰AD xydx +(y-x)dy+⎰DB xydx +(y-x)dy+⎰BA xydx +(y-x)dy. 又⎰AD xydx +(y-x)dy=⎰21xdx =23;⎰DBxydx +(y-x)dy=⎰-31)2(dy y =0;⎰BAxydx +(y-x)dy=-625；∴⎰L xydx +(y-x)dy=23+0-625=-38.例2：计算ydx xdy L +⎰，这里L(如图) (1)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (2)沿直线段OB ：y=2x ； (3)沿封闭曲线OABO.解：(1)ydx xdy L +⎰=⎰+1022)24(dx x x =2. (2)ydx xdy L +⎰=⎰+10)22(dx x x =2. (3)ydx xdy OA +⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB+⎰=⎰2dy =2;ydx xdy BO+⎰=-2；∴⎰+L ydx xdy =ydx xdy OA +⎰+ydx xdy AB +⎰+ydx xdy BO +⎰=0+2-2=0.例3：计算第二型曲线积分⎰+-+L dz x dy y x xydx 2)(，L 是螺旋线：x=acost, y=asint, z=bt 从t=0到t=π上的一段. 解：⎰+-+L dzx dy y x xydx 2)(=dt t b a t t t a t t a ⎰+-+-π022223]cos )sin (cos cos cos sin [=⎰⎰⎰-++-πππ222223cos sin cos )1(cos sin tdtt a atdt b a tdt t a=⎰+π022cos )1(tdt b a =21a 2(1+b)π.例4：(如图)求在力F(y,-x,x+y+z)作用下， (1)质点由A 沿螺旋线L 1到B 所作的功. 其中L 1: x=acost, y=asint, z=bt, 0≤t ≤2π； (2)质点由A 沿直线L 2到B 所作的功. 解：(1)W=⎰+++-L dzz y x xdy ydx )(=dt bt t a t a b t a t a ⎰+++--π202222)]sin cos (cos sin [=dt t b t ab t ab a ⎰+++-π2022)sin cos (=-2πa 2+2π2b 2=2π(πb 2-a 2).(2)∵L 2: x=a,y=0,z=bt ，0≤t ≤2π；∴W=⎰+++-L dz z y x xdy ydx )(=dt bt a b ⎰+π20)(=2πb(a+πb)三、两类曲线积分的联系设L 为从A 到B 的有向光滑曲线，它以弧长s 为参数，于是L: ⎩⎨⎧==)()(s y y s x x , 0≤s ≤l ，其中l 为曲线L 的全长，且点A,B 的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)). 曲线L 上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(),()分别表示切线方向t 与x 轴与y 轴的夹角，则在曲线上的每一点的切线方向余弦为dsdx=cos(),dsdy=cos().若P(x,y), Q(x,y)为曲线L 上的连续函数，则由⎰Ldx y x P ),(+Q(x,y)dy=⎰'+'lds s y s y s x Q s x s y s x P 0)]())(),(()())(),(([得⎰LPdx +Qdy=⎰ls y s x P 0))(),(([cos()+))(),((s y s x Q cos()]ds=⎰L y x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds.最后得到一个根据第一型曲线积分化为定积分的等式. 即两类曲线积分之间的转换公式.注：当⎰L Pdx +Qdy 的方向改变时，⎰Ly x P ),([cos()+),(y x Q cos()]ds 中的夹角与原夹角相差弧度π，从而cos()和cos()也随之变号.因此，一旦方向确定，两类曲线积分之间的转换公式总是成立.习题1、计算第二型曲线积分：(1)⎰-L ydx xdy , 其中L (如图)(i)沿抛物线y=2x 2, 从O 到B 的一段； (ii)沿直线段OB ：y=2x ； (iii)沿封闭曲线OABO.(2)⎰+-L dy dx y a )2(, 其中L 为摆线a(t-sint),y=a(1-cost) (0≤t ≤2π)，沿t 增加方向的一段； (3)⎰++-Lyx ydy xdx 22, 其中L 为圆周x 2+y 2=a 2依逆时针方向； (4)⎰+L xdy ydx sin , 其中L 为y=sinx(0≤x ≤π)与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；(5)⎰++L zdz ydy xdx , 其中L 为从(1,1,1)到(2,3,4)的直线段. 解：(1)(i)ydx xdy L -⎰=⎰-1022)24(dx x x =32. (ii)⎰-L ydx xdy =⎰-10)22(dx x x =0.