根的判别式的应用
第09讲根的判别式及其应用(原卷版)2
第09讲 根的判别式及其应用【知识梳理】一：判别式的值与根的关系1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac -叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆-．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆->时，方程有两个不相等的实数根；当2=40b ac ∆-=时，方程有两个相等的实数根；当2=40b ac ∆-<时，方程没有实数根．二：根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况；（2）根据参数系数的性质确定根的范围；（3）解与根有关的证明题．三：韦达定理韦达定理：如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个根,由解方程中的公式法得,1x ，2x ． 那么可推得1212,b c x x x x a a+=-=． 这是一元二次方程根与系数的关系 【考点剖析】题型一：判别式的值与根的关系例1．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x --=；（2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +-=．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx -++=根的判别式的值为4，求m 的值．例2.当m 取何值时，关于x 的方程221(2)104x m x m +-+-=， （1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？【变式1】一元二次方程220x x --=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 没有实数根；D. 不确定.【变式2】关于x 的方程210x mx m -+-=根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 没有实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 有两个不相等的实数根；D. 有两个实数根.【变式3】下列方程中，没有实数根的是（ ）A. 2250x x --=B. 2210x x -+=C. 220x x -=D. 225x x -=-【变式4】当a ＝ 时，关于x 的方程2210x ax -+=有两个相等的实数根.【变式5】已知方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况． 【变式6】当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k -+-=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．题型二：根的判别式的应用例3．证明：方程()()212x x k --=有两个不相等的实数根．【变式1】当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k --=--≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【变式2】已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++-=有实数根，求m 的取值范围．【变式3】如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m -++=的根的情况如何?【变式4】已知关于x 的方程()21230m x mx m +++-=总有实数根，求m 的取值范围．题型三：韦达定理例4．写出下列一元二次方程（方程的根为12,x x ）的两实数根的和与两实数根的积（1）2310x x -+=，12x x +=________；12x x =________；（2）23220x x --=，12x x += ________；12x x =________． 【变式1】已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一根及k 值．【变式2】已知：关于x 的方程23190x x m -+=的一个根是1，求另一根及m 值．【变式3】如果5-是方程25100x bx +-=的一个根，求另一个根及b 值．【变式4】已知12,x x 是方程230x px q ++=的两个根，分别根据下列条件求出p q 、的值．（1）12x x ==； （2）1222x x =-+=--【变式5】设12,x x 是方程22430x x +-=的两个根，求()()1211x x ++的值．【变式6】已知方程22210x ax a +-+=的两个实根的平方和为174，求a 的值；【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•徐汇区期末）若方程x2﹣3x+m＝0有一根是1，则另一根是（）A．1B．2C．﹣1D．﹣22．（2022秋•青浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（）A．B．（x﹣2）2＝5C．x2+2x＝0D．3．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠04．（2022秋•黄浦区期中）下列方程中，无实数根的方程为（）A．2x2+6x＝3B．3x2+4x+6＝0C．x2﹣2x＝0D．3x2﹣4x﹣6＝05．（2022秋•宝山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根6．（2022秋•闵行区期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程ax2+2（b﹣c）x+a＝0的实数根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定二．填空题（共12小题）7．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为，积为．8．（2022秋•普陀区校级期中）若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是．9．（2022秋•长宁区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2+2x＝1，方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．10．（2022秋•闵行区校级期中）若等腰三角形的一边长是2，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为．11．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是．12．（2022秋•徐汇区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．13．（2022秋•浦东新区校级月考）等腰△ABC的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是．14．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，则m＝．15．（2022秋•奉贤区期中）当k时，关于x的方程有两个实数根．16．（2022秋•杨浦区期中）如果关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．17．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为．18．（2022秋•黄浦区期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长．20．（2022秋•静安区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数）．（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．（2）如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．（3）如果该方程没有实数根，求m的取值范围．21．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根．求m的值并求出两个实数根．22．（2022秋•徐汇区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．23．（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．24．（2022秋•青浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，求m能取的正整数值．25．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程（k﹣2）x2+6kx+4k﹣1＝0．（1）只有一个根，求k的值，并求此时方程的根；（2）有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．26．（2022秋•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0．（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值．27．（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个相等的实数根，且a，b，c满足3a﹣2c＝b．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若a，b为方程x2﹣2kx+（﹣2k+3）＝0的两根，求k的值．28．（2022秋•闵行区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m+5）x+（m+4）＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）请写出m的最小整数值，并求出此时方程的根．。
根的判别式及其应用-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
根的判别式及其应用【知识梳理】一：判别式的值与根的关系1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根； 当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根． 二：根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 三：韦达定理韦达定理：如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个根,由解方程中的公式法得,1x 2x = 那么可推得1212,b cx x x x a a+=−=． 这是一元二次方程根与系数的关系【考点剖析】 题型一：判别式的值与根的关系例1．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx −++=根的判别式的值为4，求m 的值． 【答案】0．【答案】【答案】【解析】∵1a m =−，2b m =，1c =， ∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=−=−⨯−=−+=，整理即得20m m −=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =−≠，故1m ≠，由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0． 例2.当m 取何值时，关于x 221(2)104x m x m +−+−=，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >．【解析】对此方程，1a =，2b m =−，2114c m =−，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=−=−−−=−+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=−+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根； （2）当480m ∆=−+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根； （3）当480m ∆=−+<，即2m >时，方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【变式1】一元二次方程220x x −−=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 没有实数根；D. 不确定. 【答案】B【解析】因为2(1)41(2)1890∆=−−⨯⨯−=+=>，所以方程有两个不相等的实数根. 【变式2】关于x 的方程210x mx m −+−=根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 没有实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 有两个不相等的实数根；D. 有两个实数根. 【答案】D【解析】 因为判别式2224(1)44(2)0m m m m m ∆=−−=−+=−≥，故原方程有两个实数根，故选D. 【变式3】下列方程中，没有实数根的是（ ）A. 2250x x −−=B. 2210x x −+=C. 220x x −= D. 225x x −=−【答案】D.【解析】A 、420240∆=+=>，有两不等实数根；B 、440∆=−=，有两个相等实数根；C 、40∆=>，有两个不相等的实根；D 、420160∆=−=−<，无实数根. 故正确答案选D.【变式4】当a ＝ 时，关于x 的方程2210x ax −+=有两个相等的实数根.【答案】1±【解析】由2440a ∆=−=得，1a =±.【变式5】已知方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【答案】方程无实数根．【答案】【答案】【解析】方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，代入即得：231238a b −=⎧⎨+=⎩，可解得：22a b =⎧⎨=⎩， 此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=−=−<，可知方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．【变式6】当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k −+−=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为2x k =± 【答案】【答案】【解析】对此方程，1a =，4b k =−，()221c k =−，则()()22244421164b ac k k k ∆=−=−−−=−，因为方程有实数根，则有1640k ∆=−≥，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为()4222k b x k a −−−===【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大 题型二：根的判别式的应用例3．证明：方程()()212x x k −−=有两个不相等的实数根．【解析】证明：对原方程进行整理，即为：22320x x k −+−= 其中1a =，3b =−，22c k =−则()()22224342410b ac k k ∆=−=−−−=+>恒成立，由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．【变式1】当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k −−=−−≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >．【答案】【答案】【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：()()()212210k x k x k −−−++=，此时，1a k =−，()22b k =−−，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =−≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=−=−−−+=−+，由此可知，（1）当16200k ∆=−+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根； （2）当16200k ∆=−+=，即54k =时，方程有两相等实根； （3）当16200k ∆=−+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【答案】【答案】【变式2】已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++−=有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−且1m ≠−．【答案】【答案】【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠−；对此方程， 其中1a m =+，2b m =，c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−；即m 的取值范围为32m ≥−且1m ≠−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．【变式3】如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m −++=的根的情况如何?【答案】方程无实根．【答案】【答案】【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知10m +<，即1m <−，对一元二次方程21(1)04mx m x m −++=而言，其中a m =，()1b m =−+，14c m =， 则()221414214b ac m m m m ∆=−=+−⋅=+，1m <−时，0∆<恒成立，由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．【变式4】已知关于x 的方程()21230m x mx m +++−=总有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−．【答案】【答案】【解析】（1）当10m +=，即1m =−时，方程为一元一次方程240x −−=，方程有实根； 当10m +≠，即1m ≠−时，方程为一元二次方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−且1m ≠−；综上所述，m 的取值范围为32m ≥−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算． 题型三：韦达定理例4．写出下列一元二次方程（方程的根为12,x x ）的两实数根的和与两实数根的积 （1）2310x x −+=，12x x +=________；12x x =________；（2）23220x x −−=，12x x += ________；12x x =________．【答案】（1）3，1；（2）23，【答案】【答案】23−．【解析】（1）1a =，3b =−，1c =，根据一元二次方程根与系数的关系，可得123b x x a +=−=，121c x x a ==；（2）3a =，2b =−，2c =−，根据一元二次方程根与系数的关系，可得1223b x x a +=−=，1223c x x a ==−；【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的a 、b 、c 值即可快速得到结果．【变式1】已知方程2560x kx +−=的一个根是2，求另一根及k 值．【答案】方程另一根为35x =−，【答案】【答案】7k =−．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125kx x +=−，1265x x =−， 令12x =，则可求得235x =−，代入可得12755k x x +=−=，可得7k =−． 【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式2】已知：关于x 的方程23190x x m −+=的一个根是1，求另一根及m 值．【答案】方程另一根为163x =，【答案】【答案】16m =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，12193x x +=，123mx x =，令11x =，则可求得2163x =，代入可得121633m x x ==，可得16m =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式3】如果5−是方程25100x bx +−=的一个根，求另一个根及b 值．【答案】方程另一根为25x =，【答案】【答案】23b =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125b x x +=−，121025x x −==−，令15x =−，则可求得225x =，代入可得122355b x x +=−=−，可得23b =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式4】已知12,x x 是方程230x px q ++=的两个根，分别根据下列条件求出p q 、的值． （1）12x x == （2）1222x x =−+=− 【答案】（1）0p =，21q =−；（2）12p =，3q =．【答案】【答案】【解析】（1）根据韦达定理，可得1203px x +=−=，1273q x x ==−，可得0p =，21q =−； （2）根据韦达定理，可得1243px x +=−=−，1213q x x ==，可得12p =，3q =． 【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．