定积分与不等式证明
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＝
２ｎ ＋ １３ Ｌｎ １ ｎ 一 ） １２ ３ ＋ （一 ） （ １， ｎ ｌｎ
３ ｒ ４ ｒ
ｒ ｎ
令 数 （ＪＩｘ ｆｘ ｆ ｘ ｔ ） 函 Ｆ ｘ一 Ｊ ） ａ ）ａ － Ｉ ｘ） ｄ Ｊｘ（ ＜ ） 』 ｔｉ ｏ ｄ≤ ｂ ： ｄ （ ｘ （
又Ｊ１ ｘＪｌ ｘ ｘ＋ ｘ ｄ ： ｘ＝２ ｘ ｘ ｄＬ ｌ ｘ ｘ ｄ ｎ Ｊｌ ｘ＋ ｎ ｎ ｄ ｎ Ｘ ３ ｘ
令 ｆ Fra Baidu bibliotekｘ ｘＰｘ ｌｘ １ ０（ ｘ （ ＝ｌ ，（＝ｎ ＋ ＞ ，当 ≥２时） ｘ ｎ ）
则’ ｆ争Ｊ） Ｆ＝一Ｉ ｄ （ Ｉ ） （ ｆｘ １ （ ） Ｘ 一
＝
可知， ２ 】 ｆ） 在【ｎ ，内，ｘ （单调递增 ， 于是有
，４ ，ｎ
争 ｔ ｆｘ Ｊ） ） ：ｄ 一 （ １ ｘ
一
式 的证 明中也起了重要的作 用．
例 ２ 证明不等式 １（ １ ｎ ｎ －
生
ｉ ｘｄ 孚ｎ孚１ ｌｘ １ ＋ ≤ ｎ＜ ｎ ｘ￣ 一
解得通解为 ：ｘ Ｃ ， ｆ） ｅ ｛＝
证首 证 ：ｘｄ ＿ｎ孚 １ 先 明』ｎ ≤２ｎ ＋ ｘ ｎ 一 ｎ Ｘ２ ｌ ｌ
Ｑａｆ＝ ｆ ０ 此 Ｊ（ｘ， ｆ＝ ）ｊ（ ， ， ｆ）： （ （０ ｘ 因 ｘ ０ ）ｈ ） ￣ｄ
ｕｆｘ （ｄ＋ｕｆｘｘ （ｄ＋』［ｘ２ ＞ ￣ｘ ｘ２ ｆ）ｘｘ ｆ）ｄ ０ ） （ｅ ） （１ｘ
（ ｉ ≤
。
ｘｘ ｄ
例 １ 设 ｆ ） ［ｂ上 连续 单 调递 增 ， （在 ０ ］ ｘ ， 求证 当 Ｏａ ＜ ≤ｂ
ｘｄ ｄ争』ｘ ｆｘｂ ｘ ） （ ≥ ＿ ｆ ｘ ） （
证 构 造 变 一 积 分 的辅 助 函数 ， Ｌ限
Ｑ（ ， ｌ ２ｎ１一 １兀ｉ ｎ ２３（ ） ｎ ≤ ［ Ｌ一ｎ １ － ］
１ 充分运用积分运算方法 ． ２ 换元积分法 ， 分部积分法不仅能求解积分 ， 在积 分不等
证 引入参数 １ 考察 ｆ ） ）ｘ， １ ， ． ＋ 【 ）由题设 上式在［ｂ （ ｕｆ ｘ （ ａ］ ，上
对任何实数 Ｕ 都不能恒为“”不然 ， ０， 若假设有实数 ｕ使得 ，
ｒｘ ｕｆ）Ｏ （＋ ｘ（＝ ） ｘ
２ 引入 参 数 法
＝ｔｃ一ｆｘ ￣ｆ） 』） ｌｌ ｘ ｄ ｆ （］ － ｔ ｘ ｄ
＝
Ｊ（（ｘ０（ｘ增 ． ｆ ０ ｔｘ ≥ Ｑ） ｆｘ ） ［ ｆｄ ｆ ｆ ） ）ｌ ～ （ 递 （ ）） 一≥
２１ 判别式法 ．
此方法适用于积分 式中含有 ｆ ） ｆｘ ２ 或 ） （ ｘ （的情形
定积分 与不等式证 明
崔雅莉
（ 肇庆工商职业技 术学院，广东 肇庆
摘
５６０） ２００
要 ：定积分不等式的证 明是 常见的题 型， 明方法灵活多样 ， 证 具有较强的技巧性和综合性 ， 本文通过分析典 型的例
