高代第六章自测题答案
习题答案(第六章)
1、R n 中分量满足下列条件的全体向量1(,,)n x x 的集合，是否构成R n的子空间？①10n x x ++= ；②120n x x x ⋅⋅⋅= ；③2211n x x ++= 。
解：①是，设(){}111,,|0nnV x x x x=++= ，显然V 1≠∅，1,,,a b F V ξη∀∈∀∈，设1212(,,),(,,)x x y y ξη== ，则()()()1111,,,,,,n n n n a b a x x b y y ax by ax by ξη+=+=++ ，而 1111()()()()000n n n n ax by ax by a x x b y y a b ++++=+++++=+=所以1a b V ξη+∈，所以V 1是R n 的子空间；②不是，取(1,0,,0),(0,1,,1)αβ== ，则(){}11,,,|0nnV x x x xαβ∈=⋅⋅= ，但(1,1,,1)V αβ+=∉ ，所以V 不是R n 的子空间；③不是，取(1,0,,0),(0,1,0,,0)αβ== ，则(){}2211,,,|1nn V x x xx αβ∈=++= ，但(1,1,0,,0)V αβ+=∉ ，所以V 不是R n 的子空间。
2、子集{}1|,,V X AX XB A B n ==为已知的阶矩阵是否是()n M F 的子集？解：是()n M F 的子集；证：显然1V ≠∅，1,,,X Y V a b F ∀∈∈，有()()A aX bY aAX bAY aXB bYB aX bY B +=+=+=+，所以1aX bY V +∈，所以1V 是()n M F 的子集。
3、设12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==-，求含12,αα的R 4的一组基。
解：因为101010101010112001100010⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 取34(0,0,1,0),(0,0,0,1)αα==，所以{}1234,,,αααα为R 4的一组基。
(北师大版)高中数学必修第一册第六章综合测试02(含答案)
第六章综合测试一、单选题1.下列说法错误的是（）A.在统计里，最常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大2.2019年高考某题的得分情况如下：其中众数是（）A.37.0%B.20.2%C.0分D.4分3.为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高为1.60m；从南方抽取了200个男孩，平均身高为1.50m，由此可推断我国13岁的男孩平均身高为（）A.1.54mB.1.55mC.1.56mD.1.57m4.某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层随机抽样的方法抽取样本.某中学共有学生2 000名，从中抽取了一个容量为200的样本，其中男生103名，则该中学共有女生（）A.1 030名B.97名C.950名D.970名5.如图是某超市一年中各月份的收入与支出（单位：万元）情况的条形统计图.已知利润为收入与支出的差，利润收入支出，则下列说法正确的是（）即=−A.利润最高的月份是2月份，且2月份的利润为40万元B.利润最低的月份是5月份，且5月份的利润为10万元C.收入最少的月份的利润也最少D.收入最少的月份的支出也最少6.从某地区年龄在25～55岁的人员中，随机抽取100人，了解他们对2020年两会的热点问题的看法，绘制出频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A.抽取的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为20B.抽取的100人中，年龄在35～45岁的人数大约为30C.抽取的100人中，年龄在40～50岁的人数大约为40D.抽取的100人中，年龄在35～50岁的人数大约为507.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75.后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得了80分却记成了50分，乙实际得了70分却记成了100分，则更正后的平均分和方差分别为（）A.70，75B.70，50C.70，1.04D.60，25二、多选题8.以下叙述正确的是（）A.极差与方差都刻画数据的离散程度B.方差是没有单位的统计量C.标准差比较小时，数据比较分散D.只有两个数据时，极差是标准差的2倍9.为预测2020年欧洲杯足球赛比赛结果，某博彩公司对甲乙两国国家队一年比赛情况作了统计：甲队平均每场进球数是3.1，全年进球数的标准差为3.6；乙队平均每场进球数是1.6，全年进球数的标准差为0.2.下列说法中，正确的有（）A.甲队的技术比乙队好B.乙队发挥比甲队稳定C.甲队几乎每场都进球D.甲队的表现时好时坏10.如图是某公司2019年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（）A.2019年3月的销售任务是400台B.2019年月销售任务的平均值不超过600台C.2019年第一季度总销量为900台D.2019年月销量最大的是6月份11.如图1为某省2019年1～4月份快递业务量统计图，图2为该省2019年1～4月份快递业务收入统计图，对统计图理解正确的是（）A.2019年1～4月份快递业务量3月份最高，2月份最低，差值接近2 000万件B.2019年1～4月份快递业务量同比增长率均超过50%，在3月份最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关C.从两图中看，业务量与业务收入变化基本一致D.从1～4月份来看，业务量与业务收入有波动，但整体保持高速增长三、填空题12.某产品售后服务中心随机选取了10个工作日，分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量（单位：次）：63 38 25 42 56 48 53 39 28 47则上述数据的50%分位数为________，中位数与极差之和为________ .13.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为________.14.一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x ，5，10，其中5x ≠，已知该组数据的中位数是众数的32倍，则该组数据的标准差为________.15.某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[)90100，后画出如图所示的部分频率分布直方图，则物理成绩低于50分的学生人数与及格的学生的物理平均成绩分别为________.四、解答题16.（10分）2019年春节前，有超过20万名来自广西、四川的外来务工人员选择驾乘摩托车沿321国道返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个休息站，让过往的摩托车驾驶人员有一个停车休息的场所.交警小林在某休息站连续15天对进站休息的驾驶人员省籍询问的记录中，随机取了5天的询问结果作出如图折线图：（1）交警小林抽取5天进站休息的驾驶人员的省籍询问记录采用的是什么抽样方法？（2）用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5名，则四川籍的应抽取几名？17.（12分）某市有210名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了60名学生的答卷，成绩如表：（1）求样本的平均成绩和标准差（精确到0.01分）；（2）若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛？18.（12分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B 两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：P C的估计值为0.70.记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值.（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.19.（12分）某学校高一（1）、（2）班各有49名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如表.（1）请你对下面的一段话给予简要分析.高一（1）班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均分79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了！”（2）请你根据表中的数据，对这两个班的数学测验情况进行简要分析，并提出建议.20.（12分）某地区有居民600户，其中普通家庭450户、高收入家庭150户.为了调查该地区居民奶制品月消费支出，决定采用分层随机抽样的方法，按普通家庭、高收入家庭进行分层，得到普通家庭、高收入家庭的奶制品平均月消费支出分别为40元和90元.（1）如果在各层中按比例分配样本，总样本量为60，那么在普通家庭、高收入家庭中分别抽取了多少户？在这种情况下，请估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出.（2）如果从普通家庭、高收入家庭中抽取的样本量分别为30和30，那么在这种情况下，抽取的这60户居民奶制品的平均月消费支出是多少？用这60户居民奶制品的平均月消费支出估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出合理吗？如果不合理，那该怎样估计更合理？21.（12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.n=，求y与x的函数解析式；（1）若19（2）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？第六章综合测试 答案解析一、 1.【答案】B【解析】平均数不大于最大值，不小于最小值. 2.【答案】C【解析】众数出现的频率最大. 3.【答案】C【解析】我国13岁的男孩平均身高为()()()300 1.60200 1.50300200 1.56m ⨯+⨯÷+=. 4.【答案】D【解析】由题意，知该中学共有女生2001032000970200−⨯=（名）.5.【答案】D【解析】利润最高的月份是3月份和10月份，且2月份的利润为403010−=万元，故A 错误；利润最低的月份是8月份，且8月份的利润为5万元，故B 错误；收入最少的月份是5月份，但5月份的支出也最少，且利润是10万元，故5月份的利润不是最少，故C 错误，D 正确. 6.【答案】A【解析】根据频率分布直方图的性质得()0.010.050.060.020.0251a +++++⨯=，解得0.04a =，所以抽取的100人中，年龄在40～45岁的人数大约为0.04510020⨯⨯=，所以A 正确；年龄在35～45岁的人数大约为()0.060.04510050+⨯⨯=，所以B 不正确；年龄在40～50岁的人数大约为()0.040.02510030+⨯⨯=，所以C 不正确；年龄在35～50岁的人数大约为()0.060.040.02510060++⨯⨯=，所以D 不正确.故选A. 7.【答案】B【解析】注意到平均数没有变化，只是方差变动.更正前，()()22215070*********s ⎡⎤=⨯+−+−+=⎣⎦……，更正后，()()2221807070705048s ⎡⎤'=⨯+−+−+=⎣⎦…….二、8.【答案】AD【解析】定义可知A 正确，只有两个数据时，极差等于21x x −，标准差等于2112x x −.故D 正确.BC 错误. 9.【答案】ABD【解析】因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，A 正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，B 也正确；尽管甲队平均每场进球数为3.1个，但全年进球数的标准差大，表现呈时好时坏状况，不能判断每场都进球，C 不正确，D 正确. 10.【答案】CD【解析】由题图得3月份的销售任务是400台，所以A 正确；由题图得2019年月销售任务超过600台的只有3个月，则平均值不超过600台，所以B 正确；由题图得第一季度的总销量为30050%200100%400120%830⨯+⨯+⨯=（台），故C 不正确；由题图得销量最大的月份是5月份，为800台，故D 不正确. 11.【答案】ABC【解析】由题图1可知快递业务量3月份为4 397万件，2月份为2 411万件，差值为439724111986−=万件，故A 正确；由题图1可知B 也正确；对于C ，由两图易知业务量从高到低变化是3月→4月→1月→2月，业务收入从高到低变化是3月→4月→1月→2月，变化基本一致，所以C 正确;对于D ，由题图知业务收入2月比1月减少，4月比3月减少，整体不具备高速增长之说，所以D 不正确. 三、12.【答案】44.5 82.5【解析】把这组数据从小到大排序：25，28，38，39，42，47，48，53，56，63，则1050%5⨯=. 所以50%分位数为42478944.522+== .数据的50%分位数即中位数，极差为632538−=，它们的和为44.53882.5+=.13.【答案】137【解析】由题图可知该校女教师的人数为()11070%150160%7760137⨯+⨯−=+=. 14.【答案】3【解析】由题意，可得该组数据的众数为2，所以232322x +=⨯=，解得4x =，故该组数据的平均数为122451046+++++=.所以该组数据的方差为()()()()()()2222221142424445410496⎡⎤⨯−+−+−+−+−+−=⎣⎦，即标准差为3.15.