【变式5】设12,x x 是方程22430x x +−=的两个根，求()()1211x x ++的值．【答案】【答案】【答案】52−．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足12422x x +=−=−，1232x x =−， 由此()()()()121212*********x x x x x x ⎛⎫++=+++=−+−+=− ⎪⎝⎭． 【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．【变式6】已知方程22210x ax a +−+=的两个实根的平方和为174，求a 的值；【答案】【答案】【答案】3a =．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足122ax x +=−，12122a x x −=，依题意有 2212174x x +=，即()221212121227224a a x x x x −⎛⎫+−=−−⨯= ⎪⎝⎭，整理即得28330a a +−=，解得：111a =−，23a =；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足()2242211680a a a a ∆=−⨯−+=+−≥，仅在3a =时0∆≥成立，综上所述，可得3a =．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足0∆≥．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•徐汇区期末）若方程﹣3x +m ＝0有一根是1，则另一根是（ ） A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【分析】根据根与系数的关系列出关于另一根n 的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设方程的另一根为n ， ∵方程x2﹣3x+m ＝0有一根是1， ∴1+n ＝3，解得：n ＝2， 故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根于系数的关系，解题的关键是弄清楚一元二次方程的两根之和与系数a 、b 的关系．2．（2022秋•青浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）A ．B ．（x ﹣2）2＝5C ．x 2+2x ＝0D ．【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：A．x2﹣x+＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根；B．x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根；C．x2+2x＝0，∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，∴方程有两个不相等的实数根；D．2x2﹣x+1＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，∴方程没有实数根．故选：A．ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．3．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．4．（2022秋•黄浦区期中）下列方程中，无实数根的方程为（）A．2x2+6x＝3B．3x2+4x+6＝0C．x2﹣2x＝0D．3x2﹣4x﹣6＝0【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断四个方程的根的情况即可．【解答】解：A．方程化为一般式为2x2+6x﹣3＝0，Δ＝62﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B．Δ＝42﹣4×3×6＝﹣56＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C．Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D．Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣6）＝88＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022秋•宝山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式得Δ＝b2+4a2b，根据根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，即可确定判别式得符号，进一步确定根的情况．【解答】解：在一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0中，Δ＝b2+4a2b，根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．6．（2022秋•闵行区期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程ax2+2（b﹣c）x+a＝0的实数根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），根据三角形的三边关系可知Δ＜0，可知一元二次方程根的情况．【解答】解：Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），∵a、b、c是三角形三边的长，∴b﹣c+a＞0，b﹣c﹣a＜0，∴Δ＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）＜0，∴原方程没有实数根，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为，积为．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系x2﹣3x+2＝0两个根的和为3，积为2．故答案为：3，2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．（2022秋•普陀区校级期中）若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是．【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，即可得出b2＝﹣4c，将其代入中，即可求出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4×1×（﹣c）＝0，∴b2＝﹣4c，又∵c≠0，∴＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．9．（2022秋•长宁区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2+2x＝1，方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：将原方程转化为一般形式得（m+1）x2+2x﹣1＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：m＞﹣2且m≠﹣1，∴m的取值范围是m＞﹣2且m≠﹣1．故答案为：m＞﹣2且m≠﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．10．（20222，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为．【分析】讨论：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，利用判别式的意义得到∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解方程得到m的值；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，求出m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系可判断这种情况不符合题意．【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，综上所述，m的值为9．故答案为9．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．11．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是．【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m×1＞0且m≠0，解得：m＜1且m≠0．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．12．（2022秋•徐汇区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，得出Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，∴Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，∴m＜﹣，故答案为：m＜﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，关键是掌握Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．13．（2022秋•浦东新区校级月考）等腰△ABC的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是．【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．【解答】解：设关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别为a、b．∵方程x2﹣10x+m＝0有两个实数根，∴Δ＝100﹣4m≥0，得m≤25．①当底边长为3时，另两边相等时，a+b＝10，∴另两边的长都是为5，则m＝ab＝25；②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+m＝0的根，而a+b＝10，∴另一根为：7．∵3+3＜7，不能构成三角形．∴m的值为25．故答案为：25．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．14．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，则m＝．【分析】根据根的判别式得出方程（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，解得：m＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．15．（2022秋•奉贤区期中）当k时，关于x的方程有两个实数根．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，解得k≤且k≠0，即k的取值范围为k≤且k≠0．故答案为：≤且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．（2022秋•杨浦区期中）如果关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，解得m＞﹣且m≠0，即m的取值范围为m＞﹣且m≠0，故答案为：m＞﹣且m≠0，【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．17．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为．【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值．【解答】解：当m﹣3＝0，即m＝3时，方程为8x+24＝0，解得x＝﹣3，不合题意舍去；当m﹣3≠0，即m≠3时，（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0[（m﹣3）x﹣（2m+2）]（x﹣m）＝0，∴x1＝＝，x2＝m，∵方程的两个实数根都为正整数，∴是正整数，∴m＝4或5或7或11，故答案为：3或4或5或7或11．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是结合方程的解为正整数，找出关于m的分式方程．18．（2022秋•黄浦区期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是．【分析】根据根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程．【解答】解：∵1+（﹣）＝1﹣，1×（﹣）＝﹣，∴这个方程的一般式是x2+（﹣1）x﹣＝0．故答案为：x2+（﹣1）x﹣＝0．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长．【分析】设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，利用根与系数的关系得到a+b＝10，ab＝m，讨论：当a＝b＝5时，易得m＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4或b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形．【解答】解：设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则a+b＝10，ab＝m，当a＝b＝5时，m＝5×5＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4时，b＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；当b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；综上所述，当m＝25时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为5，5；当m＝24时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为4，6．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了等腰三角形的判断．20．（2022秋•静安区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数）．（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．（2）如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．（3）如果该方程没有实数根，求m的取值范围．【分析】先求出Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据该方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，进一步求解即可；（2）根据该方程有两个相等的实数根，可得Δ＝4m+8＝0，进一步求解即可；（3）根据该方程没有实数根，可得Δ＝4m+8＜0，进一步求解即可．【解答】解：关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数），a＝m+1，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据题意，得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，解得m＞﹣2且m≠﹣1；（2）根据题意，得Δ＝4m+8＝0，解得m＝﹣2；（3）根据题意，得Δ＝4m+8＜0，解得m＜﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．21．（2022x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根．求m的值并求出两个实数根．【分析】由一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，得Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，可解得m＝±2，然后把m＝±2代入方程，解此方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，原方程变为：x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1，当m＝﹣2时，原方程变为：x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac的关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解是解决问题的关键．22．（2022秋•徐汇区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论可得出m可取的最大非零整数为﹣1，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4×1×m2＝4﹣8m≥0，解得：m≤，∴m的取值范围为m≤．（2）∵m≤，∴当m取最大非零整数时，m＝﹣1．当m＝﹣1时，原方程为x2+4x+1＝0，解得：x1＝＝﹣2﹣，x2＝＝﹣2+．∴当m取最大非零整数时，方程的两个根分别为x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2+．【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）代入m的值，利用公式法求出一元二次方程的解．23．（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．【解答】解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1，∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，解得，x1＝1，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．24．（2022秋•青浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，求m能取的正整数值．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，然后求出m的取值范围，进而求出结果．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，解得m≤3且m≠1．故m能取的正整数值为2，3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．25．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程（k﹣2）x2+6kx+4k﹣1＝0．（1）只有一个根，求k的值，并求此时方程的根；（2）有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由题意得k﹣2＝0≠0，即k＝2，列出方程求解可得；（2）根据题意得：k﹣2≠0且Δ＝0，解方程可得k的值，再代入列出关于x的方程，求解可得．【解答】解：（1）因为只有一个根所以k﹣2＝0且6k≠0，解得k＝2，∴方程为12x+7＝0，解得x＝，所以方程的根为x＝；（2）根据题意，得：k﹣2≠0，即k≠2，Δ＝0，即（6k）2﹣4（k﹣2）×（4k﹣1）＝0，解得k1＝，k2＝﹣2，当k＝时，方程为9x2﹣6x+1＝0，即（3x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝，当k＝﹣2时，方程为4x2+12x+9＝0，即（2x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣．【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．26．（2022秋•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0．（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根，∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，解得：m≥2，∴当方程有两个实数根，m的取值范围为m≥2．（2）当7为底时，由题意得，Δ＝，则8m﹣16＝0，解得m＝2，此时一元二次方程x2﹣6x+9＝0解得x＝3，因为3+3＜7，舍去；当7为腰时，将x＝7代入得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m＝4或m＝10，当m＝10时，得三边长为7、7、15，因为7+7＜15（舍去），当m＝4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形，故m的值为4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决．27．（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个。
第二讲 根的判别式及其应用
例4．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0．
（2）若等腰∆ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
（2）②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
【解析】
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，
∴∆=b2-4ac =[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1) =8+8k2 >0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
k2≥
例2．当m为什么值时，关于x的方程 m2 −4 x2 +2 m+1 x+1=0有实根．
【点拨】讨论：分 m2 −4=0和m2 −4≠0 两种情况.