(iii)ydx xdy OA -⎰=⎰100dx =0;ydx xdy AB -⎰=⎰20dy =2;ydx xdy BO -⎰=-32； ∴⎰-L ydx xdy =ydx xdy OA -⎰+ydx xdy AB -⎰+ydx xdy BO -⎰=0+2-32=34.(2)⎰+-L dy dx y a )2(=⎰+---π20}sin )cos 1)](cos 1(2[{dt t a t t a a a =dt t a dt t a ⎰⎰+-ππ202022sin )cos 1(=πa 2.(3)由圆的参数方程：x=acost, y=asint, (0≤t ≤2π)得⎰++-L y x ydyxdx 22=⎰+π20222)cos sin sin cos (adt t t a t t a =0. (4)记点A(π,0)则⎰+Lxdy ydx sin =⎰⎰⋂+++OAAOxdyydx xdy ydx sin sin=⎰⎰++000)cos sin (sin ππdx dx x x x =-cosx π0=2.(5)L 的参数方程为：x=t, y=2t-1, z=3t-2, (1≤t ≤2)， ∴⎰++L zdz ydy xdx =⎰-+-+21)6924(dt t t t =⎰-21)814(dt t =13.2、设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比. 若由质点与(a,0)沿椭圆移动到(0,b)，求力所作的功. 解：椭圆的参数方程为x=acost, y=bsint, 0≤t ≤2π.F=k ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+222222,y x y y x x y x =(-kx,-ky), k>0. ∴力所作的功W=⎰L Pdx +Qdy=⎰+-L ydy xdx k )(=-k ⎰+-2022)cos sin sin cos (πdt t t b t t a =2k(a 2-b 2).3、设一质点受力作用，力的方向指向原点，大小与质点到xy 平面的距离成反比. 若质点沿直线x=at, y=bt, z=ct(c ≠0)从M(a,b,c)移动到N(2a,2b,2c)，求力所作的功.解：F=zk , k ≠0. 由力的方向指向原点，故其方向余弦为：cos α=r x -, cos β=r y -, cos γ=r z-, 其中r=222z y x ++F 的三个分力为P=-r x z k , Q=-r y z k , P=-rz z k =-r k, ∴力所作的功为W=-dz r kdy rz ky dx rz kx L ++⎰=-k ⎰++++21222222)(dt tc b a ct t c b a =c c b a k 222++'ln2.4、证明曲线积分的估计公式：⎰+ABQdy Pdx ≤LM, 其中L 为AB 的弧长，M=22),(maxQ P ABy x +∈.利用上述不等式估计积分I R =⎰=+++-222222)(R yx y xy x xdyydx ，并证明+∞→R lim I R =0. 证：(1)∵⎰+AB Qdy Pdx =⎰⎪⎭⎫⎝⎛+AB ds dy Q dsdx Pds 且 ds dy Q ds dx P +≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+2222)(ds dy ds dx Q P ≤22Q P +，从而 ⎰+ABQdy Pdx ≤⎰+ABdsdyQ ds dx Pds ≤⎰+AB Q P 22ds ≤⎰AB M ds=LM. (2)42222)(max222y xy x y x R y x +++=+=4222)21(R R R -=34R ; 由(1)知222)(y xy x xdyydx ++-≤2πR·34R =28R π.∵|I R |≤28R π→0 (R →+∞), ∴+∞→R lim I R =0.5、计算沿空间曲线的第二型积分：(1)⎰L xyzdz , 其中L 为x 2+y 2+z 2=1与y=z 相交的圆，其方向按曲线依次经过1,2,7,8封限；(2)⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222, 其中L 为球面x 2+y 2+z 2=1在第一卦限部分的边界线，其方向按曲线依次经过xy 平面部分，yz 平面部分和zz 平面部分.解：(1)曲线L 的参数方程为：x=cost, y=z=t sin 22, 0≤t ≤2π，当t 从0增加到2π时，点(x,y,z)依次经过1,2,7,8卦限，于是⎰Lxyzdz =⎰π20224sin cos 2tdt t =162π.(2)(如图)设I=⎰-+-+-L dz y x dy x z dx z y )()()(222222=⎰1L +⎰2L +⎰3L ,其中L 1: ⎪⎩⎪⎨⎧===0sin cos z y x θθ(0≤θ≤2π); L 2: ⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕsin cos 0z y x (0≤φ≤2π); L 3: ⎪⎩⎪⎨⎧===ψψcos 0sin z y x (0≤ψ≤2π); 则⎰-+-+-1)()()(222222L dz y x dy x z dx z y =⎰--2033)cos sin (πθθθd =-32-32=-34.同理⎰2L =⎰3L =-34，∴I=-34-34-34=-4.。