题， 归纳 总结 了求 证 含 有 定 积 分 不 等 式 的 一般 规 律 与 方 法 。 关键 词 ：定 积 分 ； 等 式 ； 明 不 证 中图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１２２ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ３ ３ ３ （０ １０ — １０ ０ １７ — ２ １２ １ ）８０ ７ — ２
ｆｔ一ｆ Ｘ ｆ＿ Ｊ ） （０ ｄ Ｉ ） （］ ） （ ｘ
证．
Ｊ ｌ ｄ ３ ３ ｘ ｘ ＞ 一）（ １ ｎ ｘ １ Ｌ ｌ ｄ （ １ ｎ ） ３ ｘ ＞ ｎ ｆ ｎ ｘ ｎ ｌ 一 ｘ Ｊ ｎ ｎ
一
１
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故ｌｎｉ ｌ ｘ 当 ：时 号 立 ．题 ， ｎ ｘ（ ｎ 等 成 ） 得 （ ≤ｆ ｎ 仅 ２ ｘｄ 命
与 假设 Ｊ２ｄ ｌ （ ｘ 矛盾， ｆ）ｘｘ＞ ｆ）＝ ｘ 故［ｘｕｆ］０ （ （ ＋ ）
则 ｆ［ｘ ｕｆ）ｄ＞ 即 ｆ ） ｘｘ２ ０ （＋ （１ｘ
ｒ１ ３ ，Ｄ ｒ ｂ
则（ ｇ ）（ （ａ ， ｇ≤学 ＋旦 ｘ＋ ｘ （ ｇ ） ２ ） ’ —ｂ
两边取 ａ ］ ， 的积分 ， ｂ
第 ３卷 第 ８期
２１ ０ １年 ８月
赤 峰 学 院 学 报 （科 学 教 育 版 ）
Ｊ ｕ ａ ｏ ｈｆ ｇＵ ｉ ｒ ｔ ｓｉ ｃ ｏ ｒ ｌ ｆ ｉ ｎ ｎ ｅｓ ｙ（ｃ ｎ ｅ＆ｅ ｕ ａ ｏ ） ｎ Ｃ ｅ ｖ ｉ ｅ ｄ ｃｔｎ ｉ
Ｖｎ１３ Ｎｏ８ ． ． Ａｕｇ ２０１ ． １
＝
１ 灵活 运 用 性 质 与 运 算 方 法 证 明
［ｎ ｛ｌ２－ ＋ 手ｘ ｎ １ 孚 一 ｎｎ －２
１１ 应用积分性质 ．
一
＜
些不等式的证明一般不必计算 出定 积分 ，因此对 于
再
等ｎ孚 １ ｌ ＋ ｎ 一
ｎ －Ｉ
含抽象函数 的定 积分不等式证 明， 可灵 活应用积分性质．
不 等 式 的 证 明 在 数学 分析 中起 着 重 要 作 用 ． 有 足 积 分 笛
的不等式较 为常见 ， 根据含积分 不等式的特点 ， 般可 以考 一 虑 以下几种求证方法 ：
应分积法：ｘｄ ｘ 』 Ｌ 用部分有』ｘ｝ｌ，￣ ｘ ２ｌ ｄ ｎ ＝ ｎ一ｘ ｘ ｌ ｎ ｘ ４ ￣
由拉 格 朗 １ ３中值 定 理 有 ： Ｆｈ： （＋ ’ （— ）Ｆ（ （—） （ § ｂ （ Ｆａ Ｆ（ ｂ ａ ’） ａ≥Ｏ ａ ＜ ） ） ） ＝ §ｂ ＜
例３ 设“ ） ａ１ 具有连续导数， ） ： ， ｆ ｘ在［ 上 ， ｂ ｆ ＝ ０且 （ ） ａ
，