【解析】当m2−4=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式
△=b2-4ac
一元二次方程的根的情况取决于
2
Δ=b -4ac>0
方程有两个不相等的实数根.
Δ=b2-4ac的符号.
Δ=b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根.
Δ=b2-4ac<0
方程没有实数根.
反之也成立
注意
（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、
∴方程总有两个实数根；
m 2 ( m 2)
x
（2）由求根公式得 x1=1，x2= 2 ，∵x1=1为整数，
2m
m
2
∴必须x2= 为整数即可，∵ m取正整数 ∴m =1或2．
m
例6．已知关于x的方程mx 2-(m+2)x+2=0(m≠0).
专题二：根的判别式的应用类型(一)-----根的情况(有答案)
专题二：根的判别式的应用类型（一）-----根的情况（有答案） ➢ 知识指引一、一元二次方程根的判别式的定义运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b ac x a a-+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：2b x a += 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a ，b ，c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．二、判别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况（是否有实数根）由24b ac ∆=-确定．设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根1,2x =． ②0∆=⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根122b x x a==-． ③0∆<⇔方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根． 说明：⑴用判别式去判定方程的根时，要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用.➢ 典型例题类型一：不解方程，用判别式判断根的情况【例1】一元二次方程x 2－5x ＋6=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断【解答】∵a=1，b=－5，c=6，∴∆=（－5）2－4×6=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B ．【变式】关于x 的方程x 2－kx －2=0的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C．有两个不相等的实数根 D．无法确定【解答】由∆=（－k）2－4×1×（－2）=k2＋8．∵k2≥0，∴k2＋8＞0，即∆＞0，∴该方程有两个不相等的实数根．故选：C．【例2】已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋2m2=0．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x=1是该方程的根，求代数式2（m－1）2＋3的值．【解答】（1）由题意，得∆=（4m）2－4•2m2=8m2≥0，∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）把x=1代入方程得1－4m＋2m2=0，则2m2－4m=－1．∴2（m－1）2－3=2m2－4m＋2＋3=－1＋2＋3．【变式】关于x的一元二次方程x2+mx+m-3=0．（1）若方程的一个根为1，求m的值；（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．【解答】（1）∵方程的一个根为1，∴1+m+m-3=0，∴m=1；（2）依题意，得∆=m2-4（m-3）=m2-4m+12=（m-2）2+8＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．类型二：用判别式求字母系数的值或范围【例3】关于x的方程x2＋4x－k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．【解答】∵关于x的方程x2＋4x－k=0有两个不相等的实数根，∴∆=42－4×1×（－k）＞0，解得k＞－4，故答案为k＞－4．【变式】亮亮在解一元二次方程x2-6x+□=0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（）A．1 B．0 C．7 D．9【解答】设常数项为c，根据题意，得△=（-6）2-4c≥0，解得c≤9，∴c的最大值为9．故选：D．【例4】已知关于x的方程（a－1）x2＋2x＋3=0．（1）若a=0，不解方程，试判断这个方程根的情况；（2）若这个方程有两个实数根，求实数a的取值范围．【解答】（1）∵a=0，∴方程为－x2＋2x＋3=0．∵∆=22－4×（－1）×3=16＞0，∴该方程有两个不相等的实数根；（2）∵关于x的方程（a－1）x2＋2x＋3=0有两个实数根，∴∆=22－4×（a－1）×3≥0且a－1≠0，且a≠1．解得：a≤43【变式】关于x的一元二次方程x2－4x＋2n=0无实数根，则一次函数y=（2－n）x＋n的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】由已知，得：∆=b2－4ac=（－4）2－4×1×（2n）=16－8n＜0，解得n＞2，∵一次函数y=（2－n）x＋n中，k=2－n＜0，b=n＞0，∴该一次函数图象在第一、二、四象限，故选：C．➢跟踪训练1.关于x的一元二次方程x2+（-k+2）x-4+k=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【解答】∵△=（-k+2）2-4×1×（-4+k）=k2-4k+4+16-4k=k2-8k+20=k2-8k+16+4=（k-4）2+4＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选：A．2．若关于x的一元二次方程x2＋4x＋c=0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】根据题意，得∆=42－4×1×c＞0，解得c＜4，故选：D．3.当b－c=3时，关于x的一元二次方程2x2－bx＋c=0的根的情况为（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【解答】∵b－c=3，∴c=b－3，∵2x2－bx＋c=0，∴∆=（－b）2－4×2×c=b2－8c=b2－8（b－3）=b2－8b＋24=（b－4）2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．4.关于x的方程（a－3）x2－4x－1=0有两个不相等的实数根，则a的值范围是（）A．a≥－1且a≠3 B．a＞－1且a≠3 C．a≥－1 D．a＞－1【解答】根据题意得a－3≠0且∆=（－4）2－4（a－3）×（－1）＞0，解得a＞－1且a≠3．故选：B．5．若关于x的一元二次方程x2＋2x－k=0有两个相等的实数根，则k的值为．【解答】∵关于x的一元二次方程x2＋2x－k=0有两个相等的实数根，∴∆=b2－4ac=4＋4k=0，解得k=－1，故答案为－1．6.若关于x的一元二次方程（k－1）x2－x－1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是．【解答】根据题意得：∆=b2－4ac=1＋4（k－1）=4k－3＞0，且k－1≠0，且k≠1．解得k＞34且k≠1．故答案为：k＞347.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4=0有两个相等实数根，则以k为边长的正方形的面积为．【解答】由题意得：∆=k2－4×4=0，解得：k2=16．则以k为边长的正方形的面积为16．故填：16．8.关于x的方程（a－5）x2－4x－1=0没有实数根，则a满足的条件是．【解答】由题意知，∆=（－4）2－4×（a－5）×（－1）＜0，且a－5≠0，解得：a＜1，故答案为a＜1．9.已知关于x的一元二次方程x2－mx－2m2=0．（1）若方程的一个根是1，求m的值；（2）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根．【解答】（1）将x=1代入x2－mx－2m2=0，得1－m－2m2=0．，m2=－1；解得m1=12（2）证明：∵a=1，b=－m，c=－2m2，∴∆=b2－4ac=（－m）2－4×1×（－2m2）=9m2．∵m2≥0，∴9m2≥0，∴不论m取何值，方程总有两个实数根．10.已知关于x的一元二次方程x2-3x+a-1=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．【解答】（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+a-1=0有实数根，∴∆=（-3）2-4（a-1）=-4a+13≥0，解得a≤13，4；即a的取值范围是a≤134，∴整数a的最大值是3，（2）∵a的取值范围是a≤134把a=3代入方程x2-3x+a-1=0得：x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2．11.已知关于x的方程2mx2-（5m-1）x+3m-1=0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根．（2）如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值．【解答】（1）①当m=0时，该方程是关于x的一元一次方程，符合题意；②关于x的一元二次方程2mx2-（5m-1）x+3m-1=0．∵∆=（5m-1）2-8m（3m-1）=（m-1）2≥0，∴无论m为任何实数，方程总有实根．（2）由题意，得∆=（m-1）2=1，解得m1=0，m2=2，∵m≠0，∴m=2．。
2024九年级数学下册提练第3招根的判别式的八种常见应用课件新版新人教版
(2)若一次函数 y＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数 y＝mx
(m≠0)b(k≠0)的图象与反比例函
数 y＝mx (m≠0)的图象只有一个交点，
y＝2x＋12，
∴y＝mx
只有一组解，
即2x2＋12x－m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝122－4×2×(－m)＝0，∴m＝－18. 把m＝－18代入2x2＋12x－m＝0，求得该方程的解为 x1＝x2＝－3， 把x＝－3代入y＝2x＋12，得y＝6， ∴所求的交点坐标为(－3，6)．
【解】△ABC是直角三角形．理由： ∵方程有两个相等的实数根， ∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0， ∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2， ∴△ABC是直角三角形．
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程 的根． 【解】如果△ABC是等边三角形，那么a＝b＝c． 当a＝b＝c时，原方程可整理为2ax2＋2ax＝0. ∴x2＋x＝0.解得x1＝0，x2＝－1.
