广州市执信中学2021届高三年级第二次月考(数学) 含答案
高三第二次月考数学试题(附答案)
高三第二次月考数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是A ．π4B ．π2C ．πD ．2π2．在等差数列｛a n ｝中, a 7=9, a 13=－2, 则a 25= ( ) A －22 B －24 C 60 D 643．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．在等比数列{a n }中，a 3=3，S 3=9，则a 1=（ ）A ．12B ．3C ．－6或12D ．3或125．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==6．已知c b a ,,为非零的平面向量． 甲：则乙,:,c b c a b a =⋅=⋅甲是乙的（ ） A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充要条件D ．非充分条件非必要条件7．已知O 是△ABC 内一点，且满足→OA·→OB ＝→OB·→OC ＝→OC·→OA ，则O 点一定是△ABC 的 A ．内心B ．外心C ．垂心D ．重心8．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是A ． ]3,0[πB ． ]127,12[ππC ． ]65,3[ππD ． ],65[ππ9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度 10．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：t0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1215．112．19．111．914．911．98．912．1经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（]24,0[∈t ）（ ）A ．t y 6sin312π+=B ．)6sin(312ππ++=t yC ．t y 12sin312π+=D ． )212sin(312ππ++=t y11．在四边形ABCD 中，，，，b a CD b a BC b a AB 3542--=--=+=其中b a 、不共线，则四边形ABCD 是 A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形12．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)＝A ．8B ．－8C ．±8D ．98二、填空题：本大题共4小题，每小题4分,共16分．把答案填在横线上． 13．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α ＝_____________．14．已知00000000(sin 53cos 23,cos 23cos53),(cos53sin 23,sin 23sin 53)a b ==-，(1,)c t =，c ∥()a b +，则t= .15．已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-,且A,B,C 三点共线，则k= . 16．若数列)}({+∈N n a n 为等差数列，则数列)(321+∈+⋯+++=N n na a a ab nn也为等差数列，类比上述性质，相应地，若数列{c n }是等比数列且)(0+∈>N n c n ，则有数列d n ＝ (n ∈N ＋)也是等比数列．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题满分12分）化简f (x )＝cos(6k +13π＋2x )＋cos(6k －13π－2x )＋23sin(π3+2x )(x ∈R ，k ∈Z)，并求函数f (x )的值域和最小正周期．18．（本小题满分12分）已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项． ⑴求数列{a n }与{b n }的通项公式．⑵设数列{c n }对任意正整数n ，均有1332211+=+⋯⋯+++n nn a b c b c b c b c ，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2005的值．19．(本题满分12分）A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ．若m ＝(－cos A 2，sin A 2)，n ＝(cos A 2，sin A 2)，且m ·n ＝12．（1）求A ；（2）若a ＝23，三角形面积S ＝3，求b +c 的值．20．（本题满分12分）已知)0)(sin ,(cos ),sin ,(cos πβαββαα<<<==b a．⑴求证：b a b a-+与互相垂直；⑵若b k a b a k-+与大小相等，求αβ-（其中k 为非零实数）．21．（本小题满分12分）正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝a n +1． (1) 试求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ·a n +1，{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12．22．(本题满分14分)设关于x的函数2=--+的最小值为()y x a x a2cos2cos(21)f a．f a的表达式；⑴写出()⑵试确定能使1f a=的a值，并求出此时函数y的最大值．()2高三第二次月考数学试题参考答案一、 选择题（每小题5分，共60分）：二、填空题（每小题4分，共16分）(13) 34- (14) 3 (15) 23- (16) 1234n n C C C C C三、解答题（共74分，按步骤得分）17．解：)23sin(32)232cos()232cos()(x x k x k x f +π+-π-π++π+π= )23sin(32)23cos(2x x +π++π=x 2cos 4=所以函数f (x )的值域为[]4,4-，最小正周期πωπ==2T 。
广东省广州市执信中学2021届高三数学2月月考试题 理(含解析).doc
广东省广州市执信中学2021届高三数学2月月考试题 理（含解析）一、选择题（共12题，每题5分，共60分，每道题有且只有一个选项是正确的） 1.设集合{}2|log 2,A x x =≤{5,3,2,4,6}B =--，则A B =（ ）A. {2,4}B. {2}C. {2,4,6}D.{5,3,2,4}--【答案】A 【解析】 【分析】计算出集合A ，再根据交集的定义计算可得. 【详解】解：{}2|log 2A x x =≤，{}|04A x x ∴=<≤，{5,3,2,4,6}B =--，{}2,4A B ∴=.故选：A .【点睛】本题考查对数不等式以及交集的运算，属于基础题. 2.若复数z 满足()12z i i +=，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A. 1i -B. 1i +C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法，求出复数z 即可. 【详解】复数z 满足()12z i i +=，211iz i i∴==++， 故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.3.《张丘建算经》卷上有题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈”，其意思为：现一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的步（不变的常量），第1天织了五尺，一个月（按30天计算）共织九匹三丈（一匹=四丈，一丈=十尺），则该女子第30天比第1天多织布的尺数为（ ） A. 16 B. 17C. 19D. 21【答案】A 【解析】 【分析】设该女子第一天织布为1a ，利用等差数列即可得到结论.【详解】记该女子一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，则1303030()3902a a S +==，13026a a +=，则3021a =，30116a a -=.故选：A ．【点睛】本题主要考查等差数列计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，属于基础题．4.已知圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称 ，则直线l 的方程是（ ）A. 56110x y +-=B. 6510x y --=C. 65110x y +-=D. 5610x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】根据两圆的圆心距大于两圆的半径之和，可得两圆外离，把两个圆的方程相减可得对称轴l 的方程.【详解】∵两圆22(7)(4)9x y -++=与圆22(5)(6)9x y ++-=关于直线l 对称，且两圆的6=>，∴两圆外离，将两个圆的方程相减可得242040x y --=，即6510x y --=. 故直线l 的方程为6510x y --=. 故选：B.【点睛】本题考查两圆关于直线对称的性质，把两个圆的方程相减可得此直线的方程，属于基础题.5.如图，一个半圆柱内部截去某几何体后得到一个新几何体，其三视图如图所示，则该新几何体的体积为（ ）正视图 侧视图 俯视图A. 1683π-B. 1643π-C. 84π-D. 843π+【答案】A 【解析】 【分析】由三视图知，该几何体是一个半圆柱挖去一个三棱锥得到，利用体积公式即得解.【详解】由三视图知，该几何体是一个半圆柱挖去一个三棱锥得到，211124424232V π=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯16=83π-故选：A【点睛】本题考查了组合体的三视图以及空间几何体的体积，考查了学生空间想象，数学运算的能力，属于中档题.6.若61()ax x-的展开式中常数项等于20-，则a =（ ）A.12B. 12-C. 1D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项，再根据常数项等于20-，求得实数a 的值．【详解】解：∵61()ax x-的展开式中的通项公式为6616(1)rr r r r r T C a x ---+=-6626(1)r r r r C a x --=-，令620r -=得3r =，可得常数项为333361C ()2020ax a x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，得1a =，故选：C ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．7.已知函数()y f x =的图象如图所示，则该函数可能是（ ）A. sin xy x=B. cos xy x=C. cos xy x=D.sin x y x=【答案】B 【解析】 【分析】由图象关于原点对称知函数为奇函数，A 、C 中函数为偶函数排除，B 、D 选项中函数为奇函数，再根据函数的单调性确定可能的函数.【详解】由图象可知，该图象关于原点对称，故函数()y f x =为奇函数.A 选项，()()()sin sin x xf x f x xx--===-，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为偶函数，不符合题意，A 错误.B 选项，()()()cos cos x xf x f x xx--==-=--，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为奇函数.易知当π02x <<时，()0f x >； 当π3π22x <<时，()0f x <； 当3π2π2x <<时，()0f x >，符合题意，B 正确. C 选项，()()()cos cos x xf x f x xx--===-，且定义域为()(),00,-∞+∞，∴该函数为偶函数，不符合题意，C 错误.D 选项，()()()sin sin x x f x f x xx--==-=--，且定义域()(),00,-∞+∞，∴该函数为奇函数.易知当0x >时，()0f x ≥；当0x <时，()0f x ≤，不符合题意，D 错误. 故选：B .【点睛】本题考查函数图象的辨析，考查函数的基本性质，涉及三角函数的单调性，属于中档题.8.已知函数()ln af x x x=+，直线3y x =-+与曲线()y f x =相切，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】设切点为()00,x y ,利用导数的几何意义与()00,x y 在()ln af x x x=+与3y x =-+上联立求解即可.【详解】设切点为()00,x y ,则()21'af x x x=-,又直线3y x =-+与曲线()y f x =相切故20000000113ln a x x y x a y x x ⎧-=-⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪=+⎪⎩,消去0y 有0000003ln 3ln a a x x x x x x -+=+⇒=-+-,代入第一个式子有 ()0000013ln 2ln 20x x x x x --+-=-⇒+-=.易得01x =.代入20011ax x -=-有2a =.故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的运用,需要根据在某点处导函数的值等于在该点处切线的斜率以及切点在切线方程与函数式上联立求解即可.属于中等题型.9.某同学用“随机模拟方法”计算曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e ]上的均匀随机数x i 和10个在区间[0，1]上的均匀随机数(*1i y i N ∈，10)i ≤≤，其数据如下表的前两行．由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值为（ ） A. 3(1)5e - B.4(1)5e - C.1(1)2e - D.2(1)3e - 【答案】A 【解析】 【分析】根据“随机模拟方法”，有序数对(,)i i x y 落在曲线ln y x =与直线,0x e y ==所围成的曲边三角形的内部的个数与总个数的比值约等于曲边三角形面积与直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形的面积之比.【详解】用计算机分别产生在区间[1，e ]上均匀随机数x i ，在区间[0，1]上的均匀随机数i y ，形成有序数对(,)i i x y 所在区域为直线,1,0,1x e x y y ====所围成的矩形及其内部区域，如图所示，面积1e -， 作图：随机产生的十个点，当ln i i y x <时，该点落在曲边三角形内部，共有6个， 设曲边三角形面积为S ，则6110S e ≈-， 所以3(1)5e S -≈. 故选：A【点睛】此题考查用“随机模拟方法”解决不规则多边形面积问题，关键在于弄清这种模拟方式，两个区域面积之比近似等于落在该区域点的个数之比.10.在ABC 中，6AB =，8BC =，AB BC ⊥，M 是ABC 外接圆上一动点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值是（ ）A. 1B.54C.43D. 2【答案】C 【解析】 【分析】以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M 的坐标为(5cos ,5sin )θθ， 由1824(5cos 5,5sin )(,)(10,0)55AM AB AC λμθθλμ=+∴+=+， 51+=sin()62λμθφ∴++可得利用正弦函数的图像及性质即得解.【详解】以AC 的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设M 的坐标为(5cos ,5sin )θθ，过点B 作 BD x ⊥轴42418sin ,6sin ,cos 555A AB BD AB A AD AB A ==∴====7724(,)555OD AO AD B ∴=-=∴-又1824(5,0),(5,0)(,),(10,0),(5cos 5,5sin )55A B AB AC AP θθ-∴===+1824(5cos 5,5sin )(,)(10,0)55AM AB AC λμθθλμ=+∴+=+13125=cos sin ,sin 28224μθθλθ∴-+=12151+=cos +sin =sin()23262λμθθθφ∴+++当sin()=1θφ+时，max 514(+)623λμ=+= 故选：C【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的数乘运算和正弦函数的图像和性质，以及直角三角形问题，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.11.已知函数()x xf x xe e =-，函数()g x mx m =-（0m >），若对任意的1[22]x ∈-，，总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数m 的取值范围是（） A. 21[3,]3e -- B. 2[,)e +∞C. 21[,]3eD. 1[,)3+∞【答案】B 【解析】 【分析】由题意，可得()f x 在[2,2]-的值域包含于函数()g x 的值域，运用导数和函数的单调性和值域，即可求解.【详解】由题意，函数()(1)x f x e x =-的导数为()xf x xe '=，当0x >时，()0f x '>，则函数()f x 为单调递增； 当0x <时，()0f x '<，则函数()f x 为单调递减， 即当0x =时，函数()f x 取得极小值，且为最小值1-，又由()2223,(2)f e f e --=-=，可得函数()f x 在[2,2]-的值域2[1,]e -，由函数()(0)g x mx m m =->在[2,2]-递增，可得()g x 的值域[3,]m m -， 由对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x =， 可得2[1,][3,]e m m -⊆-，即为231m m e-≤-⎧⎨≥⎩，解得2m e ≥，故选B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及导数在函数中的应用，其中解答中转化为()f x 在[2,2]-的值域包含于函数()g x 的值域，运用导数和函数的单调性和值域是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.12.已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左，右焦点分别为1F ，2F ，点A 为双曲线右支上一点，线段1AF 交左支于点B .若22AF BF ⊥，且1213BF AF =，则该双曲线的离心率为（ ）D. 3【答案】B 【解析】 【分析】 设121BF AF 3==m,由定义得2BF m 2a,AB 2m 2a,=+=+在三角形AB 2F 中由勾股定理，求得m=2a3，在B 12F F 中运用余弦定理即可求解. 【详解】设121BF AF 3==m,，由双曲线定义得2BF m 2a =+，又A 12F AF 2a,-=所以AB=2m+2a,22AF BF ⊥,∴22222AB BF AF =+,即()()()2222m 2a m 2a 3m +=++，解m=22222122a 8a 4c BF 2433a,cos ABF cos F BF ,2a 8a 3AB 5233∠∠⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴===-=-⨯⨯解得故选B.【点睛】本题考查双曲线定义，简单几何性质，熟记双曲线定义，熟练解三角形正确运算是关键，是难题.二、填空题（共4题，每题5分，共20分）13.已知(1,2)a =，(4,)b k =，若0a b ⋅=，则k =________． 【答案】-2 【解析】 【分析】由数量积的坐标运算即得解.【详解】由(1,2)a =，(4,)b k =，4202a b k k ∴⋅=+=∴=- 故答案为：-2【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14.由方程||||2x y +=确定曲线所围成的区域的面积是________． 【答案】8 【解析】 【分析】在平面直角坐标系下画出||||2x y +=的图象，为边长为22的正方形，即得解.【详解】在平面直角坐标系下画出||||2x y +=的图象，如图所示，为边长为22的正方形， 故2(22)8S == 故答案为：8【点睛】本题考查方程的曲线围成的面积，考查了学生数形结合，数学运算的能力，属于基础题.15.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵，如图，在堑堵111ABC A B C -中，AB BC =，1A A AB >，堑堵的顶点1C 到直线1A C 的距离为m ，1C 到平面1A BC 的距离为n ，则mn的取值范围是________. 【答案】23(2)3. 【解析】 【分析】设1AB =，1AA a =，利用等面积法和等体积法求出m ，n 关于a 的不等式，根据a 的范围得出mn的值． 【详解】设1AB BC ==，1(1)AA a a =>，则2AC =212AC a =+，211A B a =+B 到平面11ACC A 的距离为22． 1112122AC CC a m AC a ⋅∴==+，1211122A BCa S A B BC +=⨯⨯=， 1112113C A BCA BC a V S n -+∴=⋅=， 又1111111211223326C A BC B A C C A C C aV V S a --===⨯=， 21n a ∴=+，222222222m a n a a +∴==-++1a >，2422232a ∴<-<+， 232mn∴<<． 故答案为：23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝．【点睛】本题考查了空间距离的计算，棱锥的体积公式，属于中档题．16.有一些正整数排成的倒三角，从第二行起，每个数字等于“两肩”数的和，最后一行只有一个数M ，那么M =________．【答案】2816 【解析】 【分析】从第一行为1，2和1，2，3和1，2，3，4入手，结合图形归纳出结果，即得解. 【详解】若第一行为1，2，则()223212M -==+⨯；若第一行为1，2，3，则()328312M -==+⨯；若第一行为1，2，3，4，则()4220412M -==+⨯；…归纳可得：若第一行为1，2，3，4，…，n ，则()212n M n -=+⨯．当10n =时，“金字数”81122816M =⨯=．【点睛】本题考查了推理与证明中的归纳推理，考查了学生逻辑推理，数学运算能力，属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （一）必考题：共60分．17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin b a C A =，点M 是BC 的中点. （Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若a =AM 的最大值.【答案】（Ⅰ）3A π=； （Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出,b c 边的不等量关系，再用余弦定理把AM 用,b c 表示，即可求解；或用向量关系把AM 用,AB AC 表示，转化为求||AM 的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos sin B A C C A =+. 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，∴tan A A π=<<，即3A π=.（Ⅱ）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆和ACM ∆中，由余弦定理得，2232cos 4c AM AM AMB =+-∠，①2232cos 4b AM AM AMC =+-∠.② 由①②，得22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32. 方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=，∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤.∵AM 是BC 边上的中线，∴2AB ACAM +=，两边平方得 ()22214AM b c bc =++，∴22239244b c AM +=-≤，当且仅当3b c ==时，AM 取最大值32. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）存在，13CM CA =或523CM CA = 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理解得13BC 结合勾股定理得到1BC BC ⊥，证得AB ⊥侧面11BB C C ， 1AB BC ⊥，继而可证1C B ⊥平面ABC ；（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M ，设(),,M x y z ，由EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为211，可求解. 【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，利用余弦定理2221112cos 60BC BC CC BC CC =+-⨯︒，解得13BC =，又22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥．又AB BC B ⋂=，AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线1C B ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,2)A ，1(13,0)B -，132E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，1(13,2)A -，设平面11A B E 的一个法向量为(,,)m x y z =，11(0,0,2)A B =-，133,22A E ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭， 11100m A B m A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2033202z x y z -=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩，令3y =1x =，(1,3,0)m ∴=， 假设存在点M ，设(),,M x y z ，CM CA λ=，[0,1]λ∈，(1,,)(1,0,2)x y z λ∴-=-，(1,0,2)M λλ∴-，13,22EM λλ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭利用平面11A B E 的一个法向量为(1,3,0)m =，221321122132424λλλ--∴=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，得2693850λλ-+=．即(31)(235)0λλ--=，13λ∴=或523λ=，13CM CA ∴=或523CM CA =． 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.19.椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(2,0)A -,且离心率为22.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆C 交于不同的两点,M N .在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（I ）22142x y +=（II ）存在点(1,0)Q ，使得180PQM PQN ∠∠+=.【解析】试题分析：（1）由椭圆的标准方程和几何性质，即可求解,a b 的值，得到椭圆的标准方程； （2）若存在点(,0)Q m ，由题意，当直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k ， 等价于120k k +=，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为(4)y k x =-.由22(4){142y k x x y =-+= ，得2222(21)163240k x k x k +-+-=，得1212,x x x x +，由120k k +=，即可求得m 的值．试题解析：（I ）22142x y +=（II ）若存在点(),0Q m ，使得180PQM PQN ∠∠+=︒， 则直线QM 和QN 的斜率存在,分别设为1k ,2k . 等价于120k k +=.依题意，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为()4y k x =-.由()224{142y k x x y =-+=，得()222221163240k x k x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 有两个交点，所以0∆>. 即()()()2222164213240k k k -+->，解得216k <. 设()11,M x y ，()22,N x y ,则21221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+，()()11224,4,y k x y k x =-=-令1212120y y k k x m x m+=+=--， ()()12210,x m y x m y -+-=当时，()()12122480x x m x x m -+++=，化简得，()281021m k -=+，所以1m =. 当0k =时，也成立.所以存在点()1,0Q ，使得180PQM PQN ∠∠+=.点睛：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，其中解答总涉及到椭圆的几何性质及其应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，推理与运算能力，此类问题的解答中，把直线方程代入椭圆的方程，转化为方程的根与系数的关系及韦达定理的应用是解答的关键．20.山东省2021年高考将实施新的高考改革方案.考生的高考总成绩将由3门统一高考科目成绩和自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目成绩组成，总分为750分.其中，统一高考科目为语文、数学、外语，自主选择的3门普通高中学业水平等级考试科目是从物理、化学、生物、历史、政治、地理6科中选择3门作为选考科目，语、数、外三科各占150分，选考科目成绩采用“赋分制”，即原始分数不直接用，而是按照学生分数在本科目考试的排名来划分等级并以此打分得到最后得分.根据高考综合改革方案，将每门等级考试科目中考生的原始成绩从高到低分为A 、B +、B 、C +、C 、D +、D 、E 共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到91-100、81-90、71-80，61-70、51-60、41-50、31-40、21-30八个分数区间，得到考生的等级成绩. 举例说明.某同学化学学科原始分为65分，该学科C +等级的原始分分布区间为58～69，则该同学化学学科的原始成绩属C +等级.而C +等级的转换分区间为61～70，那么该同学化学学科的转换分为：设该同学化学科的转换等级分为x ，696570655861xx --=--，求得66.73x ≈.四舍五入后该同学化学学科赋分成绩为67.（1）某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布2(60,12)N ξ.（i ）若小明同学在这次考试中物理原始分为84分，等级为B +，其所在原始分分布区间为82～93，求小明转换后的物理成绩； （ii ）求物理原始分在区间(72,84)的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取4人，记X 表示这4人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望.（附：若随机变量2(,)N ξμσ，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）【答案】(1)（i ）83.;（ii ）272.(2)见解析. 【解析】 【分析】（1）根据原始分数分布区间及转换分区间，结合所给示例，即可求得小明转换后的物理成绩；根据正态分布满足()260,12N ，结合正态分布的对称性即可求得()72,84内的概率，根据总人数即可求得在该区间的人数．（2）根据各等级人数所占比例可知在区间[]61,80内的概率为25，由二项分布即可求得X 的分布列及各情况下的概率，结合数学期望的公式即可求解． 【详解】（1）（i ）设小明转换后的物理等级分为x ，938490848281xx --=--，求得82.64x ≈.小明转换后的物理成绩为83分；（ii ）因为物理考试原始分基本服从正态分布()260,12N ，所以(7284)(6084)(6072)P P P ξξξ<<=<<-<<11(3684)(4872)22P P ξξ=<<-<< ()10.9540.6822=- 0.136=.所以物理原始分在区间()72,84的人数为20000.136272⨯=（人）； （2）由题意得，随机抽取1人，其等级成绩在区间[]61,80内的概率为25， 随机抽取4人，则2~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ()438105625P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()31423216155625P X C ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭， ()222423216255625P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()31342396355625P X C ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()421645625P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.X 的分布列为数学期望()28455E X =⨯=. 【点睛】本题考查了统计的综合应用，正态分布下求某区间概率的方法，分布列及数学期望的求法，文字多，数据多，需要细心的分析和理解，属于中档题． 21.已知函数()()1xf x alnx x e =--，其中a 为非零常数．()1讨论()f x 的极值点个数，并说明理由；()2若a e >，()i 证明：()f x 在区间()1,+∞内有且仅有1个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点且11x >，求证：0012x lnx x +>． 【答案】（1）见解析；（2）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【解析】 【分析】()1先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a 进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，()()2i 转化为证明()'0f x =只有一个零点，结合函数与导数知识可证；()ii 由题意可得，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，代入可得，()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，结合函数的性质可证． 【详解】解：()1解：由已知，()f x 的定义域为()0,+∞，()2x xa a x e f x xe x x-=-='， ①当0a <时，20x a x e -<，从而()'0f x <，所以()f x 在()0,+∞内单调递减，无极值点；②当0a >时，令()2xg x a x e =-， 则由于()g x 在[)0,+∞上单调递减，()00g a =>，(10ga a =-=-<，所以存在唯一的()00,x ∈+∞，使得()00g x =， 所以当()00,x x ∈时，()0g x >，即()'0f x >；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，即()'0f x <， 所以当0a >时，()f x 在()0,+∞上有且仅有一个极值点.综上所述，当0a <时，函数()f x 无极值点；当0a >时，函数()f x 只有一个极值点；()2证明：()i 由()1知()2xa x e f x x-'=． 令()2xg x a x e =-，由a e >得()10g a e =->， 所以()0g x =在()1,+∞内有唯一解，从而()'0f x =在()0,+∞内有唯一解，不妨设为0x ，则()f x 在()01,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以0x 是()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，则当1x >时，()1'10h x x =-<， 故()h x 在()1,+∞内单调递减，从而当1x >时，()()10h x h <=，所以1lnx x <-．从而当a e >时，1lna >，且()()()()()1110lna f lna aln lna lna ea lna lna a =--<---=又因为()10f =，故()f x 在()1,+∞内有唯一的零点．()ii 由题意，()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011010x x a x e alnx x e ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩， 从而()0120111x x x e lnx x e =-，即1011201x x x lnx e x --=． 因为当11x >时，111lnx x <-，又101x x >>，故10112011x x x e x x --<-，即1020x x e x -<， 两边取对数，得1020x x lne lnx -<，于是1002x x lnx -<，整理得0012x lnx x +>．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，还综合考查了函数与导数的综合应用，属于难题．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，曲线C的方程是)4πρθ=-，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），设(1,2)P ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （1）当0α=时，求AB 的长度；（2）求22PA PB +的取值范围.【答案】（1）2；（2）(]6,14.【解析】分析：（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，当0α=时，直线:2l y =，代入曲线C 可得11x +=±，解得0x =或2-，从而可得2AB =；（2）将12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩代入到()()22112x y ++-=得，()24cos 2sin 30t t αα+++=，利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.详解：（1）曲线C的方程是4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，化为2ρθθ⎫=⎪⎪⎝⎭ 化为22sin 2cos )ρρθρθ=-，∴2222x y y x +=-曲线C 的方程为()()22112x y ++-=当0α=时，直线:2l y =代入曲线C 可得11x +=±，解得0x =或2- ∴2AB =.（2）将12x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩代入到()()22112x y ++-=得， ()24cos 2sin 30t t αα+++=由0∆>，得()24cos 2sin 120αα+-> 化简得()23sin 15αφ<+≤（其中tan 2φ=）， ∴()12124cos 2sin ,3t t t t αα+=-++= ∴()22222121212||2PA PB t t t t t t +=+=+- ()()224cos 2sin 620sin 6αααφ=+-=+- ∴22||PA PB + (]6,14∈. 点睛：参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23.已知函数()2f x x a a =-+，()1g x x =+.（Ⅰ）当1a =时，解不等式()()3f x g x -≤；（Ⅱ）当x ∈R 时，()()4f x g x +≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）[)1,+∞. 【解析】【分析】（Ⅰ）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.（Ⅱ）利用绝对值三角不等式求得()()f x g x +的最小值为12a a ++，()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，分类讨论，求得a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当1a =时，不等式()()3f x g x -≤，等价于111x x --+≤；当1x ≤-时，不等式化为()()111x x --++≤，即21≤，解集为∅；当11x -<<时，不等式化为()()111x x ---+≤，解得112x -≤<； 当1x ≥时，不等式化为()()111x x --+≤，即21-≤，解得1x ≥； 综上，不等式的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. （Ⅱ）当x ∈R 时，()()2112f x g x x a a x x a x a +=-+++≥---+12a a =++， ()()4f x g x +≥等价于124a a ++≥，若1a <-，则()124a a -++≥，∴a ∈∅；若1a ≥-，则124a a ++≥，∴1a ≥.综上，实数a 的取值范围为[)1,+∞.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想.。
