函数的周期性(基础+复习+模拟题+练习)-精选.pdf

课题：函数的周期性

考纲要求：

了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性

.

教材复习

1周期函数：对于函数

()y

f x ，如果存在非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何

值时，都有，那么就称函数()y f x 为周期函数，称T 为这个函数的一个周期.

2最小正周期：如果在周期函数

()f x 的所有周期中

的正数，那么这个最

小正数就叫作

()f x 的最小正周期.

基本知识方法

1.周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个

x ，都存在非零常数T ，使得

()

()f x T f x 恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，

则kT （,0k Z k

）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫

()f x 的最小正周期.

2.几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数

y f x 满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,

①f x f x a ，则y f x 是以T a 为周期的周期函数；②f x a f x ，则x f 是以2T a 为周期的周期函数；

③

1

f x a

f x

，则x f 是以2T a 为周期的周期函数；

④

f x a

f x a ，则x f 是以2T

a 为周期的周期函数；

⑤1()()

1()

f x f x a f x ，则

x f 是以2T a 为周期的周期函数.

⑥1()()

1()f x f x a f x ，则

x f 是以4T a 为周期的周期函数.

⑦1()()1

()

f x f x a f x ，则

x f 是以4T

a 为周期的周期函数.

⑧函数

()y

f x 满足()

()f a x f a

x （0a ）

，若()f x 为奇函数，则其周期为4T

a ，若()f x 为偶函数，则其周期为

2T a .

⑨函数()y

f x x

R 的图象关于直线x

a 和x

b a

b 都对称，则函数

()f x 是

以

2b a 为周期的周期函数；⑩函数()y f x x R 的图象关于两点0,A a y 、0,B b y a b 都对称，则函数()f x 是以2b a 为周期的周期函数；⑾函数()y f x x R 的图象关于0,A a y 和直线x b a b 都对称，则函数()f x 是以4b a 为周期的周期函数；

3.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x 恒有()

()

f x

T f x ; 二是能找到适合这一等式的非零常数

T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集

.

4.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，

还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值

.

问题1．(06山东)已知定义在

R 上的奇函数()f x 满足(2)

()f x

f x ，则(6)f 的

值为

.A 1

.B 0.C 1

.D 2

问题2．1

(00上海) 设()f x 的最小正周期2T 且()f x 为偶函数，

它在区间

0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间1,2上, ()

f x 2已知函数()f x 是周期为2的函数，当

1

1x

时，2

()

1f x x

，

当19

21x

时，()f x 的解析式是

3

x f 是定义在R 上的以2为周期的函数，对k

Z ，用k I 表示区间

21,21k

k ，已知当

0x

I 时，2

f x x ，求x f 在k I 上的解析式。问题3．

1（04福建）定义在R 上的函数x f 满足2x f x f ，当5,3x 时，

42

x

x

f ，则.A sin

cos

6

6

f f ；.

B sin1cos1f f ；

.

C 22cos sin

3

3

f

f .D cos 2si n 2

f f

2（05天津文）设()f x 是定义在R 上以6为周期的函数，

()f x 在(0,3)内单调递减，

且()y

f x 的图像关于直线

3x 对称，则下面正确的结论是.A (1.5)(3.5)(6.f f

f .B (3.5)(1.5)(6.5)f f f .C (6.5)(3.5)(1.

f f

f

.D (3.5)(6.5)

(1.5)

f f f 问题4．定义在

R 上的函数x f ，对任意R x

，有y f x f y x f y x

f 2，

且

00

f ，1求证：10

f ；2判断x f 的奇偶性；

3若存在非零常数c ,使02

c f

，①证明对任意

R x

都有x f c x

f 成立；

②函数

x f 是不是周期函数，为什么？

问题5．（01全国）设

()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线

1x

对称，对任

意的

12

1

,0,2

x x ，都有1

212()()()f x x f x f x .

1设(1)

2f ，求1

()2f 、1

()4

f ；2证明：()f x 是周期函数.

01

2y

21

B

A

x