对非齐次边界条件齐次化
合集下载
边界条件齐次化
边界条件齐次化
李昊明
【期刊名称】《江苏师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1991(000)004
【摘要】本文用延拓边界值的方法,导出一维情况下数学物理方程的三种非齐次边界条件的齐次化公式。
【总页数】3页(P30-32)
【作者】李昊明
【作者单位】徐州师范学院物理系
【正文语种】中文
【中图分类】N55
【相关文献】
1.非齐次边界条件定解问题的一种齐次化函数形式 [J], 陈杰;陈丽华
2.在非齐次边界条件下一类非齐次Schr(o)dinger-Poisson系统的多个解 [J], 丁凌
3.带有非齐次边界条件的定解问题齐次化的若干注记 [J], 徐永权;王得田
4.对非齐次边界条件齐次化 [J], 陈贻汉
5.非齐次边界条件齐次化的处理方法 [J], 王芝威
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
数理方程第二章 非齐次边界条件的处理-5
0
深圳大学电子科学与技术学院
W
W W
x 0 xl
u1 ( t ) u2 ( t )
W1
W2
( 2.59)
l
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
如，可取直线
W ( x, t ) A(t ) x B(t )
2 2
1 ( x )
t 0
将U的边界条件代入 u( x, t ) V ( x, t ) u1 (t ) u2 (t ) u1 (t ) x
L
由 u x L u2 (t )，得
u (t ) u1 (t ) u (0, t ) V ( L, t ) u1 (t ) 2 L L
x
孙子兵法中，称之为 “偷梁换柱”法。
就能使新的未知函数 V ( x , t ) ，满足齐次的边界条件。
深圳大学电子科学与技术学院
然后来解决关于新的函数V(x,t)——（齐次）的定解问题. 2 2 u u 2 u V W a f ( x, t ) 2 代入 t 2 x
( 2.59)
就能合乎要求。可是，满足（2.59）要求的函数 W(x,t) 是很多的，例如
深圳大学电子科学与技术学院
W
l , (u2 (t ))
0
l
W
W W
x 0 xL
u1 (t ) u2 (t )
0, (u1 (t ))
W1
W2
( 2.59)
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
深圳大学电子科学与技术学院
W
W W
x 0 xl
u1 ( t ) u2 ( t )
W1
W2
( 2.59)
l
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
如，可取直线
W ( x, t ) A(t ) x B(t )
2 2
1 ( x )
t 0
将U的边界条件代入 u( x, t ) V ( x, t ) u1 (t ) u2 (t ) u1 (t ) x
L
由 u x L u2 (t )，得
u (t ) u1 (t ) u (0, t ) V ( L, t ) u1 (t ) 2 L L
x
孙子兵法中，称之为 “偷梁换柱”法。
就能使新的未知函数 V ( x , t ) ，满足齐次的边界条件。
深圳大学电子科学与技术学院
然后来解决关于新的函数V(x,t)——（齐次）的定解问题. 2 2 u u 2 u V W a f ( x, t ) 2 代入 t 2 x
( 2.59)
就能合乎要求。可是，满足（2.59）要求的函数 W(x,t) 是很多的，例如
深圳大学电子科学与技术学院
W
l , (u2 (t ))
0
l
W
W W
x 0 xL
u1 (t ) u2 (t )
0, (u1 (t ))
W1
W2
( 2.59)
x
例如上图 W ( x, t ) ,W1 ( x, t ) ,W2 ( x, t )等等，都能满足（ 2.59 ）的要求。
非齐次边界条件的齐次化处置
Tn (t)
l
n
a
t 0
fn (
) sin
n
a(t l
)
d
bn
cos
n at
l
anl
n a
sin
n at
l
.
令
Fn (t)
l
n
a
t 0
fn ( ) sin
n
a(t l
)
d
4l 2
(2m )3 a2
4l 2
(2m 1)3
(1 cos 2m at ),
l
3a2
[t
sin
(2m
1)
l
at
cos
(2m
v(x,t) x [ (t) (t)] (t).