） ｆ ｘ ） ｄ 蚌 ｄ ， Ｊ ） 』 ｘ＞ ｘ 】 Ｊ ｘ ａ ｂ ｄ。 Ｐ Ｒ （ 』 ）孚』 ）争ｆ ） 式 证 Ｏｂ ｘ一 ｄ ｄ 得 ． （＝证 （［ｒ（ｘ ） ｝ ：） ｄ ｆｘ ｆｘ Ｆ＝ ｘ （ ＋ ＿ 原 ｘ ｌ 明ｉ（ ｘａ（ ） ． ｘ （ ｘ
２ｎ ＋ １３ Ｌｎ １ ｎ 一 ） １２ ３ ＋ （一 ） （ １， ｎ ｌｎ
３ ｒ ４ ｒ
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令 数 （ＪＩｘ ｆｘ ｆ ｘ ｔ ） 函 Ｆ ｘ一 Ｊ ） ａ ）ａ － Ｉ ｘ） ｄ Ｊｘ（ ＜ ） 』 ｔｉ ｏ ｄ≤ ｂ ： ｄ （ ｘ （
又Ｊ１ ｘＪｌ ｘ ｘ＋ ｘ ｄ ： ｘ＝２ ｘ ｘ ｄＬ ｌ ｘ ｘ ｄ ｎ Ｊｌ ｘ＋ ｎ ｎ ｄ ｎ Ｘ ３ ｘ
令 ｆ Fra Baidu bibliotekｘ ｘＰｘ ｌｘ １ ０（ ｘ （ ＝ｌ ，（＝ｎ ＋ ＞ ，当 ≥２时） ｘ ｎ ）
则’ ｆ争Ｊ） Ｆ＝一Ｉ ｄ （ Ｉ ） （ ｆｘ １ （ ） Ｘ 一
＝
可知， ２ 】 ｆ） 在【ｎ ，内，ｘ （单调递增 ， 于是有
，４ ，ｎ
争 ｔ ｆｘ Ｊ） ） ：ｄ 一 （ １ ｘ
一
式 的证 明中也起了重要的作 用．
例 ２ 证明不等式 １（ １ ｎ ｎ －
生
ｉ ｘｄ 孚ｎ孚１ ｌｘ １ ＋ ≤ ｎ＜ ｎ ｘ￣ 一
解得通解为 ：ｘ Ｃ ， ｆ） ｅ ｛＝
证首 证 ：ｘｄ ＿ｎ孚 １ 先 明』ｎ ≤２ｎ ＋ ｘ ｎ 一 ｎ Ｘ２ ｌ ｌ
Ｑａｆ＝ ｆ ０ 此 Ｊ（ｘ， ｆ＝ ）ｊ（ ， ， ｆ）： （ （０ ｘ 因 ｘ ０ ）ｈ ） ￣ｄ
ｕｆｘ （ｄ＋ｕｆｘｘ （ｄ＋』［ｘ２ ＞ ￣ｘ ｘ２ ｆ）ｘｘ ｆ）ｄ ０ ） （ｅ ） （１ｘ
（ ｉ ≤
。
ｘｘ ｄ
例 １ 设 ｆ ） ［ｂ上 连续 单 调递 增 ， （在 ０ ］ ｘ ， 求证 当 Ｏａ ＜ ≤ｂ
ｘｄ ｄ争』ｘ ｆｘｂ ｘ ） （ ≥ ＿ ｆ ｘ ） （
证 构 造 变 一 积 分 的辅 助 函数 ， Ｌ限
Ｑ（ ， ｌ ２ｎ１一 １兀ｉ ｎ ２３（ ） ｎ ≤ ［ Ｌ一ｎ １ － ］
１ 充分运用积分运算方法 ． ２ 换元积分法 ， 分部积分法不仅能求解积分 ， 在积 分不等
证 引入参数 １ 考察 ｆ ） ）ｘ， １ ， ． ＋ 【 ）由题设 上式在［ｂ （ ｕｆ ｘ （ ａ］ ，上
对任何实数 Ｕ 都不能恒为“”不然 ， ０， 若假设有实数 ｕ使得 ，
ｒｘ ｕｆ）Ｏ （＋ ｘ（＝ ） ｘ
２ 引入 参 数 法
＝ｔｃ一ｆｘ ￣ｆ） 』） ｌｌ ｘ ｄ ｆ （］ － ｔ ｘ ｄ
＝
Ｊ（（ｘ０（ｘ增 ． ｆ ０ ｔｘ ≥ Ｑ） ｆｘ ） ［ ｆｄ ｆ ｆ ） ）ｌ ～ （ 递 （ ）） 一≥
２１ 判别式法 ．
此方法适用于积分 式中含有 ｆ ） ｆｘ ２ 或 ） （ ｘ （的情形
定积分 与不等式证 明
崔雅莉
