系泊系统的设计数学建模差分法

模型假设

假设所有的材料都是普通钢材，，普通钢材的密度直接按照铁的密度计算，即所有材料密度为7.9×103kg/m3。

问题分析

问题总分析：本题最关键的就是讨论出系泊系统中各个参数之间的关系。我们把系泊系统中的锚链、钢管和钢桶的每一段，都看作是一条理想的杆，再对每一段杆进行受力分析，通过对每根杆分析受力平衡和力矩平衡，得出递推关系，建立差分方程；再利用二分法确定差分方程的初值，从而解出每段杆各个参数的值。

问题一的分析：

先对每段理想的杆进行受力分析，和力矩平衡分析，得到拉力以及夹角的差分递推关系，得

T的大小和方向，就能计算得到整个系泊系统的状态。再知只要知道第一根杆受到的拉力1

分析第一根理想杆即浮标的受力情况，得知它受到的拉力又由浮标吃水深度f决定，最后利用二分法确定f，从而得到整个系泊系统的状态。

问题二的分析：

在问题一的假设上，风速变为36m/s，利用同样的方法求解，求得海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。为使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度，我们从1200逐步增加重物球的重量，观察两个角度的大小变化，得到重物球质量的下限；接着再考虑浮标的吃水深度问题，因浮标不能完全浸入水中，计算得到重物球的质量的上限。

问题三的分析：

要考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，就是要确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。为了确定锚链的型号，先分析在极端情况，即水深20m，海水速度为1.5m/s，风速36m/s的情况下的锚链在锚点与海床的夹角为16度附近需要锚链长度较短的锚链。再以这个最短锚链长度为例，求对应的重物球质量范围，使得锚链在锚点与海床的夹角不超过16度，钢桶的倾斜角度不超过5度，并使得浮标不能完全浸没在水中。最后给出一个特定取值状态下系泊系统的状态。

符号说明

模型建立与求解模型准备：

对第i根杆的受力进行分析，如图1：

图1

将受力分析图简化成图2：

图2

i B F 为第i 根杆受到的重力i G 和浮力i B 的合力，定义竖直向上的方向为正方向，则i B F 为负

值。特别的，第一根杆即浮标，还受到风力的作用，第六根杆即钢桶还受到重物球的作用。记杆在水平方向上受到的合力为x F ，在竖直方向上受到的合力为y F ，由杆的受力平衡条件，可知有

0sin sin sin sin 1111=-+='-+=++++i i i i S i i i i S x T T F T T F F i i θθθθ0cos cos cos cos 1111=-+='-+=++++i i i i B i i i i B y T T F T T F F i i θθθθ

从而得到递推关系：

()

i i B i i S i T F T F T i i θθcos ,sin 1++=+ （1）

由于杆的力矩平衡条件可得：

i i B i i i i S i i h F T h F T i i ϕθϕθsin 2cos cos 2sin ⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 从而得到递推关系：

2

cos 2sin tan i i

B i i S i i i F T F T +

+=

θθϕ （2）

通过以上的递推关系可知，如果知道第一根杆受到的拉力1T 的大小和方向，通过（2）式就能得到该杆的倾斜角度，通过（1）式还能得到下一根杆受到的拉力，从而得到下一根杆的倾斜角度，以此递推，得到所有杆的倾斜角度。 分析第一根杆受到的拉力的大小和方向

把浮标看作是第一根杆。不同于其它杆，它还受到一个风力f w 的作用。则得到它的受力分析图，如图3所示：

图3

其中f 为浮标在水下的百分比，ℎ1为浮标的长度，根据受力平衡条件可得：

122sin S w x F F T F ++-=θ， 122cos B y F T F +-=θ

从而得到

),(112B S W F F F T +=

其中

F B 1=ρ海fπ(d 2)2

ℎ1g −mg ，

()2

1dv h 10.625风f F w -=，

2

1dv h 7431水f F s =

d 为浮标的直径。

通过分析上式，只要确定f ，就能得到T 2，从而递推得到所有杆的状态。 为确定f ，我们先将第i 根杆对应的坐标设定如图4所示：

图4

利用二分法确定f ： 初始值：f =

2

max

min f f +，其中的初值和max min f f 为1,0max min ==f f ()()⎩⎨

⎧----min

11max

11f f 1y f f 1y 的值赋给，将现在＜的值赋给，将现在＞H h f H h f 从而在给定的误差范围内求出f ，进而得到各个杆的参数。 模型建立及求解： 针对问题一

通过模型准备的分析，用matlab 分别计算海面风速为12m/s 和24m/s 时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。得到风速为12m/s 时各参数的值如图5所示:

图5

tilt 表示钢桶（第六根杆）的倾角

elev 表示锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角 xsbed 表示锚链躺在海底的长度 xbuoy 表示浮标游动的距离 f 表示浮标的吃水比例 Lc 表示锚链的长度 chain 表示锚链的种类 depth 表示海水的深度

得到结果：钢桶倾角1.1991°；

锚链与海床的夹角为0，其中有6.3米躺在海床；

浮标的吃水比例为0.3416，即浮标吃水的高度为0.6832m ； 浮标游动区域的直径为14.6496m 。 大致情况如图6所示：