1.4.1 正弦、余弦函数图象
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件——高一下学期人教A版必修4第一章三角函数
正弦、余弦函数的图象
用“五点法”画出函数
y= sin2x，x[0, ]的简图：
令2x=X用整体替换思想
用“五点法”画出函数y= sinx，x[0, 2]的简图
正弦、余弦函数的图象
画出函数y= sin2x，x[0, ]的简图：
x
0
2x
0
4
2
2
3 4
3
2
2
sin2x 0
1
0
-1
0
y
y= sin2x，x[0, ]
2 ,0) x
2 ,0)
( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0) ( 2 ,0)
正弦、余弦函数的图象 y
探究二：如何作余弦函数y=cosx的图象？
1-
P1
p1/
-
-
o1
M-1 1A
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
-
-
作法：(1) 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移
Image 24-3-99
-
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3
5
11
2
2
3
6
(
2
,0)
(
3 2
,0)
图x 象的最低点 (,1)
-1 -
24-3-99
正弦、余弦函数的图象
课后作业：用“五点法”作下面函数的图象。
1.y cos2x, x R
2.y sin(x ), x R
4
(4) 连线
高一数学正弦函数、余弦函数的图像1
2.《自主作业本》第7、8次作业；
3.《学海》试卷阶段练习一
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是好奇这是什么地方，心想会不会是还在做梦，于是捏了自己一把，发现是有痛觉的，但我又担心自己像盗梦空间那样，做梦 做得有真实的感受，于是开始抱着头摇来摇去的。小男孩见我不太正常，于是大喊着“玉儿姐姐”什么的。刚过没多久，门外 又进来一个人，是个女子，但在我眼中看来，年纪撑死就是个高中生。那女生穿着确实简朴，或者我从这木屋就该猜到，他们 并不是有钱人。我稍微从不可思议的穿越中（尽管我不确定是不是穿越）缓过一些神来，才开始有心思打量了一下这一男一女。 这小正太确实长得好可爱，又不缺乏秀气，长大之后肯定是高富帅；这女生长相略显平凡，但是也透漏出一种秀气，我想，大 概是她现在是素颜，没有任何打扮的模样吧。小男孩的衣服稍微比较鲜艳一点，也显得他比较活泼。他见他的姐姐来了，就跑 过去冲着她的耳朵说了些什么。这女生听后，把目光转向我，开口说道：“公子，身体可好了？”我这么一听，倒是听到了一 口流利的普通话，这让我有点小吃惊。这是，我略显慌张，抚了抚自己的喉咙，张口说道：“应该七七八八了吧？”“应该七 七八八？那是何解？”女子一脸疑惑的看着我。我又吃了一小惊，忙改口道：“就是说，我的身体好很多了。”“是这样啊。” 女子像完成了什么事情一样，说完舒了一口气。我一边纳闷这突如其来的改变，一边组织好想问的问题去问这女生。由于知道 我们语言并没什么阻碍，能正常交流，再加上我知道我的谈吐应该更文绉绉一点才会让她听懂，于是我便问道：“姑娘，能问 你几个问题吗？”“嗯。”我索性翻下床来，站到她身旁问起来，“你知道这是哪吗？这是什么年代？这是由皇帝来统治的 吗？”蓦地，又觉得自己问出一连串好夸张的问题，于是又感觉自己有点小失礼了。这时，这女生脸显现一片通红，我这才有 意识到，我刚才问问题的时候靠得她太近了。那也不能怪我，向来问别人问题，就应该靠近点好让对方挺清楚不是吗？“这是 南国，年代是吕王八年。”女子羞涩地回答道。我见状，先有礼貌的向这女生道个歉，说道：“姑娘，刚才失礼了，我只是还 没习惯说话却不靠近别人说啊。”话一讲完，又发现自己说了一些莫名其妙的话，这使我觉得，用这种方式谈吐，真突出一个 烦字啊。女子蓦地转过脸去，脸部抽搐了几下，想必是在偷笑吧。那也难怪，这样的言行是挺让这时代的人感到奇怪搞笑的 第001章 天不收地不留“我的妻，你在哪里？“恍惚间，一个磁性的男声不断在耳畔重复着如此
正弦函数、余弦函数的图像(完整)
(
3 2
,1)
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连y线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
图象的最高点
1-
-
(0,1) (2 ,1)
与x轴的交点
-
-1
o
6
2
3
2 3
5
7
6
6
4 3
3 5
2
3
11 6
2
x
(
2
,0)
(
3 2
,0)
-1 -
图象的最低点 ( ,1)
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦函数的图象
