导数公式以及四则运算法则练习
人教版高二数学《导数的四则运算法则含答案解析》练习
5.2.2导数的四则运算法则[A级 基础巩固]1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于( ) A．－1 B．－2C．2 D．0解析：选B ∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2．函数y＝x2x＋3的导数是( )A.x2＋6x(x＋3)2B.x2＋6xx＋3C.－2x(x＋3)2D.3x2＋6x(x＋3)2解析：选A y′＝(x2x＋3)′＝(x2)′(x＋3)－x2(x＋3)′(x＋3)2＝2x(x＋3)－x2(x＋3)2＝x2＋6x(x＋3)2.3．曲线f(x)＝x ln x在点x＝1处的切线方程为( )A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝x－1 D．y＝x＋1解析：选C ∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.4．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选D y′＝a－1x＋1，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为( )A．1 B．±1C．－1 D．－2解析：选A 设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax30＋3，所以3x0＋1＝ax30＋3①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax20＝3，ax20＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝07．已知曲线y1＝2－1x与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.解析：由题知y′1＝1x2，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为1x20，3x20－2x0＋2，所以3x20－2x0＋2x20＝3，所以x0＝1.答案：18．已知函数f(x)＝f′(π4)cos x＋sin x，则f(π4)的值为________．解析：∵f′(x)＝－f′(π4)sin x＋cos x，∴f′(π4)＝－f′(π4)×22＋22，得f′(π4)＝2－1.∴f(x)＝(2－1)cos x＋sin x.∴f(π4)＝1.答案：19．求下列函数的导数：(1)y＝x－ln x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；(3)y＝x2sin x；(4)y＝x＋3x2＋3.解：(1)y′＝(x－ln x)′＝(x)′－(ln x)′＝12x－1x.(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′＝3x2－2x＋1.(3)y′＝(x2)′·sin x－x2·(sin x)′sin2x＝2x sin x－x2cos xsin2x.(4)y′＝1·(x2＋3)－(x＋3)·2x(x2＋3)2＝－x2－6x＋3 (x2＋3)2.10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，∴切点为(1，－1)．c，13．曲线y＝x2x－1在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．解析：y′＝－1(2x－1)2，则y′Error!＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.答案：22－114．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.(1)求a，b的值；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－14x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.(2)∵切线与直线y＝－14x＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1.由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.[C级 拓展探究]15．设f n(x)＝x＋x2＋…＋x n－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求f n′(2)；(2)证明：f n(x)在(0，23)内有且仅有一个零点(记为a n)，且0＜a n－12＜2n3n＋1.解：(1)由题设f n′(x)＝1＋2x＋…＋nx n－1.所以f n′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①则2f n′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②①－②得，－f n′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n＝1－2n1－2－n·2n＝(1－n)·2n－1，所以f n′(2)＝(n－1)·2n＋1.(2)证明：因为f(0)＝－1＜0，x≥0，n≥2.f n(23)＝23[1－(23)n]1－23－1＝1－2×(23)n≥1－2×(23)2＞0，所以f n(x)＝x＋x2＋…＋x n－1为增函数，所以f n(x)在(0，23)内单调递增，因此f n(x)在(0，23)内有且仅有一个零点a n.由于f n(x)＝x－x n＋11－x－1，所以0＝f n(a n)＝a n－a n＋1n1－a n－1，由此可得a n＝12＋12a n＋1n＞12，故12＜a n＜23.1 2＝12a n＋1n＜12×(23)n＋1＝2n3n＋1.所以0＜a n－。
3.2导数的计算练习
考点2 求曲线的切线方程
例例2：求曲线y＝x3－2x在点(1，－1)处的切线方程．
[解： y′＝(x3－2x)′＝3x2－2， ∴y′|x＝1＝3×12－2＝1. 即在点(1，－1)处的切线的斜率是1. 由点斜式得切线方程为y＋1＝x－1即x－y－2＝0.
即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝C(C为常数)．
答案：C
二5.若、函填数空f题(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析：由f(x)＝ax4＋bx2＋c得f′(x)＝4ax3＋2bx，又f′(1)＝2，所以4a＋2b＝2 ，即f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2.
求过点(1，－1)且与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．
解：设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f′(x0)＝3x－2， 故切线方程为y－y0＝(3x－2)(x－x0)， 即y－(x－2x0)＝(3x－2)(x－x0)， 又知切线过点(1，－1)，代入上述方程， 得解－得1x0－＝(1x－或2x0x＝0)＝－(312x－，2)(1－x0)， 故所求的切线方程为y＋1＝x－1 或y＋1＝－ 4 (x－1)，
10.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1,5)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示 ，求f(x)的解析式．
解：∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx， ∴f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.由图象可知f′(1)＝0，f′(2)＝0. ∴3a＋2b＋c＝0，① 12a＋4b＋c＝0，② 又函数f(x)的图象过点(1,5)， ∴f(1)＝5，即a＋b＋c＝5③ 由①②③可得a＝2，b＝－9，c＝12. ∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x.
导数的四则运算法则
一、复习回顾
1、基本求导公式 : ' 1
(1)C 0(C为常数)
(2)( x ) x
x ' x
(为常数）
(3)(a ) a lna(a 0, 且a 1)
1 (4)(log a x ) (a 0, 且a 1) xlna 1 ' x ' x (6)(lnx) (5)(e ) e x
2
(2)求函数g ( x) x x x 2的导数.
3 2
法则 2: 两个函数的积的导数，等于第一
个函数的导数乘以第二个函数加上第一个 函数乘以第二个函数的导数．即：
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例2： (1)求函数h( x) x sin x的导数. (2)求函数f ( x) x ln x的导数.
法则3:
[Cf ( x)] Cf ( x).(C为常数)
3 2 (3)求函数g ( x) x x 6 x 2的导数. 2
3
(4)求函数f ( x) 2 x ln x的导数.
法则4 :两个函数的商的导数，等于分子的 导数与分母的积，减去分母的导数与分子 的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] ( x) 0
t 1 例3 ： (1)求函数s(t ) 的导数. t
2
x (2)求函数f(x) x 的导数. e
练 习
2. 求 y (2x 3)(3x 2)的导数
1.求 y 2x 3x 5x 4 的导数
2
3
导数的基本公式及四则运算法则
例3 设 y xsin xln x ，求 y 解 y (x)sin xln x x(sin x)ln x xsin x(ln x)
1 sin xln x xcos xln x xsin x 1 x
sin x ln x xcos x ln x sin x ．
cos2 x
cos2 x
即 (tan x) 1 sec2 x ． cos2 x
用同样方法可以得到 (cot x) 1 csc2 x． sin 2 x
练习一
1.求下列函数的导数：
(1) y 10x x10
(2) y x2
1 x
5cos
x
3log2
x
ln 4
(3) y 10x5 ln x
(2x
1)( x
3) (x2 (x 3)2
x
2)
1
x2 6x (x 3)2
5，
f (1) 12 6 1 5 1 ． (1 3)2 8
例5 设 y 5x3 2x 7 ，求 y x
解
先化简，得
5
1
1
y 5x2 2x2 7x 2
，
于是
y
5
5
3
x2
2
1
1
x2
7 ( 1)
x (3) y 5 x3 (4) y x5 4 x3 (5) y x 3 x
x
3.2.3 正弦函数的导数
设 y sin x ，则
y 于是
sin(
x
x)
sin
x
2sin
x 2
cos( x
x) 2
，
y 2sin x
x cos( x x)
导数的四则运算综合训练
例 4、已知函数 f ( x) x3 bx2 cx d 的 图像过点 P(0，2)，且在点 M(-1，f(-1))处 的切线方程为 6x y 7 0 .求函数 y=f(x) 的解析式.
例 5、已知函数 f ( x) 2x3 ax 与 g(x) bx2 c 的图像都经过点 P(2，0)， 且在点 P 处有公共切线，求 f(x)，g(x) 的表达式。
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时
变化率：（1） 90% （2） 98%
例 3、求满足下列条件的函数 f(x)： (1) f(x)是三次函数, 且 f (0) 3, f '(0) 0, f '(1) 3, f '(2) 0 (2) f '( x) 是一次函数,
x2 f '( x) (2x 1) f ( x) 1
则 a 的值等于（
19
A. 3
13
C. 3
）
16
B. 3
10
D. 3
特别的： [c f ( x)]' cf '(x)
3.两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母
的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母
的平方 f ( x) f '( x)g( x) f ( x)g '( x)
g(
x)
'
g2(x)
(g( x) 0)
特别的:
1 g x
g
x
g2 x
知识应用
例 1、求下列函数的导数：
(1) y x2(ln x sin x)
(2) y
cos x x2x例 2、日常生活中的饮水通常是经过净化的．
随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.