l
l
令u(x,t) v(x,t) w(x,t),
wtt
a 2 wxx
vtt
a 2vxx
x l
[(t)
(t)]
(t),
则定解问题变为：w x0 w t0
0w , xl
(x) v t 0
(x)
x l
[
(0)
(0)]
(0),
wt
t 0
§8.3 非齐次边界条件旳齐次化处理
从之前的讨论中可知，除稳定场问题需部分非齐次边界来确定 叠加系数外，其它情况总是要求边界条件为齐次。这是分离变量 法的适用条件。这也是本征函数有解且解具有正交完备性的基本 要求。所以对于一些非齐次边界,我们总是想办法将其齐次化。
如果能将非齐次边界问题u转化为齐次边界问题w和一个较简单 函数v的叠加，即u = w +v，而函数v满足u的边界条件，这样 w满 足的边界即为齐次边界。其中函数v的选取具有一定的随机性， 有时要作多次尝试，而且其形式不唯一。
分离变量法非齐次边界条件的处理
物理学院 邓胜华
第 7 章 分离变量法
令 w(x,t) = A(t)x + B(t)
则 w(x, t) = h(t) − g(t) x + g(t) (7) l
(3) 求解 v (x, t)的定解问题
{ (1) − (3) →
v tt − a 2v xx = −(wtt − a 2wxx ) (8)
10/26/2015
DENG S.H
4/13
13:07:16
物理学院 邓胜华
第 7 章 分离变量法
四、例题 研究一端固定，一端按 sinωt 周期运动的弦运动。
utt − a2u= xx 0 , 0 < = u(0, t ) 0= , u(l, t )
x<l
sin ω t
(1) (2)
u( x, 0=) 0 , ut ( x, 0=) 0 , 0 < x < l (3)
13:07:14
物理学院 邓胜华
第 7 章 分离变量法
§7.3 非齐次边界条件的处理
Inhomogeneous boundary Conditions
已知对于齐次边界条件情形，可用本征函数法等求解。
utt = u
x=0
a2 =
uxx g(t
+ ),
f (x,t) , 0 < u = h(t)
x=l
v |x=0 = 0, v |x=l = 0
(9)
v v
|t = t |t
0 =
= ϕ( 0=ψ
x) (x
− w( x,0) ) − wt ( x,0)
(10)
§7.1,§7.2
(4) 定解问题（1）-（3）的解
非齐次边界条件的处理1.ppt
l
sin
n
l
x
n1
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
sin
n at
l
sin
n
l
x
2
Ala
n1
(1)n1
sin
n at sin
l
2l 2 n2
n
l 2a2
x
u( x, t )
v(x,t) w(x,t)
Asin x
a
sin l
sin t
2Ala (1)n1
n1
sin n at sin n x
可选取一个函数v(x,t) A(t)x B(t)使之满足边界条件(2)
v x0
v xl
(t ) (t)
A(t) A(t)
0 B(t) l B(t)
(t)
(t)
B(t) (t) A(t) (t) (t
l
)
v(x,t) (t) x [ (t) (t)] (4)
n1
An
sin
n x
l
0
An
0
wt
(x, 0)
n1
Bn
n a
l
sin
n
l
x
A sin(x / a) sin(l / a)
Bn
l
n a
2 l
l 0
A sin(x / a) sin(l / a)
sin
n
l
x
dx
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
w( x, t )
n1
Bn
sin
n at
l
令u(x,t) v(x,t) w(x,t)
sin
n
l
x
n1
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
sin
n at
l
sin
n
l
x
2
Ala
n1
(1)n1
sin
n at sin
l
2l 2 n2
n
l 2a2
x
u( x, t )
v(x,t) w(x,t)
Asin x
a
sin l
sin t
2Ala (1)n1
n1
sin n at sin n x
可选取一个函数v(x,t) A(t)x B(t)使之满足边界条件(2)
v x0
v xl
(t ) (t)
A(t) A(t)
0 B(t) l B(t)
(t)
(t)
B(t) (t) A(t) (t) (t
l
)
v(x,t) (t) x [ (t) (t)] (4)
n1
An
sin
n x
l
0
An
0
wt
(x, 0)
n1
Bn
n a
l
sin
n
l
x
A sin(x / a) sin(l / a)
Bn
l
n a
2 l
l 0
A sin(x / a) sin(l / a)
sin
n
l
x
dx
(1)n1
2 Ala 2l 2 n2
2a2
w( x, t )
n1
Bn
sin
n at
l
令u(x,t) v(x,t) w(x,t)
2-5 非齐次边界条件的处理
则新未知函数 u( x , t ) = V ( x , t ) + W ( x , t ) ,便满足齐次 边界条件 V |x = 0 = V |x = l = 0
令 W ( x , t ) = A( t ) x + B( t ) 于是由 W | x = 0 = u1 ( t ), W | x = l = u2 ( t ) 有:
前面所讨论的问题,都是基于边界条件是齐次的.但 我们所遇到的实际问题往往是非齐次的边界条件,则要 设法将边界条件化成齐次的.现以下列定解问题为例,说 明选取代换的方法:
⎧ utt = a 2 uxx + f ( x , t ) 0 < x < l, t > 0 ⎪ t>0 ⎨ u | x = 0 = u1 , u | x = l = u2 ⎪ u | = ϕ ( x ), u | = ψ ( x ) 0≤ x≤ l t t =0 ⎩ t =0
因而只要作代换:
⎡ u2 − u1 ⎤ u =V + ⎢ x + u1 ⎥ ⎣ l ⎦ 就能使新的未知函数V满足齐次边界条件.
