高等数学基础综合练习题及答案
高数基础真题答案及解析
高数基础真题答案及解析高等数学作为大学中的一门重要课程，对于学生的学术发展和综合素质的提高起着重要作用。
而对于很多学生来说，高等数学往往被认为是一门难以掌握的学科。
在应对高等数学考试时，学生们常常遇到真题的解答和分析过程不清晰的问题。
因此，解决这一问题就变得尤为重要。
下面，我们将提供一些高数基础真题的答案及解析，希望能帮助到广大学生更好地学习和掌握这门课程。
一、单变量函数的极限与连续性在高等数学的学习中，单变量函数的极限与连续性是非常重要的内容之一。
以下是一道典型的高数基础真题：问题：求极限 $\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{x-2}$。
解析：对于这道题，我们可以通过因式分解化简来求解。
首先，我们将分子进行因式分解，得到 $\lim_{x\to2}\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}$。
接着，我们发现分子和分母都有 $(x-2)$ 这一因子，所以我们可以将其约去，得到 $\lim_{x\to2}(x+2)=4$。
因此，原极限的结果为4。
通过这道题，我们可以看出单变量函数的极限与连续性是一个典型的应用题。
在答题过程中，我们需要注意因式分解和约去公因式的技巧，这将对我们解决类似问题时非常有用。
二、导数与微分导数与微分是高等数学中的另一核心内容。
以下是一道与导数相关的高数基础真题：问题：已知函数 $f(x)=5x^3-3x^2+2x-1$ 在 $x=2$ 处的导数为5，求 $f'(2)$ 的值。
解析：对于这道题，我们需要根据导数与原函数之间的关系来求解。
由导数定义可知，导数表示的是函数在某一点处的斜率。
根据题意，已知函数 $f(x)$ 在 $x=2$ 处的导数为5，即 $f'(2)=5$。
因此，我们可以得到这一导数值与原函数的关系式。
对原函数$f(x)=5x^3-3x^2+2x-1$ 进行求导，得到 $f'(x)=15x^2-6x+2$。
由于$f'(2)=5$，我们可以将 $x$ 替换为2，解方程得到 $15\times2^2-6\times2+2=5$，最终得到 $f'(2)=5$。
高数基础考试题库及答案
高数基础考试题库及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2x+6D. x+2答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x+1答案：B4. 函数y=e^x的不定积分为：A. e^x + CB. e^(-x) + CC. ln(x) + CD. x^e + C答案：A5. 曲线y=x^3在点(1,1)处的切线斜率为：A. 1B. 3C. 9D. -3答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x)=x^3-3x的极值点为______。
答案：x=-1或x=22. 函数y=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)3. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有______。
答案：最大值和最小值4. 曲线y=x^2+2x+1与x轴的交点个数为______。
答案：05. 微分方程dy/dx=2x的通解为______。
答案：y=x^2+C三、解答题（每题10分，共20分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=3。
计算f(1)=0，f(3)=0，f(2)=-2，因此最大值为0，最小值为-2。
2. 求极限lim(x→∞) (x^2-3x+2)/(x^3+2x^2-5x)。
解：将分子分母同时除以x^3，得到lim(x→∞) [(1-3/x+2/x^2)/(1+2/x-5/x^2)]，当x趋向于无穷大时，极限值为1/1=1。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x)=x^2在区间(-∞,0)上是减函数。
高等数学基础作业答案及分析
高等数学基础作业1第1章 函数第2章 极限与连续（一） 单项选择题⒈下列各函数对中，（C ）中的两个函数相等． A. 2)()(x x f =，x x g =)( B. 2)(x x f =，x x g =)(C. 3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D. 1)(+=x x f ，11)(2--=x x x g分析：判断函数相等的两个条件（1）对应法则相同（2）定义域相同 A 、2()()f x x x ==，定义域{}|0x x ≥；x x g =)(，定义域为R 定义域不同，所以函数不相等； B 、2()f x x x ==，x x g =)(对应法则不同，所以函数不相等；C 、3()ln 3ln f x x x ==，定义域为{}|0x x >，x x g ln 3)(=，定义域为{}|0x x > 所以两个函数相等D 、1)(+=x x f ，定义域为R ；21()11x g x x x -==+-，定义域为{}|,1x x R x ∈≠ 定义域不同，所以两函数不等。
故选C⒉设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f -+的图形关于（C ）对称． A. 坐标原点 B. x 轴 C. y 轴 D. x y = 分析：奇函数，()()f x f x -=-，关于原点对称偶函数，()()f x f x -=，关于y 轴对称()y f x =与它的反函数()1y f x -=关于y x =对称，奇函数与偶函数的前提是定义域关于原点对称设()()()g x f x f x =+-，则()()()()g x f x f x g x -=-+= 所以()()()g x f x f x =+-为偶函数，即图形关于y 轴对称故选C⒊下列函数中为奇函数是（B ）．A. )1ln(2x y +=B. x x y cos =C. 2xx a a y -+= D. )1ln(x y += 分析：A 、()()()()22ln(1)ln 1y x x x y x -=+-=+=，为偶函数B 、()()()cos cos y x x x x x y x -=--=-=-，为奇函数 或者x 为奇函数，cosx 为偶函数，奇偶函数乘积仍为奇函数C 、()()2x xa a y x y x -+-==，所以为偶函数 D 、()ln(1)y x x -=-，非奇非偶函数故选B⒋下列函数中为基本初等函数是（C ）．A. 1+=x yB. x y -=C. 2xy = D. ⎩⎨⎧≥<-=0,10,1x x y 分析：六种基本初等函数（1） y c =（常值）———常值函数（2） ,y x αα=为常数——幂函数 （3） ()0,1x y a a a =>≠———指数函数 （4） ()log 0,1a y x a a =>≠———对数函数（5） sin ,cos ,tan ,cot y x y x y x y x ====——三角函数（6） [][]sin ,1,1,cos ,1,1,tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x=-=-==——反三角函数分段函数不是基本初等函数，故D 选项不对 对照比较选C⒌下列极限存计算不正确的是（D ）．A. 12lim 22=+∞→x x x B. 0)1ln(lim 0=+→x x C. 0sin lim=∞→x x x D. 01sin lim =∞→xx x 分析：A 、已知()1lim 00n x n x→∞=>2222222211lim lim lim 1222101x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞====++++B 、0limln(1)ln(10)0x x →+=+=初等函数在期定义域内是连续的C 、sin 1limlim sin 0x x x x xx →∞→∞==x →∞时，1x是无穷小量，sin x 是有界函数，无穷小量×有界函数仍是无穷小量D 、1sin1lim sin lim1x x x x x x→∞→∞=，令10,t x x =→→∞，则原式0sin lim 1t t t →== 故选D⒍当0→x 时，变量（C ）是无穷小量．A.xxsin B. x 1C. xx 1sin D. 2)ln(+x分析；()lim 0x af x →=，则称()f x 为x a →时的无穷小量A 、0sin lim1x xx →=，重要极限B 、01lim x x→=∞，无穷大量C 、01lim sin 0x x x→=，无穷小量x ×有界函数1sin x 仍为无穷小量D 、()0limln(2)=ln 0+2ln 2x x →+=故选C⒎若函数)(x f 在点0x 满足（A ），则)(x f 在点0x 连续。