【答案】6，77.7【解析】因为各组的频率和等于 1.所以由频率分布直方图得低于50分的频率为()110.01520.030.0250.005100.1f =−⨯+++⨯=.又抽出的学生共有60名，所以成绩低于50分的人数为600.16⨯=.由题意，得[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，四组的人数分别为9，18，15，3.又四组的组中值分别为65，75，85，95，所以及格的学生的物理平均成绩约为96518751585395349577.74545⨯+⨯+⨯+⨯=≈.四、16.【答案】（1）根据题意，因为总体与样本量都较小，所以交警小林可以采用抽签法.（2）从题图中可知，被询问了省籍的驾驶人员中广西籍的有520252030100++++=（人），四川籍的有151055540++++=（人）， 设四川籍的驾驶人员应抽取x 名，依题意得510040x=，解得2x =，即四川籍的应抽取2名. 17.【答案】（1）()1465156217128393 6.0060x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()()()()22222221646155621661276386396 1.560s ⎡⎤=⨯⨯−+⨯−+⨯−+⨯−+⨯−+⨯−=⎣⎦，所以1.22s ≈，故样本的平均成绩为6.00分，标准差约为1.22分.（2）在60名选手中，有123318++=（名）学生预赛成绩在7分或7分以上，所以估计210人中有182106360⨯=（名）学生的预赛成绩在7分或7分以上，故大约有63名学生可以进入复赛. 18.【答案】（1）由已知得0.700.20.15a =++，故0.35a =. 10.050.150.700.10b =−−−=.（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.【答案】（1）由于（1）班49名学生数学测验成绩的中位数是87，则85分排在全班第25名之后，所以从位次上看，不能说85分是上游，该成绩应该属于中下游.但是我们不能以位次来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这段时间的学习内容掌握得较好，从掌握学习的内容上讲，也可以说属于上游. （2）（1）班成绩的中位数是87分，说明高于87分（含87分）的人数占一半或一半以上，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分也很多，两极分化严重，建议加强对学习困难的学生的帮助.（2）班的中位数和平均数都是79分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的学生少，学习优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率.20.【答案】（1）设在普通家庭、高收入家庭中分别抽取了m ，n 户，则60450150600m n ==，解得45m =，15n =.样本平均数4515409052.56060x =⨯+⨯=（元）.在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数x 估计总体平均数X ，即在普通家庭、高收入家庭中分别抽取了45户、15户，估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出为52.5元.（2）抽取的这60户居民奶制品的平均月消费支出是30304090656060⨯+⨯=（元），因为在该地区居民中，普通家庭户数是高收入家庭户数的3倍，而抽取的普通家庭的样本量与高收入家庭的样本量相等，所以用这60户居民奶制品的平均月消费支出估计该地区全体居民奶制品的平均月消费支出不合理.应该用抽取的普通家庭奶制品的平均月消费支出40元估计该地区全体普通家庭的平均月消费支出，用抽取的高收入家庭的平均月消费支出90元估计该地区全体高收入家庭的平均月消费支出，得到该地区全体居民奶制品的平均月消费支出为450150409052.5600600⨯+⨯=（元）.这样估计较合理.高中数学 必修第一册 4 / 4 21.【答案】（1）当19x ≤时，3800y =；当19x ＞时，()3800500195005700y x x =+−=−.所以y 与x 的函数解析式为()380019500570019x y x x x ⎧=∈⎨−⎩N ，≤，，＞. （2）由柱状图知需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.（3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800元，20台的费用为4300元，10台的费用为4800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为()13800704300204800104000100⨯⨯+⨯+⨯=（元），若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为()14000904500104050100⨯⨯+⨯=（元）. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.。
第六章 刚体转动自测题答案
第六章 刚体转动自测题答案一、选择题答案 1、（C ） 2、（B ） 3、（B ） 4、（C ） 5、（C ） 6、（D ） 7.（B ） 8、(B) 9、（D ） 10、（A ） 11、（C ） 12、(B) 13、(B) 14、（C ） 15、(A) 16、(C) 17、(C) 18、（D ） 19、(C) 20、(D) 21、(C)二、填空题答案1、1 ；2、3 ；3、变化 ；4、合外力矩 ；5、合外力矩 ；6、mL 2/12；7、mL 2/3 ；8、mr 2/2； 9、ω2； 10、不变 ； 11、0； 12、3g/2l ； 13、0 ；14、mgl/2 ； 15、ml 2ω/3 。
三、计算题1.一半径为 0.3m 的转轮作匀角加速度转动，其初角速度ω0=0.5π rad·s -1，在t =10 s 时，其角速度ω=6.5π rad·s -1，求：(1)在t =10 s 时，转轮转过的角度；(2) t =10 s 时，转轮边沿点的切向速度、切向加速度和法向加速度各为多少？ 解：(1)由于转轮做匀角加速度转动，因此根据公式有t βωω+=0 （2分）20021t t βωθθ++= （2分）可得到t =10 s 时转轮转过的角度为0θθθ-=∆=35πrad 。
（2分） (2)切向速度的大小为πω95.1==r v m/s （2分）切向加速度为πβτ18.0===r dtdv a m/s 2 （2分）法向加速度2227.12πω===r rv a n m/s 2 （2分） 2.如图所示，一根长为l 、质量为m 的均匀细直棒可绕其一端在竖直面内自由转动，开始时棒处于水平位置，求棒转到与水平线成角度θ 时的角加速度和角速度。
(细棒对转轴的转动惯量为231ml J =)解：棒所受合外力矩 θcos 21mgl M = （3分）由转动定律得角加速度图l g ml mgl J M 2cos 331cos 212θθβ=== （3分） 因为 θωωθθωωβd d dt d d d dt d === （2分） 所以 ⎰⎰=θωθθωω002cos 3d l g d （3分）lg θωsin 3=（1分）3.如图所示，一匀质细杆质量为m ，长为l ，可绕过一端O 的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下。
高代第六章自测题答案
高等代数单元自测题答案(第六章)一、1. B 2.A 3. D 4.B 5.D 6.D 注：3.21V V ⋂的维数即齐次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+-.023,0,0232121321x x x x x x x x 的解空间的维数.由02213011112≠=-- 知这齐次方程组只有零解.4.由 ),,(211ααL V =其中);1,0,2(),0,1,1(21=-=αα ),(32αL V =其中).1,4,2(3-=α知),,,(32121αααL V V =+,2),,()dim(32121==+αααr V V 二、1.√ 2. √ 3.⨯ 4. √ 5. ⨯ 三、1.解,211021*********212001111111121111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--- 所求坐标为).21,21,1(-2.解 21W W ⋂即为齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=+02,02,023213121x x x x x x x 的解空间.其一般解为⎩⎨⎧=-=.4,23231x x x x 基础解系为).1,4,2(-=η故21W W ⋂的维数是1，).1,4,2(-=η是它的一个基.由 ),(1αL W =其中);1,4,2(-=α),,(2γβL W =其中).1,0,2(),0,1,1(=-=γβ 得 ),,,(21γβαL W W =+ 但,4γβα+= 故 ,),(221W L W W ==+γβ 即 γβ,是21W W +的一个基，其维数是2.3.解 设,),,(),,(321321X εεεηηη=.),,()'1,1,0(0321Y εεεα=-=则 ),,)(,,(),,,(0321321Y X εεεαηηη=13210),,(),(-=εεεY X ),,,(321αηηη.只须做如下变换:,,,),,(0）（初等行变换Y X E B A −−−→−α 其中).,,(),,,(321321ηηηεεε==B A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11116101101110001130111111211011100011301⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→7207172101101110001130120127011011100011301⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→720717210751*******7607471001).,,(0Y X E =四、1.证明（1） 据子空间定义验证. （2） 由于(),(1,1,1);(,),(1,1,0),(1,0,1).U L W L ααβγβγ====-=可得 {},0=⋂W U ).,,(γβαL W U =+ 又γβα,,线性无关，故 3P W U =+， 所以 3W U P ⊕=2.证明,)(n n ij a A ⨯=∀如果,W U A ⋂∈那么ji ij a a =,).,,2,1,(n j i a a ji ij =-=从而0=A .即{}.0=⋂W U,nn PA ⨯∈∀有,)'(21,)'(21W A A U A A ∈-∈+于是 WU A A A A A +∈-++=)'(21)'(21即 .W U P n n ⊕=⨯3.证明 显然)2(Q 是非空的，关于加法与数乘是封闭的，且具有零元、负元素，事实上0是零元，a +的负元是a --。
(精选试题附答案)高中数学第六章平面向量及其应用必考知识点归纳
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第六章平面向量及其应用必考知识点归纳单选题1、已知向量AB →=(2,2)，AC →=(t,1)，若AB →⋅BC →=2，则t =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：B分析：先根据已知条件计算BC →，再根据向量数量积的坐标运算求解即可得答案. 解：根据题意得：BC →=AC →−AB →=(t,1)−(2,2)=(t −2,−1)， 所以AB →⋅BC →=2(t −2)+2×(−1)=2t −4−2=2，解得t =4. 故选：B.小提示：本题考查向量的减法坐标运算，数量积的坐标运算，考查运算能力，是基础题. 2、如图，△ABC 中，角C 的平分线CD 交边AB 于点D ，∠A =2π3，AC =2√3，CD =3√2，则BC =（ ）A ．3√3B ．4C ．4√2D ．6 答案：D分析：△ACD 中由正弦定理求得∠ADC 后可得∠ACD ，从而得∠ACB ，B 角，得AB ，用余弦定理可得BC ．在△ACD 中，根据正弦定理得sin∠ADC =AC⋅sinA CD=2√3×√323√2=√22， 由∠ADC <∠A ， 所以∠ADC =π4，所以∠ACD =π−2π3−π4=π12，所以∠ACB =π6，则∠B =π6， 所以AB =AC =2√3，在△ABC 中，由余弦定理得BC 2=(2√3)2+(2√3)2−2×2√3×2√3×(−12)=36，所以BC =6． 故选：D ．小提示：关键点点睛：本题主要考查正弦定理，余弦定理，特殊角的三角函数值等基础知识，解题时对照已知条件选用恰当的公式进行计算．如先在△ACD 中选用正弦定理求得两边中另一边的对角，可得三角形的第三角，这样图形听所有角都已知，然后再求选用公式求边．本题也可以不用余弦定理求边BC ．3、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =BC =CD =3AD ，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ）A ．−1318AB⃑⃑⃑⃑⃑ +518AC ⃑⃑⃑⃑⃑ B ．−1318AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +118AC ⃑⃑⃑⃑⃑ C ．−1118AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +49AC ⃑⃑⃑⃑⃑ D ．