第三章可修复系统的可靠性

1 2 1 2 1 2
0 1 4 1 2
则： P 2
1 2 1 2 P 4 0
1 2 1 2 1 2
1 0 2 1 1 4 4 1 0 2
1 2 1 2 1 2
3 3 0 8 8 1 2 8 4 1 1 2 8
5
3 2 处于e2状态的概率： P22 1 M ( ) 1 5 5
两状态转移图为：
4/5 e1
1/5
2/5 e2 3/5
可 靠 性 设 计
转移矩阵：
P P 11 P21 4 5 P 12 P22 3 5 1 5 2 5
已知e1，e2，e3三个状态，其状态转移图 如图所示。初始状态为E(0)=(1,0,0),求由e1 出发至第二步转移后各状态的概率。
1 2 1 2 1 4 1 2
1 2
e1
1 4
e2
1 2
e3
可 靠 性 设 计
解：方法一 该状态转移图的转移矩阵：
1 2 1 P 4 0
4 1 1 8 8 8 4 2 8 8 4 3 8 8
可 靠 性 设 计
方法二
P P ij iv P vj
n
v
n1
该题目中，v=1，2，3；n=2。
P 11 P 11 P 11 P 12 P 21 P 13 P 31
2 1 1 2 1 1 1
m
j 1
k
ij
m11 m12 m m22 21 MC ml1 ml 2
可 靠 性 设 计
例 3－ 5
三个状态的状态转移图如图所示，其中e1为 正常状态，e2为故障状态（可修复），e3为吸收 状态，失效后不再修理了。求达到吸收状态时平 均转移次数及各状态的停留次数。
1 2 1 2 1 2 1 4
1
1 4 4 2 1 2 4 2
1
可 靠 性 设 计
（3）平均转移次数：
4 4 1 8 MC 2 4 1 6
可 靠 性 设 计
第二节 单部件可修复系统的有效度
假设： 1.系统由一个单元和一组维修人员组成； 2.组成系统单元的寿命和维修时间均服从指数分布； 方法步骤： 1、明确空间状态（弄清维修系统的所有状态）
遍历矩阵经n次转移后达到稳定状态，在这种情 况下，其整体状态变量可用行向量X表示。在经过转 移后，转移矩阵已经稳定（收敛），因此，即使再转 移下去，它的状态概率也不会变了。所以可以写出：
XP X
四、吸收状态的平均转移次数（或平均时间）可 靠 性 设 计 当转移过程达到某一状态，再也不能向其 吸收状态： 他状态转移时，称此状态为吸收状态。 要求在吸收状态时由ei转移到ej所需的平均转移 次数，须先求出M矩阵。
假如系统完全由定义为“状态”的变量的取值来描述，则： 可用一组随机变量X(t)来描述。
1 X (t ) 0 2
状态转移： 转移概率：
表示时刻t系统正常 表示时刻t系统故障
状态转移是个随机过程，要 用系统在各种状态下的概率来 描述，是一个典型的时间连续 和状态离散的随机过程。
描述系统的变量从一个状态的特定值变 化到另一个状态的特定值，则说系统实 现了状态的转移。 由一种状态向另一种状态转移是随机的，
可 靠 性 设 计
X (tn 1 ) 一经决定，转移到时刻 tn的状态 X (tn )
的条件概率为：
P X (tn ) / X (tn 1) P X (tn ) / X (t1), X (t2 ),..., X (tn 1)
二、转移矩阵
有一台机器，运行到某一时刻t时，可能有的状态 有e1（正常运行）及e2（发生故障）。
可 靠 性 设 计
第一节
一、基本概念
马尔柯夫过程
随机事件的变化过程，它无法用确 定性的形式来描述。
在使用期间可以修复的复杂系统，由系统部件的可靠性和维修性决定了系 统在任务期间的某一时刻，系统可能随机地处于某种状态
正常状态 故障状态或修理状态
故障
S
也可能不转移 （无故障）
F
未修复
修复
可 靠 性 设 计
m11 m 1 M I Q 21 ml1 m12 m22 ml 2 ... m1k ... m2 k ... mlk
I－－单位矩阵；
Q－－由转移矩阵P中去掉吸收状态的行和列后的子矩阵。
可 靠 性 设 计
从状态ei出发到达吸收状态的平均转移次数为：
2
1 1 2 2 2 5
1 2 9 3 20 5
11 20
以此类推，可得：
可 靠 性 设 计
n次转移概率
转移步数 0 1 0.5 0.5 2 3 4 5 …
e1（正常状态）1 e2（故障状态）0
0.45 0.445 0.4445 0.55 0.555 0.5555
是以一定的概率来实现的，此概率称为转移概率。
可 靠 性 设 计
★马尔柯夫过程： 转移概率只需考虑过去有限次之内状态情况，而与 这有限次以前的状态无关，这样的随机过程称为马尔柯 只要已知系统开始工作时的状态，就可以确定以后任意时 夫过程。