高一数学导数的四则运算法则试题
高一数学导数的四则运算法则试题1.（2013•绵阳一模）己知f（x）=xsinx，则f′（π）=（）A．O B．﹣1C．πD．﹣π【答案】D【解析】先对函数f（x）求导，进而可求出f′（π）的值．解：∵f′（x）=sinx+xcosx，∴f′（π）=sinπ+πcosπ=﹣π．故选D．点评：本题考查导数的值，正确求导是解决问题的关键．2.（2012•九江一模）已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣x3]=2，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【答案】D【解析】由题意，可知f（x）﹣x3是定值令t=f（x）﹣x3，得出f（x）=x3+t，再由f（t）=t3+t=2求出t的值即可得出f（x）的表达式，求出函数的导数，即可求出f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间选出正确选项解：由题意，可知f（x）﹣x3是定值，不妨令t=f（x）﹣x3，则f（x）=x3+t又f（t）=t3+t=2，整理得（t﹣1）（t2+t+2）=0，解得t=1所以有f（x）=x3+1所以f（x）﹣f′（x）=x3+1﹣3x2=2，令F（x）=x3﹣3x2﹣1可得F（3）=﹣1＜0，F（4）=8＞0，即F（x）=x3﹣3x2﹣1零点在区间（3，4）内所以f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是（3，4）故选D点评：本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出f（x）﹣x3是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度3.（2012•安徽模拟）若函数f（x）在R上可导，且满足f（x）＞xf′（x），则（）A．3f（1）＞f（3）B．3f（1）＜f（3）C．3f（1）=f（3）D．f（1）=f（3）【答案】A【解析】根据条件f（x）＞xf′（x）可构造函数g（x）=，然后得到函数的单调性，从而得到所求．解：设g（x）=，g′（x）=∵f（x）＞xf′（x），∴g′（x）=＜0即g（x）在（0，+∞）上单调递减函数∴即3f（1）＞f（3）故选A．点评：本题主要考查了导数除法的运算法则，以及利用构造法是解题的关键，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．4.函数f1（x）=cosx﹣sinx，记f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…fn（x）=fn﹣1′（x），（n∈N*，n≥2），则=（）A．B．C．0D．2008【答案】B【解析】先求出f2（x）、f3（x）、f4（x），观察所求的结果，归纳其中的周期性规律，求解即可．解：由题意，f2（x）=f1′（x）=﹣sinx﹣cosxf 3（x）=f2′（x）=﹣cosx+sinx，f4（x）=（﹣cosx+sinx）′=sinx+cosx，f5（x）=cosx﹣sinx，以此类推，可得出fn （x）=fn+4（x）又∵f1（x）+f2（x）+f3（x）+f4（x）=0，∴==﹣．故选B．点评：本题以三角函数为载体，考查三角函数的导数、周期性、及观察归纳思想的运用，解题的关键是判断出函数导数变化的周期性．．5.函数的导数是（）A．B．﹣sinx C．D．【答案】C【解析】根据导数的运算法则可得，y′==可求解：根据导数的运算法则可得，y′===故选C点评：本题主要考查了商的导数的求导法则及基本初等函数的求导公式的应用，属于基础试题6.设y=﹣2e x sinx，则y′等于（）A．﹣2e x cosx B．﹣2e x sinx C．2e x sinx D．﹣2e x （sinx+cosx）【答案】D【解析】利用导数乘法法则进行计算．解：∵y=﹣2e x sinx，∴y′=（﹣2e x）′sinx+（﹣2e x）•（sinx）′=﹣2e x sinx﹣2e x cosx=﹣2e x（sinx+cosx）．故选D．点评：本题考查学生对导数乘法法则的运算能力，利用直接法求解．7.已知函数f（x）=ax3+3x2+2，若f′（﹣1）=4，则a的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】求出原函数的导函数，由f'（﹣1）=4列式可求a的值．解：由f（x）=ax3+3x2+2，得f′（x）=3ax2+6x．所以f′（﹣1）=3a﹣6=4，解得．故选C．点评：本题考查了导数的加法法则，考查了基本初等函数的导数公式，是基础的运算题．8.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，则f′（2）的值等于（）A．2B．﹣2C．D．【答案】D【解析】对等式f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，求导数，然后令x=2，即可求出f′（2）的值．解：∵f（x）=x2+3xf′（2）+lnx，∴f'（x）=2x+3f′（2）+，令x=2，则f'（2）=4+3f′（2）+，即2f'（2）=﹣，∴f′（2）=﹣．故选D．点评：本题主要考查导数的计算，要注意f'（2）是个常数，通过求导构造关于f'（2）的方程是解决本题的关键．9.已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）的值为（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【答案】B【解析】求f′（1）需要先求出函数f（x）=x+lnx的导数，由解析式的形式可以看出，需要用和的求导公式求导数解：∵f（x）=x+lnx，∴f′（x）=1+∴f′（1）=1+=2故选B点评：本题考查导数加法与减法法则，解题的关键是熟练掌握导数的加法与减法法则以及对数的求导公式，导数以其工具性在高考中的应用越来越广泛，在高考中的地位近几年稳步提高，应加强对其运算公式的掌握，提高应用的熟练程度．10.已知，则f′（）=（）A．﹣1+B．﹣1C．1D．0【答案】B【解析】本题先对已知函数进行求导，再将代入导函数解之即可．解：故选B．点评：本题主要考查了导数的运算，以及求函数值，解题的关键是正确求解导函数，属于基础题．。
导数的四则运算
y u( x x )v( x x ) u( x )v( x ) u( x x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x x ) u( x )v( x ), y u( x x ) u( x ) v ( x x ) v ( x ) v ( x x ) u( x ) . x x x
2
事实上,在曲线y=x3+ax2+bx+c是只有横坐标为a/3的唯一一点M,过该点的切线与曲线除切点外不再有 其它公共点.而点M实际上就是这条三次曲线的对称中 心. 2、三次曲线y=x3-3x2/2-3x过原点的切线l1,平行 于l1的另一条切线为l2. (1)求l1、l2的方程; (2)当l1、l2的斜率为m时,求斜率为-m的两切线 l3、l4的方程. (3)求l1、l2 、l3、l4所围成的平行四边形的面积. 答案:(1).l1:y=-3x;l2:y=-3x-1/2. (2).l3:y=3x+7/2;l4:y=3x-10. (3).9/8.
y u v u v lim lim( ) lim lim u( x ) v( x ); x 0 x x 0 x x x 0 x x 0 x
x x x
即: y (u v ) u v.
练一练:求下列函数的导数 (1) y=5x2-4x+1 y 10 x 4 (3)y=x2-cosx (4) y=(2+x)(3-x) (5) y=(2x-1)(3x+2)
练一练:求下列函数的导数 (1) y=100 (2) y=x5 (3)y=4x2 +3x
?
51
(4)y=4x2 -3x
C
'
高中数学《导数的四则运算法则》知识点讲解及重点练习
5.2.2 导数的四则运算法则 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点 导数的运算法则已知f (x )，g (x )为可导函数，且g (x )≠0.(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，特别地，[cf (x )]′＝cf ′(x )．(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2.1.⎝⎛⎭⎫e x ＋cos π4′＝e x .( √ ) 2．函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( √ )3．当g (x )≠0时，⎣⎡⎦⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x ).( √ )一、利用运算法则求函数的导数例1 求下列函数的导数：(1)y ＝15x 5＋43x 3； (2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝x 1＋x； (4)y ＝lg x －e x ；(5)y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1. 解 (1)y ′＝⎝⎛⎭⎫15x 5＋43x 3′＝⎝⎛⎭⎫15x 5′＋⎝⎛⎭⎫43x 3′＝x 4＋4x 2. (2)y ′＝(3x 2＋x cos x )′＝(3x 2)′＋(x cos x )′＝6x ＋x ′cos x ＋x (cos x )′＝6x ＋cos x －x sin x .(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝x ′(1＋x )－x (1＋x )′(1＋x )2＝1＋x －x (1＋x )2＝1(1＋x )2. (4)y ′＝(lg x －e x )′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln 10－e x . (5)y ′＝⎣⎡⎦⎤(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1′ ＝⎝⎛⎭⎫1x －x ′1122=x x '-⎛⎫- ⎪⎝⎭1131222211=22x 'x 'x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭－－－＝－－－ ＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . 反思感悟 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2＋x ln x ；(2)y ＝ln x x 2； (3)y ＝e xx； (4)y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)．解 (1)y ′＝(x 2＋x ln x )′＝(x 2)′＋(x ln x )′＝2x ＋(x )′ln x ＋x (ln x )′＝2x ＋ln x ＋x ·1x＝2x ＋ln x ＋1.(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x x 2′＝(ln x )′·x 2－ln x (x 2)′x 4 ＝1x ·x 2－2x ln x x 4＝1－2ln x x 3. (3)y ′＝⎝⎛⎭⎫e x x ′＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x ·x －e xx 2. (4)方法一 y ′＝[(2x 2－1)(3x ＋1)]′＝(2x 2－1)′(3x ＋1)＋(2x 2－1)(3x ＋1)′＝4x (3x ＋1)＋(2x 2－1)×3＝12x 2＋4x ＋6x 2－3＝18x 2＋4x －3.方法二 ∵y ＝(2x 2－1)(3x ＋1)＝6x 3＋2x 2－3x －1，∴y ′＝(6x 3＋2x 2－3x －1)′＝(6x 3)′＋(2x 2)′－(3x )′－(1)′＝18x 2＋4x －3.二、利用运算法则求曲线的切线例2 (1)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D.22答案 B解析 y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，故π=4|x y'＝12， ∴曲线在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为12. (2)已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋b 在点P (2，－6)处的切线方程是13x －y －32＝0.①求a ，b 的值；②如果曲线y ＝f (x )的切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切线的方程． 解 ①f (x )＝x 3＋ax ＋b 的导数f ′(x )＝3x 2＋a ，由题意可得f ′(2)＝12＋a ＝13，f (2)＝8＋2a ＋b ＝－6，解得a ＝1，b ＝－16.②∵切线与直线y ＝－x 4＋3垂直，∴切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4，∴x 0＝±1.由f (x )＝x 3＋x －16，可得y 0＝1＋1－16＝－14或y 0＝－1－1－16＝－18，则切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18，即y ＝4x －18或y ＝4x －14.反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确．(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练2 (1)曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为( )A ．y ＝－x ＋2B ．y ＝5x －4C ．y ＝－5x ＋6D ．y ＝x －1答案 C解析 由y ＝x 3－4x 2＋4，得y ′＝3x 2－8x ，y ′|x ＝1＝3－8＝－5，所以曲线y ＝x 3－4x 2＋4在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－5(x －1)，即y ＝－5x ＋6.(2)已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b x，曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，则a ，b 的值分别为________．答案 1,1 解析 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －ln x (x ＋1)2－b x 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)， 故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.三、与切线有关的综合问题例3 (1)曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是( ) A. 2 B.22C ．1D ．2 答案 B解析 设曲线y ＝x ln x 在点(x 0，y 0)处的切线与直线x －y －2＝0平行．∵y ′＝ln x ＋1，∴0=|x x y'＝ln x 0＋1＝1，解得x 0＝1，∴y 0＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线x －y －2＝0的距离为d ＝|1－0－2|1＋1＝22， 即曲线y ＝x ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是22. (2)设曲线 y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与直线 x ＋2y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.答案 2e解析 令y ＝f (x )，则曲线y ＝a (x －1)e x 在点(1,0)处的切线的斜率为f ′(1)，又切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，所以f ′(1)＝2.因为f (x )＝a (x －1)e x ，所以f ′(x )＝a e x ＋a (x －1)e x ＝ax e x ，所以f ′(1)＝a e ，故a ＝2e. 反思感悟 本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．跟踪训练3 求曲线y ＝2e(x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积． 解 由题意可知，y ′＝2ex ·e x ，y ′|x ＝1＝2， ∴切线方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.令x ＝0得y ＝－2；令y ＝0得x ＝1.∴曲线y ＝2e (x －1)e x 在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为S ＝12×2×1＝1.1．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103答案 D解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103. 2．设函数y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )答案 D解析 y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．3．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2答案 A解析 因为f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3， 所以f ′(x )＝f ′(－1)x －2.所以f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2，所以f ′(－1)＝－1.4．