问题：如何作出正弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦线来解决。
描图：用光滑曲线
y
B
1
将这些正弦线的 终点连结起来
A
O1
O
2
4
5
2
x
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
如何由正弦函数图像得y 到余弦函数图像？
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象
y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数的图象
y
1
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦曲 线
-4 -3
-2
- o
-1
三角函数的图象与性质
-
;
-1
y=cosx
2 3
4 5 4 5
6 x 6 x
五.定义域 、值域及取到最值时相应的x的集合:
-6 -5
-4 -3
复习回顾
-2 -
y y=sinx
1 o
-1
2 3
y
si-n6x的对称-5轴：x
k -4
2-,3对 称点-：2(k
,0);
-
y cosx的对称轴：x k , 对称点：(k ,0);
1.4.1正弦、余弦函数的图象
复习
回顾 三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
正弦、余弦函数的图象
问题：如何作出正弦、余弦函数的图象？
途径：利用单位圆中正弦、余弦线来解决。
描图：用光滑曲线
复习回顾
一.正弦余弦函数的作图： 几何描点法（利用三角函数线） 五点法作简图
二.周期性：
函数y Asin(x )和y Acos(x )，x R的周期T 2 | |
三.奇偶性：
y sin x为奇函数，图像关于原点对称； y cosx为偶函数图像关于y轴对称。
-6 -5
-4 -3
复习回顾 y y=sinx
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
正弦、余弦函数的图象
y
五点画图法
1
(
2
,1)
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
O
-1
p 2
π
2π x
y=sinx，x∈[0,2π ]
描点法作图的一般步骤：列表、描点、连线
（2）按五个关键点列表：
3 2
x cosx
0 1
-1
2
2
1 -1
0 0
-1 100-cosx描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
y
y=-cosx，x∈[0,2π ]
1 O -1 π
3 2
2π
x
2
y=cosx，x∈[0,2π ]
y
1
x
o1
-1
o
6
3
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
y=sinx, x [ 0, 2 ]
想一想: 如何得到正弦函数 y sin x, x R 的图象 呢？
因为终边相同的角的三角函数值相同，所以 y sin x
的图象在 4π, 2π , 2π,0 , 0, 2π , 2π, 4π , …与其在
3
-
Q1
M1
-1A
Q2
o
-1 -
6
2
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
y
y
1-
o1
M 2 M 1-1
o
-1 -
6
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
《正弦函数余弦函数的图像第1课时》人教版数学高一下册PPT课件
1.4 三角函数的图象与性质
必修④ ·人教A版
CONTEN TS
01.
自主预习学案 01 第一章 三角函数
平静的水面投下一颗石子，荡起阵阵水波．在空间中光波、声波、电磁波 无处不在，你可知道，这些波传播的波动图与我们所学的三角函数的图象 有着密切的关系吗？
1．正、余弦函数解析式 函数 解析式 定义域
03.
2．正弦曲线和余弦曲线 的关系
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)作正弦函数和余弦函数的图象时，所取的“五点”是相同的．( × ) (2)正弦曲线和余弦曲线都介于直线 y＝1 和 y＝－1 之间．( √ ) (3)正弦曲线与余弦曲线都关于原点对称．( × ) (4)将正弦曲线向右平移32π个单位可得到余弦曲线．( √ ) (5)利用正弦线可以作出三角函数的图象．( √ )
〔跟踪练习1〕用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图． (1)y＝2－sinx；(2)y＝cosx－1.