−1118AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +119AC⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：B分析：以AB⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 为基底，利用平面向量线性运算的相关运算化简即可.FE⃑⃑⃑⃑⃑ =FC ⃑⃑⃑⃑⃑ +CE ⃑⃑⃑⃑⃑ =12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +23CD ⃑⃑⃑⃑⃑ =12(AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )+23(BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +23CB ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =12AC ⃑⃑⃑⃑⃑ −12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −29AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −49AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−1318AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +118AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 故选：B4、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝60°，a =√3，则b+csinB+sinC 等于（ ） A ．12B ．√3C ．√32D ．2答案：D解析：由已知结合正弦定理即可直接求解．A ＝60°，a =√3，由正弦定理可得，bsinB =csinC =asinA =√3√32=2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， 则b+csinB+sinC =2． 故选：D ．小提示：本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础试题．5、已知向量|a |=2,|b ⃑ |=4，且a ,b ⃑ 不是方向相反的向量，则|a −b ⃑ |的取值范围是（ ） A ．(2,6)B ．[2,6) C ．(2,6]D ．[2,6] 答案：B分析：直接由||a |−|b ⃑ ||≤|a −b ⃑ |<|a |+|b⃑ |求解即可. 由已知必有||a |−|b ⃑ ||≤|a −b ⃑ |<|a |+|b⃑ |，则所求的取值范围是[2,6)．故选：B.6、已知向量a与b⃑的夹角为π，且|a |=2|b⃑|=2，则a⋅b⃑=（）6A．√3B．1C．2√3D．2答案：A解析：利用向量数量积的定义即可求解.由|a |=2|b⃑|=2，则|a|=2，|b⃑|=1，，又向量a与b⃑的夹角为π6=√3.所以a⋅b⃑=|a||b⃑|cos⟨a ,b⃑⟩=2×1×√32故选：A小提示：本题考查了向量数量积的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7、已知向量a⃗=(1,1)，b⃑⃗=(−2,3)，那么|a⃗−2b⃑⃗|=（）A．5B．5√2C．8D．√74答案：B分析：根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.因为向量a⃗=(1,1)，b⃑⃗=(−2,3)，所以a⃗−2b⃑⃗=(5,−5)|a⃗−2b⃑⃗|=√52+(−5)2=5√2.故选：B.8、若z(1+i3)=i，则在复平面内复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B分析：先利用复数的除法化简，再利用复数的几何意义判断.因为z(1−i)=i，所以z =i 1−i=i (1+i )2=−1+i 2，故z 对应的点位于复平面内第二象限． 故选：B ．9、若非零向量a ⃗,b ⃑⃗满足|a ⃗|=3|b ⃑⃗|, (2a ⃗+3b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 答案：C分析：设a ⃗与b ⃑⃗的夹角为θ, |b ⃑⃗|=t ，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得cosθ=−12，进而得答案.解：根据题意，设a ⃗与b ⃑⃗的夹角为θ, |b ⃑⃗|=t ，则|a ⃗|=3|b ⃑⃗|=3t ， 若(2a ⃗+3b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗，则(2a ⃗+3b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=2a ⃗⋅b ⃑⃗+3b ⃑⃗2=6t 2cosθ+3t 2=0， 即cosθ=−12，又由0≤θ≤π，则θ=2π3，故选：C ．10、在△ABC 中，已知AB =6，AC =2，且满足DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，若线段CD 和线段BE 的交点为P ，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=（ ）. A ．3B ．4C ．5D ．6 答案：B分析：待定系数法将AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算 设AP⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 由DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =3AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =3xAD ⃑⃑⃑⃑⃑ +yAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵D ，P ，C 三点共线，∴3x +y =1①， 由AE⃑⃑⃑⃑⃑ =EC ⃑⃑⃑⃑⃑ 知AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =2AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =xAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2yAE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∵B ，P ，E 三点共线，∴x +2y =1②， 由①②得：x =15.y =25，∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =15AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，而CA⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ =−AC ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， ∴AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅(CA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(15AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +25AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ −2AC ⃑⃑⃑⃑⃑ )=15(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2−4AC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2)=15×(62−4×22)=4 故选：B 填空题11、已知i ,j 为相互垂直的单位向量，若2a −b ⃑ =i −3j ，a +3b ⃑ =11i +9j ，则向量a 、b ⃑ 的夹角为___________. 答案：π4分析：求出a ,b ⃑ 后利用公式可求a 、b⃑ 的夹角. 因为2a −b ⃑ =i −3j ，a +3b ⃑ =11i +9j ，故a =2i ，b ⃑ =3i +3j .因为i ,j 为相互垂直的单位向量，故|i |=|j |=1,i ⋅j =0，故a ⋅b ⃑ =2i ⋅(3i +3j )=6.而|a |=2，|b |=√(3i+3j )2=√9+9+2×9×0=3√2，故cos⟨a ,b ⃑ ⟩=a ⃑ ⋅b ⃑|a⃑ |⋅|b ⃑ |=√22，而⟨a ,b ⃑ ⟩∈[0,π]，故⟨a ,b ⃑ ⟩=π4. 所以答案是：π4.12、已知a ⃗,b ⃑ 是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b ⃑ 〉＝________． 答案：18分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案. 由|a −b ⃑ |=√7，可知(a −b ⃑ )2=7，则|a |2−2a ⋅b⃑ +|b ⃑ |2=7， ∵|a |=2,|b ⃑ |=2，∴a ⋅b ⃑ =12，则cos⟨a ⋅b ⃑ ⟩=a ⃑ ⋅b ⃑ |a⃑ |⋅|b ⃑ |=18. 所以答案是：18.13、三条直线l 1、l 2、l 3两两平行，l 1到l 2的距离为1，l 2到l 3的距离为2，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为_______. 答案：73√3或√3分析：分两种情况讨论：（1）l1、l3在l2的异侧；（2）l2、l3在l1的异侧.在两种情况下，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，设等边三角形ABC的边长为a，设AB与直线l2的夹角为θ，根据已知条件建立关于a、θ的等式组，求出a的值，由此可求得等边三角形ABC的面积.分以下两种情况讨论：（1）若l1、l3在l2的异侧，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，如下图所示：过点B作直线l2的垂线分别交直线l1、l3于点E、F，则BE=1，BF=2，设等边三角形ABC的边长为a，设AB与直线l2的夹角为θ，则π3−θ也为锐角，由{0<θ<π20<π3−θ<π2，解得0<θ<π3，由题意可得{BE=asinθ=1BF=asin(π3−θ)=20<θ<π3，解得{sinθ=√2114a=2√213，此时，该三角形的面积为S=12a2sinπ3=√34×283=7√33；（2）若l2、l3在l1的异侧，设等边三角形ABC的顶点A∈l1、B∈l2、C∈l3，如下图所示：过点A作直线l1的垂线分别交直线l2、l3于点E、F，则AE=AF=1，设等边三角形ABC的边长为a，设AB与直线l2的夹角为θ，则π3−θ也为锐角，由{0<θ<π20<π3−θ<π2，解得0<θ<π3，由题意可得{AE =asinθ=1AF =asin (π3−θ)=10<θ<π3，解得{sinθ=12a =2 ， 此时，该三角形的面积为S =12a 2sin π3=√34×4=√3.综上所述，该等边三角形的面积为7√33或√3. 所以答案是：7√33或√3. 小提示：关键点点睛：本题考查解三角形的实际应用，解题的关键就是选择合适的角θ，将问题中的边与相应的角用θ来边角，根据已知条件产生相等关系，结合三角函数相关知识求解.14、若向量a →=(1，1)与向量b →=(1，x )的夹角为锐角，则x 的取值范围是___________. 答案：(−1,1)∪(1,+∞)解析：设向量a →与向量b →的夹角为θ，由cosθ=a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||b ⃑⃗|=√2×√1+x 2,.设向量a →与向量b →的夹角为θ，则cosθ=a⃑⃗⋅b ⃑⃗|a⃑⃗||b ⃑⃗|=√2×√1+x 2因为夹角为锐角， 所以0<cos θ<1，即 0<√2×√1+x 2<1，所以x >−1 且(1+x)2<2(1+x 2), 解得 −1<x <1 或 x >1， 所以答案是：(−1,1)∪(1,+∞)15、在平面四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，∠ABC =60°，∠BCD =150°，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =4EB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，BC =4√33，AE =2√3，若点M 为边CD 上的动点，则AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为________. 答案：154分析：根据题目条件，建立适当的直角坐标系，并结合已知条件得到相关点的坐标，设出线段CD 上的动点的坐标，求得AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标关于t 的表达式，得到AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 关于t 的表达式，利用二次函数的性质求得最小值. 如图所示，建立直角坐标系.由AE =2√3得E(2√3,0),由AB⃑⃑⃑⃑⃑ =4EB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得EB = 2√33, 又∵BC =4√33，∠ABC =60°，∴∠BEC =90°，且EC =2,∠BCE =30°.