《异面直线及其所成的角》教案及说明

异面直线及其夹角教学目标：： 知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形，会判断两直线是否为异面直线。

2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较简单的异面直线所成的角能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点:重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。

难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。

教学准备：多媒体课件教学课时：二课时教学过程：第一课时一、导入新课1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？两条道路所在的直线不在同一平面内。

它们既不平行也不相交，这样的两条直线有什么特点呢？2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？）。

（板书课题）二、新课讲解前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相交）。

我们给它一个新的名称“异面直线”。

1 异面直线的定义：不同在任何．．一个平面内的两条直线叫异面直线。

2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。

（如前面我们所说的两个例子，同学们还能找出具有这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。

3.空间两条异面直线的画法。

如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其特点）这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任何一个平面的特征难以体现。

（今后我们也可以不用平面来衬托）同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？a b a b b a4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。

（这一过程主要老师进行分析，让学生完成证明过程，并及时进行改正，完善证明过程）证明 ：（反证法）假设 直线AB 与l 共面，∵,,B l B l αα∈⊂∉，∴点B 和l 确定的平面为α，∴直线AB 与l 共面于α，∴A α∈，与A α∉矛盾，所以，AB 与l 是异面直线．归纳异面直线的三种判定方法：定义、 定理、 性质：(既不平行，也不相交)。

5．异面直线所成的角：由动画引导启发学生如何寻找异面直线所成的角的大小，同学们都知道两条相交直线所成的角大小可以度量，那么两条异面直线的夹角我们如何求呢？（演示动画并让同学们思考）用化归的思想，将两条异面直线平移成相交，找到所成的角（所成的角共有4个，两对对顶角，这时根据平面内的两条直线所成角的范围让学生自己猜想应该是那一个角）。

已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条线上。

（强调：这不是唯一的方法）(这是根据平行线的性质定理；如果一个角的两条边和另一个角的两条边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

)6．同学们想一想两条直线在什么条件下是垂直，进一步提出问题，两条异面直线能不能垂直呢？如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥．7．异面直线所成的角的范围：]2,0(π由动画演示得出异面直线所成的角的范围：]2,0(π，及异面直线垂直的概念。

（这一环节主要是先让学生观察动画，然后让他们讨论异面直线所成角的范围）三、例题讲解 b ′O b a b a b ′O ba _a _b例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数.（2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的度数．解：（1）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45（2）连结CD /，B /D /，则BA '// CD /，∠B /CD /等于异面直线BA '与CB /的夹角，由∆CB /D /为等边三角形，∠B /CD /=60OBA '与CB /的夹角为60O（3）连结A /D ，DE ，则A /D// CB /，∠DA /E 等于异面直线A /E 与CB /的夹角。

设AA /=2，AE=1，A /E=DE=5，A /D=22，在三角形DA /E 中，∠ DA /E=E A D A DE E A D A //22/2/.2-+=510，∠DA /E=arccos 510 A /E 与CB /的夹角为arccos 510 总结出求异面直线所成的角的方法：（板书）（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角（或直角）即为所求的角。

(2)同时作两条异面直线的平行线，并使它们相交所成的锐角（或直角）即为所求的角。

(3)向量法：用向量的夹角公式求解。

（这一部分主要通过前面我们所学的向量知识求解，教师分析出用向量求角的过程）。

(4)求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”注：无论用哪种方法都应注意到异面直线所成角的范围。

以及利用三角形中位线平移法、三角形相似、构造平行四边形等知识进行直线的平移。

例2、如图空间四边形ABCD 中，四条棱AB ，BC ，CD ，DA 及对角线AC ，BD 均相等，E为AD 的中点，F 为BC 中，（1） 求直线AB 和CE 所成的角。

（初步应用）（2） 求直线AF 和CE 所成的角。

（深化提高）解：（1）取BD 中点M ，连结MC ，ME ，则ME//AB ，∠CEM 等于异面直线AB 和CE 的夹角，取ME 中点O ，连结CO ，CM=CE ，OC ⊥ME设AB=2，CM=CE=3，OE=21ME=41AB=21， cos ∠CEM=CE OE =63∴直线AB 和CE 所成的角=arccos 63 (2) 连结FD, 取FD 中N, 连结EN,CN.则NE//AF ，∠CEN 等于异面直线AF 和CE 的夹角。