经过这个代换后,得到关于V的定解问题为:
⎧Vtt = a 2Vxx + f1 ( x , t ) 0 < x < l, t > 0 ⎪ t>0 ⎨V | x = 0 = V | x = l = 0 ⎪V | = ϕ ( x ),V | = ψ ( x ) 0 ≤ x ≤ l t t =0 1 ⎩ t =0 1
⎧ B( t ) = u1 ( t ) ⎨ ⎩ A( t )l + B( t ) = u2 ( t ) ⎧ B( t ) = u1 ( t ) ⎪ ⎨ u2 ( t ) − u1 ( t ) ⎪ A( t ) = l ⎩ u2 ( t ) − u1 ( t ) W ( x, t ) = x + u1 ( t ) l
非齐次边界条件
非齐次边界条件
非齐次边界条件是指边界条件中包含有非零项的情况。
在数学和物理学中，经常会遇到需要求解非齐次边界条件下的问题。
解决非齐次边界条件的方法通常可以分为两步：首先求解对应的齐次边界条件下的问题，然后再加上非齐次项的修正项。
在求解偏微分方程的边界值问题时，常常需要给定边界上的某些量的具体值或者导数的具体值。
如果这些量的值恒为零，则称为齐次边界条件。
否则，如果这些量有非零值，则称为非齐次边界条件。
一般情况下，非齐次边界条件会增加问题的复杂性，因为不再满足齐次边界条件的性质。
解决非齐次边界条件的一种常见方法是将问题转化为齐次边界条件下的问题，然后通过求解该齐次问题的解来得到非齐次问题的解。
具体而言，对于一个偏微分方程的边界值问题，我们可以首先求解相应的齐次边界条件下的问题，得到一个齐次解。
然后，我们再考虑非齐次项，根据非齐次项的性质，找到一个特解。
最后，将齐次解和特解相加，就可以得到非齐次边界条件下的解。
需要注意的是，对于不同的非齐次项，求解的方法和步骤可能会有所差异。
在实际问题中，通常需要根据具体的方程和边界条件来选择适合的方法来解决非齐次边界条件。
非齐次边界条件齐次化的处理方法
非齐次边界条件齐次化的处理方法是一种处理非齐次边界条件的有效方法。
这种方法通过将非齐次边界条件转换为齐次边界条件来解决问题。
非齐次边界条件是指边界条件中含有非齐次项的情况，这种情况下，解决问题会变得更加复杂。
因此，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件，可以极大地简化问题的解决过程。
非齐次边界条件齐次化的处理方法主要有以下几种：
1、增加自由度法。
这种方法的基本思想是在原有的自由度上增加新的自由度，从而将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
2、拉格朗日乘子法。
这种方法的基本思想是通过引入拉格朗日乘子，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
3、变分法。
这种方法的基本思想是通过变分的方法，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
4、积分变换法。
这种方法的基本思想是通过积分变换的方法，将非齐次边界条件转换为齐次边界条件。
非齐次边界条件齐次化的处理方法可以有效地解决非齐次边界条件带来的问题，并且可以简化问题的解决过程。
非齐次边界条件齐次化
而v（x,t）满足
vtt a vxx f ( x, t ) wtt a wxx
2 2
v(0, t ) v(l , t ) 0 v( x,0) ( x) w ( x,0) vt ( x,0) ( x) wt ( x,0) ••••••
（8.4.5）
利用§8.3可求得v(x,t)，与w(x,t)迭加起来就 是原问题的解。选取w(x,t)的方法很多，最简单 是设w(x,t)是x的线性函数
2
w(x,t)满足非齐次边界条件 w w x 0 (t ), x l (t ) x x 而v(x,t)是下面定解问题的解
vtt a u xx f ( x, t ) wtt a wxx
2 2
vx (0, t ) 0, vx (l , t ) 0 x v( x,0) ( x) x (0) ( (0) (0)) 2l x2 vt ( x,0) ( x) x (0) ( (0) (0))•••• 2l
2
（8.4.9）
8.4.3第三类边界条件
utt a 2u xx f ( x, t ) u ( hu) x 0 (t ) x u ( hu) x l (t ) • • • • • • • x u t 0 ( x)
ut
t 0
(8.4.10)
( x) • • • • • •
设
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
式中w(x,t)满足边界条件，可设它为x的二次函数
w( x, t ) x A(t ) xB(t )• • • •
2
注意
w hw 2 xA(t ) B(t ) hx2 A(t ) hxB(t ) x 2 hx A(t ) (2 A(t ) hB(t ))x B(t ) • • • • • •
vtt a vxx f ( x, t ) wtt a wxx
2 2
v(0, t ) v(l , t ) 0 v( x,0) ( x) w ( x,0) vt ( x,0) ( x) wt ( x,0) ••••••
（8.4.5）
利用§8.3可求得v(x,t)，与w(x,t)迭加起来就 是原问题的解。选取w(x,t)的方法很多，最简单 是设w(x,t)是x的线性函数
2
w(x,t)满足非齐次边界条件 w w x 0 (t ), x l (t ) x x 而v(x,t)是下面定解问题的解