∴C(2√3,2),作CF ⊥AD 于F ,∵∠BCD =150°，∴∠DCF =30°， 由FC =AE = 2√3,∴DF =2，∴D(0,4),∵M 在线段CD 上，故可设AM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t )AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +tAC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2√3t,4−2t),（0<t <1） ∴EM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2√3(t −1),4−2t), ∴AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·EM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12(t 2−t )+(4−2t )2=16t 2−28t +16, 当t =78时取得最小值4×16×16−2824×16=154,所以答案是：154.小提示：本题考查平面向量的数量及的最值问题，关键是建立坐标系，并利用已知条件得到相关点的坐标，要熟练掌握线段上的点的坐标的设法. 解答题16、记△ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b 2=ac ，点D 在边AC 上，BDsin∠ABC =asinC .（1）证明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC.答案：（1）证明见解析；（2）cos∠ABC=712.分析：（1）根据正弦定理的边角关系有BD=acb，结合已知即可证结论.（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cos∠ABC的值. （1）设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sin∠ABC=b2R ,sinC=c2R，因为BDsin∠ABC=asinC，所以BD⋅b2R =a⋅c2R，即BD⋅b=ac．又因为b2=ac，所以BD=b．（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为AD=2DC，如图，在△ABC中，cosC=a 2+b2−c22ab，①在△BCD中，cosC=a2+(b3)2−b22a⋅b3．②由①②得a2+b2−c2=3[a2+(b3)2−b2]，整理得2a2−113b2+c2=0．又因为b2=ac，所以6a2−11ac+3c2=0，解得a=c3或a=3c2，当a=c3,b2=ac=c23时，a+b=c3+√3c3<c（舍去）．当a=3c2,b2=ac=3c22时，cos∠ABC=(3c2)2+c2−3c222⋅3c2⋅c=712．所以cos∠ABC=712．[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知AD=2DC，则S△ABD=23S△ABC，即12×23b2sin∠ADB=23×12ac×sin∠ABC，而b2=ac，即sin∠ADB=sin∠ABC，故有∠ADB=∠ABC，从而∠ABD=∠C．由b2=ac，即ba =cb，即CACB=BABD，即△ACB∽△ABD，故ADAB =ABAC，即2b3c=cb，又b2=ac，所以c=23a，则cos∠ABC=c 2+a2−b22ac=712．[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD=b=AC，再由AD=2DC得AD=23b,CD=13b．在△ADB中，由正弦定理得ADsin∠ABD =BDsinA．又∠ABD=∠C，所以2 3 bsinC =bsinA，化简得sinC=23sinA．在△ABC中，由正弦定理知c=23a，又由b2=ac，所以b2=23a2．在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC=a 2+c2−b22ac=a2+49a2−23a22×23a2=712．故cos∠ABC=712．[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE ∥AB ，交BC 于点E ，则△DEC ∽△ABC ．由AD =2DC ，得DE =c 3,EC =a 3,BE =2a 3． 在△BED 中，cos∠BED =(2a 3)2+(c 3)2−b 22⋅2a 3⋅c 3．在△ABC 中cos∠ABC =a 2+c 2−b 22ac ．因为cos∠ABC =−cos∠BED ，所以a 2+c 2−b 22ac =−(2a 3)2+(c 3)2−b 22⋅2a 3⋅c 3，整理得6a 2−11b 2+3c 2=0．又因为b 2=ac ，所以6a 2−11ac +3c 2=0，即a =c 3或a =32c ．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为AD =2DC ，所以AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =2DC⃑⃑⃑⃑⃑ ． 以向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 为基底，有BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =23BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +13BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ． 所以BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2=49BC ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+49BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ +19BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 2， 即b 2=49a 2+49accos∠ABC +19c 2，又因为b 2=ac ，所以9ac =4a 2+4ac ⋅cos∠ABC +c 2．③由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accos∠ABC ，所以ac =a 2+c 2−2accos∠ABC ④联立③④，得6a 2−11ac +3c 2=0．所以a =32c 或a =13c ． 下同解法1．[方法六]：建系求解以D 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过点D 垂直于AC 的直线为y 轴，DC 长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则D (0,0),A (−2,0),C (1,0)．由（1）知，BD =b =AC =3，所以点B 在以D 为圆心，3为半径的圆上运动．设B (x,y )(−3<x <3)，则x 2+y 2=9．⑤由b 2=ac 知，|BA |⋅|BC |=|AC |2，即√(x +2)2+y 2⋅√(x −1)2+y 2=9．⑥联立⑤⑥解得x =−74或x =72≥3（舍去），y 2=9516，代入⑥式得a =|BC|=3√62,c =|BA|=√6,b =3，由余弦定理得cos∠ABC =a 2+c 2−b 22ac=712． 【整体点评】(2)方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题； 方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择； 方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.17、在条件①asinB =bcos (A −π6)，②cos 2(π2+A)+cosA =54，③sinB+C 2=sinA 中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答．问题：在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3,a =3,b >c ，_____，求b −c ． 答案：选择见解析；b −c =√3．分析：若选择条件①，由正弦定理，三角函数恒等变换，化简可求A 的值，再利用平面向量数量积的运算可求bc 的值，然后利用余弦定理求解．若选择条件②，利用诱导公式化简得到cos 2A −cosA +14=0，解得cosA =12，结合范围A ∈(0,π)，可得A 的值，下同选①．若选择条件③，利用三角函数恒等变换化简可得sin A 2=12，进而可求A 2=π6，可得A 的值，下同选①． 若选择条件①，因为asinB =bcos (A −π6)，由正弦定理a sinA =b sinB ，可得sinAsinB =sinBcos (A −π6)，因为sinB ≠0，所以sinA =cos (A −π6)=√32cosA +12sinA ， 所以tanA =√3，因为0<A <π，所以A =π3， 因为AB⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3，所以bccosA =3，所以bc=6，又由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA=(b−c)2+bc,b>0，所以b−c=√3．若选择条件②，因为cos2(π2+A)+cosA=54，所以cos2A−cosA+14=0，可得cosA=12，因为A∈(0,π)，所以A=π3．下同选①．若选择条件③，sin B+C2=sinA，因为B+C=π−A，所以sinπ−A2=sinA，所以cos A2=2sin A2cos A2，因为A∈(0,π)，所以A2∈(0,π2)，所以cos A2≠0，所以sin A2=12，所以A2=π6，所以A=π3．下同选①．小提示：方法点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18、在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝3，sin A+a sin B＝2√3．（1）求角A的大小；（2）求△ABC周长的取值范围．答案：（1）π3；（2）(9+3√32,9+3√3)．分析：（1）利用正弦定理将sin B转换成sin A，即可得到角A；（2）利用正弦定理将边a，c转换成与sin B有关系的量，然后根据角B的范围求三角形周长即可．解：（1）∵asinA =bsinB=csinC，∴a sin B＝b sin A，∴sin A+a sin B＝sin A+b sin A＝4sin A＝2√3，∴sinA=√32，△ABC为锐角三角形，于是A=π3．（2）由正弦定理：asinA =bsinB=csinC可得a=3√32sinB,c=3sinCsinB，a+c+3=3√32+3sinCsinB+3=3√32+3sin(2π3−B)sinB+3，∴周长=3√32+3(√32cosB+12sinB)sinB+3=3√32⋅1+cosBsinB+92=3√32⋅2cos2B22sin B2cos B2+92=3√32tan B2+92，又∵△ABC为锐角三角形，∴{0<B<π20<2π3−B<π2，∴π6<B<π2，∴B2∈(π12,π4)∴tan B2∈(2−√3,1)，∴1tan B2∈(1,2+√3)，∴周长的取值范围为(9+3√32,9+3√3)．小提示：思路点睛：利用正弦定理求解三角形周长的一般步骤（已知一边及其对角）：（1）先根据正弦定理将另外两边表示为其对角的正弦值形式；（2）根据周长的计算公式将周长表示为角的正弦形式，根据角度关系将周长公式中的角转化为同一个角；（3）根据三角形的形状确定出（2）“同一个角”的范围，结合三角恒等变换的公式求解出周长的范围. 19、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，其中边c最长，并且sin2A+sin2B=1．(1)求证：△ABC是直角三角形；(2)当c=1时，求△ABC面积的最大值．答案：(1)证明见解析(2)14分析：（1）利用同角关系，将已知条件变形，配合诱导公式，可以证明结论.（2）利用勾股定理知a2+b2= c2=1，利用基本不等式可得面积最大值(1)证明：由sin2A+sin2B=1，得sin2A=1−sin2B，即sin2A=cos2B，又边c最长，则A、B均为锐角，所以sinA=cosB=sin(π2−B)，解得A=π2−B，A+B=π2即C=π2，所以△ABC为直角三角形．(2)因为C=π2，由勾股定理a2+b2=c2,因为c=1，所以a2+b2=1.记△ABC面积为S,则S=12ab，由2ab≤a2+b2得S=12ab≤14(a2+b2)=14，当且仅当a=b=√22时等号成立．所以当a=b=√22时，△ABC面积取到最大值14．。
高级会计学第六版第六章课后练习答案要点
甲公司
甲公司合并工 作底稿
20X7年1月1 日 乙公司
3600
200
4000 66000 32000
33600 132000 271200 32000
9600
28000 40000 113600 47000
1000
9600 22200 20000
26000 78000 3200
800 32000
10000 8000 21400
第一题 1
甲企 业对 乙企 业的 长期 股权 投资 形成 了同 一控 制下 的企 业合 并 甲公 司的 投资 成本 为 4000 0万 元 甲公 司占 合并 日乙 公司 的净 资产 账面 价值 份额 =420 00*8 0%=3 3600 （万 ）
20X7 年1 月1 日， 甲公 司对 乙公 司长 期股 权投 资的 会计 分录 为 借： 长期 股权 投资 3360 0