第二类曲线积分典型例题解析

高等数学（2）第12章第二类曲线积分典型例题解析例1 若对任意的x ，y 有yP x Q ∂∂≡∂∂，设C 是有向闭曲线,则⎰+C y Q x P d d = ．解：由格林公式将 y x yP x Q y y x Q x y x P D C d d )(d ),(d ),(∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰ 其中D 为C l 围成的平面区域，及条件yP x Q ∂∂≡∂∂知,应该填写：0 例2．_______d d =+-⎰y x x y l,其中l 是延圆周1)1()1(22=-+-y x 正向一周．解：因为圆周1)1()1(22=-+-y x 所围圆面积D 为:π⋅21，由格林公式得：⎰⎰⎰+=+-D l y x y x x y d d )11(d d =π2,应该填写：π2例3 若),(y x P 及),(y x Q 在单连通域D 内有连续的一阶偏导数，则在D 内，曲线积分⎰+l y Q x P d d 与路径无关的充分必要条件是（ )． A ．在域D 内恒有y Q x P ∂∂=∂∂ B ．在域D 内恒有yP x Q ∂∂=∂∂ C ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d ≠+⎰'l y Q x P D ．在D 内任一条闭曲线l '上，曲线积分0d d =+⎰'l y Q x P 解：若),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 内有一阶连续偏导数，则⎰+l y y x Q x y x P d ),(d ),(与路径无关D y x yP x Q ∈∂∂=∂∂⇔),(,. 所以选择：B例4 设C 是平面上有向曲线，下列曲线积分中，（）是与路径无关的．A ．⎰+C y x x yx d d 332 B ．⎰-C y x x y d d C ．⎰-C y x x xy d d 22 D ．⎰+C y y x yx d d 332解：因为选项A 中，23323)(,3)3(x xx x Q x y yx y P =∂∂=∂∂=∂∂=∂∂,由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A例 5 设积分路径⎩⎨⎧==)()(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t ,那么第二类曲线积分计算公式⎰+ly y x Q x y x P d ),(d ),(=（ )． A ．⎰'+'βαψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([ B ．⎰'+βαϕψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ C ．⎰'+βαψψϕψϕt t t t Q t t P d )())](),(())(),(([ D ．⎰+βαψϕψϕt t t Q t t P d ))](),(())(),(([解:因为积分曲线的路径由参数方程⎩⎨⎧==)()(:t y t x l ψϕ，)(βα≤≤t 给出,把参数方程代入曲线积分中，得：⎰'+'βαψψϕϕψϕt t t t Q t t t P d )]())(),(()())(),(([所以正确选择:A 例6 计算⎰-++-l xx y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2，其中l 为由点)0,3(A 经椭圆⎩⎨⎧==ty t x sin 2cos 的上半弧到点)0,3(-B 再沿直线回到A 的路径．解：由于l 为封闭曲线，故原式可写成⎰-++-lx x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2 其中x y Q x y y P x x -=+-=cos e ,3sin e 2,由格林公式原式=⎰-++-l x x y x y x x y y d )cos e (d )3sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=D d d ][y x yP x Q =⎰⎰---Dx x y x y y d d ]3cos e ()1cos e [( =⎰⎰Dy x d d 2=23212⋅⋅⋅π=π6 例7．计算⎰-+-l x xy y x y y d )21cos e (d )2sin e (2，其中l 是上半圆周x y x 222=+ )0(>y 和x 轴围成平面区域边界的正向．解： 21cos e ,2sin e 2-=-=y Q y y P x x,由格林公式得⎰-+-l x xy y x y y d )21cos e (d )2sin e (2⎰⎰∂∂-∂∂=D d d ][y x y P x Q =⎰⎰--D x x y x y y y d d )]cos e (cos e[=⎰⎰Dy x y d d =⎰⎰θπθθcos 20220d d sin r r =⎰203d cos sin 38πθθθ =32)cos (32204=-πθ 例8 计算⎰-lx y x y xy d d 22，其中1:22=+y x l 逆时针方向．解： 22,xy Q y x P =-=，由格林公式得⎰-l x y x y xy d d 22⎰⎰∂∂-∂∂=D d d ][y x yP x Q =⎰⎰≤++12222d d )(y x y x y x =⎰⎰10320d d r r πθ =2412ππ=⨯。