[解析] (1)按五个关键点列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sinx
010
－1
0
2－sinx
212
3
2
描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图(1))．
第一章 三角函数
(2)按五个关键点列表：
典例 4
方程sinx＝lgx的实根个数有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．无穷多个
[错解] A，如图所示，y＝sinx与y＝lgx的图象，有且只有1个公共点， 故选A．
[错因分析] 作y＝lgx图象时，没有找准临界点的坐标，只作出了草图． [思路分析] 画出y＝sinx的图象后要充分利用y＝lgx过(1,0)点和(10,1) 点来确定解的个数，准确画图是解答此类题的关键． [正解] C 在同一直角坐标系中作函数y＝sinx与y＝lgx的图象．由图中 可以看出两函数图象有三个交点(xi，yi)，其中xi∈(1,10)(i＝1,2,3)是 方程sinx＝lgx的解．
1.4.1正弦函数、余弦函数的图象
π 3π A．0、2、π、 2 、2π C．0、π、2π、3π、4π
第一章
1.4
1.4.1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
2．用五点法作函数 y＝2sin2x 的图象时，首先应描出的五 点横坐标可以是( ) π π 3π B．0、4、2、 4 、π π π π 2π D．0、6、3、2、 3
1.4
1.4.1
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π [小结]将 y＝sinx， x∈R 的图象向左平移2个单位得 y＝cosx， x∈R 的图象，因此 y＝sinx，x∈R 与 y＝cosx，x∈R 的图象形 状相同，只是在直角坐标系中的位置不同．
第一章
1.4
1.4.1
个单位．如图(1)所示． (2)首先用五点法作出函数y＝sinx，x∈[0,4π]的图象，再将 x轴下方的部分对称到x轴的上方．如图(2)所示．
第一章
1.4
1.4.1
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[规律总结]
函数的图象变换除了平移变换外，还有对称
变换．如本例．一般地，函数f(x)的图象与f(－x)的图象关于y轴 对称；－f(x) 的图象与f(x)的图象关于x 轴对称；－f( －x)的图象
第一章
1.4
1.4.1
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2．正弦曲线、余弦曲线
(1) 定义：正弦函数 y ＝ sinx ， x∈R 和余弦函数 y ＝ cosx ， 正弦 曲线和_______ 余弦 曲线． x∈R的图象分别叫做______ (2)图象：如图所示．
三角函数图像ppt
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思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦 函数的周期有哪些？
思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数, 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少？为什么？
思考6：就周期性而言，对正弦函数有 什么结论？对余弦函数呢？
正、余弦函数是周期函数，2kπ （k∈Z, k≠0）都是它的周期，最小 正周期是2π．
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例1 用“五点法”画出下列函数的 简图：
(1)y=1+sinx，x∈[0，2π]； (2)y=-cosx，x∈[0，2π] .
x0 sinx 0 1+sinx 1
p
3p
2 p 2 2p
1 0 -1 0
21 0 1
y
2
y=1+sinx
1
3p
π
2
2π
O
p
x
-1
2
x0 cosx 1
p 2
3p
1.4.1正弦、余弦函数的图象
正弦函数的图象
y=sinx ( x∈[0,2] )
2 y
5
6
3
2
31
6
● ●
●
7
6 4
2
●
0
11
3 5 6 -1
632
3 23
●
7 4 3 5 11
●
6 3 2 3 6 2
2 5 ●
（2）用五点作图法画正弦、余弦函数的简图
作业：1.课本P46. 1题，《导学案》1题
2.预习1.4.2
函数y=sinx, x[0,2]
y
1
. 函数y=sinx, x[0,2]的图象
.
.
.
o /2 3/2 2
xห้องสมุดไป่ตู้
-1
.
