谐波分析高精度FFT
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图1 同步采样的频谱
Fig. 1 Spectrum sampled by synchronization
π/ ( N - 1) ) ] + ( a2 / 2) ・ W T (ω + 2 π/ ( N - 1) ) + [ W T (ω - 4 π/ ( N - 1) ) ] + ( a3 / 2) ・ W T (ω + 4 π/ ( N - 1) ) + [ W T (ω - 6 π/ ( N - 1) ) ] W T (ω + 6 其中 :W T ( e ) 为矩形窗的 DF T , ω j ) e - j ( N - 1)ω/ 2 W T ( e ) = W T (ω ( ω ) ) = sin N / 2 W T (ω N sin (ω / 2)
式中 : x m ( n T s ) 为 x m ( t) 的无限长采样序列 ; T s 为采 样周期 ; w H ( n) 为 4 项系数余弦窗 ; N 为采样点数 .
x m ( nT s ) 的 DF T 为
ω φ j j πA m δ πf m X m (e ) = 2 ωm e m ,ω m = 2
随着电子技术和电力电子器件的发展 , 半导体 器件等其他非线性负荷在电力系统中的应用越来 越广泛 , 同时电力系统谐波污染也日益严重 , 从而
收稿日期 :2005 - 02 - 06 ; 修订日期 :2005 - 05 - 17.
影响了电能的质量 . 显然 , 电力系统中谐波分量的 快速 、 准确监测对电能质量的治理具有重要意义 . 电力系统的谐波分析 ,通常是通过快速傅立叶变换
ω j
( 4)
( 5)
图2 非同步采样的频谱
Fig. 2 Spectrum sampled by asynchronism
3 基于 RifeΟ Vincent ( I) 窗的插值算法
为了分析方便 , 设定信号形式为 πf m t +φ ) j (2 m ( 6) x m ( t) = A m e 式中 : A m 为信号幅值 ; f m 为信号频率 ;φ m 为信号
x ( t) = ( 9)
m=1
∑A
m
πmf 1 t + φ co s ( 2 m)
( 19)
百度文库
( ) (ω- ω ) / 2) j (φ m- N- 1 m A m W H (ω - ω m) e
其中 ,基波频率设为 49. 5 Hz ( 我国电网额定频率为
50 Hz , 允许电网频率的波动范围是 49. 5 ～ 50. 5 Hz) ,基波最大幅值为 380 V ,初相为 10° . 设置电网
由图 1 ,2 可以看出 , 同步采样时 , 采样序列的 离散傅立叶变换 ( DF T) 谱是单一的位于 ωm 处的谱
第5期 初相 .
钱昊等 : 电力系统中谐波分析的高精度 FF T 算法
2 2 (4 - δ π δ m ) (9 - δ m ) / sin ( m)
549
( 17)
信号经过采样并于 4 项系数余弦窗截断后得
πn 2 ) + N - 1
πn π 4 ) - a3 co s ( 6 n ) N - 1 N - 1
( 3)
n = 0 , 1 , …, N - 1
式中 :
ω j ) eW H ( e ) = W H (ω ω j ( N - 1) / N
) = , W H (ω
) + ( a1 / 2) ・ π/ ( N - 1) ) + a0 W T (ω [ W T (ω - 2
电力系统中谐波分析的高精度 FFT 算法
钱 昊, 赵荣祥 3
( 浙江大学 电气工程学院 ,浙江 杭州 310027 )
摘 要 : 在非同步采样情况下快速傅立叶变化存在较大的误差 ,特别是相位的误差 ,无法直接用于 电力系统谐波分析 . 为了减小非同步采样对快速傅立叶变换的影响 , 提高电力系统中的谐波分析 精度 ,文中通过加窗和插值对原算法进行了改进 . 仿真结果表明 , 改进后的算法在非同步采样时 , 分析精度有显著提高 . 关键词 : 谐波分析 ; 电力系统 ; 傅立叶变换 ; 泄漏效应 ; 插值算法 ; 中图分类号 : TM 711 文献标识码 : A
( 8)
4 模拟分析结果
以下给出一组信号的计算实例 . 设定信号为
13
根据频域卷积定理 , 时域相乘对应频域卷积 , ω 得到 x ( n) 的 D F T 值 X H ( e j ) :
1 ω j X H (e ) =
π 2
∫
-π
π +
τ ) j j (ω -τ τ= X m (e ) W H [e ]d