广东省广州市执信中学2024届高三下学期教学情况检测(二) 数学试题【含答案】
执信中学2023~2024学年度高三教学情况检测（二）数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}51A x x =-<≤，{}29B x x =≤，则A B ⋃=（）A ．[)3,1-B ．[]3,1-C ．(]5,3-D ．[]3,3-2．已知复数z 满足(1)|1|z i +=-，则复数z 的共轭复数为（）A ．1i-+B ．1i--C ．1i+D ．1i-3．在等比数列{}n a 中，“12a a >”是“36a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图（1），伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动．如图（2），伞完全收拢时，伞圈D 已滑动到D ¢的位置，且A 、B 、D ¢三点共线，40cm AD '=，B 为AD '的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为24cm ，则当伞完全张开时，BAC ∠的余弦值是（）A ．1725-B ．25-C ．35-D ．825-5．已知方程220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，其中A B C D E F ≥≥≥≥≥．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程．其中，真命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（）A B C D 7．已知函数()()sin 2cos 0,0f x A x x A ωωω=+>>的对称轴方程为()ππZ 62k x k =+∈，且函数()()g x f x a =-在[]()*0,πN n n ∈内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对(),a n （）A ．只有2对B ．只有3对C ．只有4对D ．有无数对8．已知实数a ，b 满足0a b >>，且a b a b =，e 为自然对数的底数，则（）A ．1eb >B ．2ea b +>C ．1e a a a -<D ．1ee a a -<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育（含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构）近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下，根据图中信息，下列论断正确的有（）（名词解释：高中阶段毛入学率≡在校生规模÷适龄青少年总人数×100%）A ．近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B ．近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C ．2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D ．2020年，普通高中的在校生超过2470万人10．如图，过点(,0)(0)C a a >的直线AB 交抛物线22(0)y px p =>于A ，B 两点，连接AO 、BO ，并延长，分别交直线x a =-于M ，N 两点，则下列结论中一定成立的有（）A ．//BM ANB ．以AB 为直径的圆与直线x a =-相切C ．AOB MONS S =△△D ．24MCN ANC BCMS S S =⋅△△△11．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（）A ．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B ．该“十字贯穿体”的表面积是112-C ．该“十字贯穿体”的体积是162483-D ．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A 出发，沿表面到达顶点B 的最短路线长为43+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．如图，,BC DE 是半径为3的圆O 的两条直径，2BF FO = ，则FD FE ⋅=．13．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混浊”的数学定义：由此发展的混浊理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用，在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设()f x 是定义在R 上的函数，对于x ∈R ，令()1(1,2,3,)n n x f x n -== ，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0j k <<时，0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点．若()1e x f x -=，写出一个()f x 周期为1的周期点．14．有n 个编号分别为1，2，…，n 的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是，从第n个盒子中取到白球的概率是．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．如图，在四棱锥P ABCD -中，,2BC AD AD BC =∥，M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点．(1)证明：//PB 平面MAC ；(2)设平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，若平面PAD ⊥平面,,ABCD AB AD PA AD ⊥⊥，22PA AD AB ===，求l 与平面MAC 所成角的正弦值．16．为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A 小区与B 小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下分组A 小区频数B 小区频数18-40岁人群603041-70岁人群8090其他人群3050假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．(1)从A 小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；(2)从A 、B 小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(3)设事件E 为“从A 小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件F 为“从B 小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件E 发生的概率()P E 与事件F 发生的概率()P F 的大小，并说明理由．17．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左顶点为A ，焦距为4，过右焦点F 作垂直于实轴的直线交C 于B 、D 两点，且ABD △是直角三角形．(1)求双曲线C 的方程；(2)M 、N 是C 右支上的两动点，设直线AM 、AN 的斜率分别为1k 、2k ，若122k k =-，求点A 到直线MN 的距离d 的取值范围．18．已知函数()1x af x x e=-+（,a R e ∈为自然对数的底数）（1）若曲线()y f x =在点()1,()f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值；（2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时，若直线:1l y kx =-与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值.19．若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于*,i j ∀∈N ，i j <，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =--，则称数列{}n a 满足性质P ．(1)判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…；②2n b n =+，1n =，2，3，…．(2)若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}*3n n a ∈=N 为无限集；(3)若周期数列{}n a 满足性质P ，求数列{}n a 的通项公式．1．C【分析】解29x ≤得出集合B ，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x ≤可得，33x -≤≤，所以{}3|3B x x =-≤≤.所以，{}{}{}51|3353A B x x x x x x ⋃=-<≤⋃-≤≤=-<≤.故选：C.2．C【解析】根据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得.【详解】由(1)|1|2z i +=-+=，得z =2(1)1(1)(1)21i i i i i ==+-+--，∴1z i =+.故选：C.【点睛】本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共轭复数以及复数运算等，题目虽小，知识点很是丰富.3．C【分析】根据条件，由等比数列通项公式可得121(1)0a a a q >⇔->、()2336110a a a q q >⇔->，结合因式分解及充分、必要性定义判断条件间的关系.【详解】设公比为q ，由121210(1)0a a a a a q >⇔->⇔->，由()252336361110010a a a a a q a q a q q >⇔->⇔->⇔->，所以()221(1)10a q q q q -++>.由22131024q q q ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭，0q ≠，可得：361(1)0a a a q >⇔->，所以“12a a >”是“36a a >”的充要条件.故选：C 4．A【分析】求出AB 、BD 、AD 的长，利用余弦定理求出cos BAD ∠，再利用二倍角的余弦公式可求得cos BAC ∠的值.【详解】依题意分析可知，当伞完全张开时，()402416cm AD =-=，因为B 为AD '的中点，所以，()120cm 2AB AC AD '===，当伞完全收拢时，()40cm AB BD AD '+==，所以，()20cm BD =，在ABD △中，2224002564002cos 2220165AB AD BD BAD AB AD +-+-∠===⋅⨯⨯，所以，()22217cos cos 22cos 121525BAC BAD BAD ⎛⎫∠=∠=∠-=⨯-=- ⎪⎝⎭.故选：A.5．C【分析】根据圆，抛物线，椭圆及双曲线的方程特点结合条件分析即得.【详解】因为方程220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=，其中A B C D E F ≥≥≥≥≥，所以当101A B C D E F ==≥===≥=-时，方程为2210x y +-=，即221x y +=是圆的方程，故方程可以是圆的方程；当1012A B C D E F =≥===≥=-≥=-时，方程为220x y --=，即22y x =-是抛物线的方程，故方程可以是抛物线的方程；当2101A B C D E F =≥=≥===≥=-时，方程为22210x y +-=，即22112x y +=是椭圆的标准方程，故方程可以是椭圆的标准方程；若方程为双曲线的标准方程，则有0,0,0AB C D E F <===<，这与A B C D E F ≥≥≥≥≥矛盾，故方程不可以是双曲线的标准方程；所以真命题有3个.故选：C.6．D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e =222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=，所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离5d ==，所以弦长||AB =故选：D7．B【分析】根据题意求得函数()π4sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()()g x f x a =-的零点个数转化为方程()f x a =实根的个数，结合方程()f x a =在[]0,π内实根的个数，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()()sin 2cos f x A x x x ωωωϕ=+=+，因为函数()f x 图象的对称轴方程为()ππZ 62k x k =+∈，当0k =时，可得1π6x =，当1k =时，可得22π3x =，即两个相邻的最高点与最低点间的距离为21π2x x -=，即1π22T =，则πT =，可得2ω=，因为()f x 的图象关于直线π6x =对称，所以()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即2π2π2sin2cos 33A =+，解得A =则()π2cos24sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以函数()()g x f x a =-的零点个数等价于方程()f x a =实根的个数，先研究方程()f x a =在[]0,π内实根的个数，当4a =或4a =-时，方程()f x a =在[]0,π内实根的个数为1；当()()4,22,4a ∈-⋃时，方程()f x a =在[]0,π内实根的个数为2；当2a =时，方程()f x a =在[]0,π内实根的个数为3，其中在(]0,π内实根的个数为2，因为()f x 是周期为π的函数，所以当()4,4a ∈-时，在(](](]π,2π,2π,3π,3π,4π, ，(]2022π,2023π内方程()f x a =实根的个数均为2，因为()()g x f x a =-在[]()*0,πN n n ∈内恰有2023个零点，且2023为奇数，所以()()4,22,4a ∈-⋃，不合题意.当4a =±时，2023n =；当2a =时，1011n =；故满足条件的有序实数对(),a n 只有3对.故选：B.8．B【分析】先由a b a b =得到ln ln a a b b =，构造函数()ln f x x x =，确定函数的单调性及最值，得到10e b <<，11e a <<，即可判断A 选项；由1()(ef a f >化简即可判断D 选项；令12a =即可判断C 选项；构造函数21()()()(0)e eF x f x f x x =--<<由极值点偏移即可判断B 选项.【详解】由0a b >>，对a b a b =两边取对数得ln ln a a b b =，令()ln f x x x =，则()1ln f x x '=+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，故min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，(1)0f =，又0x →时，()0f x →，x →+∞时，()f x →+∞，ln ln a a b b =，即()()f a f b =，结合图像可知，10e b <<，11ea <<，故A 错误；易得1()(e f a f >，即11ln ln e e a a >，即1e 1ln ln e a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故11ee 1e e a a -⎛⎫>= ⎪⎝⎭，D 错误；当12a =时，111221211,e e 2e a a a --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1122112e ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误；令21()()()(0)e eF x f x f x x =--<<，则222()()()()()()e e e F x f x f x x f x f x ''''''=--⋅-=+-2221ln 1ln()2ln()e ex x x x =+++-=+-，又222211()e e e x x x -=--+，由10e x <<可得22210,e e x x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，故21()2ln 0e F x '<+=，故()F x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故1()0e F b F ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即2()()0e f b f b -->，即2()()e f b f b >-，又()()f a f b =，故2()()ef a f b >-，又1212,1,,e e e e a b ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，由上知1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递增，故2e a b >-，即2e a b +>，B 正确.故选：B.【点睛】本题关键点一在于由a b a b =得到ln ln a a b b =，进而构造函数()ln f x x x =，确定函数的单调性及最值，进而判断A 、C 、D 选项；关键点二在于构造函数21()()()(0e eF x f x f x x =--<<由极值点偏移判断B 选项.9．BD【分析】根据图表，对各项逐个分析判断即可得解.【详解】对A ，在前四年有下降的过程，故A 错误；对B ，六年的在校生总数为24037，平均值为4006以上，故B 正确；对C ，39950.1054680.895⨯≈，未接受高中阶段教育的适龄青少年有468万人以上，故C 错误；对D ，41280.6012481⨯≈，故D 正确.故选：BD 10．ACD【分析】设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断方法即可求解.【详解】对于A ，令()()1122:,,,,AB x my a A x y B x y =+，联立22x my a y px=+⎧⎨=⎩，消x 可得2220y pmy pa --=，则()2Δ280pm pa =+>，12122,2y y pa y y pm =-+=，()21212222x x m y y a pm a +=++=+，则1111111,:,,OA y y ay k OA y x M a x x x ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭故()12211112212220BMay pay y x y y y pakx a x a y x a +++====+++，同理0,//AN k BM AN =∴，故A 正确；对于C ，设x a =-与x 轴交于P ，,PON AOC MOP BOC S S S S == ，则,PON MOP AOC BOC S S S S ++= ，AOB MON S S =△△，故C 正确；对于D ，()()112211,22ANC BCM S x a y S x a y =+=-+ 则()()()()12121212112244ANC BCM S S x a x a y y my a my a y y ⋅=-++=-++ ()221212121244m y y am y y a y y ⎡⎤=-+++⎣⎦()()()221222424m pa am pm a pa ⎡⎤=--++-⎣⎦()222pa pm a =+，而121212||||2MCN MPC NPC S S S a y y a y y =+=⋅-=- ，所以()()()22222221212124424MCN ANC BCM S a y y a y y y y pa pm a S S ⎡⎤=-=+-=+=⋅⎣⎦，故D 正确；对于B ，AB 中点1212,22x x y y Q ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2,,Q pm a pa +-则Q 到直线x a =-的距离22d pm a =+，以AB 为直径的圆的半径122AB y =-所以()()222224AB d p a a p m -=+-，当2p a =时相切，当2pa ≠时不相切，故B 错误.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：设出直线与抛物线联立，利用韦达定理及斜率公式，结合三角形的面积公式及直线与圆的位置关系的判断即可.11．BCD【分析】根据图形分别求出CD =CE DE ==由4个正方形和16个与梯形BDEF 全等的梯形组成，分别计算；体积用两个柱体体积减去重叠部分体积；分别计算按A C P M D B →→→→→路线和在表面内移动最短的路径长．【详解】如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE 、DE则在梯形BDEF 中，可知32BD =-，2,3,6,13BF EF DE BE ====设,DEF BEF αβ∠=∠=，则3313cos ,cos 313αβ==根据立体图可得22CD =6CE DE ==222CE DE CD +≠即CE 、DE 不垂直，A 不正确；该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF 全等的梯形组成则表面积332441621121622S +=⨯+⨯⨯=-B 正确；如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST ，取CS 的中点I则多面体CDGEST 可以分成8个全等三棱锥C GEI -，则1222233C GEI V -==该“十字贯穿体”的体积即为1622248483C GEI V V -=⨯--=，C 正确；若按A C P M D B →→→→→路线，则路线长为(432221222+=-若在表面内移动，则有：借助部分展开图，如图所示：∵21cos cos 22cos 103FEN αα∠==-=-<，即FEN ∠为钝角，过B 作NE 的垂线BH ，垂足为H ，则BH 在展开图内()sin sin 2sin 2cos cos 2sin 3913BEN αβαβαβ∠=-=-=+2sin 3BH BE BEN =∠=+根据对称可知此时最短路径为42123BH =+<-则从顶点A 出发，沿表面到达顶点B 的最短路径为43+D 正确；故选：BCD ．12．8-【分析】根据平面向量的加减法、数乘运算，以及数量积的运算律求解.【详解】由题意可得，1FO = ，3OD = ,()()()()FD FE FO OD FO OE FO OD FO OD⋅=+⋅+=+⋅-228FO OD =-=- ,故答案为:8-.13．1【分析】根据新定义可知直线y x =与()y f x =存在交点，即可求解.【详解】对于0x ∈R ，令1()(1,2,)n n x f x n -== ，若存在正整数k 使得0k x x =，且当0j k <<时0j x x ≠，则称0x 是()f x 的一个周期为k 的周期点.若1()e x f x -=，x ∈R ，当1k =时，0110()e x x f x -==，因为直线y x =与()y f x =只有一个交点(1,1)，所以01x =是()f x 的一个周期为1的周期点.故答案为：114．59111232n⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭【分析】记事件i A 表示从第i 个盒子里取出白球，利用全概率公式可得()()()()()212112159P A P A P A A P A P A A =+=，进而可得()()11133n n P A P A -=-，然后构造等比数列，求通项公式即得.【详解】记事件i A 表示从第()1,2,,i i n = 个盒子里取出白球，则()123P A =，()()11113P A P A =-=，所以()()()()()()()212121211212211533339P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+=⨯+⨯=，()()()()()()()()3232232222211114333327P A P A P A A P A P A A P A P A P A =+=⨯+⨯=⨯+=，()()()()()()()()434334333321113333P A P A P A A P A P A A P A P A P A =+=⨯+⨯=+，进而可得()()11133n n P A P A -=+，()()1111232n n P A P A -⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，又()11126P A -=，()211218P A -=，()()21111232P A P A ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，所以()12n P A ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为13的等比数列，所以()11111126323n n n P A -⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()111232nn P A ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，故答案为：59；111232n⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭.15．(1)证明见解析26【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，由//PB OM 可得//PB 平面MAC ；（2）延长,AB DC ，交于点N ，则直线NP 就是平面PAB 与平面PCD 的交线l ，以点A 为原点建立空间直角坐标系，求出PN及面MAC 的法向量，求l 与平面MAC 所成角的正弦值．【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，因为,2BC AD AD BC =∥，所以12OB BC OD AD ==，又因M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点，所以12OB PM OD MD ==，所以//PB OM ，又OM ⊂平面,MAC PB ⊄平面MAC ，所以//PB 平面MAC ；（2）延长,AB DC ，交于点N ，所以,N P 为平面PAB 与平面PCD 的公共点，所以直线NP 就是平面PAB 与平面PCD 的交线l ；因为平面PAD ⊥平面,ABCD PA AD ⊥，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PA =⊂平面PAD ，所以PA ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥，如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，因为,2BC AD AD BC =∥，所以121BN BC BNAN AD BN ===+，所以1BN =，则()()()()240,0,0,1,1,0,0,,,0,0,2,2,0,033A C M P N ⎛⎫⎪⎝⎭，则()()241,1,0,0,,2,0,233AC AM PN ⎛⎫===- ⎪⎝⎭，设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则有02433n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()2,2,1n =- ，则cos,6n PNn PNn PN⋅===，即l与平面MAC 所成角的正弦值为2616．(1)1730(2)分布列见解析，期望值()1710E X=；(3)()()P F P E<，理由见解析；【分析】（1）由频数分布表计算出样本中的频率，即可估计出其概率；（2）分别估计出A、B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率，求出随机变量对应取值的概率，即可得出分布列和期望值；（3）分别估计出A、B小区三个不同群体对垃圾分类比较了解的概率，根据题意由概率乘法公式分别计算可得()(),P E P F，即可得出结论.【详解】（1）根据频数分布表可知，抽取的A小区300人样本中，有608030170++=人对垃圾分类比较了解，所以样本中对垃圾分类比较了解的概率为1701730030P==；由样本估计总体的思想，用频率估计概率可知：从A小区随机抽取一名居民，估计其对垃圾分类比较了解的概率为1730；（2）根据频数分布表可知，A小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为8041005=；B小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为90910010=；易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2；易知()49101151050P X⎛⎫⎛⎫==--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()49491311151051050P X⎛⎫⎛⎫==-⨯+⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()4918251025P X==⨯=；所以X的分布列如下：X012P15013501825期望值()113181701250502510E X =⨯+⨯+⨯=（3）()()P F P E <，理由如下：从三个年龄组随机抽取两组共有23C 3=种，每一种组合出现的可能为13；易知A 小区三个年龄组对垃圾分类比较了解的概率分别为343,,5510，所以可得()1343343335551051010P E ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，同理()13931912931010102102100P F ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭，显然2930310010010=<；即()()P F P E <.17．(1)2213y x -=(2)(⎤⎦【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，转化为,,a b c 的方程，即可求解；（2）首先设直线MN 的方程为x my n =+，与双曲线方程联立，利用韦达定理表示122k k =-，并根据2m 的取值范围，求点到直线的距离的取值范围.【详解】（1）依题意，90BAD ∠=，焦半径2c =，由AF BF =，得2b ac a+=，得22222a a a +=-，解得：1a =（其中20a =-<舍去），所以222413b c a =-=-=，故双曲线C 的方程为2213y x -=；（2）显然直线MN 不可能与轴平行，故可设直线MN 的方程为x my n =+，联立2233x my n x y =+⎧⎨-=⎩，消去x 整理得()()222316310m y mny n -++-=，在条件2310Δ0m ⎧-≠⎨>⎩下，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122631mny y m +=--，()21223131n y y m -=-，由122k k =-，得()()12122110y y x x +++=，即()()12122110y y my n my n +++++=，整理得()()()()2212122121210m y y m n y y n ++++++=，代入韦达定理得，()()()()()22222312112121310n m m n n n m -+-+++-=，化简可消去所有的含m 的项，解得：5n =或1n =-（舍去），则直线MN 的方程为50x my --=，得d =又,M N 都在双曲线的右支上，故有2310m -<，2103m ≤<，此时1≤<(d ⎤=∈⎦，所以点A 到直线MN 的距离d 的取值范围为(⎤⎦.18．（1）a e =（2）当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值（3）k 的最大值为1【分析】（1）求出'()f x ，由导数的几何意义，解方程'(1)0f =即可；（2）解方程'()0f x =，注意分类讨论，以确定'()f x 的符号，从而确定()f x 的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程(x)kx 1f =-无实数解，即关于x 的方程()11xk x e -=在R 上没有实数解．