关键点：
(0,0)、(
2
,1)、(
,
0)、(
3
2
,-1)、(
2
,
0)
y=sinx的图象与y=cosx的图象之间的关系
y=cosx=sin(x + ), xR
2
y y = sin x, x∈R 1
x
0
sinx 0
2
3
2
2
1 0 -1 0
1+sinx 1
21 0 1
y
2
y=1+sinx，x[0, 2]
1
o
2
-1●
● 2
●
y=sinx，x[0, 2]
3
2
x
2
●
1.4.1正弦函数余弦函数的图像1
2π
O
p
x
2
-1
思考4：观察函数y=sinx在[0，2π ]内的 图象，其形状、位置、凸向等有何变化 规律？
思考5：在函数y=sinx，x∈[0，2π ]的 图象上，起关键作用的点有哪几个？
y
1
3p
π
2
2π
O
p
x
-1
2
思 考 6 ： 当 x∈[2π ， 4π ], [-2π ， 0],…时，y=sinx的图象如何？
y=1+sinx
1
3p
π
2
2π
O
p
x
-1
2
x0 cosx 1
p
3p
2 p 2 2p
0 -1 0 1
-cosx -1 0 1 0 -1
y
y=-cosx
1
3p
2 2π
O
pπ
x
-1
2
例2 当x∈[0，2π ]时，求不等式
cos x ³ 1 的解集.
2y
1
O π
-1
2
y= 1 2
2π x
2
[0, p ] U [5p , 2p ]
O -1
2
π
2π x
思考5：函数y=cosx，x∈[0，2π ]的图 象如何？其中起关键作用的点有哪几个？
y 1
O π
-1
2
2π x
2
思考6：函数y=cosx，x∈R的图象叫做余 弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线 的分布有什么特点？
y
2
2
1 22
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点一 正弦函数、余弦函数的概念实数集与角的集合之间可以建立一一对应关系，而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦(或余弦)值．这样，任意给定一个实数x ，有唯一确定的值sin x (或cos x )与之对应．由这个对应法则所确定的函数y ＝sin x (或y ＝cos x )叫做正弦函数(或余弦函数)，其定义域是R .知识点二 几何法作正弦函数、余弦函数的图象利用正弦线，这种作图方法称为“几何法” 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．知识点三 “五点法”作正弦函数、余弦函数的图象描点法作函数图象步骤:列表、描点、连线．类型一 “五点法”作图的应用1．用“五点法”作y ＝2sin2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( )A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π32、利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图．3、利用正弦或余弦函数图象作出y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π2的图象．类型二 利用正、余弦函数图象解不等式 命题角度1 利用正、余弦函数图象解不等式用三角函数图象解三角不等式的方法(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据公式一写出不等式的解集．1．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为________．2、利用正弦曲线，求满足12<sin x ≤32的x 的集合．3、使不等式2－2sin x ≥0成立的x 的取值集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋3π4，k ∈Z B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－5π4≤x ≤2k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z命题角度2 利用正、余弦函数图象求定义域1、求函数f (x )＝lgsin x ＋16－x 2的定义域． 2、求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．3．若函数f (x )＝sin x －2m －1，x ∈[0,2π]有两个零点，求m 的取值范围．。
正弦函数、余弦函数的图像课件
2．余弦函数的图像 (1)余弦曲线：余弦函数y＝cos x，x∈R的图像叫做余弦 曲线．
(2)余弦函数图像的画法：
①要得到 y＝cos x 的图像，只须把 y＝sin x 的图像 向左平移 π2个单位长度 便可，这是由于 cos x＝ sin(x＋π2)．
②用“五点法”画余弦曲线 y＝cos x 在[0,2π]上的图像时，所取
()
A．y＝sin x
B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x|
D．y＝－|sin x| 解析：由 y＝sin x 的图像知 A 不正确，D 中图像都在 x 轴下方
不正确，当 x＝π2时，由图像知 y<0，故排除 B. 答案：C
[研一题]
[例 3] 在[0,2π]内，使 sin x>cos x 成立的 x 值的取值范围
[悟一法] 1．把y＝sin x的图像在x轴上方的部分保留，x轴下方的 图像沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sin x|的图像． 2．把y＝sin x图像在y轴右侧的部分保留，去掉y轴左侧 的图像，再把y轴右侧的图像沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y ＝sin |x|的图像．
[通一类]
2．与图中曲线对应的函数是
是
()
A．(π4，π2)∪(π，54π)
B．(π4，π)
C．(π4，54π)
D．(π4，π)∪(54π，32π)
[自主解答] 用“五点法”作出y＝sin x，y＝cos x(0≤x≤2π)的简图．
由图像可知(1)当 x＝π4或 x＝54π时，sin x＝cos x. (2)当π4<x<54π时，sin x>cos x. (3)当 0≤x＜π4或54π＜x≤2π 时，sin x＜cos x.