已知f (x )＝ln x x，则f ′(1)＝________. 答案 1解析 f ′(x )＝(ln x )′·x －ln x ·(x )′x 2＝1x ·x －ln x x 2 ＝1－ln x x 2， 所以f ′(1)＝1.5．已知函数f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x ，∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22，得f ′⎝⎛⎭⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝1.1．知识清单：(1)导数的运算法则．(2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．1．(多选)下列运算中正确的是( )A ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′B ．(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′－(x 2)′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′答案 AD解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′，故正确；B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′，故错误；C 项中，⎝⎛⎭⎫sin x x 2′＝(sin x )′x 2－sin x (x 2)′(x 2)2，故错误； D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′，故正确．2．函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A ．0 B.π4 C ．1 D.π2答案 B解析 对函数求导得f ′(x )＝e x (cos x －sin x )，∴f ′(0)＝1，∴函数f (x )＝e x cos x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为π4. 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．e C.ln 22D ．ln 2 答案 B解析 ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，即ln x 0＝1，解得x 0＝e.4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0答案 B解析 ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.5．(多选)当函数y ＝x 2＋a 2x(a ＞0)在x ＝x 0处的导数为0时，那么x 0可以是( ) A ．a B ．0 C ．－a D ．a 2答案 AC解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋a 2x ′＝2x ·x －(x 2＋a 2)x 2＝x 2－a 2x 2， 由x 20－a 2＝0得x 0＝±a .6．已知f (x )＝sin x 1＋cos x，则f ′⎝⎛⎭⎫π3＝________. 答案 23解析 因为f ′(x )＝(sin x )′(1＋cos x )－sin x (1＋cos x )′(1＋cos x )2＝cos x (1＋cos x )－sin x (－sin x )(1＋cos x )2＝cos x ＋cos 2x ＋sin 2x (1＋cos x )2＝cos x ＋1(1＋cos x )2 ＝11＋cos x . 所以f ′⎝⎛⎭⎫π3＝11＋cos π3＝23. 7．已知f (x )＝e x x，则f ′(1) ＝________，若f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，则x 0＝________. 答案 0 12解析 因为f ′(x )＝(e x )′x －e x (x )′x 2＝e x (x －1)x 2(x ≠0)． 所以f ′(1)＝0.由f ′(x 0)＋f (x 0)＝0，得()00020e 1e 0.x x x x x 0-＋＝ 解得x 0＝12. 8．已知函数f (x )＝e x ·sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是____________． 答案 y ＝x解析 ∵f (x )＝e x ·sin x ，f ′(x )＝e x (sin x ＋cos x )，f ′(0)＝1，f (0)＝0，∴曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为y －0＝1×(x －0)，即y ＝x .9．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x， 由题意可知，存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0， 即a ＝2x ＋1x成立，∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)．∴a 的取值范围是[22，＋∞)．10．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin 0＋e 0cos 0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)，即7x ＋y －3＝0.11．已知曲线f (x )＝x 2＋ax ＋1在点(1，f (1))处切线的倾斜角为3π4，则实数a 等于( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7答案 C解析 ∵f ′(x )＝2x (x ＋1)－(x 2＋a )(x ＋1)2＝x 2＋2x －a (x ＋1)2，又f ′(1)＝tan 3π4＝－1，∴a ＝7.12．已知曲线f (x )＝(x ＋a )·ln x 在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，则a 等于() A.12 B ．1 C ．－32 D ．－1答案 C解析 因为f (x )＝(x ＋a )·ln x ，x >0，所以f ′(x )＝ln x ＋(x ＋a )·1x ，所以f ′(1)＝1＋a .又因为f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线2x －y ＝0垂直，所以f ′(1)＝－12，所以a ＝－32，故选C. 13．已知函数f (x )＝f ′(－1)x 22－2x ＋3，则f (－1)的值为________． 答案 92解析 ∵f ′(x )＝f ′(－1)·x －2，∴f ′(－1)＝－f ′(－1)－2，解得f ′(－1)＝－1.∴f (x )＝－x 22－2x ＋3， ∴f (－1)＝92. 14．已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为______________．答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上，∴设切点坐标为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x (x >0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.15．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)，则f ′(0)＝________. 答案 212解析 因为f ′(x )＝(x )′·[(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)]＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ＝(x －a 1)(x －a 2)·…·(x －a 8)＋[(x －a 1)·(x －a 2)·…·(x －a 8)]′·x ，所以f ′(0)＝(0－a 1)(0－a 2)·…·(0－a 8)＋0＝a 1a 2·…·a 8.因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝8，所以f ′(0)＝84＝212.16．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1.又∵f (x )为偶函数，∴f (x )＝f (－x )．故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e .∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，∴切点坐标为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1.∵f ′(1)＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1.∴a ＝52，c ＝－92. ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－92x 2＋1.。
一导数的四则运算法则
u'( x) lim u( x) , v'( x) lim v( x)
x0 x
x0 x
且y v( x)在点x处必连续，即
lim v( x x) v( x)
x0
所以
lim
x0
y x
=
lim
x0
u( x) x
v(
x
x)
v( x) x
u( x)
=u '( x) v( x) u( x) v '( x)
一、导数的四则运算法则
定理1 设函数u( x)与v( x)在点x处可导，则函数u( x) v( x)， u( x) v( x)，u( x) (v( x) 0)在点x处也可导并且有：
v( x)
1、u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
2、u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
=
1
1 x
2
(16)(arc
cot
x)'
=
1 1 x
2
2、 导数的四则运算法则
(1)u(x) v(x) ' u '(x) v '(x)
(2)u(x) v(x) ' u '(x) v(x) u(x) v '(x)
(3)Cu(x) ' Cu '(x)(C为常数)
'
u( x)
u '( x) v( x) u( x) v '( x)
f '(u)u'( x)
值得指出的是，复合函数的求导法，有时也称为链 导法，它可用于多次复合的情形。
5.2.2 导数的四则运算法则
5.2.2 导数的四则运算法则课标要求素养要求能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数.在利用导数的运算法则求函数的导数的过程中，发展学生的数学运算素养.新知探究已知f (x )＝x ，g (x )＝1x . Q (x )＝f (x )＋g (x )，H (x )＝f (x )－g (x ) 问题1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 提示 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2.问题2 试求y ＝Q (x )，y ＝H (x )的导数.并观察Q ′(x )，H ′(x )与f ′(x )，g ′(x )的关系. 提示 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δx x （x ＋Δx ），∴Δy Δx ＝1－1x （x ＋Δx ）.∴Q ′(x )＝0lim x ∆→Δy Δx ＝0lim x ∆→⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x （x ＋Δx ）＝1－1x 2. 同理，H ′(x )＝1＋1x 2.显然Q (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的和.H (x )的导数等于f (x )，g (x )的导数的差.导数运算法则 注意两函数商的导数中分式的分子上是“－”法则语言叙述[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )两个函数和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )两个函数积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数[微判断]1.函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1).(√)2.当g (x )≠0时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g （x ）′＝－g ′（x ）g 2（x ）.(√)3.函数f (x )＝x ln x 的导数是f ′(x )＝x .(×) 提示 f ′(x )＝(x )′ln x ＋x (ln x )′＝ln x ＋1. [微训练]1.(多选题)下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B.(sin x ＋cos x )′＝cos x －sin x C.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x x ′＝1－ln x x 2 D.(x 2cos x )′＝－2x sin x解析 A 中⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2，A 不正确；D 中，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，D 不正确；BC 正确. 答案 BC2.设f (x )＝x 3＋ax 2－2x ＋b ，若f ′(1)＝4，则a 的值是( ) A.94 B.32 C.－1D.－52解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax －2，故f ′(1)＝3＋2a －2＝4，解得a ＝32. 答案 B3.设f(x)＝xe x，则f′(0)＝________.解析f′(x)＝e x－x e x（e x）2＝1－xe x，故f′(0)＝1.答案 1[微思考]1.设f(x)＝tan x，如何求f′(x)?提示f(x)＝tan x＝sin xcos x，所以f′(x)＝cos2x＋sin2xcos2x＝1cos2x.2.设f(x)＝x4＋2x3－3x2＋1x2，如何求f′(x)?提示f(x)＝x4＋2x3－3x2＋1x2＝x2＋2x－3＋x－2，故f′(x)＝2x＋2－2x－3.题型一利用运算法则求函数的导数【例1】求下列函数的导数. (1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；(2)y＝x2－x＋1 x2＋x＋1；(3)y＝3x e x－2x＋e；(4)y＝ln x x2＋1.解(1)法一可以先展开后再求导：y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.法二可以利用乘法的求导法则进行求导：y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.(2)把函数的解析式整理变形可得：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝x 2＋x ＋1－2x x 2＋x ＋1＝1－2x x 2＋x ＋1， ∴y ′＝－2（x 2＋x ＋1）－2x （2x ＋1）（x 2＋x ＋1）2＝2x 2－2（x 2＋x ＋1）2.(3)根据求导法则进行求导可得： y ′＝(3x e x )′－(2x )′＋e′＝(3x )′e x ＋3x (e x )′－(2x )′ ＝3x ln 3·e x ＋3x e x －2x ln 2＝(3e)x ln 3e －2x ln 2. (4)利用除法的求导法则进行求导可得： y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x ·（x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－ln x ·2x （x 2＋1）2＝x 2（1－2ln x ）＋1x （x 2＋1）2.规律方法 利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定求导法则，基本公式.(2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等.(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导. 【训练1】 求下列函数的导数. (1)y ＝(x 2＋1)(x －1)； (2)y ＝3x ＋lg x ； (3)y ＝x 2＋tan x ； (4)y ＝e xx ＋1.解 (1)∵y ＝(x 2＋1)(x －1)＝x 3－x 2＋x －1， ∴y ′＝3x 2－2x ＋1.(2)y ′＝(3x )′＋(lg x )′＝3x ln 3＋1x ln 10. (3)因为y ＝x 2＋sin xcos x ，所以y ′＝(x 2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝2x ＋cos 2x －sin x （－sin x ）cos 2x ＝2x ＋1cos 2x . (4)y ′＝（e x ）′（x ＋1）－（x ＋1）′e x（x ＋1）2＝e x （x ＋1）－e x （x ＋1）2＝x e x （x ＋1）2.题型二 求导法则的应用 角度1 求导法则的逆向应用【例2－1】 已知f ′(x )是一次函数，x 2·f ′(x )－(2x －1)·f (x )＝1对一切x ∈R 恒成立，求f (x )的解析式.