如图，过B作HF⊥x轴，过A作AH⊥HF于H，过E作 EF⊥HF于F，
则 AH＝1，BH＝2，EF＝4，BF＝4，HF＝6，
∴S△ABE＝S 梯形 AEFH－S△BEF－S△ABH＝ (AH＋E2F)×HF－EF×2BF－AH×2BH＝ (1＋24)×6－4×24－1×22＝6，∴A，B 两点的坐标分别为 (1，4)，(2，2)，△ABE 的面积为 6.
(3)直线y＝mx－3m绕点C旋转，直接写出当直线与反比例 函数的图象无交点时m的取值范围. 【解】由题意知 C(3，0)， 令 mx－3m＝4x，整理得 mx2－3mx－4＝0， 令 Δ＝9m2＋16m＜0，解得－196＜m＜0， ∴当直线与反比例函数的图象无交点时 m 的取值范围 为－196＜m＜0.
根的判别式的应用
根的判别式的应用根的判别式内容：一元二次方程在一般形式下，即形如：ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＝b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根．根的判别式的应用：一、判断方程根的情况例1：一元二次方程y2+2（y﹣1）＝3y的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根解：y2+2（y﹣1）＝3y，y2+2y﹣2＝3y，y2﹣y﹣2＝0，∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，∴有两个不相等的实数根．故选：A．练习1：1.关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数由m的值确定2.下列一元二次方程中，无实数根的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x2+3x+2＝0C．x2﹣2x+1＝0D．x2+2x+3＝03.已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数与实数b的取值有关二、根据方程根的情况求字母的取值范围例2：如果关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．a＞﹣1B．a≥﹣1C．a≥﹣1且a≠0D．a＞﹣1且a≠0解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴a≠0，Δ＝22﹣4a×（﹣1）＝4+4a＞0，解得：a＞﹣1且a≠0，故选：D．练习2：1.关于x的一元二次方程﹣kx2﹣6x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣3B．k＜3C．k＜3且k≠0D．k＞﹣3且k≠02.已知关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x﹣1＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥﹣2 B．m≤﹣2 C．m≥﹣2且m≠﹣1 D．m≤﹣2且m≠﹣13.若实数a使关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．a＜B．a＜且a≠﹣1C．a＞D．a＞且a≠﹣14.若一元二次方程kx2﹣4x﹣5＝0有两个实数根，求k的取值范围．5.若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2（a+1）x+a+5＝0有实根，则实数a的取值范围是.6.已知关于x的方程mx2+（2m-1）x+m=0.(1)若方程有两个不相等的实数根，则m.(2)若方程有两个相等的实数根，则m.(3)若方程有两个实数根，则m.(4)若方程有实数根，则m.三、与新运算（定义）的综合例3：定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）“满足a+b+c＝0”，那我们称这个方程为“蜻蜓”方程，已知关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）是“蜻蜓”方程，且有两个相等的实数根，下列结论正确的是（）A．a＝c≠b B．a＝b≠c C．b＝c≠a D．a＝b＝c解：把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出a+b+c＝0，∴b＝﹣a﹣c，∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣a﹣c）2﹣4ac＝（a﹣c）2＝0，∴a＝c，∴a＝c≠b，故选：A．练习3：1.定义比如，4⊗2＝2，1⊗5＝1．若实数k满足k[x2⊗（x+1）]﹣1＝0，并且这个关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的取值范围是．2.如果a2+b2＝c2，那么把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的方程称为“勾系方程”．（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系方程”：；（2）求证：关于x的“勾系方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．3.定义新运算，对干任意实数m，n．都有m☆n＝m2n+n．例如：﹣3☆2＝（﹣3）2×2+2＝20．若2☆a的值小于0．请判断方程：2x2﹣bx+a＝0的根的情况．四、利用根的判别式判断三角形的形状例4：已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．解：（1）△ABC是等腰三角形；理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；（3）∵△ABC为等边三角形，∴a＝b＝c，∴方程化为x2+x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣1．练习4：1.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+4）x+k2+4k+3＝0．（1）求证：不论k取何值，此一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若此一元二次方程的两根是Rt△ABC两直角边AB、AC的长，斜边BC的长为10，求k的值．2.边长为整数的直角三角形若其两直角边长是方程x2﹣（k+2）x+4k＝0的两根，求k的值并确定直角三角形三边之长．五、证明一元二次方程有（无）实数根例5：关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为1，求m的值．（1）证明：x2﹣mx+2m﹣4＝0，Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝m2﹣8m+16＝（m﹣4）2，∵不论m为何值，（m﹣4）2≥0，∴Δ≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：把x＝1代入关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0，得1﹣m+2m﹣4＝0．解得m＝3．练习5：1.已知关于x的一元二次方程2mx2﹣（5m﹣1）x+3m﹣1＝0．（1）求证：无论m为任意实数，方程总有实数根；（2）如果这个方程的根的判别式的值等于2，求m的值．2.已知关于x的方程x2﹣4mx+4m2﹣9＝0．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）若该方程有一个根﹣1，求m的值．3.已知关于x的方程x2+（a﹣2）x﹣a＝0．（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若此方程两个实数根都是正实数，求a取值范围．4.已知一元二次方程﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a＝0．（1）求证：方程有两个不等的实数根；（2）若方程只有一个实数根小于1，求a的取值范围．六、与韦达定理的结合运用例6：已知：x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，x1，x2满足（x1﹣x2）2＝5，且x1•x2＜0．（1）求m的值．（2）不解方程，求3x1﹣x24．解：∵x1，x2是关于x的方程x2+mx﹣m＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣m，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝m2+4m，∴m2+4m＝5，解得m1＝1，m2＝﹣5，如果m2＝﹣5，那么x1x2＝5＞0，不合题意舍去，当m1＝1时，满足Δ＞0，且x1•x2＜0，∴m＝1；（2）当m＝1时，原方程即为x2+x﹣1＝0，∴x1+x2＝﹣1，x1x2＝﹣1，x12＝1﹣x1，x22＝1﹣x2，∴x12+x22＝2﹣（x1+x2）＝3，∴3x1﹣x24＝3x1﹣（1﹣x2）2＝3x1﹣1+2x2﹣x22＝2x1+2x2﹣（1﹣x1+x22）＝2（x1+x2）﹣（x12+x22）＝﹣2﹣3＝﹣5．练习6：1.已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，满足：x12+x22＝16+x1x2，求实数k的值．2.已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝4m﹣3有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分别为x1与x2若x1x2﹣x12﹣x22＝﹣7，求m的值．3.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1+x2﹣x1x2＝1，计算m的值．4.已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+（2m+1）x+m＝0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若|x1|＝|x2|，求m的值及方程的根．。
根的判别式的六种常见应用 (共15张PPT)
1. 已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0 有无实数根． ∵x2－2x－m＝0没有实数根， 解： ∴Δ1＝(－2)2－4· (－m)＝4＋4m<0，即m<－1. 对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4· m(m＋1)＝－4m>4， ∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的
故当m为1时，▱ABCD是菱形． 1 2 此时原方程为x －x＋ ＝0， 4 1 解得x1＝x2＝ . 2 1 即菱形ABCD的边长为 . 2
(2)由题意知2是关于x的方程x2－mx＋
的一个根，
1 m － ＝0 4 2
1 m ∴将x＝2代入原方程得4－2m＋ － ＝0， 4 2 5 5 2 解得m＝ ，故原方程为x － x＋1＝0， 2 2 1 1 解得x1＝2，x2＝ . ∴AD＝ . 2 2 骣 1÷ 2+ ÷ 故▱ABCD的周长为2× ç ＝5. ç ÷ ç 桫 2
应用
6
利用根的判别式探求菱形条件
7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程 1 m 2 x －mx＋ － ＝0的两个根． 4 2 (1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的
边长． (2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？
(1)由题意，得Δ＝0， 解： 骣 m 1÷ 2 2－2m＋1＝0. ç - ÷ 即m －4 ç ＝ m ç 桫 2 4÷ ∴m＝1.