vtt a u xx f ( x, t ) wtt a wxx
2 2
vx (0, t ) 0, vx (l , t ) 0 x v( x,0) ( x) x (0) ( (0) (0)) 2l x2 vt ( x,0) ( x) x (0) ( (0) (0))•••• 2l
2
（8.4.9）
8.4.3第三类边界条件
utt a 2u xx f ( x, t ) u ( hu) x 0 (t ) x u ( hu) x l (t ) • • • • • • • x u t 0 ( x)
ut
t 0
(8.4.10)
( x) • • • • • •
设
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t )
式中w(x,t)满足边界条件，可设它为x的二次函数
w( x, t ) x A(t ) xB(t )• • • •
2
注意
w hw 2 xA(t ) B(t ) hx2 A(t ) hxB(t ) x 2 hx A(t ) (2 A(t ) hB(t ))x B(t ) • • • • • •
非齐次定解问题
2 2u u 2 t 2 a x 2 f ( x , t ), t 0, 0 x l u (0, t ) u (l , t ) 0, t0 0 xl u ( x , 0) ut ( x , 0) 0,
对应的齐次定解问题的固有函数系为： n
于是
带入方程(P1)得 由上式及附加条件
An '(t ) cos n a n a l An '(t ) sin t Bn '(t ) cos t f n (t ) l l n a
n a n a t Bn '(t ) sin t0 l l 解得 l n a l n a An '(t ) f n (t ) sin t , Bn '(t ) f n (t ) cos t n a l n a l
非齐次定解问题
1. 非齐次方程的解法 固有函数法 2. 非齐次边界条件的处理 非齐次边界条件的齐次化 3. 非齐次方程+非齐次边界条件问题
第三章 非齐次定解问题
2
非齐次方程的解法
以弦振动方程为例介绍求解非齐次方程的固有函数法 2 2u u 2 t 2 a x 2 f ( x , t ), t 0, 0 x l u (0, t ) u (l , t ) 0, t0 0 xl u ( x , 0) ut ( x , 0) 0, 固有函数法基本思想： 寻找一组完备的函数系 { X n ( x ), n 1, 2,3,...} 则可将u(x,t)及非齐次项f(x,t)均按该组函数系展开
其中An(t)和Bn(t)为待定可微函数且满足附加条件
n a n a An '(t ) cos t Bn '(t ) sin t0 l l 另由边界条件得 An (0) 0, Bn ( 0) 0
对应的齐次定解问题的固有函数系为： n
于是
带入方程(P1)得 由上式及附加条件
An '(t ) cos n a n a l An '(t ) sin t Bn '(t ) cos t f n (t ) l l n a
n a n a t Bn '(t ) sin t0 l l 解得 l n a l n a An '(t ) f n (t ) sin t , Bn '(t ) f n (t ) cos t n a l n a l
非齐次定解问题
1. 非齐次方程的解法 固有函数法 2. 非齐次边界条件的处理 非齐次边界条件的齐次化 3. 非齐次方程+非齐次边界条件问题
第三章 非齐次定解问题
2
非齐次方程的解法
以弦振动方程为例介绍求解非齐次方程的固有函数法 2 2u u 2 t 2 a x 2 f ( x , t ), t 0, 0 x l u (0, t ) u (l , t ) 0, t0 0 xl u ( x , 0) ut ( x , 0) 0, 固有函数法基本思想： 寻找一组完备的函数系 { X n ( x ), n 1, 2,3,...} 则可将u(x,t)及非齐次项f(x,t)均按该组函数系展开
其中An(t)和Bn(t)为待定可微函数且满足附加条件
n a n a An '(t ) cos t Bn '(t ) sin t0 l l 另由边界条件得 An (0) 0, Bn ( 0) 0
具有非齐次边界条件的问题
(87)
u(x,0) 0,.
解 选用辅助函数 w(x,t) t x t. 令
l
u(x,t) v(x,t) t x t,
则问题(87)化成
l
vt
a 2vxx
x l
-1
(0 x l, t 0),
v(0,t) 0, v(l,t) 0,
(88)
v(x,0) 0.
13
vt
a 2vxx
w(0,t) 3,
w(l,t) 6.
18
utt a 2u xx u(0,t) 3,
sin 2 x cos 2
l
l
u(l,t) 6,
x
(0
x
l,
t
0),
(91)
u ( x,0)
31
x , l
ut (x,0)
sin
4
l
x.
这么由代换 u(x,t) v(x,t) w(x),
问题(91)化为下面两个问题：
(4) ux (0,t) u1(t),
ux (l,t) u2 (t);
w( x, t )
u2
(t) 2l
u1 (t)
x2
u1 (t)x.
以上4种辅助函数旳情形对热传导方程一样合用。
12
例1 求解下列问题：
ut a 2uxx (0 x l, t 0),
u(0,t) t, u(l,t) 0,
u1 (0)
u1 (0),
1 ( x)
(x)
x lu2Βιβλιοθήκη (0)u1 (0)
u1 (0).