1.4.1正弦函数、余弦函数的图像(2)
y
余弦曲
-4 -3
-2
(0,11)
3
( 2 ,1)
-
(-o12 ,0)
( 2 ,0)
2
( ,-1)
3
线
4
5 6 x
像作二次函数图象那样为了快速用描点法 作出正弦曲线与余弦曲线。下面我们通过观察 函数图象寻找图象上起关键作用的点：
y sin x, x 0,2
图象的最高点(
2
,1)
图象与x轴的交点(0,0) ( ,0) (2 ,0)
1.4.1 正弦函数、 余弦函数的图像
物理中把简谐运动的图像叫做“正弦曲线”或“余弦曲 线”
沙漏单摆实验
知识探究：正弦函数y=sinx的图象 思考1：作函数图象最原始的方法是什么？
答：列表、描点、连线
sin , cos, tan的几何意义是什么?
y
T
1P
A
oM 1 x
正弦线MP sin=MP
余弦线OM cos=OM
1
o
2
2
-1
3
2
x
2
五个关键点— (0,0)
x
0
sinx
0
( 2 ,1)
( ,0)
3 ( 2 ,-1)
( 2 ,0)
2
3
2
2
10-10正弦、余弦函数的图象y
-4 -3
-2
1
- o
-1
2
3
4
5 6 x
正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同
余弦函数的图象
y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[ , 3 ]的简图：
第一章 1.4 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．4.1 正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象 函数y ＝sin xy ＝cos x图象图象画法 五点法五点法 关键 五点(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，0， (π，－1)，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)[点睛] “五点法”作图中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点．这是作正弦函数、余弦函数图象最常用的方法．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝cos x 的图象与y 轴只有一个交点．( ) (2)将余弦曲线向右平移π2个单位就得到正弦曲线．( )(3)函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，5π2的图象与函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象的形状完全一致．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√2．对于正弦函数y ＝sin x 的图象，下列说法错误的是( ) A ．向左右无限伸展B ．与y ＝cos x 的图象形状相同，只是位置不同C ．与x 轴有无数个交点D ．关于y 轴对称 答案：D3．函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于原点和x 轴对称 D ．关于y 轴对称答案：A4．请补充完整下面用“五点法”作出y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象时的列表.x 0π2①3π22π－sin x ②－10③0 ①________；②________；③________.答案：π0 1用“五点法”作简图[典例]用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝sin x－1，x∈[0,2π]；(2)y＝2＋cos x，x∈[0,2π]．[解](1)列表：x 0π2π3π22πsin x 010－10sin x－1－10－1－2－1 描点连线，如图所示．(2)列表：x 0π2π3π22πcos x 10－10 12＋cos x 3212 3用五点法画函数y＝A sin x＋b(A≠0)或y＝A cos x＋b(A≠0)在[0,2π]上的简图的步骤如下(1)列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x (或cos x )y(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y )，⎝⎛⎭⎫π2，y ，(π，y )，⎝⎛⎭⎫3π2，y ，(2π，y )，这里的y 是通过函数式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接． [活学活用]作出函数y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 －sin x－11描点并用光滑的曲线连接起来，如图所示．正、余弦函数图象的简单应用[典例(1)sin x ≥12；(2)cos x ≤12.[解] [法一 函数图象法](1)作出正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎡⎦⎤π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z.(2)作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为⎣⎡⎦⎤π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z.[法二 三角函数线法](1)作直线y ＝12交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋56π，k ∈Z .(2)作直线x ＝12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋5π3，k ∈Z .1．求解sin x ＞a (或cos x ＞a )的方法 (1)三角函数图象法．(2)三角函数线法(前面已讲解)． 2．用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； (2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； (3)根据公式一写出定义域内的解集． 根据函数图象解不等式：sin x ＞cos x ，x ∈[0,2π]．解：画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．