Abstract : The Fast Fo urier Transform ( FF T) cannot be directly used to t he harmo nic analysis of elect ric power system because of it s higher error , especially t he p hase error when used wit h a sample sequence which is not synchro nized wit h t he signal . To reduce t he influence of an unsynchro nized sample sequence o n FF T and to imp rove t he p recisio n of harmo nics in elect ric power system , t his paper imp roves t he algorit hm by using windows and interpolatio n met ho ds. The paper fir stly addressed t he leakage and picket fence effect s of FF T briefly and t hen analyzes t he interpolatio n algorit hm o n RifeΟ Vincent ( I) window in detail . Besides ,t he co mp uting formula fo r t he harmo nic parameter estimatio n are given as well . The simulating result demo nst rates t hat t he imp roved algorit hm holds a very high p recisio n when used fo r t he unsynchro nized sample sequence. Key words : harmo nic analysis ; elect ric power system ; Fo urier t ransfo rm ; effect of leakage ; interpolatio n algorit hm
作者简介 : 钱昊 ( 1981 - ) ,男 ,浙江湖州人 ,电机与电器专业硕士研究生 . 3 通讯联系人 : 赵荣祥 ( 1962 - ) ,男 ,浙江杭州人 ,教授 ,博士生导师 . 主要从事电机 、 电机控制和电力传动等研究 .
Email : rongxiang @zju. edu. cn
2 4 项余弦窗的特点
RifeΟ Vincent ( I) 窗实质上都是 4 项系数余弦窗 .
余弦窗的一般表达式为
K
W H ( n) =
1 离散傅立叶变换的泄漏现象和栅
k =0
∑( -
1) k a k co s (
π 2
N - 1
kn ) ( 1)
n = 0 , 1 , …, N - 1
栏效应
在实际谐波测量中 ,所要处理的信号均是经过 采样和 A/ D 转换得到的有限长的数字信号 ,这相当 于对原始信号乘以一个矩形窗进行截短 . 信号同步 和非同步采样的离散频谱见图 1 ,2.
式中 , K 为余弦窗的项数 , K = 0 时 , 就是矩形窗 . 为了使余弦窗具有线性相位特性及满足插值计算 的需要 , 对系数有如下限制 :
K k =0
∑( -
1) k a k = 0
( 2)
4 项系数余弦窗的函数表达式和 D F T 结果为
W H ( n) = a0 - a1 co s ( a2 co s (
x ( n) = x m ( nT s ) w H ( n) , n = 0 , 1 , …, N - 1 ( 7)
π) 2 φm = angle ( X ( e ) | ω= km ・ π( N - 1) / N ( 18) -δ m N
ω j
采用上述插值方法后 , 信号频率和幅值已经达 到了相当高的精度 . 最后需要注意的是 , 在实际测 量中 , 应该合理选择采样周期和采样频率 .
( FF T) 实现的 . 由于实际电网信号的频率通常会在
额定频率附近波动 , 很难保证对信号的同步采样 , 即要求采样长度与信号周期成整数倍数关系[ 1 ] . FF T 存在的泄漏现象和栅栏效应 [ 2Ο4 ] , 使算出的信 号参数即频率 、 幅值和相位不准 , 尤其是相位误差 很大 ,无法满足准确的谐波测量要求 . 为了提高 FF T 算法的精度 ,Jain 等提出了一种插值算法[ 5 ] ,对 FF T 的计算结果进行了修正 ,有效地改善了对谐波幅值 , 尤其是谐波相位的估计精度 . 在此基础上 , Hanning 窗[ 6 ] 和 BlackmanΟHarris 窗[ 7 ] 被提出 . 通常对窗函数 的要求是主瓣宽度小 ,旁瓣幅值衰减快 ,Rife 提出的 RifeΟ Vincent ( I) 窗[ 8 ] 更好地满足了上述的两个条件 . 文中在简要介绍了泄漏现象和栅栏效应的机理 后 , 详细分析了加窗插值 FF T 算法 , 并且就 RifeΟ Vincent ( I) 窗的插值算法进行了分析、 推导 ,最后通过 实例验证了该算法 .
