费马数为素数的充要条件证明

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费马小定理的组合证明

费马小定理的组合证明费马小定理这东西，听上去是不是有点高深莫测？别着急，我就给你慢慢捋清楚。

我们先来点轻松的，别把自己吓着。

说到“费马小定理”，它其实就是个关于数论的小秘密，简单来说，给你一个质数p和一个整数a，定理就告诉你，a^p a这玩意儿能被p 整除。

怎么理解呢？就是说，当p是质数时，a的p次方减去a，这个差肯定能被p整除。

听起来是不是挺玄乎的？其实啊，背后有点意思，先不急着跳过，咱们一步一步地说。

你可以想象，数学界的大神费马就是个大嘴巴，喜欢把这些神奇的结果抛出去，让后人去验证。

他那时候也没有什么现代的计算机，纯粹是靠脑袋瓜，啧啧，真是牛逼。

好啦，既然费马说了这事儿，那就肯定有道理。

咱们今天就来聊聊，这个定理的组合证明是怎么一回事。

别担心，我不打算给你讲枯燥的公式，咱们从实际出发，轻松一点。

想象一下，你在街头上遇到了一群“组合英雄”，他们有的是高高瘦瘦的，有的是矮胖圆滚滚的，个个都打着自己独特的“组合武器”，看似五花八门，但又都有点相似之处。

这个时候你可能会想，哎，组合数学和费马小定理有什么关系呢？其实关系大了去了。

你会发现，组合数学其实就是从一个“大池子”里挑选一部分“英雄”出来，这里面的技巧就很有意思了。

比如，如果你从一堆人里挑出一组人来，怎么挑最合适的组合，这就是典型的组合问题。

好啦，回到正题。

想要组合证明费马小定理，咱们可以从一个简单的角度来分析：假设你有一群a的倍数组成的数列，然后你要证明，这些数列的性质满足费马小定理的条件。

我们知道，a^p a这东西能被p整除，就意味着你可以把这个数列看作是一些“循环”的数。

换句话说，在这个数列里，所有元素之间其实有着某种微妙的联系，只不过我们要细心一点，才能发现其中的规律。

咱们举个例子：假设你有一个数列，数列里每个数都是a的不同次方：a, a^2,a^3... 直到a^(p1)。

如果你把这些数用p去做模运算，结果会是啥呢？这些数的模p余数其实会组成一个“完整”的循环。

费马小定理简单证明

费马小定理简单证明
费马小定理是数论中的重要定理之一，它提供了一种通过取模运算来简化指数幂计算的方法。

下面给出费马小定理的简单证明。

假设a是一个整数，而p是一个质数，且a不是p的倍数。

费马小定理表述如下：
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)
证明：
根据费马小定理，我们需要证明a^(p-1)与1在模p下是同余的，即它们具有相同的余数。

首先考虑a的倍数的情况，如果a是p的倍数，则对于任意的整数k，有a ≡ 0 (mod p)，即a的p次方与0模p同余。

此时，等式a^(p-1) ≡ 1 (mod p)不成立。

现在假设a不是p的倍数，根据欧拉定理，对于任意的整数a和正整数n，有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)，
其中φ(n)表示小于等于n的与n互质的正整数的个数。

