《异面直线及其所成的角》教案及说明

异面直线及其夹角

教学目标：： 知识目标：1、掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形，

会判断两直线是否为异面直线。

2、掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能

求出一些较简单的异面直线所成的角

能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能

力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。

教学重点、难点:

重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角。

难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。

教学准备：多媒体课件

教学课时：二课时

教学过程：

第一课时

一、导入新课

1．引导学生观察立交桥上的车辆为什么能畅通无阻？

两条道路所在的直线不在同一平面内。它们既不平行也不相交，这样的两条直线

有什么特点呢？

2．请学生做一个小实验，拿两支笔在空间中你能摆出几种位置关系？

有3种：平行、相交、不平行也不相交的两条直线（对于这样的两条直线以前我

们没有学习过，那么它们之间有什么特点和关系呢？）。（板书课题）

二、新课讲解

前面我们学习过平行线，相交线，它们是同一平面内两条直线的位置关系，通过

前面的实验和动画的观察，在空间还存在另一种两条直线的位置关系（不平行也不相

交）。我们给它一个新的名称“异面直线”。

1 异面直线的定义：不同在任何．．

一个平面内的两条直线叫异面直线。 2．两条异面直线的性质：既不平行，也不相交。（如前面我们所说的两个例子，同学

们还能找出具有这种性质的两条直线吗？）找两位学生说说他们所找的情况。

3.空间两条异面直线的画法。

如何用图形来表示两条异面直线，通常怎么样画？（老师板演，同时让学生总结其

特点）

这三种表示方法有一个共同的特点，就是用平面来衬托，离开平面的衬托，不同在任

何一个平面的特征难以体现。（今后我们也可以不用平面来衬托）

同学们想一想如果这样表示两条异面直线行吗？为什么？

a b a b b a

4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直

线是异面直线。（这一过程主要老师进行分析，让学生完成证明过程，并及时进行改

正，完善证明过程）

证明 ：（反证法）假设 直线AB 与l 共面，

∵,,B l B l αα∈⊂∉，∴点B 和l 确定的平面为α，

∴直线AB 与l 共面于α，∴A α∈，与A α∉矛盾，

所以，AB 与l 是异面直线．

归纳异面直线的三种判定方法：

定义、 定理、 性质：(既不平行，也不相交)。

5．异面直线所成的角：

由动画引导启发学生如何寻找异面直线所成的角的大小，同学们都知道两条相交直

线所成的角大小可以度量，那么两条异面直线的夹角我们如何求呢？（演示动画并让

同学们思考）用化归的思想，将两条异面直线平移成相交，找到所成的角（所成的角

共有4个，两对对顶角，这时根据平面内的两条直线所成角的范围让学生自己猜想应

该是那一个角）。

已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的

大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或

夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条线上。（强调：这不是唯一的方法）

(这是根据平行线的性质定理；如果一个角的两条边和另一个角的两条边分别平行并

且方向相同，那么这两个角相等。)

6．同学们想一想两条直线在什么条件下是垂直，进一步提出问题，两条异面直线能

不能垂直呢？如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面

直线,a b 垂直，记作a b ⊥．

7．异面直线所成的角的范围：]2,0(π

由动画演示得出异面直线所成的角的范围：]2

,0(π

，及异面直线垂直的概念。（这一环节主要是先让学生观察动画，然后让他们讨论异面直线所成角的范围）

三、例题讲解 b ′

O b a b a b ′O b

a _a _b

例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，

（1）求BA /与CC /夹角的度数.

（2）求BA /与CB /夹角的度数．

(3)求A /E 与CB /夹角的度数．

解：（1）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线

BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45

（2）连结CD /，B /D /，则BA '// CD /，∠B /CD /等于异面直线BA '与CB /的夹角，由∆CB /D /

为等边三角形，∠B /CD /=60O

BA '与CB /的夹角为60O

（3）连结A /D ，DE ，则A /D// CB /，∠DA /E 等于异面直线A /E 与CB /的夹角。

设AA /=2，AE=1，A /E=DE=5，A /D=22，在三角形DA /E 中，

∠ DA /

E=E A D A DE E A D A //22/2/.2-+=510，∠DA /E=arccos 510 A /E 与CB /的夹角为arccos 5

10 总结出求异面直线所成的角的方法：（板书）

（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线，这两条相交直

线所成的锐角（或直角）即为所求的角。

(2)同时作两条异面直线的平行线，并使它们相交所成的锐角（或直角）即为所求

的角。

(3)向量法：用向量的夹角公式求解。（这一部分主要通过前面我们所学的向量知识

求解，教师分析出用向量求角的过程）。

(4)求异面直线的夹角的一般步骤是：“作—证—算—答”

注：无论用哪种方法都应注意到异面直线所成角的范围。以及利用三角形中位线平

移法、三角形相似、构造平行四边形等知识进行直线的平移。

例2、如图空间四边形ABCD 中，四条棱AB ，BC ，CD ，DA 及对角线AC ，BD 均相等，E

为AD 的中点，F 为BC 中，

（1） 求直线AB 和CE 所成的角。（初步应用）

（2） 求直线AF 和CE 所成的角。（深化提高）

解：（1）取BD 中点M ，连结MC ，ME ，则ME//AB ，∠CEM 等于异面直线AB 和CE 的夹

角，取ME 中点O ，连结CO ，CM=CE ，OC ⊥ME

设AB=2，CM=CE=3，OE=21ME=41AB=2

1， cos ∠CEM=CE OE =6

3