第二型曲线积分

L P ( x, y ) d x Q ( x, y ) d y
=
l 0
{ P [ x ( s ) , y ( s ) ] x ' ( s ) Q [ x ( s ), y ( s ) ] y ' ( s ) } d s
上式右端可转为某第一型曲线积分。
与重积分的关系 —— 格林公式
概念：区域内任意闭曲线可不经区域外的点单连通区域：连续地收缩为一点。复连通区域：非单连通区域边界曲线的正方向：人沿边界正向走，区域在其左边。
x i = x i x i 1 ,
y i = y i y i 1 . 在每个小弧段 M i 1 M i 上任取一点 i ( i , i ), n 作和式 [ P ( i ) x i Q( i ) y i ] ,
取极限 lim [ P ( i ) x i Q( i ) y i ] , 其中为 n 个
2 2
x y = 1 , 取正向。
2 2
x d y y d x , 其中 L 是单位圆周 2 2 x y
解：注意到 x y = 1 , 因此 I = L x d y y d x . 在单位圆域 D 上应用格林公式得
I = L x d y y d x = 2 d = 2 .
z
dS dS = . 解： I = S 2 2 2 S 2 2 x y z R z
取 S 上如图所示的面积微元（阴影区域），则其面积 d S = 2 R d z ,
dz
dS 2 R = 2 2dz. 这样 2 2 R z R z H H dz = 2 π arctan . 故 I = 2 R 0 2 2 R R z

练习题2第二类曲线积分2

23.计算曲线积分2222ln()ln()L I x x y dx y x y dy =+++⎰,其中L 为椭圆22221x y a b+=,沿顺时针方向. 解 222,(,)(0,0)P xy Qx y y x y x∂∂==≠∂+∂.作222:,0C x y εε+=>充分小,沿顺时针方向.于是2222ln()ln()LI x x y dx y x y dy =+++⎰2222ln()ln()Cx x y dx y x y dy =+++⎰222cos ln (sin )sin ln cos 0t t t t dt πεεεεεε⎡⎤=⋅-+=⎣⎦⎰24.计算曲线积分[]22(cos sin )(sin cos )x L e I x y y y dy x y y y dx x y =++-+⎰,其中L 是将原点包含在内部的光滑简单正向闭曲线. 解容易验证,除原点以外恒有P Q y x∂∂=∂∂.作无穷小圆222:K x y ε+=,取正向.由格林公式 []220lim (cos sin )(sin cos )xKe I x y y y dy x y y y dx x yε→=++-+⎰2cos 00lim cos(sin )2t e t dt πεεεπ→==⎰25. 设L 是由点(1,0)A 经21y x =-以点(1,0)B -，计算22()()Lx y dx x y dyI x y-++=+⎰。

解：222222()P y x xy Q y x y x∂--∂==∂+∂，故积分在不包含原点的单连通区域内与路径无关，取22:1C x y +=上半圆周，从A 到B ，对应的参数方程为cos ,sin ,:0x y θθθπ==→，则220()()()()L C x y dx x y dyI x y dx x y dy d x y πθπ-++==-++==+⎰⎰⎰ 26．设有曲线积分 ,4L22⎰++-=yx xdy ydx I 其中L 为椭圆,1422=+y x 并取正向，则I 的值为_____________ . 答案：π解可取椭圆的参数方程计算222LL 011[sin (sin )cos cos ]422ydx xdyydx xdy d x yπθθθθθπ-+=-+=-⋅-+⋅=+⎰⎰⎰ 27.设L 是圆周229x y +=的正向，则22(4)()4Lx y dy x y dxx y ++-+⎰= 答案：π 解计算可知Q Px y∂∂=∂∂，但内部含有无定义点，不能直接用格林公式，在内部添一辅助曲线1L 2241x y +=，取其顺时针方向，这两条曲线围城区域内积分值为0，只需算被积函数在1L 反方向的积分值即得结果。

第二类曲面积分例题

第二类曲面积分例题（原创版）目录一、引言二、第二类曲面积分的概念和方法1.概念2.方法三、例题解析1.例题一2.例题二四、结论正文一、引言在数学中，曲面积分是一种常见的积分形式。