一般是分类讨论，1k =时，无实数解，1k ≠时，方程变为11x xe k =-，因此可通过求函数()x g x xe =的值域来求得k 的范围．【详解】（1）由()1x a f x x e =-+,得()1xa f x e '=-．又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴,得()10f '=,即10ae-=,解得a e =．（2）()1x af x e'=-,①当0a ≤时,()0f x ¢>,()f x 为(),-∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值．②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =．(),ln x a ∈-∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,()0f x ¢>．所以()f x 在(),ln a -∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值．综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值．（3）当1a =时,()11xf x x e =-+令()()()()111xg x f x kx k x e =--=-+,则直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭,又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤．又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解．所以k 的最大值为1．解法二:（1）（2）同解法一．（3）当1a =时,()11xf x x e =-+．直线l :1y kx =-与曲线()y f x =没有公共点,等价于关于x 的方程111xkx x e -=-+在R 上没有实数解,即关于x 的方程:()11xk x e -=（*）在R 上没有实数解．①当1k =时,方程（*）可化为10xe =,在R 上没有实数解．②当1k ≠时,方程（*）化为11x xe k =-．令()xg x xe =,则有()()1xg x x e '=+．令()0g x '=,得=1x -,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:x (),1-∞-1-()1,-+∞()g x '-+()g x 减1e-增当=1x -时,()min 1g x e=-,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞,从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈-∞- ⎪-⎝⎭时,方程（*）无实数解,解得k 的取值范围是()1,1e -．综上,得k 的最大值为1．考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．19．(1)数列{}n a 不满足性质P ；数列{}n b 满足性质P ，理由见解析(2)证明见解析(3)0n a =或3n a =．【分析】（1）根据题意分析判断；（2）根据题意先证3为数列{}n a 中的项，再利用反证法证明集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集；（3）先根据题意证明{}0,2,3n a ∈，再分{}n a 为常数列和非常数列两种情况，分析判断.【详解】（1）对①，取1i =，对,1j j *∀∈>N ，则11,j i j a a a ===，可得11j j i i j a a a j a =---=--，显然不存在,k j k *>∈N ，使得1k a =-，所以数列{}n a 不满足性质P ；对②，对于,,i j i j *∀∈<N ，则2i b i =+，2j b j =+，故()()()()2222j i i j i j i j i j i jb b b b --=++-+-+=⋅++()22i j i j =⋅++-+，因为,,1,2i j i j *∈≥≥N ，则()2i j i j *⋅++-∈N ，且()()2123i j i j i j j ⋅++-=++-≥，所以存在()2k i j i j *=⋅++-∈N ，k j >，使得()22j k i j i b b i b j i j b b =⋅++-=--+，故数列{}n b 满足性质P ；（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，则有：取111,1,i j j j *==>∈N ，均存在111,k j k *>∈N ，使得111111k j j a a a a a =--=-，取2121,,i j j k j *==>∈N ，均存在2212,k j k k *>>∈N ，使得222111k j j a a a a a =--=-，取121,i k j k k ==>，均存在1211,m k m *>>∈N ，使得112123m k k k k a a a a a =--=，故数列{}n a 中存在n *∈N ，使得3n a =，即{}3∣n n a *∈=≠∅N ，反证：假设{}3∣n n a *∈=N 为有限集，其元素由小到大依次为()12,,,1l l n n n n >L ，取1,1l l i j n n ==+>，均存在1,L l L k n k *>+∈N ，使得11111L l l k n n a a a a a ++=--=-，取1,1L i j k ==+，均存在111,L L L k k k *++>+∈N ，使得111111L L L k k k a a a a a +++=--=-，取1,L L i k j k +==，均存在111,l L l l n k n n *+++>>∈N ，使得1113l L L L L n k k k k a a a a a +++=--=，即{}13∣l n n n a *+∈∈=N 这与假设相矛盾，故集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集.（3）设周期数列{}n a 的周期为1,T T *≥∈N ，则对n *∀∈N ，均有n n T a a +=，设周期数列{}n a 的最大项为,,1M a M M T *∈≤≤N ，最小项为,,1N a N N T *∈≤≤N ，即对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤，若数列{}n a 满足性质P ：反证：假设4M a ≥时，取,i M j M T ==+，则,k M T k *∃>+∈N ，使得22k M M T M M T M M a a a a a a a ++=--=-，则()2330k M M M M M a a a a a a -=-=->，即k M a a >，这对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤矛盾，假设不成立；则对n *∀∈N ，均有3n a ≤；反证：假设2N a ≤-时，取,i N j N T ==+，则,k N T k *∃>+∈N ，使得224k N N T N N T N N a a a a a a a ++=--=-≥，这与对n *∀∈N ，均有3n a ≤矛盾，假设不成立，即对n *∀∈N ，均有1n a ≥-；综上所述：对n *∀∈N ，均有13n a -≤≤，反证：假设1为数列{}n a 中的项，由（2）可得：1,3-为数列{}n a 中的项，∵()13135-⨯---=-，即5-为数列{}n a 中的项，这与对n *∀∈N ，均有13n a -≤≤相矛盾，即对n *∀∈N ，均有1n a ≠，同理可证：1n a ≠-，∵n a ∈Z ，则{}0,2,3n a ∈，当1T =时，即数列{}n a 为常数列时，设n a a =，故对,,i j i j *∀∈<N ，都存在k j >，使得22i k i j j a a a a a a a a =--=-=，解得0a =或3a =，即0n a =或3n a =符合题意；当2T ≥时，即数列{}n a 至少有两个不同项，则有：①当0,2为数列{}n a 中的项，则02022⨯--=-，即2-为数列{}n a 中的项，但{}20,2,3-∉，不成立；②当0,3为数列{}n a 中的项，则03033⨯--=-，即3-为数列{}n a 中的项，但{}30,2,3-∉，不成立；③当2,3为数列{}n a 中的项，则23231⨯--=，即1为数列{}n a 中的项，但{}10,2,3∉，不成立；综上所述：0n a =或3n a =.【点睛】关键点点睛：（1）对于证明中出现直接证明不方便时，我们可以利用反证法证明；（2）对于周期数列{}n a 满足性质P ，证明思路：先逐步缩小精确n a 的取值可能，再检验判断.。
2022年 新执信中学高三数学上学期第二次月考模拟练习理配套精选
2021届高三第一学期第二次月考理科数学试题一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1.集合M={x|0≤x≤6}，N={x|2x≤32}，那么M∪N=〔〕A．〔﹣∞，6] B．〔﹣∞，5] C．[0，6] D．[0，5]2.复数=〔〕A.﹣1+i +i ﹣i D.﹣1﹣i3.设x，y∈R，那么“|x|≤1且|y|≤1“是“x2+y2≤2“的〔〕A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.，那么的值是〔〕A．B．C．D．5.假设实数满足，那么的最小值为〔〕A. B. C． D．6.{a n}为等差数列，S n为其前n项和，假设a3+7=2a5，那么S13=〔〕A．49 B．91 C．98 D．1827.随机变量服从正态分布, 且, 那么〔〕A．B． C．D．8.某几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.9.函数y=xcosx﹣sinx的局部图象大致为〔〕A． B．C． D．10. 设P是双曲线上的点，是其焦点，且，假设的面积是1, 且，那么双曲线的离心率为〔〕A..B.C.D.11.函数，满足，且对任意，都有，那么以下结论正确的选项是〔〕A． B． C. D．12.设函数存在零点，且，那么实数的取值范围是〔〕A． B．C. D．二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13..14. 假设，那么=____________.15. 等比数列的第项是二项式展开式中的常数项，那么的值为 .16．假设函数的图象上存在不同的两点，，其中使得的最大值为0，那么称函数是“柯西函数〞．给出以下函数：①；②；③；④.其中是“柯西函数〞的为〔填上所有．．正确答案的序号〕三、解答题〔解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕17.(此题总分值12分)在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．〔1〕求∠A；〔2〕求AC边上的高．18. (此题总分值12分)如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且FD=．〔1〕求证：EF∥平面ABCD；〔2〕假设∠CBA=60°，求直线AF与平面BEF所成角的正弦值．19. (此题总分值12分)电子商务在我国开展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择〔其中有一种为草莓口味〕.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购置者随机点击进行选择〔各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖〕. 〔1〕小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？〔2〕小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数的分布列，并计算其数学期望和方差.20. (此题总分值12分) 椭圆C的中心在原点，其中一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，点〔1，〕在椭圆C上．〔1〕求椭圆C的标准方程；〔2〕假设直线：y=kx+m〔k≠0〕与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN的垂直平分线过定点G〔〕，求实数k的取值范围．21. (此题总分值12分)函数有最大值，，且是的导数.〔1〕求的值；〔2〕证明：当，时，.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分。
广东省广州市执信中学2021届高三上学期第二次月考数学试卷含解析
广州市执信中学2021届高三年级第二次月考数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，其中第1题至第10题为单项选择题，在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）1．设集合}221|{<<−=x x A ，}1|{2≤=x x B ，则B A =( ) A ．}21|{<≤−x x B ．}121|{≤<−x x C ．}2|{<x xD ．}21|{<≤x x 2．复数i311−的虚部是( )A ．103−B ．101− C ．101D ．1033．命题“对任意R x ∈都有12≥x ”的否定是( )A ．对任意R x ∈，都有12<xB ．存在R x ∈0，使得120<x C ．存在R x ∈0，使得120≥xD ．不存在R x ∈，使得12<x4．己知双曲线)0,0(1:2222>>=−b a b y a x C 的离心率为25，则C 的渐近线方程为( )A ．x y 41±= B ．x y 31±= C ．x y 21±=D ．x y ±=5．函数xx x f ||ln )(=的图象大致形状是( )6．己知数列}{n a 满足34,0321−==++a a a n n ，则}{n a 的前10项和等于( ) A ．)31(610−−−B ．)31(9110−− C ．)31(310−−D ．)31(310−+7．设R x ∈，则“052<−x x ”是“1|1|<−x ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为( )A ．12B ．16C ．20D ．249．414=a ，12log 5=b ，91log 31=c ，则( ) A ．c a b <<B ．b c a <<C ．c b a <<D ．b a c <<10．函数)(x f 的定义域为R ，且)3()(−=x f x f ，当02<≤−x 时，2)1()(+=x x f ；当10<≤x 时，12)(+−=x x f ，则)2021()3()2()1(f f f f ++++ =( ) A ．671B ．673C ．1345D ．134711．（多选）己知函数x x x x f cos sin )(−=，现给出如下结论，其中正确结论个数为( )A ．)(x f 是奇函数B ．0是)(x f 的极值点C ．)(x f 在区间)2,2(ππ−上有且仅有三个零点D ．)(x f 的值域为R12．（多选）如图，在正方体1111D C B A ABCD −中，⊥H A 1平面11D AB ，垂足为H ，则下面结论正确的是( )A ．直线H A 1与该正方体各棱所成角相等B ．直线H A 1与该正方体各面所成角相等C ．垂直于直线H A 1的平面截该正方体，所得截面可能为五边形D ．过直线H A 1的平面截该正方体所得截面为平行四边形二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）13．己知向量b a ,满足5||=a ，6||=b ，6−=⋅b a ，则>+<b a a ,cos = .14．若函数)(x f 是定义R 上的周期为2的奇函数，当10<<x 时，xx f 4)(=，则)2()25(f f +−= .15．己知α为锐角，且31)6cos(=+πα，则αcos = . 16．己知⎪⎩⎪⎨⎧>≤=ax x ax x x f ,,)(23，若存在实数b ，使函数b x f x g −=)()(有两个零点，则a 的取值范围是 .三、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（本小题10分）在ABC ∆中，11=+b a ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：(1)a 的值：(2)C sin 和ABC ∆的面积.条件①：;71cos ,7−==A c 条件②：.169cos ,81cos ==B A 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题12分）在公比为2的等比数列}{n a 中，4,,432−a a a 成等差数列． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)若n n a n b 2log )1(+=，求数列⎪⎪⎭⎫⎝⎛+224n b n 的前n 项和n T . 19．（本题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P −中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PD PA ⊥，PD PA =，AD AB ⊥，1=AB ，2=AD ，.5==CD AC(1)求证：⊥PD 平面PAB ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.20．（本小题满分12分）如图，己知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的一个顶点为)1,0(B ，离心率为23.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于N M ,两点，直线BM 与线BN 的斜率之积为21，证明：直线l 过定点并且求出该定点坐标．21．（本小题满分12分）计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上. 其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年. 将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：年入流量X 40<X <8080≤X ≤120X >120 发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 22．（本小题满分12分）己知函数).0(1ln)(2>+−=a x ax xx f (1)若)(x f 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围；(2)若)(x f 在定义域上有两个极值点21x x 、，证明：.2ln 23)()(21−>+x f x f数学参考答案一、选择题二、填空题13．【答案】3519 14．【答案】-215．【答案】6223+16．【答案】).,1()0,(∞+−∞三、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（本小题10分） 【解析】选择条件①(1)11,71cos ,7=+−==b a A c ， )71(7)11(27)11(cos 2222222−⋅⋅−−+−=∴−+=a a a A bc c b a ，8=∴a(2)71cos −=A ，734cos 1sin ),,0(2=−=∴∈A A A π，由正弦定理得：23sin ,sin 77348,sin sin =∴=∴=C C C c A a ，36238)811(21sin 21=⨯⨯−==C ba S ，选择条件②(1)),0(,,169cos ,81cos π∈==B A B A ， 873cos 1sin 2=−=∴A A ，1675cos 1sin 2=−=B B ，由正弦定理得：6167511873sin sin =∴−=∴=a aa Bb A a ，，. (2)47811675169873cos sin cos sin )sin(sin =⨯+⨯=+=+=A B B A B A C ， 4715476)611(21sin 21=⨯⨯−==C ba S .18．【解】(1)因为4,,432−a a a 成等差数列，所以42423−+=a a a ， 所以4828111−+=a a a ，解得21=a ，所以.2n n a =(2)因为n n a 2=，所以)1(2log )1(log )1(22+=+=+=n n n a n b n n n ， 所以⎪⎪⎭⎫⎝⎛+−=++=+22222)1(112)1()12(224n n n n n b n n ， 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−++⎪⎭⎫ ⎝⎛−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−=22222)1(112312122112n nT n ， .)1(22)1(112)1(11312121122222222+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−++−+−=n n n n19．(1)因为平面⊥PAD 平面ABCD ，AD AB ⊥，所以⊥AB 平面PAD ，所以PD AB ⊥，又因为PD PA ⊥，所以⊥PD 平面PAB .(2)取AD 的中点O ，连结,,CO PO因为PD PA =，所以AD PO ⊥.又因为⊂PO 平面PAD ，平面⊥PAD 平面ABCD ， 所以⊥PO 平面ABCD .因为⊂CO 平面ABCD ，所以CO PO ⊥. 因为CD AC =，所以AD CO ⊥.如图建立空间直角坐标系xyz O −，由题意得，)1,0,0(),0,1,0(),0,0,2(),0,1,1(),0,1,0(P D C B A −.设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0PC n PD n 即⎩⎨⎧=−=−−,02,0z x z y 令2=z ，则.2,1−==y x 所以).2,2,1(−=n又)1,1,1(−=PB ，所以.33,cos −=>=<PBn PB n 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为.3320．(1)因为一个顶点为)1,0(B ，故1=b ，又离心为23，故23=a c 即2312=−a a ，所以2=a ，故椭圆方程为：.1422=+y x(2)若直线l 的斜率不存在，则设),,(),,(n m N n m M −此时41411112222m mm n m n m n k k BNBM =−=−−⨯−=，与题设条件矛盾，故直线l 斜率必存在. 设m kx y MN +=:，),(),,(2211y x N y x M ，联立,4422⎩⎨⎧=++=y x mkx y 化为,0448)41(222=−+++m kmx x k0)14(1622>+−=∆m k ，221418k km x x +−=+∴，22214144k m x x +−=⋅∴. 2111212121122211=−−+=−⋅−=⋅x x x x y x y x x y x y k k BN BM ， 0)1())(1(21221212=−++−+⎪⎭⎫ ⎝⎛−∴m x x m k x x k ，0)1(418)1(41442122222=−++−−++−⎪⎭⎫ ⎝⎛−∴m k km m k k m k ， 化为0322=−+m m ，解得3−=m 或1=m （舍去）．即直线过定点)3,0(−21．解：(I)依题意，2.05010)8040(1==<<=X P P ， 7.05035)12080(2==≤≤=X P P ，1.0505)120(3==>=X P P ， 由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量超过120的概率为：.9477.0101)109(4)109()1()1(34333144304=⨯⨯+=−+−=P P C P C P(II)记水电站年总利润为Y （单位：万元）①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润5000=Y ，.500015000=⨯=EY ②安装2台发电机．当8040<<X 时，一台发电机运行，此时42008005000=−=Y ，因此2.0)8040()4200(1==<<==P X P y P ，当80≥X 时，两台发电机运行，此时1000025000=⨯=Y ，因此8.0)80()10000(21=+=≥==P P X P Y P ．由此得Y 的分布列如下：所以14200+⨯=EY ③安装3台发电机．依题意，当8040<<X 时，一台发电机运行，此时340016005000=−=Y ， 因此2.0)8040()3400(1==<<==P X P Y P ；当12080≤≤X 时，两台发电机运行，此时920080025000=−⨯=Y ， 此时,7.0)12080()9200(2==≤≤==P X P Y P当120>X 时，三台发电机运行，此时1500035000=⨯=y ， 因此1.0)120()15000(3==>==P X P Y P ， 由此得Y 的分布列如下：所以3400⨯=EY综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．22．解：(I)x ax x x f +−−=2ln )(，xx ax ax x x f 12121)('2+−−=+−−=，………2分令a 81−=∆．当81≥a 时，0≤∆，0)('≤x f ，)(x f 在),0(∞+单调递减．………4分 当810<<a 时，0>∆，方程0122=+−x ax 有两个不相等的正根21,x x ，不妨设21x x <， 则当),(),0(21∞+∈x x x 时，0)('<x f ，当),(21x x x ∈时，0)('>x f ，这时)(x f 不是单调函数.综上，a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,81. ………………………6分(II)由(I)知，当且仅当⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a 时，)(x f 有极小值点1x 和极大值点2x ，且.21,212121ax x a x x ==+ 2222121121ln ln )()(x ax x x ax x x f x f +−−+−−=+.141)2ln(1)(21)ln(2121++=+++−=aa x x x x …………………9分令141)2ln()(++=a a a g ，⎪⎭⎫⎝⎛∈81,0a ， 则当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈81,0a 时，)(,0414411)('22a g a a a a a g <−=−=在⎪⎭⎫⎝⎛81,0单调递减， 所以2ln 23)81()(−=>g a g ，即.2ln 23)()(21−>+x f x f ………………………12分。
广东省广州市执信中学2023-2024学年高三上学期第二次月考数学试题及答案
广州市执信中学2024届高三上学期第二次月考数 学注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答 题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡 上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答 卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动， 先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以 上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分 选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知集合}3,2,1,0,1{−=A ，}032|{2>−+=x x x B ，则B A =( ) A ．}1,0{B ．}3,2{C ．}1,0,1{−D ．}2,1,0,1{−2．在复数范围内方程022=+x 的解为( ) A ．2−=xB ．i x 2=C ．i x 2±=D ．∅3．己知函数)1(+x f 的图象关于点(1，1)对称，则下列函数是奇函数的是( ) A ．1)(+=x f y B ．1)2(++=x f y C ．1)(−=x f yD ．1)2(−+=x f y4．两个单位向量1e 与2e 满足021=⋅e e ，则向量1e −与2e 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°5．若6log 3=a ，2=b ，125.0log 25.0=c ，则( )A ．c a b >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>6．某企业在生产中位倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知 在过滤过程中污水的剩余污染物数量N (mg/L )与时间t (h )的关系为kteN N −=0,其中N 0为初始污染物的数量，k 为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%， 则可计算前6小时共能过滤掉污染物的( )A ．%9.72B ．%7.65C ．%51D ．%49 7．设}{n a 为等比数列，则“对于任意的*N n ∈，n n a a <+2”是}{n a 为递减数列”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．若41<<m ，椭圆1:22=+y m x C 与双曲线14:22=−−my m x D 的离心率分别为e 1，e 2，则( )A ．21e e的最大值为21B ．21e e的最大值为23C ．21e e 的最小值为21D ．21e e的最小值为23二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．己知一组样本数据)(,,,,1032110321x x x x x x x x <<<< 中，5x 与样本平均数相等， 06=x ，则去掉以下哪个数据以后，新的样本数据的方差一定比原来的样本数据的方差 小？( ) A ．1xB ．5xC ．6xD ．10x10．在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A ，B ，C ，M ，N 是四棱锥的顶点或棱的中点， 则MN ∥平面ABC 的有( )11．质点P 和Q 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的O Θ上逆时针作匀速圆周运动，同时 出发．P 的角速度大小为s ,起点为O Θ与x 轴正半轴的交点；Q 的角速度大小为 s rad /5,起点为射线)0≥=x y 与O Θ的交点，则当Q 与P 重合时，Q 的坐标可以为( )A ．)92sin ,92(cos ππ B ．)95sin ,95cos (ππ−−C ．)9sin ,9(cosππ−D ．)9sin,9cos(ππ−12．若)(x f 图象上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ，B ]称为函数)(x f 的“友情点 对”（点对[A ，B ]与[B ，A ]视为同一个“友情点对”）若 <>=0,0,)(23x ax x e x x f x恰有两个“友 情点对”，则实数a 的值可以是( )A ．0B ．20201−C ．e1−D ．20231−第二部分 非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．己知直线02=++y x 与圆222r y x =+相切，则半径r = . 14．己知函数)32cos()(2ϕπ+−=x x x f ,).,0(πϕ∈是奇函数，则ϕ= .15．将A ，B ，C ，D ，E 这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好 有1名同学的排法有 种． 16．若函数x x f cos )(=，],2(ππ∈a ，则函数)(x f 在],2[a π上平均变化率的取值范围为 .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 记数列}{n a 的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，有).1)(2(2−+=n n a n S (1)证明：数列}11{++n a n 为常数列； (2)求数列}1{1+n n a a 的前n 项和T n 18．（本小题满分12分）己知锐角三角形ABC 中，53)sin(=+B A ,51)sin(=−B A (1)求证：B A tan 2tan =；(2)设3=AB ,求CD 边上的高. 19．（本小题满分12分）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度y （单位：℃）关于时间x(单位：min)的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的7组数据，并对数据做初步处理得到如图所示散点图以及如表所示数据.表中：)25ln(−=i i y w ,⋅=∑=i i w w 7171(1)根据散点图判断，①bx a y +=与②25+⋅=x c d y 哪一个更适宜作为该茶水温度y 关于时间x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）请根据你的判断结果及表中数据建立该茶水温度y 关于时间x 的回归方程；(2)己知该茶水温度降至60℃口感最佳，根据(1)中的回归方程，求在相同条件下冲泡的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？附：(1)对于一组数据),(),,(2211y x y x ，……),(n n y x ，其回归直线x ay βˆˆ+=的斜率和截距的最小二乘估计分别为211)())((ˆx x y yx x ini iini −−−=∑∑==β，;ˆˆx y βα−= (2)参考数据：92.008.0≈−e，6009.4≈e ，9.17ln ≈，1.13ln ≈，7.02ln ≈20．（本小题满分12分）如图1，在平行四边形ABCD 中，AC AB ⊥，,1=AB 2=BC ，将ACD ∆沿AC 折起，使得点D 到点P 的位置，如图2，经过直线PB 且与直线AC 平行的平面为α，平面 α平面 m PAC =,平面 α平面.n ABC = (1)证明：n m // (2)若6=PB ，求直线BC 与平面ABP 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，己知双曲线1:2222=−bx a y C （0,0>>b a ）的离心率为2，实轴长为4．(1)求C 的方程；(2)如图，点A 为双曲线的下顶点，直线l 过点P (0，t )且垂直于y 轴(P 位于原点与上顶点之间)，过P 的直线交C 于G ，H 两点，直线AG ，AH 分别与l 交于M ，N 两点，若1=⋅OM AN k k 求点P 的坐标．22．（本小题满分12分）己知函数a ae x f x ln )(+=,1)1ln()(++=x x g （其中a 为常数，e 是自然对数的底数）． (1)若1=a ,求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程； (2)若)()(x g x f >恒成立，求a 的取值范围.数学参考答案选择题：填空题： 13．214．;40−15．20：16．]2,1(π−−选择填空部分解析6、解析：由己知keN N 200%70−=,可得7.02=−ke，则6个小时后剩余污染物数量为00332060%3.34)7.0()(N N e N e N k k ===−−，故前6小时共能过滤掉污染物的%7.65%3.341=−7、解析：由题意n a 不变号，所以公比q >0n n n n n n a a q a q a a a <⇔<−⇔<−⇔<∴++1220)1(0)1( 8、解析：由题意m m a ce 1111−==，ma c e −==42222 ）（m m m m m e e 4521)4)(1(2121+−=−−=∴，当且仅当2=m 时，21e e 取得最大值219、解析：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，故AD 正确；去掉x 5，样本平均数不变，则根据方差公式可知方差变大，故B 错误；去掉x 6样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件，故C 错误。
2021届广东省部分重点中学高三下学期2月联考数学试题(解析版)