由于p是一个质数，所以与p互质的正整数个数为p-1，即φ(p) = p-1。

将欧拉定理中的n替换为p，我们得到
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

综上所述，当a不是p的倍数时，费马小定理成立，即
a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

这就是费马小定理的简单证明过程。

费马小定理在数论和密码学等领域有广泛的应用，可以简化很多指数幂的计算。

费马小定理的三个证明方法

费马小定理的三个证明方法我跟你说，费马小定理这事儿啊，可真是让我费了不少周折。

说实话费马小定理这事，我一开始也是瞎摸索。

我尝试的第一个方法呢，就是用组合数学的概念去理解。

我就想啊，从a个元素里取出p个元素的组合数，当p是质数的时候会有一些特殊的性质。

我一开始试着把这些组合数展开去推导费马小定理，但是呢，中间过程太复杂了。

就好像你要从一团乱麻里理出一根线一样，很容易就迷失方向。

我老是在计算这个组合数的时候算错，或者是在推导中间某个等式的时候就进行不下去了。

后来我想，可能这种方法对于我来说太过复杂了，得换个思路。

然后呢，我试过用数学归纳法。

这个方法其实很常规，我先从小的数开始尝试。

就比如说取a = 2，p = 3的时候，我先验证这种简单的情况。

我算了2的3次方，再计算2 mod 3的余数，然后再按照数学归纳法的步骤慢慢推导。

不过在推导的过程中，假设部分和证明部分我老是混淆。

就好比盖房子，你得先把地基打好假设部分，结果我老是分不清楚这个地基应该怎么挖，导致上面的房子(证明部分)就盖得歪歪扭扭的，总有地方出岔子。

但是呢，只要把这个假设部分搞清楚正确的形式，按照数学归纳法一步一步来，还是可以慢慢得出结果的。

还有一个方法我觉得挺巧妙的。

我利用模运算的一些性质，特别是乘法的模运算性质。

我把a的幂次看成是在模p意义下的乘法运算的重复。

比如说，如果a = 3，p = 5，那3的2次方等于9，在模5下就是4，然后3的3次方在模5下就相当于4乘以3再取模，就这么一点点计算下去。

你可以想象这就像绕着一个圆形的操场跑步，每跑一圈就是一个模运算周期。

我老是忘记这是在模运算下，总是算着算着就按照普通乘法算了。

但是一旦时刻牢记着模运算规则，沿着这个思路去推导，就能证明费马小定理。

这就是我折腾费马小定理的过程，希望对你有帮助。

反正就是多尝试，错了别急，从错误里找思路就对了。

微积分费马定理证明

微积分费马定理证明
费马大定理的证明方法：x+y=z有无穷多组整数解，称为一个三元组；x^2+y^2=z^2也有无穷多组整数解，这个结论在毕达哥拉斯时代就被他的学生证明，称为毕达哥拉斯三元组，我们中国人称他们为勾股数。

但x^3+y^3=z^3却始终没找到整数解。

最接近的是：6^3+8^3=9^-1，还是差了1。

于是迄今为止最伟大的业余数学家费马提出了猜想：总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和。

因此，就有了：
已知：a^2+b^2=c^2
令c=b+k，k=1.2.3……，则a^2+b^2=(b+k)^2。

因为，整数c必然要比a与b都要大，而且至少要大于1，所以k=1.2.3……
设：a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；
则a^2+b^2=c^2就可以写成d^n+h^n=p^n，n=1.2.3……
当n=1时，d+h=p，d、h与p可以是任意整数。

当n=2时，a=d，b=h，c=p，则d^2+h^2=p^2 => a^2+b^2=c^2。

当n≥3时，a^2=d^n，b^2=h^n，c^2=p^n。

因为，a=d^(n/2)，b=h^(n/2)，c=p^(n/2)；要想保证d、h、p 为整数，就必须保证a、b、c必须都是完全平方数。

a、b、c必须是整数的平方，才能使d、h、p在d^n+h^n=p^n公式中为整数。

假若d、h、p不能在公式中同时以整数的形式存在的话，则费马
大定理成立。

费马小定理(算法)

费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为: 假如p是质数，且(a,p)=1，那么 a^(p-1) ≡１（mod p）假如p是质数，且a,p互质，那么 a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1费马小定理的历史皮埃尔•德•费马于1636年发现了这个定理，在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式。

在他的信中费马还提出a是一个质数的要求，但是这个要求实际上是不存在的。

与费马小定理相关的有一个中国猜想，这个猜想是中国数学家提出来的，其内容为：当且仅当2^(p-1)≡1(mod p)，p是一个质数。

假如p是一个质数的话，则2^(p-1)≡1(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的。

但反过来，假如2^(p-1)≡1(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）。

因此整个来说这个猜想是错误的。

一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了，但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的，认为它早就为人所知是出于一个误解。

费马小定理的证明一、准备知识：引理1．剩余系定理2若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时，有a≡b(mod m)证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质，c可以约去，a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)引理2．剩余系定理5若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数，若在这m 个数中任取2个整数对m不同余，则这m个整数对m构成完全剩余系。

证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1），所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余。