20x8 年成 本法 下已 确认 的投 资收 益 =960 万 应追 加确 认的 投资 收益 =864 0960= 7680 万 20x8 年末 累计 应增 加的 长期 股权 投资 余额 =336 0+86 40960= 1104 0万 调整 后长 期股 权投 资的 年末 余额 =336 00+1 1040 =446 40万
资产负债表部分 货币资金 交易性金融资产 应收账款 存货 长期股权投资 固定资产 商誉 资产总计 应付账款 应付票据 应付债劵 长期借款 股本 资本公积 盈余公积
100000 60000 6000 4400 7000 1400
280
20920 120
20800 5200 15600
15600
1000 15600
长期股权投资 少数股东权益
6章 控制电器自测题答案
第六章继电接触器控制系统（自测题）一、填空题：1、笼型异步电动机减压起动控制方式有自自耦变压器和星三角起动起动。
2、笼型异步电动机常用的电气制动方式有能耗制动和反接制动.电气控制图一般分为主电路和控制电路电路两部分。
3、按国标规定,“停止”按钮必须是红色，“启动”按钮必须是绿色。
4、热继电器是对电动机进行过载保护的电器;熔断器是用于供电线路和电气设备的短路保护的电器.5、在交流（ 1200 ) V，直流（ 1500 ) V以下的电器称为低压电源。
6、电磁机构中的线圈__、___铁芯_____是静止不动的，只有_______衔铁__是可动的.7、电器按照它的职能不同可分为( 控制类）和( 保护类 )两类。
由此可知，交流接触器属于( 控制类）类电器,熔断器属于( 保护类 )类电器。
8空气开关又称（漏电保护开关 )。
其热脱扣器作（过载）保护用，电磁脱扣机构作（短路 )保护用，欠电压脱扣器作（欠压)保护用。
二、判断下列说法的正确与错误：（每小题1分,共7分）1、交流接触器与中间继电器既有相同又有不同之处.（对）2、接触器不具有欠压保护的功能。
( 错)3、断路器具有失压保护的功能。
（对）4、低压断路器又称为自动空气开关.（对 )三、选择题（1分，共25分）1、下列电器中不能实现短路保护的是（B。
)A。
熔断器B.热继电器 C.低压断路器2、下列电器哪一种不是自动电器。
( A、 )A、组合开关B、继电器C、热继电器3、接触器的常态是指（ A、）A、线圈未通电情况B、线圈带电情况C、触头断开时D、触头动作4 、由接触器、按钮等构成的电动机直接启动控制回路中，如漏接自锁环节，其后果是（ B、）A、电动机无法启动B、电动机只能点动C、电动机启动正常，但无法停机D、电机无法停止5、接触器的文字符号是（ A ）A、KMB、KSC、KTD、KA6、中间继电器的符号为( C ）A．KV B．KS C．K A D．KT—7.在继电器接触器控制电路中，自锁环节触点的正确连接方法是（ a ).(a) 接触器的动合辅助触点与起动按钮并联（b）接触器的动合辅助触点与起动按钮串联（c）接触器的动断辅助触点与起动按钮并联8。
第六章 新自测练习题
第六章社会主义初级阶段理论（章节自测练习题）一、单项选择题：1.一切从我国的实际出发，我国最大的实际就是（ D ）A．底子薄，人口多，资源相对不足 B．生产力不发达，教育科技落后C．社会制度不健全、不完善 D．现在处在并将长期处于社会主义初级阶段2.社会主义初级阶段在各方面先进和落后的并存，是我国基本国情的重要特点，它决定了社会主义初级阶段的发展具有的总的基本特征是：(A)A.逐步摆脱不发达状态，基本实现社会主义现代化的历史阶段B.由农业国逐步转变为工业国的历史阶段C.由经济文化发展不平衡逐步变为缩小差距的历史阶段D.由自然经济半自然经济占很大比重，逐步转变为经济市场化程度较高的历史阶段3.邓小平指出："社会主义究竟是个什么样子，苏联搞了很多年，也并没有搞清楚，可能列宁的思路比较好，搞了个新经济政策，但是最后苏联模式僵化了"，列宁新经济政策关于社会主义的思路之所以"比较好"是因为：（ B ）A.提出了比较系统的社会主义建设纲领B.根据俄国的实际情况来探索社会主义建设的道路C.为俄国找到一种比较成熟的社会主义发展模式D.按照马克思恩格斯关于未来的设想来建设社会主义4. 第一次提出我国社会主义制度还处于初级阶段是（ A ）A.1981. 6 党的十一届六中全会通过的《关于建国以来党的若干历史问题的决议》B.1982 . 9党的十二大政治报告C.1986 十二届六中全会的《中共中央关于社会主义精神文明建设指导方针的决议》D.1987 年党的十三大政治报告5.第一次全面系统地论述社会主义初阶阶段理论是党的（ B ）A.十二大B.十三大C. 十四大D. 十五大6.党的十五大首次全面系统地概括了（ A ）A.初级阶段的基本特征B.初级阶段的基本纲领C.初级阶段的基本路线D.初级阶段的基本经验7.我国是从（ C）进入社会主义初级阶段的。
A.1949年新中国成立B.1976年粉碎“四人帮”后C.1956年基本完成生产资料公有制的社会主义改造后D.1978年改革开放后8.正式提出党在社会主义初级阶段的基本路线:领导和团结全国各族人民,以经济建设为中心,坚持四项基本原则,坚持改革开放,自力更生,艰苦创业,为把我国建设成为富强, 民主,文明的社会主义现代化国家而奋斗.是（ C ）A.1982 党的十二大B.1986 年十二届六中全会C.1987 年党的十三大D.1992 年党的十四大9.把"和谐"与"富强民主文明"一起写入了社会主义初级阶段基本路线的是（ B ）A.2002 年党的十六大通过的党章B.2007 年党的十七大通过的党章C.1992 年 9 月党的十四大通过的党章D.1997 年党的十五大通过的党章10.社会主义初级阶段是不可逾越的，这主要取决于（ B ）A.市场经济的不可逾越性B.生产力发展的不可逾越性C.生产关系发展的不可逾越性D.文化传统的不可逾越性11.1981年党的十一届六中全会通过《关于建国以来党的若干历史问题的建议》对我国社会主要矛盾作了规范的表述：“社会主义改造完成以后，我国所要解决的主要矛盾，是人民日益增长的物质文化需要同落后的社会生产之间的矛盾。
高中数学必修第二册第六章综合测试02含答案解析(1)
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（ ）2.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（ ） A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB取最小值时，P 点的坐标是（ ）A.(2,0)B.(4,0)C.10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB += ，圆O 的半径为2，则OB CB =（ ）A.1-B.2-C.1D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +∈R的最小值为（ ）A. B.5 C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（ ） A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（ ）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+⋅-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角θ为（ ） A.34π B.4πC.3πD.23π9.已知sin 1sin cos 2ααα=+，且向量(tan ,1)AB α= ，(tan ,2)BC α= ，则AC 等于（ ）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sλ==，则23λλ⋅取到最大值时， 2x y +的值为（ ）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c π=+=，则ac=（ ） A.2 B.3C.12 D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12⋅=12e e .若向量b 满足1⋅=⋅=12b e b e ，则=b ________. 14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-≤a b ，则⋅a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60︒的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60︒的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB == a b 为邻边作OADB ，11,33BM BC CN CD ==，用,a b 表现,,OM ON MN.18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =. （1）若4b =，求sin A 的值； （2）若4ABC S ∆=，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-， （1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4 ，试求AC BC的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20︒方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40︒，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明： （1）BE CF ⊥； （2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，函数()2f x =⋅a b ，()4g x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++ 的值； （3）已知t ∈R ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a ∴=可化为sin sin A B .又sin 22sin cos 2,sin sin B B B A B B B =∴==，cos B ∴=.2.【答案】A 【解析】由已知可得111122⋅=⨯⨯=a b ，211()122-⋅=-⋅=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-⋅⋅=a b a a a a . 3.【答案】D【解析】 点P 在x 轴上，∴设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x ∴=--=-， 22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x ∴⋅=---=-+=-- ，∴当3x =时，PA PB ⋅取最小值. P ∴点的坐标是(3,0).4.【答案】D【解析】OA OC OB +=，OA OC = ，∴四边形OABC 是菱形，且120AOC ∠=︒，又圆O 的半径为2，22cos 602OB CB ∴⋅=⨯⨯︒=.5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t ∴+=+++=++=++ ≥，∴当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ∠∠∠，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ⎧+-=⎪⨯⨯⎪⎪+-=⎨⨯⨯⎪⎪+-=⎪⨯⨯⎩＞＞即()()222100,280,680,a a a a a ⎧-⎪⎪-⎨⎪+⎪⎩＞＞＞解得a ，故选B . 7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====， sin 8cC ∴=，1sin 216ABC abc S ab C ∆∴===8.【答案】C 【解析】22(2)(54)5680+⋅-=+⋅=- a b a b a a b b ，又11,63,cos 2θ==∴⋅=∴=a b a b ，又[0,],3πθπθ∈∴=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2ααα=+ ，cos sin αα∴=，tan 1α∴=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α∴=+== .故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P ∴到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S λλ++===.由此可得223231216λλλλ+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF ∴+= .由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE += ，2PA PC PF += ，两式相加，得20PA PB PC ++=. 0PA xPB yPC ++= ，∴根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=.二、11.【答案】AC 【解析】3B π=，a c +=，2222()23a c a c ac b ∴+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a c =或12a c =.故选AC . 12.【答案】ACD【解析】P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=， |||()()|0CB PB PA PC PA ∴--+-=，即||||CB AC AB =+，||||AB AC AC AB ∴-=+，两边平方并化简得0MC AB ⋅= ，AC AB ∴⊥，90A ︒∴∠=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、 13【解析】解析令1e 与2e 的夹角为θ.1cos cos 2θθ∴⋅=⋅==1212e e e e ，又0θ︒︒≤≤180，60θ∴=︒.