2021届广东省部分重点中学高三下学期2月联考数学试题一、单选题 1．若复数421iz i+=-，则z z -=（ ）A ．1B ．2CD ．6【答案】D【分析】先通过除法运算求得z ，再得z ，进一步求6z z i -=，最后求模即可. 【详解】由题意可得42(42)(1)131(1)(1)i i i z i i i i +++===+--+，所以13z i =-，所以6z z i -=，则6z z -=.故选：D.2．已知集合{}1215A x x =<-≤，{}240B x x =-≥，则()AB =R（ ）A ．{}23x x ≤≤B ．{}23x x <≤C ．{}12x x <<D ．{}12x x <≤【答案】C【分析】根据题意，分别求出集合A 、B ，即可得到()RAB .【详解】由题意可得{}13A x x =<≤，{2B x x =≥或}2x ≤- ， 则{}22R B x x =-<<， 故(){}12R A B x x ⋂=<<. 故选：C.3．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则“2sin 23cos 0αα-=”是“3sin 4α=”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合二倍角的正弦公式即可. 【详解】由2sin 23cos 0αα-=， 得4sin cos 3cos ααα=，因为,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，所以4sin 3α=，则3sin 4α=； 反之也成立.故“2sin 23cos 0αα-=”是“3sin 4α=”的充要条件. 故选：A4．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已知该四棱锥的高与斜高的比值为45，则该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是（ ）A ．45B ．35C ．125D ．512【答案】B【分析】根据题意，设四棱锥底面的边长为2a ，高为h ，斜高为1h .由四棱锥的高与斜高的比值为45，找出a 与1h 的关系式，结合面积公式，即可得到该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值.【详解】设该四棱锥底面的边长为2a ，高为h ，斜高为1h ，根据题意得1222145h h h a h ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即135a h =，从而该四棱锥底面面积为22136425a h =，侧面面积为221111312424255ah h h ⨯⨯=⨯=，故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是2211361232555h h ÷=. 故选：B.5．已知0.4log 0.3a =，0.7log 0.4b =，0.70.3c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a c b << D ．b c a <<【答案】B【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】解：0.40.40.41log 0.4log 0.3log 0.162a =<=<=，0.70.7log 0.4log 0.492b =>=，0.700.30.31c =<=，故c a b <<．故选：B6．已知数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数是5，方差是9，则222222123456x x x x x x +++++=（ ） A ．159B ．204C ．231D ．636【答案】B【分析】根据平均数和方差的概念进行计算即可.【详解】由题意可得()()()()()()222222123456155555596x x x x x x ⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦， 则222222123456103015054x x x x x x +++++-⨯+=，故22222212345654150300204x x x x x x +++++=-+=.7．某地市场调查发现，35的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为34，而在实体店购买的家用小电器的合格率为910.现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（ ） A ．320B ．1115C ．1519D ．34【答案】C【分析】分别计算出在网上与实体店购买的家用小电器不合格的概率，即可得到答案.【详解】在网上购买的家用小电器不合格的概率为3135420⨯=，在实体店购买的家用小电器不合格的概率为21151025⨯=，故这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率为3152031192025=+. 故选：C.8．已知函数()()π4cos 2206f x x ωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有两个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．313,26⎛⎤⎥⎝⎦B ．313,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．313,412⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．313,412⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【分析】由题得πππ22666x ωωπ≤+≤+，解不等式组π5π263π7π263ωπωπ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩即得解.【详解】因为0πx ≤≤，所以πππ22666x ωωπ≤+≤+． 因为函数()f x 在[]0,π内有且仅有两个零点，所以π5π263π7π263ωπωπ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，解得313412ω≤<． 故选：D二、多选题9．下列函数中是偶函数，且值域为[)0,+∞的有（ ） A ．()()ln 1f x x =+ B ．1()f x x x=-C ．()x x f x e e -=+D ．42()21f x x x =-+【答案】AD【分析】先由奇偶性排除B ，再由值域排除C ，进而可得正确答案. 【详解】由题意可得1()f x x x=-是奇函数，故排除选项B ；()x x f x e e -=+是偶函数，但值域为[)2,+∞，故排除选项C ；()()ln 1f x x =+和42()21f x x x =-+都是偶函数，且值域均为[)0,+∞. 故选：AD.10．已知0a >，0b >，且240a b ab ++-=，则（ ） A ．a b +的最大值为2 B ．a b +的最小值为2 C ．ab 的最大值是1 D ．ab 的最小值是1【答案】BC【分析】结合均值不等式即可求出a b +的最小值和ab 的最大值.【详解】因为240a b ab ++-=，所以242422a b a b ab +⎛⎫+=-≥-⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，所以2()2()80a b a b +++-≥，解得4a b +≤-或2a b +≥.因为0a >，0b >，所以2a b +≥，故A 错误，B 正确；因为240a b ab ++-=，所以()244ab a b =-+≤-a b =时等号成立，所以240ab +≤，因为0ab >1，所以1ab ≤，故C 正确，D 错误. 故选：BC.11．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是棱PC 的中点，PD AB =，则（ ） A ．AC PB ⊥B ．直线AE 与平面PAB 所成角的正弦值是36C ．异面直线AD 与PB 所成的角是4π D ．四棱锥P ABCD -的体积与其外接球的体积的比值是2327π【答案】AB【分析】对于选项A ，根据题意易得AC ⊥平面PBD ，故可得AC PB ⊥； 对于选项BC ，可以通过建立空间直角坐标系，转化为向量问题来处理； 对于选项D ，根据题意可知，PB 即为外接球的直径，结合体积公式即可判断.【详解】如图，连接BD .因为底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥， 因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AC ⊥， 所以AC ⊥平面PBD ，则AC PB ⊥，故A 正确.由题意易证AD ，CD ，PD 两两垂直，故建立如图所示的空间坐标系D xyz -.设2AB =，则()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,0,0D ，()0,1,1E ，()002P ,,， 从而()2,0,0AD =-，()0,2,0AB =，()2,1,1AE =-，()2,2,2PB =-.设平面PAB 的法向量(),,n x y z =，则202220n AB y n PB x y z ⎧⋅==⎨⋅=+-=⎩，令1x =，得()1,0,1n =.设直线AE 与平面PAB 所成的角为θ，则213sin cos ,62AE n θ-+===⨯B 正确. 设异面直线AD 与PB 所成的角为α，则223cos cos ,212AD PB α-⨯==⨯从而4πα≠，故C 错误.四棱锥P ABCD -的体积183V =，由题意可知四棱锥P ABCD -外接球的半径2PBR ==则其体积3324433V R ππ==⨯=，从而四棱锥P ABCD -的体积与其外接球的体积的比值是12V V =D 错误. 故选：AB.【点睛】解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.12．设A ，B 是抛物线C ：24y x =上两个不同的点，O 为坐标原点，若直线OA 与OB 的斜率之积为-4，则下列结论正确的有（ ） A ．4AB ≥B ．8OA OB +>C ．直线AB 过抛物线C 的焦点D ．OAB 面积的最小值是2【答案】ACD【分析】对于选项B ，可以通过特殊点来判断，而对于选项ACD ，可以通过设直线AB ，再联立方程组，结合韦达定理一一判断即可.【详解】取()1,2A -，()1,2B ，满足4OA OB k k ⋅=-，从而OA OB +=B 错误；由题意可知直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为x my t =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立24x my ty x=+⎧⎨=⎩，整理得2440y my t --=，则124y y m +=，124y y t .因为1212121644OA OB y y k k x x y y t⋅===-=-，所以1t =，所以直线AB 的方程为1x my =+， 则直线AB 过点()1,0，故C 正确；因为抛物线C 的焦点为()1,0F ，所以直线AB 过焦点F ， 则由抛物线的性质可知24AB p ≥=，故A 正确；由上可得直线AB 的方程为1x my =+，则()21241y y m AB =-=+， 原点O 到直线AB的距离d =则()21141222OABSAB d m ===⨯+，故D 正确. 故选：ACD.【点睛】解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．三、填空题13．已知向量a ，b 的夹角为30°，|a |＝2，|b ||a +2b |＝__.【答案】【分析】根据平面向量的数量积计算模长即可.【详解】解：因为向量a ，b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |所以（2a b +）22a =+4a b ⋅+42=b 22+4230cos ⨯︒+42⨯=28，所以|2a b +|＝.故答案为：14．在新冠肺炎疫情期间，为有效防控疫情，某小区党员志愿者踊跃报名参加值班工作.已知该小区共4个大门可供出入，每天有5名志愿者负责值班，其中1号门有车辆出入，需2人值班，其余3个大门各需1人值班，则每天不同的值班安排有___________种. 【答案】60【分析】根据题意，分2步进行分析：先从5人中选2人安排到1号门值班，再将剩下的3人分别安排到其他3个门值班，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】根据题意，分2步进行分析：先从这5人中选取2人在1号门值班，共有25C 种情况， 再将剩下的3人分别安排到其他3个门值班，有33A 种情况，故每天不同的值班安排有235360C A =种.故答案为：6015．已知函数()xf x e ax =+，当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，则a 的取值范围为______．【答案】[),e -+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在()()0,ln a -上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增，因为()0f x ≥，所以()ln 0a a a -+-≥，解不等式即可得结果．【详解】由题意可得()xf x e a '=+．因为0x ≥，所以()1f x a '≥+．当1a ≥-时，()0f x '≥，则()f x 在[)0,+∞上单调递增，从而()()min 010f x f ==>恒成立，故1a ≥-符合题意．当1a <-时，令()0f x '=，得()ln x a =-． 因为()f x '在R 上单调递增．所以()f x 在()()0,ln a -上单调递减，在()()ln ,a -+∞上单调递增， 则()()()()min ln ln f x f a a a a =-=-+-．因为()0f x ≥，所以()ln 0a a a -+-≥，即()ln 1a -≤，解得1e a -≤<-． 综上，a 的取值范围为[),e -+∞． 故答案为：[),e -+∞四、双空题16．双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 上一点，使得12F F ，2F P ，1F P 依次构成一个公差为2的等差数列，则双曲线C 的实轴长为___________，若12120F F P ∠=︒，则双曲线C 的离心率为___________. 【答案】232【分析】由双曲线的定义可得实轴长，由余弦定理可求得c ，进一步就可以求得离心率. 【详解】结合题意知1222a F P F P =-=，即1a =，则双曲线C 的实轴长为22a =. 又122F F c =，222F P c =+，124F P c =+，由余弦定理知22212(2)(22)(24)1cos 22(22)2c c c F F P c c ++-+∠==-⋅⋅+，解得32c =，故32e =. 故答案为：32,2.五、解答题17．在递增的等比数列{}n a 中，2532a a =，3412a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若1(1)nn n b a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(2)23n n S +-+=-. 【分析】(1)由题意可得数列的公比与首项，进而可得出通项公式. (2)由(1)得出n b ，结合等比数列前n 项求和公式法即可.【详解】（1）由题意可得342534343212a a a a a a a a==⎧⎪+=⎨⎪<⎩，解得34a =，48a =，则11a =，2q.故1112n n n a a q --==.（2）由（1）可得12n n a +=，则(1)2n nn b =-⋅.故23123222(1)2n n n n S b b b b =++++=-+-++-121(2)(2)21(2)3nn +⎡⎤-⨯---+⎣⎦==---. 18．在①sin 2sin B C =，②3b c +=，③sin 8C =面问题中，并作答.问题：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2a =，()cos 4cos a B c b A =-，且___________，求ABC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】. 【分析】选条件①结合余弦定理求出1c =，2b =，然后即可求解；选条件②，结合余弦定理求出2bc =，然后即可求解；选条件③，结合余弦定理求出1c =，2b =，然后即可求解【详解】解：因为cos (4)cos a B c b A =-，所以sin cos (4sin sin )cos A B C B A =-， 即sin cos sin cos sin()4sin cos A B B A A B C A +=+=.因为A B C π++=，所以()sin sin C A B =+，所以sin 4sin cos C C A =.因为sin 0C ≠，所以14cos A =，即1cos 4A =. 若选①，因为sin 2sin B C =，所以2b c =.由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则22244c c c +-=， 故1c =，2b =. 因为1cos 4A =，所以15sin 4A =，则ABC 的面积为111515sin 212244bc A =⨯⨯⨯=. 若选②，由余弦定理可得222252cos ()2a b c bc A b c bc =+-=+-，则5942bc -=，解得2bc =.因为1cos 4A =，所以15sin 4A =，则ABC 的面积为111515sin 212244bc A =⨯⨯⨯=. 若选③， 因为1cos 4A =，所以15sin 4A =，因为15sin 8C =，所以sin 2sin A C =，所以112c a ==.由余弦定理可得222212cos 142a b c bc A b b =+-=+-=，即2260b b --=，解得2b =或32b =-(舍去).则ABC 的面积为111515sin 212244bc A =⨯⨯⨯=. 19．如图，在多面体ABCDFE 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ABEF 是直角梯形，其中90ABE ∠=︒，//AF BE ，且33DE AF BE ===.（1）证明：平面ABEF ⊥平面ABCD .（2）求二面角C DE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）连接BD ，由勾股定理得逆定理可得BE BD ⊥，结合BE AB ⊥可得BE ⊂平面ABEF ，进而证得结果；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面DEF 和平面CDE 的法向量，结合图形进而可得结果. 【详解】（1）证明：连接BD .因为ABCD 是边长为2的正方形，所以BD =因为33DE BE ==，所以1BE =，3DE =，所以222BE BD DE +=，则BE BD ⊥. 因为90ABE ∠=︒，所以BE AB ⊥. 因为ABBD B =，所以BE ⊥平面ABCD ，因为BE ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥平面ABCD .（2）解：由（1）知AB ，AF ，AD 两两垂直，故以A 为坐标原点，以射线AB ，AF ，AD 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系A xyz -. 则()0,0,2D ，()0,3,0F ，()2,1,0E ，()2,0,2C ，故()2,1,2DE =-，()2,0,0DC =，()0,3,2FD =-.设平面DEF 的法向量为()111,,m x y z =，则11111220320m DE x y z m FD y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令13z =，则()2,2,3m =.设平面CDE 的法向量为()222,,n x y z =，则222222020n DE x y z n DC x ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，令21z =，则()0,2,1n =. 4cos ,17m n m n m n⋅+===记二面角C DE F --的平面角为θ，由图可知θ为钝角，则cos θ=.20．科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂.当今世界，科学技术日益渗透到经济发展､社会发展和人类生活的方方面面，成为生产力中最活跃的因素，科学技术的重要性也逐渐突显出来.某企业为提高产品质量，引进了一套先进的生产线设备.为了解该生产线输出的产品质量情况，从中随机抽取200件产品，测量某项质量指数，根据所得数据分成[)17.5,18.0，[)18.0,18.5，[)18.5,19.0，[)19.0,19.5，[]19.5,20.0这5组，得到频率分布直方图如图所示.若这项质量指数在[)18.0,19.5内，则称该产品为优等品，其他的称为非优等品.（1）估计该生产线生产的产品该项质量指数的中位数(结果精确到0.01)；（2）按优等品和非优等品用分层抽样的方法从这200件产品中抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取3件，记优等品的数量为X ，求X 的分布列与期望. 【答案】（1）中位数为18.64；（2）分布列答案见解析，数学期望：125. 【分析】（1）根据频率分布直方图的数据进行估计该项质量指数的中位数即可； （2）首先确定抽取10件产品中有8件优等品，2件非优等品，最后根据超几何分布求解分布列和数学期望即可.【详解】解：（1）因为()0.160.640.50.40.5+⨯=<，()0.160.640.720.50.760.5++⨯=>，所以该生产线生产的产品该项质量指数的中位数在[)18.5,19.0内. 设其中位数为m ，则()18.50.720.40.5m -⨯+=，解得18.64m ≈，即该生产线生产的产品该项质量指数的中位数约为18.64.（2）由题意可知样本中非优等品有()2000.160.240.540⨯+⨯=件， 优等品有20040160-=件， 则优等品应抽取160108200⨯=件，非优等品应抽取40102200⨯=件. 故X 的取值可能是1，2，3.()1282310C C 811C 12015P X ====，()2182310C C 5672C 12015P X ====，()38310C 5673C 12015P X ====，则X 的分布列为故177121231515155EX =⨯+⨯+⨯=. 21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，且椭圆C 上的点到右焦点F 的距离最长为3.（1）求椭圆C 的标准方程.（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，AB 的中垂线1l 与x 轴交于点G ，试问AB FG是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为4.【分析】（1）由离心率，椭圆上的点到右焦点距离最大值为a c +和椭圆,,a b c 关系可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆标准方程；（2）当直线l 的斜率不为0时，设:1l x my =+，与椭圆联立可得韦达定理的形式，利用弦长公式可求得AB ，并利用中点坐标公式求得AB 中点H 坐标，由此可表示出1l 方程，从而求得G 点坐标，得到FG ，化简可得定值；当直线l 的斜率为0时，易求得满足所求定值；综合两种情况可得结论.【详解】（1）设椭圆的半焦距为c ，由题意可得：222312a c c a a b c+=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =1c =，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=. （2）当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,H x y .联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得：()2234690m y my ++-=，由题意可知：0m ≠，则122634my y m +=-+，122934y y m =-+，()2212134m AB m +∴==+.H 为AB 的中点，02334m y m -∴=+，0024134x my m =+=+，即2243,3434m H m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 直线1l 的方程可设为221343434m x y m m m ⎛⎫=-++ ⎪++⎝⎭， 令0y =得：2134x m =+，则()22231113434m FG m m +=-=++，()()22221213443134m ABm FG m m ++∴==++. 当直线l 的斜率为0时，24AB a ==，1FG c ==，则4ABFG=. 综上所述：AB FG为定值，且定值为4.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③利用韦达定理表示出所求量； ④化简所得式子，消元可得定值.22．已知函数()sin 2cos f x x x x x =++，()f x '为()f x 的导函数. （1）证明：()f x '在π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点.（2）当π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）[)2,+∞.【分析】（1）判断导函数()f x '在π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭的单调性，结合零点存在定理进行证明即可；（2）因为()f x ax ≤在π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，至少需要πππ22f a ⎛⎫=≤⋅ ⎪⎝⎭，()2π2π22πf a =+≤成立，进而获得2a ≥，又由（1）知()f x 在0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]0,2πx 上单调递增，根据单调性最后证明2a ≥时，()f x ax ≤在π,2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立即可.【详解】证明：因为()sin 2cos f x x x x x =++， 所以()cos sin 1f x x x x '=-+. 记()()cos sin 1g x f x x x x '==-+， 则()sin g x x x '=-.当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x '<；当(]π,2πx ∈时，()0g x '>.()g x 在π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]π,2π上单调递增，即()f x '在π,π2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]π,2π上单调递增.因为π02f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()ππ10f =-'+<，()2π2π10f '=+>，所以存在唯一()0π,2πx ∈，使得()0f x '=， 即()f x '在π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点.解：由（1）可知当0π,2x x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<；当(]0,2πx x ∈时，()0f x '>.所以()f x 在0π,2x ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在(]0,2πx 上单调递增.因为当π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则至少满足πππ22f a ⎛⎫=≤⋅ ⎪⎝⎭，()2π2π22πf a =+≤，即2a ≥，①当π3π,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()max ππ2f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，满足()2f x x ≤；②当3π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()max 2π2π2f x f ==+，而3π223π2x ≥⋅=，满足()2f x x ≤.即当π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，都有()2f x x ≤.又当2a ≥，π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2ax x ≥，从而当2a ≥时，()f x ax ≤对一切π,2π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.故a 的取值范围为[)2,+∞.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
广东省广州市2021届新高考数学二模试卷含解析
广东省广州市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（ ） ABCD ．2【答案】A 【解析】 【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+， 所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.2．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）A ．5 B ．3 C ．12D ．1【答案】B 【解析】 【分析】PBA ∠为所求的二面角的平面角，由DAP CPB ~n n 得出PAPB，求出P 在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出PBA ∠的最大值对应的余弦值 【详解】DA l ⊥Q ，αβ⊥，l αβ⋂=，AD β⊂ AD α∴⊥，同理BC α⊥DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒DAP CPB ∴~n n ，12PA DA PB BC == 在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >， ()()2222233x y x y ∴++=-+()22516x y ++=P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆 Q 平面PBC ⋂平面BC β=，PB BC ⊥，AB BC ⊥PBA ∴∠为二面角P BC D --的平面角，∴当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，cos PBA ∠取得最小值此时48PM MB MP PB PB ==⊥=，，，cos 82PB PBA MB ∠===故选B 【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．3． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【解析】 【分析】先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为2510C =，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率. 【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则基本事件总数为2510C =，则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数21234C C +=， ∴6和28不在同一组的概率1043105P -==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.4．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-2【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值. 【详解】依题意，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下所示；由函数图像可知，当13x =-时，()f x 有最大值23-， 当2x =-时，()f x 有最小值9-. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题. 5．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（ ） A ．3- B ．2- C ．1-D ．1【答案】B 【解析】 【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 6．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-【答案】A 【解析】 【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】 根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mnx n-+， 所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（ ） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】 【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -【答案】D 【解析】 【分析】先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R恒成立，即1xy e =得图象恒在函数 (1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】 由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1xy e =得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方，作出函数的图象如图所示过原点作函数1xy e =的切线，设切点为(,)a b ，则1e e aa b a a --==，解得1a =-，所以切线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤. 故选：D. 【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题. 9．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（ ）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==； 此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 10．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱11B C 上任意一点，则22PM MN 的最小值为（ ）A ．22B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】 【分析】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，可得MFN ∆为等腰直角三角形，由APM AEM ∆≅∆，可得PM EM =，当11MN B C ⊥时， MN 最小，由 22MF MN =，故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，2MF =， 故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.11．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.【详解】为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.，排除.故选：.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.12．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：55 57 59 61 68 64 62 59 80 8898 95 60 73 88 74 86 77 79 9497 100 99 97 89 81 80 60 79 6082 95 90 93 90 85 80 77 99 68如图的算法框图中输入的i a为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m，n的值，则-=（）m nA ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图判断出,n m 的意义，由此求得,m n 的值，进而求得m n -的值. 【详解】由题意可得n 的取值为成绩大于等于90的人数，m 的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故24m =，12n =，所以241212m n -=-=.故选：D 【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州市执信中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试卷(含答案)