设定谐波信号采样序列对应的离散频点为 ( k m +δ ( 10) m ) = N ・f m / f s δ 式中 : k m 为正整数 , 0 ≤ 1 < 1 , 在实际应用中 N 一 般比较大 , 而且 | δ | < 1 ,得 m
ω j π δ | X H ( e ) | ω= k m ・ π 2 / N ≈ A m sin ( m) ・
FFT Algorithm with High Accuracy f or Harmonic Analysis in Po wer System
Q IAN Hao , ZHAO Ro ngΟ xiang 3
(College of Elect rical Engineering , Zhejiang U niversity , Hangzhou 310027 , China)
548
江 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 第5卷 线 ; 非同步采样时 , 频谱变成了以ωm 为中心 、 其形状 为振荡并逐渐衰减的谱线 , 即信号频谱的频率成分 从ωm“泄漏” 到其他频率处 . 此外 ,在非同步采样时 , 实际信号的各次谐波分量并未正好落在频率分辨 点上 ,而是落在某两个频率分辨点之间 . 因为 D F T 计算频谱时只限制为基频的整数倍数 , 不能直接得 到各次谐波分量的准确值 ,而只能以临近的频率分 辨点的 值 来 近 似 地 代 替 , 这 即 通 常 所 说 的 栅 栏 效应 . 采用适当形状的窗函数截断可以减小频谱泄漏 , 而栅栏效应引起的误差则需依靠插值算法来消除.
第 5 卷第 5 期 江 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) Vol. 5 No . 5 Oct . 2006 年 10 月 2006 Journal of Southern Yangtze University( Natural Science Edition) 文章编号 :1671 - 7147 (2006) 05 - 0547 - 04
Fig. 1 Spectrum sampled by synchronization
π/ ( N - 1) ) ] + ( a2 / 2) ・ W T (ω + 2 π/ ( N - 1) ) + [ W T (ω - 4 π/ ( N - 1) ) ] + ( a3 / 2) ・ W T (ω + 4 π/ ( N - 1) ) + [ W T (ω - 6 π/ ( N - 1) ) ] W T (ω + 6 其中 :W T ( e ) 为矩形窗的 DF T , ω j ) e - j ( N - 1)ω/ 2 W T ( e ) = W T (ω ( ω ) ) = sin N / 2 W T (ω N sin (ω / 2)
式中 : x m ( n T s ) 为 x m ( t) 的无限长采样序列 ; T s 为采 样周期 ; w H ( n) 为 4 项系数余弦窗 ; N 为采样点数 .
x m ( nT s ) 的 DF T 为
ω φ j j πA m δ πf m X m (e ) = 2 ωm e m ,ω m = 2
随着电子技术和电力电子器件的发展 , 半导体 器件等其他非线性负荷在电力系统中的应用越来 越广泛 , 同时电力系统谐波污染也日益严重 , 从而
收稿日期 :2005 - 02 - 06 ; 修订日期 :2005 - 05 - 17.
影响了电能的质量 . 显然 , 电力系统中谐波分量的 快速 、 准确监测对电能质量的治理具有重要意义 . 电力系统的谐波分析 ,通常是通过快速傅立叶变换
ω j
( 4)
( 5)
图2 非同步采样的频谱
Fig. 2 Spectrum sampled by asynchronism
3 基于 RifeΟ Vincent ( I) 窗的插值算法
为了分析方便 , 设定信号形式为 πf m t +φ ) j (2 m ( 6) x m ( t) = A m e 式中 : A m 为信号幅值 ; f m 为信号频率 ;φ m 为信号
x ( t) = ( 9)
m=1
∑A
m
πmf 1 t + φ co s ( 2 m)
( 19)
百度文库
( ) (ω- ω ) / 2) j (φ m- N- 1 m A m W H (ω - ω m) e
其中 ,基波频率设为 49. 5 Hz ( 我国电网额定频率为
50 Hz , 允许电网频率的波动范围是 49. 5 ～ 50. 5 Hz) ,基波最大幅值为 380 V ,初相为 10° . 设置电网
由图 1 ,2 可以看出 , 同步采样时 , 采样序列的 离散傅立叶变换 ( DF T) 谱是单一的位于 ωm 处的谱
第5期 初相 .