（ 肇庆工商职业技 术学院，广东 肇庆
摘
５６０） ２００
要 ：定积分不等式的证 明是 常见的题 型， 明方法灵活多样 ， 证 具有较强的技巧性和综合性 ， 本文通过分析典 型的例
题， 归纳 总结 了求 证 含 有 定 积 分 不 等 式 的 一般 规 律 与 方 法 。 关键 词 ：定 积 分 ； 等 式 ； 明 不 证 中图 分 类 号 ： ７ ． Ｏ１２２ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ ３ ３ ３ （０ １０ — １０ ０ １７ — ２ １２ １ ）８０ ７ — ２
ｆｔ一ｆ Ｘ ｆ＿ Ｊ ） （０ ｄ Ｉ ） （］ ） （ ｘ
证．
Ｊ ｌ ｄ ３ ３ ｘ ｘ ＞ 一）（ １ ｎ ｘ １ Ｌ ｌ ｄ （ １ ｎ ） ３ ｘ ＞ ｎ ｆ ｎ ｘ ｎ ｌ 一 ｘ Ｊ ｎ ｎ
一
１
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故ｌｎｉ ｌ ｘ 当 ：时 号 立 ．题 ， ｎ ｘ（ ｎ 等 成 ） 得 （ ≤ｆ ｎ 仅 ２ ｘｄ 命
与 假设 Ｊ２ｄ ｌ （ ｘ 矛盾， ｆ）ｘｘ＞ ｆ）＝ ｘ 故［ｘｕｆ］０ （ （ ＋ ）
则 ｆ［ｘ ｕｆ）ｄ＞ 即 ｆ ） ｘｘ２ ０ （＋ （１ｘ
ｒ１ ３ ，Ｄ ｒ ｂ
则（ ｇ ）（ （ａ ， ｇ≤学 ＋旦 ｘ＋ ｘ （ ｇ ） ２ ） ’ —ｂ
两边取 ａ ］ ， 的积分 ， ｂ
第 ３卷 第 ８期
２１ ０ １年 ８月
赤 峰 学 院 学 报 （科 学 教 育 版 ）
Ｊ ｕ ａ ｏ ｈｆ ｇＵ ｉ ｒ ｔ ｓｉ ｃ ｏ ｒ ｌ ｆ ｉ ｎ ｎ ｅｓ ｙ（ｃ ｎ ｅ＆ｅ ｕ ａ ｏ ） ｎ Ｃ ｅ ｖ ｉ ｅ ｄ ｃｔｎ ｉ
Ｖｎ１３ Ｎｏ８ ． ． Ａｕｇ ２０１ ． １
＝
１ 灵活 运 用 性 质 与 运 算 方 法 证 明
［ｎ ｛ｌ２－ ＋ 手ｘ ｎ １ 孚 一 ｎｎ －２
１１ 应用积分性质 ．
一
＜
些不等式的证明一般不必计算 出定 积分 ，因此对 于
再
等ｎ孚 １ ｌ ＋ ｎ 一
ｎ －Ｉ
含抽象函数 的定 积分不等式证 明， 可灵 活应用积分性质．
不 等 式 的 证 明 在 数学 分析 中起 着 重 要 作 用 ． 有 足 积 分 笛
的不等式较 为常见 ， 根据含积分 不等式的特点 ， 般可 以考 一 虑 以下几种求证方法 ：
应分积法：ｘｄ ｘ 』 Ｌ 用部分有』ｘ｝ｌ，￣ ｘ ２ｌ ｄ ｎ ＝ ｎ一ｘ ｘ ｌ ｎ ｘ ４ ￣
由拉 格 朗 １ ３中值 定 理 有 ： Ｆｈ： （＋ ’ （— ）Ｆ（ （—） （ § ｂ （ Ｆａ Ｆ（ ｂ ａ ’） ａ≥Ｏ ａ ＜ ） ） ） ＝ §ｂ ＜
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