广州市执信中学2023届高三年级第二次月考数 学第一部分 选择题（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合i x z R x A 2|{+=∈=的实部为0}，}|,|[{A x x y y B ∈==，}3|||{<∈=m Z m C ，i 为虚数单位，则B C C 为( )A ．}2,1,1,2{--B ．}1,1,2{--C.}1,1{-D ．}2,2{-2．己知抛物线)0(22>=p px y 的准线与圆07622=--+x y x 相切，则p 的值为( )A ．21B ．1C ．2D ．43．己知集合}012|{≤+-=x x x A ，A x ∈一个必要条件是a x ≥，则实数a 的取值范围为( ) A ．0<aB ．1-≤aC ．2≥aD ．1-≥a4．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为( )A ．π16B ．πC ．π24D ．π325．小桦班的数学老师昨天组织了一次小测，老师给了小桦满分100分，但实际上小桦有一处表述错误，告诉了小岍和小江，这一处错误需要扣4分，这一处错误小桦自己不会告诉老师，小岍有32的可能告诉老师，小江有41的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小桦的听写本上的得分期望=)(X E ( ) A ．3298 B ．98 C ．3289D ．976．若32125cos =-）（απ，则αα2sin 2cos 3-的值为( ) A ．95B ．95-C ．910 D ．910- 7．设正实数z y x 、、满足03422=-+-z y xy x ，则zxy 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．38．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ，，，若A B C sin sin 32sin =，a b λ=，则实数λ的最小值是( ) A ．323 B ．323+C ．32-D ．32+二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的不得分． 9．下列命题中，真命题的是( )A ．若回归方程6.045.0ˆ+-=x y，则变量y 与x 正相关 B ．线性回归分析中相关指数2R 用来刻画回归效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好C ．若样本数据1021,,,x x x 的方差为2，则数据12,,12,121021---x x x 方差为8D ．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是“至多击中一次” 10．已知n m ,是空间中两条不同的直线，βα,为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不．正确．．的是( ) A ．若α⊂m ，则β⊥mB ．若α⊂m ，β⊂n ，则n m ⊥C ．若α⊂/m ，β⊥m ，则α//mD ．若m =βα ，m n ⊥，则α⊥n11．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为02=-y x ，双曲线的左焦点在直线05=++y x 上，B A 、分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PB PA ，的斜率分别为21k k ，，则21k k +的取值可能为( ) A ．43 B ．1 C ．34 D ．212．若)(x f 图象上存在两点B A ，关于原点对称，则点对],[B A 称为函数)(x f 的“友情点对”（点对],[B A 与],[A B 视为同一个“友情点对”）若⎪⎩⎪⎨⎧<>=0,0,)(23x ax x e x x f x 恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是( ) A ．0B ．20201-C ．e1-D ．20231-第二部分 非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．不等式xx 1>的解集为 ． 14．已知向量b a ，满足1||=a ，2||=b ，)2,3(=-b a ，则|2|b a -等于 ．15．已知21P P ，是曲线|ln |2:x y C =上的两点，分别以21,P P 为切点作曲线C 的切线,,21l l且21l l ⊥，切线1l 交y 轴于A 点，切线2l 交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为 ． 16．对于集合A ，B ，定义集合}|{B x A x x B A ∉∈=-且.己知等差数列}{n a 和正项等比数列}{n b 满足41=a ，21=b ，n n n b b b 212+=++，233+=b a 。
2021届广东省广州市执信中学高三上学期第二次月考数学试题(解析版)
2021届广东省广州市执信中学高三上学期第二次月考数学试题一、单选题1．设集合122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}21B x x =≤，则A B =（ ）A ．{}12x x -≤< B ．112x x ⎧⎫-<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}2x x < D ．{}12x x ≤<【答案】A【解析】先解不等式，化简集合B ，再由并集的概念，即可得出结果. 【详解】因为{}{}2111B x x x x =≤=-≤≤，122A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭， 所以{}12A B x x ⋃=-≤<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求集合的并集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型. 2．复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110-C ．110D ．310【答案】D【解析】利用复数的除法运算求出z 即可. 【详解】 因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+， 所以复数113z i =-的虚部为310. 故选：D. 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.3．命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是（ ） A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <【答案】D【解析】试题分析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是：存在0x R ∈，使得．故D 正确．【考点】全程命题.4．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的离心率为5，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】C【解析】根据离心率求出,a b 关系，求出ba即可得出结果. 【详解】由题知，5c a =，即54=22c a=222a b a+， ∴22b a =14，∴b a =12，∴C 的渐近线方程为12y x =±. 故选：C. 【点睛】本题考查了求双曲线的渐近线问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 5．函数()ln xf x x=的图象大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先利用()f x 是奇函数可排除A 、C 选项，然后利用当x →+∞时，()0f x >可排除D 选项. 【详解】因为()f x 的定义域是{}0x x ≠，()()ln ln x xf x f x x x--===--- 所以()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故A 、C 答案不满足 当x →+∞时，()0f x >，所以D 答案不满足 故选：B 【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项. 6．已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ） A ．106(13)---B ．101(13)9-- C ．103(13)-- D ．103(13)-+【答案】C【解析】试题分析：设由题设可知数列是公比为,首项是的等比数列.故其前项和为,应选C.【考点】等比数列的定义及前项和的运用.7．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<； 由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件， 故选B ． 【点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件． 8．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【解析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数． 9．若144a =，5log 12b =，131log 9c =，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】B【解析】易知2c =，a =32125>，可得53log 122>，从而可推出53log 1222<<，即可选出答案. 【详解】 由题意，131log 29c ==，114242a ==因为32125>=3255log 12log 5>，即53log 122>，又55log 12log 252b =<=53log 1222<<，即a b c <<. 故选：B. 【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查对数函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于中档题.10．函数()f x 的定义域为R ，且()(3)f x f x =-，当20x -≤<时，2()(1)f x x =+；当01x ≤<时，()21f x x =-+，则(1)(2)(3)(2021)f f f f ++++=（ ）A ．671B ．673C ．1345D ．1347【答案】D【解析】根据函数周期的定义先求出()f x 的周期为3，进而可求得(1)(2)(3)f f f ++的值，[](1)(2)(3)(2021)673(1)(2)(3)(1)(2)f f f f f f f f f ++++=⨯++++，即可求解. 【详解】因为()(3)f x f x =-，所以()f x 的周期为3，当20x -≤<时，2()(1)f x x =+；所以2(2)(1)12f -=-=+，2(1)(1)01f -=-=+， 当01x ≤<时，()21f x x =-+，所以(0)2011f =-⨯+=， 又因为()f x 的周期为3，所以(1)(2)1f f =-=，(2)(1)0f f =-=，(3))1(0f f ==， 所以(1)(2)(3)2f f f ++=， 所以[](1)(2)(3)(2021)673(1)(2)(3)(1)(2)f f f f f f f f f ++++=⨯++++6732101347=⨯++=，故选：D 【点睛】本题主要考查了函数的周期性的应用，以及函数值的计算，属于中档题.二、多选题11．己知函数()sin cos f x x x x =-，现给出如下结论，其中正确结论个数为（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．0是()f x 的极值点C ．()f x 在区间(,)22ππ-上有且仅有三个零点 D ．()f x 的值域为R【答案】AD【解析】根据函数的奇偶性的定义和三角函数的奇偶性，可判定A 项正确；利用导数求得函数在区间(,)22ππ-上的单调性和(0)0f =，可判B 、C 不正确，根据函数的解析式和三角函数的性质，可判定D 正确的. 【详解】由题意，函数()sin cos f x x x x =-的定义域为R 关于原点对称， 又由()sin()cos()(sin cos )()f x x x x x x f x -=-+-=--=-， 所以函数()f x 为奇函数，所以A 项正确； 又由()cos cos sin sin f x x x x x x x '=-+= 当(,0)2x π∈-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增；(0,)2x π∈时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以0不是函数()f x 的极值点，所以B 不正确； 又由(0)0f =，所以函数()f x 在区间(,)22ππ-上有且仅有一个零点，所以C 不正确； 例如当2x k =π时，可得(2)2f k k ππ=-，当k →+∞且k Z ∈，()f x →-∞， 当2x k ππ=+时，可得(2)2f k k πππ+=，当k →+∞且k Z ∈，()f x →-∞， 由函数()sin cos f x x x x =-，，当k →+∞，()f x →∞， 由此可得函数的值域为R ，所以D 是正确的. 所以正确的选项为AD. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及利用导数研究函数的单调性与极值、最值的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.12．（多选）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，则下面结论正确的是（ ）A ．直线1A H 与该正方体各棱所成角相等B ．直线1A H 与该正方体各面所成角相等C ．垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形D ．过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形 【答案】ABD【解析】连接1A C ，1A C ⊥平面11AB D ，所以直线1A H 与直线1A C 重合，再利用体对角线1A C 与正方体的面棱的关系以及截面图形即可逐一判断四个选项的正误. 【详解】连接1A C ，根据正方体的体对角线与面对角线垂直，可得11A C AB ⊥，11A C AD ⊥ 即1A C ⊥平面11AB D ，所以直线1A H 与直线1A C 重合，对于选项A ：直线1A C 与该正方体各棱所成角相等，均为，所以直线1A H 与该正方体各棱所成角相等，故选项A 正确；对于选项B ：因为直线1A C 与该正方体各面所成角相等，均为arctan 2，即直线1A H 与该正方体各面所成角相等，故选项B 正确；对于选项C ：垂直于直线1A H 的平面与平面11AB D 平行，截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为三角形或六边形，故选项C 不正确；对于选项D ：过直线1A C 的平面截该正方体所得截面为11A ACC 为矩形，即过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形，故选项D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了线线角、线面角，考查了截面截几何体所得的截面形状，属于中档题.三、填空题13．己知向量,a b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，则,cos a a b +=_______. 【答案】1935【解析】由题意利用两个向量的数量积的定义，求出a 与a b +的夹角余弦值．【详解】向量,a b 满足||5a =，||6b =，6a b ⋅=-，()225619a a b a a b ∴⋅+=+⋅=-=，()22227a b a b a b a b +=+=++⋅=，()1919,5735a ab cos a a b a a b⋅+∴+===⨯+. 故答案为：1935【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算及向量的模，向量夹角的余弦值，属于基础题. 14．若函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当01x <<时，()4xf x =，则()522f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________. 【答案】2-【解析】根据函数奇偶性与周期性，直接求出结果. 【详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =， 又()f x 在R 上的周期为2， ∴()()200f f ==.又1251142222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()5222f f ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭. 故答案为：2-. 【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与周期性求函数值，属于基础题型. 15．已知α为锐角，且1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α=_______． 【解析】利用同角三角函数的基本关系可得sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再由cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式即可求解.【详解】由α为锐角，且1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 63πα⎛⎫+==⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11332=⨯=故答案为：6【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题．16．已知()32,,x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是________．【答案】()(),01,-∞⋃+∞【解析】由()()g x f x b =-有两个零点可得()f x b =有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a 的范围 【详解】()()g x f x b =-有两个零点，()f x b ∴=有两个零点，即()y f x =与y b =的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =①当1a >时，函数()f x 的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故1a >满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a > 故答案为：()(),01,-∞⋃+∞【点睛】本题考察了函数的零点问题，渗透了转化思想，数形结合、分类讨论的数学思想．四、解答题17．在ABC 中，11a b +=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：（Ⅰ）a 的值：（Ⅱ）sin C 和ABC 的面积．条件①：17,cos 7c A ==-； 条件②：19cos ,cos 816A B ==．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）sin 2C =, S = 选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）sin C =, S =. 【解析】选择条件①（Ⅰ）根据余弦定理直接求解，（Ⅱ）先根据三角函数同角关系求得sin A ,再根据正弦定理求sin C ,最后根据三角形面积公式求结果；选择条件②（Ⅰ）先根据三角函数同角关系求得sin ,sin A B ，再根据正弦定理求结果，（Ⅱ）根据两角和正弦公式求sin C ，再根据三角形面积公式求结果. 【详解】 选择条件①（Ⅰ）17,cos 7c A ==-，11a b +=22222212cos (11)72(11)7()7a b c bc A a a a =+-∴=-+--⋅⋅-8a ∴=（Ⅱ）1cos (0,)sin 7A A A π=-∈∴==，由正弦定理得：7sin sin sin sin 7a c C A C C ==∴=11sin (118)822S ba C ==-⨯=选择条件②（Ⅰ）19cos ,cos ,(0,)816A B A B π==∈，sin,sin816A B∴====由正弦定理得：6sin sina baA B===（Ⅱ）91 sin sin()sin cos sin cos8161684C A B A B B A=+=+=+⨯=11sin(116)62244S ba C==-⨯⨯=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 18．在公比为2的等比数列{}n a中,234,,4a a a-成等差数列.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若2(1)logn nb n a=+,求数列242nnb⎛⎫+⎪⎝⎭的前n项和n T.【答案】（1）2nna=（2）222(1)n-+【解析】（1）列用2a,3a,44a-成等差数列,和公比为2,求出首项12a=,最后代入公式即可求得通项公式.（2）由（1）得2nna=,从而得(1)nb n n=+,代入22242112(1)nnb n n⎛⎫+=-⎪+⎝⎭,最后通过裂项相消求和.【详解】解：（1）因为2a,3a,44a-成等差数列,所以32442aa a=+-,所以1118284a a a=+-,解得12a=,所以2nna=.（2）因为2nna=,所以22(1)log(1)log2(1)nn nb n a n n n=+=+=+,所以22222422(21)112(1)(1)nn nb n n n n⎛⎫++==-⎪++⎝⎭,所以22222111112122223(1)n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭222221*********(1)n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭. 2121(1)n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭222(1)n =-+.【点睛】本题考查数列的通项公式的求法,考查裂项相消求和,是基础题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，5AC CD ==.（Ⅰ）求证：PD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；3【解析】【详解】分析：（1）先证明AB PD ⊥，PA PD ⊥，再证明PD ⊥平面PAB .(2)利用向量方法求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.详解：（Ⅰ）因为，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以AB ⊥平面PAD ，所以AB PD ⊥， 又因为PA PD ⊥，所以PD ⊥平面PAB ； （Ⅱ）取AD 的中点O ，连结PO ，CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥.又因为PO ⊂平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO CO ⊥. 因为AC CD =，所以CO AD ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -，由题意得，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()2,0,0C ，()0,1,0D -，()0,0,1P .设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，则00n PD n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020y z x z --=⎧⎨-=⎩， 令2z =，则1x =，2y =-. 所以()1,2,2n =-.又()1,1,1PB =-，所以3cos ,n PB n PB n PB⋅==-. 所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33.点睛：（1）本题主要考查线面位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象转化能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法）→证（定义）→指→求（解三角形），其关键是找到直线在,平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）•sinAB nAB nα=，其中AB是直线l的方向向量，n是平面的法向量，α是直线和平面所成的角.20．如图，己知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的一个顶点为(0,1)B，离心率为3.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l与椭圆C交于,M N两点，直线BM与线BN的斜率之积为12，证明：直线l过定点并且求出该定点坐标．【答案】（1）2214xy+=；（2）证明见解析，定点(0,3)-.【解析】（1）由已知条件中的顶点坐标和离心率代入即可求出椭圆方程；（2）分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况，联立直线方程和椭圆方程得到根与系数之间关系，再结合已知条件进行求解，得到直线恒过定点.【详解】（1）因为一个顶点为(0,1)B，故1b=，又离心率为32，故32ca=213a-=所以2a=，故椭圆方程为：22 1.4xy+=（2）若直线l的斜率不存在，则设(,),(,),M m n N m n-此时22221111144BM BNmn n nk km m m m----=⨯==，与题设条件矛盾，故直线l斜率必存在.设:MN y kx m=+，1122(,),(,)M x y N x y，联立22{,44y kx mx y=++=化为222(14)8440,k x kmx m+++-=2216(41)0k m ∆=-+>，122814km x x k -∴+=+，21224414m x x k-∴⋅=+. 12121112BM BN y y k k x x --⋅=⋅=，计算可得 2212121(1)()(1)02k x x k m x x m ⎛⎫-+-++-= ⎪⎝⎭， 222221448(1)(1)021414m km k k m m k k --⎛⎫∴-+-+-= ⎪++⎝⎭， 化为2230m m +-=，解得3m =-或1m =（舍去）．即直线过定点(0,3)- 【点睛】本题考查了求椭圆方程，以及直线和椭圆的位置关系，求解直线恒过定点问题，在求解过程中需要注意分类讨论直线斜率是否存在，本题有一定的计算量.21．计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系: 年入流量发电量最多可运行台数 123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 【答案】（1）0.9477；（2）8620, 2.【解析】【详解】试题分析：（1）先求1(4080)P P X =<<，2(80120)P P X =≤≤，3(120)P P X =>，再利用二项分布求解；（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元）①安装1台发电机的情形.②安装2台发电机.③安装3台发电机，分别求出EY ，比较大小，再确定应安装发电机台数. （1）依题意，110(4080)0.250P P X =<<==， 235(80120)0.750P P X =≤≤==，35(120)0.150P P X =>==， 由二项分布，在未来4年中至多有1年入流量找过120的概率为：()()434301434339911140.9477101010P C P C P P ⎛⎫⎛⎫=-+-=+⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）记水电站年总利润为Y （单位：万元） ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1， 对应的年利润5000Y =，500015000EY =⨯=. ②安装2台发电机.当4080X <<时，一台发电机运行，此时50008004200Y =-=， 因此1(4200)(4080)0.2P y P X P ==<<==，当80X ≥时，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=， 因此12(10000)(80)0.8P Y P X P P ==≥=+=.由此得的分布列如下： 4200 100000.20.8所以420011000028840EY =⨯+⨯=. ③安装3台发电机.依题意，当4080X <<时，一台发电机运行，此时500016003400Y =-=， 因此1(3400)(4080)0.2P Y P X P ==<<==；当80120X ≤≤时，两台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=， 此时2(9200)(80120)0.7P Y P X P ==≤≤==，当120X >时，三台发电机运行，此时5000315000y =⨯=， 因此3(15000)(120)0.1P Y P X P ==>==，由此得的分布列如下：34 9200 150000.20.80.1所以34000.292000.7150000.18620EY =⨯+⨯+⨯=. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台. 【考点】二项分布，随机变量的均值.22．已知函数()21ln(0).f x ax x a x=-+> （1）若()f x 是定义域上的单调函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 在定义域上有两个极值点12,x x ，证明：()()1232ln2.f x f x +>- 【答案】（1）1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2） 证明见解析【解析】（1）先求得导函数，根据()f x 在定义域内单调，分类讨论即可求得a 的取值范围．（2）根据（1）可知，只有在10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时存在极大值与极小值，根据韦达定理即可得到12,x x 的关系；进而代入解析式得()()12f x f x +的表达式，转化为关于a 的表达式()()1ln 214g a a a=++，再通过求导判断()g a 的单调性，求其最小值即可证明． 【详解】（1）()2ln f x x ax x =--+()212121ax x f x ax x x-+==-'--+ 则18a ∆=-当18a ≥时()0,0f x '∆≤≤ ，此时f(x)在()0,∞+单调递减 当108a <<时0∆≤ ，方程2210ax x -+= 有两个不等的正根12,x x不妨设12x x <则当()()120,,x x x ∈⋃+∞时()0f x '< 当()12,x x x ∈时，()0f x '> 这时f(x)不是单调函数综上，a 的取值范围为1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）由（1）可知当且仅当10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，f(x)有极小值点1x 和极大值点2x且1212x x a +=，1212x x a= ()()12f x f x +22111222ln ln x ax x x ax x =--+--+()()()()12121211ln ln 1122x x x x x x =-+----++ ()()12121ln 12x x x x =-+++ ()1ln 214a a=++ 令()()1ln 214g a a a =++ ，10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦则当10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()221141044a g a a a a -=-=<' 则()()1ln 214g a a a =++在10,8a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递减 所以()132ln28g a g ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭即()()1232ln2f x f x +>- 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数极值应用，构造函数证明不等式，是高考的重点和难点，属于难题．。
广东高三高中数学月考试卷带答案解析