钱昊等 : 电力系统中谐波分析的高精度 FF T 算法
2 2 (4 - δ π δ m ) (9 - δ m ) / sin ( m)
549
( 17)
信号经过采样并于 4 项系数余弦窗截断后得
πn 2 ) + N - 1
πn π 4 ) - a3 co s ( 6 n ) N - 1 N - 1
( 3)
n = 0 , 1 , …, N - 1
式中 :
ω j ) eW H ( e ) = W H (ω ω j ( N - 1) / N
) = , W H (ω
) + ( a1 / 2) ・ π/ ( N - 1) ) + a0 W T (ω [ W T (ω - 2
电力系统中谐波分析的高精度 FFT 算法
钱 昊, 赵荣祥 3
( 浙江大学 电气工程学院 ,浙江 杭州 310027 )
摘 要 : 在非同步采样情况下快速傅立叶变化存在较大的误差 ,特别是相位的误差 ,无法直接用于 电力系统谐波分析 . 为了减小非同步采样对快速傅立叶变换的影响 , 提高电力系统中的谐波分析 精度 ,文中通过加窗和插值对原算法进行了改进 . 仿真结果表明 , 改进后的算法在非同步采样时 , 分析精度有显著提高 . 关键词 : 谐波分析 ; 电力系统 ; 傅立叶变换 ; 泄漏效应 ; 插值算法 ; 中图分类号 : TM 711 文献标识码 : A
( 8)
4 模拟分析结果
以下给出一组信号的计算实例 . 设定信号为
13
根据频域卷积定理 , 时域相乘对应频域卷积 , ω 得到 x ( n) 的 D F T 值 X H ( e j ) :
1 ω j X H (e ) =
π 2
∫
-π
π +
τ ) j j (ω -τ τ= X m (e ) W H [e ]d
Abstract : The Fast Fo urier Transform ( FF T) cannot be directly used to t he harmo nic analysis of elect ric power system because of it s higher error , especially t he p hase error when used wit h a sample sequence which is not synchro nized wit h t he signal . To reduce t he influence of an unsynchro nized sample sequence o n FF T and to imp rove t he p recisio n of harmo nics in elect ric power system , t his paper imp roves t he algorit hm by using windows and interpolatio n met ho ds. The paper fir stly addressed t he leakage and picket fence effect s of FF T briefly and t hen analyzes t he interpolatio n algorit hm o n RifeΟ Vincent ( I) window in detail . Besides ,t he co mp uting formula fo r t he harmo nic parameter estimatio n are given as well . The simulating result demo nst rates t hat t he imp roved algorit hm holds a very high p recisio n when used fo r t he unsynchro nized sample sequence. Key words : harmo nic analysis ; elect ric power system ; Fo urier t ransfo rm ; effect of leakage ; interpolatio n algorit hm
作者简介 : 钱昊 ( 1981 - ) ,男 ,浙江湖州人 ,电机与电器专业硕士研究生 . 3 通讯联系人 : 赵荣祥 ( 1962 - ) ,男 ,浙江杭州人 ,教授 ,博士生导师 . 主要从事电机 、 电机控制和电力传动等研究 .
Email : rongxiang @zju. edu. cn
2 4 项余弦窗的特点
RifeΟ Vincent ( I) 窗实质上都是 4 项系数余弦窗 .