(79) (80) (81) (85) (86)
10
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
2.5具有非齐次边界条件的问题
v( x,0) 1 ( x), vt ( x,0) 1 ( x).
5
utt a 2u xx f ( x, t ) (0 x l, t 0),
u(0, t ) u1 (t ), u(l , t ) u 2 (t ),
(79) (80) (81) (86)
u( x,0) ( x), ut ( x,0) ( x).
2 l nx 2 2 l x nx f n (t ) f ( x, t ) sin dx 1 sin dx . 0 l 0 l l l l n
9
再将 即得
f n (t )
na 2 ( ) t 2l l e 1, 3 2 ( n ) a n v ( x , t ) v ( t ) sin x, n 把(90)代入(89) l n 1 2
(82) w(0, t ) u1 (t ), w(l , t ) u2 (t ), (84) 其实满足(84)中两个条件的函数 w( x, t ) 是很多的， 为了以后计算方便起见，通常取w( x, t ) 为 x 的一次 式， 即设 w( x, t ) A(t ) x B(t ), 由条件(84)确定 A(t ), B(t ) 得
2.5
具有非齐次边界条件的问题
本节我们讨论带有非齐次边界条件的定解问题
的求解方法。处理这类问题的基本原则是： 无论方程是齐次的还是非齐次的，选取一个辅 助函数 w( x, t ), 通过函数代换 u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ), 使得对于新的未知函数v( x, t ) 而言，边界条件为 齐次的。
(85)
即得原定解问题问题(79)-(81)的解。
第3节(非齐次边界条件的处理)
自由振动问题
utt a 2u xx 0 u | x 0 (t ), u | x l (t ) u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
非齐次边界条件
选取函数v（x，t）使其满足非齐次边界条件，不妨取
2
v( x, t ) A(t ) x B(t )
第三节 非齐次边界条件的处理
在前边的讨论中，不管是齐次泛定方程还是非齐次泛定 方程他们定解问题中的解法有个前提：边界条件是齐次的！ 但在实际应用中，常有非齐次边界条件，此时由于定解
1
问题是线性的，处理的原则是利用叠加原理，把非齐次边界 条件化为另一未知函数的齐次边界条件问题。
（一）一般处理方法 例1
即特解有分离变数的形式：
v( x, t ) X ( x) sin t
X ( x) C cos(x / a) D sin(x / a)
将上式代入常微分方程的条件 X (0) 0, X (l ) A 可得 X ( x) [ A sin(l / a)]sin(x / a)
而此定解问题为齐次方程，齐次边界条件，可分离变数求解！
na na n t Bn sin t ) sin x 即 w( x, t ) ( An cos l l l n 0
6
其中系数An，Bn可计算得：An 0
2 t sin( / a) n Bn A sin d 0 na sin(l / a) l
所以可得一般解：
sin(x / a) u ( x, t ) A sin t sin(l / a) 2 A 1 nat nx sin sin 2 2 2 2 2 al n 1 / a n / l l l
88
utt a 2u xx 0 u | x 0 (t ), u | x l (t ) u |t 0 ( x), ut |t 0 ( x)
非齐次边界条件
选取函数v（x，t）使其满足非齐次边界条件，不妨取
2
v( x, t ) A(t ) x B(t )
第三节 非齐次边界条件的处理
在前边的讨论中，不管是齐次泛定方程还是非齐次泛定 方程他们定解问题中的解法有个前提：边界条件是齐次的！ 但在实际应用中，常有非齐次边界条件，此时由于定解
1
问题是线性的，处理的原则是利用叠加原理，把非齐次边界 条件化为另一未知函数的齐次边界条件问题。
（一）一般处理方法 例1
即特解有分离变数的形式：
v( x, t ) X ( x) sin t
X ( x) C cos(x / a) D sin(x / a)
将上式代入常微分方程的条件 X (0) 0, X (l ) A 可得 X ( x) [ A sin(l / a)]sin(x / a)
而此定解问题为齐次方程，齐次边界条件，可分离变数求解！
na na n t Bn sin t ) sin x 即 w( x, t ) ( An cos l l l n 0
6
其中系数An，Bn可计算得：An 0
2 t sin( / a) n Bn A sin d 0 na sin(l / a) l
所以可得一般解：
sin(x / a) u ( x, t ) A sin t sin(l / a) 2 A 1 nat nx sin sin 2 2 2 2 2 al n 1 / a n / l l l
88
非齐次边界条件定解问题的一种齐次化函数形式