广东高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数＝（）A．B．C．D．2.设集合，，则（）A．B．C．D．3.在等差数列中，，则（）A．B．C．4D．84.已知，，且，则（）A．B．C．或D．5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6.阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的的值是（）A．21B．39C．81D．1027.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．B．C．D．8.对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中不恒成立的是（）（1）（2）（3）（4）A．（1）、（3）B．（2）、（4）C．（1）、（2）、（3）D．（1）、（2）、（3）、（4）9.若角的终边过点，则_______.二、填空题1.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取2.的展开式中的系数为 .（用数字作答）3.已知满足约束条件，则最小值为4.定义在上的函数满足，则的值为_____.[5.在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线（为参数），则直线被圆所截得弦长为 .6.如图，已知⊙的割线交⊙于两点，割线经过圆心，若，，，则⊙的半径为______________．三、解答题1.在中,角、、的对边分别为、、,且,.（1）求的值；（2）设函数,求的值.2.根据空气质量指数（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:（数值）空气质量级别一级二级三级四级五级六级某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如图的条形图:（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中度污染的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个,设为空气质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列.3.如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.4.已知等差数列满足：，，的前n项和为．（1）求及；（2）令=（），求数列的前项和．5.已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点.（1）求椭圆的方程;（2）若线段中点的横坐标为,求直线的方程;（3）若线段的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.6.已知函数．（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．广东高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数＝（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故答案为A.【考点】复数的四则运算.2.设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由补集的定义，得，故答案为D.【考点】补集的运算.3.在等差数列中，，则（）A．B．C．4D．8【答案】A【解析】由等差数列的性质得，故答案为A.【考点】等差数列的性质.4.已知，，且，则（）A．B．C．或D．【答案】C【解析】由于，设，，解得，故或，故答案为C.【考点】向量共线的应用.5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图，知该几何体是上面是四棱锥，下面是圆柱，圆柱的底面半径1，高为1，四棱锥的底面积，高，几何体的体积，故答案为B.【考点】几何体的体积.6.阅读如图的程序框图，若运行相应的程序，则输出的的值是（）A．21B．39C．81D．102【答案】D【解析】判断框的条件成立，第一次执行循环体，；满足判断框条件，第二次执行循环体，；满足判断框条件，第三次执行循环体，；不满足判断框的条件，推出循环体，输出；故答案为D.【考点】程序框图的应用.7.若双曲线的离心率为，则其渐近线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】双曲线的渐近线为，渐近线的斜率，由于离心率，设，，，因此渐近线的斜率，故答案为C.【考点】双曲线的性质.8.对、，运算“”、“”定义为：=，=，则下列各式其中不恒成立的是（）（1）（2）（3）（4）A．（1）、（3）B．（2）、（4）C．（1）、（2）、（3）D．（1）、（2）、（3）、（4）【答案】B【解析】当，=，=，此时四个都成立；当时，，故（2）、（4）不对；故答案为B.【考点】在新定义下函数的应用.9.若角的终边过点，则_______.【答案】【解析】到的距离，由任意角三角函数的定义.【考点】任意角三角函数的定义.二、填空题1.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高一年级抽取【答案】15【解析】高一年级抽取的人数人，故答案为15.【考点】分层抽样的应用.2.的展开式中的系数为 .（用数字作答）【答案】-160【解析】，令，得，系数为.【考点】二项式定理的应用.3.已知满足约束条件，则最小值为【答案】-1【解析】不等式表示的平面区域如图，把转化为，表示淡定斜率为，截距为的平行直线，当过点时，截距最小，最小，由，得，.【考点】线性规划的应用.4.定义在上的函数满足，则的值为_____.[【答案】-3【解析】当时，①，②，由①②得，因此得，当时，函数的周期，，由题意知，.【考点】1、函数的周期性；2、分段函数的应用.5.在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线（为参数），则直线被圆所截得弦长为 .【答案】【解析】由参数方程得圆的方程，直线方程，化简得，圆心到直线的距离，截得弦长，答案为【考点】直线与圆相交求弦长.6.如图，已知⊙的割线交⊙于两点，割线经过圆心，若，，，则⊙的半径为______________．【答案】2【解析】设圆的半径为，，由切割线定理得得，得.【考点】与圆有关的比例线段.三、解答题1.在中,角、、的对边分别为、、,且,.（1）求的值；（2）设函数,求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）在三角形中处理边角关系时，一般全部转化为角的关系，或全部转化为边的关系.题中若出现边的一次式一般采用正弦定理，出现边的二次式一般采用余弦定理，应用正弦、余弦定理时，注意公式变形的应用，解决三角形问题时，注意角的限制范围;（2）在三角形中，注意隐含条件（3）解决三角形问题时，根据边角关系灵活的选用定理和公式，掌握两角和的正弦公式，注意熟记公式，不要把符合搞错，计算正确.试题解析：解法1：（1）因为，所以，又，所以，解法2：∵，∴∵，且，所以又∵，∴.（2）由（1）得，（注：直接得到不扣分）所以.【考点】1、三角形中求角的余弦值；2、利用两角和的正弦公式求值.2.根据空气质量指数（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:（数值）某市2013年10月1日—10月30日，对空气质量指数进行监测,获得数据后得到如图的条形图:（1）估计该城市本月（按30天计）空气质量类别为中度污染的概率；（2）在上述30个监测数据中任取2个,设为空气质量类别颜色为紫色的天数,求的分布列.【答案】（1）；（2）图见解析【解析】（1）求随机变量的分布列的主要步骤：一是明确随机变量的取值，并确定随机变量服从何种概率分布；二是求每一个随机变量取值的概率，三是列成表格；（2）求出分布列后注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确；（3）求解离散随机变量分布列和方差，首先要理解问题的关键，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相对应的概率，写成随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.试题解析：解：（1）由条形统计图可知,空气质量类别为中度污染的天数为6,所以该城市本月空气质量类别为中度污染的概率.（2）随机变量的可能取值为,则,,所以的分布列为:【考点】1、求随机事件的概率；2、求离散型随机变量的分布列.3.如图，四边形是正方形，平面，，，，，分别为，，的中点．（1）求证：平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）证明：,分别为，的中点，.又平面，平面，平面.（2）解:平面，，平面平面，.四边形是正方形，.以为原点,分别以直线为轴, 轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系，设,，，，，，,,.，，分别为，，的中点，，，,,（解法一）设为平面的一个法向量，则,即，令，得.设为平面的一个法向量,则,即，令，得.所以==.所以平面与平面所成锐二面角的大小为（或）（解法二），,是平面一个法向量.，,是平面平面一个法向量.平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.（解法三）延长到使得连，，四边形是平行四边形，四边形是正方形，，分别为，的中点，平面，平面，平面.平面平面平面故平面与平面所成锐二面角与二面角相等.平面平面平面是二面角的平面角.平面与平面所成锐二面角的大小为（或）.【考点】1、直线与平面平行的判定；2、平面与平面所成的角.4.已知等差数列满足：，，的前n项和为．（1）求及；（2）令=（），求数列的前项和．【答案】（1）,;（2）【解析】（1）等差数列基本量的求解是等差数列的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用;（2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和.使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的.（3）在做题时注意观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减.试题解析：解：（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；=（2）由（1）知，所以==，所以==，即数列的前n项和.【考点】1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前项和公式；3、裂项求和.5.已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，过椭圆的右焦点的动直线与椭圆相交于、两点.（1）求椭圆的方程;（2）若线段中点的横坐标为,求直线的方程;（3）若线段的垂直平分线与轴相交于点.设弦的中点为,试求的取值范围.【答案】（1）;（2）；（3）【解析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论;（3）涉及弦长的问题时，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；直线与圆锥曲线相交所得中的弦问题，就解析几何的内容之一，一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在的直线方程；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（4）弦长为定值时，弦中点的坐标问题，其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法.试题解析：解:（1）依题意，有，即，，又解得则椭圆方程为（2）由（1）知，所以设过椭圆的右焦点的动直线的方程为将其代入中得，，，设,,则，∴，因为中点的横坐标为，所以，解得所以，直线的方程（3）由（2）知,所以的中点为所以直线的方程为, 由,得,则, 所以所以又因为,所以.所以.所以的取值范围是【考点】1、求椭圆的标准方程；2、弦中点所在的直线方程；3、弦中点的问题.6.已知函数．（1）若，试确定函数的单调区间；（2）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；（3）设函数，求证：．【答案】（1）的单调递增区间是，的单调递减区间是（2）；（3）证明见解析【解析】（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.（2）含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单.对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1），（2）；（3）掌握不等式的一些放缩问题.试题解析：解：（1）由得，所以．……2分由得，故的单调递增区间是，由得，故的单调递减区间是（2）由可知是偶函数.于是对任意成立等价于对任意成立．由得．①当时，．此时在上单调递增．故，符合题意．②当时，．当变化时的变化情况如下表：由此可得，在上，．依题意，，又．综合①，②得，实数的取值范围是．（3），，，，…，由此得，故．【考点】1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题；3、证明不等式.。
广东省2021届高三数学第二次教学质量检测文试题(含解析)
最新高三数学第二次教学质量检测文试题（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{1,0,1}A =-，2{|1}B y y x x A ==-∈,，则A B =（ ）A. {}1-B. {0}C. {1,0}-D. {0,1}【答案】C 【解析】 【分析】根据要求先用列举法表示出集合B ，然后根据交集的运算求解出A B 的结果.【详解】因为2{|1}B y y x x A ==-∈,，所以{}0,1B =-，所以{}1,0A B ⋂=-. 故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，难度较易.2.复数201911i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A. 1B. -1C. iD. i -【答案】D 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算11ii+-，再由虚数单位i 的性质求解． 【详解】21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+， ∴20192019450431()()?1i i i i i i+===--．故答案为D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.若cos()23πα+=-，则cos2=α（ ）A. 23-B. 13-C.13D.23【答案】C 【解析】 【分析】本道题化简式子,计算出sin α,结合2cos 212sin αα=-,即可.【详解】cos sin ααπ⎛⎫+=-= ⎪2⎝⎭,得到sin α=,所以 211cos 212sin 1233αα=-=-⋅=,故选C.【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.4.假设有一个专养草鱼的池塘，现要估计池塘内草鱼的数量.第一步，从池塘内打捞一批草鱼，做上标记，然后将其放回池塘，第二步，再次打捞一批草鱼，根据其中做标记的草鱼数量估计整个池塘中草鱼的数量.假设第一次打捞的草鱼有50尾，第二次打捞的草鱼总数为50尾，其中有标记的为7尾，试估计整个池塘中草鱼的数量大约为（ ） A. 250 B. 350C. 450D. 550【答案】B 【解析】 【分析】根据池塘中带有标记的草鱼数量与草鱼总数的比值等于样本中带有标记的草鱼数量与样本容量的比值.【详解】设池塘中草鱼的数量大约为x ，可得50750x =， 所以357x ≈，所以池塘中草鱼大约有350条. 故选：B.【点睛】本题考查用样本估计总体，难度较易.总体中某一类个体所占的比例等于样本中该类个体所占的比例.5.若变量x ，y 满足约束条件3422x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥-⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 18B. 8C. 5D. 22-【答案】B【解析】 【分析】根据约束条件作出可行域，然后利用平移直线法求解出目标函数的最大值. 【详解】作出可行域如下图：如图所示，当直线2y x z =-+经过点A 时，此时截距最大，此时有max z ， 又因为32x y y +=⎧⎨=-⎩，所以52x y =⎧⎨=-⎩，所以()max 2528z =⨯+-=.故选：B.【点睛】根据约束条件求解线性目标函数的最值时，采用平移直线法将目标函数的最值与对应直线的截距联系在一起，从而根据截距求解出最值.6.已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，下列命题中正确的有（ ） ①若m α⊥，m β⊥，则//αβ ②若//m α，m β⊂，n αβ=，则//m n③若//m α，//m β，则//αβ④若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ A. ①② B. ①③C. ②④D. ③④【答案】A 【解析】 【分析】①利用反证法判断对错；②根据线面平行的性质定理判断对错；③由两平面相交进行判断；④从正方体中找出对应模型判断. 【详解】①若l αβ=，则此时过l 有两个平面,αβ与已知直线m 垂直，与实际矛盾，所以假设不成立，所以命题正确；②由线面平行的性质定理内容可知命题正确； ③当l αβ=时，若//,,m l m m αβ⊂⊂//，此时//,//m m αβ，所以命题不正确；④取正方体任意相邻的两个面,αβ，m 是α的一条面对角线，n 是β的一条面对角线，此时m n ⊥显然不成立，所以命题错误.所以只有①②正确. 故选：A.【点睛】本题考查空间中点、线、面位置关系的判断，难度一般.对于符号语言描述的空间中点、线、面位置关系的命题，可通过反证法、特殊模型法、定义法等方法判断命题的真假. 7.已知0.20.5a =，0.50.2b =，0.5log 0.2c =，则三者的大小关系正确的是（ ） A. a c b >>B. c b a >>C. b a c >>D.c a b >>【答案】D 【解析】 【分析】根据指、对数函数的单调性以及幂函数的单调性，结合中间值1进行判断，即可比较出,,a b c 的大小关系.【详解】因为()0.5xf x =在R 上递减，所以00.20.50.50.50.5>>，又因为()0.5f x x=在[)0,+∞上单调递增，所以0.50.50.50.2>，所以0.20.510.50.2>>，因为()0.5log g x x =在()0,∞+上单调递减，所以0.50.5log 0.2log 0.51>=， 所以c a b >>. 故选：D.【点睛】本题考查根据指、对、幂函数的单调性比较数值的大小，难度一般.(1)幂函数()f x x α=，当0α>时，()f x 在()0,∞+上递增；(2)指数函数、对数函数的单调性由底数a 的大小确定.8.函数2sin ()cos x xf x x x-=-在[,]-ππ的图像大致为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先考虑()f x 的奇偶性，然后利用导数判断()sin g x x x =-的单调性从而判断函数值的正负，再根据特殊值判断出2cos y x x =-的正负，从而判断出对应的函数图象. 【详解】因为定义域为[],ππ-关于原点对称，()()()()()()22sin sin cos cos x x x xf x f x x xx x -----==-=-----，所以()f x 是奇函数， 因为()sin g x x x =-，()cos 10g x x '=-≤，所以当[]0,x π∈时，()g x 在[]0,π上递减且()00g =， 所以对[]0,x π∀∈，()0g x ≤.当0x →且0x >时，()0g x <，20cos x x ->，所以()0f x <，排除BD ， 当x π=时，()201f πππ-=>--，排除C ， 结合奇偶性，所以只有A 符合要求. 故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，难度一般.判断函数图象的常见思路：从奇偶性、单调性、特殊值等方面入手.9.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos cos 3a B b A +=，且23sin 24A B +=，3b =，则a =（ ）A.34B.32C. 3D. 33【答案】C 【解析】 【分析】由射影定理以及cos cos 3a B b A +=可得c 的值，根据23sin 24A B +=可计算出C 的值，结合已知条件可求解出a 的值.【详解】因为cos cos 3a B b A +=，所以cos cos 3c a B b A =+=， 又因23sin 24A B +=，所以()1cos 1cos 3224A B C -++==， 所以1cos 2C =，所以3C π=， 又因为3b c ==，3C π=，所以ABC 是等边三角形，所以3a =.故选：C.【点睛】本题考查解三角形中射影定理的应用以及二倍角公式的化简，难度一般.三角形中的射影定理：cos cos a b C c B =+，cos cos b a C c A =+，cos cos c a B b A =+.10.设函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中0>ω，若函数()f x 在[0,2]π上恰有2个零点，则ω的取值范围是（ ） A. 15,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 511,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 411,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】 根据3x πω+的范围以及sin y x =的零点分布情况，列出对应的不等式组，求解出ω的范围即可.【详解】因为[]0,2x π∈，所以,2333x πππωωπ⎛⎫⎡⎤+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因为sin y x =在y 轴右侧的第二个零点为2π，第三个零点为3π，所以223233ωπππωππ+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，所以5463ω≤<，所以54,63ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故选：B.【点睛】本题考查根据三角函数的零点个数求解ω的范围，难度一般.根据()sin y A ωx φ=+在给定区间上的零点个数求解参数ω范围的方法：将x ωϕ+看作一个整体，并利用正弦函数的零点分布确定出x ωϕ+的范围，从而求解出ω的范围.11.过点(1,0)P -的直线与圆22:(3)4E x y -+=相切于M ，N 两点，且这两点恰好在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为（ ）A.7B.2C.35D.7【答案】D 【解析】 【分析】根据条件求解出,,M N A 的坐标，将点代入椭圆方程即可得到关于22,a b 的方程，由此求解出离心率的值.【详解】如图所示：设切线方程为():1l y kx =+，所以圆心到直线的距离2d ==，所以3k =±，所以)):1,:133PM PN l y x l y x =+=-+，因为)()221,334y x x y ⎧=+⎪⎨⎪-+=⎩，所以2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(M，所以(2,N ，又因为四边形PMAN 为平行四边形且PM PN =，所以四边形PMAN 为菱形， 因为()1,0P -，MN 中点为()2,0，所以()5,0A ，所以243125b⎪⎨+=⎪⎩，所以2257b=，所以222617bea=-=，所以427e=.故选：D.【点睛】本题考查求解椭圆的离心率，着重考查了直线与圆的相切关系，难度一般.求解直线与圆的相切问题，可通过两种方法求解：(1)几何法：利用半弦长、半径、圆心到直线的距离构成的直角三角形完成求解；(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用0∆=来进行求解. 12.已知函数31()2sin331xf x x x=-++在区间[2,2]-的值域为[,]m n，则m n+=（）A. 2- B. 1- C. 0 D. 1【答案】D【解析】【分析】构造函数()()12g x f x=-，分析()g x的奇偶性，由此得到()g x值域的特点，即可求解出m n+的值.【详解】令()()()33111132sin32sin32312231xx xg x f x x x x x-=-=--+=-+++，()g x的定义域为R关于原点对称，又因为()()()3311312sin32sin3312231xx xg x x x x x g x---=-+-=-+=-++，所以()g x是奇函数，又因为()f x在[]22-,上的值域为[],m n，所以()g x在[]22-,上的值域为11,22m n⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，又因为()g x 为奇函数，所以()()max min 0g x g x +=，所以10m n +-=，所以1m n +=. 故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用以及构造函数的能力，难度较难.奇函数在对称区间上如果有最值，则最值之和为0；偶函数在对称区间上如果有最值，则最值相等. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a ，b 均为单位向量，1a b +=，则a ，b 的夹角为________. 【答案】23π 【解析】 【分析】将1a b +=平方，再根据数量积的计算公式即可求解出cos ,a b <>的值，从而可求,a b <>的值. 【详解】因为1,1,1a b a b +===，所以222cos ,22cos ,1a b a b a b a b ++<>=+<>=，所以1cos ,2a b <>=-，所以2,3a b π<>=.故答案为：23π. 【点睛】本题考查向量夹角的求解，难度较易.已知(),,0ma nb a b mn +≠的值求解向量夹角时，可考虑将ma nb +平方，然后利用cos ,a b a b a b ⋅=<>完成夹角求解. 14.曲线(1)xy x e =-在(0,1)-处的切线方程为__________. 【答案】10y += 【解析】 【分析】先求解出函数()y f x =的导函数()f x '，利用()f x '计算出切线的斜率，然后根据点斜式方程写出直线的切线方程即可.【详解】因为()()1xy f x x e ==-，所以()xf x xe '=，所以()00f '=，所以切线方程为：()10y --=即10y +=.故答案为：10y +=.【点睛】本题考查曲线的切线方程的求解，难度较易.15.已知直线20x y --=过双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的实轴长为_________.【答案】【解析】 【分析】根据直线方程可知双曲线的焦点坐标，再根据垂直关系得到,a b 的关系，结合c 的值即可求解出实轴的长度.【详解】因为20x y --=过点()()2,0,0,2-，且双曲线的焦点在x 轴上，所以2c =， 又因为20x y --=与一条渐近线垂直，所以1ba=，所以a ，所以a =故答案为：【点睛】本题考查根据双曲线的几何性质求解实轴长度，难度一般.注意：已知双曲线的方程，则可以通过双曲线的方程确定出焦点所在的坐标轴.16.已知四棱锥P ABCD -的五个顶点在球O 的球面上，底面ABCD 为矩形，且AB =4BC =，侧棱长均为O 的表面积为__________.【答案】64π 【解析】 【分析】根据条件先确定出球心的位置，然后根据矩形ABCD 的外接圆半径以及PE 长度，利用勾股定理即可计算出四棱锥外接球的半径，即可求解出球的表面积. 【详解】如图所示，记ACBD E =，设球的半径为R ，球心为O ，因为23AB =，4BC =，所以2227AC AB BC =+=，所以7BE =，又因为四棱锥的侧棱均相等，所以PE ⊥底面ABCD ，所以221PE PB BE =-=且球心O在直线PE 上， 所以()()22271R R =+-，所以4R =，所以球的表面积为：2464S R ππ==. 故答案为：64π.【点睛】本题考查空间几何体的外接球的表面积计算，难度一般.求解空间几何的外接球的表面积或体积：第一步先确定球心位置，第二步根据已知长度求解出球的半径，第三步利用公式求解出表面积或体积. 三、解答题：共70分.17.为了解某市公益志愿者的年龄分布情况，有关部门通过随机抽样，得到如图1的频率分布直方图.（1）求a 的值，并估计该市公益志愿者年龄的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）根据世界卫生组织确定新年龄分段，青年是指年龄15～44岁的年轻人.据统计，该市人口约为300万人，其中公益志愿者约占总人口的40%.试根据直方图估计该市青年公益志愿者的人数.【答案】（1）0.03a =，49x =；（2）39.6万 【解析】 【分析】(1)利用频率和为1计算出a 的值，再根据每组数据的组中值乘以频率并将结果相加即可得到平均数；(2)先计算青年公益志愿者的频率，然后利用公益志愿者总人数乘以对应的频率即可. 【详解】（1）∵(0.0050.010.020.0250.01)101a +++++⨯=，∴0.03a = 该市公益志愿者的平均年龄：200.05300.1400.2500.3600.25700.149x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由频率分布直方图可得年龄15～44岁的频率为：9(0.0050.010.02)100.3310++⨯⨯=， ∴估计该市青年公益志愿者的人数为：30040%0.3339.6⨯⨯=（万）【点睛】本题考查频率分布直方图的综合应用，难度较易.(1)频率分布直方图中，各组数据的频率之和为1；(2)频率分布直方图中的小矩形的面积代表该组数据的频率. 18.若椭圆Γ的焦点在x 轴上，离心率为35，依次连接Γ的四个顶点所得四边形的面积为40. （1）试求Γ的标准方程；（2）若曲线M 上任意一点到Γ的右焦点的距离与它到直线3x =-的距离相等，直线1l 经过Γ的下顶点和右顶点，12l l ⊥，直线2l 与曲线M 相交于点P 、Q （点P 在第一象限内，点Q 在第四象限内），设Γ的下顶点是B ，上顶点是D ，且14PBD QBD S S ∆∆=，求直线2l 的方程. 【答案】（1）2212516x y +=；（2）25203840x y +-=【解析】 【分析】(1)根据条件列出关于,,a b c 的等式构建方程组求解出,,a b c ，即可求解出椭圆的标准方程； (2)根据抛物线的定义可求M 的轨迹方程，利用直线2l 联立M 的轨迹方程得到韦达定理形式，再根据三角形的面积比求解出直线2l 的方程.【详解】（1）由题意可知：22235240c a ab c a b ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求Γ的标准方程是2212516x y +=； （2）由（1）可知Γ的右焦点是(3,0)，下顶点(0,4)B -，上顶点(0,4)D ，右顶点是(5,0)A 又由抛物线定义可知：曲线M 是一条抛物线，M 的焦点是(3,0) ∴M 的方程是212y x =，又10(4)4505l k --==-，12l l ⊥∴121l l k k ⋅=-，∴254l k =-，设直线2l 的方程为54y x m =-+ 则联立方程组：25412y x m y x⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得：22258(524)160x m x m -++=， 且>0∆，所以()226452464250m m +-⨯>，所以125m >-， 所以由韦达定理得：122128(524)251625m x x m x x +⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，又由14PBD QBD S S ∆∆=可得1214BD x BD x ⋅=⋅，即：1214x x = ∴联立方程组：12212128(524)25162514m x x m x x x x +⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得：965m =，或3215m =-又∵点P 在第一象限内，点Q 在第四象限内，∴3215m =-不合，舍去 ∴所求直线2l 的方程为59645y x =-+，即：25203840x y +-=. 【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，着重考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，难度较难.圆锥曲线中的面积比、长度比等，注意将其转化为坐标的形式，合理运用韦达定理解决问题.19.已知函数2()()ln ()f x x x a x a R =-+∈. （1）当0a >时，讨论()f x 的零点情况；（2）当1a =时，记21()()2F x f x x x =--在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上的最小值为m ，求证：5122m -<<-.【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】(1)()f x 必有一个零点1x =，可通过分析2()h x x x a =-+的零点得到()f x 的零点情况；(2)对()F x 求导，分析导函数中1()ln g x x x=-的正负情况，得到()F x 的单调性，由此可计算出()min F x 的0x 表示，再次构造关于0x 的新函数求解出m 的范围即可.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞.令2()h x x x a =-+，则14a ∆=-.分情况讨论：①当104a <<时，0141a <-<，则102<<，112<<.所以()f x 在(0,)+∞和1.②当14a =时，2211()()ln ln 42f x x x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 在(0,)+∞上有两个零点，分别为1,12. ③当14a >时，140a ∆=-<，所以，对(0,)x ∀∈+∞，()0h x >恒成立. 从而，()f x (0,)+∞上有一个零点1.综上所述：当104a <<时，()f x 和1； 当14a =时，()f x 有两个零点：12，1；当14a >时，()f x 有一个零点为：1；（2）当1a =时，221()(1)ln 2F x x x x x x =-+--，定义域为(0,)+∞.则11()(21)ln 2(21)ln F x x x x x x x ⎛⎫=--+=-- ⎪⎝⎭. 当1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，210x ，令1()ln g x x x =-，22111()x g x x x x +'=+=.所以()g x 在(1,2)上单调递增.∵(1)ln110g =-<，1(2)ln 202g =->， 由零点存在性定理，存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，即001ln x x = 故当01(,)2x x ∈时，()0F x '<；当0(,2)x x ∈时，()0F x >. ∴()F x 在01(,)2x 上单调递减，在0(,2)x 上单调递增. 所以，22222min 000000000000011111()()(1)ln (1)1222m F x F x x x x x x x x x x x x x ===-+--=-+--=-+-.令211()1,(1,2)2G x x x x =-+-∈，则321()0x G x x+'=-<. 所以()G x 在(1,2)上单调递减.故(2)()(1)G G x G <<，而5(2)2G =-，1(1)2G =-， 从而51()22G x -<<-，即5122m -<<-.【点睛】本题考查利用导数判断函数的零点个数以及利用导数证明不等式，难度较难.对于导函数的隐零点问题，可通过二次求导分析出导函数的正负，从而得到函数的单调性并完成最值的分析.四、选做题：共10分.（在第20-21题中任选一题作答，请在答题卡上将你所选择试题的信息点涂黑）20.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为24x t y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22(13sin )4ρθ+=. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 为曲线C 上的动点，点M ，N 为直线l 上的两个动点，若PMN ∆是以MPN ∠为直角的等腰三角形，求PMN ∆直角边长的最小值.【答案】（1）曲线C ：2214x y +=，直线l 2110y +-=；（2 【解析】 【分析】(1)根据参数方程中t 相等的原则求解出直线l 的普通方程，根据cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩写出曲线C 的直角坐标方程；(2)倍，将点P 设为参数形式并利用点到直线的距离公式以及三角函数的有界性求解出最小值. 【详解】（1）曲线C 可化为：223(sin )4ρρθ+=曲线C 的直角坐标方程为2244x y +=，即2214x y +=直线l2110y +-=（2）由（1）可设C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），(2cos ,sin )P αα则点P 到直线l的距离为：d==要使PMN ∆是以MPN ∠为直角的等腰三角形，则直角边长为=所以，当6πα=【点睛】本题考查坐标系与参数方程的综合运用，难度一般.(1)极坐标与直角坐标的互化：cos sin xy ρθρθ=⎧⎨=⎩；(2)求解椭圆或圆上点到直线的距离的最值时，将椭圆或者圆上的点设为参数形式，利用三角函数的有界性可快速求解出距离最值. 21.已知函数()|1||21|f x ax x =++- （1）当1a =时，求不等式()3f x >的解集；（2）当2a =时，对任意x ∈R ，()f x c ≥恒成立，且当c 取最大值时，正数m ，n 满足2m n c +=，求12m n+的取值范围.【答案】（1）{|1x x<-或}1x>；（2）9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】(1)方法一：作出()f x的图象，利用图象求解出不等式解集；方法二：采用零点分段法，分类讨论不等式成立的条件，从而求解出解集；(2)先根据恒成立条件求解出c的值，然后根据“1”的妙用利用基本不等式求解出12m n+的取值范围.【详解】（1）方法一：当1a=时，作出()f x的图像，如图所示3,11()1212,1213,2x xf x x x x xx x⎧⎪-≤-⎪⎪=++-=-+-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩它与直线3y=的交点为(1,3),(1,3)-，∴()3f x>的解集为{|1x x<-或}1x>；方法二：1a=时，不等式()3f x>可化为1133xxx≤-⎧⇒<-⎨->⎩或11223xxxφ⎧-<<⎪⇒∈⎨⎪-+>⎩或11233xxx⎧≥⎪⇒>⎨⎪>⎩，∴()3f x>的解集为{|1x x<-或}1x>（2）当2a=时，()|21||21||21(21)|2f x x x x x=++-≥+--=.专业 文档 可修改 欢迎下载所以2≤c ，则max 2c =，即22m n +=.∴12121211222m n m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅=+⋅+=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5922≥+= 当且仅当23m n ==时，12m n +取最小值92.所以12m n +的取值范围为9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】(1)解绝对值不等式的常用方法：零点分段法、几何意义法、图象法； (2)已知(),,,,0am bn c a b c m n +=>，求解()0,0d e d e m n +>>的最小值的方法：将d em n+变形为am bn d e c m n +⎛⎫⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，然后展开利用基本不等式求解最小值.。
广东省广州市2021届新高考数学二模考试卷含解析