应用
4 利用根的判别式解与函数综合问题
5．y＝ k－1 x＋1是关于x的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为 ( A )
A．没有实数根
B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根
培优专题03根的判别式的五种常见应用-原卷版
）．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
12．（2018·浙江·九年级期中）已知关于 x 的一元二次方程 (a c)x2 2bx+a c 0 ，其中 a、b、c 分别为
A ABC 三边的下列关于这个方程的解和 A ABC 形状判断的结论错误的是（
）．
A．如果 x 1 是方程的根，则 A ABC 是等腰三角形 B．如果方程有两个相等的实数根，则 A ABC 是直角三角形 C．如果 A ABC 是等边三角形，方程的解是 x 0 或 x 1 D．如果方程无实数解，则 A ABC 是锐角三角形
15．（2021·河南南阳·九年级期中）已知关于 x 的方程 x2 k 2x 2k 0
(1)求证：无论 k 取何值，该方程总有实数根； (2)若等腰 A ABC 的一边长 a 1，另两边 b 、 c 恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．
◎应用四 与不等式结合
2a 1 1
16．（2022·云南昆明·二模）若
13．（2017·江苏·盐城市实验高级中学九年级阶段练习）已知等腰三角形的两腰是关于 x 的一元二次方程
x2﹣kx+4=0 的两根，则 k=__．
14．（2020·四川师范大学附属中学九年级阶段练习）关于 x 的方程 x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0，若等腰三角 形△ABC 一边长为 a＝6，另两边长 b，c 为方程两个根，则△ABC 的周长为_____．
◎应用二 求字母的值或取值范围
根据判别式，确定与 0 的关系，直接代入解不等式即可
6．（2022·山东泰安·八年级期末）若关于 x 的一元二次方程 k 2x2 2kx k 5 有实数根，则 k 的取值范
一元二次方程根的判别式的多种应用
一元二次方程根的判别式的多种应用一元二次方程根的判别式用来判断一元二次方程根的情况，能帮助我们解一元二次方程，也是以后学习一些知识的基础，在解题中应用很多，举例如下：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？简解：当Δ=[-（2m-1）]2-4（m-4）m≥0时，原方程有两个实数根，∴4m2-4m+1-4m2+16m≥0，解得m≥-又∵m-4≠0 ∴m≠4∴当m≥- 且m≠4时，原方程有两个实数根。
例3、当m分别取何值时关于x的方程（m-1）x2+（2m-1）x+m-1=0l 有两个不相等的实数根l 有两个相等的实数根l 有两个实数根l 有一个实数根l 有实数根l 无实数根评析：初中阶段的根的判别式Δ=b2-4ac是相对于一元二次方程而言的，而ax2+bx+c=0当a=0时是一元一次方程不能用判别式，所以例2中一定要考虑二次项系数m-4≠0；例3则一定要做分类讨论。
三、证明方程根的性质。
例4、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
简解：∵Δ=（m2+3）2-4╳0.5(m2+2)=m4+4m2+5=（m2+2）2+1>0∴无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
评析：这种应用有两个难点：（1）是容易与（二）中求字母取值混淆，即用Δ≥0求m的取值范围；（2）是用配方法证明二次三项式的特性。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例5、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
简解：当Δ=[-2（m+2）]2-4m（m+5）≥0时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
根的判别式的六种常见应用
根的判别式的六种常见应用方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．应用6： 利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.。
一元二次方程根的判别式的应用
一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式一元二次方程（）的根的判别式为,用“”表示,所以02=++c bx ax 0≠a ac b 42-∆.ac b 42-=∆应用一、不解方程,判断一元二次方程根的情况对于一元二次方程（）,当≥0时,方程有两个实数根;02=++c bx ax 0≠a ac b 42-=∆当时,方程无实数根.042<-=∆ac b 具体判断结果为:（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根;042>-=∆ac b （2）当时,一元二次方程有两个相等的实数根;042=-=∆ac b （3）当时,一元二次方程没有实数根.042<-=∆ac b 反之亦成立.用根的判别式判断一元二次方程的根的情况的一般步骤:（1）把一元二次方程化为一般式;（2）确定的值（注意符号）;c b a ,,（3）计算的值;ac b 42-=∆（3）根据的符号确定一元二次方程根的情况.∆例1. 不解方程,判断下列方程的根的情况:（1）;（2）; 2532-=x x 041242=+-x x （3）.()0142=-+y y 分析:不解方程,判断一元二次方程根的情况时,要先把一元二次方程化为一般形式,然后准确确定的值,包括符号,再计算出的值,由的符号确定一元二次方程根c b a ,,ac b 42-=∆∆的情况.解:（1）02532=+-x x ∵ ()01242523452>=-=⨯⨯--=∆∴该方程有两个不相等的实数根;（2）∵ ()044414422=-=⨯⨯--=∆∴该方程有两个相等的实数根;（3）0442=+-y y ∵ ()06364144412<-=-=⨯⨯--=∆∴该方程没有实数根.例2. 求证:对于任何实数,关于的一元二次方程总有两个不相等的m x 02222=-+-m mx x 实数根.分析:本题只需证明对于任何实数,该方程根的判别式总是大于0即可.m ∆证明: ()()22422---=∆m m ()()4144124884222+-=++-=+-=m m m m m∵≥0 ()21-m ∴,即 ()04142>+-m 0>∆∴对于任何实数,该方程总有两个不相等的实数根.m 习题1. 若关于的不等式的解集为,则关于的方程的根的情x 12<-a x 1<x x 012=++ax x 况是【 】（A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根 （C ）无实数根（D ）无法确定 习题2. 不解方程,判断下列方程根的情况:（1）;（2）; 2432+=x x ()()08222=--+x x （3）.03232=-+x x习题3. 证明:对于任何实数,关于的方程总有两个不相等的实数根. m x ()()221m x x =--习题4. 已知关于的方程.x 022=-++m mx x （1）若此方程的一个根为1,求的值;m （2）求证:不论取何实数,此方程都有两个不相等的实数根.m应用二、已知一元二次方程根的情况,求字母的值或取值范围有下面的结论:（1）若一元二次方程（）有实数根,则≥0; 02=++c bx ax 0≠a ac b 42-=∆①若一元二次方程有两个不相等的实数根,则;042>-=∆ac b ②若一元二次方程有两个相等的实数根,则.042=-=∆ac b （2）若一元二次方程（）没有实数根,则. 02=++c bx ax 0≠a 042<-=∆ac b 例3. 当为何值时,关于的一元二次方程:k x 0542=-+-k x x （1）有两个不相等的实数根;（2）有两个相等的实数根;（3）没有实数根.分析:先得到的表达式,然后根据方程根的情况确定的符号,从而建立相应的关于的不∆∆k 等式求解.解: ()()k k 4365442-=---=∆（1）∵该方程有两个不相等的实数根∴,即0>∆0436>-k 解之得:;9<k （2）∵该方程有两个相等的实数根∴,即0=∆0436=-k 解之得:;9=k （3）∵该方程没有实数根∴,即,解之得:.0<∆0436<-k 9>k易错警示:在已知一元二次方程根的情况下确定字母的值或取值范围时,不要忽视二次项系数不等于0的限制.例4. 已知关于的一元二次方程有实数根,求实数的取值范x ()()0112122=+++-x m x m m 围.分析:一元二次方程有实数根的结论是其≥0.∆错解: ()[]()141222--+=∆m m()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m ∵该一元二次方程有实数根∴≥0,即≥0∆88+m 解之得:≥m 1-∴实数的取值范围是≥.m m 1-错因分析:错解忽视了一元二次方程的二次项系数受到不等于0的限制.正解: ()[]()141222--+=∆m m()884448444142222+=+-++=+-+=m m m m m m ∵该一元二次方程有实数根∴ ⎩⎨⎧≥+=∆≠-088012m m 解之得:且1->m 1≠m ∴实数的取值范围是且.m 1->m 1≠m 例5. 若为△ABC 的三边长,且关于的一元二次方程c b a ,,x ()()022=-+-+-a b x b a x c b 有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状,并说明理由.解:△ABC 为等腰三角形.