精品高数课后题答案及详解

高等数学习题及答案
一、填空题（每小题3分，共21分）
1．设b a by ax y x f ,,),(其中+=为常数，则=)),(,(y x f xy f .y b abx axy 2
++
2．函数2
2y x z +=在点)2,1(处，沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的
方向导数是 .321+
3．设有向量场k xz j xy i y A ρρρρ++=2
，则=A div ρ . x 2
4．二重积分⎰⎰2
1
),(x dy y x f dx 交换积分次序后为 .⎰⎰1
1
),(y
dx y x f dy
5．幂级数∑∞
=-1
3)3(n n
n
n x 的收敛域为 . [0,6) 6．已知y
x e z 2-=，而3
,sin t y t x ==，则
=dt
dz
3sin 22(cos 6)t t e t t -- 7．三重积分
=⎰⎰⎰Ω
dv 3 ，
其中Ω是由3,0,1,0,1,0======z z y y x x 所围成的立体.
二、计算题（一）（每小题7分，共21分）
1．设b a b a ρρρρ与,5,2==的夹角为π3
2
，向量b a n b a m ρρρρρρ-=+=317与λ相互垂直，求λ.
解：由25173
2
cos 52)51(1217)51(3022⋅-⋅⋅⋅-+=-⋅-+=⋅=πλλλλb b a a n m ρρρρρρ
得.40=λ
2．求过点)1,2,1(-且与直线⎩⎨
⎧=--+=-+-0
4230
532z y x z y x 垂直的平面方程.
解：直线的方向向量为{}11,7,52
13132
=--=k
j i
s ρρρρ
取平面的法向量为s n ρ
ρ=，则平面方程为0)1(11)2(7)1(5=++-+-z y x 即.081175=-++z y x
3．曲面32=xyz 上哪一点处的法线平行于向量}1,8,2{=S ρ
？并求出此法线方程.
解：设曲面在点),,(z y x M 处的法线平行于s ρ
，令32-=xyz F 则在点),,(z y x M 处曲面的法向量为.1
82,}.,,{},,{xy
xz yz s n xy xz yz F F F n z y x ====故有
由于ρ
ρρ由此解得 y z y x 8,4==，代入曲面方程，解得),,(z y x M 的坐标为)8,1,4(，用点向式即得所求法线
方程为1
8
8124-=
-=-z y x
三、计算题（二）（每小题7分，共21分）
1．设)(x y
xF xy z +=，其中)(u F 为可导函数，求.y
z y x z x
∂∂+∂∂ 解：
),()(u F x
y
u F y x z '-+=∂∂ )(u F x y z '+=∂∂ xy z xF xy y
z
y x z x
+=+=∂∂+∂∂2 2．将函数⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=x e dx d x f x 1)(展成x 的幂级数，并求∑∞
=+1)!1(n n n 的和. 解：⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=--1!
1
!2111n x x n x x e
并在),(+∞-∞内收敛。

),(,)!
1(!1!32!21)(112+∞-∞∈+=⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++=∑∞
=--x x n n x n n x x f n n n
11)1()!1(1
1='
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-==+=∞
=∑x x n x e f n n
3．求微分方程dx
dy
y y y =
''+='',)(12
的通解. 解：令p y p y '=''='则,，原方程化为
⎰++-=+=⇒+=⇒=+⇒
+='2
1112
2)cos(ln )tan()tan(11c c x dx c x y c x p dx p dp
p p
四、计算题（三）（每小题8分，共24分）
1．求曲线积分⎰
-+=
L
dy x x dx y I )3(3
3的值，其中)0(222>=+R R y x L 为的正向. 解：记L 所围成的区域为D ，利用格林公式得
⎰⎰⎰⎰⎰-=--=-+=R
D
L
d d dxdy y x dy x x dx y I 0
220
2
2
3
3
)1(3)333()3(ρρρθπ
)2
11(32
2R R -
=π
2．求微分方程x
xe y y 4=-''的通解.
解：对应的齐次方程为0=-''y y ，它的特征方程为012
=-r ，其根为1,121-==r r ，该
齐次方程的通为x
x e
C e C Y -+=21。

因1=λ是特征方程的单根，所以设原方程的一个特为x
e b ax x y )(+=•
代入原方程得1,1-==b a ，于是，求得x
e x x y )1(-=•
原方程的通解为x x
x e x x e C e C y )1(21-++=-
3．计算曲面积分⎰⎰
∑
+=dxdy y x e I z 2
2，其中∑为锥面2
2y x z +=与平面2,1==z z 所
围立体表面的外侧.
解：记1:,:,2:32221=∑+=∑=∑z y x z z
则.422
2
20
222211
e d e d dxdy y x e dxdy y x e I xy
D z z πρρρ
θπ==+=
+=
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
∑
).(222
1
20
2
22
222
22
e e d e d dxdy y x e
dxdy y x e I xy
D y x z --==+-=+=⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
+∑πρρρ
θρ
π
.21
20
2
2
33
e d e
d dxdy y
x e I z πρρρ
θπ
-=-=+=⎰
⎰⎰⎰
∑
故.22
321e I I I I π=++=
五、应用题（共7分）
设一矩形的周长为2,现让它绕其一边旋转，求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及柱体体积.
解：设矩形的两边长分别为.,y x 由题设1=+y x ，不妨设矩形绕长度为y 的一边旋转，则圆柱体体积为.2
y x V π=
作拉氏函数)1(),(2
-++=y x y x y x F λπ
解方程组⎪
⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=0
100
22
y x F x F xy F y x λλπλπ，得驻点).31,32(
所以最大圆柱柱体体积为.27
431)3
2(2
ππ=⋅对应的矩形面积为.92
六、证明题（共6分）
设{}n n a a ,0>单调减少趋于零，证明：级数
∑∞
=+-⋅-1
11
)
1(n n n n a a 收敛.
证明：因{}n n a a ,0>单调减少，所以1+⋅n n a a 也单调减少
又02
lim ,201
11=++≤
⋅<
+∞→++n n n n n n n a a a a a a 所以0lim
1=⋅+∞
→n n n a a ，则交错级数判别法知∑∞
=+-⋅-1
11)1(n n n n a a 收敛。