高等数学基础(1)综合练习参考答案
高等数学基础（1）综合练习参考答案一．选择题1.B2.B3.D4.B5.C6.B7.D8.D9.C 10.C 11.C 12D 13B 14A 15D 16B 17D 18B 19A 20B 21C 22B 23A 24A二．填空题1. x <-1≤4 2． x x x f 2)(2+= 3．奇函数 原点 4. )(0x f 5．可去或第一类 6．0=x 7.1 8．ek 21=9.010．12742-x11．)0,(-∞∈x 12.x =-113.（1，2） 14. a 为实数 b ＝615．k ＝116．3,1-==b a 17. (1) c x +cos (2) x sin (3)c x F +-)32(2118． 1 19．1三．计算题 1．求极限 解：（1）原式＝22521152lim221=+-=+++-→x x x x（2）原式＝)11)(2()11)(11(lim22221++--+++--+-→x x x x x x x x x61)11)(1)(2()1(lim21=++--+-=→x x x x x x x（3）eee x x x x xxx xx ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→∞→2322332131lim2131lim（4）原式＝1)11ln(lim 1lnlim =+=++∞→∞→xx x xxx x（5）原式＝])11)(11()11(2sin )31[(lim 1++-++++-→x x x x x x x=4])11(2sin )31[(lim 3)3(31+=+++----→exx x x xx(6)原式＝278)3(22325-=-（7）原式=2211211lim 21...41211lim 1=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→∞→n n n n(8)原式＝11lim 111lim 1arctan 2lim2222=+=-+-=-+∞→∞→+∞→x x xx x x x x x π（9）原式＝1ln 21lim1ln 121limln )1(ln lim21121-++-=-++-=-+-→→→x x x x x xx x x xx x x x x x x x2311ln 14lim1-=+++-=→x x x（10）原式＝2)2(lim223=→xx x x (无穷小量替换)2．解：1)1)(()1(lim)(11lim22+++-+=+-++∞→∞→x x b ax x b ax x x x x011)()1(lim2=+-++--=∞→x bx b a x a x由条件知，必有⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-11001b a b a a 3．解：9lim 11lim lim 2===⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-∞→∞→∞→aaax x xx xx e e e x a x a a x a x ，所以3ln =a ．4．解：当y 在0=x 处连续知：)0()(lim 0f x f x =→k xx x x =⋅-⇒→s i n c o s 1limk x x xx =⇒→s i n .2lim221=⇒k5．解：（1）由于-→0l i m x 1)0(=f ，+→0limx b f =)0(又)(lim 0x f x →存在等价于-→0lim x =)0(f +→0lim x )0(f ，所以，1=b ，a 可为任意实数；（2）)(x f 在0=x 处连续等价于-→0limx =)0(f +→0lim x )0(f )0(f =，又a f =)0( 所以1==b a ．6．证明：设12)(-=xx x f ，因 1)0(-=f ，1)1(=f由零点存在定理知，存在)1,0(∈ξ，使得0)(=ξf ， 即有10<<ξ,使12=ξξ．7．解：切点为)1,12(-π，则斜率为1cos 1sin 22=-====ππt t tt dxdy k⇒切线方程为)12(11+-⋅=-πx y 即22+-=πx y8．求下列函数的导数或微分（1） 解：2312621)2ln(xx xex ey xx+++++-='--⇒ dxxx xex edy xx]3132)2ln([2+++++-=--（2） 解：两边对x 求导y y y y x '+='⋅+⋅+1)21()cos(2⇒1)cos(2)cos(122-++-='=y x y y x y dxdy（3）解：xx y sin cos =' ⇒ x xx xx y 22222cscsin1sin cossin-=-=--=''（４）解：22ln 1ln 11ln arcsin 2xx x xx x x x y -⋅⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫⎝⎛='xx xx x x ln arcsinln )ln 1(22⋅-⋅-=（5）解：两边取对数得：x x y sin ln ln = 两边对x 求导：x xx x y ycos sin 1sin ln 1⋅⋅+=')cot sin (ln x x x y dxdy y +=='dx x x x x dy x)cot sin (ln )(sin +=（6）解：两边对x 求导02)1(2='⋅--'+⋅+y xy y y e yx ⇒yx yx exy yey ++--='22把0=x 代入原方程得：0=y把0=y 代入上述方程得：1)0(-='y（7）解：221arctan2221)1(112ln 2)1(21xxx x x x y x-⋅+⋅++⋅-+='⇒dxxx xdy x]212ln )1(1[1arctan2222⋅+-+-=（8） 解：)1(31)3ln(ln )1(--+-⋅-⋅='--xax a a y xx⇒dx xax a ady xx]3)3ln(ln [-+-⋅⋅-=--（9）解：021)(='⋅-+'+y y y x y e xy⇒xyxy xey yedxdy -+=219．解：设矩形与椭圆在第一象限的交点为),(y x ，则矩形面积为：xy S 4=又因为y x ,满足16422=+yx⇒ )61(442yy S -=⇒)61(426244)61(4422yy yyS -⋅-+-='令0='S ⇒⎩⎨⎧==23x y ⇒矩形边长为32,2210．. )1)(3(39632+-=--='x x x x y)1(6-=x y ),(y x 则所求面积为： xy S 2=又因为y x ,满足21x y -= )1(22x x S -=⇒⇒ )2(2)1(22x x x S -⋅+-='令0='S ⇒ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3233y x⇒ 最大矩形面积为9342==xy S12． 