解三角形、数列知识点归纳

解三角形知识点归纳

1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有

2sin sin sin a b c

R C

===A B ． 正弦定理的变形公式：

①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c

C R

=； ③a sin ::sin :sin :sin sin ；

A

=A B =B

a b c C b ； ④+b sin sin sin sin sin sin ++===A +B +A + a b c a a

C B A

．

2、两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解个数的情况（一解、两解、无解）)

3、三角形面积公式：

111sin sin sin 222C

S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2

sinAsinBsinC=R

abc 4. 4、余弦定理：

在C ∆AB 中，有2

2

2

2

2cos =b )22cos ;（=+-A +--A a b c bc c bc bc ……

余弦定理的推论：222

cos 2b c a bc

+-A =，……．

5、余弦定理主要解决的问题：

①已知两边和角(夹角或对角)，求其余的量；②已知三边或三边比例(a:b:c 或sinA:sinB:sinC)；

○3若222a b c +=，则90C = ；；②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ．

【综合问题---与三角恒等变换综合】

常用知识：三角函数图像，诱导公式，和（差）角公式，二倍角公式，辅助角公式等

技巧：①换边为角，利用正弦或余弦定理;○2减元变换，如

（1）-A B C π+=(2)sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-

sin

cos

，cos

sin

2

2

2

2

A B

C

A B

C

++==221cos 21cos 2sin 22sin cos ,sin ,cos 22

A A

A A A A A -+=⋅=

=,

【常见结论】

（1）若B A 2sin 2sin =，则A=B 或

2π

=

+B A

（2）若A B C >>⇔c b a >>⇔C B A sin sin sin >>（大边对大角，小边对小角） （3）三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （4）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于

60

(5) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆ ） 钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值

（6）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是

60=B .

数列知识点归纳

1、 数列中与n n a S 之间的关系：11,(1)

,(2)n n

n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩此性质对任何一种数列都适用

2、 等差数列

（1）等差数列的基本公式①通项公式：11(1)==+-+-n a a n d nd a d

；

()n m n m n m a a nd

a a n m d

a a

d n m -

=⎧⎪

=

+-⇒⎨-=⎪-⎩

②前n 项和公式：2111()(1)d d

=()2222

+-=

=++-n n n a a n n S na d n a n ○3等差中项：x,A,y 成等差数列

⇔2A=x+y.

（2）判断等差数列的法方（注意：①②可以作为证明等差数列的方法）

①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）⇔{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0)⇔{}n a 为等差数列

即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+

④前n 项和公式法：2n S pn qn =+ (p ， q 为常数)⇔{}n a 为等差数列 即：关于n 的不含常数项的二次函数

（3）常用结论

①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}±n n pa qb ，{}n ka b + (k ， b ，p,q 为常数)均为等差数列.

②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*

N )，则n m a a +=p q a a +.

特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a (即下标n,k,m 成等差，k 为中项)

③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列，如

22-12+1{}{}{}，，n n n a a a )

④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，

3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2k d

⑤若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{

}n

S n

也为等差数列. ○6等差数列的单调性，d>0则递增；d<0则递减；d=0,常数列. ⑦求n S 最值的方法：

I:若1a >0，公差d<0，则当1

0k k a a +≥⎧⎨

≤⎩时，则n S 有最大值,且k S 最大；

若1a <0，公差d>0，则当1

0k k a a +≤⎧⎨≥⎩时，则n S 有最小值，且k S 最小；

或令=0n a ，求出数列的正、负分界项’

II ：求前n 项和2n S pn qn =+的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ，

当n k =时，k S 为最值，是最大或最小，通过n S 的开口来判断。

3、等比数列

（1）等比数列的基本公式

①通项公式：1

1n n a a q -=;n m n m a a q -=

②前n 项和公式：1111

(1)=,(1)111+---==≠---n n n n a a q a a a q S q q q q

，1,(1)n S na q ==

○3等比中项：x,G,y 成等比，则2

x =G y （前提：a,b 同号）反之不一定成立.

中项=G （2）判断等比数列的法方法（注意：①②可以作为证明等比数列的方法）

①定义法：对任意的n ，都有1(0)n n n a qa a +=≠⇔1

n n a q

a +=(q ≠0)⇔{}n a 为等比数列

②等比中项法：

2

11n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 ③通项公式法：

1(,0n n a aq a q -=是不为的常数)⇔{}n a 为等比数列 （3）常用结论

①若数列{}n a ，{}n b 为等比数列，则数列1

{}n a ，{}n k a ，2

{}n a ，21{}n a -，{}n n

a b {}n n a b