理由如下: ()[]()()a b c b b a ----=∆422acbc ab a acbc ab b b ab a 444444444842222-+-=-++-+-==()()c a b a --4∵该方程有两个相等的实数根∴()()04=--=∆c a b a ∴或0=-b a 0=-c a ∴或b a =c a =∴△ABC 为等腰三角形.习题5. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围x 062=+-b x x b 是__________.习题6. 若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是__________. x 0122=-+x kx k 习题7. 在△ABC 中,,且关于的方程有两个相等b AC AB BC ===，32,2x 042=+-b x x 的实数根,则AC 边上的中线长为_________.习题8. 若关于的方程有两个不相等的实数根,则的值可以是【 】x 012=++mx x m （A ）0 （B ） （C ）2 （D ）1-3-习题9. 关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是【 】x ()01222=+--m x m x m （A ）（B ）≤ 0≠m m 41（C ） （D ） 41<m 41>m 习题10. 一元二次方程的根的情况是__________________.()()3211+=-+x x x 习题11. 关于的一元二次方程.x 012=++bx ax （1）当时,利用根的判别式判断方程根的情况;2+=a b （2）若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的的值,并求此时方程的根. b a ,习题12.若为△ABC 的三边长,当时,关于的方程有两c b a ,,0>m x ()()0222=--++ax m m x b m x c 个相等的实数根,求证:△ABC 为直角三角形.应用三、判断抛物线与轴的相交情况x 当抛物线与轴相交时,,对应的一元二次方程()02≠++=a c bx ax y x 0=y 有实数根,此时≥0;当抛物线与()002≠=++a c bx ax ac b 42-=∆()02≠++=a c bx ax y x 轴无交点时,对应的一元二次方程无实数根,此时.因()002≠=++a c bx ax 042<-=∆ac b 此,抛物线与轴的相交情况可以转化为对应的一元二次方程根的情况.于是,我们既可以用x 判别式来判断一元二次方程根的情况,又可以判断抛物线与轴的相交情ac b 42-=∆x 况.“”被赋予了鲜明的代数意义和几何意义.∆（1）当时,一元二次方程有两个不相等的实数根042>-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax ,抛物线与轴有两个不同的交点、;21,x x ()02≠++=a c bx ax y x ()0,1x ()0,2x （2）当时,一元二次方程有两个相等的实数根042=-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax ,抛物线与轴只有一个交点,即; 21x x =()02≠++=a c bx ax y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a b （3）当时,一元二次方程没有实数根,抛物线042<-=∆ac b ()002≠=++a c bx ax 与轴无交点.()02≠++=a c bx ax y x 例6. 判断下列抛物线与轴的相交情况:x （1）;（2）;1432++=x x y 962-+-=x x y （3）.1242+-=x x y 分析:同判断一元二次方程根的情况,判断抛物线与轴的相交情况时,要先将抛物线的解析x式化为一般式,然后进行判断.解:（1）∵0412*******>=-=⨯⨯-=∆∴抛物线与轴有两个交点;1432++=x x y x （2）∵()()0363691462=-=-⨯-⨯-=∆∴抛物线与轴只有一个交点;962-+-=x x y x （3）∵ ()01216414422<-=-=⨯⨯--=∆∴抛物线与轴无交点.1242+-=x x y x 例7. 已知抛物线.122-++=m x x y （1）当取何值时,抛物线与轴有两个交点?m x （2）当取何值时,抛物线与轴只有一个交点?并求出这个交点坐标;m x （3）当取何值时,抛物线与轴没有交点?m x 解:()m m 481422-=--=∆（1）∵抛物线与轴有两个交点x ∴,即0>∆048>-m 解之得:;2<m （2）∵抛物线与轴只有一个交点x ∴,即0=∆048=-m 解之得:2=m 此时,交点坐标为;()0,1-（3）∵抛物线与轴没有交点x ∴,即0<∆048<-m 解之得:.2>m 习题13. 抛物线与轴没有交点,则的取值范围是__________.m x x y +-=62x m 习题14. 抛物线与坐标轴有且只有2个交点,则_________. ()m x x m y 21212++-==m 提示:由题意可知该抛物线与轴只有一个交点,所以且.x 0=∆01≠-m应用四、判断抛物线与直线的相交情况在同一平面直角坐标系中,判断抛物线与直线的相交情况时,可以将问题转化为它们的解析式组成的一元二次方程的根的情况.例8. 当取何值时,抛物线与直线只有一个交点? m 122-++=m x x y m x y 2+=解:由两个函数的解析式可得方程组:⎩⎨⎧+=-++=mx y m x x y 2122整理得到:012=--+m x x ∵抛物线与直线只有一个交点122-++=m x x y m x y 2+=∴()0541412=+=++=∆m m 解之得: 45-=m ∴当时,抛物线与直线只有一个交点. 45-=m 122-++=m x x y m x y 2+=习题15. 若直线与抛物线有交点,则的取值范围是【 】m x y +=x x y 32+=m （A ）≥ （B ）≤m 1-m 1-（C ） （D ）1>m 1<m 应用五、和二次项系数结合确定抛物线与轴的两个交点之间的距离x 对于抛物线,当时,抛物线与轴有两个不同的交()02≠++=a c bx ax y 042>-=∆ac b x 点、,这两个交点之间的距离为. ()0,1x ()0,2x ax x ∆=-21习题16. 求当为何值时,二次函数的图象与轴的两个交点之间的距a 3222++-=a ax x y x 离是3.（答案:或） 23-=a 27=a。
根的判别式的应用课件
判别式的未来发展
随着数学和其他学科的发展，判别式的研究和应用将更 加深入和广泛，未来可能会发现更多判别式的应用场景 。
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1. 当 $\Delta > 0$ 时，函数图像与 x 轴有两个交点；
案例三：利用判别式绘制二次函数的图像
2. 当 $\Delta = 0$ 时，函 口方向，我们可以绘 制出函数的图像。
3. 当 $\Delta < 0$ 时，函数图像与 x 轴 没有交点。
详细描述
如果一个二次方程的两个根相等，那么这两 个根就具有对称性。此外，如果一个二次方 程的两个根互为相反数，那么这两个根也具 有对称性。这种对称性可以用于解决一些数 学问题，例如找到函数图像的对称轴等。
根与函数的零点
总结词
函数的零点与二次方程的根具有密切关系， 通过观察函数的零点可以获得二次方程的信 息。
详细描述：对于一元 二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，判别式 $\Delta = b^2 4ac$。根据 $\Delta$ 的值，我们可以判断 方程实数根的个数
1. 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不同 的实数根；
2. 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相同 的实数根；
一元二次不等式的解法
总结词
利用判别式可以快速求解一元二次不等式，进而求出其整数解。
详细描述
对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（a≠0），可以利用判别式将其转化为几个一次不等式组，从而求解其 整数解。
二次函数图像的绘制
总结词
通过判别式可以判断二次函数的图像是开口向上还是向下，以及与x轴有无交点。
根的判别式的十种常见应用(专题)
根的判别式的十种常见应用(专题)本文存在格式错误，如“2x2”应为“2x^2”，“”应为“-”，“x2m”应为“x+2m”等。
同时，第一段话中的“练1”、“（1）”、“（2）”等应该是列表或者编号，需要进行排版。
删除明显有问题的段落后，改写每段话如下：类型一：不解一元二次方程，判别根的情况。
考虑以下两个方程：2x^2-3x+4和ax^2-bx（a≠0）。
练1为判断以下一元二次方程的根的情况：x^2-2kx+4(k-1)、ax^2+bx（a≠0）和ax^2+c（a≠0）。
类型二：根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围。
考虑关于x的方程x^2-4x+k-5，根据方程的根的情况，可以确定k的值或取值范围。
练2需要证明，不论m取何值，关于x 的方程(x-1)(x-2)=m^2总有两个不相等的实数根。
类型三：证明系数为字母的一元二次方程没有实数根。
考虑关于x的方程(m^2+1)x^2-2mx+(m^2+4)，需要证明该方程没有实数根。
类型四：应用根的判别式判断三角形的形状。
已知三角形的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x^2-(2k+3)x+k^2+3k+2的两个实数根，第三边长为5.练4需要判断，已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程(c-b)x^2+2(b-a)x+(a-b)有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。
类型五：判断当字母为何值时，二次三项式为完全平方式。