解 由f ′(x )为一次函数可知，f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ，把f (x )，f ′(x )代入关于x 的方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0，又该方程对一切x ∈R 恒成立，所以⎩⎨⎧a －b ＝0，b －2c ＝0，c －1＝0，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.规律方法 待定系数法就是用设未知数的方法分析所要解决的问题，然后利用已知条件解出所设未知数，进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式，特别是已知具有某些特征的函数.【训练2】 设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋1.求y ＝f (x )的函数表达式. 解 ∵f ′(x )＝2x ＋1， ∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，又∵方程f (x )＝0有两个相等的实根，即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c ＝0，即c ＝14， ∴f (x )＝x 2＋x ＋14.角度2 求导法则在导数几何意义中的应用【例2－2】 已知函数f (x )＝ax 3－x 2－x ＋b (a ，b ∈R ，a ≠0)，g (x )＝3e4e x ，f (x )的图象在x ＝－12处的切线方程为y ＝34x ＋98. (1)求a ，b 的值.(2)直线y ＝34x ＋98是否与函数g (x )的图象相切？若相切，求出切点的坐标；若不相切，请说明理由. 解 (1)f ′(x )＝3ax 2－2x －1.∵f (x )的图象在x ＝－12处的切线方程为y ＝34x ＋98，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝34，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋1－1＝34，解得a ＝1，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－123－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ＝34，解得b ＝58. 综上，a ＝1，b ＝58.(2)设直线y ＝34x ＋98与函数g (x )的图象相切于点A (x 0，y 0). ∵g ′(x )＝3e 4e x ，∴g ′(x 0)＝3e 4e x 0＝34，解得x 0＝－12，将x 0＝－12代入g (x )＝3e 4e x ，得点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34，∴切线方程为y －34＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，化简得y ＝34x ＋98，故直线y ＝34x ＋98与函数g (x )的图象相切，切点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34. 规律方法 (1)此类问题主要涉及切点，切点处的导数、切线方程三个主要元素，解题方法为把其它题设条件转化为这三个要素间的关系，构建方程(组)求解.(2)准确利用求导法则求出函数的导数是解此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确.【训练3】 (1)已知函数f (x )＝axx 2＋b，且f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若P (x 0，y 0)为f (x )图象上的任意一点，直线l 与f (x )的图象切于P 点，求直线l 的斜率k 的取值范围.解 (1)由题意得f ′(x )＝（ax ）′（x 2＋b ）－ax （x 2＋b ）′（x 2＋b ）2＝a （x 2＋b ）－2ax 2（x 2＋b ）2＝－ax 2＋ab （x 2＋b ）2，因为f (x )的图象在x ＝1处与直线y ＝2相切， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝－a ＋ab （1＋b ）2＝0，f （1）＝a 1＋b ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝1，则f (x )＝4xx 2＋1； (2)由(1)可得，f ′(x )＝－4x 2＋4（x 2＋1）2，所以直线l 的斜率 k ＝f ′(x 0)＝－4x 20＋4（x 20＋1）2＝－4（x 20＋1）＋8（x 20＋1）2＝－4·1x 20＋1＋8（x 20＋1）2设t ＝1x 20＋1，则t ∈(0，1]， 所以k ＝4(2t 2－t )＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142－12，则在对称轴t ＝14处取到最小值－12，在t ＝1处取到最大值4， 所以直线l 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，4.一、素养落地1.通过利用导数的运算法则求导数提升数学运算素养.2.导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数. 3.和与差的运算法则可以推广[f (x 1)±f (x 2)±…±f (x n )]′＝f ′(x 1)±f ′(x 2)±…±f ′(x n ). 4.积、商的求导法则(1)若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)；(3)当f (x )＝1时，有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g （x ）′＝－g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0).二、素养训练1.函数y ＝(x ＋1)(x －1)的导数等于( ) A.1 B.－12xC.12xD.－14x解析 因为y ＝(x ＋1)(x －1)＝x －1， 所以y ′＝x ′－1′＝1. 答案 A2.已知函数f (x )＝x e x ＋ax ，若f ′(0)＝2，则实数a 的值为( ) A.－1 B.0 C.1D.2 解析 f ′(x )＝e x (x ＋1)＋a ，故f ′(0)＝1＋a ＝2，所以a ＝1. 答案 C 3.函数y ＝cos x1－x的导数是( )A.－sin x ＋x sin x（1－x ）2B.x sin x －sin x －cos x（1－x ）2C.cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2D.cos x －sin x ＋x sin x1－x解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 1－x ′＝（－sin x ）（1－x ）－cos x ·（－1）（1－x ）2＝cos x －sin x ＋x sin x（1－x ）2.答案 C4.曲线f (x )＝x ln x 在点(1，f (1))处的切线的方程为________.解析 f ′(x )＝1＋ln x ，则在点(1，f (1))处切线的斜率k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，故所求的切线方程为y －0＝1×(x －1)，即x －y －1＝0. 答案 x －y －1＝05.已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________. 解析 由于f ′(0)是常数， 所以f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)， 令x ＝0，则f ′(0)＝0， ∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1. 答案 1基础达标一、选择题1.曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处的切线的倾斜角为( ) A.π6 B.3π4 C.π4D.π3解析 因为f ′(x )＝x 2－2x ，k ＝f ′(1)＝－1，所以在x ＝1处的切线的倾斜角为3π4. 答案 B2.函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x （x ＋3）2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x （x ＋3）2D.3x 2＋6x （x ＋3）2解析 y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋3′＝（x 2）′（x ＋3）－x 2（x ＋3）′（x ＋3）2＝2x （x ＋3）－x 2（x ＋3）2＝x 2＋6x（x ＋3）2.答案 A3.下列运算中正确的是( ) A.(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′＋(c )′ B.(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2′(x 2)′C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝（sin x ）′－（x 2）′x 2D.(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x解析 A 项中，(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋b (x )′＋(c )′正确； B 项中，(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－2(x 2)′错误；C 项中，⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝（sin x ）′x 2－sin x （x 2）′（x 2）2错误；D 项中，(cos x ·sin x )′＝(cos x )′sin x ＋cos x (sin x )′错误. 答案 A4.若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A.－1 B.－2 C.2D.0解析 f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(x )是奇函数， 故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 答案 B5.已知f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(x )的大致图象是( )解析 ∵f (x )＝14x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝14x 2＋cos x ，∴f ′(x )＝12x －sin x .易知f ′(x )＝12x －sin x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ，D.由f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π12－12<0，排除C ，故选A. 答案 A 二、填空题6.函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处切线的倾斜角为________.解析 由题意得，f ′(x )＝e x sin x ＋e x cos x ＝e x (sin x ＋cos x )，∴函数f (x )的图象在点(0，f (0))处切线的斜率k ＝f ′(0)＝1，则所求的倾斜角为π4. 答案 π47.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－4x ，x <0，－1x －ln x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则实数a 的值为________.解析 f ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x <0，1x 2－1x ，0<x <1，若f ′(a )＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，1a 2－1a ＝12或⎩⎨⎧a <0，a 2－4＝12，解得a＝14或a ＝－4. 答案 14或－48.设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f （x ）＋2g （x ），则h ′(5)＝________.解析 由题意知f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1， ∵h ′(x )＝f ′（x ）g （x ）－[f （x ）＋2]g ′（x ）[g （x ）]2，∴h ′(5)＝f ′（5）g （5）－[f （5）＋2]g ′（5）[g （5）]2＝3×4－（5＋2）×142＝516.答案 516 三、解答题9.求下列函数的导数： (1)f (x )＝(x 2＋9)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3x(2)f (x )＝sin xx n .解 (1)f (x )＝x 3＋6x －27x ，f ′(x )＝3x 2＋27x 2＋6. (2)f ′(x )＝（sin x ）′x n －sin x ·（x n ）′（x n ）2＝x n cos x －nx n －1sin x x 2n＝x cos x －n sin x x n ＋1.10.已知抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)，且在点(1，1)处的切线方程为4x －y －3＝0，求a ，b 的值.解 由抛物线f (x )＝ax 2＋bx －7经过点(1，1)， 得1＝a ＋b －7，即a ＋b －8＝0.因为f ′(x )＝2ax ＋b ，且抛物线在点(1，1)处的切线方程为4x －y －3＝0，所以f ′(1)＝4，即2a ＋b －4＝0.由⎩⎨⎧a ＋b －8＝0，2a ＋b －4＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝12. 能力提升11.若曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝e xa (a >0)存在公共切线，则实数a 的取值范围为( ) A.(0，1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，e 24 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤e 24，2 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ 解析 y ＝x 2在点(m ，m 2)处的切线斜率为2m ，y ＝e xa (a >0)在点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，1a e n 处的切线斜率为1a e n ，如果两个曲线存在公共切线，那么2m ＝1a e n .又由斜率公式可得2m ＝m 2－1a e nm －n，由此得到m ＝2n －2，则4n －4＝1a e n 有解，所以函数y ＝4x －4与y ＝1a e x的图象有交点即可.当直线y ＝4x －4与函数y ＝1a e x 的图象相切时，设切点为(s ，t )，则1a e s ＝4，且t ＝4s －4＝1a e s ，即有切点(2，4)，a ＝e 24，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞.故选D. 答案 D12.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋bx 2， ∴f ′(2)＝74，②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知 曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0).令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0，2x 0).所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.创新猜想13.(多选题)过点P (2，－6)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线，则切线方程为( ) A.3x ＋y ＝0 B.24x －y －54＝0 C.3x －y ＝0D.24x －y ＋54＝0解析 设切点为(m ，m 3－3m )， f (x )＝x 3－3x 的导数为f ′(x )＝3x 2－3， 则切线斜率k ＝3m 2－3， 由点斜式方程可得切线方程为 y －m 3＋3m ＝(3m 2－3)(x －m )，将点P (2，－6)代入可得－6－m 3＋3m ＝(3m 2－3)(2－m )， 解得m ＝0或m ＝3.当m ＝0时，切线方程为3x ＋y ＝0； 当m ＝3时，切线方程为24x －y －54＝0. 答案 AB14.(多空题)如图所示的图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则这个图象的序号是________，f (－1)＝________.解析 ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f′(x)的图象开口向上，排除图象②④；又a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，故f′(x)的图象的序号为③.由图象特征可知，f′(0)＝0，∴a2－1＝0，且对称轴x＝－a>0，∴a＝－1，∴f(x)＝13x3－x2＋1，则f(－1)＝－1 3.答案③－1 3。
导数公式以及四则运算法则练习