与第一类曲面积分（对于标量场在曲面上的积分）不同，第二类曲面积分是对向量场在曲面上的积分。

第二类曲面积分的概念和方法对于理解更复杂的数学问题具有重要意义，因此本文将通过例题解析来介绍第二类曲面积分的相关知识。

二、第二类曲面积分的概念和方法（1）概念第二类曲面积分指的是对于一个给定的曲面 S 和曲面 S 上的一个向量场 F，将曲面 S 划分为若干小的面元 dS，计算每个面元上的向量场F 与法向量的内积的和，再对所有面元求和。

当面元尺寸趋近于 0 时，若极限存在，则称该极限为向量场 F 在曲面 S 上的第二类曲面积分。

（2）方法求解第二类曲面积分的方法通常有以下两种：1.直接积分法：将曲面 S 参数化，即将曲面上每个点表示为参数 (u, v) 的形式，然后对向量场 F 在参数空间上的表达式进行积分。

2.间接积分法：先求曲面 S 的边界曲线 C，然后对边界曲线 C 上的向量场 F 进行积分，再利用曲线 C 与曲面 S 的关系求解第二类曲面积分。

三、例题解析（1）例题一给定曲面 S：z = x^2 + y^2，向量场 F：F(x, y, z) = (x, y, 1)，求曲面 S 上的第二类曲面积分。

解：采用直接积分法，首先将曲面 S 参数化，令 x = rcosθ, y = rsin θ, z = r，带入向量场 F 的表达式得到 F(r, θ) = (rcosθ, rsinθ, 1)。

然后对参数 (r, θ) 进行积分，积分区间为 0 到 1（因为曲面 S 的范围是 0 到 1），得到曲面积分：∫∫F(r, θ)drdθ = ∫∫(rcosθ, rsinθ, 1)drdθ = ∫r(rcosθ + rsinθ)dθ + ∫dθ = r^2(1/2 + 1/2) + θ = r^2 + θ。

2014考研数学备考重点解析——第二类曲线积分的计算

2014考研数学备考重点解析——第二类曲线积分的计算1. 计算方法 1)直接法; 2)格林公式σd d d ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+D C y P x Q y Q x P . 3)补线用格林公式 4)利用线积分与路径无关（1）判定:xQ y P ∂∂=∂∂. （2）计算:a) 改换路径; b) 利用原函数),(),(d d 1122),(),(2211y x F y x F y Q x P y x y x -=+⎰,其中),(d d d y x F y Q x P =+,求原函数方法:①偏海文钻石卡视频积分;②凑微分.2.两类线积分的联系: ⎰=+Cy Q x P d d s Q P Cd )cos cos (⎰+βα.【例1】计算y e xy xe x ye I y y Cy d )2(d 2222++=⎰.其中C 为3x y =从)0,0(O 到)1,1(A 的曲线段.【解析】由于22222222)2()(y y y y y e y e e xy xe xye y +=+∂∂=∂∂，则本题中的线积分与路径无关. 解法1 改换路径，B 点为)0,1(点。