解:设圆柱形容器底半径为r,则由题意高为brVr a r C ⋅⋅⋅⋅+⋅=222πππ则总造价为3223,0b Va h aVbr C ⋅=⋅=⇒='ππ令.,3223时总造价最小高为因此当底半径bVa h aVbr ⋅=⋅=ππ13．证明：对任意的x 有)0(01111222≠>+=+-='x xxx y所以函数x x y arctan -=单调增加，证毕14.法一：设)1ln()(x x x f +-=，则在],0[x 上满足拉格朗日中值定理条件，存在一点x <<ξξ0,，使)(0)0()(/ξf x f x f =--即,1111)1ln(ξξξ+=+-=+-xx x )0(x <<ξ由0>x ，01>+ξξ，即,0)1ln(>+-xx x )1ln(x x +>⇒法二：,01111)(>+=+-='xxx x f 当),0(+∞∈x 时)(x f ⇒单调增加)0()(f x f >⇒又因为0)(0)0(>⇒=x f f )1ln(x x +>⇒15．计算不定积分（1）xxde x x d e x 11111:⎰⎰-=-=原式解x de e xxx 1111⎰+-=ce e xx x ++-=111brV a r C ⋅-⋅⋅='222π由,2rV h ⋅=π（2）⎰⋅+=+==-tdttttxtx21:2112令原式解ctt++=2323cxx+-+-=12)1(3223（3）xdxlnln21:⎰-=原式解)ln2()ln2(21xdx---=⎰-cx+--=21)ln2(2（4）xdxxsin)sin1(sin:2⎰+=原式解)sin1()sin1(1)sin1(sin112xdxxdx++-++=⎰⎰cxx++++=sin11)sin1ln(（5）⎰+⋅=2)(1:xxedxe原式解＝earctan（6）dxx))32(52(⎰-=原式cxx+-=32ln)32(5216．计算定积分（1）⎰-=202sinsin41:πxdx原式解⎰++-⋅=2sin)sin21sin21(41πxdxx2sin2sin2ln41πxx-+=3ln41=（2）⎰⋅=π02sin2:xdx原式解⎰+=2)(1xxededxx x x ⎰-⋅=ππ02sin202sin242-=π（3）⎰=20sin 2:πxdxx 原式解02)sin cos (2πx x x +-=2=（4）)1(:2212-+--=⎰-+-x x d ex x原式解0212-+--=x xe31---=ee（5）⎰+=32)2(2x dex 原式dxe e x xx⎰-+=322203)2(2236e =17. 解：dx x x x S ⎰--=32)4(03]3123[32x x -=29=18．由题意知：xy y y )1(+=' ⇒⎰⎰-=+xdx y y dy )1(⎪⎭⎪⎬⎫=+-=+⇒1)1(ln ln 1lny c x yy21ln ln =⇒c xyy 211=+⇒19．]2[121c dx e xe e y dx xdx +⎰⋅⎰=---⎰]2[2c dx exee xxx +⋅=-⎰)22(c e xe e xxx+-=⎭⎬⎫=+-=1)0()22(y c e xee xxx3=⇒c xx e e x y 3)1(22+-=⇒20．解：特征方程为042=+λ i i 2,221-==⇒λλxc x c y 2sin 2cos 21+=⇒2cos42ππx +=21. 解：特征方程为0652=+-λλ⇒3,221==λλxxec ec y 3221+=⇒-设特解x Ae y =*由待定系数法得A =1xxxe ec e c y y y ++=+=-3221*⎩⎨⎧=='1)0(0)0(y y 1,121-==⇒c cxxxe eey +-=⇒3222．解：特征方程为0232=++λλ⇒2,121-=-=λλ对应的齐次方程的通解：xxec ec y 221---+=设x B x A y sin cos *+=代入原方程得：x x B x A x B x A x B x A sin 3)sin cos (2)cos sin (3sin cos =+++-+--⇒ 103,109=-=B A⇒ x x y cos 109sin 103*-= ⇒ x x ec e c y x x c o s 109sin 103221-++=--。
高等数学基础题及答案
一、单项选择题（每小题4分，共28分）1.设，则r(A)= （ D ）．A ．0B ．1C ．2D ．3 2.已知当（ A ）时，函数为无穷小量．3.当时，下列变量为无穷小量的是（ A ）．A ．B ．C ．D ．4.若，则f (x ) =（ C ）A ．B ．-C ．D ．-5.函数的定义域是（ D ） A ．B ．C ．D ．且6.以下结论或等式正确的是（ C ）A ．若均为零矩阵，则有B ．若，且，则C ．对角矩阵是对称矩阵D ．若，则7.线性方程组 解的情况是（ D ）A . 有无穷多解B . 只有0解C . 有唯一解D . 无解二、填空题（每小题4分，共20分） 1.dx e x 2-．2.函数的原函数是 C x +-2cos 213若函数，则62-x4已知某商品的需求函数为q = 180 – 4p ，其中p 为该商品的价格，则该商品的收入函数R (q ) = q q 45412+-5曲线在处的切线斜率是21 三、计算题（每小题5分，共30分）1．已知，求 ．解：2cos sin 2ln 2)cos ()2()(x xx x xxx y x x ++='-'='2．已知，求 ．解：xx x x x x x x x f x x x x x 1cos 2sin 2ln 21)(sin 2sin )2()(ln )sin 2()(++=+'+'='+'='3．设，求．解：由xxx y -+=2cos sin 33，得 32232322322233333cos 3cos sin 3cos 3)(cos sin )(cos cos )(sin xx x x x x x x x x x x d d x y=+='-'== 所以 dx xx d y 322cos 3= 4.计算积分．解：原式21)0cos 21(2cos 2102cos 21222=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ππx 5．计算解：原式C x+=1cos6．解：原式C x x dxx +-=-=⎰221)2(2四、线性代数计算题（10分）设矩阵A =，求逆矩阵．解：02≠=A ，知A 可逆。
高等数学学习指导及练习(下)基础题答案1(1)
高等数学学习指导及练习（下册）基础题答案第8章 空间解析几何与向量代数8.4 基 础 题8.4.1 第8章 练习1一、选择题1. 点()1,1,1关于xOy 坐标面对称的点是 ( )A. ()1,1,1-B. ()1,1,1-C. ()1,1,1---D. ()1,1,1- 2. 点()2,3,1关于原点的对称点是 ( )A. ()2,3,1--B. ()2,3,1--C. ()2,3,1-D. ()2,3,1--- 3. 点()4,3,5--与xOy 面的距离是 ( )A. 4B. 5C. 3 4. 点()4,3,5--与原点的距离是 ( )A. 4B. 5C. 5. 在z 轴上与点()4,1,7A -和点()3,5,2B -等距离的点是 ( )A. ()0,0,9B. ()0,0,9-C. 140,0,9⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 140,0,9⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在X 轴上投影为 ( ) A. 3 B. 2 C. 5 D. 157. 设358m i j k =++，247,n i j k =--34p i j k =+-则43a m n p =+-在Y 轴上的分量为 ( ) A. 5j B. 4j - C. j D. 7j8. 已知两向量5a mi j k =+-，3b i j nk =++平行，则常数m ，n 分别为 ( )A. 115,5B. 115,5-C. 115,5-D. 115,5--高等数学（下册）学习指导及练习二．填空题1. