05第五讲 大数定律与中心极限定理

第五讲 大数定律与中心极限定理

考纲要求

1.了解切比雪夫不等式.

2.了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定理和辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）.

3.了解棣莫佛-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）.

问题1 何谓切比雪夫不等式？

答 设随机变量X 的数学期望和方差存在，则对于任意0ε>，有

{}21DX

P X EX εε-<>-或者{}2DX

P X EX εε-≥≤.

利用切比雪夫不等式，可以用DX 估计事件X EX ε-<的概率.

例

1.设随机变量X 和Y 的数学期望分别2-和2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5-，则根据切比雪夫不等式，有}6{≥+Y X P .

解 ()0E X Y +=，()2(,)3D X Y DX DY Cov X Y +=++=， 根据切比雪夫不等式，有231{6}612P X Y +≥≤

=. 2.设随机变量X 的数学期望为1，方差为14

，试何用切比雪夫不等式估计{03}P X <<.

问题2 何谓大数定律？叙述切比雪夫大数定律、辛钦大数定律（独立同分布随机变量序列的大数定律）和伯努利大数定理.

答 将切比雪夫不等式应用于随机变量列n X X X ,,,21 的算术平均值1

1n

n i i X X n ==∑，得 {}21n n n DX P X EX εε-<>-

. 若,0n n DX →∞→，则有 {}

lim 1n n n P X EX ε→∞-<=. 称随机变量列12,,,,n X X X 服从大数定律，并称n X 依概率收敛于n EX .

⑴切比雪夫大数定律：设随机变量12,,,,n X X X 相互独立，它们的数学期望和方差都存在，且方差一致有界，则

{}

lim 1n n n P X EX ε→∞-<=. ⑵辛钦大数定律（独立同分布的随机变量序列的大数定律）：设随机变量12,,,,n X X X 独立同分布，它们的数学期望μ和方差2σ存在，则{}

lim 1n n P X με→∞-<=. ⑶伯努利大数定律：设随机变量~(,)n Y B n p ，则lim 1n n Y P p n ε→∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭

. 伯努利大数定律对频率的稳定性给出了理论上的证明.

例 设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，且211,σμ==DX EX ，则当∞→n 时，∑=n i i X n 1

21依概率收敛于 . 解 由独立同分布的大数定律知，∑=n i i X n 1

21依概率收敛于它的数学期望2222211111(()n n i i i i i i E X EX n DX EX n n n

μσ====⋅+=+∑∑. 问题3 何谓中心极限定理？叙述列维-林德伯格定理（独立同分布随机变量序列的中心极限定理）和棣莫佛-拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）.

答 概率论中有关随机变量的和的极限分布是正态分布的定理，称为中心极限定理. ⑴独立同分布的中心极限定理（列维-林德伯格定理）

设随机变量12,,,,n X X X 独立同分布，它们的数学期望μ和方差2

σ

存在，则lim ()n P x x Φ→∞⎫≤=⎬⎭

. 本定理指出：当n 充分大时，1n n i i S X ==

∑近似服从2

(,)N n n μσ，因此，可以用正态分布计算有关和的概率..

⑵德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量~(,)n Y B n p

，则lim ()n P x x Φ→∞⎧⎫⎪≤=⎬⎪⎭

. 本定理指出：当n 充分大时，n Y 近似服从(,(1))N np np p -，因此，可以用正态分布计算有关二项分布的概率.

例

1. 随机变量10021,,,X X X 独立同分布，且1X 服从参数为4的泊松分布，X 是其算术平均值，则根据中心极限定理有=≤}39

2.4{X P .

解 由中心极限定理知，X 近似服从2(4,0.2)N ，

4.3924{ 4.392}()(1.96)0.9750.2

P X ΦΦ-≤===. 2.某单位有200台电话机，每台电话机大约有5％的时间使用外线通话，问该单位总机至少需安装多少条外线，才能以90％以上的概率保证每台电话机需要使用外线时可供使用？【14】

解 同时使用外线的电话机台数~(200,0.05)X B ，

由中心极限定理知X 近似服从(10,9.5)N ，

设该单位总机安装k 条外线，可以使{

}()0.90 1.28P X k ΦΦ≤=≥=

，则1.28>，13.968k >，故该单位总机至少需安装14条外线. 3.一生产线上源源不断地生产成箱的零件，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保证不超载的概率大于0.977?((2)Φ=0.977)(01-4)

解 设每辆车装n 箱，i X 表示第i 箱的重量，则50i EX =，25i DX =，

由中心极限定理知，汽车载重量1n i i X

=∑近似服从()50,25N n n

，为保证不超载的概率

150000.977(2)n i i P X ΦΦ=⎧⎫≤=>=⎨⎬⎩⎭

∑

2>， 即98.0199n <，故最多可以装98箱.