广东省广州市2021届新高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ） A ．2 B ．21- C ．322- D ．31-【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得易知2p c =，且222222222444p a b p b p a a b ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解方程可得2222223421a p b p ⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，再利用222c e a =即可求解. 【详解】易知2p c =，且22222222222222234421442a p p a b p b p a a b b p ⎧⎧+=⎪⎪-=⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩故有222322c e a==-，则32221e =-=-故选：B 【点睛】本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题2．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：通过对以下四个四棱锥的三视图对照可知，只有选项C是符合要求的. 考点：三视图3．若实数x、y满足21yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最小值是（）A．6B．5C．2D．3 2【答案】D【解析】【分析】根据约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】作出不等式组21yx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立1y x x y =⎧⎨+=⎩，得12x y ==，可得点11,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由2z x y =+得12y x z =-+，平移直线12y x z =-+， 当该直线经过可行域的顶点A 时，该直线在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 1132222z =+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．4．过直线0x y +=上一点P 作圆()()22152x y ++-=的两条切线1l ，2l ，A ，B 为切点，当直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称时，APB ∠=（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C 【解析】 【分析】判断圆心与直线0x y +=的关系，确定直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称的充要条件是PC 与直线0x y +=垂直，从而PC 等于C 到直线0x y +=的距离，由切线性质求出sin APC ∠，得APC ∠，从而得APB ∠． 【详解】如图，设圆22(1)(5)2x y ++-=的圆心为(1,5)C -2，点C 不在直线0x y +=上，要满足直线1l ，2l 关于直线0x y +=对称，则PC 必垂直于直线0x y +=，∴15222PC -+==，设APC θ∠=，则2APB θ∠=，21sin 222AC PCθ===，∴30θ=︒,260APB θ∠==︒． 故选：C ．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线0x y +=对称，得出PC 与直线0x y +=垂直，从而得PC 就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角． 5．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A B =I ，则m =（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】A 【解析】 【分析】根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值. 【详解】因为{2}A B =I ，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =I ，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.【点睛】本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾六步，股八步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为6步和8步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是（ ） A ．12π B ．3π C ．6π D ．9π 【答案】C 【解析】 【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径，再分别求出三角形和内切圆的面积，根据几何概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】10=， 利用等面积法，可得其内切圆的半径为6826810⨯==++r ，所以向次三角形内投掷豆子，则落在其内切圆内的概率为2216682ππ⋅=⨯⨯.故选：C. 【点睛】本题主要考查了面积比的几何概型的概率的计算问题，其中解答中熟练应用直角三角形的性质，求得其内切圆的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4 B ．8C ．16D ．2【答案】A 【解析】 【分析】利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得. 【详解】()1252512511152550442a a S a a a a +==⇒+=⇒+=.故选:A . 【点睛】本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.8．已知命题:0p x ∀>,ln(1)0x +>；命题:q 若a b >，则22a b >，下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】解：命题p ：∀x ＞0，ln （x+1）＞0，则命题p 为真命题，则￢p 为假命题； 取a=﹣1，b=﹣2，a ＞b ，但a 2＜b 2，则命题q 是假命题，则￢q 是真命题． ∴p ∧q 是假命题，p ∧￢q 是真命题，￢p ∧q 是假命题，￢p ∧￢q 是假命题． 故选B ．9．已知函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数()()282x g x f x =+-的定义域为（ ） A ．[]0,1 B ．[]0,2 C ．[]1,2 D ．[]1,3【答案】A 【解析】试题分析：由题意，得022{820x x ≤≤-≥，解得01x ≤≤，故选A ． 考点：函数的定义域．10．如图，已知三棱锥D ABC -中，平面DAB ⊥平面ABC ，记二面角D AC B --的平面角为α，直线DA 与平面ABC 所成角为β，直线AB 与平面ADC 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．βαγ≥≥C ．αγβ≥≥D ．γαβ≥≥【答案】A 【解析】 【分析】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E ,分析可得'DED α=?,'DAD β=∠,再根据正弦的大小关系判断分析得αβ≥,再根据线面角的最小性判定βγ≥即可. 【详解】作'DD AB ⊥于'D ,DE AC ⊥于E .因为平面DAB ⊥平面ABC ,'DD ⊥平面ABC .故,'AC DE AC DD ⊥⊥, 故AC ⊥平面'DED .故二面角D AC B --为'DED α=?.又直线DA 与平面ABC 所成角为'DAD β=∠,因为DA DE ≥, 故''sin 'sin 'DD DD DED DAD DE DA???.故αβ≥,当且仅当,A E 重合时取等号.又直线AB 与平面ADC 所成角为γ,且'DAD β=∠为直线AB 与平面ADC 内的直线AD 所成角,故βγ≥,当且仅当BD ⊥平面ADC 时取等号.故αβγ≥≥.故选：A 【点睛】本题主要考查了线面角与线线角的大小判断,需要根据题意确定角度的正弦的关系,同时运用线面角的最小性进行判定.属于中档题. 11．集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】B 【解析】 解：因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B12．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．()27,8 B ．()25,7C ．()25,8D ．()27,7【答案】A 【解析】 【分析】由已知先确定出双曲线方程为2213y x -=，再分别找到12F PF △为直角三角形的两种情况，最后再结合122PF PF -=即可解决.【详解】由已知可得22a =，2ca=，所以1,2,a c b ==== 2213y x -=，不妨设点P 在双曲线C 右支上运动，则122PF PF -=，当12PF PF ⊥时，此时221216PF PF +==122()2PF PF -+12PF PF ，所以126PF PF =，122()PF PF +=22122PF PF ++1228PF PF =，所以12PF PF +=当2PF x ⊥轴时，221216PF PF =+，所以121682PF PF =+=，又12F PF △为锐角三角形，所以12PF PF +()∈. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到12F PF △为锐角三角形的临界情况，即12F PF △为直角三角形，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三第二次月考数学试题解析
2021年高三第二次月考数学试题解析一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若1，a，3成等差数列；1，b，4成等比数列，则的值（）A．B．C．1 D．【答案】D【解析】解：2.若（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：44cos(0)533，，，sin=,则cot5ααπαα=∈∴=，故选答案A3.数列对一切正整数n都有，其中是{a n}的前n项和，则=（）A．B．C．4 D．-4【答案】C【解析】解：当n=1时，4.f (x)是定义在R上的奇函数，对任意总有，则的值为（）A．0 B．3 C．D．【答案】A【解析】解：【解析】解：因为{}81111191595116,7(10)622()9412,91082中，n a a a a d a d a a a d a S a =+∴+=+++∴+=====8.若函数满足的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】解： 2323,()()11(1)1log (1)111101110，则0<a<1a f f a a a af x x a x x a x<>∴->⇔->⎧-<⎪⎪⇔∴<<⎨-⎪->⎪⎩9.已知函数y = f (x ) 和 y = g (x ) 的定义域及值域均为，其图像如图所示，则方程根的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】 解：[](),[,],()()0,[,0]()[0,]()g x t t a a f g x f t t a g x t t a g x t =∈-==∈-=∈=令则当时，满足方程的根由两个，而t 有两个值，共有4个不同的实数根。
当，时，满足方程的根由两个，而t 有一个值，共有2个不同的实数根综上，可知一共有6个不同的实数根。
10.已知函数，若时， 有最大值是4，则a 的最小值为（ ） A ．10 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】解：由已知条件可得()()()()()()()()()()[)[)2242422log 2log 1log 112412(1)201464,=的最小值为，故恒成立，即两边开方，，，，分离参数思想求a 的值。
广东省广州市中学(高中部)2021年高三数学理月考试题含解析
广东省广州市中学(高中部)2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递减的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3 D．f（x）=2﹣x参考答案：B【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）=为偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增，不满足条件．B．f（x）=x2+1为偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，满足条件．C．f（x）=x3为奇函数，在区间（﹣∞，0）上单调递增，不满足条件．D．f（x）=2﹣x为非奇非偶函数，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．故选：B【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．2. 使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A． B． C．为实数D．为实数参考答案：B 解析：；，反之不行，例如；为实数不能推出，例如；对于任何，都是实数3. 关于函数有下述四个结论：①的最小值为；②在上单调递增；③函数在上有3个零点；④曲线关于直线对称.其中所有正确结论的编号为（）A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④参考答案：D【分析】根据各个选项研究函数的性质，如最值，单调性，零点，对称性等．【详解】，①错；当时，，在上不是单调函数，实际上它在上递减，在递增，②错；当时，，函数无零点，当，即时，注意到是偶函数，研究时，，只有，因此在时，函数有三个零点，③正确；，∴曲线关于直线对称，④正确．∴正确结论有③④，故选：D．【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数的图象和性质，本题的难点在于含有绝对值符号，因此我们可以通过绝对值定义去掉绝对值符号后研究函数的性质，如，然后分段研究．4. 设集合U={1,2,3,4,5,6}， M={1,2,4 }，则CuM=A．U B． {1,3,5} C．{3,5,6} D． {2,4,6}参考答案：C，故选C.5. 已知P是双曲线上的点，F1、F2是其焦点，双曲线的离心率是的面积为9，则a+b的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C略6. 已知抛物线，直线与抛物线C交于A，B两点，若以AB为直径的圆与x轴相切，则b的值是( )A. B. C. D.参考答案：C由题意，可设交点的坐标分别为，联立直线与抛物线方程消去得，则，，，由，即，解得.故选C.7. 已知集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B={x|0＜x＜4}，则（?R A）∩B=（）A．（0，3] B．[﹣1，0） C．[﹣1，3] D．（3，4）参考答案：A【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行计算即可．【解答】解：集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，集合B={x|0＜x＜4}，∴?R A={x|﹣1≤x≤3}，∴（?R A）∩B={x|0＜x≤3}=（0，3]．故选：A．【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，是基础题目．8. 执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是（）A． B.C． D.参考答案：D略9. 设变量x，y满足约束条件.目标函数，则的取值范围为(A)[1,2] (B) (C)[2,11] (D)[0,11]参考答案：B略10. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为（）参考答案：C 略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，一不规则区域内，有一边长为米的正方形，向区域内随机地撒颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）参考答案：12. 设变量x 、y 满足约束条件，则目标函数z=2x+y 的取值范围是．参考答案：[3，9]【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值、及最小值，进一步线出目标函数的值域．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：由图易得目标函数z=2x+y 在（1，1）处取得最小值3 在（3，3）处取最大值9 故Z=2x+y 的取值范围为：[3，9] 故答案为：[3，9]13. 设定义在上的奇函数满足,若,则.参考答案：①,③,④14. 设满足约束条件，若，则实数的取值范围为 ．参考答案：略15. 已知点P （cosθ，sinθ）在直线y=2x 上，则sin2θ+cos2θ= ．参考答案：【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由点P （cosθ，sinθ）在直线y=2x 上，将P 坐标代入直线方程，利用同角三角函数间的基本关系求出tanθ的值，将所求式子利用同角三角函数间的基本关系化简后，把tanθ的值代入即可求出值．【解答】解：∵点P （cosθ，sinθ）在直线y=2x 上， ∴tanθ=2，∴sin2θ+cos2θ=2sinθcosθ+cos 2θ﹣sin 2θ=+=+==． 故答案为：．16. 已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若S k ﹣2=﹣4，S k =0，S k+2=8，则k= ．参考答案：6【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S k ﹣2=﹣4，S k =0，S k+2=8，∴（k ﹣2）a 1+d=﹣4，ka 1+d=0，（k+2）a 1+d=8，联立解出d=1，k=6，a 1=﹣． 故答案为：6．17. 设变量满足，则的取值范围是.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
广东高三高中数学月考试卷带答案解析
广东高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设复数,，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知向量，，且，则等于（）A．B．C．D．3.某学校有体育特长生人，美术特长生人，音乐特长生人.用分层抽样的方法从中抽取人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为（）A．、、B．、、C．、、D．、、4.给出下图所示的程序框图，输出的数是（）A．B．C．D．5.若、为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A．且B．且C．且D．且6.函数的图象（）A．关于原点对称B．关于直线对称C．关于轴对称D．关于轴对称7.数列中，已知对任意正整数，，则等于（）A．B．C．D．8.已知，则直线与坐标轴围成的三角形面积是（）A．1B．2C．3D．49.球的表面积扩大到原来的倍，则球的半径扩大到原来的倍，球的体积扩大到原来的倍.（）A．、B．、C．、D．、10.若是上的减函数，且的图象过点和，则不等式的解集是（）A．B．C．D．二、填空题1.已知椭圆上一点到两个焦点之间距离的和为，其中一个焦点的坐标为，则椭圆的离心率为 .2.若、满足约束条件，则目标函数的最大值是 .3.在中，角、、的对边分别为、、，若，，的面积，则边长为 .4.在极坐标中，已知点为方程所表示的曲线上一动点，点的坐标为，则的最小值为____________.5.如图，以为直径的圆与的两边分别交于、两点，，则 .三、解答题1.已知，，三点.（1）求向量和向量的坐标；（2）设，求的最小正周期；（3）求的单调递减区间.2.设关于的一元二次方程.（1）若是从、、、四个数中任取的一个数，是从、、三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率.3.如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，，点、分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.4.数列的前项和记为，，.（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的前项和有最大值，且，又、、成等比数列，求.5.已知椭圆，、是其左右焦点，离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若、分别是椭圆长轴的左右端点，为椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围；（3）若为椭圆上动点，求的最小值.6.已知在区间上是增函数.（1）求实数的值组成的集合；（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.广东高三高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.设复数,，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】，所对应的点的坐标为，故复数在复平面内所对应的点位于第二象限，故选B.【考点】1.复数的减法；2.复数的几何意义2.已知向量，，且，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且与共线，所以，故选A.【考点】1.共线向量；2.平面向量的坐标运算3.某学校有体育特长生人，美术特长生人，音乐特长生人.用分层抽样的方法从中抽取人，则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为（）A．、、B．、、C．、、D．、、【答案】C【解析】设取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为、、，则，解得，，，故选C.【考点】分层抽样4.给出下图所示的程序框图，输出的数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据程序框图所示，该算法计算的是求以内所有偶数的和，即，选B.【考点】1.算法与程序框图；2.等差数列求和5.若、为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则的一个充分条件是（）A．且B．且C．且D．且【答案】D【解析】如下图，在长方体中，平面，平面平面，但与平面不垂直，A选项错误；平面，平面平面，但与平面不垂直，B选项错误；，平面，但与平面不垂直，C选项错误；平面，平面平面，且平面，D选项正确，故选D.【考点】1.空间中直线、平面之间的位置关系；2.充分条件6.函数的图象（）A．关于原点对称B．关于直线对称C．关于轴对称D．关于轴对称【答案】D【解析】，定义域为，，故函数为偶函数，其图象关于轴对称，选D.【考点】函数的奇偶性7.数列中，已知对任意正整数，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，，当时，则，也适合上式，所以，，且，，故数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故选C.【考点】1.定义法求数列通项；2.等比数列求和8.已知，则直线与坐标轴围成的三角形面积是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由于，故直线与直线平行，则有且，由整理得，解得或，由，得，所以，故直线的方程为，交轴于点，交轴于点，故直线与坐标轴围成的三角形面积是，故选B.【考点】1.两直线的位置关系；2.三角形的面积9.球的表面积扩大到原来的倍，则球的半径扩大到原来的倍，球的体积扩大到原来的倍.（）A．、B．、C．、D．、【答案】A【解析】设球原来的半径长为，变化后的半径长为，变换前的表面积，变化后的表面积为，则有，则变化后的体积为，故选A.【考点】球的表面积与体积10.若是上的减函数，且的图象过点和，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解不等式得，即，由题意知，，故有，由于函数是上的减函数，则，解得，故选B.【考点】1.含绝对值的不等式；2.函数的单调性二、填空题1.已知椭圆上一点到两个焦点之间距离的和为，其中一个焦点的坐标为，则椭圆的离心率为 .【答案】.【解析】设椭圆的长轴长为，焦距为，则，，故该椭圆的离心率为.【考点】椭圆的离心率2.若、满足约束条件，则目标函数的最大值是 .【答案】.【解析】作不等式组所表示的可行域如下图所示，联立，解得，即点，作直线，则为直线在轴上的截距，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即.【考点】线性规划3.在中，角、、的对边分别为、、，若，，的面积，则边长为 .【答案】.【解析】，所以，由余弦定理得，因此.【考点】1.三角形的面积公式；2.余弦定理4.在极坐标中，已知点为方程所表示的曲线上一动点，点的坐标为，则的最小值为____________.【答案】.【解析】曲线的一般方程为，点的直角坐标为，由于是直线上一点，故的最小值为点到直线的距离.【考点】1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.点到直线的距离5.如图，以为直径的圆与的两边分别交于、两点，，则 .【答案】.【解析】如下图所示，设圆心为点，连接、、，由于为圆的直径，则，所以，因此，所以，由于，因此是边长为的等边三角形，则.【考点】同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系三、解答题1.已知，，三点.（1）求向量和向量的坐标；（2）设，求的最小正周期；（3）求的单调递减区间.【答案】（1），；（2）的最小正周期为；（3）函数的单调递减区间为.【解析】（1）利用向量的坐标运算直接求出向量和向量的坐标；（2）利用平面向量的数量积的坐标运算求函数的解析式，并利用二倍角公式与辅助角公式将函数解析式为，然后利用周期公式的最小正周期；（3）在，的前提下，解不等式得到函数的单调递增区间.试题解析：（1），；（2），的最小正周期；（3），，，，的单调递减区间是.【考点】1.平面向量的坐标运算；2.三角函数的周期；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的单调区间2.设关于的一元二次方程.（1）若是从、、、四个数中任取的一个数，是从、、三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率.【答案】（1）上述方程有实根的概率为；（2）上述方程有实根的概率为.【解析】（1）先将全部的基本事件以及问题中涉及事件所包含的基本事件列举出来，确定基本事件总数与问题中涉及事件所包含的基本事件的数目，然后利用古典概型的概率计算公式计算出相应事件的概率；（2）先利用方程有根这一条件转化为，从而确定、所满足的条件，然后综合，这些条件，将问题量化为平面区域的面积比的几何概型的概率来进行处理.试题解析：设事件为“方程有实根”，当，时，方程有实根的充要条件为.（1）基本事件共个：、、、、、、、、、、、，其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．事件中包含个基本事件，事件发生的概率为；（2）试验的全部结束所构成的区域为，构成事件的区域为，所以所求的概率为.【考点】古典概型与几何概型3.如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，，点、分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求三棱锥的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）三棱锥的体积为.【解析】（1）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得到，再利用直线平面平行的判定定理得到平面；（2）先证明平面，利用（1）中的条件得到平面，再利用平面与平面垂直的判定定理证明平面平面，在证明平面的过程中，在等腰三角形中利用三线合一得到，通过证明平面得到，然后利用直线与平面垂直的判定定理即可证明平面；（3）利用题中的条件平面，在计算三棱锥的体积中，选择以点为顶点，所在平面为底面的三棱锥来计算其体积，则该三棱锥的高为，最后利用锥体的体积计算公式即可.试题解析：（1）取的中点，连结、，∴为的中位线，，∵四边形为矩形，为的中点，∴，，∴四边形是平行四边形，，又平面，平面，∴平面；（2）底面，，，又，，平面，又平面，，直角三角形中，，为等腰直角三角形，，是的中点，，又，平面，，平面，又平面，平面平面；（3）三棱锥即为三棱锥，是三棱锥的高，中，，，三棱锥的体积，.【考点】1.直线与平面平行；2.平面与平面垂直；3.等体积法求三棱锥的体积4.数列的前项和记为，，.（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的前项和有最大值，且，又、、成等比数列，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将代入式子结合求出的值，然后令，由得到，两式相减并化简得，需注意这个等式是在的前提下成立，因此要对与之间是否满足这个等式进行检验，否则数列从第二项开始才成等比数列，从而确定数列的通项公式；（2）根据等差数列的前项和有最大值得到该数列的公差为负，然后根据后面两个条件求出等差数列的首项和公差，从而确定等差数列的通项公式，进而求出等差数列的前项和.试题解析：（1）由，可得，两式相减得，，又，，故是首项为，公比为的等比数列，；（2）设的公差为，由得，于是，故可设，，又，，，由题意可得，解得，，等差数列的前项和有最大值，，，.【考点】1.定义法求数列通项；2.等差数列中基本量的应用；3.等差数列求和5.已知椭圆，、是其左右焦点，离心率为，且经过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若、分别是椭圆长轴的左右端点，为椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围；（3）若为椭圆上动点，求的最小值.【答案】（1）椭圆的方程为；（2）直线的斜率的取值范围是；（3）的最小值是.【解析】（1）利用离心率以及确定、之间的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程求出、，从而确定椭圆的标准方程；（2）设直线的斜率为，并设点的坐标为，利用点在椭圆上以及斜率公式得到，进而利用的取值范围可以求出的取值范围；（3）利用已知条件，利用余弦定理得到，结合基本不等式求出的最小值.试题解析：（1），故椭圆的方程为；（2）设的斜率为，设点，则，，及，则＝又，，故斜率的取值范围为；（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为、、，则有，，，，由椭圆定义，有，的最小值为.（当且仅当时，即取椭圆上下顶点时，取得最小值）【考点】1.椭圆的标准方程；2.点差法；3.余弦定理；4.基本不等式6.已知在区间上是增函数.（1）求实数的值组成的集合；（2）设关于的方程的两个非零实根为、．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）实数a的值组成的集合；（2）存在实数，使得不等式对任意及恒成立．【解析】（1）先求出函数的导数，将条件在区间上为增函数这一条件转化为在区间上恒成立，结合二次函数的图象得到，从而解出实数的取值范围；（2）先将方程转化为一元二次方程，结合韦达定理得到与，然后利用将用参数进行表示，进而得到不等式对任意及恒成立，等价转化为对任意恒成立，将不等式转化为以为自变量的一次函数不等式恒成立，只需考虑相应的端点值即可，从而解出参数的取值范围.试题解析：（1）因为在区间上是增函数，所以，在区间上恒成立，，所以，实数的值组成的集合；（2）由得，即，因为方程，即的两个非零实根为、，、是方程两个非零实根，于是，，，，，设，，则，若对任意及恒成立，则，解得或，因此，存在实数或，使得不等式对任意及恒成立.【考点】1.函数的单调性；2.二次函数的零点分布；3.韦达定理；4.主次元交换。
广州市执信中学2024届高三第二次调研数学试题与答案
广州市执信中学2024届高三第二次调研数学试题一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.“cos 0θ>且sin 20θ<”是“θ为第四象限角”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件2.在复平面内，复数32i,23i +-+对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是坐标原点，则向量AB对应的复数为（）A.1i+ B.5i- C.53i- D.5i-+3.已知集合{}A x x a =<，{}1B x x =≥，若()R B A A = ð，则实数a 的取值范围为（）A.{}1a a ≥ B.{}1a a > C.{}1a a ≤ D.{}1a a <4.已知,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前项和，且*21()42n n S n n T n +=∈-N ，则1011318615a a b b b b +=++（）A.2138B.2342C.4382D.41785.某人将用“1,1,2,3,4,5”进行排列设置6位数字密码，其中两个“1”相邻的概率是（）A.16B.12C.13D.1126.若直线l 在x 轴､y 轴上的截距相等，且直线l 将圆22240x y x y +-+=的周长平分，则直线l 的方程为（）A.10x y ++= B.10x y +-=C.10x y ++=或20x y += D.10x y +-=或20x y +=7.已知ABC中，1,2,AC AB BC ===在线段AB 上取一点M ，连接CM ，如图①所示．将ACM △沿直线CM 折起，使得点A 到达A '的位置，此时BCM 内部存在一点N ，使得A N '⊥平面,3BCM NC =，如图②所示，则A M '的值可能为（）A.25B.35C.45D.18.已知函数()()2ln sin ,sin f x x x g x ax x =+=+，若函数()f x 图象上存在点M 且()g x 图象上存在点N ，使得点M 和点N 关于坐标原点对称，则a 的取值范围是（）A.1,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B.1,2e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C.21,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D.21,e ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦二.多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9.已知函数23()sin cos 32f x x x x =-+，则下列说法正确的是（）A.π()sin(2)3f x x =- B.函数()f x 的最小正周期为2πC.函数()f x 的对称轴方程为π5π(Z)212k x k =+∈ D.函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度得到10.下列几种说法中正确的是（）A.若111x y+=，则x y +的最小值是4B.命题“Z x ∃∈，20x >”的否定是“Z x ∀∈，20x ≤”C.若不等式20x ax b +-<的解集是()2,3-，则20ax x b -+>的解集是()3,2-D.“(]3,0k ∈-”是“不等式23208kx kx +-<对一切x 都成立”的充要条件11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M 是ABC 内一点，,,BMC AMC AMB △△△的面积分别为,,A B C S S S ，且0A B C S MA S MB S MC ⋅+⋅+⋅=.以下命题正确的有（）A.若::1:1:1A B C S S S =，则M 为AMC 的重心B.若M 为ABC 的内心，则0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=C.若45,60BAC ABC ∠=︒∠=︒，M 为ABC 的外心，则::2:1A B C S S S =D.若M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++=，则6cos 6AMB ∠=-12.小明热爱数学，《九章算术》《几何原本》《数学家的眼光》《奥赛经典》《高等数学》都是他的案头读物．一日，正翻阅《高等数学》，一条关于函数的性质映入他的眼帘：函数()f x 在区间I 有定义，且对1x ∀，2x I ∈，12x x ≠，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，则称函数()f x 在区间I 上“严格下凸”；若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，则称函数()f x 在区间I 上“严格上凸”．现已知函数()21e ln ln 212x f x x x x =----，()f x '为()f x 的导函数，下列说法正确的是（）注：e 为自然对数的底数，e 2.718≈，ln 20.693≈．A.()f x '有最小值，且最小值为整数B.存在常数01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()f x 在()00,x “严格下凸”，在()0,x +∞“严格上凸”C.f (x )恰有两个极值点D.f (x )恰有三个零点三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在(1-x )3+(1-x )4+(1-x )5+(1-x )6的展开式中，含x 3的项的系数是__________.（用数字作答）15.过双曲线14.“访､越､南”三个汉字的笔画数，经过适当调整能构成一个等差数列，则此等差数列的公差为________.22124y x -=的右支上一点P ，分别向⊙()221:54C x y ++=和⊙()222:51C x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22PMPN -的最小值为________.16.已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为为________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，,,a b c 分别是ABC 的内角,,A B C 所对的边，且sin sin sin sin b a cA CB C-=+-.（1）求角A 的大小；（2）若1sin sin 4B C =，2bc =，求边a .18.已知数列{}n a 满足*1111,,22n na a n a +==∈-N .（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）记1(1)n n n n b a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n S .19.如图①，在五边形PADCB 中，四边形ABCD 是梯形．24AB CD AB BC AB CD PAB ⊥==，，，∥△是等边三角形．将PAB 沿AB 翻折成如图②所示的四棱锥．（1）求证：PD DC ⊥；（2）若BC ⊥平面PAB ，且1BC =，求平面PBD 与平面PAD 所成二面角的正弦值．20.2023年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州举行．树人中学高一年级举办了“亚运在我心”乒乓球比赛活动．