取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1<i<=m。

费马小定理简单证明

费马小定理简单证明摘要：1.费马小定理简介2.费马小定理的简单证明3.总结与启示正文：费马小定理是数论中的一个重要定理，它揭示了整数n和整数a之间的关系。

这个定理的表述如下：对于任意整数n > 2，若a与n互质，则a的n-1次方模n的余数等于1，即a^(n-1) ≡ 1 (mod n)。

费马小定理的简单证明如下：假设a与n互质，我们要证明a^(n-1) ≡ 1 (mod n)。

我们可以使用数学归纳法来证明。

当n = 3时，显然成立，因为a^2 ≡ 1 (mod 3)。

假设当n = k时，结论成立，即a^(k-1) ≡ 1 (mod k)。

考虑n = k+1的情况，根据假设，我们知道a^(k-1) ≡ 1 (mod k)。

那么我们可以将a^(k-1)表示为1 + kd，其中d是整数。

接下来，我们将证明a^(k+1) ≡ a^k * a ≡ 1 + kd * a (mod k+1)。

由于a与k互质，所以a与k+1也互质。

因此，我们可以将k+1表示为a * t + r，其中t和r分别是整数，且r < a。

那么，a^(k+1) = a * a^k= a * (1 + kd)= a + ka^2 + k^2 * d * a= a + kd * a + k^2 * d * a= (1 + kd) * a + k^2 * d * a= 1 + kd * a + k^2 * d * a (mod k+1)因此，我们证明了当n = k+1时，结论也成立。

根据数学归纳法，对于任意n > 2，费马小定理都成立。

费马小定理的简单证明就到这里。

算法实训-素数测试问题—费马小定律

素数测试问题一、问题定义【问题描述】输入2个正整数m、n（m<n），输出[m,n]间的素数。

【输入输出及示例】输入：测试范围的起止值m、n。

输出：输出[m,n]间的所有素数。

示例：请输入测试范围的起始值：100 200100到200间的素数有：101 103 107 109 113 127 131 137 139 149151 157 163 167 173 179 181 191 193 197199二、问题分析1、判断素数什么是素数？一个大于1的正整数，如果除了1和它本身以外，不能被其他正整数整除，就叫素数。

因此判断一个整数m是否是素数最简单的方法只需把 m 被 2 ~ m-1 之间的每一个整数去除，如果都不能被整除，那么 m 就是一个素数。

这种方法可以判断出一个数是否为素数，但这是一种暴力的方法，当一个数非常大的时候，用这种办法会花掉许多的时间。

所以在此题中使用蒙特卡罗法算法结合费尔马小定理结合二次探测定理来判断素数。

2、蒙特卡罗法算法蒙特卡罗方法，又称随机抽样或统计试验方法。

传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

随机产生问题的解，但在产生的解中，有一部分可以判断真假，一部分不能判断真假。

对于不能判断的，则可能是错误的解。

随着多次调用此算法，由于每次调用都是独立的，因此产生错误解的概率越来越小。

在实验中，通过srand(0);，设计随机数种子，保证每次产生的随机数的随机性，令int a = rand() % (n - 2) + 2;通过rand函数每次产生2-n的随机数，为了保证产生错误解的概率越小，在实验中，对每一个范围内的数，产生100随机数，保证结果的正确性。

3、费马小定律的使用费马小定理：如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）。

无穷多个费马素数

无穷多个费马素数
费马素数是一种特殊的素数，其定义是满足费马小定理的素数。

费马小定理是一个关于素数的重要定理，它表明如果p是一个素数，那么对于任意整数a，都有a^p ≡ a (mod p)。

根据费马小定理，如果一个素数p满足对于所有整数a都有a^p ≡ a (mod p)，则p被称为费马素数。

费马素数是一种非常稀有的素数，目前只知道五个费马素数，它们分别是3、5、17、257和65537。

这也是因为费马素数的定义要求其对于所有整数a都满足费马小定理，这种数学性质在数论中被认为是非常特殊的。

值得注意的是，费马素数与费马大定理无关，费马大定理是另一条关于整数解的数学问题。

费马素数的性质和应用在数论和密码学等领域有着重要的作用。

由于费马素数的稀有性质，它们在一些密码算法中被用作加密和解密的关键参数，例如RSA算法中的素数选择。

在数论研究中，费马素数也是一种有趣的数学对象，研究费马素数的性质和分布可以深入理解数论的重要定理和推论。

总的来说，费马素数是一种特殊的素数，满足费马小定理的数学性质。

尽管目前已知的费马素数数量很少，但它们在数论和密码学中的重要性不可忽视，对于数学研究和应用都具有深远的影响。

费马素数定理证明

费马素数定理证明
费马素数定理是指当n为素数时，对于所有的a，满足a^n ≡ a (mod n)。

下面给出费马素数定理的证明。

首先考虑当a与n互质时，费马小定理成立。

因为在此情况下，根据费马小定理，有a^(n-1) ≡ 1 (mod n)。

接下来考虑当a与n不互质时，即存在某个整数b满足a ≡ b (mod n)。

我们可以将a^n进行展开：
a^n = (a^n-1) * a
根据假设有a ≡ b (mod n)，则对于上式右边的每一项，我们都
可以将其表示为b的倍数：
(a^n-1) * a ≡ (b^(n-1) * a
由于b和n不互质，所以b^(n-1)与n的最大公约数不等于1。