导数的计算一、选择题1、函数xx y cos =的导数是（ ）C A 2sin x x - B x sin - C 2cos sin x x x x +- D 2cos cos x x x x +- 2、曲线x e x y -=在以下哪个点处的切线斜率等于0 （ ）AA （0，-1）B （1，0）C （0，1）D （-1，0）3、函数)1(cos sin +=x x y 的导数是（ ）CA x x cos 2cos -B x x sin 2cos +C x x cos 2cos +D x x cos cos 2+4、曲线x x y 33-=上切线平行于x 轴的点的坐标是（ ）DA （-1，2）B （1，-2）C （1，2）D （-1，2）或(1,-2)5、设x a y -++=11，则/y 等于（ ）DA x a -++121121B x -121C x a --+121121D x --1216、若)43sin(2)(π+=x x f ，则)4(/πf 等于（ ）B A 6 B -6 C 2 D -27、曲线23-+=x x y 在P 点处的切线平行于直线14-=x y ，则此切线方程是（ ）DA x y 4=B 44-=x yC 84+=x yD 444y x y x ==-或8、已知'(1)4,(1)5f f == 则12()8lim1x f x x x ®--的值是 （ ）B A 5 B 2 C 4 D 不存在二、填空题9、函数x x y tan =的导数是_______________________.xx x x 2cos cos sin + 10、设,54)(2+-=x x x f 则/5[()]2f f =___________________.2 11、函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数是__________.412、函数2log y =的导数是_________________________________.13()ln 2x x e e x ++ 三、解答题13、求函数)1(sin 3x x y +=的导数。
导数的四则运算法则(教师版有答案)
第1页共11页导数的四则运算法则基本初等函数的导数公式表导数的运算法则(1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则：①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f2′±…±f n ′.②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[Cf (x )]′＝Cf′(x )．③商的求导法则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)，特别地：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．思考：商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？第2页共11页[提示] 先对f (x )求导，即f′(x )g (x )，再对g (x )求导，即f (x )g ′(x )．1．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝3，则y ′＝0 B ．若f (x )＝3x ＋1，则f′(1)＝3 C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x＋1D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin xD [D 项，∵y ＝sin x ＋cos x ，∴y ′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ．] 2．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于( ) A ．－2e x cos x B ．－2e x sin x C ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )D [y ′＝－2(e x sin x ＋e x cos x )＝－2e x (sin x ＋cos x )．] 3．已知函数f (x )＝ln xx ，则f′(1)＝________. 1 [∵f′(x )＝1x ×x －ln x x 2＝1－ln xx 2，∴f′(1)＝1.]用导数的求导法则求导数 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝2x 2＋1x －3x 3； (2)y ＝x ＋3x 2＋3； (3)y ＝e x cos x ＋sin x ；(4)y ＝x 3＋lg x .[思路探究] 观察函数的特征，可先对函数式进行合理变形，然后利用导数公式及相应的四则运算法则求解．[解] (1)∵y ＝2x 2＋x －1－3·x －3， ∴y ′＝4x －x －2－3·(－3)x －4＝4x －1x 2＋9x 4. (2)y ′＝1·(x 2＋3)－2x (x ＋3)(x 2＋3)2＝－x 2－6x ＋3(x 2＋3)2.(3)y ′＝(e x cos x ＋sin x )′＝(e x cos x )′＋(sin x )′第3页共11页＝(e x )′cos x ＋e x (cos x )′＋cos x ＝e x cos x －e x sin x ＋cos x . (4)y ′＝3x 2＋1x ln 10.应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导.提醒：当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，再求导.求下列函数的导数： (1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2；(3)y ＝cos x ln x ；(4)y ＝xe x .[解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋sin x 2cos x 2′＝(x －2)′＋()12sin x ′ ＝－2x －3＋12cos x ＝－2x 3＋12cos x . (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′＝3x 2－3x －6. (3)y ′＝(cos x ln x )′ ＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′ ＝－sin x ln x ＋cos xx .第4页共11页(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝(x )′e x －x (e x)′(e x )2＝e x －x e x e 2x ＝1－xe x . 导数运算法则的应用 [探究问题]1．导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗？ [提示] [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]′＝f 1′(x )±f 2′(x )±…±f′n (x )． 2．导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？[提示] 对于积与商的导数运算法则，应避免出现“积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．【例2】 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－ax －1(a ∈R )．当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．[思路探究] 先求导，再求切线斜率，根据点斜式得切线方程． [解] 因为当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)． 所以f′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因为f′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln 2＋2， 所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －(ln 2＋2)＝x －2， 即x －y ＋ln 2＝0.1．(变换条件)本典例函数不变，条件变为“曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为x第5页共11页(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键.1．思考辨析(1)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f′(a )＝3a 2＋2x . ( ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤C g (x )′＝－Cg ′(x )g 2(x ). ( ) (3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数． ( )[提示] (1)√ (2)√(3)× 应用导数的运算法则求导数的前提是f (x )，g (x )均为可导函数，即f′(x )，g ′(x )存在．2．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f′(1)＝1，则k 等于( ) A ．e2 B ．e3 C ．－e 2D ．－e 3A [∵f′(x )＝e x (x －2)x 3＋1x ＋2kx 2，第6页共11页∴f′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A.] 3．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B ．12 C ．－22D ．22B [∵y ′＝cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )(sin x ＋cos x )2＝1(sin x ＋cos x )2，∴y ′|x ＝π4＝12，∴曲线在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为12.] 4．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f′(－1)＝0，则a ＝________.12[∵f (x )＝(x 2－4)(x －a )＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，∴f′(x )＝3x 2－2ax －4. 又∵f′(－1)＝3＋2a －4＝0， ∴a ＝12.] 5．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．[解] 由题意，得f (0)＝c ，f′(x )＝x 2－ax ＋b ，由切点P (0，f (0))既在曲线f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c 上又在切线y ＝1上，得⎩⎨⎧f ′(0)＝0，f (0)＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧02－a ×0＋b ＝0，13×03－a 2×02＋b ×0＋c ＝1， 解得b ＝0，c ＝1.[基础达标练]第7页共11页1．已知函数f (x )＝sin x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( ) A ．1－cos 1 B ．1＋cos 1 C ．cos 1－1D ．－1－cos 1B [∵f ′(x )＝cos x ＋1x ，∴f ′(1)＝cos 1＋1.]2．函数f (x )＝e x ＋x sin x －7x 在x ＝0处的导数等于( ) A ．－6 B ．6 C ．－4D ．－5A [∵f ′(x )＝e x ＋(sin x ＋x cos x )－7， ∴f ′(0)＝e 0＋(sin 0＋0)－7＝－6.]3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12 C ．－12 D ．－2D [∵y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1， ∴y ′＝－2(x －1)2.∴y ′|x ＝3＝－12. ∴－a ＝2，即a ＝－2.]4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(－1，－1)或(1,1) C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－18 B [∵y ′＝3x 2，k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1. 故P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．] 5．已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )第8页共11页A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πD [y ′＝－4e x (e x ＋1)2＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1，设t ＝e x∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t ＋2，∵t ＋1t ≥2，∴y ′∈[－1,0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.] 6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.1 [由于f ′(0)是一常数，∴f ′(x )＝x 2＋3f ′(0)，令x ＝0，则f ′(0)＝0，∴f ′(1)＝12＋3f ′(0)＝1.]7．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． (e ，e) [设P (x 0，y 0)．∵y ＝x ln x ， ∴y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x .∴k ＝1＋ln x 0.又k ＝2，∴1＋ln x 0＝2，∴x 0＝e. ∴y 0＝eln e ＝e.∴点P 的坐标是(e ，e)．]8．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． [2，＋∞) [∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ， ∴f ′(x )＝x －a ＋1x .∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点， 即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x ≥2.] 9．求下列函数的导数： (1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；第9页共11页(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4. [解] (1)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32 ＝－12x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x . (3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．[解] ∵f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 又f ′(1)＝0，f ′(2)＝0，f (1)＝5，∴⎩⎨⎧3a ＋2b ＋c ＝0，12a ＋4b ＋c ＝0，a ＋b ＋c ＝5，解得a＝2，b ＝－9，c ＝12.第10页共11页∴f (x )的解析式是f (x )＝2x 3－9x 2＋12x .[能力提升练]1．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]D [由已知，得f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，所以f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，所以π3≤θ＋π3≤3π4，所以2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤2，所以2≤f ′(1)≤2.]2．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A ．13B ．－13C ．73D ．－13或53B [∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋(a 2－1)，∴导函数f ′(x )的图象开口向上．又a ≠0，∴f ′(x )不是偶函数，其图象不关于y 轴对称，∴f ′(x )的图象必为第三个图．由图象特征，知f ′(0)＝0，∴a 2－1＝0，且－a ＞0，∴a ＝－1，∴f (x )＝13x 3－x 2＋1，∴f (－1)＝－13－1＋1＝－13.]3．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在坐标原点处的切线方程为________．y＝－3x[∵f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x，∴f ′(x)＝3x2＋2ax＋a－3.又f ′(－x)＝f ′(x)，即3x2－2ax＋a－3＝3x2＋2ax＋a－3对任意x∈R都成立，∴a＝0，∴f ′(x)＝3x2－3，f ′(0)＝－3，∴曲线y＝f(x)在坐标原点处的切线方程为y＝－3x.]第11页共11页。
基本初等函数的导数公式及四则运算
解：设曲线点在 p x0 y0 处的切线与2x-y+3=0 平行则切点p到直线2x-y+3=0的距离即为 所求
2 ∵ y 2x 1
'
∴
2 2 x0 1
2
∴ x0 1
∴切点为（1，0）