比赛采用21n -局n 胜制()*Nn ∈的比赛规则，即先赢下n 局比赛者最终获胜，已知每局比赛甲获胜的概率为p ，乙获胜的概率为1p -，比赛结束时，甲最终获胜的概率n P ．（1）若1,22p n ==，结束比赛时，比赛的局数为X ，求X 的分布列与数学期望；（2）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即32P P >，求p 的取值范围．21.设椭圆C 1：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率是12，已知A 是抛物线C 2：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，F 到抛物线C 2的准线l 的距离为12．（1）求C 1的方程及C 2的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 交C 1于点B （异于点A ），直线BQ 交x 轴于点D ，若△APD 的面积为62，求直线AP 的斜率．22.设函数()()2e axf x x =-．（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为30y x b -+=，求a ，b 的值；（2）若当0x >时，恒有()2f x x >--，求实数a 的取值范围；（3）设*n ∈N 时，求证：()()2222223521ln 112231n n n n +++⋅⋅⋅+<+++++．广州市执信中学2024届高三第二次调研数学试题答案1.A 【分析】先考查充分性，根据条件确定θ的终边位置，再考查必要性，有终边位置确定符号即可.【详解】充分性：因为cos 0θ>，所以θ为第一象限角或第四象限角或终边在x 轴的非负半轴，又sin 2sin cos 0θθθ2=<，则sin 0θ<，所以θ为第三象限角或第四象限角或终边在y 轴的非正半轴，综上知，θ为第四象限角，故充分性成立；必要性：若θ为第四象限角，则cos 0θ>且sin 0θ<，此时sin 2sin cos 0θθθ2=<，故必要性成立，故“cos 0θ>且sin 20θ<”是“θ为第四象限角”的充要条件，2.D 【分析】根据复数与向量坐标关系及向量减法求AB对应点，即可得对应复数.【详解】由题设(3,2),(2,3)OA OB ==- ，则(5,1)AB OB OA =-=-，所以向量AB对应的复数为5i -+.3.A 【分析】根据集合的补集运算得到R B ð，把()R B A A ⋃=ð转化为()R B A ⊆ð，最后利用包含关系得到答案.【详解】因为{}1B x x =≥，{}R |1B x x =<ð，因为()R B A A ⋃=ð，所以()R B A ⊆ð，所以1a ≥，4.D 【分析】利用*2121()n n n n a S n b T --=∈N 及等差数列的性质进行求解.【详解】,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前项和，故*2121()n n n n a S n b T --=∈N ，且3186151011b b b b b b +=+=+，故1010101120111131861511111010010112220141420278a a a a S a ab b b b b b b b b b T +=+===++++++⨯+=⨯-，5.C 【分析】先求出所有排列数，在求出满足条件两个“1”相邻的排列数，即可求出概率.【详解】根据已知条件：用“1,1,2,3,4,5”进行排列设置6位数字密码共有6622A 360A =种排列方法，其中两个“1”相邻的情况共有55A 120=种方法，所以两个“1”相邻的概率是12013603=.6.C 【分析】设出直线方程，将圆心代入直线，求解即可.【详解】由已知圆22(1)(2)5x y -++=，直线l 将圆平分，则直线l 经过圆心()1,2-，直线方程为y kx =，或()10x ya a a+=≠，将点()1,2-代入上式，解得2,1k a =-=-直线l 的方程为20x y +=或10x y ++=.7.B 【分析】寻找点N 的临界状态，再利用余弦定理、勾股定理计算，最后判断A M '的取值范围.【详解】连接MN ．因为A N '⊥平面,,BCM CN MN ⊂平面BCM ，所以A N CN '⊥，A N MN '⊥．在Rt A CN '△中，71,3A C AC CN ='==，所以3A N ='==．所以在Rt A MN '△中，3A M A N '='>．因为在ABC 中，222134AC BC AB +=+==，所以ABC 是直角三角形，且90,60,30ACB A B ∠=︒=︒=︒．因为73CN =，所以点N 在以点C 为圆心，73为半径的圆C 上．作CD AB ⊥于点D ，因为点C 到直线AB 的距离sin 2CD AC A ==，且123<<，所以圆C 与线段AB 交于两点，记为1N 和2N ，记圆C 与线段CB 的交点为3N ，如图所示．在1ACN △中，由余弦定理得222111cos 2AC AN CN A AC AN +-=⋅，代入数据，解得113AN =；同理，在2ACN △中，223AN =．因为2133A M AM =>>'，所以点M 在线段1NB 上．因为点N 在BCM 内部，所以点N 在弧23N N 上（不含点2N 和3N ）．设AM A M t ='=，当点N 在点2N 时，223MN MN t ==-．在Rt A MN '△中，222A M MN A N '+'=，即222239t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得12t =．当点N 在点3N 时，3MN MN =．在Rt A MN '△中，222A M MN A N '+'=，即22329t MN =+，则22329MN t =-．在3BMN △中，372,,303BM t BN B =-=-=︒，由余弦定理得2223332cos MN BM BN BM BN B =+-⋅⋅，代入数据，解得213425t -=<．因为随着t 的增大，点M 靠近点B ，线段MN 的长增大，点N 靠近点3N ，所以A M t '=的取值范围为1213,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．结合选项可知，A M '的值可能是35．【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面垂直的性质，再找到点N 的临界位置，再利用余弦定理求出其对应状态下的t 值，则得到其范围.8.A 【分析】由对称性可得()()g x f x -=-，从而分离参数得2ln x a x =-，令()2ln xh x x =-，利用导数求得函数()h x 最小值为12eh=-，从而得解.【详解】设()(),M x f x ，则()(),,N x f x --点N 在()g x 的图象上，()()g x f x ∴-=-，即()22ln sin ln sin ,x ax x x x a x+-=--∴=-.令()2ln xh x x =-，则()432ln 2ln 1x x x x h x x x --=-='，令()0h x '>，则x >()h x 递增，令()0h x '<，则0x <<，此时()h x 递减，()h x ∴最小值为11,2e2eha =-∴≥-.9.AC 【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，再利用正弦函数的图象与性质逐项判断即得.【详解】函数1π()sin 22sin(2)23f x x x x =-=-，A 正确；函数()f x 的最小正周期为π，B 错误；由ππ2π,Z 32x k k -=+∈，得函数()f x 的对称轴方程π5π(Z)212k x k =+∈，C 正确；函数()f x 的图象可由sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，而sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度得到的函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不能化成()f x ，D 错误.10.BCD 【分析】A ：取11,23x y =-=进行分析；B ：根据含一个量词的命题的否定方法得到结果；C ：先根据韦达定理求解出,a b 的值，然后可求20ax x b -+>的解集；D ：分析不等式23208kx kx +-<对一切x 都成立时k 的取值范围，然后作出判断.【详解】对于A ：当11,23x y =-=时，11231x y +=-+=，但111236x y +=-+=-，故A 错误；对于B ：修改量词，否定结论可得命题的否定为：“Z x ∀∈，20x ≤”，故B 正确；对于C ：因为20x ax b +-<的解集是()2,3-，所以2323a b -=-+⎧⎨-=-⨯⎩，所以16a b =-⎧⎨=⎩，所以22060ax x b x x -+>⇔+-<，解得()3,2x ∈-，故C 正确；对于D ：当0k =时，308-<恒成立，当0k ≠时，若不等式23208kx kx +-<对一切x 都成立，则203Δ4208k k k <⎧⎪⎨⎛⎫=-⨯⨯-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得()3,0k ∈-，综上，(]3,0k ∈-时，不等式23208kx kx +-<对一切x 都成立，所以“(]3,0k ∈-”是“不等式23208kx kx +-<对一切x 都成立”的充要条件，故D 正确；11.ABD 【分析】对A ，取BC 的中点D ，连接,MD AM ，结合奔驰定理可得到2MD MA =-，进而即可判断A ；对B ，设内切圆半径为r ，从而可用r 表示出,,A B C S S S ，再结合奔驰定理即可判断B ；对C ，设ABC 的外接圆半径为R ，根据圆的性质结合题意可得90,120,150BMC AMC AMB ∠=︒∠=︒∠=︒，从而可用R 表示出,,A B C S S S ，进而即可判断C ；对D ，延长AM 交BC 于点D ，延长BO 交AC 于点F ，延长CO 交AB 于点E ，根据题意结合奔驰定理可得到4ABC A S S = ，3ABC BSS = ，从而可设,MD x MF y ==，则3,2AM x BM y ==，代入即可求解cos AMB ∠，进而即可判断D ．【详解】对于A ，取BC 的中点D ，连接,MD AM ，由::1:1:1A B C S S S =，则0MA MB MC ++= ，所以2MD MB MC MA =+=-，所以A ，M ，D 三点共线，且23A D M A = ，设E ，F 分别为AB ，AC 的中点，同理可得23CM CE = ，23BM BF =，所以M 为AMC 的重心，故A正确；对于B ，由M 为ABC 的内心，则可设内切圆半径为r ，则有111,,222A B C S BC r S AC r S AB r =⋅=⋅=⋅，所以1110222r BC MA r AC MB r AB MC ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，即0BC MA AC MB AB MC ⋅+⋅+⋅=，故B正确；对于C ，由M 为ABC 的外心，则可设ABC 的外接圆半径为R ，又45,60BAC ABC ∠=︒∠=︒，则有290,2120,2150BMC BAC AMC ABC AMB ACB ∠=∠=︒∠=∠=︒∠=∠=︒，所以222111sin sin 90222A S R BMC R R ︒=⋅∠=⋅=，222113sin sin120224B S R AMC R R ︒=⋅∠=⋅=，222111sin sin150224C S R AMB R R ︒=⋅∠=⋅=，所以::2:1A B C S S S =，故C错误；对于D ，如图，延长AM 交BC 于点D ，延长BO 交AC 于点F ，延长CO 交AB 于点E，由M 为ABC 的垂心，3450MA MB MC ++= ，则::3:4:5A B C S S S =，又ABC A B C S S S S =++ ，则4ABC A S S = ，3ABC BS S = ，设,MD x MF y ==，则3,2AM x BM y ==，所以cos cos 23x y BMD AMF y x∠==∠=，即2232x y =，所以cos 6BMD ∠=，所以()cos cos π6AMB BMD ∠=-∠=-，故D 正确.【点睛】关键点睛：解答D 选项的关键是通过做辅助线（延长AM 交BC 于点D ，延长BO 交AC 于点F ，延长CO 交AB 于点E ），根据题意，结合奔驰定理得到4ABC A S S = ，3ABC BS S = ，再设,MD x MF y ==，得到3,2AM x BM y ==，进而即可求解cos AMB ∠．12.ACD 【分析】对于A ，求导后将ln x x +看成一个整体，利用e 10x x --≥进行放缩即可；对于B,将“严格上凸”和“严格下凸”转化为导函数的单调性，二次求导后即可判断；对于C ，根据导函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断；对于D ，根据函数的单调性，结合零点零点存在定理，即可判断；【详解】()21e ln ln 212xf x x x x =----，()ln ln 1e ln 12e ln 12e 2x x x x x x x x x x f x x x x x+------'=---==，设()e 1x g x x =--，易得：()()e 100xg x x g =--≥=，所以()ln e ln 12ln 1ln 121x x x x x x x x f x x x+---++---'=≥=-，当ln 0x x +=时，等号成立，故A 对;1x ∀，2x I ∈，12x x ≠，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭，等价于切线一直在割线下方，即()f x '单调递增.即函数()f x 在区间I 上“严格下凸”；1x ∀，2x I ∈，12x x ≠，若恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，等价于切线一直在割线上方，即()f x '单调递减.即函数()f x 在区间I 上“严格上凸”.设()()ln 1e 2x x h x f x x x'==---，()22221ln 1e ln e x xx x x h x x x x -+'=-+=，易得2e ln x x x +在()0,∞+为增函数.112211e 4ln e 4ln 240.693022h ⎛⎫'=+=-≈⨯< ⎪⎝⎭，()1e 0h '=>，所以存在常数01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()00h x '=，使得()h x '在()00,x 上，()0h x '<，()h x 单调递减，即()f x '单调递减,()f x 在()00,x “严格上凸”；在()0,x +∞上，()0h x '>，()h x 单调递增，即()f x '单调递增,在()0,x +∞“严格下凸”.故B 错误；由B 知，()f x '在()00,x 上单调递减,在()0,x +∞上，单调递增()1e 30f '=-<，()000e ln 12ln 1lim lim lim 0x x x x x x x x f x x x →→→⎛⎫-----⎛⎫'==> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22ln 21152e 2 2.7180.69302222f '=---≈-->，所以()f x 恰有两个极值点，故C 正确；由C 知，()f x 恰有两个极值点，设为12,x x ，10202x x x <<<<，且01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以()f x 在()10,x 和()2,x +∞单调递减，()12,x x 单调递增()220000111lim lim e ln ln 21lim ln ln lim ln ln 10222x x x x x f x x x x x x x x →→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----=--=-+< ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122211111e ln ln 20.6930.6932022222f ⎛⎫=---≈⨯+-> ⎪⎝⎭，()1e 3<0f =-，()2222112e ln 2ln 25 2.7180.6930.6935022f =---≈--->，所以函数()f x 在()110,,,1,1,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭各有一个零点，故D 正确.13.【分析】根据二项式展开式的通项公式可直接写出含3x 项的系数，求得答案.【详解】因为在3456(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-，所以含3x 的项为：()333333456C C C C ()x +++-，所以含3x 的项的系数是()33333456C C C C 35-+++=-.故答案为：35-14.【分析】根据“访､越､南”三个汉字的笔画数，调整后构成等差数列，求得公差即可.【详解】由题意知“访､越､南”三个汉字的笔画数分别为6,12,9，又因为三个汉字的笔画数调整顺序能构成一个等差数列，故这三个数组成的等差数列可以为6,9,12或12,9,6，因此3d =±.故答案为：3±.15.【分析】根据双曲线和圆的方程可确定双曲线焦点与圆的圆心重合，利用勾股定理表示出切线长，将问题转化为()()221212||3PM PN PC PC PC PC -=+--的最小值问题，利用双曲线定义和三角形三边关系可求得最小值.【详解】由22124y x -=，得212425c =+=，所以双曲线的焦点坐标为(5,0)±，由圆的方程知：圆1C 圆心的坐标为1(5,0)C -，半径12r =，圆2C 圆心的坐标为2(5,0)C ，半径11r =，,PM PN 分别为两圆切线，22222222111222|4,|1PM PC r PC PN PC r PC ∴=-=-=-=-，()()2222121212||33PM PN PC PC PC PC PC PC ∴-=--=+--，P 为双曲线右支上的点，且双曲线焦点为1212,,2C C PC PC ∴-=，又121210PC PC C C +≥=（当为双曲线右顶点时取等号），()()221212||3210317PM PN PC PC PC PC ∴-=+--≥⨯-=，即22PM PN -的最小值为17.故答案为：17.16.【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆的半径，找到球心，求得半径，再由球的体积公式可得结果．【详解】由题意设三棱台为111ABC A B C -，如图，上底面111A B C所在平面截球所得圆的半径是1123332O A =⨯=，（1O 为上底面截面圆的圆心）下底面ABC所在平面截球所得圆的半径是123432O A =⨯⨯=，（2O 为下底面截面圆的圆心）由正三棱台的性质可知，其外接球的球心O 在直线12O O 上，设球的半径为R ，当O 在线段12O O1=，无解；当O 在12O O1=，解得225R =，得5R =，因此球的体积是34500ππ33V R ==.故答案为：500π3.【点睛】易错点睛：本题求球的半径时，容易只考虑O 在线段12O O 上，从而无法求解.17.【分析】（1）由题设和正弦定理化角为边，利用余弦定理即可求得角A ；（2）由题设条件得到8sin sin bc B C =，利用正弦定理替换即可得到边a 长度.【小问1详解】由sin sin sin sin b a c A C B C -=+-和正弦定理可得：b a c a c b c-=+-，整理得：222b c a bc +-=，由余弦定理得：2221cos 22b c a A bc +-==，因0180A << ，故得：60A = .【小问2详解】由1sin sin 4B C =，2bc =可得：281sin sin 4bc B C ==，又由正弦定理：sin sin sin b c a B C A ==可得：2()8sin sin sin a bc A B C==，由（1）知60A =，代入解得：a =.18.【分析】（1）由题意构造出11111n na a +---形式即可得；（2）借助裂项相消法求和即可得.【小问1详解】因为1111122n n n n a a a a +--=-=--，且11102a -=≠，所以12111111n n n n a a a a +-==+---，即111111n na a +-=--，又1121a =-，所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，所以111n n a =+-，所以1n n a n =+；【小问2详解】由（1）知1n n a n =+，所以1111(1)(1)11n n n n n b n n n n ++⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以12n nS b b b =+++ 111111111(1)223341n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1(1)11n n +-=++，故1(1)11n n S n +-=++.19.【分析】（1）由已知得到四边形BCDO 为平行四边形，得到OD CD ⊥，再用PAB 是等边三角形，得到CD OP ⊥，从而证明CD ⊥平面OPD ，得出结果；（2）建系，利用空间向量法求二面角，先求出平面PAD 的法向量和平面PBD 的法向量，代入公式求解即可.【小问1详解】证明：取AB 的中点O ，连接OD OP ，．在梯形ABCD 中，因为24AB CD AB CD ==，∥，所以OB CD ∥，且OB CD =，所以四边形BCDO 为平行四边形．又AB BC ⊥，所以OD CD ⊥．因为PAB 是等边三角形，所以AB OP ⊥，所以CD OP ⊥．又OP OD O OP OD =⊂ ，，平面OPD ，所以CD ⊥平面OPD ．又PD ⊂平面OPD ，所以PD DC ⊥．【小问2详解】因为BC ⊥平面PAB OP ⊂，平面PAB ，所以OP BC ⊥，由（1）知AB OP AB BC ⊥⊂，、平面ABCD AB BC B = ，，所以OP ⊥平面ABCD ．由（1）可知OD CD ⊥．又AB CD ∥，所以OD AB ⊥，所以以O 为坐标原点，OD OB OP ，，所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，所以()()()(1,0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,D A B P -，则()()(1,2,0,1,2,0,1,0,AD BD PD ==-=- ，设平面PAD 的法向量(),,n x y z =r，由0,0,AD n PD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得200x y x +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取1z =，得平面PAD的一个法向量()1n = ．设平面PBD 的法向量(),,n x y z =r ，由0,0,BD n PD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得200x y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取1z =，得平面PBD的一个法向量()2n = ，所以1212315cos ,448n n -+==⨯ ，所以平面PBD 与平面PAD所成二面角的正弦值为398=20.【分析】（1）先写出离散型随机变量的分布列，再求出数学期望即可；（2）先根据已知不等式列式求解，再根据单调性定义作差证明单调递增说明结论.【小问1详解】1,22p n ==，即采用3局2胜制，X 所有可能值为2,3，22111(2)((222P X ==+=，12122211111(3)C ()()C ()()22222P X ==+=，X 的分布列如下，X23P 1212所以115()23222E X =⨯+⨯=.【小问2详解】采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用ξ表示3局比赛中甲胜的局数，则(3,)B p ξ:，甲最终获胜的概率为()()()()2233223323C 1C 32P P P p p p p p ξξ==+==-+=-，采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用η表示5局比赛中甲胜的局数，则(5,)B p η ，甲最终获胜的概率为()()()()()23344553555345C 1C 1C P P P P p p p p p ξξξ==+=+==-+-+32232[10(1)5(1)](61510)p p p p p p p p =-+-+=-+，则()()322326151032P P p p p p p -=-+--=2323(2541)p p p p -+-22223(1)(231)3(1)(21)0p p p p p p p =--+=-->，得112p <<.21.【分析】（1）由题意，根据椭圆和双曲线的定义和性质列方程组求出a ，b ，p 的值，即可得出方程；（2）设AP 的方程为1x my =+，联立方程组得出B ，P ，Q 三点坐标，从而得出直线BQ 的方程，求出D 点坐标，根据三角形的面积解出m 即可得出答案.【小问1详解】设F 点的坐标为(),0c -，因为椭圆的离心率为12，所以12c a =.又A 为抛物线2C ：22y px =（0p >）的焦点，F 到抛物线2C 的准线l 的距离为12，所以2p a =，12a c -=，解得：1a =，12c =，2p =，此时22234b a c =-=.所以椭圆1C 的方程为：22413y x +=，抛物线2C 的方程为：24y x =.【小问2详解】如图：不妨设直线AP 的方程为：1x my =+（0m ≠）联立11x my x =+⎧⎨=-⎩解得：21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，可得21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.联立221413x my y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理得：()223460m y my ++=.解得：0y =或2634m y m =-+，所以222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭,可得直线BQ 的方程为：()222623*********m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令0y =解得：222332m x m -=+，所以2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭可得222223613232m m AD m m -=-=++.因为APD 的面积为62，所以221622322m m m ⨯⨯=+⇒63m =⇒63m =±.所以直线AP的斜率：12k m ==±.22.【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式求解；（2）构建()()2g x f x x =++，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，结合端点效应分析求解；（3）由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20ax x x -++>，令1a =，12e x t =，可得221ln 1t t t -<+，再令1n t n +=，可得()()2221ln 1ln 1n n n n n +<+-++，利用累加法分析证明.【小问1详解】因为()()2e ax f x x =-，则()()e 2e ax axf x a x =+-'，则()02f =-，()012f a '=-，即切点坐标为()0,2-，斜率12k a =-，由题意可得：2300123b a --⨯+=⎧⎨-=⎩，解得1,2a b =-=.【小问2详解】令()()()22e 2axg x f x x x x =++=-++，则()()()e 2e 121e 1ax ax axg x a x ax a =+-+=-++'，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，则()01210g a =+'-≥，解得1a ≤，若1a ≤，则有：①当a<0时，()()()()242e 22e e 2e 1e 22ax ax ax ax ax x g x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫=-++=++=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为0x >，可知()2e0ax x +>，令()41e 2ax h x x -=-++，因为41,e 2ax y y x -=-=+在()0,∞+内单调递增，可得()h x 在()0,∞+内单调递增，则()()00h x h >=，即()()()2e 0axg x x h x =+>，符合题意；②当0a =时，则()2220g x x x x =-++=>在()0,∞+内恒成立，符合题意；③当01a <≤时，令()()x g x ϕ='，则()()()e 21e 22e ax ax ax x a a ax a a ax a ϕ=+-+=-+'，因为0x >，则22220ax a a -+>-+≥，e 0ax >，可知()()22e 0ax x a ax a ϕ+'=->在()0,∞+内恒成立，则()x ϕ在()0,∞+内单调递增，可得()()0220x a ϕϕ>=-≥，则()g x 在()0,∞+内单调递增，可得()()00g x ϕ>=，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],1-∞.【小问3详解】由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20axx x -++>，令1a =，可得()2e 20xx x -++>，令12e 1x t =>，则2e ,2ln x t x t ==，则()22ln 22ln 20t t t -++>，整理得221ln 1t t t -<+，21令*11,n t n n +=>∈N ，则22111ln 11n n n n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭<+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得()()2221ln 1ln 1n n n n n +<+-++，则()()2222223521ln 2ln1,ln 3ln 2,,ln 1ln 12231n n n n n +<-<-⋅⋅⋅<+-++++，所以()()()2222223521ln 1ln1ln 112231n n n n n +++⋅⋅⋅+<+-=+++++.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．。
高三数学月月考试题理含解析试题
【名师点睛】比拟幂或者对数值的大小,假设幂的底数一样或者对数的底数一样,通常利用指数函数或者对数函数的单调性进展比拟；假设底数不同,可考虑利用中间量进展比拟.
7.某几何体的三视图如下图，且该几何体的体积是 ，那么正〔主〕视图的面积等于〔〕．
A. B. C. D.
【答案】C
方程 有两个根 ， ，且 ， ，
由二次方程根的分布，那么有 ， ，
那么 ，
点 表示的平面区域为 ，画出二元一次不等式组：
表示的平面区域，
如下图：
因为直线 ， 的交点坐标为 ，
所以要使函数 ， 的图象上存在区域 内的点，
那么必须满足 ，
所以 ，解得 ．
又因为 ，
的两个极值点分别为 ， ，且 ， ．点 表示的平面区域为 ，假设函数 的图象上存在区域 内的点，那么实数 的取值范围是〔〕．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意 ， ，可得 ， ，即 表示的平面区域 ，根据D所确定的区域及与 的关系，可得 ，结合条件 可得结果。
【详解】解： ，依题意知，
【解析】
【分析】
根据三视图复原出几何体为四棱锥，由题意体积为2，可求x的值，代入面积公式即可求解。
【详解】解：该几何体为四棱锥，
其底面为直角梯形，面积 ，
那么该几何体的体积 ，
故 ，那么主视图的面积 ，应选C。
【点睛】此题考察由三视图复原几何体原图，棱锥体积公式，考察学生对根底知识的掌握及计算才能，属根底题。
的值的程序图，其中判断框内应填入的是〔〕．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，确定跳出循环时的i值，从而得到判断框内应填的条件。
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广州市执信中学2021届高三年级第二次月考
数 学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，其中第1题至第10题为单项选择题，
在给出的四个选项中，只有一项符合要求；第11题和第12题为多项选择题，在给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）
1．设集合}22
1
|{<<-
=x x A ，}1|{2≤=x x B ，则B A =( ) A ．}21|{<≤-x x B ．}12
1
|{≤<-x x C ．}2|{<x x
D ．}21|{<≤x x
2．复数i 311
-的虚部是( )
A ．103-
B ．10
1- C ．101
D ．
10
3
3．命题“对任意R x ∈都有12
≥x ”的否定是( ) A ．对任意R x ∈，都有12
<x
B ．存在R x ∈0，使得12
0<x
C ．存在R x ∈0，使得12
0≥x
D ．不存在R x ∈，使得12
<x
4．己知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b
y a x C 的离心率为25
，则C 的渐近线方程为( )
A ．x y 41±
=
B ．x y 31±=
C ．x y 21
±=
D ．x y ±=
5．函数x
x x f |
|ln )(=的图象大致形状是( )
6．己知数列}{n a 满足3
4
,0321-==++a a a n n ，则}{n a 的前10项和等于( ) A ．)3
1(610
---
B ．
)31(9
1
10-- C ．)3
1(310
--
D ．)3
1(310
-+
7．设R x ∈，则“052
<-x x ”是“1|1|<-x ”的( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．4
2)1)(21(x x ++的展开式中3
x 的系数为( )
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
9．4
14=a ，12log 5=b ，9
1
log 3
1
=c ，则( ) A ．c a b <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．b a c <<
10．函数)(x f 的定义域为R ，且)3()(-=x f x f ，当02<≤-x 时，2
)1()(+=x x f ；
当10<≤x 时，12)(+-=x x f ，则)2021()3()2()1(f f f f ++++ =( ) A ．671
B ．673
C ．1345
D ．1347
11．（多选）己知函数x x x x f cos sin )(-=，现给出如下结论，其中正确结论个数为( )
A ．)(x f 是奇函数
B ．0是)(x f 的极值点
C ．)(x f 在区间)2
,2(π
π-
上有且仅有三个零点
D ．)(x f 的值域为R
12．（多选）如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，⊥H A 1平面11D AB ，垂足为H ，则
下面结论正确的是( )
A ．直线H A 1与该正方体各棱所成角相等
B ．直线H A 1与该正方体各面所成角相等
C ．垂直于直线H A 1的平面截该正方体，所得截面可能为五边形
D ．过直线H A 1的平面截该正方体所得截面为平行四边形
二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13．己知向量b a ,满足5||=a ，6||=b ，6-=⋅b a ，则>+<b a a ,cos = . 14．若函数)(x f 是定义R 上的周期为2的奇函数，当10<<x 时，x
x f 4)(=，则
)2()2
5
(f f +-= .
15．己知α为锐角，且3
1
)6cos(
=+π
α，则αcos = . 16．己知⎪⎩⎪⎨⎧>≤=a
x x a
x x x f ,,)(23
，若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的
取值范围是 .
三、解答题（本大题6小题，共70分） 17．（本小题10分）
在ABC ∆中，11=+b a ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求： (1)a 的值：
(2)C sin 和ABC ∆的面积.
条件①：;7
1cos ,7-==A c 条件②：.16
9cos ,81cos ==
B A 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题12分）
在公比为2的等比数列}{n a 中，4,,432-a a a 成等差数列． (1)求数列}{n a 的通项公式； (2)若n n a n b 2log )1(+=，求数列⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+224n b n 的前n 项和n T .
19．（本题满分12分）
如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，PD PA ⊥，PD PA =，
AD AB ⊥，1=AB ，2=AD ，.5==CD AC
(1)求证：⊥PD 平面PAB ；
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值.。