因此，我们可以得到下面的结论：
(b^(n-1) * a) ≡ 0 (mod n)
所以我们可以得到对于所有的a，都满足a^n ≡ a (mod n)。

综上所述，无论a与n是否互质，都有a^n ≡ a (mod n)，从而
证明了费马素数定理。

费马小定理适用条件

费马小定理适用条件费马小定理，这可是数论里相当有趣的一个小玩意儿呢。

咱先别被这定理的名字吓着，其实理解它的适用条件就像了解一道菜啥时候做出来最美味一样。

费马小定理说的是，假如a是一个整数，p是一个质数，而且a和p互质（也就是a和p除了1以外没有其他的公因数），那么a的(p - 1)次方除以p就会余1。

这就好像两个人一起去参加一个特殊的比赛，这两个人得满足一定的条件，这个比赛规则才能生效。

咱先说这个整数a。

这个a就像是一个运动员，它可以是各种各样的数。

不过要让费马小定理能适用，这个运动员得和质数p有点特殊的关系，也就是互质。

比如说，要是p是5，那a可以是2、3、4这样的数，因为它们和5除了1就没有别的共同的约数了。

要是a是5呢，那就不行啦，因为5和5的最大公因数是5，不满足互质这个条件呀。

这就好比一场跑步比赛规定参赛选手不能是赛事举办方的亲戚，有这么个特殊要求。

再说说这个质数p。

质数啊，就像那些很有个性、很纯粹的东西。

质数只有1和它自己两个因数，就像一个孤独的侠客，只相信自己和最基本的那个1。

像2、3、5、7这些都是质数。

费马小定理里的p必须是质数，这就像一场特殊的游戏只能在特定的场地里玩，这个场地就是质数这个概念。

要是p不是质数，比如说4，那这个定理就不适用了。

这就好比你拿打乒乓球的规则去玩篮球，肯定是不行的。

还有啊，a和p互质这个条件可不能小瞧。

这就像两个合作伙伴，彼此之间除了最基本的信任（也就是1），没有其他复杂的关系。

如果这个关系不满足，费马小定理就像一个没有油的汽车，根本发动不起来。

有人可能会问，为啥要有这些适用条件呢？其实就像游戏有规则一样，数学定理也有自己的规则。

如果没有这些条件，那这个定理就乱套了，就像一个没有交通规则的马路，到处都是混乱的。

我给你举个例子吧。

比如说咱们要分糖果，有p个盒子，每个盒子只能放1颗糖果或者不放，而且糖果的数量是a。

如果a和p不满足费马小定理的条件，那就像是把不合适数量的糖果往不符合规则的盒子里放，肯定是分不好的。

素性检验

素性检验
1
回顾费马定理
费马定理: 如果 p 为素数，则 a�� ≡ ��(�� ) 又有当 (a,p)=1 ⇒a��−1 ≡ 1(�� )
2
现象：由费马定理，若 n 为素数，对任意整数 b，(b,n)＝1，则有 ��−�� ≡ ��(�� ) （1）结论：式（1）是 n 为素数的必要条件。描述：若有整数 b，(b,n)＝1，使得b��−1 丰 1(�� )，则 n 不是素数，即 n 是一个合数。判断一个数是合数的充分条件：
n 1 2 （mod n）。
b
S5 判断：若 r≠±1（mod n），则 n 是合数，输出“不通过” ，结束；否则转 S6。 S6 计算雅可比符号 s＝ n 。 S7 判断：若 r≠s，则 n 是合数，输出“不通过” ，结束；否则转 S8。 S8 n 通过一轮素性检验，k＝k＋1 S9 若 k≢t，转 S1，否则 n 通过 t 轮检验，输出“通过” ，结束。
描述：若有整数 b，(b,n)＝1，使得b��)，则 n 不是素数，即 n 是一个合数。
例1 ：判断63是否是合数？
3
若 n 为素数，对任意整数 b，(b,n)＝1，则有： ��−�� ≡ ��(�� ) （1）
•
使式⑴成立，仅是n为素数的必要条件，但不是充分条件。
反例（例 2）：设 b=8,n=63,已知(8,63)＝1;此时虽然能使⑴式成立，当 63 并不是素数。