观察图象可知，sin x ＞cos x ，x ∈[0,2π]的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪π4＜x ＜5π4.层级一 学业水平达标1．用“五点法”画函数y ＝2－3sin x 的图象时，首先应描出五点的横坐标是( ) A ．0，π4，π2，3π4，πB ．0，π2，π，3π2，2πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 所描出的五点的横坐标与函数y ＝sin x 的五点的横坐标相同，即0，π2，π，3π2，2π，故选B. 2．下列函数图象相同的是( ) A ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(π＋x ) B ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2与g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x C ．f (x )＝sin x 与g (x )＝sin(－x ) D ．f (x )＝sin(2π＋x )与g (x )＝sin x解析：选D A 、B 、C 中f (x )＝－g (x )，D 中f (x )＝g (x )． 3．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( ) A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z)上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴仅有一个交点解析：选C 函数y ＝sin x 的图象关于原点中心对称，并不关于x 轴对称． 4．不等式cos x <0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．⎣⎡⎦⎤π2，3π2 C ．⎝⎛⎭⎫0，π2 D ．⎝⎛⎭⎫π2，2π 解析：选A 由y ＝cos x 的图象知， 在[0,2π]内使cos x <0的x 的范围是⎝⎛⎭⎫π2，3π2. 5．函数y ＝ln cos x ⎝⎛⎭⎫－π2＜x ＜π2的图象是( )解析：选A 首先y ＝ln cos x ＝ln cos(－x )，∴函数为偶函数，排除B 、D ，又∵－π2＜x＜π2时，cos x ∈(0,1]， ∴y ＝ln x ≤0且图象左增右减，故选A. 6．方程sin x ＝lg x 的根的个数为________．解析：作出y ＝sin x 及y ＝lg x 的部分图象如图，由图可以看出两图象有3个交点，即方程有3个不同根．答案：37．函数y ＝2cos x －2的定义域是____________________________________． 解析：要使函数有意义，只需2cos x －2≥0， 即cos x ≥22.由余弦函数图象知(如图)，所求定义域为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z. 答案：⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z 8．y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与y ＝32的交点的个数是________．解析：由y ＝sin x 的图象向上平移1个单位，得y ＝1＋sin x 的图象，故在[0,2π]上与y ＝32交点的个数是2个． 答案：29．用“五点法”作出函数y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象． 解：列表：x 0 π2 π 3π2 2π sin x 0 1 0 －1 0 1＋2sin x131－11在直角坐标系中描出五点(0,1)，⎝⎛⎭⎫π2，3，(π，1)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，1)，然后用光滑曲线顺次连接起来，就得到y ＝1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的图象．10．求函数y ＝log 21sin x－1的定义域． 解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数图象或单位圆，如图所示．由图象知其定义域为：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＜x ≤2k π＋π6，k ∈Z ∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z层级二 应试能力达标1．用“五点法”作y ＝2sin 2x 的图象时，首先描出的五个点的横坐标是( ) A ．0，π2，π，3π2，2πB ．0，π4，π2，3π4，πC ．0，π，2π，3π，4πD ．0，π6，π3，π2，2π3解析：选B 由2x ＝0，π2，π，3π2，2π知五个点的横坐标是0，π4，π2，3π4，π.2．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：选B 根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同.3．在[0,2π]内，不等式sin x <－32的解集是( ) A ．(0，π) B ．⎝⎛⎭⎫π3，4π3 C ．⎝⎛⎭⎫4π3，5π3D ．⎝⎛⎭⎫5π3，2π解析：选C 画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．因为sin π3＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3＝－32， sin ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝－32.即在[0,2π]内，满足sin x ＝－32的x ＝4π3或5π3.可知不等式sin x <－32的解集是⎝⎛⎭⎫4π3，5π3.故选C.4．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根解析：选C 求解方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f (x )＝|x |和g (x )＝cos x 的图象如右图，显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．5．函数y ＝2cos x ，x ∈[0,2π]的图象和直线y ＝2围成的一个封闭的平面图形的面积是________．