∴ d min
5 5 5
小结:基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
解：设切点p x0 y0 ∴ 切线的斜率为1
y' ( x ln x) ( x) ln x x(ln x) ln x 1
' ' '
∴ 1 ln x0 1 ∴ ln x0 0 ∴ x0 1 y0 0 ∴ 切线方程为y=x-1
即x-y-1=0
5、 求曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+3=0
所以a•(-1/2)2=1,
即:a=4
练习： 1 若直线y x b为函数y 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.
高中数学专题练习《导数的四则运算法则》含详细解析
5.2.2导数的四则运算法则基础过关练题组一导数的四则运算法则1.函数f(x)=x 2x+3的导数f'(x)=()A.x 2+6xx+3B.-2x(x+3)2C.x2+6x(x+3)2D.3x2+6x(x+3)22.函数y=x2cos x的导数为()A.y'=2xcos x-x2sin xB.y'=2xcos x+x2sin xC.y'=x2cos x-2xsin xD.y'=xcos x-x2sin x3.已知f(x)=x2+e x,则f'(0)=()A.0B.-4 C.-2 D.14.对于函数f(x)=e xx2+ln x-2kx,若f'(1)=1,则实数k等于()A.e2B.e3C.-e2D.-e35.(2020浙江宁波余姚中学高二下月考)设f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数,若f(x),g(x)满足f'(x)=g'(x),则f(x)与g(x)满足() A.f(x)=g(x) B.f(x)=g(x)=0C.y=f(x)-g(x)为常数函数D.y=f(x)+g(x)为常数函数6.若函数f(x)=x 2e x,则f'(x)=.7.已知函数f(x),g(x)满足f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,若h(x)=f(x)+2g(x),则h'(5)=.8.求下列函数的导数.(1)y=x-2+x2;(2)y=3x e x-2x+e;(3)y=lnxx2+1;(4)y=x2-4sin x2cos x2.题组二求导法则的综合应用9.已知函数f(x)=f'(1)+xln x,则f(e)=()A.1+eB.eC.2+eD.310.已知定义在R上的函数f(x)=e x+x2-x+sin x,则曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为()A.y=3x-2B.y=x+1C.y=2x-1D.y=-2x+311.(2020浙江嘉兴高三上期末)设曲线y=x+1x-2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b≠0)垂直,则ab=()A.13B.-13C.3D.-312.(2020河北保定高二上期末)设曲线f(x)=ae x-ln x(a≠0)在x=1处的切线为l,则l在y轴上的截距为()A.1B.2C.aeD.ae-113.若质子的运动方程为s=tsin t,其中s的单位为m,t的单位为s,则质子在t=2s时的瞬时速度为m/s.14.曲线y=x3+3x2+6x-10的所有切线中,斜率最小的切线方程为.15.(2020江西南昌三中高二下期中)已知函数f(x)=x-2ln x,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程.能力提升练题组导数的四则运算法则及其应用1.()设函数f(x)=sinθ3x3+√3cosθ2x2+tanθ,其中θ∈[0,5π12],则导数f'(1)的取值范围是()A.[-2,2]B.[√2,√3]C.[√3,2]D.[√2,2]2.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)下面四个图象中,有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图象,则f(-1)=()A.13B.-23C.73D.-13或533.(2019河北衡水中学高三二调,)已知f'(x)是函数f(x)的导函数,且对任意的实数x都有f'(x)=e x(2x-2)+f(x)(e是自然对数的底数),f(0)=1,则(易错)A.f(x)=e x(x+1)B.f(x)=e x(x-1)C.f(x)=e x(x+1)2D.f(x)=e x(x-1)24.()设函数f(x)=xsin x+cos x的图象在点(t,f(t))处切线的斜率为g(t),则函数y=g(t)图象的一部分可以是()5.(多选)()给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))',若f″(x)<0在D上恒成立,则称f(x)在D上为凸函数.以下四个函数在(0,π)上不是凸函数的是()2A.f(x)=sin x-cos xB.f(x)=ln x-2xC.f(x)=-x3+2x-1D.f(x)=xe x6.()对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),现给出定义:设f'(x)是函数f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数g(x)=2x3-3x2+1,则g(1100)+g(2100)+…+g(99100)=.7.(2020湖南长沙长郡中学高二上期末,)已知函数f(x)=13x3-2x2+3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求曲线C上任意一点的切线的斜率的取值范围;(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.8.()已知直线x+2y-4=0与抛物线y2=4x相交于A,B两点,O是坐标原点,试在抛物线的AOB⏜上求一点P,使△ABP的面积最大.9.()已知函数f(x)(x∈(0,+∞))的导函数为f'(x),且满足xf'(x)-2f(x)=x3e x,f(1)=e-1,求f(x)在点(2,f(2))处的切线方程.答案全解全析基础过关练1.C f'(x)=(x 2)'(x+3)−x2(x+3)′(x+3)2=2x(x+3)−x 2(x+3)2=2x2+6x-x2(x+3)2=x2+6x(x+3)2.故选C.2.A对函数y=x2cos x求导,得y'=2xcos x+x2·(-sin x)=2xcos x-x2sin x.故选A.3.D由题意,得f'(x)=2x+e x,则f'(0)=1,故选D.4.A因为f'(x)=e x(x-2)x3+1x+2kx2,所以f'(1)=-e+1+2k=1,解得k=e2,故选A.5.C取f(x)=x,g(x)=x+1,满足f'(x)=g'(x),可以验证A、B、D错误;由f'(x)=g'(x),得f'(x)-g'(x)=0,即[f(x)-g(x)]'=0,所以f(x)-g(x)=c(c为常数),C 正确.故选C.6.答案2x-x 2e x解析f'(x)=2xe x-x2e x(e x)2=2x-x2e x.7.答案516解析由题意得,h'(x)=f'(x)g(x)-[f(x)+2]g'(x)[g(x)]2,由f(5)=5,f'(5)=3,g(5)=4,g'(5)=1,得h'(5)=f'(5)g(5)-[f(5)+2]g'(5)[g(5)]2=3×4−(5+2)×142=516.8.解析(1)y'=2x-2x-3. (2)y'=(ln3+1)·(3e)x-2x ln2.(3)y'=x 2+1−2x 2lnx x(x 2+1)2.(4)∵y=x 2-4sin x2cos x 2=x 2-2sin x,∴y'=2x-2cos x.9.A ∵f'(x)=ln x+1,∴f'(1)=ln 1+1=1,则f(x)=1+xln x,∴f(e)=1+eln e=1+e.10.B ∵f'(x)=e x +2x-1+cos x,∴切线的斜率k=f'(0)=1,又f(0)=1,∴切线方程为y=x+1. 11.B 依题意得y'=x -2-(x+1)(x -2)2=-3(x -2)2,则y'x=1=-3,由于曲线y=x+1x -2在点(1,-2)处的切线与直线ax+by+c=0(b ≠0)垂直,所以(-3)·(-ab)=-1,解得a b=-13.故选B.12.A 因为函数f(x)=ae x -ln x(a ≠0), 所以f'(x)=ae x -1x ,将x=1代入,得k=ae-1,又f(1)=ae,所以曲线f(x)在x=1处的切线l 的方程为y-ae=(ae-1)(x-1), 整理得y=(ae-1)x+1,令x=0,得y=1. 所以l 在y 轴上的截距为1.故选A. 13.答案 sin 2+2cos 2解析 ∵s'=(tsin t)'=sin t+tcos t, ∴所求瞬时速度为(sin 2+2cos 2)m/s. 14.答案 3x-y-11=0解析 ∵y'=3x 2+6x+6=3(x 2+2x+2) =3(x+1)2+3≥3,∴当x=-1时,y'最小,即此时切线的斜率最小,此时切点为(-1,-14), ∴切线方程为y+14=3(x+1), 即3x-y-11=0.15.解析 ∵函数f(x)=x-2ln x 的导函数为f'(x)=1-2x ,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线斜率为f'(1)=1-2=-1,又f(1)=1,∴曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.能力提升练1.D f'(x)=sin θ·x 2+√3cos θ·x, ∴f'(1)=sin θ+√3cos θ=2sin (θ+π3),∵θ∈[0,5π12],∴θ+π3∈[π3,3π4],∴sin (θ+π3)∈[√22,1],∴f'(1)=2sin (θ+π3)∈[√2,2].故选D.2.D 因为f'(x)=x 2+2ax+a 2-1,所以y=f'(x)的图象开口向上,排除②④.若y=f'(x)的图象为①,则a=0,f(-1)=53;若y=f'(x)的图象为③,则a 2-1=0,得a=±1.又对称轴x=-a>0,所以a=-1,所以f(-1)=-13.3.D 由f'(x)=e x (2x-2)+f(x), 得f'(x)-f(x)e x =2x-2,即[f(x)e x]'=2x-2,所以f(x)e x=x 2-2x+c(c 为常数),所以f(x)=(x 2-2x+c)e x , 又因为f(0)=1,所以c=1,所以函数f(x)的解析式是f(x)=e x (x-1)2.故选D.易错警示 已知原函数可求出唯一的导函数,已知导数求原函数,则结论不唯一,如本题中由y'=2x-2可以得到y=x 2-2x+c(c 为常数),解题时容易将c 遗漏导致解题错误. 4.A 由f(x)=xsin x+cos x,可得f'(x)=sin x+xcos x-sin x=xcos x. 则g(t)=f'(t)=tcos t,易知函数g(t)是奇函数,排除选项B,D; 当t ∈(0,π2)时,g(t)>0,排除选项C.故选A.5.AD 对于A,f'(x)=cos x+sin x, f″(x)=-sin x+cos x,当x ∈(0,π4)时,f″(x)>0,故f(x)=sin x-cos x 不是凸函数;对于B,f'(x)=1x-2,f″(x)=-1x2<0,故f(x)=ln x-2x 是凸函数; 对于C,f'(x)=-3x 2+2,f″(x)=-6x,当x ∈(0,π2)时,f″(x)<0,故f(x)=-x 3+2x-1是凸函数;对于D,f'(x)=(x+1)e x ,f″(x)=(x+2)e x ,当x ∈(0,π2)时,f″(x)>0,故f(x)=xe x 不是凸函数.故选AD.6.答案992解析 依题意得,g'(x)=6x 2-6x,g″(x)=12x -6,令g″(x)=0,解得x=12, ∵g (12)=12,∴函数g(x)的对称中心为(12,12),则g(1-x)+g(x)=1,∵1100+99100=2100+98100=…=49100+51100=1,∴g (1100)+g (99100)=g (2100)+g (98100)=…=g (49100)+g (51100)=1,∴g (1100)+g (2100)+…+g (99100) =[g (1100)+g (99100)]+[g (2100)+g (98100)] +…+[g (49100)+g (51100)]+g (12) =49+12=992.7.解析 (1)由题意得f'(x)=x 2-4x+3,则f'(x)=(x-2)2-1≥-1,即曲线C 上任意一点的切线的斜率的取值范围是[-1,+∞).(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k,则由条件和(1)中结论可知, {k ≥−1,-1k ≥−1,解得-1≤k<0或k ≥1,故由-1≤x 2-4x+3<0或x 2-4x+3≥1,得x ∈(-∞,2-√2]∪(1,3)∪[2+√2,+∞).8.解析 因为|AB|为定值,所以要使△PAB 的面积最大,只要点P 到AB 的距离最大即可,即点P 是抛物线的切线中平行于AB 的切线的切点,设P(x,y).由题图知,点P 在x 轴下方的图象上,所以y=-2√x ,所以y'=-√x . 因为k AB =-12,所以-√x =-12,解得x=4.由y=-2√x ,得y=-4, 所以点P 的坐标为(4,-4).9.解析 ∵xf'(x)-2f(x)=x 3e x ,x ∈(0,+∞),∴xf'(x)-2f(x)x 3=e x . 令g(x)=f(x)x 2,则g'(x)=xf'(x)-2f(x)x 3=e x , ∴g(x)=f(x)x 2=e x +c(c 为常数),∴f(x)=x 2(e x +c).又f(1)=e+c=e-1,∴c=-1.∴f(x)=x 2(e x -1),∴f'(x)=2x(e x -1)+x 2e x =(x 2+2x)e x -2x,∴f'(2)=8e 2-4.又f(2)=4(e 2-1),∴所求切线方程为y-4(e 2-1)=(8e 2-4)·(x-2),即y=(8e 2-4)x-12e 2+4.。
导数的四则运算法则(学生版无答案)
第1页共8页导数的四则运算法则基本初等函数的导数公式表导数的运算法则(1)前提：函数f (x )，g (x )是可导的． (2)法则：①和(或差)的求导法则：(f (x )±g (x ))′＝f′(x )±g ′(x )，推广：(f 1±f 2±…±f n )′＝f 1′±f2′±…±f n ′.②积的求导法则：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． 特别地：[Cf (x )]′＝Cf′(x )．③商的求导法则：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)，特别地：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1g (x )′＝－g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．思考：商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′求导法则中，分子是个差式，这个差中先对f (x )还是g (x )进行求导？[提示]先对f(x)求导，即f′(x)g(x)，再对g(x)求导，即f(x)g′(x)．1．下列结论不正确的是()A．若y＝3，则y′＝0 B．若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3C．若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1 D．若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x2．设y＝－2e x sin x，则y′等于()A．－2e x cos x B．－2e x sin xC．2e x sin x D．－2e x(sin x＋cos x)3．已知函数f(x)＝ln xx，则f′(1)＝________.用导数的求导法则求导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝2x2＋1x－3x3；(2)y＝x＋3x2＋3；(3)y＝e x cos x＋sin x；(4)y＝x3＋lg x.应用基本初等函数的导数公式和求导的四则运算法则可迅速解决一些简单函数的求导问题，要透彻理解函数求导法则的结构特点，准确熟记公式，还要注意挖掘知识的内在联系及其规律.对比较复杂的求导问题，可先进行恒等变形，再利用公式求导.第2页共8页提醒：当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简，再求导.求下列函数的导数：(1)y＝1x2＋sinx2cosx2；(2)y＝x⎝⎛⎭⎪⎫x2－32x－6＋2；(3)y＝cos x ln x；(4)y＝x e x.导数运算法则的应用[探究问题]1．导数的和、差运算法则求导能拓展到多个函数吗？[提示][f 1(x)±f 2(x)±…±f n(x)]′＝f 1′(x)±f 2′(x)±…±f′n(x)．2．导数的积、商运算法则有哪些相似的地方？区别是什么？[提示]对于积与商的导数运算法则，应避免出现“积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商”这类想当然的错误，应特别注意积与商中符号的异同，积的导数法则中是“＋”，商的导数法则中分子上是“－”．第3页共8页【例2】已知函数f(x)＝ln x－ax＋1－ax－1(a∈R)．当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．1．(变换条件)本典例函数不变，条件变为“曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为x第4页共8页第5页共8页(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素.其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系.(2)准确求出已知函数式的导数、切线方程是解决此类问题的关键.【巩固练习】 1．思考辨析(1)若f (a )＝a 3＋2ax －x 2，则f′(a )＝3a 2＋2x . ( ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤C g (x )′＝－Cg ′(x )g 2(x ). ( ) (3)任何函数都可以应用导数的运算法则求导数． ( )2．