费马小定理公式

费马小定理公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：费马小定理是代数数论中的一个经典定理，由17世纪法国数学家费尔马（Pierre de Fermat）提出并证明，被誉为“代数数论中最伟大的定理之一”，具有重要的理论和实际应用价值。

费马小定理的表述是：若素数p不整除整数a，则a^(p-1) ≡1(mod p)。

这个定理的证明虽然简单，但却展示了数论中深刻的思想。

费马小定理公式对解决素数、质数、同余式等数论问题具有重要的意义。

利用费马小定理，可以很容易地证明一个数是否为素数，或者计算一个数的幂的余数。

由于费马小定理的简洁性和实用性，它在密码学领域也得到了广泛的应用。

比如RSA加密算法就是建立在费马小定理的基础上的。

费马小定理的证明思路是：考虑p不整除a的情况。

由于p是素数，a与p互质，所以a的所有幂都模p同余于1，即a^1 ≡ a^2 ≡ a^3 ≡ ... ≡ a^(p-1) ≡1(mod p)。

然后，考虑p整除a的情况。

在这种情况下，显然a^p ≡ a (mod p)，即a^(p-1) ≡ a^(p-1) (mod p)。

由于a与p 互质，所以a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

综合两种情况，费马小定理成立。

费马小定理的证明虽然简单，但却是一个典型的数论问题，展示了数论中的深刻思想和技巧。

费马小定理的重要性不仅在于它本身的意义，更在于它作为代数数论一个重要的基础概念，为后续的数论发展奠定了基础。

费马小定理在概率论、统计学、密码学等领域都有广泛的应用。

在密码学领域，费马小定理被广泛应用于RSA加密算法中。

RSA加密算法是一种非对称加密算法，它利用了费马小定理中模幂运算的特性，使得计算机之间的信息传输更加安全可靠。

费马小定理是代数数论中一个具有重要理论和实际应用价值的定理。

它不仅有着深刻的数学思想，还在实际问题中有着广泛的应用。

通过学习费马小定理，可以更深入地理解数论中的一些重要概念，同时也可以应用它解决一些实际的问题。

费尔马伪素数及其奇妙性质

故 2Fn- 1 = 2Fn- ps 2ps - 1 ≡ 1 ( mo d F n) ,
即合数 Fn 必为伪素数.
定理 7 若 Fn 为合数, 则 2F2n - 3 必为伪素数. 证明由定理 6, 合数 Fn 必为伪素数, 再由引理 6, p n+ 1 = 2Fn - 1 = 2F2n - 3 必为伪素数.
关. 众所周知, 费尔马小定理的逆命题不成立, 因此, 人们把满足( 2, p ) = 1 且 2p- 1 ≡ 1 ( mod p ) 的合数 p
叫做伪素数, 而把满足 ( a, p ) = 1 且 ap- 1 ≡ 1 ( mod
p ) 的合数 p 叫做绝对伪素数. 显然, 伪素数不一定是
故 22m 1 ( mod Fn) , 从而 d = 2n+ 1, 即 2 关于模 Fn
的次数是 2n+ 1.
( 2) 由 ( 1) 及 p
Fn
有
2n+
2
1
≡
1
(
m
od
p
)
,
设
2
关
于模 p 的次数为 , 则由引理 4 必有 2n+ 1 . 若 < 2n+ 1, 设 = 2m( m ≤ n) , 因为:
定理 10 n ≥ 2, Fn 为费尔马数, 则
( 1) 2 不是 Fn 的原根;
( 2) 若素数 p Fn, 则 2 不是 p 的原根.
证明 ( 1) 当 Fn 为素数时, ( Fn) = Fn - 1 = 22n . 因 n ≥ 2, 故必有 2n+ 1 < 22n , 即 2n+ 1 < ( Fn) ;

费马小定理的证明

费马⼩定理的证明数论：1.费马⼩定理：mod:a mod p就是a除以p的余数费马⼩定理：a^(p-1)≡1(mod p)前提：p为质数，且a，p互质互质：a和p相同的因数为1.先来看⼀下≡是什么：a≡b(mod p) <=> a mod p=b mod p注释：<=> 两边相等在证明之前，先给出引理：(1)如果p,c互质,并且a*c≡b*c(mod p)证明过程：∵a*c mod p = b*c mod p∴(a*c - b*c) mod p = 0∴(a-b)*c mod p=0;∴(a-b)*c 是p的倍数∵p,c互质∴k*p*c mod p = 0∴(a-b)=k*p//这⾥建议你⽤笔推⼀下∴(a-b)%p=0(2) 若a1,a2,a3,a4,am为mod m的完全剩余系，m,b互质，那么b*a1,b*a2,b*a3,b*a4......b*am也是mod m的完全剩余系。