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则||a b += .2. 已知||3,a =||4,b =2,3a b π=，则(32)(2)a b a b -+= .3. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则a b ⨯= .4. 已知(4,2,4),(6,3,2)a b =-=-，则,a b = .5. 同时垂直于向量22a i j k =++和453b i j k =++的单位向量的为 .6. 已知3OA i j =+，3OB j k =+，，则OAB ∆的面积为 . 7. 已知两点(),(3,0,2)P Q ，则向量PQ 的方向角分别为 .三．计算题1. 已知a 的起点为()2,1,0，||3,a =a 的方向余弦为11cos ,cos 22αβ==，求向量a .解:2221cos 1cos cos 2γαβ=--=,cos 2γ=±,11(,,)222a a =⨯±33(,,22=. 2. 由(1,1,1)A 、(3,0,2)B 、(2,2,1)C -所确定的三角形中,求AC 边上高的长度.解:三角形的面积1122S AB AC AC h =⨯=⨯⨯,h =第8章 空间解析几何与向量代数8.4.2 第8章 练习2一、选择题1. xOz 面上的抛物线25z x =绕X 轴旋转所成的旋转曲面的方程是（ ）. A ．225y z x += B ．225x z y += C ．225y z x -= D ．225x z y -=2. 方程2249x y z =+所表示的曲面是 ( ).A. 椭圆抛物面B. 双曲抛物面C. 抛物面D. 椭球面3. 旋转抛物面22(04)z x y z =+≤≤在yOz 坐标面上的投影是 ( ).A ．2240x y z ⎧+≤⎨=⎩ B ．2(04)0z y z x ⎧≥≤≤⎨=⎩ C ．2240x z y ⎧+≤⎨=⎩ D ．2(04)0z x z y ⎧=≤≤⎨=⎩4. 过点(3,0,5)M -且与平面282x y z -+=平行的平面方程为 ( ).A. 281x y z --=B. 281x y z -+=C. 282x y z --=D. 282x y z -+= 5. 过Z 轴和点(3,1,2)--的平面方程 ( ).A. 30x y +=B. 30x y +=C. 80x y -=D. 82y x += 6. 过(111)(222)---，，，，，和(1,1,2)-三点的平面方程 ( ).A. 320x y z -+=B. 320x y z --=C. 320x y z +-=D. 320x y z ++= 7. 平面2250x y z -++=与xOz 坐标面的夹角余弦是 ( ). A ．13 B ．23 C ．13- D ．23-8. 过点(2,2,1)A -且与平面324x y z -+=垂直的直线方程为 ( ).A. 221312x y z --+==- B. 221312x y z --+==--C. 221312x y z -++==-- D ． 221312x y z -++==二．填空题1. 向量(1,0,1)-与向量()2,0,k 垂直，则k = .高等数学（下册）学习指导及练习2. 向量()1,1,1--与向量()2,2,k -平行，则k = .3. 过点(2,2,1)A -且方向角为2,,343πππ的直线方程为 . 4. 直线300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩和平面10x y z --+=的夹角为 .5. 点(1,2,0)P -在平面210x y z +-+=上的投影为 .6. 点(3,1,2)P --到直线10240x y z x y z +-+=⎧⎨-+-=⎩的距离为 .三．计算题1. 求过点(1,2,1)-且与两平面21,210x y z x y z +-=+-+=平行的直线方程. 解：所求直线的方向向量为1123121i j ks i j k =-=-+-所求直线方程为: 121311x y z +--==-.2. 求两异面直线9272,431292x y z x y z -++-====--的距离. 解：记A （9，-2，0），B （0，-7，2），与两条异面直线都垂直的向量431151030292i j k n i j k =-=--+-,245Pr 735n AB s d j AB s====.第九章 多元函数微分法及其应用9.4 基 础 题9.4.1 第9章 练习1一、选择题 1．函数z =）。
高等数学基础习题集(含答案)
x[ ] 1 ；同理可得 lim x[ ] 1 ，因此， lim x[ ] 1 ，证毕. 夹逼准则可得 lim
x 0 x 0
1 x
1 x
1 x
13、设 a1 2, an 1
1 1 (an ), n 1, 2,..., 证明： lim an 存在. n 2 an
(1) 对于任意的 x (0, ) ，有 f ( x) (2) 对于任意的 x ( , 0) ，有 f ( x) 【解题思路】用极限的局部保号性即可.
【详解】 由保号性， 存在 0 ， 当 0 x 0 时，
则 f ( x) f (0) 0 ，故 f ( x) f (0) ；同理，若 x ( , 0) ，则 f ( x) f (0) .
x2 , x0, （C） f ( x) 2 x x, x 0.
x 2 x, x 0, （D） f ( x ) 2 x 0. x ,
【解题思路】按题目给出的分段函数，直接将自变量用 x 代替. 【详解】由于 x 0 时， x 0 ，故 f ( x) x x ，同理可得 x 0 时函数表达式.选 D.
高等数学基础练习题
第一章
1、设 f ( x)
函数、极限、连续
则（ ）
x2 ,
2
x x,
2 ( x x), x 0.
x0,
（B） f ( x )
( x 2 x), x 0, x2 , x 0.
4、设 1 x(cos x 1), 2 小量按照从低阶到高阶的排序是
x ln(1 3 x ), 3 3 x 1 1 .当 x 0 时，以上 3 个无穷
高等数学数学基础综合练习题解答Word版
高等数学基础综合练习题解答一．填空题1．函数ln(1)y x =-的定义域为 12x x >≠且 。
()40410121ln 1011x x x x x x x x +≥⎧≥-⎧⎪⎪->⇒⇒>≠>⎨⎨⎪⎪-≠-≠⎩⎩解：且2．函数y =的定义域是 12x -<< 。
2101122240x x x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<->⎩⎩解： 3．函数y =的定义域是 23x x ≥-≠且 。
202303x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩解： 4．设2(2)2f x x +=-，则)(x f 246x x -+ 。
解：设2x t +=，则2x t =-且原式2(2)2f x x +=-即()2()22f t t =--＝242t t -+亦即()f x =242x x -+4．若函数4(1),0(),x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = 4e - 。
()()()()()()()4144004lim lim 1lim ,lim 1(0)xxx x x f x x x e f k k e -⨯--→→→→-=-=-==∴==x 0函数f x 在x=0连0 续x 则f f5．曲线x y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。
曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()00xy y y x x '-=-解：()001xx x y e-=='=-=-，00001x y e ===时，1(0)1y x y x -=--⇒-=-，6. 函数ln(3)1x y x +=+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。