解析：如图所示，将余弦函数的图象在x 轴下方的部分补到x 轴的上方，可得一个矩形，其面积为2π×2＝4π.答案：4π6．当x ∈[－π，π]时，y ＝12x 与y ＝sin x 的图象交点的个数为________．解析：如图，有3个交点．答案：37．利用“五点法”作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2522x ππ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，的图象． 解：列表如下：x π2 π 3π2 2π 5π2 x －π2 0 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎫x －π2 01－1描点连线，如图所示．8．画出函数y ＝1＋2cos 2x ，x ∈[0，π]的简图，并求使y ≥0成立的x 的取值范围． 解：按五个关键点列表：2x 0 π2 π 3π2 2π x 0 π4 π2 3π4 π cos 2x 1 0 －1 0 1 1＋2cos 2x31－113描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示．令y ＝0，即1＋2cos 2x ＝0，则cos 2x ＝－12.∵x ∈[0，π]，∴2x ∈[0,2π]． 从而2x ＝2π3或4π3，∴x ＝π3或2π3.由图可知，使y ≥0成立的x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π3∪⎣⎡⎦⎤2π3，π.。
课件11： 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
正解：因为 x∈6π，π，所以借助函数 y＝sin x 的图象可知，此时 0≤sin x≤1. 于是由 sin x＝2m－1，得 0≤2m－1≤1，解得 m 的取值范围12≤m≤1. 纠错心得：三角函数的取值范围与定义域有关，因此，在求解有关范围问题时， 一定要先看清定义域，再由定义域推得三角函数的取值范围，最后求出正确答案．
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
基础初探
1．在函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的五点是：
(0，__0__)，(π2，__1__)，(__π__，0)，(__32_π_，－1)，(2π，__0__)．
2．用“五点法”画余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]时，应先在直角坐标系中
跟踪训练
3．(1)cos21x＋π3>
3 2.
【解析】令 ωx＋φ＝t，利用正弦、余弦、正切曲线求解．
(1)令12x＋π3＝t，则 cos t> 23，观察一个周期[－π，π]得－π6<t<6π.又因为余弦函数周期
为 2π，所以 2kπ－6π<t<2kπ＋π6(k∈Z)，
即 2kπ－6π<12x＋3π<2kπ＋6π(k∈Z)，
课堂小结
1．用“五点法”作正弦曲线和余弦曲线，这五个点中有两个点是函数图象 的最高点和最低点，另外三个点是函数图象与 x 轴的交点． 2．利用正弦曲线和余弦曲线，不仅可以求函数的定义域或不等式的解集， 而且也可以确定方程的解的个数.
画出的五点是：__(0_,_1_)_，___π2_，__0_ _，(π_，__－__1_，) _3_2π_，__0_，(2_π_，__1_)_. 3．y＝sin x 的图象可以由 y＝cos x 的图象向__右__平移π2个单位长度而得到．
1.4.1正弦函数余弦函数的图像4
(2)描点作图
Y
y=2sinx
2
y=sinx
1
0
2 X
（2）y=sin2x , x∈[0,π]
解: （1）列表 (2)描点作图
2x
x
3 0 24 2 24 2
yy==ssinin2xx 0 1 0 -1 0
Y
y=sin2x
1
0
X
2
正弦、余弦函数的图象
几何画法
小 1. 正弦曲线、余弦曲线 五点法 结
1.4.1 正弦函数，余 弦函数的图像
正弦、余弦函数的图象
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
-1
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
O
M A(1,0) x
注意：三角 函数线是有
向线段！
在直角坐标系中如何作点（
，sin
）?
33
y
1
o
2
2
3
2
x
2
-1
y= - cosx，x[0, 2]
正弦、余弦函数的图象
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数
y= sinx，x[0, 2]
和
y=
cosx，x[
2
,
3 2
]的简图：
x
0 2
20
csionsx
10
01
3
3
2
2
2 2
-0 1
0-1
与x轴的交点
-1
o
6
-
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o -1
2
3 ] 2 2
3 2
2
x
y= cosx，x[ ,
3 例：求满足sin x 的x的范围。 2 y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
3 练习：求满足cos x 的x的范围。 2
y
1 -4 -3 -2 -
o
-1
2
3
4
5
6
x
思考 : 下列各等式能否成立 ? 为什么? (1) 2 cos x 3 (2) sin x 0.5
2
-
y
1
-4
-3
-2
o
-1
2
3
4
5
6
x
正弦函数、余弦函数的值域：[-1，1]
你能画出函数y=|sinx|，x∈[0，2π ] 的图象吗？
y 1
O -1
π
1.4.1 正弦、余弦函数的图象
X
三角函数线:
正弦函数 余弦函数
注意：三角函数线是有 向线段！
sin=MP cos=OM tan=AT
正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
正切函数
y
P
-1
T
O
M
A(1,0)
x
问题1：如何利用三角函数线作出正弦函数图象？
连线：用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来
y 1
2
0,
2
,
3 , , 2 2
y=cosx，x[0, 2]
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx，x[0, 2]
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研 究函数性质的基础，也是解决有关三角 函数问题的工具，这是一种数形结合的 数学思想.