完全剩余系：从模n的每个剩余类中各取⼀个数，得到⼀个由n个数组成的集合，叫做模n的⼀个完全剩余系。

证明过程：利⽤反证法：假设存在⼀个b*ai≡b*aj(mod p),由引理(1)可证ai≡aj(mod p)所以这个假设不成⽴。

所以引理(2)成⽴。

开始费马⼩定理的证明：0,1,2,3,4...p-1是p的完全剩余系∵a,p互质∴a,2*a,3*a,4*a.......(p-1)*a也是mod p的完全剩余系∴1*2*3.........*(p-1)*a≡a*2*a*3*a......(p-1)*a (mod p)∴ (p-1)! ≡ (p-1)!*a^(p-1) (mod p)两边同时约去(p-1)!a^(p-1)≡1(mod p)。

费马因式分解算法优化及素数判定

费马因式分解算法优化及素数判定1. 费马因式分解1> 对于任⼀个奇数n，n = ab = x2-y22> ∵ n = ab = (x+y)*(x-y)∴ a = x + y, b = x-yx = (a+b)/2, y = (a-b)/2 (因为n为奇数，a, b必也为奇数，所以(a+b)和(a-b)必为偶数，故能被2整除，x, y为整数，x > y)如：1 = 1*1 = 12 – 023 = 3*1 = 22 – 125 = 5*1 = 32 – 227 = 7*1 = 42 – 329 = 3*3 = 32 – 022. 费马因式分解算法1> y2 = x2 – n∵ x2 – n >= y2 >= 0∴x2 >= n, x >= sqrt(n)∴我们可以从x = sqrt(n)开始，计算x2 – n为完全平⽅数即可求出x, y，然后求得a, b2> python代码def Fermat(num):x = int(math.sqrt(num));if x*x < num:x += 1;#y^2 = x^2 - numwhile(True):y2 = x*x - num;y = int(math.sqrt(y2));if y*y == y2:break;x += 1;return [x+y, x-y];3>. 利⽤完全平⽅数⼗位和个位数值性质改进费马因式分解算法完全平⽅数的最后两个⼗进制数字（个位和⼗位）⼀定是下列数对之⼀：{00, e1, e4, 25, o6, e9}，证明见《》#PerfectSquare = {00, e1, e4, 25, o6, e9}def CheckPerfectSquare(num):#tens = 3, mean it is a odd number, tens = 4, mean it is a even number, otherwise, tens equal the valuedigitList = [ {'unit' : 0, 'tens' : 0},{'unit' : 1, 'tens' : 4},{'unit' : 4, 'tens' : 4},{'unit' : 5, 'tens' : 2},{'unit' : 6, 'tens' : 3},{'unit' : 9, 'tens' : 4}];unit = num % 10;tens = (num % 100) / 10;for item in digitList:if item['unit'] == unit:if item['tens'] < 3:return item['tens'] == tens;else:#Check is odd or even number, check the first bitreturn item['tens'] & 1 == tens & 1;return False;def Fermat(num):x = int(math.sqrt(num));if x*x < num:x += 1;times = 0;x0 = x;#y^2 = x^2 - numwhile(True):y2 = x*x - num;if CheckPerfectSquare(y2):times += 1;y = int(math.sqrt(y2));if y*y == y2:break;x += 1;print"Loop : ", x - x0 +1, ", check perfect square :", times;print"x :", x, ", y :", y;return [x+y, x-y];测试结果：可以看出，⽤了完全平⽅数的性质后，将原来需要计算y的开⽅和⽐较y2的次数减少了13次（86%），我们知道计算乘法和开⽅式⾮常耗费时间的，减少这些次数后可以⼤⼤提⾼算法效率4. 费马因式分解最坏计算次数x = (a+b)/2∵ n = ab, b = n/a∴ x = (a + n/a)/2我们需求x的最⼤值，如果(a + n/a)是单调递增或递减的，我们很容易就得到x的最⼤值设a >= b（b >=a 也⼀样）则 a2 >= ab = n∴ a2 >= n (a <= n)设f(a) = a + n/af(a+1) = (a+1) + n/(a+1)f(a+1) – f(a) = (a+1) + n/(a+1) – (a + n/a)= 1 + n/(a+1) – n/a= [(a+1)a + na –n(a+1)]/a= (a2 –n + a)/[a(a+1)]∵ a2 >= n∴ (a2 –n + a) > 0∴f(a+1) > f(a)∴f(a)时单调递增的∵a <= n∴当a = n时，f(a)最⼤，x也最⼤，x = (n + n/n)/2 = (n+1)/2∴费马因式分解最⼤次数 = x – sqrt(n) = (n+1)/2 – sqrt(n)5. 费马因式分解算法和素数判定思考：当费马因式分解算法为最坏次数时，n是什么数当费马因式分解算法为最坏次数时，可知a = n, b = 1, x = (n+1)/2, y = (n-1)/2貌似其因⼦为本⾝和1，这和素数的性质⾮常像，看第1部分的1到9的费马因式分解，貌似满⾜这种条件的都是素数，那么⼤胆猜想⼀下：假设：如果奇数n的费马因式分解式 = n*1，那么n为⼀个素数反证：n不为素数, 则x在最⼤值之前就使x2 – n = y2即需证明，当n不为素数，n = ab = (x+y)(x-y), x < (n+1)/2那么 n = ab (n > a)根据第4部分证明知x = (a + n/a)/2 ，且f(a) = a + n/a 是单调递增的∵a < n∴f(a) < f(n) < n + n/n = n + 1∴x < (n+1)/2∴x不可能到最⼤次数，得证增加部分code和测试如下：if__name__ == '__main__':while(True) :num = int(raw_input("Input a odd num for fermat : "));if(1 == num & 1):break;retList = Fermat(num);print num, "=", retList[0], "*", retList[1];if num > 1 and 1 == retList[1]:print num, "is a prime number";。