初等函数在其定义区间连续。
ln(3)1x y x +=+⇒3010x x +>⎧⎨+≠⎩⇒3x >-且1x ≠-⇒()()3,1,1,---+∞7．曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 1y x =- 。
《高等数学》练习题库及答案,DOC(word版可编辑修改)
A、xarctan1/xB、arctan1/x C、tan1/xD、cos1/x 13、设 f（x)在点 x0 连续，g(x)在点 x0 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x）+g(x）在点 x0 必不连续 B、f(x）×g（x)在点 x0 必不连续须有 C、复合函数 f[g（x）］在点 x0 必不连续 D、在点 x0 必不连续
C、-1/2D、1
48、两椭圆曲线 x2/4+y2=1 及(x—1)2/9+y2/4=1 之间所围的平面图形面积等于（)
A、лB、2лC、4лD、6л
49、曲线 y=x2—2x 与 x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）
A、лB、6л/15
C、16л/15D、32л/15
50、点（1，0,-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）
5．下列命题正确的是（)
A．发散数列必无界 B．两无界数列之和必无界
C．两发散数列之和必发散 D．两收敛数列之和必收敛
6． lim sin(x2 1) （）
x1 x 1
A.1B。0
C。2D.1/2
7．设 lim(1 k )x e 6 则 k=（)
x
x
A。1B.2
C.6D。1/6
8。当 x 1 时,下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（)
7、已知ρ=ψsinψ+cosψ/2,求 dρ/dψ|ψ=л/6=（)
8、已知 f(x)=3/5x+x2/5，求 f`（0）=()
9、设直线 y=x+a 与曲线 y=2arctanx 相切，则 a=（)
《高等数学》练习题库及答案,DOC(word 版可编辑修改) 10、函数 y=x2-2x+3 的极值是 y(1）=（）
电大高等数学基础考试答案完整版
电大高等数学基础考试答案完整版高等数学基础复一、单项选择题1.下列各函数中，（C）中的两个函数相等。
A。
f(x) = x^2.g(x) = xB。
f(x) = x^2.g(x) = x^2C。
f(x) = ln(x^3)。
g(x) = 3ln(x)D。
f(x) = x+1.g(x) = (x-1)/(x-1)2.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于（C）对称。
A。
坐标原点B。
x轴C。
y轴D。
y=x3.下列函数中为奇函数是（B）。
A。
y=ln(1+x^2)B。
y=xcosxC。
y=ax+a^-xD。
y=ln(1+x)4.下列函数中为偶函数的是（D）。
A。
y=(1+x)sinxB。
y=x^2C。
y=xcosxD。
y=ln(1+x^2)^(2-1)5.下列极限计算不正确的是（D）。
A。
lim(x^2/(x^2+2))=1B。
lim(ln(1+x))=xC。
lim(sin(x)/x)=1D。
lim(xsin(x))=1 (应为无穷大)6.当x→0时，变量（C）是无穷小量。
A。
sinx/xB。
1/xC。
xsin(1/x)D。
ln(x+2)7.下列变量中，是无穷小量的为（B）。
A。
sin(1/x) (x→0)B。
ln(x+1) (x→0)C。
e^x (x→∞)D。
(x-2)/(x^2-4) (x→2)二、XXX答题1.求函数f(x)=x^3-3x的单调区间和极值。
答：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，得x=±1，f''(x)=6x，f''(1)>0，故x=1是极小值点，f(1)=-2；f''(-1)0，故f(x)在(-1,1)单调递增；当x>1时，f'(x)>0，故f(x)在(1,+∞)单调递增。
2.求函数f(x)=x^3-3x的图像的拐点和凹凸性。
答：f''(x)=6x，令f''(x)=0，得x=0，f'''(x)=6，故x=0是拐点；当x0时，f''(x)>0，故f(x)在(0,+∞)上是上凸的。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)一、选择题1. 设函数 $ f(x) = x^3 3x + 2 $，则 $ f'(0) $ 的值为多少？A. 0B. 1C. 1D. 3答案：A2. 设 $ f(x) = e^x $，则 $ f''(x) $ 等于多少？A. $ e^x $B. $ e^x + x $C. $ e^x x $D. $ e^x + 2 $答案：A3. 设 $ y = \ln(x + 1) $，则 $ y' $ 等于多少？A. $ \frac{1}{x + 1} $B. $ \frac{1}{x} $C. $ \frac{1}{x 1} $D. $ \frac{1}{x + 2} $答案：A4. 设 $ y = x^2 $，则 $ y'' $ 等于多少？A. 2B. 4D. 1答案：B5. 设 $ y = \sin(x) $，则 $ y' $ 等于多少？A. $ \cos(x) $B. $ \cos(x) $C. $ \tan(x) $D. $ \tan(x) $答案：A二、填空题1. 设函数 $ f(x) = x^4 2x^3 + x^2 $，则 $ f'(x) $ 的表达式为______。
答案：$ 4x^3 6x^2 + 2x $2. 设 $ y = \ln(x) $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \frac{1}{x} $3. 设 $ y = e^x $，则 $ y'' $ 的表达式为______。
答案：$ e^x $4. 设 $ y = \cos(x) $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \sin(x) $5. 设 $ y = \sqrt{x} $，则 $ y' $ 的表达式为______。
答案：$ \frac{1}{2\sqrt{x}} $三、解答题1. 求函数 $ f(x) = x^3 3x + 2 $ 在点 $ x = 1 $ 处的切线方程。
高数基础真题测试答案解析
高数基础真题测试答案解析在大学生涯中，数学一直是学生们面临的一大挑战。
尤其是高等数学，或者更精确地说，高等数学的基础知识，它不仅对于数学专业的学生来说至关重要，而且对包括工科、理科、商科在内的许多领域，都具有重要的作用。
因此，掌握高等数学基础知识是每个学生的重要任务之一。
为了帮助同学们更好地理解和掌握高等数学的基础知识，我们为大家准备了一套高数基础真题测试以及相应的答案解析。
接下来，我们将对其中几道题目进行详细解析，希望能够帮助大家更好地理解。
题目一：设函数$f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 1$，求函数$f(x)$在区间[1,2]上的最小值。
解析：要求函数在区间上的最小值，我们首先需要找到函数的极值点。
对于二次函数，我们可以通过求导数来找到极值点。
首先，对函数$f(x)$进行求导得到$f'(x) = 2x - 2a$。
接下来，我们将导数$f'(x)$置为零，得到2x - 2a = 0。
解这个方程可以得到x = a。
由于题目中给定了函数$f(x)$的定义域为[1,2]，我们只需要在这个定义域内找到最小值点即可。
当a取值在[1,2]范围内时，x = a 的值也在[1,2]范围内，因此函数在该区间上有极值点。
接下来，我们需要通过二阶导数的符号判断这个极值点是极小值点还是极大值点。
二阶导数$f''(x) = 2$始终大于0，因此函数在x = a处必定有极小值点。