对于函数f (x )＝e x x 2＋ln x －2kx ，若f′(1)＝1，则k 等于( )A ．e 2B ．e3 C ．－e 2 D ．－e 33．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0处的切线的斜率为( ) A ．－12 B ．12 C ．－22 D ．224．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f′(－1)＝0，则a ＝________.5．设函数f (x )＝13x 3－a2x 2＋bx ＋c ，其中a ＞0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．第6页共8页【作业】：1．已知函数f (x )＝sin x ＋ln x ，则f ′(1)的值为( )A ．1－cos 1B ．1＋cos 1C ．cos 1－1D ．－1－cos 1 2．函数f (x )＝e x ＋x sin x －7x 在x ＝0处的导数等于( )A ．－6B ．6C ．－4D ．－53．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．12C ．－12 D ．－24．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(－1，－1)或(1,1)C ．(2,8) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－185．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π6．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝________.7．若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________． 8．若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________． 9．求下列函数的导数：(1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3； (2)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1； (3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4.第7页共8页10．已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 过点(1,5)，其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．11．设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]12．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A ．13B ．－13C ．73D ．－13或5313．设a ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －3)x 的导函数是f ′(x )，若f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在坐标原点处的切线方程为________．第8页共8页。
导数四则运算法则练习题一
导数练习题一11．设y＝f ( x) 是二次函数，方程 f ( x)＝0有两个相等实根，且 f ′(x)＝2x＋2，求 f ( x)的表达式．一、根基过关1．以下结论不正确的选项是()A．假定y＝ 3，那么y′＝ 0 B ．假定f ( x) ＝ 3x＋ 1，那么f′(1)＝ 3C．假定y＝－x＋x，那么y′＝－1＋ 1 2xD．假定y＝sin x＋cos x，那么 y′＝cos x＋sin x bxx的导数是12．设函数f ( x) ＝ax－x，曲线y＝f ( x) 在点 (2 ，f (2))处的切线方程为7x－ 4y－ 12＝ 0.2．函数y＝1－cos()(1) 求f ( x) 的分析式；x－ x sin x, 1－cos x)x－ x sin x, 1－cos x2)x＋sin x,1－cos x2)x＋ x sin x,1－ cos x2)3．假定函数f ( x) ＝ax4＋bx2＋c知足f′(1) ＝ 2，那么f′( － 1)等于()A．－ 1x＋1B．－ 2C． 2D． 04．设曲线y处的切线与直线＋＋ 1＝ 0 垂直，那么a等于()＝在点 (3,2)x－1ax y1A． 2C．－2D．－ 25．a 为实数，f(x) ＝(x2－ 4)(x－ )，且f′( － 1) ＝0，那么a＝________.a6．假定某物体做s＝ (1 －t ) 2的直线运动，那么其在t ＝s时的刹时速度为________．7．求以下函数的导数：(1)y＝(2 x2＋3)(3 x－1)；(2)y＝( x－2)2；x x(3)y＝x－sin2cos2.8．设函数 f ( x)＝ g( x)＋x2，曲线y＝ g( x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，那么曲线y＝ f ( x)在点 (1 ，f (1))处切线的斜率为()11 A． 4B．－ 4C． 2D．－ 210．假定函数 f ( x)＝1x3－ f ′(－1)· x2＋ x＋5，那么 f ′(1)＝________.3练习题一 答案1．D 2．B 3．B4． D6． m/s 7．解(1) 方法一y ′＝ (2 x 2＋3) ′(3 x － 1) ＋(2 x 2＋ 3)(3 x －1) ′＝ 4x (3 x － 1) ＋3(2 x 2＋ 3)＝ 18x 2－ 4x ＋ 9.方法二∵ y ＝(2 x 2＋ 3)(3 x － 1)＝ 6x 3－ 2x 2＋ 9x －3，∴ y ′＝ (6 x 3－ 2x 2＋ 9x －3) ′＝ 18x 2－ 4x ＋ 9.(2) ∵ y ＝ ( x － 2) 2＝ x －4 x ＋4，111∴ y ′＝ x ′－ (4 x ) ′＋ 4′＝ 1－4· 2x －2＝ 1－ 2x － 2.x x1(3) ∵ y ＝ x － sin 2cos 2 ＝ x －2sin x ，1 1∴ y ′＝ x ′－ ( 2sin x ) ′＝ 1－2cos x .8．A 10 ．611．解设 f ( x ) ＝ ax 2＋ bx ＋c ( a ≠0) ，那么 f ′(x ) ＝ 2ax ＋ b .又 f ′(x ) ＝ 2x ＋ 2，∴ a ＝ 1，b ＝ 2. ∴ f ( x ) ＝ x 2＋ 2x ＋ c .又方程 f ( x ) ＝ 0 有两个相等实根，∴鉴别式＝ 4－ 4c ＝ 0，即 c ＝1. 故 f ( x ) ＝ x 2＋ 2x ＋ 1.12． (1) 解由 7x － 4y － 12＝ 0得 y ＝47x － 3. 当 x ＝21 1时， y ＝ ，∴ f (2)＝ ，①22b7又 f ′(x ) ＝ a ＋ x 2，∴ f ′(2) ＝ 4，②b 12a － 2＝2，a ＝ 1由①②得解之得.b 7b ＝ 3a ＋ ＝ .4 4故 f ( x ) ＝ x －3x .练习题二 答案1． A 2．D 3 ．A 4． B ∪[2,3) 7．解由 y ＝ f ′(x ) 的图象能够获得以下信息：x <－2 或 x >2 时， f ′(x )<0 ，－ 2<x <2 时， f ′(x )>0 ，f ′( － 2) ＝ 0，f ′(2) ＝ 0.故原函数 y ＝ f ( x ) 的图象大概以下：8． A 9．C 10 ．a ≤0111．解 (1) 函数的定义域为 (0 ，＋∞ ) ， y ′＝ 1－ x ，由 y ′>0，得 x >1；由 y ′<0，得 0<x <1.∴函数 y ＝ x －ln x 的单一增区间为 (1 ，＋∞ ) ，单一减区间为 (0,1) ．(2) 函数的定义域为 {| x ≠0} ， y ′＝－ 12，∵当 x ≠0时， ′＝－ 1 2<0 恒建立．x 2x y 2x1∴函数 y ＝ 2x 的单一减区间为 ( －∞， 0) ， (0 ，＋∞ ) ，没有单一增区间．12．解 (1) 由 y ＝ f ( x ) 的图象经过点 P (0,2) ，知 d ＝ 2，∴ f ( x ) ＝ x 3＋ bx 2＋cx ＋ 2，f ′(x ) ＝ 3x 2＋ 2bx＋ c .由在点 M ( － 1， f ( － 1)) 处的切线方程为 6x － y ＋7＝ 0，知－ 6－ f ( －1) ＋ 7＝ 0，即 f ( － 1) ＝ 1，3－ 2b ＋ c ＝ 6 2b － c ＝－ 3f ′( － 1) ＝6. ∴ － 1＋ － ＋2＝1 ，即 － ＝ 0解得 b ＝c ＝－ 3.b cb c 故所求的分析式是 f ( x ) ＝ x 3－ 3x 2－ 3x ＋ 2.(2) f ′(x ) ＝ 3x 2－ 6x － 3. 令 f ′(x )>0 ，得 x <1－ 2或 x >1＋ 2；令 f ′(x )<0 ，得 1－ 2<x <1＋ 2. 故 f ( x ) ＝x 3－ 3x 2－ 3x ＋ 2 在 ( －∞， 1－ 2) 和 (1 ＋ 2，＋∞ ) 内是增函数，在(1 － 2，1＋ 2)内是减函数．13．解 (1) 由条件得 2＝ 0，∴3m ＋ n ＝ 0，故 n ＝－ 3m .f ′(x ) ＝ 3mx ＋ 2nx ，又 f ′(2)322(2) ∵n＝－ 3m，∴f ( x) ＝mx－ 3mx，∴f′(x) ＝ 3mx－ 6mx.2令 f ′(x)>0，即3mx－6mx>0，当 m>0时，解得 x<0或 x>2，那么函数 f ( x)的单一增区间是( －∞， 0) 和(2，＋∞ ) ；当 m<0时，解得0<x<2，那么函数 f ( x)的单一增区间是(0,2)．综上，当 m>0时，函数 f ( x)的单一增区间是( －∞， 0) 和 (2 ，＋∞ ) ；当 m<0时，函数 f ( x)的单一增区间是(0,2) ．。
2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.4导数的四则运算法则（讲义+典型例题+小练）一．和与差的导数法则1：[()()]''()'()f x g x f x g x ±=±；(口诀：和与差的导数等于导数的和与差). 例1：1．若函数()12ln f x x x=-，()03f x '=，则0x =（ ）A ．1B ．2C ．13-或1D ．4【答案】A 【解析】 【分析】先求导，令导函数值为3，解方程即可. 【详解】函数定义域为()0+∞，，()221f x x x'=+，则()0200213f x x x '=+=，解得01x =或13-（舍去）.故选：A.2．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（ ） A ．33y x =+ B ．31yx C ．31y x =-- D ．33y x =--【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，进而利用导数的几何意义得到切线的斜率，再求出a 的值，利用点斜式求出切线方程. 【详解】()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+ 故选：A3．已知函数()()3sin 4,f x a x bx a R b R =++∈∈，()f x '为()f x 的导函数，则()()()()2014201420152015f f f f ''+-+--的值为__________.【解析】 【分析】求出()f x '，分析函数()f x '的奇偶性，计算出()()20142014f f +-的值，即可得解. 【详解】因为()3sin 4a x f x bx +=+，则()2cos 3f x a x bx '=+，所以，()()()()22cos 3cos 3f x a x b x a x bx f x ''-=-+-=+=，故函数()f x '为偶函数，()()()()()33sin 4sin 4f x f x a x bx a x b x ⎡⎤+-=+++-+-+⎣⎦()()33sin 4sin 48a x bx a x bx =+++--+=，所以，()()()()20142014201520158f f f f ''+-+--=. 故答案为：8.4．已知点M 是曲线3212313y x x x =-++上任意一点，求曲线在点M 处的斜率最小的切线方程．【答案】33110x y +-=． 【解析】 【分析】求导函数，结合导数的几何意义、导数的四则运算法则以及直线方程知识即可求解. 【详解】∵()224321y x x x '=-+=--， ∵当2x =时，min1y '=-，此时53y =， ∵斜率最小的切线过点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5，且斜率1k =-，∵所求切线方程为33110x y +-=． 举一反三1．已知函数()sin cos 3f x x π=+，则6f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ） A 3B 3C 31+ D 31- 【答案】B【分析】求出()f x '，代值计算可得6f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin cos 3f x x π=+，则()cos f x x '=，故3cos 662f ππ⎛⎫'==⎪⎝⎭. 故选：B.2．已知函数()()22323ln f x f x x x '=-+（()f x '是()f x 的导函数），则()1f =（ ）A ．21B ．20C ．16D ．11【答案】B 【解析】 【分析】根据已知求出(3)11f '=，即得解. 【详解】解：由题得()()3()234,(3)23121,(3)11f x f x f f f x'''''=-+∴=-+∴=，所以()22223ln (1)22220f x x x x f =-+∴=-=，. 故选：B3．已知函数()314,031ln ,01x x x f x x x x⎧-<⎪⎪=⎨⎪--<<⎪⎩，若()12f a '=，则实数a 的值为___________.【答案】14或4-【解析】 【分析】根据解析式，求得导数，根据自变量范围及()12f a '=，列出方程，即可得答案. 【详解】由题意得：()224,011,01x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-<<'⎪⎩. 因为()12f a '=，所以2011112a a a <<⎧⎪⎨-=⎪⎩或20412a a <⎧⎨-=⎩，解得14a =或4-.故答案为：14或4-4.求下列函数的导数．（1）33cos 243ln xy x x x =+-+ （2）n 1l y x x=+； 【详解】（1）233sin 6(2ln 2)4xy x x x'=-+-⋅+； （2）211y x x '=-；二．乘法的导数法则2：[()()]''()()()'()f x g x f x g x f x g x ⋅=⋅+⋅(口诀：前导后不导相乘，后导前不导相乘，中间是正号)例2：1．已知()f x '是函数()sin f x x x =的导函数，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（ ）A ．0B ．1C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】求出()f x '，代值计算可得2f π⎛⎫' ⎪⎝⎭的值.【详解】因为()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+，因此，12f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭.故选：B.2．函数()ln f x x x =的导函数是___________. 【答案】()ln 1f x x '=+ 【解析】 【分析】根据乘积的导数公式直接求导可得. 【详解】()ln (ln )ln 1f x x x x x x '''=+=+故答案为：()ln 1f x x '=+ 3．求下列函数的导数： (1)()3sin 6100S t t t =-+；(2)()532xf x x =+-； (3)()4cos g x x x =．【答案】(1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-【解析】 【分析】（1）利用导数的四则运算规则可求导数. （2）利用导数的四则运算规则可求导数. （3）利用导数的四则运算规则可求导数. (1)()3cos 6S t t '=-(2)()l 2n 23xf x '=- (3)()344cos sin g x x x x x '=-举一反三1．下列图象中，有一个是函数()()3221113f x x ax a x =++-+（a ∈R ，且0a ≠）的导函数的图象，则()1f -=（ ）A ．13B ．13-C ．73D ．13-或53【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上；利用函数解析式中有2ax ，故函数不是偶函数，得到函数的图象． 【详解】()()2221f x x ax a '=++-，∴导函数()f x '的图象开口向上．又0a ≠，()f x '∴不是偶函数，其图象不关于y 轴对称，其图象必为∵， 由图象特征知()00f '=， 且对称轴0x a =->，1a ∴=-．故()1111133f -=--+=-．故选：B ．2．已知函数()(21)e x f x x =+，()'f x 为()f x 的导函数，则(0)f '的值为（ ） A ．1 B ．3- C ．1- D ．3【答案】D 【解析】 【分析】先求得()'f x ，再去求(0)f '即可解决. 【详解】()()(21)e (21)e 2e (21)e (23)e x x x x x f x x x x x '''=+++=++=+则()0(0)203e 3f '=⨯+=故选：D3．求下列函数的导数： (1)2sin y x x =；(2)3ln x y x =； (3)2e x x y =.【答案】(1)22sin cos x x x x + (2)ln 313ln x x x +⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭(3)()2e ln 2e x⋅ 【解析】 【分析】根据导数乘法的运算法则结合初等函数的导数公式即可得到答案. (1)解：22sin cos y x x x x '=+.