余弦窗的一般表达式为
K
W H ( n) =
1 离散傅立叶变换的泄漏现象和栅
k =0
∑( -
1) k a k co s (
π 2
N - 1
kn ) ( 1)
n = 0 , 1 , …, N - 1
栏效应
在实际谐波测量中 ,所要处理的信号均是经过 采样和 A/ D 转换得到的有限长的数字信号 ,这相当 于对原始信号乘以一个矩形窗进行截短 . 信号同步 和非同步采样的离散频谱见图 1 ,2.
式中 , K 为余弦窗的项数 , K = 0 时 , 就是矩形窗 . 为了使余弦窗具有线性相位特性及满足插值计算 的需要 , 对系数有如下限制 :
K k =0
∑( -
1) k a k = 0
( 2)
4 项系数余弦窗的函数表达式和 D F T 结果为
W H ( n) = a0 - a1 co s ( a2 co s (
x ( n) = x m ( nT s ) w H ( n) , n = 0 , 1 , …, N - 1 ( 7)
π) 2 φm = angle ( X ( e ) | ω= km ・ π( N - 1) / N ( 18) -δ m N
ω j
采用上述插值方法后 , 信号频率和幅值已经达 到了相当高的精度 . 最后需要注意的是 , 在实际测 量中 , 应该合理选择采样周期和采样频率 .
( FF T) 实现的 . 由于实际电网信号的频率通常会在
额定频率附近波动 , 很难保证对信号的同步采样 , 即要求采样长度与信号周期成整数倍数关系[ 1 ] . FF T 存在的泄漏现象和栅栏效应 [ 2Ο4 ] , 使算出的信 号参数即频率 、 幅值和相位不准 , 尤其是相位误差 很大 ,无法满足准确的谐波测量要求 . 为了提高 FF T 算法的精度 ,Jain 等提出了一种插值算法[ 5 ] ,对 FF T 的计算结果进行了修正 ,有效地改善了对谐波幅值 , 尤其是谐波相位的估计精度 . 在此基础上 , Hanning 窗[ 6 ] 和 BlackmanΟHarris 窗[ 7 ] 被提出 . 通常对窗函数 的要求是主瓣宽度小 ,旁瓣幅值衰减快 ,Rife 提出的 RifeΟ Vincent ( I) 窗[ 8 ] 更好地满足了上述的两个条件 . 文中在简要介绍了泄漏现象和栅栏效应的机理 后 , 详细分析了加窗插值 FF T 算法 , 并且就 RifeΟ Vincent ( I) 窗的插值算法进行了分析、 推导 ,最后通过 实例验证了该算法 .
设定谐波信号采样序列对应的离散频点为 ( k m +δ ( 10) m ) = N ・f m / f s δ 式中 : k m 为正整数 , 0 ≤ 1 < 1 , 在实际应用中 N 一 般比较大 , 而且 | δ | < 1 ,得 m
ω j π δ | X H ( e ) | ω= k m ・ π 2 / N ≈ A m sin ( m) ・
FFT Algorithm with High Accuracy f or Harmonic Analysis in Po wer System
Q IAN Hao , ZHAO Ro ngΟ xiang 3
(College of Elect rical Engineering , Zhejiang U niversity , Hangzhou 310027 , China)
548
江 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) 第5卷 线 ; 非同步采样时 , 频谱变成了以ωm 为中心 、 其形状 为振荡并逐渐衰减的谱线 , 即信号频谱的频率成分 从ωm“泄漏” 到其他频率处 . 此外 ,在非同步采样时 , 实际信号的各次谐波分量并未正好落在频率分辨 点上 ,而是落在某两个频率分辨点之间 . 因为 D F T 计算频谱时只限制为基频的整数倍数 , 不能直接得 到各次谐波分量的准确值 ,而只能以临近的频率分 辨点的 值 来 近 似 地 代 替 , 这 即 通 常 所 说 的 栅 栏 效应 . 采用适当形状的窗函数截断可以减小频谱泄漏 , 而栅栏效应引起的误差则需依靠插值算法来消除.
第 5 卷第 5 期 江 南 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版) Vol. 5 No . 5 Oct . 2006 年 10 月 2006 Journal of Southern Yangtze University( Natural Science Edition) 文章编号 :1671 - 7147 (2006) 05 - 0547 - 04