根的判别式的应用

情境导入

鲁迅先生在《古小说钩沉》辑本中有一则《执竿入城》的寓言：“鲁有执长竿入城门者，初竖执之，不可入，横执之，亦不可入，计无所出，俄有老父至，曰：吾非圣人，但见事多矣，何不以锯中截而入？遂依而截入．”

我国当代数学家许淳舫教授将寓言《执竿入城》编成了一道趣味数学题，收入《古算趣味》中：

笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹；

横多四尺竖多二，没法急得放声哭；

有个自作聪明者，教他斜竹对两角；

笨伯依言试一试，不多不少刚抵足；

借问竿长多少数，谁人算得我佩服．

同学们，你能根据诗中的内容列出方程吗？这个方程和我们之前学过的方程又有什么不同？

重点难点根的判别式的应用

河南刘振超

自主学习

课堂探究

1.用根的判别式判定方程根的情况

例

A.有两个不相等的实数根

B. 有两个相等的实数根

B.没有实数根 D. 无法判断

解题思路：先找出a，b，c的值，再计算根的判别式b2-4ac的值，由 与0的关系来判断方程根的情况．

解：

2.确定方程中字母的取值范围

例2（2017•淄博）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）

A．k＞-1 B．k＞-1且k≠0 C．k＜-1 D．k＜-1或k=0

解题思路：根据方程根的情况，得∆＞0，从而建立关于k的不等式，解这个不等式，求得k的取值范围，然后再根据一元二次方程的定义可知k≠0，进而可知k的取值范围．

解：

3.判别三角形的形状

例3关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由.

解题思路：根据方程根的情况，可得∆=0，从而建立关于a，b，c的等式，然后将等式进行变形，即可判断△ABC的形状．

交流探索

例4已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0，试判断方程根的情况．

解题思路：欲判断方程根的情况，需要准确找出a，b，c的值，然后计算b2-4ac，得出含m 的代数式，再将这个代数式用配方法化成（x-h）2+k的形式，即可判断出方程根的情况. 解：

参考答案

课堂探究：

例1 B

例2 B

例3 解：∵方程有两个相等的实数根，

∴∆=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，

∴4b2-4a2+4c2=0，

∴a2=b2+c2.

∴△ABC是直角三角形.

交流探索：

解：例4 在方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0中，

∆=[-（m+2）]2-4（2m-1）=m2-4m+8=（m-2）2+4，

∵（m-2）2≥0，

∴（m-2）2+4＞0.

∴方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0总有两个不相等的实数根．