将x = a代入原函数$f(x)$，可以得到$f(a) = a^2 - 2a^2 +a^2 - 1 = -a^2 - 1$。
由于题目没有给定a的具体值，所以无法求出最小值的具体数值，但我们可以确定最小值为-a^2 - 1。
综上所述，函数$f(x)$在区间[1,2]上的最小值为-a^2 - 1。
题目二：已知函数$f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{(x - 2)^2}$，求函数$f(x)$的极值点和最大值。
高数基础练习题选择题及答案
高数基础练习题选择题及答案高等数学基础模拟练题一、单项选择题1.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞)，则函数f(x)+f(-x)的图形关于（）对称．A)y=xB)x轴C)y轴D)坐标原点2.当x→0时，变量（）是无穷小量．A)1/xB)sinx/xC)2xD)ln(x+1)3.下列等式中正确的是（）．A)d(arctanx)=1/(1+x^2)dxB)d(1/x)=-1/x^2dxC)d(2xln2)=2dxD)d(tanx)=sec^2xdx4.下列等式成立的是（）．A)d/dx∫f(x)dx=f(x)B)∫f'(x)dx=f(x)C)d∫f(x)dx=f(x)D)∫df(x)=f(x)5.下列无穷限积分收敛的是（）．A)∫1/x dx from 1 to +∞B)∫1/x dx from 1 to 0C)∫1/3x^4 dx from 1 to +∞D)∫sinx dx from 0 to +∞二、填空题1.函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)的定义域是(-∞,2)∪(2,+∞)．2.函数y=(x+2)/(x+1)的间断点是x=-1．3.曲线f(x)=1/x在(1,1)处的切线斜率是-1．4.函数y=ln(1+x^2)的单调增加区间是(0,+∞)．5.d∫e^-x^2 dx=-2xe^-x^2+C．三、计算题（每小题9分，共54分）1.计算极限lim(x^2-6x+8)/(x^2-5x+4) as x→4，结果为-2．2.设y=ln(cosx)+x^2lnx，求dy=-(sinx/x)+2xlnx+dx/(xln10)．3.计算不定积分∫(1/x+e^x)dx=ln|x|+e^x+C．4.计算定积分∫cosx/x dx，结果为Ci(x)+C，其中Ci(x)为余积分函数．5.计算定积分∫e^(1/x)lnx dx，结果为-γ-2ln2，其中γ为欧拉常数．四、应用题1.求曲线y=x上的点，使其到点A(3,0)的距离最短．解：设点P(x,y)在曲线y=x上，则P到A的距离为d=sqrt((x-3)^2+y^2)．将y=x代入得d=sqrt((x-3)^2+x^2)=sqrt(2x^2-6x+9)．对d求导得d'=(4x-6)/sqrt(2x^2-6x+9)，令d'=0得x=3/2．再求d''(3/2)<0，故点P(3/2,3/2)到A的距离最短．。
专升本高等数学综合练习题参考答案
专升本高等数学综合练习题参考答案1 ．B2 ．C3 ．C4 ．B 在偶次根式中，被开方式必须大于等于零，所以有且，解得，即定义域为．5 ．A 由奇偶性定义，因为，所以是奇函数．6 ．解：令，则，所以，故选D7 ．解：选D 8 ．解：选D 9 ．解：选B 10 ．解：选C 11 ．解：，所以，故选 B 12 ．解：选 C 13 ．解：选 B14 ．解：选B15 ．解：选B 16 ．解：的定义域为，选D17 ．解：根据奇函数的定义知选C 18 ．解：选C 19. 解：选C20 ．解：因为函数互为反函数，故它们的图形关于直线轴对称，选 C 21 ． A 22 ． D23 ．解：这是型未定式, 故选B ．24 ．解：这是型未定式故选 D ．25 ．解：因为所以，得，所以，故选 A26 ．解：选B27 ．解：选D28 ．解：因为, 故选B29 ．解：故选A30 ．解：因为所以，得，, 所以，故选 B31 ．解：，选A32 ．解：因为，所以不存在，故选 D33 ．解：, 选D34 ．解：极限，选C35 ．解：，选A36 ．解：选B37 ．解：，选B 38 ．解：选A 39 ．解：选D40 ．解：, , 选B41 ．解：，选C42 ．解：根据无穷小量的定义知：以零为极限的函数是无穷小量，故选C43 ．解：因为，故选C44 ．解：因为，故选B45 ．解：因为，故选C46 ．解：因为，故选C47 ．解：因为，所以，故选A48 ．解：因为，故选D49 ．解：由书中定理知选C50 ．解：因为，故选C51 ．解：因为，选B52 ．解：选A53 ．解：，选C54 ．解：因为，选A55 ．解：选A56 ．解：，选C57 ．解：选C58 ．解：选D59 ．解：根据连续的定义知选B60 ．C61 ．解：选A62 ．解：选A63 ．解：, , 选B64 ．解：选A65 ．解：因为，，选 A66 ．解：因为，又，所以在点连续，但，所以在点不可导，选C67 ．解：选C68 ．解：因为，又，所以在点不连续，从而在处不可导，但当时, 极限存在，选 B69 ．解：选B70 ．解：，选A71 ．解：，选A72 ．解：选C73 ．解：因为，故选 B74 ．解：选D75 ．解：因为，曲线既有水平渐近线, 又有垂直渐近线，选 C76 ．解：因为，所以有水平渐近线，但无铅直渐近线，选A77 ．D 78 ．C 解：，．选C ．79 ．C 解：，所以，故选C ．80 ．解：，选 C81 ．解：，选 B82 ．解：因为= ，故选A83 ．解：，故选B84 ．解：因为= ，故选 C85 ．解：因为, 故选B86 ．解：因为，故选 D87 ．解：，选C88 ．解：选B 89 ．解：，所以，选B90 ．解：，选C91 ．解：，选B92 ．解：，选D93 ．解：选 D94 ．解：，选D95 ．解：选C 96 ．解：，选A97 ．C 98 ．A 99 ．B 100 ．A 101 ． C 102 ．B 103 ．C104 ．解：．令，则．当时, 当时, 因此在上单调递增, 在上单调递减．答案选 C ．105 ．解：根据求函数极值的步骤，（ 1 ）关于求导，（ 2 ）令，求得驻点（ 3 ）求二阶导数（ 4 ）因为，由函数取极值的第二种充分条件知为极小值．（ 5 ）因为，所以必须用函数取极值的第一种充分条件判别，但在左右附近处，不改变符号，所以不是极值．答案选 A ．106 ．, 曲线在点(0,1) 处的切线方程为, 选A 107 ．解：函数的图形在点处的切线为，令，得，选 A108 ．，抛物线在横坐标的切线方程为，选 A109 ．, 切线方程是, 选D110 ．, 选A111 ．解：, 切线方程法线方程, 选A112 ．选C113 ．由函数取得极值的必要条件（书中定理）知选D114 ．解：选D115 ．解：令得，，与为拐点，选 B116 ．选D 117 ．选D 118 ．选C119 ．解：，选B120 ．解：，选C ，应选A121 ．解：，所以，故选C122 ．解：，所以，故选A123 ．解：选A 124 ．解：故选B125 ．解：因为，所以，故选B126 ．解：选C 127 ．解：选A 128 ．解：，选C129 ．解：选B130 ．B 131 ．D132 ．解：．所以答案为 C ．133 ．解：由于，所以答案为B ．134 ．解：135 ．解：选A136 ．解：因为，故选B 137 ．解：对两边求导得，故选 C138 ．解：，故选B 139 ．解：，故选B140 ．解：= ，故选A141 ．解：选C 142 ．解：，故选B143 ．解：，选B144 ．解：，，选 B145 ．解：，选A146 ．解：选B 147 ．解：选A148 ．解：因为，故选D149 ．解：因为，故选D150 ．解：，故选A151 ．解：因为，故选C152 ．解：因为，故选A153 ．解：，所以为函数在区间上的最小值，故选 D154 ．解：所以，故选 B155 ．解：，故选D156 ．解：选C 157 ．解：，故选B158 ．解：由于，故选B159 ．解：因为，选B160 ．解：选C 161 ．解：选A 162 ．解：, 选C 163 ．解：，选C164 ．解：令，则，选 B165 ．解：因为，故选B166 ．解：因为，故选A167 ．解：, 故选C168 ．解：，故选A169 ．解：，所以积分收敛，必须故选 A170 ．解：, 选A 171 ．解：，发散，选 B172 ．解：因为，选C 173 ．解：选B174 ．解：若f （x ）在区间[a,b] 上连续，则f （x ）在区间[a,b] 上可积。