原式dy e xy xe dx ye dy e xy xe dx ye y y y BAy y y OB⎰⎰+++++=)2()2(22222222 dy e y e y y ⎰++=12)2(022⎰⎰=+-=112210322222dy e y dy e y yey y y .也可将路径改换为另一折线OC 、CA ，其中C 点为)1,0(点，则原式⎰⎰⎰=+=+++++=1220)2()2(222222e edx dy e xy xe dx ye dy e xy xe dx ye y y y CA y y y OC .解法2利用原函数，由于)()()()2(2222222y y y y y y xye d ye xd dx ye dy e xy xe dx ye =+=++则 2),(yx y e y x F =.故e yex dy e xy xedx ye y Ly y y ==++⎰)1,1()0,0(22222)2(.【例2】设C 为椭圆x y x 8422=+沿逆时针方向,则 ⎰=++Cy y y x x e d )()d (22.【解析】由格林公式得⎰⎰⎰-=++LDy y d ye dy y x dx e σ)21()(222S d D==⎰⎰σ其中D 是由x y x 8422=+围成的椭圆域，S 为其面积，海文钻石卡视频该椭圆方程可改写为14)1(22=+-y x ，则其面积π2=S . 故π2)(22=++⎰dy y x dx e Ly .【例3】计算⎰-++-=Cxx y ax y e x y b(x y e I d )cos ())d sin (,其中b a ,为正常数,C 为从点)0,2(a A 沿曲线22x ax y -=到点)0,0(O 的弧.【解析】补线段OA ，则⎰+-++-=OAC x x dy ax y e dx y x b y e I )cos ())(sin (dy ax y e dx y x b y e x x OA)cos ())(sin (-++--⎰ ⎰⎰⎰--+--=aDxx dx bx d b y e a y e 20)()cos cos (σ，其中D 为22x ax y -=与OA 围成的半圆域，则b a a b a xdx b d a b I aD22022)(2)(+-=+-=⎰⎰⎰πσ【例4】计算⎰+-=Cyx y x x y I 22d d ,其中 (1)C 为21222-=-+y y x 的正向; (2)C 为48422=-+x y x 的正向. 【解析】（1）21)1(:22=-+y x C ，由格林公式得 σd yPx Q I D⎰⎰∂∂-∂∂=)(（其中D 为曲线C 所围圆域） 0))()((2222222222=+--+-=⎰⎰σd y x y x y x y x D. （2）182)1(:22=+-y x C ，此时不能直接用格林公式，因为在)0,0(点条件不满足. 因此，作以)0,0(为中心的圆:L )0(222>=+εεy x 且取顺时针方向，在L 和C 大学考研围成的环形域上用格林公式得0))()((222222222222=+--+-=+-⎰⎰⎰+σd y x y x y x y x y x xdy ydx DCL ，即02222=+-++-⎰⎰C L y x xdyydx y x xdy xdx .则 ⎰⎰-+-=+-=L Cy x xdyydx y x xdy ydx I 2222 ⎰--=Lxdy ydx 21ε⎰⎰--=1)11(12D d σε（这里用了格林公式）ππεε22122-=-=.注：由本题可看出，对线积分222222,,y x xQ y x y P y x xdy ydx +-=+=+-⎰，除原点)0,0( 外，Q P ,有连续一阶偏导数，且)0,0(),(,≠∂∂≡∂∂y x xQy P . 此时有以下结论：1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零. 2）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等. 事实上，线积分⎰⎰⎰⎰+-⋅+-+--++++-222222224,)()(,)()(yx ydxxdy y x ydx xdy y x dy y x dx y x y x dy y x dx y x L L L 都属于这个类型. 【例5】计算⎰⋂-'+-=A M By x y x y x y I d ]sin )([d ]cos )([πϕπϕ,其中⋂AMB 弧为连结)2,(πA 与点)4,3(πB 的线段AB 的下方的任意分段光滑简单曲线,且该曲线与大学考研线段AB 所围图形面积为2,【解析】解法1 补线段BA ，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=-+==⋂⋂⋂BAAMBABABAAMBAMBIπσπσ2)(==∂∂-∂∂=+⎰⎰⎰⎰⎰⋂D AMBADd d y Px Q Qdy Pdx 直线BA 的方程为：1+=πxy ，则dx x xdx xx xBAπππϕπππϕππ1]sin )1([)]1(cos )1([3-+'++-+=⎰⎰)31(2ππ+=故 26)31(22ππππ-=+-=I 解法2 ⎰⎰⋂+-⋂'+=AMBdy ydx y x y x x y I A M Bπϕϕd sin )(d cos )(,其中0s i n )(d s i n )(d c o s )()4,3()2,(==⋂'+⎰ππϕϕϕx y y x y x x y A M B⎰⎰⎰+-+=+⋂⋂+BABAAMB AMB dy ydx dy ydx dy ydxπππππ61)1(3=++--=⎰⎰⎰dx dx xdxdy D故 26π-=I【例6】计算⎰-+-+-=C z y x y z x x y z I d )(d )(d )(,其中C 是曲线⎩⎨⎧=+-=+;2;122z y x y x 从z 轴正向往z 轴负向看去为顺时针方向。

第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =;其中A =n MB M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,，若极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ∑=→∆+ni iiiT yQ 1),(limηξ存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ，),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分，记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：（1）若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F 。

(2）倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ，),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分，并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L),,(),,(),,(++⎰按照这一定义，有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 .对二类曲线积分有 ⎰⎰-=BAAB，定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是201(,)lim (,)ni i ili f x y ds s λξη→==∆∑⎰第二类曲线积分就是1(,)(,)lim (,)(,)niiiiiili P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的,是一小段弧的弧长,总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的坐标的增量，，与是可正可负的。

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