精品高数课后题答案及详解

高等数学习题及答案

一、填空题（每小题3分，共21分）

1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2

++

2．函数2

2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的

方向导数是 .321+

3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2

，则=A div ρ . x 2

4．二重积分⎰⎰2

1

),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .⎰⎰1

1

),(y

dx y x f dy

5．幂级数∑∞

=-1

3)3(n n

n

n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y

x e z 2-=，而3

,sin t y t x ==，则

=dt

dz

3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分

=⎰⎰⎰Ω

dv 3 ，

其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体.

二、计算题（一）（每小题7分，共21分）

1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3

2

，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ.

解：由25173

2

cos 52)51(1217)51(3022⋅-⋅⋅⋅-+=-⋅-+=⋅=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ

得.40=λ

2．求过点)1,2,1(-且与直线⎩⎨

⎧=--+=-+-0

4230

532z y x z y x 垂直的平面方程.

解：直线的方向向量为{}11,7,52

13132

=--=k

j i

s ρρρρ

取平面的法向量为s n ρ

ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x

3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ

？并求出此法线方程.

解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ

，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1

82,}.,,{},,{xy

xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有

由于ρ

ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线

方程为1

8

8124-=

-=-z y x

三、计算题（二）（每小题7分，共21分）

1．设)(x y

xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y

z y x z x

∂∂+∂∂ 解：

),()(u F x

y

u F y x z '-+=∂∂ )(u F x y z '+=∂∂ xy z xF xy y

z

y x z x

+=+=∂∂+∂∂2 2．将函数⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞

=+1)!1(n n n 的和. 解：⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=--1!

1

!2111n x x n x x e

并在),(+∞-∞内收敛。

),(,)!

1(!1!32!21)(112+∞-∞∈+=⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++=∑∞

=--x x n n x n n x x f n n n

11)1()!1(1

1='

⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-==+=∞

=∑x x n x e f n n

3．求微分方程dx

dy

y y y =

''+='',)(12

的通解. 解：令p y p y '=''='则,，原方程化为

⎰++-=+=⇒+=⇒=+⇒

+='2

1112

2)cos(ln )tan()tan(11c c x dx c x y c x p dx p dp

p p

四、计算题（三）（每小题8分，共24分）

1．求曲线积分⎰

-+=

L

dy x x dx y I )3(3

3的值，其中)0(222>=+R R y x L 为的正向. 解：记L 所围成的区域为D ，利用格林公式得

⎰⎰⎰⎰⎰-=--=-+=R

D

L

d d dxdy y x dy x x dx y I 0

220

2

2

3

3

)1(3)333()3(ρρρθπ

)2

11(32

2R R -

=π

2．求微分方程x

xe y y 4=-''的通解.

解：对应的齐次方程为0=-''y y ，它的特征方程为012

=-r ，其根为1,121-==r r ，该

齐次方程的通为x

x e

C e C Y -+=21。

因1=λ是特征方程的单根，所以设原方程的一个特为x

e b ax x y )(+=•

代入原方程得1,1-==b a ，于是，求得x

e x x y )1(-=•

原方程的通解为x x

x e x x e C e C y )1(21-++=-

3．计算曲面积分⎰⎰

∑

+=dxdy y x e I z 2

2，其中∑为锥面2

2y x z +=与平面2,1==z z 所

围立体表面的外侧.

解：记1:,:,2:32221=∑+=∑=∑z y x z z

则.422

2

20

222211

e d e d dxdy y x e dxdy y x e I xy

D z z πρρρ

θπ==+=

+=

⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰

∑

).(222

1

20

2

22

222

22

e e d e d dxdy y x e

dxdy y x e I xy

D y x z --==+-=+=⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰

+∑πρρρ

θρ

π

.21

20

2

2

33

e d e

d dxdy y

x e I z πρρρ

θπ

-=-=+=⎰

⎰⎰⎰

∑

故.22

321e I I I I π=++=

五、应用题（共7分）

设一矩形的周长为2,现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及柱体体积.

解：设矩形的两边长分别为.,y x 由题设1=+y x ，不妨设矩形绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为.2

y x V π=