中图分类号 ： ４ １１ ０ １ ． 文献标识码 ： Ａ
０ 引 言
对 于如何 求解 非 齐次 边 界条 件 定 解 问 题 的边 界 条 件 齐 次 化 函 数 ， 文 献 中 都 只 是 具 体 求 在 解 ， 卜 或列 举几 种 类 型 以表 格 形 式 给 出 ． 文 本
ｍ ＝ ＋ １ ＝ ＝
其 中 ， ￡ ， ￡分 别 是 关 于 ｔ 函数 ． Ａ（） Ｂ（） 的
所 ｗ… 以 一 ｃ
—
＋ （
一
２ 论 题 的证 明
证明：
ｚ＋ （一） 是 非 ‘ 边 。 件 （ ！ｍ ，！ ， １ ｚ１ 该 ｒ 次 界 、 定 ｚ） ／ １ Ｖ， 。 条‘ 齐 刀 心
㈤
Ｕ （）ｍ≥Ｏ ≥Ｏ 则 边 界 条件 的齐 次化 函数 具 有 ｚ￡， ， ，
的其 中一种 形式 为 ：
Ｗ （ ， ） Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡一 ￡ ￡ ” Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡ｚ ｔ ｘ一 ｍ ≠ ＋ １
７ ８
Ａ （）Ｏｍ ｎ ＋ （ ￡ ． － ） ＋ １ Ｔ （ ）！Ｂ （） 一 “ （） ￡ ｚ ￡
非齐次边界条件定解问题 的一 种齐次化 函数形式
陈 杰， 陈丽华
（ 汉工程 大 学 电气信 息学 院 ， 北 武汉 ４ ０ ７ ） 武 湖 ３ ０ ４
摘 要： 通过 对 非 齐次 边 界 条 件 的定 解 问题 的 讨论 ， 出 了本 文 的 论 题 ， 非 齐 次 边 界 条 件定 解 问 题 的 边 界 条 引 对
一
这 里 ， ： ，） 令 Ｕ（ ￡ 一Ｖ（ ￡ ＋Ｗ （ ￡ ，） ，）
种 齐 次 化 函数 形 式 ．
其 中 ， （ ￡满 足 ： Ｗ ｘ， ） Ｗ （ ， ｛ Ｏ Ｕ （） Ｗ （ ，） 一 — Ｕ （） ｆ ｘ — ｌ￡ ， ￡ Ｉ ２ ￡ ） ＝
０ 引 言
对 于如何 求解 非 齐次 边 界条 件 定 解 问 题 的边 界 条 件 齐 次 化 函 数 ， 文 献 中 都 只 是 具 体 求 在 解 ， 卜 或列 举几 种 类 型 以表 格 形 式 给 出 ． 文 本
ｍ ＝ ＋ １ ＝ ＝
其 中 ， ￡ ， ￡分 别 是 关 于 ｔ 函数 ． Ａ（） Ｂ（） 的
所 ｗ… 以 一 ｃ
—
＋ （
一
２ 论 题 的证 明
证明：
ｚ＋ （一） 是 非 ‘ 边 。 件 （ ！ｍ ，！ ， １ ｚ１ 该 ｒ 次 界 、 定 ｚ） ／ １ Ｖ， 。 条‘ 齐 刀 心
㈤
Ｕ （）ｍ≥Ｏ ≥Ｏ 则 边 界 条件 的齐 次化 函数 具 有 ｚ￡， ， ，
的其 中一种 形式 为 ：
Ｗ （ ， ） Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡一 ￡ ￡ ” Ａ （ ） ＋ Ｂ（ ） ￡ｚ ｔ ｘ一 ｍ ≠ ＋ １
７ ８
Ａ （）Ｏｍ ｎ ＋ （ ￡ ． － ） ＋ １ Ｔ （ ）！Ｂ （） 一 “ （） ￡ ｚ ￡
非齐次边界条件定解问题 的一 种齐次化 函数形式
陈 杰， 陈丽华
（ 汉工程 大 学 电气信 息学 院 ， 北 武汉 ４ ０ ７ ） 武 湖 ３ ０ ４
摘 要： 通过 对 非 齐次 边 界 条 件 的定 解 问题 的 讨论 ， 出 了本 文 的 论 题 ， 非 齐 次 边 界 条 件定 解 问 题 的 边 界 条 引 对
一
这 里 ， ： ，） 令 Ｕ（ ￡ 一Ｖ（ ￡ ＋Ｗ （ ￡ ，） ，）
种 齐 次 化 函数 形 式 ．
其 中 ， （ ￡满 足 ： Ｗ ｘ， ） Ｗ （ ， ｛ Ｏ Ｕ （） Ｗ （ ，） 一 — Ｕ （） ｆ ｘ — ｌ￡ ， ￡ Ｉ ２ ￡ ） ＝
非齐次边界条件处理
20 1 1 C0 ( )d [ ( )d ( )d ] l0 l 0 l l
l l
2 n 2 n Cn ( )con d ( )[con ] 0 d l 0 l l 0 l
l
2 n ( )[con ] l d l l l
2
v( x, t ) A(t ) x B(t ) x 2 代入边界条件得上式。
二、特殊处理方法 利用特殊的形式，找出代换式的值，尽量把方程齐次化
，边界条件齐次化， 初始条件为非齐次的。
例： 弦的
0 端固定, l 端受迫作谐振动
A sin t
,弦的初始位移和初始速度都是零,
2 2
其本征值和本征函数分别为
n 2 l
三、
n X n ( x) Cn cos x (n 0,1, 2,) l
X ( x) X ( x) 0 X (0) 0 X (l ) 0
其本征值和本征函数分别为
1 2 2 (n ) 2 l2
1 n 2 x (n 0,1, 2,) X n ( x) Cn sin l
0
( x)dx
0
0
l
( x)dx
l
0
u( x, t ) C0 Cne
n 1
n2 2 a2 l
2
t
n x con l
代入初始条件：
nx C0 C n con ( x ) (0 x , l x l ) l n 1
，使其满足非齐次边界条件，为了简单起见，不妨取 为x 的线性函数，即
v( x, t ) xA(t ) B(t )
2012tyl分离变量法8_4_2非齐次热传导方程
kπ
L
xdx，φk =
2 L
Lφ(x) sin kπ xdx.