设AB=2，在Rt ∆NFC 中，CN=22)23(1+=27 NE=21AF=23，CE=3，在∆NFC 中， cos ∠CEN=EN CE CN EN CE .2222-+=32, ∠CEN= arccos 32 AF 和CE 的夹角为arccos 32 请同学们思考：如果上式中我们求出的cos ∠CEN= -32时，我们所求的夹角应该等于多少呢？主要根据是什么？四、课堂练习：正方体ABCD A B C D ''''-中．（1） 正方体棱所在的直线中与直线BA '是异面直线有几条？ 答案6条（2） 方体棱所在的直线中与直线CC /垂直的直线有几条？ 答案8条2．如图，正方体ABCD A B C D ''''-中．E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，O 为正方形A /B /C /D /的中心。

必做题：（1）求直线A /E 与B /F 夹角的度数．答案（arccos 54） 选做题: （2）求直线A /E 与DO 夹角的度数．答案（arccos 1030） 五、小结这节课我们主要学习了两条异面直线的概念及它的判断方法，明确了空间两条直线的位置关系有三种，“平行、相交、异面”。

认真分析研究了异面直线夹角的概念，夹角的范围， 扩充空间两条直线垂直的定义。

能用平移的方法求异面直线的夹角和用向量法求夹角的主要过程和它们各自所具有的特点和要求，求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”六、课后作业：课后作业：必做题：P课本15：3，4，5，7选做题：如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱， D1，F1分别是A1B1，A 1C1的中点，若AB=BC=CA=2，CC1=1，求BD1与AF1所成的角的余弦值。

板书设计课后反思：§9.2.2 异面直线及其夹角异面直线的定义及画法：例1：……例2……课堂练习①②③①① 1异面直线所成的角的定义: 2②② 34求异面直线夹角的一般步骤: ③①②③异面直线及其夹角教案说明“异面直线及其夹角”是人教版高中《数学》第二册（下B,必修）第九章“空间的直线与平面”中的内容。

整个课题按照新课程标准的要求与我校实际情况来看，大概需要2个课时完成，我提交的是第一课时教案。

现对教案的设计做以下说明：一、授课内容的教学目标定位及它的数学本质1、教学目标定位我校地处西部偏避地区，是一所面向农村的高中学校，学生的基础比较薄弱，发散性思维和抽象思维还未能得到充分的开发。

因此，一直以来，我的数学课堂教学的侧重点是：运用探究性教学方式，积极调动学生学习的主动性，大力培养学生的开放性思维，而“异面直线及其夹角”是立体几何教学的起始阶段。

因此本节课在教学中力图向学生展示尝试观察、归纳、类比、平行变化等思想方法，为了降低学生的学习难度，我按照新课程标准的要求制定了适合本地学生实际水平的教学目标：（1）知识目标：：①．掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形，会判断两直线是否为异面直线。

②．掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较简单的异面直线所成的角（2）能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想象能力、逻辑思维能力等分析和解决问题的实际能力。

经历异面直线所成角的形成过程体验“转化”数学思想，进而“亲近”数学。

（3）情感目标：培养学生的审美观，让学生体会客观世界事物普遍联系的辩证唯物主义的观点，会用联系的观点，运动变化的思想去分析问题，解决问题。

形成刻苦钻研，实事求是，严肃认真的科学态度和品质。

2、剖析本节内容的数学本质立体几何中的“异面直线及其夹角”是今后学习空间几何的基础内容，通过掌握“异面直线”和“夹角”的概念，揭示各种空间图形中的线线、线面、面面的位置关系的判断和推理的规律，还可以通过它来找一些距离问题。

主要是把一个空间图形进行变化（平移）转化为一个平面图，然后利用三角函数的知识求解。

其实就是利用图形变化建立数学模型，把一个抽象的空间问题转化成一个解三角函数式的问题，也就是把一个几何问题转化为一个代数问题。

这是我们学习立体几何的关键所在。