作业：P34练习：2 P46习题1.4 A组: 1
练习：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx，x[0, 2] 和 y= cosx，x[
2
,
3 2
]的简图：
3 22
x
cosx sinx
y 2 1
0
2
0 2 0 1
2
2
0 -1
3 2
1 0
-1 0
0 1
向左平移
个单位长度
y=sinx，x[0, 2]
（2）y= - cosx，x[0, 2]
2
x
cosx - cosx
y
1
2
0
1 -1
-1 1
3 2Biblioteka 21 -10 0
0 0
y=cosx，x[0, 2]
2
o
-1
3 2
2
x
y= - cosx，x[0, 2]
练习：画出 y sin( 2 x )的图象。 6
【要领】“五点法”关 键是使得y sin 中， 3 分别取0, , , ,2相应的x和y的值。 2 2
x
例1
画出下列函数的简图：
步骤： 1.列表；2.描点；3.连线
0 1
3 2
（1） y=1+sinx，x[0, 2]
x
sinx
1+sinx
y 2 1
2
0 0 1
2
2 0 1
1 2
-1 0
y=1+sinx，x[0, 2]
2
o -1
3 2
2
x
y=sinx，x[0, 2]
2π
x
小结作业
1.正、余弦函数的图象每相隔2π 个单位 重复出现，因此只要记住它们在
[0 ， 2π ] 内的图象形态，就可以画出正 弦曲线和余弦曲线. 2. 作与正、余弦函数有关的函数图象， 是解题的基本要求，用“五点法”作图 是常用的方法.
小
结
五点作图法：与x轴的交点，最高点，最低点, 即 x取
B
y 1
O1
A O
-1
3
2 3
4 3
5 3
2
x
问题1：如何利用三角函数线作出正弦函数图象？
y 1
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2]
终边相同角的三角函数值相等 即： sin(x+2k)=sinx, kZ
f ( x 2k ) f ( x) 利用图象平移
y
五点法
2
x
sinx
0 0
2
0
3 2
1
-1
2 0
正弦函数 的图象 y=cosx=sin(x+ ), xR
2
余弦函数 的图象
y
(0,1) 1
3 ( ,0) 2
( 2 ,1) 2 3 4
余弦曲 线
5 6
-4
-3
-2
-
(o ,0) 2 -1
( ,-1)
y=sinx xR
y=sinx(xR)的图象：
y
1 -4 -3 -2 -
正弦曲 线
o
-1
2
3
4
5
6
x
法2：一般情况下，可通过“五点法”作出正弦函数图象
( ,1) 2 1 ( ,1) 2 ( ,0) ( 2 ,0) ( ,1) ( 2 ,0) (0,0) ( ,0) 2 o x 3 2 (0,0) ( ,0) 2 ( 2 ,1) 2 ( 2 ,0) (0,0) -1 ( ,0) (3 ,-1) ( ,1) ( 2 ,0) 3 2 (0,0) 3 ( ,0)2 ( 3,1) ( 2 ,0) 2 ( ,1) ( ( ,1) ( ,0) ,1) ( 2 ,0) 3 2 2 (0,0) 2 3 ( ,1) (0,0) ( ,0) ( 2 ,0) 2 ( 2 ,1) ( 3 ,-1) (0,0) 3 2 ( ,1) ( ,0) ( ,-1) ( 2 ,0) (0,0) 3 ( ,-1) 2 2 2 ( 2 ,0) ( ,0) ( ,-1) ( ,1) (0,0) 2 2