高等数学b答案(含综合练习)
高等数学（B ）（1）作业答案高等数学（B ）（1）作业1初等数学知识一、名词解释：邻域——设δ和a 是两个实数，且0>δ，满足不等式δ<-a x 的实数x 的全体，称为点a 的δ邻域。
绝对值——数轴上表示数a 的点到原点之间的距离称为数a 的绝对值。
记为a 。
区间——数轴上的一段实数。
分为开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间。
数轴——规定了原点、正方向和长度单位的直线。
实数——有理数和无理数统称为实数。
二、填空题1．绝对值的性质有0≥a 、b a ab =、)0(≠=b ba b a 、a a a ≤≤-、b a b a +≤+、b a b a -≥-。
2．开区间的表示有),(b a 、。
3．闭区间的表示有][b a ，、。
4．无穷大的记号为∞。
5．)(∞+-∞，表示全体实数，或记为+∞<<∞-x 。
6．)(b ，-∞b b x <<∞-。
7．)(∞+，a +∞<<x a 。
8．去心邻域是指)()(εε+-a a a a ，， 的全体。
用数轴表示即为9.MANZU9．满足不等式112-<≤-x 的数x 用区间可表示为]211(--，。
三、回答题 1．答：（1）发展符号意识，实现从具体数学的运算到抽象符号运算的转变。
（2）培养严密的思维能力，实现从具体描述到严格证明的转变。
（3）培养抽象思维能力，实现从具体数学到概念化数学的转变。
（4）树立发展变化意识，实现从常量数学到变量数学的转变。
2．答：包括整数与分数。
3．答：不对，可能有无理数。
4．答：等价于]51(，。
5．答：)2321(，。
四、计算题1．解：12020102010)2)(1(<>⇒⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧>->-⇒>--x x x x x x x x 或或。
),2()1,(+∞-∞∴ 解集为。
2．解：⎩⎨⎧≤-≤-⎩⎨⎧≥-≥-⇒≥--⇒≥+-050105010)5)(1(0562x x x x x x x x 或 15≤≥⇒x x 或 )5[]1∞+∞-∴，，解集为（ 。
(整理)高等数学数学基础综合练习题解答([1].1)
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高等数学基础综合练习题解答一．填空题1．函数ln(1)y x =-的定义域为 12x x >≠且 。
()40410121ln 1011x x x x x x x x +≥⎧≥-⎧⎪⎪->⇒⇒>≠>⎨⎨⎪⎪-≠-≠⎩⎩解：且2．函数y =的定义域是 12x -<< 。
2101122240xx x x x +>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<->⎩⎩解： 3．函数y =的定义域是 23x x ≥-≠且 。
202303x x x x +≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩解： 4．设2(2)2f x x +=-，则)(x f 246x x -+ 。
解：设2x t +=，则2x t =-且原式2(2)2f x x +=-即()2()22f t t =--＝242t t -+亦即()f x =242x x -+4．若函数4(1),0(),x x x f x k x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则k = 4e - 。
()()()()()()()4144004lim lim 1lim ,lim 1(0)xxx x x f x x x e f k k e -⨯--→→→→-=-=-==∴==x 0函数f x 在x=0连0 续x 则f f5．曲线x y e -=在0x =处的切线方程为 1y x -=- 。
曲线()y f x =在点()00,x y 处的切线方程为()000xy y y x x '-=-解：()001xx x y e-=='=-=-，00001x y e ===时，1(0)1y x y x -=--⇒-=-，6. 函数ln(3)1x y x +=+的连续区间为 ()()3,1,1,---+∞ 。
初等函数在其定义区间连续。
ln(3)1x y x +=+⇒3010x x +>⎧⎨+≠⎩⇒3x >-且1x ≠-⇒()()3,1,1,---+∞7．曲线ln y x =在点(1,0)处的切线方程为 1y x =- 。
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试卷代号：7032上海开放大学2017至2018学年第一学期《高等数学基础》期末复习题一．选择题1．函数2sin(4)2()22x x f x x k x ⎧-<⎪=-⎨⎪≥⎩在2x =连续，则常数k 的值为（ ）。
A ．1 ；B ．2 ；C ．4- ；D ．42． 下列函数中（ ）的图像关于y 轴对称。
A ．cos xe x B ． cos(1)x + C ．3sin x x D ． xx+-11ln 3．下列函数中（ ）不是奇函数。
A ．sin(1)x -；B ．xxe e --； C ．x x cos 2sin ； D ．(ln x4．当0x →时，（ ）是无穷小量。
A ．sin 2x x B ．1(1)x x + C . 1cos x D ．1sin x x5．函数()sin 4f x x =，则 0()lim x f x x→=（ ）。
A ． 0 ； B ．4 ； C ． 14； D ． 不存在6．函数()ln f x x =，则 2()(2)lim 2x f x f x →-=-（ ）。
A ． ln 2 ； B ．1x ； C ． 12； D ． 27. 设)(x f 在点0x x =可微，且0()0f x '=，则下列结论成立的是（ ）。
A ． 0x x =是)(x f 的极小值点 B ． 0x x =是)(x f 的极大值点 ； C ．0x x =是)(x f 的驻点； D ． 0x x =是)(x f 的最大值点； 8．下列等式中，成立的是（ ）。
A=． 222x x e dx de --=- C ．3313xx edx de --=- D ． 1ln 33dx d x x=9．当函数()f x 不恒为0，,a b 为常数时，下列等式不成立的是 （ ）A.)())((x f dx x f ='⎰B.)()(x f dx x f dx d ba=⎰ C. c x f dx x f +='⎰)()( D. )()()(a f b f x f d b a-=⎰ 10．曲线xy e x =-在(0,)+∞内是（ ）。
A ．下降且凹；B ．上升且凹；C ．下降且凸；D ．上升且凸 11．曲线321233y x x x =-+在区间()2,3内是（ ）。
A ．下降且凹 B ．上升且凹 C ．下降且凸 D ． 上升且凸 12．下列无穷积分为收敛的是（ ）。
A.sin xdx +∞⎰ B. 02xe dx -∞⎰ C.012x e dx --∞⎰ D.1+∞⎰ 13．下列无穷积分为收敛的是（ ）。
A.21x dx +∞⎰B.1+∞⎰C. 21x dx +∞-⎰ D. 21xe dx +∞⎰14．下列广义积分中（ ）发散。
A ．121x dx +∞-⎰； B ．311dx x+∞⎰； C ．211dx x +∞⎰； D ． 321x dx +∞-⎰ 15．设函数)(x f 的原函数为()F x ，则211()f dx x x =⎰（ ）。