()0⋅-= 12b e e ，∴b 与,12e e 的夹角均为30︒，从而1||cos30︒=b 14.【答案】52【解析】|4|-==a b ，52⋅≥a b ，即⋅a b 的最小值为52.15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=， ,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB λμλμ=+∴-=-+， 22,22,λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6,52.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩16km /h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE ∠=︒，150EAC ∠=︒. 在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AEEAC C=∠， sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x︒∠∴=== .在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC=︒，14sin 2sin120x BC C x AB ⋅∴===︒ 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE ︒=+-=+-= ，故BE =. ∴船速的大小为/h)3BEt==. 四、17.【答案】解：BA OA OB =-=-a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA ∴=+=+=+=+ a b .又OD =+ a b ，222333ON OC CN OD ∴=+==+ a b ，221511336626MN ON OM ∴=-=+--=- a b a b a b .18.【答案】解：3cos 05B = ，且0B ＜＜，4sin 5B ∴==.由正弦定理得sin sin a bA B=， 42sin 25sin 45a BA b⨯∴===. （2）1sin 42ABC S ac B ∆== ， 142425c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=.由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=. 19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C =-， sin 02C ，1cos sin 222C C ∴-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =. （2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C π∴＞， 2C π∴＞，cos C ∴==. 易得2sin c R C =，22294sin (44c R C ∴==，由余弦定理得，2229(42214c a b ab ab ⎛⎛=+=+-+ ⎝⎭⎝⎭≥ ，902ab ∴＜≤，cos AC BC ab C ⎡⎫∴=∈⎪⎢⎪⎣⎭，即AC BC的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 20.【答案】解：如图所示，设ACD α∠=，CDB β∠=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD β+-+-===-⨯⨯， sin β∴==()11sin sin 60sin cos60sin 60cos 27αβββ︒︒︒⎛⎫∴=-=-=-= ⎪⎝⎭ 在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD α=︒， 21sin 15sin 60AD α∴==︒（千米）. ∴这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=- ，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=-- ，(1)(2)2(1)0BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-= ，BE CF ∴⊥ ，即BE CF ⊥.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =- ，(2,)BP x y =- ，由（1）知(2,1)CF =-- ，(1,2)BE =- ，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩解得6,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ||||AP AB ∴= ，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x π⎫=⋅=-+=+=⎪⎭a b1sin 22sin 223x x x π⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 252333x πππ∴-≤，1sin 23x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭≤，∴当3232x ππ-=，即1112x π=时，()f x1-，当2233x ππ-=，即2x π=时，()f x（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.()sin 423g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4T ∴= (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g ∴+++=+++==+++ .又(1)(2)(3)(4)g g g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g ∴++++=⨯+==.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ∈Z 时，由图象可知，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++∈Z ＜≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++∈Z ≤≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =两图象有2个交点，即()g x 有2个零点.。
第六章线性空间自测练习及答案
第六章 线性空间—自测答案一.判断题1.两个线性子空间的和（交）仍是子空间。
2.两个线性子空间的并仍是子空间。
3.n 维线性空间中任意n 个线性无关的向量可以作为此空间的一组基。
4.线性空间中两组基之间的过渡阵是可逆的。
5.两个线性子空间的和的维数等于两个子空间的维数之和。
6.同构映射的逆映射仍是同构映射。
7.两个同构映射的乘积仍是同构映射。
8.同构的线性空间有相同的维数。
9.数域P 上任意两个n 维线性空间都同构。
10.每个n 维线性空间都可以表示成n 个一维子空间的和。
答案：错：2.5.8 对：1.3.4.6.7.9.10 二.计算与证明1. 求[]n P t 的子空间1011{()|(1)0,()[]}n n n W f t a a t a t f f t P t --==++=∈……+的基与维数。
解：(1)0f =0110n a a a -∴++=……+ 0121n a a a a -∴=----……设11a k =，22a k =，…，11n n ak --=，故0121n a k k k -=----……，21121121()n n n f t k k k k t k t k t ---∴=---+++ 21121(1)(1)(1)n n t k t k tk --=-+-++-因此，W 中任一多项式可写成211,1,,1n t t t ---- 的线性组合，易知211,1,,1n t t t---- 线性无关，故为W 的一组基，且W 的维数为n -1. 2. 求22P ⨯中由矩阵12113A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，21020A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，33113A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，41133A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭生成的子空间的基与维数。
解：取22P ⨯的一组基11122122,,,E E E E ，则有 12341112212221311011,,,)(,,,)12133033A A A A E E E E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（ 设213110111213333A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，即为1234,,,A A A A 在11122122,,,E E E E 下的坐标矩阵，对其作初等行变换得矩阵1011011-1000000B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1234dim (,,,)2L A A A A rankB ∴==，12,A A 为一组基。
第六章自测题及参考答案
第六章自测题及参考答案一、单项选择题（每题1分，共15分）1、中国特色社会主义法律体系的核心要义是（）。
A、依法治国B、公平正义C、服务大局D、执法为民2、中国特色社会主义法律体系的根本价值追求是（）A、党的领导B、公平正义C、服务大局D、执法为民3、下列哪一项不属于执法为民的基本要求（）。
A、以人为本B、尊重和保障人权C、文明执法D、执法公正4、中国特色社会主义的内在要求是（）。
A、依法治国B、执法为民C、公平正义D、党的领导5、保障的前提和基础是（）。
A、宪法保障B、立法保障C、行政保护D、司法救济6、我国宪法确定的基本原则是（）。
A、依法治国B、执法为民C、党的领导D、服务大局7、下列哪一项不属于培养法治思维方式的途径（）。
A、学习法律知识B、掌握法律方法C、了解法律规定D、参与法律实践8、社会主义法治的重要使命是（）。
A、依法治国B、执法为民C、党的领导D、服务大局人权9、保障法律权威的重要机构是（）A、立法机关B、行政机关C、党政机关D、司法机关10、正当程序的核心要素是（）A、中立性B、参与性C、公开性D、时限性11、人权保障的关键环节是（）。
A、宪法保障B、立法保障C、行政保护D、司法救济12、下列不属于公民的政治权利的是（）A、知情权B、参与权C、表达权D、自由权13、下列中表述错误的是（）A、权力来源于权利B、权力服务于权利C、权利应当以权力为界限D、权力必须受到权利的制约14、人权保障的重要条件是（）。
A、宪法保障B、立法保障C、行政保护D、司法救济15、在众多社会规范中居主导地位的是（）A、政策B、法律C、道德D、习俗二、多项选择题（每题2分，共20分）1、社会主义法治理念的基本特征有（）。
A、鲜明的政治性B、彻底的人民性C、系统的科学性D、充分的开放性2、树立社会主义法治理念的重要意义是（）。
A、有利于促进正确法治观念的形成B、有利于理解法律的内在精神C、有利于养成依法办事的行为习惯D、有助于大学生增强法律意识。
高级会计师考试科目章节测试题：第六章含答案
高级会计师考试科目章节测试题：第六章含答案一、案例分析题1、飞达健身器材制造有限公司专业生产各种健身器材，几年来，公司业务迅猛发展，逐渐成为业内知名企业。
最近一个时期，公司业绩欠佳，管理层经过市场调研，发现其他健身器材制造企业的产品价格较自己低，但原材料、人工工资、动力费等，与本公司处于同一种水平，而如果按兄弟企业的价格销售，企业就会发生亏损。
管理层意识到，本企业的成本管理出了问题。
为此，公司特意高薪聘请了高级会计师范某为公司进行作业分析，同时派主管会计刘某陪同。
(1)范某和刘某首先调查了公司的供产销，将企业的各项作业分为增值作业和非增值作业，经查，增值作业的比重为80%，非增值作业的比重为20%，范某认为，企业应将成本控制的重点放在非增值作业上。
而刘某则认为，增值作业的比重大，而且可调控、操作的空间大，将成本控制的重点放在增值作业上才有意义，公司一直也是这样处理的。
(2)经过调查，范某认为，企业的资源消耗并非都是合理、有效的，应该提高资源的有效性，为此，范某认为有必要对本企业进行资源动因分析，特请刘某帮助设计一套资源动因分析程序。
(3)在进行资源动因分析的同时，范某也进行了作业动因分析，认为企业原来对增值作业、非增值作业的划分存在不正确之处，提出对企业原来划定的增值作业、非增值作业进行重新认定，并提出了增值作业应该满足的3大条件。
(4)通过上述系列的分析，范某向公司提出了改进作业的5个方法，圆满地帮助企业解决了问题。
要求：1.请分析(1)中哪种观点正确。
2.假定你是刘某，请帮助范某设计一套资源动因分析程序。
3.说明范某提出的增值作业应该满足的3大条件。
4.简述改进作业的5个方法的具体内容。
2、兴旺股份有限公司是一家大型建设用胶合板生产企业，其产品分布华北广大地区。
为了提高企业的业绩，公司委派销售部门对兄弟企业的产品销路、价格、成本等进行一系列的调查。
经过一段时间的工作，调查者发现，自己企业的价格与其他企业相差不大，但利润较平均利润水平低3个百分点。
高等代数第6章习题解