python费马小定理判断素数

用Python实现费马小定理判断素数的方法及其改进本文介绍了python费马小定理判断素数的主题，包括以下几个方面：什么是素数和费马小定理，以及它们的数学性质和应用。

什么是费马素性检验，以及它的基本思想和优缺点。

如何用python实现费马素性检验，以及相关的代码和示例。

如何用python实现更高效和可靠的素数测试算法，例如Miller-Rabin算法。

什么是素数和费马小定理1.1 素数的定义和性质素数是指只能被1和自身整除的正整数，例如2, 3, 5, 7, 11等。

素数在数论中有着重要的地位，因为任何一个大于1的正整数都可以唯一地分解为若干个素数的乘积，这就是著名的算术基本定理。

例如：12=2×2×315=3×5100=2×2×5×5素数有许多有趣和有用的性质，例如：素数有无穷多个，这是欧几里得在《几何原本》中证明的。

素数的分布没有简单的规律，但有一些统计规律，例如素数定理。

素数与加密算法有密切的关系，例如RSA算法。

1.2 费马小定理的定义和性质费马小定理是法国数学家皮埃尔·德·费马在17世纪提出的一个定理，它可以表述为：如果p是一个素数，那么对于任意一个整数a，都有：a p≡a(mod p)或者等价地：如果p是一个素数，并且a不是p的倍数，那么有：a p−1≡1(mod p)其中≡表示同余符号，(mod p)表示模p运算。

例如：211≡2(mod11)313≡3(mod13)417≡4(mod17)费马小定理有许多有趣和有用的性质，例如：费马小定理可以用来判断一个数是否是素数，这就是费马素性检验。

费马小定理可以用来求解模幂方程，例如a x≡b(mod p)。

费马小定理可以推广为欧拉定理，即如果a和n互质，那么有aφ(n)≡1(mod n)，其中φ(n)是欧拉函数。

什么是费马素性检验2.1 费马素性检验的基本思想费马素性检验是一种随机化算法，用来判断一个数是否是素数。

费马定理

费马大定理费马大定理在数论领域，费马的名字因“费马大定理”而特别响亮。

费马大定理亦称“费马猜想”，最先由费马在阅读巴歇（CBachet）校订的丢番图《算术》时作为卷2命题8的一条页边批注而提出。

1670年费马之子萨缪尔（Samue1）连同其父的批注一起出版了巴歇的书的第二版，此后三个多世纪，费马大定理成为世界上最著名的数学问题，吸引历代数学家为它的证明付出了巨大的努力，有力地推动了数论乃至整个数学的进步；1994年，这一旷世难题被英国数学家威尔斯（A。