0
L
将U(x,t)代入(2)的PDE
∑ ∑ ⇒
∞ k =1
⎡ ⎢C ⎢⎣
'k
(t)
+
⎛ ⎜⎝
kπ a
L
⎞2 ⎟⎠
Ck
⎤ (t)⎥
⎥⎦
sin
kπ
L
x
=
∞ k =1
fk (t) ⋅ sin
kπ
L
x.
由（1）的初值条件 ⇒
∑ U (x, 0)
按对应齐次PDE方程的固有函数展开（F-正弦展开）
∑∞
U ( x, t) = Ck(t)
k =1
sin kπ x.L未知⎧∑ ⎪⎪
f
(
x,
t
)
=
⎨
∑ ⎪⎪⎩φ(x) =
∞
k =1 ∞
k =1
fk (t) sin
φk sin
kπ
L
kπ
L
x, x.
已知
∫ ∫ 其中
fk
(t)
=
2 L
L 0
f
(x,t) sin
( )
x, =
t ), 0,
⎪⎩U ( x, 0) = φ ( x).
t > 0, 0 < x < L
齐次PDE
(3)
⎧ ∂U ⎪⎪ ∂t
= a2
⎨⎪U (0,t) =
∂ 2U ∂x2 0,U
, (L,
t > 0, t) = 0,
0<
x<
L
⎪⎩U (x, 0) = φ(x).
第八章第三节 非齐次边界条件的处理
0 vtt a 2vxx
t t x2 tx a2 t t
2l
l
wx x0 0, wx xl 0
w x 0 0 x2 0x
t0
2l
wt
t0
x
0 0
2l
x2
0x
2009年5月7日
补充练习：
将下面非齐次边界条件的问题转变为齐次边界条件的定解问题
ut a2uxx 0 x l,t 0 ux 0,t w1t,ux l,t w2t ux,0 x
l l
xdx 2 A
n
Tn
n2 2a2
l2
Tn
Fn
2A
n
根据
dy Pxy Qx
dx
y Ce Pxdx e Pxdx Q x e Pxdxdx
得:
Tn t
B e
n2 2a
l2
2
t
n
2Al2
n3 3a2
代入w(x,t)得
w x,t
Bne
n
2 2a2
l2
t
n1
2 Al2
由此确定 X x A sinl asinx a,从而
vx, t
A
sin l
sin
x
a
sin t....8.3.17
a
令ux,t vx,t wx,t....... 8.3.18
将(8.3.17),(8.3.18)代入(8.3.11)~(8.3.13)
wtt a 2 wxx vtt a 2 vxx 0...8.3.19
w 60 t 0
应用傅里叶级数法求解w(x,t)—非齐次项不含t，不宜用冲量定
理法。
wx,t
Tn tsin
8 3非齐次边界条件的处理
Wuhan University
⎧ 五、思考⎪u xx + u yy = 0 , 0 < x < a ,0 < y < b ⎪ ⎨u ( 0 , y ) = b − y , u ( a , y ) = 0 ⎪ π ⎪u ( x ,0 ) = h sin x , u ( x , b ) = 0 a ⎩ 法三： 令 u ( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
§8.3 非齐次边界条件的处理
Inhomogeneous boundary Conditions
Wuhan University
8.3 非齐次边界条件的处理
一、定解问题：
⎧ u tt − a u xx = 0 , 0 < x < l , t > 0 (1) ⎪ (2) ⎨u | x = 0 = g ( t ), u | x = l = h (t ) ⎪ u | = ϕ ( x ), u | = ψ ( x ) ( 3) t =0 t t =0 ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
vtt − a 2 v xx = − ( wtt − a 2 w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
nπ x ④ 令 v ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sin l n =1 ⎧∞ nπx ω2 (anπ )2 = x sinωt ⎪∑[Tn′′(t ) + 2 Tn (t )]sin
∞ II
8.3 非齐次边界条件的处理
⎧ 五、思考⎪u xx + u yy = 0 , 0 < x < a ,0 < y < b ⎪ ⎨u ( 0 , y ) = b − y , u ( a , y ) = 0 ⎪ π ⎪u ( x ,0 ) = h sin x , u ( x , b ) = 0 a ⎩ 法三： 令 u ( x , t ) = v ( x , t ) + w ( x , t )
§8.3 非齐次边界条件的处理
Inhomogeneous boundary Conditions
Wuhan University
8.3 非齐次边界条件的处理
一、定解问题：
⎧ u tt − a u xx = 0 , 0 < x < l , t > 0 (1) ⎪ (2) ⎨u | x = 0 = g ( t ), u | x = l = h (t ) ⎪ u | = ϕ ( x ), u | = ψ ( x ) ( 3) t =0 t t =0 ⎩
(1 ) − ( 3 ) →
vtt − a 2 v xx = − ( wtt − a 2 w xx ) (8) v | x = 0 = 0, v | x = l = 0 (9 ) v |t = 0 = ϕ ( x ) − w ( x , 0 ) ⎫ ⎬ (10 ) vt |t = 0 = ψ ( x ) − wt ( x ,0 ) ⎭
nπ x ④ 令 v ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sin l n =1 ⎧∞ nπx ω2 (anπ )2 = x sinωt ⎪∑[Tn′′(t ) + 2 Tn (t )]sin
∞ II
8.3 非齐次边界条件的处理
2.5具有非齐次边界条件的问题.