第六章习题解答习题6.11、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）,()x x y V f y y αα-⎛⎫⎛⎫=∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2,()x y V f y x y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭； （4）0,()x V f y αααα⎛⎫=∈=+⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
（5）0,()x V f y ααα⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
解：（1）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）不是。
因为12121212122()x x y y f f y y x x y y αβ+++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()f f f αβαβ+≠+（4）不是。
高等代数（北大版）第6章习题参考答案
高等代数（北大版）第6章习题参考答案第六章线性空间1?设 MuN,证明：MRN = M、MUN = N。
证任取a eM，由MuN,得awN,所以awMDN,即证又因 MflNuM,故Mp|N = M。
再证第二式，任取a^M或a已N,但MuN,因此无论哪一种情形，都有aeN,此即。
但N uMU N,所以MUN = N °2.证明 Mp|(NUD = (MriN)U(MrU), MU(NfU) = (MUN)n(MUD。
证 VxwMCl(NUD，则在后一情形，于是 xeMflN佥所以xe(MC\N)\J(MC\L),由此得 MCl(NUD = (MnN)U(Mri 厶)。
反之，若 xw(MnN)U(MfU)，则XW MCIN或iwMCl L.在前一情形，x 已M、x已N、因此X^N\JL.故得xeMCl(NUE),在后一情形，因而xeM,xeL, x^N\jL ,得 xwMCl(NU 厶)，故(MnN)U(MClDuMri(N U 厶)，于是 Mn(NUD=(MriN)u(Mru)。
若xwMU（NDZJ ,贝ijxe M, xeNf）厶。
在前一情形 XxwMUN,且X wMU厶,因而xw（MUN）n（MUL）。
在后一情形，xwN,xwL,因而xiWUN,且XwMU厶，即Xw（MUN）n（MUL）所以（MUN）n（MUL）uMU（NUL）故MU（Np|L） = （MUN）pl（MUL）即证。
3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：1）次数等于n （n>l）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；2）设A是一个nXn实数矩阵，A的实系数多项式f （A）的全体，对于矩阵的加法和数呈乘法；3）全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；4）平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向疑的加法和数量乘法；5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：（?,勺2（。
(人教版B版)高中数学必修第二册 第六章综合测试试卷03及答案
第六章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A ．()10,0=e ，()21,2=eB ．()12,3=-e ，213,24æö=-ç÷èøe C ．()13,5=e ，()26,10=e D ．()11,2=-e ，()25,7=e 2．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，若E ，F 分别为AD ，11A C 的中点，则EF =uuu r（）A ．112AA AD+uuur uuu r B ．11122AA AB AD++uuur uuu r uuu r C ．112AA AB+uuur uuu r D ．11122AA AB AD+-uuur uuu r uuu r 3．设0a 为单位向量，①若a 为平面内的某个向量，则0|=|a a a ；②若a 与0a 平行，则0|=|a a a ；③若a 与0a 平行且||1=a ，则0=a a 上述命题中，正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．已知向量()2,1=a ，()3,4=b ，(),2k =c ．若()3-∥a b c ，则实数k 的值为（ ）A ．8-B ．6-C ．1-D ．65．如图6-4-1所示，已知2AB BC =uuu r uuu r ，OA =uuu r a ，OB =uuu r b ，OC =uuu rc ，则下列式子中成立的是（ ）A ．3122=-c b a B ．2=-c b a C ．2=-c a b D ．3122=-c a b 6．若向量()1,1=a ，()1,1=-b ，()4,2=c ，则=c （ ）A ．3+a bB ．3-a bC ．3-+a bD ．3+a b7．已知向量()2,1=a ，(),2x =-b ，若∥a b ，则+a b 等于（ ）A ．()2,1--B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-8．已知向量()2,1=--a ，()3,2=b ，则2-=a b （）A ．()6,4--B ．()5,6--C ．()8,5--D ．()7,6--9．已知向量(),12OA k =uuu r ，()4,5OB =uuu r ，(),10OC k =uuu r-，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是（）A ．23-B ．43C ．12D ．1310．设a 是非零向量，l 是非零实数，则下列结论正确的是（ ）A ．a 与l -a 的方向相反B ．||||l -≥a aC ．a 与2l a 的方向相同D ．||||l l -≥a a11．设P 是ABC △所在平面内的一点，且2CP PA =uuu r uuu r，则PAB △与PBC △的面积之比是（ ）A ．1：3B ．1：2C ．2：3D ．3：412．如图6-4-2所示，在ABC △中，3BD DC =uuu r uuur ，AE mAB =uuu r uuu r ，AF nAC =uuu r uuu r ，0m ＞，0n ＞，则13m n+=（ ）A ．3B ．4C ．43D ．34二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．计算：（1）()14=2-´a ________；（2）()()()2323554-++--=a b a b b a ________．14．已知向量()2,1=-a ，()1,3=b ，()3,2=c ．若()l +∥a b c ，则l =________．15．已知向量(),5AB m =uuu r ，()4,AC n uuu r =，()7,6BC =uuu r，则m n +的值为________．16．如图6-4-3所示，在正方形ABCD 中，点E 为边BC 的中点，点F 为边CD 上靠近点C 的四等分点，点G 为AE 上靠近点A 的三等分点，则向量FG uuu r 用AB uuur 与AD uuu r 表示为________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）如图6-4-4所示，四边形ABCD 是一个梯形，AB CD ∥，且2AB CD =，M ，N 分别是DC ，AB 的中点．已知AB =uuu r a ，AD =uuu r b ，试用a ，b 分别表示DC uuu r ，BC uuu r ，MN uuuu r ．18．（12分）已知向量1223=-a e e ，1223=+b e e ，其中1e ，2e 不共线，向量1229=-c e e ．问是否存在实数l ，m ，使向量l m =+d a b 与c 共线？19．（12分）在风速为75 km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．20．（12分）设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且()1,3A ，()2,2B -，()4,1C ．（1）若AB CD =uuu r uuu r，求点D 的坐标及||AD uuu r ；（2）设向量AB =uuu r a ，BC =uuu rb ，若k -a b 与3+a b 平行，求实数k 的值．21．（12分）已知向量()3,2=-a ，()2,1=b ，()3,1=-c ，t ÎR ．（1）求||t +a b 的最小值及相应的t 值；（2）若t -a b 与c 共线，求实数t ．22．（12分）如图6-4-5所示，在ABO △中，14OC OA =uuu r uuu r ，12OD OB =uuu r uuu r ，AO 与BC 相交于点M ．设OA =uuu r a ，OB =uuu rb ．（1）试用向量a ，b 表示OM uuuu r；（2）在线段AC 上取点E ，在线段BD 上取点F ，使EF 过点M ．设OE OA l =uuu r uuu r ，OF OB m =uuu ruuu r ，其中l ，m ÎR ．当EF 与AD 重合时，1l =，12m =，此时137l m+=；当EF 与BC 重合时，14l =，1m =，此时137lm+=．能否由此得出一般结论：不论E ，F 在线段AC ，BD 上如何变动，等式137l m+=恒成立．请说明理由．第六章综合测试答案解析一、1.【答案】D【解析】由于选项A ，B ，C 中的向量1e ，2e 都共线，故不能作为基底。
(人教版A版)高中数学必修第二册第六章综合测试03(含答案)
第六章综合测试一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．在ABC △中，若2sin b a B =，则A 等于（ ） A ．30°或60°B ．450或60°C ．120°或60°D ．30或150°2．已知向量()1,m =a ，()3,2=-b ，且()+⊥a b b ，则m =（ ） A ．8-B ．6-C ．6D ．83．已知点()1,3A ，()4,1B -，则与向量AB共线的单位向量为（ ） A ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4．已知非零向量a ，b 满足||4||=b a ，且()2+⊥a a b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．3πB ．2πC ．23π D ．56π 5．在ABC △中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6sin sin sin 5b c B c C a A ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则sin A =（ ）A ．45-B ．45 C ．35- D ．356．已知在ABC △中，()0BC AB AC +=，则ABC △一定为（ ）A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形7．向量()1,2=a ，()1,1=b ，且a 与λ+a b 的夹角为锐角，则实数λ满足（ ）A ．53λ-＜B ．53λ-＞C ．53λ-＞且0λ≠D ．53λ-＜且5λ≠- 8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2sin sin sin B A C =，a c ＜，且61cos 72B =，则ca=（ ） A ．169 B ．32 C ．85 D ．949．如图6-5-1，在ABC △中，23AN NC = ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．3410．如图6-5-2，在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度为（ ）A ．200 mB ．300 mC ．400 mD ．11．已知O 为ABC △内一点，若分别满足①||||||OA OB OC == ；②OA OB OB OC OC OA ==；③++=0OA OB OC ；④++=0aOA bOB cOC（其中a ，b ，c 为ABC △中角A ，B ，C 所对的边）．则O 依次是ABC △的（ ） A ．内心、重心、垂心、外心 B ．外心、垂心、重心、内心 C ．外心、内心、重心、垂心D ．内心、垂心、外心、重心12．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3A π=，2b =，ABC S =△，则2sin sin 2sin a b cA B C+-+-为（ ）A B C ．4D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a ，b 的夹角为60°，||2=a ，||1=b ，则|2|+=a b ________．14．已知向量a ，b 满足||5=a ，||6-=a b ，||4+=a b ，则向量b 在向量a 上的投影为________．15．已知等边ABC △的边长为2，若()13AP AB AC =+ ，12AQ AP BC =+，则APQ △的面积为________．16．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知13a b c -=，3sin 2sin B A =，22+32ac c ≤≤，设ABC △的面积为S ，t =t 的最小值为________． 三、解答题（本题共6小题，共70分）17．（10分）设向量a ，b 满足||||1==a b ，且|2|-=a b （1）求|23|-a b 的值；（2）求3-a b 与2-a b 的夹角 ．18．（12分）在ABC △中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设4a =，3c =，1cos =8B ．（1）求b 的值； （2）求ABC △的面积．19．（12分）已知向量a ，b 不共线，k =+c a b ，=-d a b ． （1）若∥c d ，求k 的值，并判断c ，d 是否同向；（2）若||||=a b ，a 与b 夹角为60°，当k 为何值时，⊥c d ．20．（12分）设ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos b A B ． （1）求角B 的大小；（2）若3b =，sin =2sin C A ，求ABC △的周长．21．（12分）已知a ，b 是两个单位向量． （1）若|3|3-=a b ，求|3|+a b 的值； （2）若向量a ，b 的夹角为3π，求向量2m =+a b 与23n =-b a 的夹角α．22．（12分）如图6-5-3，为拓展某湿地旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P ，已知射线AB ，AC 为湿地两边夹角为120︒的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB ，AC 上分别设立游客接送点M ，N ，从观景台P 到M ，N 建造两条观光线路PM ，PN ，测得2AM =千米，2AN =千米． （1）求MN 的长度；（2）若60MPN ∠=︒，求两条观光线路PM 与PN 之和的最大值．第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】D【解析】根据正弦定理sin sin a bA B=， 化简2sin b a B =得sin 2sin sin B A B =。