(2)解：313ln 3ln 3ln 3ln x xx y x x x x ⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪⎝=+=+⎭'.(3)解：()2ln 2e 2e 2e ln 2e xx x x x y =⋅⋅+⋅=⋅'.三．除法的导数 法则3：2()'()()()'()[]'(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x ⋅-⋅=≠ (口诀：分母平方要记牢，上导下不导相乘，下导上不导相乘，中间是负号) 例3：1．已知函数ln ()xf x x=，则()f x '=（ ） A ．21ln xx - B ．21ln xx + C ．ln 1x x+D ．ln 1x x-【解析】 【分析】根据导数的运算法则，即可求出结果. 【详解】因为ln ()x f x x=，所以2211ln 1ln ()=x xx x f x x x ⋅-⋅-'=，即21ln ()=x f x x -'. 故选:A. 2．曲线211x y x -=+在11,2⎛⎫⎪⎝⎭处的切线斜率为（ ） A ．14B ．34C ．1D ．54【答案】B 【解析】 【分析】利用导数的几何意义来解决，先求导，把切点的横坐标代入导函数，求出函数值即为函数211x y x -=+在这一点的切线的斜率 【详解】()()()()()223212111x x f x x x +--'==++，则()314f '=，故211x y x -=+在11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线斜率为34 故选：B 3．求1cos xy x=-的导数．【答案】()21cos sin 1cos x x xy x --'=-【解析】 【分析】利用函数商的导数公式可求给定函数的导数. 【详解】 ()()221cos sin 1cos sin 1cos 1cos x x xx x xy x x --⨯--'==--1．已知()sin xf x x=，那么函数在x ＝π处的瞬时变化率为（ ） A ．1π-B ．0C ．21π-D ．1π【答案】A 【解析】 【分析】利用导数运算法则求出()2cos sin x x xf x x -'=，根据导数的定义即可得到结论．【详解】 由题设，()2cos sin x x xf x x -'=，所以()2cos sin 1f ππππππ-'==-，函数在x ＝π处的瞬时变化率为1π-，故选：A ．2．已知()xe f x x=，若()()000f x f x '+=，则0x 的值为________．【答案】12 【解析】 【分析】求出()f x '，然后解方程()()000f x f x '+=可求得0x 的值. 【详解】()xe f x x =，则()()21x e x f x x -'=，其中0x ≠， 由()()()0000210x x x e e f x f x x x -'+=+=，可得00110x x -+=，解得012x =. 故答案为：12.2．设()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，若()()2()f x h xg x +=，则()5h '＝________. 【答案】516【解析】根据导数的四则运算对函数()()2()f x h xg x +=进行求导，再代入5x =，即可求出()5h '的值. 【详解】解：由题意知()55f =，()53f '=，()54g =，()51g '=，()()2()f x h xg x +=， ()()()()()()22f x g x f x g x h x g x ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()()()()()25552555f g f g h g ''⋅-+⋅⎡⎤⎣⎦'∴=⎡⎤⎣⎦，()()23452155416h ⨯-+⨯'∴==. 故答案为：516.4．求下列函数的导数： (1)()1sin g x x=；(2)()tan xf x x=； (3)()2ln u W u u =．【答案】(1)()2cos sin x xxg '=-(2)()22tan tan tan x x x xf x x --'= (3)()22ln ln u u uW u u -'=【解析】 【分析】（1）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （2）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. （3）根据函数的商的导数公式可求对应的导数. (1)()22sin 0cos co s n s i g x x xx x'=--=.(2)()2222222sin sin cos tan tan tan tan cos cos tan tan tan x x x x x x x x x x x x x f x x x x'⎛⎫+--⨯ ⎪--⎝⎭'===. (3)()22212ln 2ln ln ln u u u u u u u W u uu-⨯-'==.巩固提升一、单选题1．下列导数运算正确的是（ ） A ．()22343x x '+=+B ．ππsin cos 66'⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．2ln 1ln x x x x '+⎛⎫=⎪⎝⎭D ．(2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'【答案】D 【解析】 【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算. 【详解】()2234xx '+=，A 错误；π1sin 062''⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；2ln 1ln x x x x '-⎛⎫=⎪⎝⎭，C 错误， (2sin 3cos )2cos 3sin x x x x -=+'，D 正确.故选：D2．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '=（ ） A ．1eB ．1-C ．1e-D ．e -【答案】C 【解析】 【分析】求导，代入e x =即可求解. 【详解】∵()()2e ln f x xf x +'=，∵()()12e f x f x ''=+，∵()()1e 2e e f f ''=+，解得：()1e ef '=-. 故选：C.3．已知一质点的运动方程为ln 3s t t =+，其中s 的单位为米，t 的单位为秒，则第1秒末的瞬时速度为（ ） A ．1m /s B ．2m /sC ．4m /sD ．7m /s 2【答案】C 【解析】 【分析】求出13s t'=+即得解.【详解】解：由题意得13s t'=+，故质点在第1秒末的瞬时速度为1+3=14m /s .故选：C 4．已知21()sin()42f x x x π=++，()'f x 为f （x ）的导函数，则()'f x 的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，令()()g x f x '=，根据导函数的奇偶性可排除AD ，再根据6g π⎛⎫⎪⎝⎭的符号可排除C ，即可得解. 【详解】解：2211()sin()cos 424f x x x x x π=++=+，则()1sin 2f x x x '=-， 令()()1sin 2g x f x x x '==-， ()()1sin 2g x x x g x -=-+=-，所以函数()g x 为奇函数，故排除AD ，又106122g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故排除C.故选：B.5．曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线也为e x y a =+的切线，则=a （ ） A ．0 B ．1 C ．1- D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出切线方程，设出切线与曲线e x y a =+相切的切点坐标，再借助导数几何意义即可得解. 【详解】由ln 1y x =+求导得：1y x'=，则曲线ln 1y x =+在(1,1)处的切线斜率为1，切线方程为：y =x ，设直线y =x 与曲线e x y a =+相切的切点为(,e )t t a +，由e x y a =+求导得e x y '=，于是得e 1e t t a t ⎧=⎨+=⎩，解得01t a =⎧⎨=-⎩，所以1a =-， 故选：C6．函数()()()125y x x x x =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅-在0x =处的导数为（ ） A ．120 B ．120- C ．60 D ．60-【答案】B 【解析】 【分析】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，可得出()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦，进而可求得结果.【详解】设()()()()()()12345g x x x x x x =-----，则()()()y xg x g x xg x '''==+⎡⎤⎣⎦）， 所以()()()()()()0012345120x y g ===-⨯-⨯-⨯-⨯-=-'． 故选：B. 二、多选题 7．设函数()()1sin cos 2x x f x =-的导函数为()f x '，则（ ） A ．()()sin f x f x x '+= B ．()()cos f x f x x '+= C ．()()sin f x f x x '-= D ．()()cos f x f x x '-=【答案】AD 【解析】 【分析】求导，可得()'f x 解析式，分析选项，即可得答案. 【详解】 易得()()1cos sin 2x f x x =+'， 所以()()sin f x f x x '+=，()()cos f x f x x '-=， 故选：AD.8．[多选]若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数()y f x =具有“T 性质”.则下列函数中具有“T 性质”的是（ ） A ．e x x y = B ．cos 1y x =+ C ．31y x =D ．2ln 2log y x =【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可知存在两点使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1，然后结合选项求导逐项分析即可. 【详解】由题意，可知若函数()y f x =具有“T 性质”，则存在两点， 使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1. 对于A ，1e e x x x x'-⎛⎫= ⎪⎝⎭，满足条件；对于B ，(cos 1)sin x x '+=-，满足条件；对于C ，34130x x '⎛⎫=-< ⎪⎝⎭恒成立，负数乘以负数不可能得到-1，不满足条件； 对于D ，()211ln 2log ln 20ln 2x x x'=⋅=>恒成立，正数乘以正数不可能得到-1，不满足条件. 故选：AB. 三、填空题9．已知函数()tan f x x x =+，则3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值是______.【答案】5 【解析】 【分析】求出()f x '，代值计算可得3f π⎛⎫⎪⎝⎭'的值.【详解】因为()sin tan cos xf x x x x x =+=+，则()()()22sin cos sin cos 111cos cos x x x x f x x x''-⋅'=+=+， 因此，21153cos 3f ππ'⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：5. 10．曲线2y x=在点()2,1处的切线与直线1y ax =+垂直，则实数=a __________． 【答案】2 【解析】 【分析】 对函数2y x=求导，再利用导数的几何意义结合垂直的条件求解作答. 【详解】由函数2y x =求导得：22y x '=-，则曲线2y x =在点()2,1处的切线斜率21|2x k y ='==-， 依题意，1()12a ⋅-=-，解得2a =，所以实数2a =. 故答案为：2 四、解答题11．求下列函数的导数： (1)()32f x x =-；(2)()2265H t t t =-+-；(3)()3134g x x x=-； (4)()F u u u =；(5)()3e 2tan xu x x =+；(6)()2log tan f x x x =+；(7)()455e x G x x =+-.【答案】(1)()2f x '=- (2)()46H t t '=-+ (3)()22194g x x x '=+(4)()12F u u'=(5)()223e cos x u x x'=+ (6)()211ln 2cos f x x x'=+ (7)()345ln5xG x x '=+【解析】 【分析】（1）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （2）利用导数的运算法则可求得原函数的导数；（3）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （4）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （5）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （6）利用导数的运算法则可求得原函数的导数； （7）利用导数的运算法则可求得原函数的导数. (1)解：由已知可得()()322f x x ''=-=-. (2)解：由已知可得()()226546H t t t t ''=-+-=-+. (3)解：由已知可得()'312222111399444g x x x x x x x --⎛⎫=-=+='+ ⎪⎝⎭.(4)解：由已知可得()112211122F u u u u u -'⎛⎫'=-=-= ⎪⎝⎭(5)解：由已知可得()22222sin 2cos 2sin 23e 3e 3e cos cos cos x x xx x x u x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (6)解：由已知可得()22222sin 1cos sin 11log cos ln 2cos ln 2cos x x x f x x x x x x x '+⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭. (7)解：由已知可得()()4535e 45ln 5x x G x x x ''=+-=+.12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()2(e)ln f x xf x +'=． (1)求(e)f '及(e)f 的值；(2)求()f x 在点2e x =处的切线方程． 【答案】(1)1(e)ef '=-；(e)1f =-；(2)()222e 1e e 0x y -+-=.【解析】 【分析】（1）由题可得1()2(e)f x f x ''=+，进而可得1(e)e f '=-，然后可得2()ln exf x x =-+，即得；（2）由题可求2(e )f ，2(e )f '，再利用点斜式即得. (1)∵()2(e)ln f x xf x +'=，∵1()2(e)f x f x ''=+，1(e)2(e)e f f ''=+，∵1(e)e f '=-，2()ln exf x x =-+，∵2e(e)ln e=1ef =-+-. (2) ∵2()ln e x f x x =-+，21()e f x x'=-+， ∵2222e (e )ln e 22e ef =-+=-，2221(e )e e f '=-+，∵()f x 在点2e x =处的切线方程为()()222122e e e e y x ⎛⎫--=-+- ⎪⎝⎭，即()222e 1e e 0x y -+-=.。
导数的四则运算法则
1.2.3常见函数的求导公式及导数的四则运算（1）一、双基复习:1．基本初等函数的求导公式（1） )('c =______；（2） =')(αx _______；（3） =')(x a _______；______)(='x e ；（4） _________)(log ='x a ；________)(ln ='x ；（5） _______)(sin ='x ；（6） ________)(cos ='x ；2、导数的四则运算法则：设 )(x u u =，v v x =()，则(1)____________)(='±v u 推广:________________________(2)=')(uv _________，_________)(='Cu （C 是常数）。
(3)2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ 二.例题分析例1 、 1sin cos 53)(4-+-=x e x x f x ，求)(x f '及)0(f '。
例2、 )c o s (s i n x x e y x +=，求y '。
例3、 设112+-=x x y ，求y '。
三、针对练习：1、课本21页A 1，22、课本21页A4，B33、课本22页习题A 8, 91.2.3函数求导法则（2）---复合函数求导法则一、知识梳理1.复合函数的概念一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。
2.复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．若))((x u f y =，令)(x u u =，则)(u f y =，那么'''x u x u y y ⨯=二、例题分析例1、求下列函数的导数：（1）8(57)y x =-； （2）y=sin2x（3）0.051x y e -+=； （4）sin()y x πϕ=+（其中,πϕ均为常数）．三、针对练习：课本22页练习B 4例2、求下列函数的导数： 课本23页习题1-2 A 11针对练习：课本23页A 10, B 4。