于是可得
w(t, x)
x l
[u2
(t
)
u1
(t
)]
u1
(t
).
因此，令
u( x, t )
v( x, t )
x l
[u2 (t)
u1(t)]
u1 (t ).
则问题(79)-(81)可化成v(x,t) 的定解问题
(79) (80) (81) (82)
(85)
4
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0),
2
n
代入 vn (t)
t 0
2
t ( na )2 (t )
el
n 0
fn ( d
(
)e
na l
)2
(t
)
d
,
2l 2
(n )3 a 2
( na )2 t e l
1,
(90)
把(90)代入(89)v(
x,
t
)
n1
vn
(t
)
s
in
的方法。（也可称为辅助函数法）
1
考察定解问题：
utt a 2uxx f (x, t) (0 x l, t 0), (79)
u(0,t) u1(t), u(l,t) u2 (t),
(80)
u(x,0) (x), ut (x,0) (x).
(81)
通过作一函数变换将边界条件化为齐次的，
sin
4
l
x.
15
ew6
2
w 0, t 0, w l , t 0
sin x / a w x, 0 0, wt x, 0 A sin l / a
往下略
解：由非齐次边界条件的形式可设：
ห้องสมุดไป่ตู้
v( x, t ) X ( x)sin t
从而有
v( x, t )
由
A sin
l
a
sin
x
a
sin t
utt a uxx 0, 0 x l , t 0
2
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) 可得：
wtt a wxx 0, 0 x l , t 0
以上的问题就归结为前节的问题了
注：两边都是第二类边界条件时该取为 vt x, t At x Bt
,也即我们上节课的特解法：
方程和边界条件同时齐次化！
例：求定解问题
utt a uxx 0, 0 x l , t 0
2
u 0, t 0, u l , t A sin t u x, 0 ut x, 0 0
l
x
经此代换，得到关于 wx, t 的定解问题为：
wtt a wxx f x, t
2
w0, t wl , t 0
w x,0 x , wt x,0 x
其中， f x, t
x x
§8.3非齐次边界条件的齐次化
原因在于：
为了利用分离变量法和本征函数法，对 于实际问题中带有非齐次的边界条件， 我们就得把边界条件齐次化！
下面举例说明
这样的曲线当然有无穷多种，根据实 际运算的简便起见，就取为直线：
w 0, t 0, w l , t 0
sin x / a w x, 0 0, wt x, 0 A sin l / a
往下略
解：由非齐次边界条件的形式可设：
ห้องสมุดไป่ตู้
v( x, t ) X ( x)sin t
从而有
v( x, t )
由
A sin
l
a
sin
x
a
sin t
utt a uxx 0, 0 x l , t 0
2
u( x, t ) v( x, t ) w( x, t ) 可得：
wtt a wxx 0, 0 x l , t 0
以上的问题就归结为前节的问题了
注：两边都是第二类边界条件时该取为 vt x, t At x Bt
,也即我们上节课的特解法：
方程和边界条件同时齐次化！
例：求定解问题
utt a uxx 0, 0 x l , t 0
2
u 0, t 0, u l , t A sin t u x, 0 ut x, 0 0
l
x
经此代换，得到关于 wx, t 的定解问题为：
wtt a wxx f x, t
2
w0, t wl , t 0
w x,0 x , wt x,0 x
其中， f x, t
x x
§8.3非齐次边界条件的齐次化
原因在于：
为了利用分离变量法和本征函数法，对 于实际问题中带有非齐次的边界条件， 我们就得把边界条件齐次化！
下面举例说明
这样的曲线当然有无穷多种，根据实 际运算的简便起见，就取为直线：