高代06--07B答案
信阳师范学院2006-2007学年度第一学期《高等代数》试卷（B ）参考答案一. 填空题(每小题4分，共40分). 1、1；2、12-（2重）；3、324270p q +=；4、48；5、0ij a ≠；6、3，124,,ααα；7、111162110622103⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭8、1111----⎛⎫⎪-⎝⎭AO B CA B ； 9、101n ⎛⎫ ⎪⎝⎭10、405t -<<二. 计算题(每小题10分,共30分).1. 判断下列多项式在有理数域上是否可约. 1）21x +2）631x x ++解：1）因为1±都不是它的根，所以21x +在有理数域里不可约。
2）首先证明命题：设有多项式()f x ，令1x y =+或1x y =-，得()(1)g y f y =+或()(1)g y f y =-则()f x 与()g y 或者同时可约，或者同时不可约。
事实上，若()f x 可约，即12()()()f x f x f x =，从而12()(1)(1)(1)g y f y f y f y =±=±±这就是说()g y 也可约，反之亦然。
现在我们来证明631x x ++在有理数域上不可约。
令1x y =+，则多项式变为6365432(1)(1)1615211893y y y y y y y y ++++=++++++利用艾森斯坦判别法，取3p =，即证上式不可约，因而631x x ++也不可约。
2. 用导出组的基础解系表出下列线性方程组的全部解.123412345123451234512345354 1 32212 3 4 32 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-+=-⎪⎪-+--=⎨⎪-++-=⎪++-+=-⎪⎩ 解：对方程组的增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→------⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦102101100101003212000212002000002000000000000000011100010000--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ 所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200x x x x x x x -=⎧⎪+=-⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩ 若令41x =，代入原方程组的导出组，可解得12351,1,0,2x x x x ====-， 于是导出组的基础解系为(1,1,0,1,2)η'=-且原方程组的一个特解为0(1,0,0,0,2)η'=-故原方程组的全部解为1230451101000122x x x k k x x ηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中k 为任意常数.3. 计算n 阶行列式12312111111111111111(0)11111n n na a D a a a a a ++=+≠+解：n D =1211111101111011110111101111n na a a a -++++=121111111000100100010n na a a a -----112111110000000ni ina a a a =+=∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∑=ni i n a a a a 12111 .三. 证明题(每小题10分,共30分).1. 证明：与基础解系等价的线性无关向量组也是基础解系.证 由于两个等价的线性无关向量组所含向量个数是相等的，不妨设12,,,r ηηη 是齐次线性方程组的一个基础解系，且12,,,r a a a 与它等价，则(1,2,,)i a i r = 可由12,,,r ηηη 线性表出，从而(1,2,,)i a i r = 也是原齐次线性方程组的解.又由题设知12,,,r a a a 线性无关，且12,,,r ηηη 可由12,,,r a a a 线性表出，从而齐次线性方程组的任一个解β也都可以由12,,,r a a a 线性表出，即证12,,,r a a a 也是方程组的一个基础解系.2. 设A 是实对称矩阵，证明：当t 充分大时，矩阵A +t E 是正定的.证⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=+nn n n n n a t a a a a t a a a a t A tE212222111211它的k 级顺序主子式为()111212122211,1,12k k k k k k k k k k k k kkt a a a a t a a t t b t b t b a a t a --++∆==+++++是关于t 得k 次多项式，由()lim k t t →+∞∆=+∞知，当t 充分大时，()0k t ∆> ()n k ,,2,1 =，从而A tE +是正定的。
高五版第六章习题答案
第六章完全竞争市场1、(1) P=3, Q=10(2) p=34、(1)由已知得SMC=0・3Q3-4Q+15根据完全竞争厂商实现利润最大化原则P=SMC，有0.3Q3-4Q+15=55解得Q=20 将Q=20代入利润等式有:3 2n =TR-STC=P Q-STC= (55 X 20) - ( 0.1 X 20 -2X 20+15 X 20+10)=790(2)当市场价格下降为P小于平均可变成本AVC即P W AVC时,厂商必须停产。
而此时的价格P必定小于最小的可变平均成本AVC。
根据题意，有:AVC=0.1Q2-2Q+15令dAVC/dQ=0解得Q=10代入AVC，得AVC=5即，当市场价格P=5时，厂商必须停产(3)根据完全厂商短期实现利润最大化原则P=SMC,有:0.3Q2-4Q+ (15-P) =0解得Q=4±J I6-1.2(15-P)，取+ 厂20.6 0.6因为该厂商在短期只有在P》5时才生产，而PV5时必定会停产,所以，该厂商的短期供给函数为:, P>50.6Q=0 , P<55、（1）根据题意，有,LMC=3Q 2-24Q+40且完全竞争厂商的P=MR，根据已知条件P=100，故有MR=100。
由利润最大化的原则MR=LMC，得：3Q2-24Q+40=100整理得Q2-8Q-20=0解得Q=10 （负值舍去了）又LAC= Q 2-12Q+40将Q=10代入，得:LAC=20兀=TR-L TC=800(2) LAC=Q 2-12Q+40令dLAC/dQ=0得，Q=6 此时，LAC=4（3）由于完全竞争的成本不变行业的长期供给曲线是一条水平线,且相应的市场长期均衡价格是固定的，它等于单个厂商的最低的长期平均成本，所以，本题的市场的长期均衡价格固定为P=4。
以P=4代入市场需求函数Q=660-15P,便可以得到市场的长期均衡数量为Q=660-15 X 4=6000现已求得在市场实现长期均衡时，市场均衡数量Q=600,单个厂商的均衡产量Q=6，于是，行业长期均衡时的厂商数量=600+ 6=100家）6、（1）在完全竞争市场长期均衡时有LS=D ，即有：5500+300P=8000-200P解得P =5代入LS 函数，得：Q e=7000所以，市场的长期均衡价格和均衡数量分别为P=5，Q e=7000 2）同理可得P e=9,Q e=82003）比较（1）、（2）可得：对于完全竞争的成本递增行业而言，市场需求增加，会使市场的均衡价格上升，即由P=5上升为P=9;使市场的均衡数量也增加，即由Q e=7000增加为Q e=8200。
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高等代数单元自测题答案(第六章)
一、1. B 2.A 3. D 4.B 5.D 6.D 注：3.21V V ⋂的维数即齐次方程组
⎪⎩⎪
⎨
⎧=+-=+=+-.023,0,
02321
21321x x x x x x x x 的解空间的维数.由022
1
30111
12≠=-- 知这齐次方程组只有零解.
4.由 ),,(211ααL V =其中);1,0,2(),0,1,1(21=-=αα ),(32αL V =其中).1,4,2(3-=α
知),,,(32121αααL V V =+,2),,()dim(32121==+αααr V V 二、1.√ 2. √ 3.⨯ 4. √ 5. ⨯ 三、1.解
,211
021*********
2
12001111
11
1
1
21111111⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡-→⎥⎥
⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--- 所求坐标为).2
1
,2
1
,1(-
2.解 21W W ⋂即为齐次线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=+=+0
2,02,
02321
3121x x x x x x x 的解空间.其一般解为⎩⎨⎧=-=.4,23231x x x x 基础解
系为).1,4,2(-=η故21W W ⋂的维数是1，).1,4,2(-=η是它的一个基.
由 ),(1αL W =其中);1,4,2(-=α
),,(2γβL W =其中).1,0,2(),0,1,1(=-=γβ 得 ),,,(21γβαL W W =+ 但,4γβα+= 故 ,),(221W L W W ==+γβ 即 γβ,是21W W +的一个基，其维数是2.
3.解 设,),,(),,(321321X εεεηηη=.),,()'1,1,0(0321Y εεεα=-=则 ),,)(,,(),,,(0321321Y X εεεαηηη=
1
3210)
,,(),(-=εεεY X ),,,(321αηηη.
只须做如下变换:
,,,),,(0）（初等行变换Y X E B A −−−→−α 其中).,,(),,,(321321ηηηεεε==B A
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----11
1
1
6
1
01101110
001130111
1
1
1
211011100011301
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
-----→⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-----→720
7
17
21
01101110
001130120
1
2
7
011011100011301
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---
-
→720
7
17
21
0751*******
76074
71001).,,(0Y X E =
四、1.证明
（1） 据子空间定义验证. （2） 由于
(),(1,1,1);(,),(1,1,0),(1,0,1).U L W L ααβγβγ====-=
可得 {},0=⋂W U ).,,(γβαL W U =+ 又γβα,,线性无关，故 3P W U =+， 所以 3W U P ⊕=
2.证明,)(n n ij a A ⨯=∀如果,W U A ⋂∈那么ji ij a a =,
).,,2,1,(n j i a a ji ij =-=从而0
=A .即{}.0=⋂W U
,n
n P
A ⨯∈∀有,
)'(2
1,)'(21W A A U A A ∈-∈+于是 W
U A A A A A +∈-+
+=
)'(2
1)'(2
1
即 .W U P n n ⊕=⨯
3.证明 显然)2(Q 是非空的，关于加法与数乘是封闭的，且
具有零元、负元素，事实上0是零元，a +的负元是a --。
),2(2Q b a ∈+∀都有 .,,212Q b a b a b a ∈⋅+⋅=+即
)2(Q 中每一个数都可以由2
,
1线性表示；且2,1在Q 上线性无
关.所以)2(Q 的维数是2，一组基是2,1.。