考虑以下两个二次三项式：16a^2+ka+25和ka^2+4a+1.练5需要求解，若关于x的二次三项式x^2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a的值为多少。
类型六：判断抛物线与直线的交点情况。
考虑以下两个方程：y=x^2+2x+m-1和y=x+2m。
练6需要求解，已知抛物线y=2x^2，直线y=kx+b经过点(2,6)。
若直线和抛物线只有一个交点，则求直线的解析式。
同时需要判断，当k取何值时，直线和抛物线没有交点。
类型七：判断抛物线与x轴的交点情况。
根的判别式的十种常见应用(专题)
第3讲：根的判别式的十种常见应用--专题二 类型一：不解一元二次方程，判别根的情况（1）04322=+-x x （2）)0(02≠=-a bx ax练1. 不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况．（1）0)1(422=-+-k kx x （2）)0(02≠=+a bx ax （3）)0(02≠=+a c ax类型二：根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围k 为何值时，关于x 的方程0542=-+-k x x（1）有两个不相等的实数根（2）有两个相等的实数根（3）没有实数根练2. 证明：不论m 取何值时，关于x 的方程2)2)(1(m x x =--总有两个不相等的实数根类型三：证明系数为字母的一元二次方程没有实数根求证：关于x 的方程0)4(2)1(222=++-+m mx x m 没有实数根。
练3. 若关于x 的一元二次方程022=-+k x x 没有实数根，则k 的取值范围是？类型四：应用根的判别式判断三角形的形状已知三角形的两边AB ，AC 的长是关于x 的一元二次方023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边长为5.（1）当k 为何值时，三角形ABC 是以BC 为斜边的直角三角形？（2）当k 为何值时，三角形ABC 是等腰三角形？并求三角形ABC 的周长。
练4. 已知c b a ,,，是三角形的三条边长,且关于x 的方程0)()(2)(2=-+-+-b a x a b x b c ,有两个相等的实数根,试判断三角形的形状？类型五：判断当字母为何值时，二次三项式为完全平方式（1）若关于a 的二次三项式25162++ka a 是一个完全平方式，求k 的值；（2）若关于a 的二次三项式142++a ka 是一个完全平方式，求k 的值。
练5. 若关于x 的二次三项式322-+-a ax x 是一个完全平方式，则a 的值为多少？类型六：判断抛物线与直线的交点情况当m 取何值时，抛物线122-++=m x x y 与直线m x y 2+=只有一个交点？练6. 已知抛物线22x y =,直线b kx y +=经过点(2,6)。
根系的判别式及应用
根系的判别式及应用根系是由一个多项式的所有根所构成的集合。
判别式是用来判断多项式的根系类型的代数量，它可用于对多项式进行分类和分析。
判别式的计算公式取决于多项式的次数和系数，不同的判别式对应于不同的根系类型。
在数学中，根系的判别式及其应用具有广泛的意义和应用。
下面将介绍根系的判别式及其应用方面的内容。
第一节：根系的判别式对于一个n次多项式f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+...+an-1x+an，它的判别式可以用来判断它的根系类型。
具体而言：1. 如果判别式Δ=∏(ai-aj)^2=0，则多项式f(x)有重根。
也就是说，多项式f(x)存在至少两个根相等的情况。
2. 如果判别式Δ>0，则多项式f(x)有n个不同的实根。
这意味着多项式f(x)的根是一个由不同实数构成的集合。
3. 如果判别式Δ<0，则多项式f(x)有n个不同的复根。
也就是说，多项式f(x)的根是一个由复数构成的集合。
需要注意的是，当多项式的次数特别高时，计算判别式可能会非常复杂。
因此，在实际应用中，我们通常使用计算机来计算判别式。
第二节：根系判别式的应用根系判别式在数学和其他领域有着广泛的应用。
以下是根系判别式的一些常见应用：1. 多项式的因式分解：根系判别式可以用来判断一个多项式是否可分解，并找到它的因式。
通过判断判别式的值和类型，我们可以确定多项式是否可以被因式分解，以及如何找到它的因式。
2. 求解方程：根系判别式可以帮助我们求解各种类型的方程。
根据判别式的值和类型，我们可以确定方程的根的数量、根的类型（实根或复根）以及根的位置。
3. 研究函数的性质：根系判别式可以用来研究函数的性质，特别是在寻找函数的极值点和拐点时。
通过计算判别式的值和类型，可以确定函数的拐点和极值点的位置，并研究它们的性质。
4. 优化问题：根系判别式在一些优化问题中也有应用。
通过计算判别式的值和类型，我们可以确定函数的最大值、最小值以及它们的位置，从而得出问题的最优解。
例谈“根的判别式”的用法
例谈“根的判别式”的用法作者：李恩义来源：《甘肃教育》2014年第12期〔关键词〕数学教学；根的判别式；求根公式；韦达定理；二次三项式〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 C〔文章编号〕 1004—0463（2014）12—00９２—０１在学习一元二次方程、二次函数以及二次不等式时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式?驻＝b2－4ac，无时不在，无处不有.正确理解“?驻”的真实含义，熟练掌握其用法，不仅对解决相关问题有所帮助，而且对学生进一步弄清这几部分知识间的相互关系十分必要.一、应用求根公式时，不能忽视“?驻”例1解关于x的一元二次方程（m－1）x2＋2mx＋（m＋3）＝0这类问题最容易出错的是不讨论“?驻”的情况，就用公式法解.其正确的解法为：解：?驻＝（2m）2－4（m－1）（m＋3）＝－4（2m－3）（1）当m≤■且m≠1时，?驻≥0，原方程有两个实数根，x＝■.（2）当m＞■时，?驻＜0，原方程没有实数根.二、应用韦达定理时，要注意“?驻”1.一元二次方程有实根，必须有?驻≥0.例2k为何值时，方程2x2＋kx－2k＋1＝0的两个实数根的平方和等于■？解：设α、β是方程的两个实数根，由题意得?驻＝k２－４×２（１－２k）≥0①α+β=-■②αβ＝■ ③α２+β２＝■④由②③④得α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝（－■）2－2×■＝■解得：k1＝－11，k2＝3.把k1＝－11和k2＝3分别代人①，可知k1＝－11不满足.因此，k的值是3.2.a、c异号或两根异号隐含着“?驻＞0”.对于方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）来说，若■＜0，则必有?驻＝b2－4ac＞0成立.因此，解题时，只考虑■＞0即可.两根异号可得到a，c异号，进一步可得?驻＞0.在这两种情况下，不必重复列出?驻＞0的条件.三、二次三项式 ax2＋bx＋c是完全平方式的充要条件为“?驻＝0”设ax2＋bx＋c＝0，由于a≠0，故配方有（x＋■）2＝■显然?驻＝0，则方程有两个相等的实数根，ax2＋bx＋c是一个完全平方式；反之，ax2＋bx＋c是完全平式，方程有两个相等的实数根，则?驻＝0.例3已知多项式2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2是一个完全平方式，求证：a＋c＝2b.证明：∵关于x的一元二次方程2x2＋2（a－c）x＋（a－b）2＋（b－c）2＝0有两个相等的实数根，故?驻＝0，即［2（a－c）］2－4×2×［（a－b）2＋（b－c）2］＝0整理得a2＋4b2＋c2－4ab－4bc＋2ac＝0，即（a－2b＋c）2＝0∴a－2b＋c＝0，故有a＋c＝2b成立.四、二次函数的图象和x轴的交点数与“?驻”相关抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点数与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数一致.例４求证：抛物线y＝x2＋（k＋3）x＋2k－k2与x轴总有两个交点.证明：由方程y＝x2＋（k＋3）x＋（2k－k2）＝0，得?驻＝（k＋3）2－4（2k－k2）＝5k2－2k＋9＝5（k－■）2＋■，∵无论k取何实数值（k－■）2≥0，∴?驻＝5（k－■）2＋■＞0，∴抛物线y＝x2＋(k＋3)x＋2k－k2与x轴总有两个交点. 编辑：谢颖丽。
根的判别式应用
22.2.3 根的判别式的应用
教材分析：
1、地位和作用：本节内容是在一元二次方程的解法的基础上进行教学的，是对公式法的完善与发展。
利用根的判别式可以不解方程而直接判断一元二次方程的根的情况。
此类问题教材中并没有单独的知识讲解，只是在推导求根公式过程中发现ac
b2 的值与一元
4
二次方程的根的情况有关系，对其进行了简要的分类说明，考虑到该知识点对于二次函数、一元二次不等式等后继知识的学习具有十分重要的意义，特在此作为一节专题课对该知识点进行讲解。
2、重点和难点
本节内容的教学重点是用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；教学难点是弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
学生情况分析及应对策略：
学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对一元二次方程根的不同情况已经有了初步认识，对分类讨论的思想方法也不陌生，这为本节内容的教学提供了有利条件。
教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。
教师应充分调动学生的参与积极性，尽量通过他们自己的探究与思考得出结论，并注意适时引导。
设计理念
教学活动的设计以学生为主体，先通过练习获得感性认识，然后经过观察、思考、交流、讨论等活动，主动获取知识；强调通过学生积极主动的参与，充分经历知识的形成、发展与应用的过程，在这个过程中掌握知识，形成技能，发展思维；在整个教学活动中，
