立体几何求法向量

一、平面法向量的概念

向量与平面垂直 如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。

平面的法向量 如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关 立体几何问题。求解平面法向量的常用方法如下： 1. 方程法：

利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，师生容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。

例如;已知向量a 、b 是平面α内的两个不共线的向量，()3,2,1=a ，)1,1,2(-=b ，求平面

α的一个法向量n 的坐标。

解：设),,(z y x n =，则由a n ⊥，b n ⊥得

⎪⎩⎪⎨

⎧=⋅=⋅0

b n a n 即⎩⎨⎧=-+=++02032z y x z y x 不妨设1=z ，得⎩⎨⎧=+-=+1233y x y x ， ⎪⎩

⎪⎨

⎧

-==3735y x 取)1,37,35(-=n 2．大学行列式求法向量

111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，11111

1

222222

(

,,)y z x z x y a b y z x z x y ⨯=-， 其中行列式

1

1

12212

2

y z y z y z y z =-，法向量取与向量a b ⨯共线的即可。 用这一方法解答上面的例如，先把平面内的两个向量坐标对齐写⎪⎩⎪⎨

⎧-==)

1,1,2()

3,2,1(b a

蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算531)1(2-=⨯--⨯就是向量a b ⨯的x 坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算732)1(1-=⨯--⨯，取7-的相反数7作为a b ⨯的y 坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算

32211-=⨯-⨯作为z 坐标，所以)3,7,5(--=⨯b a ，可以取)3,7,5(--=n ，它与前面方

图

1

图 2

程法求得的)1,3

7

,35(-

=n 是共线向量。 行列式求法向量属于高等数学中空间解析几何的内容，学生难以在现有的知识基础上真正理解，但由于这是一个死板的公式，操作步骤清晰，学生容易记住，开始觉得不习惯，多练几次后，具有速度快、结果准的优点，不妨一试。 二、平面法向量的三个常用公式

公式1 设向量0n 是平面α的单位法向量，点B 是平面α外一定点，点A 是α内任意一点，则点B 到平面α的距离0d AB n =⋅。 证明：如图1，过B 作BO 垂直平面α于O ，在 平面α上任取一点A ，则ABO ∠为AB 与n 的夹 角，设为θ。

在Rt ABO ∆中，BO d =， 得0cos AB n AB n d AB AB AB n n

AB n

θ⋅⋅=⋅=⋅

==⋅⋅。

利用公式1求点到平面的距离比用传统的几何方法求距离简单得多，它省去了作图、证明等推理论证，直接通过向量运算得到正确的结果。 公式2 设AB 是平面α的斜线，BO 是平面α的垂线，AB 与平面α所成的角BAO θ∠=, 向量AB 与n 的夹角ABO ψ∠=（见图1），则sin cos AB n AB n

θψ⋅==⋅。（证略）

公式3 如图2，设向量1n 与2n 分别是二面角

l αβ--中的两个半平面α，β的法向量，

则向量1n 与2n 的夹角12,n n <>的大小就是 所求二面角或其补角的大小。（证略）

由于法向量的多样性，二面角的两个半平面的法向量1n 与2n 的夹角可能等于所求二面角的平面角，也可能等于二面角的平面角的补角， 如何来确定两法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角呢？一靠经验：通过题目估计它是钝角还是锐角，同类相等，异类互补；二用半平面旋转法：把二面角的一个半平面绕棱l 按照同一个方向旋转到与另一个半平面重合时，若两个半平面的法向量的方向相同，则相等，若方向相反，则互补。

以上介绍了平面的法向量及其几个公式，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可 弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向量接题将在数学解题中起到越来越大的作用。