Wi1es）解决以下就是费马的页边批注，原文为法文，把一个数的立方分成另两个数的立方和，把一个数的四次方分成另两个数四次方的和，或一般地，把一个数的高于2的任何次方分成两个数的同次方的和是不可能的。

我确信已找到了一个极佳的证明，但书的空白大窄，写不下。

费马小定理费马经常把他的一些研究结果写信告诉其他数学家。

在1640年10月18日致德·贝西（RRdeBessy）的一封信中包含了后以" 费马小定理”著称的如下结果：如果p 是素数，a与p 互素，则被p 整除。

费马曾对欧凡里得《几何原本的定理》，36很感兴趣，该定理是说：如果2”一1是素数，则形如2～’（2”一1）的数是完全数，即它等于其所有因子的和。

这种像2一‘的数费马叫做完全数的根。

在1640年6月写给梅森神父（M。

Mersenne的信中费马有如下结论：如果n 非素，贝2”一 1非素；如果”是素数，则2”一2可被门整除；如果”是素数，贝：J 2、一：只能被形士口2kn＋i的素数整除。

同年8月在给贝西的信中，费马讨论了2、＋1型的数（当”一2’时， 22t＋1型数后被称为“费马数”。

）费马在10月18日写给贝西的信中首先回顾了上述诸信的结果，然后转向“费马小定理”。

以下摘录该信有关部分，转译自趴J．Struik：A、 Source BOok in Math． pp。

28～29。

费马定理的充分条件

费马定理的充分条件费马定理是数学中的一个经典问题，它的形式是：对于任意大于2的自然数n，不存在三个正整数x、y、z，使得x^n+y^n=z^n成立。

这个问题在数学界引起了广泛的关注和研究，直到20世纪才被安德鲁·怀尔斯证明。

而费马定理的充分条件则是另一个问题，它是指在什么情况下费马定理成立。

本文将从几个方面来探讨费马定理的充分条件。

一、费马定理的充分条件是：如果n是一个大于2的自然数，且存在一个质数p，使得p^(n-1)除以n余1，那么费马定理成立。

这个充分条件是由欧拉在18世纪提出的，也被称为欧拉定理。

欧拉定理的证明需要用到一些数学知识，这里不再赘述。

二、费马定理的证明费马定理的证明是一个非常复杂的问题，直到20世纪才被安德鲁·怀尔斯证明。

怀尔斯的证明是基于现代数学的一些理论和方法，包括代数几何、椭圆曲线和模形式等。

怀尔斯的证明是一个非常深奥的数学问题，需要一定的数学基础才能理解。

三、费马定理的历史费马定理的历史可以追溯到17世纪，当时法国数学家费马提出了这个问题。

费马在一封信中写道：“我已经找到了一个非常漂亮的证明，但是这个证明太长了，无法在信中写出来。

”费马的这个问题一直没有被证明，成为了数学界的一个谜团。

直到20世纪，安德鲁·怀尔斯才证明了这个问题，这也是数学史上的一个重要事件。

四、费马定理的应用费马定理在密码学中有着广泛的应用。

在RSA加密算法中，费马定理被用来证明加密算法的安全性。

此外，费马定理还被用来研究数学中的一些问题，如椭圆曲线和模形式等。

五、结语费马定理是数学中的一个经典问题，它的充分条件是欧拉定理。

费马定理的证明是一个非常复杂的问题，直到20世纪才被安德鲁·怀尔斯证明。

费马定理在密码学中有着广泛的应用，同时也被用来研究数学中的一些问题。

合数是绝对假素数的充要条件

合数是绝对假素数的充要条件
袁新梅;李鹤年
【期刊名称】《数学研究》
【年(卷),期】2002(035)004
【摘要】利用正整数模的特征数这一新概念给出了合数是绝对假素数的充要条件. 以此为据,证明了绝对假素数是奇数,它无异于1的平方因数,并且至少是三个互异的奇素数的乘积;还给出了两个绝对假素数或两个大于1的奇数的乘积是绝对假素数的充要条件.
【总页数】5页(P451-455)
【作者】袁新梅;李鹤年
【作者单位】江西宜春学院数学系,江西,宜春,336000;江西宜春学院数学系,江西,宜春,336000
【正文语种】中文
【中图分类】O156.1
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1.伪素数--绝对伪素数的分析与探求 [J], 王琦;解建国
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