A ． ()F x C +； B ．1()F C x -+； C ．1()F C x +； D ．1()f C x+16．下列广义积分中收敛的是（ ）二．填空题1．函数()f x =的定义域是 。
2．函数y =的定义域是 。
3．函数y =的定义域是 。
4．曲线2x y e -=在点M 处的切线斜率为22e --，则点M 处的坐标为 。
7. 设2()1f x x =-，则='))((x f f 。
8. 设()f x 的一个原函数是sin 2x ，则=')(x f 。
9．已知()()F x f x '=，则2(1)xf x dx -=⎰。
10． 11(x x dx -=⎰ 。
11．131(cos 1)x x dx -+=⎰。
12．02cos xd t t dt dx ⎰= 。
13．设sin 0()xtF x e dt -=⎰，则()2F π'= 。
14．设()F x 为()f x 的原函数，那么(cos )sin f x xdx =⎰ 。
15．设2(1)0()x t F x e dt --=⎰，那么(1)F '= 。
三．计算题1、求极限1241lim 41xx x x -→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭2、求极限4121lim 23x x x x -+→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭3、求极限43lim32xx x x →∞⎛⎫⎪+⎝⎭4、求极限0x →5、求极限2x → 6、求极限0x →7、设函数(cos xy x e =-，求dy 。
8、设函数1)y x =+，求dy9、设函数(2ln 2y xx =，求dy 。
10、设函数31cos 2x y x+=，求dy 。
11、设函数321xxy e =+，求dy 。
12、设函数221x e y x -=+，求dy 。
13、设函数sin 21cos x y x =+，求dy 。
14、计算不定积分 2sin 2x x dx ⎰15、计算不定积分 2cos 3x x dx ⎰ 16、计算不定积分 23xx e dx -⎰四、应用题1、求由抛物线22y x =-与直线y x =-所围的面积。
2、求由抛物线2y x =与直线2y x =-所围的面积。
7、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
8、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。
9、要用同一种材料建造一个有底无盖的容积为108立方米的圆柱体容器，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
试卷代号：7032上海开放大学2017至2018学年第一学期《高等数学基础》期末复习题答案一．选择题1．D 2．C 3．A 4．D 5．B 6. C7. C 8．C 9．B 10． B 11．A 12．B 13．C 14．A 15．B 16．A二．填空题1．34x << 2．13x x ≥-≠且 3．150x x -<≤≠且4．()21,e - 5．()1ln 222y x -=- 6． 2sin 2(cos 2)xf x dx '- 7. 241x - 8. 4sin 2x - 9． 21(1)2F x C -+10．23 11．0 12．2cos x x --13．1e - 14． (cos )F x C -+ 15．1 三．计算题1、求极限1241lim 41xx x x -→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭解：121212414122lim lim lim 1414141xxxx x x x x x x x ---→∞→∞→∞-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝e2、求极限4121lim 23x x x x -+→∞-⎛⎫⎪+⎝⎭解：414141212344lim lim lim 1232323x x x x x x x x x x x -+-+-+→∞→∞→∞-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝8e3、求极限43lim 32xx x x →∞⎛⎫⎪+⎝⎭解： 4432lim lim 13232x xx x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭83e -= 4、求极限0x →解：0033lim 22x x x x→→==--5、求极限20x →解：223003lim 232x x x x x →→⋅-==- 6、求极限0x →解：002lim 12x x xx→→-==-7、设函数(cos xy x e=-，求dy 。
解：3cos 22xy xex =-8、设函数1)y x =+，求dy 。
9、设函数(2ln 2y xx =，求dy 。
解： 522ln 2y x x x =- 10、设函数31cos 2x y x+=，求dy 。
解：()()()()231cos 231cos 2cos 2x x x x y x ''+-+'=()()23cos 2231sin 2cos 2x x xx ++=11、设函数321xxy e =+，求dy 。
12、设函数221xe y x -=+，求dy 。
13、设函数sin 21cos xy x=+，求dy 。
解：()()()()2sin 21cos sin 21cos 1cos x x x x y x ''+-⋅+'=+14、计算不定积分 2sin2x x dx ⎰2:x 解 2x 2 0+ — + 2sin 2x x dx ⎰＝-+++22cos 8sin 16cos 222x x xx x C 15、计算不定积分 2cos3x x dx ⎰2:x 解 2x 2 0+ — + 16、计算不定积分 23xx edx -⎰解： 2x 2x 2 0+ — +四、 应用题1、求由抛物线22y x =-与直线y x =-所围的面积。
解：21221,2y x x x y x⎧=-⇒=-=⎨=-⎩由 2、解：抛物线2y x =与直线2y x =-的交点为(2,4),(1,1)-面积()1222A x x dx -=--⎰3、求由抛物线2y x x =-与直线y x =所围的面积。
解：2120,2y x xx x y x⎧=-⇒==⎨=⎩由 所围的面积22220(())(2)S x x x dx x x dx=--=-⎰⎰4、解：抛物线22y x =-与直线y x =的交点为(1,1),(2,2)--面积()221(2)A x xdx -=--⎰5、解：解：抛物线2y x =与直线6y x =-的交点为(3,9),(2,4)-面积()2236A x x dx -=--⎰1256= 6、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使所用材料最省。
解：设圆柱体底半径为r ，高为h ， 则体积24V r h π==24h rπ⇒=材料最省即表面积最小表面积S ＝22r rh ππ+＝2242r r r πππ+⋅＝28r rπ+ 'S ＝282r rπ-，令'S ＝0，得唯一驻点34r π= 所以当底半径为34π米，此时高为34π米时表面积最小即材料最省。
7、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为16立方米,底面单位面积的造价为10元/平方米，侧面单位面积的造价为20元/平方米，试问如何选取底半径和高的尺寸,才能使建造费用最省。
解：设圆柱体底半径为r ，高为h ， 则体积216V r h π==216h rπ⇒=且造价函数226401020210f r rh r r πππ=+⨯=+令2640200f r r π'=-=，得唯一驻点r =所以当底半径为8、在半径为8的半圆和直径围成的半圆内内接一个长方形（如图），为使长方形的面积最大，该长方形的底长和高各为多少。