学生是学习的主人，教师是学生学习的组织者与引导者。
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用
一元二次方程根的判别式在中学数学中的应用四川省内江市东兴区顺河中心校高忠全一个公式、一个法则、一个概念，如果用得好、用得妙，它可以帮助我们解答许多复杂的问题。
如一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根判别式△＝b2－4ac在中学数学中有着广泛的应用。
一、在因式分解中的应用：在中学数学中，有一些多项式，知道了它能分解成两个一次因式的积，反过来要求多项式中某一个待定系数的值，是初中数学中的一个难点。
但用判别式“△”来解就简单了。
比如：如果x2-y2+mx+5y-6能分解成两个一次因式的积，试求m的值。
解：整理二次三项式:x2-y2+mx+5y-6得x2+mx-(y2-5y+6)令x2+mx-(y2-5y+6)=0把x看成未知数△=m2-4×1×[-(y2-5y+6)]=4ｙ2－２0y+24+m2要使x2-y2+mx+5y-6分解成两个一次因式的积,△必须是一完全平方式即(-２0)2-4×4(24+m2)=0,整理得：m2=1，则m=±1.当m=1时，二次三项式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2+x+5y-6=(x+y)(x-y)+(x+5y)-6=(x+Y-2)(x-y+3).当m=-1时,二次三式x2-y2+mx+5y-6=x2-y2-x+5y-6=(x+y-3)(x-y+2)。
一个多项式分解因式后,如果有一个因式是二次三项式,这个二次三项式是否还能继续进行因式分解。
就要看这个二次三项式对应的一元二次方程的根判别式△＝b2－4ac的情况,若△≥0时,那么这个二次三项式就能够进行因式分解；如果△＜0时；那么这个二次三项式就不能够进行因式分解,并且当△=0时,二次三项式是一个完全平方式。
如:已知二次三项式3x2-4x+2k,当k取何值时,(1)在实数范围内能分解因式,(2) 在实数范围内不能分解因式,(3)能分解成一个完全平方式。
解:令3x 2-4x+2k=0 ,a=3,b=-4,c=2k, △=b 2-4ac=(-4)2-4×3×2k=16-24k(1) 当△≥0,即16-24k ≥0,得k ≤32时,二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内能分解因式；(2)当△＜0,即16-24k ＜0,k ＞32时二次三项式3x 2-4x+2k 在实数范围内不能分解因式；(3)当△=0,即16－4k=0, k=32时二次三项式3x 2-4x+2k 是一个完全平方式。
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况已知方程x 2－2x －m ＝0没有实数根，其中m 是实数，试判断方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有无实数根．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m )＝4＋4m <0，即m <－1.对于方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0，Δ2＝(2m )2－4·m (m ＋1)＝－4m >4，∴方程x 2＋2mx ＋m (m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．同类变式2．已知关于x 的方程x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m 的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．证明：(1)Δ＝[－(m ＋2)]2－8m＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0， 得 ∴x 1＝2/m ，x 2＝ 1. ∵方程的两个根都是正整数， ∴ 是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m≠2，∴m ＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求 的值． 解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4. ∴m ＝5/2 或m ＝－3/2. 当m ＝5/2时， 当m ＝－－3/2时， 应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y x ＋1是关于x 的一次函数，则关于x 的一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为222.22m m m x m m 21(21)2m x m 251112;(21)216514m m m 231152.(21)216326m m m()A．没有实数根B．有一个实数根C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根∵y＝x＋1是关于x的一次函数，∴，∴k－1>0，解得k>1，又关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ，∴Δ<0，∴关于x的一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A.应用5：利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0.∴b2＋c2＝a2.∴此三角形是直角三角形．应用6：利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．(1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？(1)由题意，得Δ＝0，解：即m2－4 ＝m2－2m＋1＝0.∴m＝1.故当m为1时，▱ABCD是菱形．此时原方程为x2－x＋＝0，解得x1＝x2＝.即菱形ABCD的边长为.4a c－4a c－4a c－2m14124m141212(2)由题意知2是关于x 的方程x 2－mx ＋ － ＝0的一个根， ∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋ － ＝0， 解得m ＝ ，故原方程为x 2－ x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝ . ∴AD ＝ . 故▱ABCD 的周长为2× ＝ 5. 2m 142m 1452521212122。
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情境导入
鲁迅先生在《古小说钩沉》辑本中有一则《执竿入城》的寓言：“鲁有执长竿入城门者，初竖执之，不可入，横执之，亦不可入，计无所出，俄有老父至，曰：吾非圣人，但见事多矣，何不以锯中截而入？遂依而截入．”
我国当代数学家许淳舫教授将寓言《执竿入城》编成了一道趣味数学题，收入《古算趣味》中：
笨人持竿要进屋，无奈门框拦住竹；
横多四尺竖多二，没法急得放声哭；
有个自作聪明者，教他斜竹对两角；
笨伯依言试一试，不多不少刚抵足；
借问竿长多少数，谁人算得我佩服．
同学们，你能根据诗中的内容列出方程吗？这个方程和我们之前学过的方程又有什么不同？
重点难点根的判别式的应用
河南刘振超
自主学习
课堂探究
1.用根的判别式判定方程根的情况
例
A.有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
B.没有实数根 D. 无法判断
解题思路：先找出a，b，c的值，再计算根的判别式b2-4ac的值，由 与0的关系来判断方程根的情况．
解：
2.确定方程中字母的取值范围
例2（2017•淄博）若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）
A．k＞-1 B．k＞-1且k≠0 C．k＜-1 D．k＜-1或k=0
解题思路：根据方程根的情况，得∆＞0，从而建立关于k的不等式，解这个不等式，求得k的取值范围，然后再根据一元二次方程的定义可知k≠0，进而可知k的取值范围．
解：
3.判别三角形的形状
例3关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由.
解题思路：根据方程根的情况，可得∆=0，从而建立关于a，b，c的等式，然后将等式进行变形，即可判断△ABC的形状．
交流探索
例4已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0，试判断方程根的情况．
解题思路：欲判断方程根的情况，需要准确找出a，b，c的值，然后计算b2-4ac，得出含m 的代数式，再将这个代数式用配方法化成（x-h）2+k的形式，即可判断出方程根的情况. 解：
参考答案
课堂探究：
例1 B
例2 B
例3 解：∵方程有两个相等的实数根，
∴∆=（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，
∴4b2-4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2.
∴△ABC是直角三角形.
交流探索：
解：例4 在方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0中，
∆=[-（m+2）]2-4（2m-1）=m2-4m+8=（m-2）2+4，
∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+4＞0.
∴方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0总有两个不相等的实数根．。