刻，系统处于可工作状态的概率，而与以前的状态无关。 可用于在任务期间部件的寿命和修复时间 均服从指数分布的系统可靠度的描述。
★一步马尔柯夫过程：
如果由一个状态转移到另一个状态的转移概率只与现 在所处状态有关，而与这一状态以前各状态完全无关， 这样的马尔柯夫过程称为一步马尔柯夫过程。
如果已知时间
t1, t2 , t3,..., tn 1 对应所处状态为
X (t1 ), X (t2 ),..., X (tn 1 ) 只要前一个状态
用矩阵表示为：
k m 1j j 1 ... m1k 1 k ... m2 k 1 m2 j j 1 ... mlk 1 k m lj j 1
21 22
发生一个以上故 障的概率，高阶 无穷小，表示基 本不会发生一个 以上的故障
可 靠 性 设 计
3、写出每一状态在时刻t+△t时的概率 利用全概率公式得： P t t P2 t 1 t t P 1 t P 11 t P 2 t P 21 t 1 t P 1 t
转移步数 0 1 0.4 0.6 2 3 4 5 …
e1（正常状态）0 e2（故障状态）1
0.44 0.444 0.4444 0.56 0.556 0.5556
0.44444 … 0.55556 …
可 靠 性 设 计
任何马尔柯夫转移矩阵，它的极限概率 各态历经性： 与初始状态无关，称之为各态历经性， 这样的状态转移矩阵称为遍历矩阵。
假设处于e1状态的概率为4/5，维修度为3/5。则：
4 处于e1状态的概率： P 11 R (t ) 5
可 靠 性 设 计
4 1 由e1向e2转移的概率： P 12 F (t ) 1 R (t ) 1 5 5
由e2向e1转移的概率： P21 M ( ) 3
简单系统，任一时刻只可能有两种状态 。
可 靠 性 设 计
λ△t
1－ λ
△t
1－ μ
e2
△t
Leabharlann Baidu
e1
μ△t 2、写出状态转移概率
连续型马尔柯夫过程，状态转移是在t～t+△t的一 个极小区间△t内完成的。
其马尔柯夫链的微系数矩阵为：
t 1 t P（△t）= t 1 t
2 1 1
1
1
可 靠 性 设 计
三、极限概率及各态历经性
E(n) E(0) Pn
例 3－ 2
某设备状态转移图如图所示，如初始状态向量
E 0 1 0 ，求各次转移后设备所处的状态。
解： 其转移矩阵为：
1 2 P 2 5 1 2 3 5
P 1 t P X t 1 P 2 t P X t 0
表示系统处 于正常状态
可 靠 性 设 计
表示系统 处于故障 状态
△t时间内各转移概率为：
P 11 t P X t t 1 X t 1 1 t 0 t
1
e1
1 4
e2
e3
解：
（1）其转移概率矩阵P：
可 靠 性 设 计
1 2 1 P 4 0
1 2 1 2 0
0 1 4 1
其中P33＝1表示吸收状态，故
1 2 Q 1 4 1 2 1 2
（2）基本矩阵M：
1 1 0 2 M ( I Q)1 0 1 1 4 1 1 2 2 1 1 2 4
可修复系统:
对于象汽车、飞机、通信系统等大多数复杂系统而 言,一旦发生故障常常是修理而不是置换。
可 靠 性 设 计
在任务执行期间，当系统故障而不能执行任务时允 许修理，修复后继续执行任务。 其任务可靠性不仅受各单元可靠性的影响，而且 受到各单元维修特性的影响。 研究系统开始工作后，在任意时刻系统处于工作 状态的概率。 方法 马尔可夫过程法
0.44445 … 0.55555 …
结论： （1）随着转移步数的增加，状态趋于稳定。 稳定状态的概率称为极限概率。
（2）当n趋于无穷大时，n步转移矩阵Pn将 收敛于一个概率矩阵。
可 靠 性 设 计
4 9 n P 4 9
5 9 5 9
（3）稳定状态极限概率于初始状态无关。 如果初始状态为 E 0 0 1 ，n次转移的概率为：
12
P t P X t t 0 X t 1 t 0 t P t P X t t 1 X t 0 t 0 t P t P X t t 0 X t 0 1 t 0 t
如果系统的初始状态是ei，经过n次转移后处于ej 的概率是此转移期间所有通道v的概率和，记作：
P P ij iv P vj
n
v
n1
设以 Pij n 为元素组成的矩阵为 P n 1 以 Pij 为元素组成的矩阵为 P
则：
P
n
可 靠 性 设 计
P
n
例 3－ 1
一般形式：
设可能发生的状态有e1，e2，e3，…，en，在事 件ei发生后，事件ej发生的条件概率为Pij，其转移 矩阵为：
可 靠 性 设 计
P 11 P P 21 ... Pn1
P 12 P22 ... Pn 2
... P 1n ... P2 n ... ... ... Pnn
1 1 1 1 3 0 0 2 2 2 4 8 1 1 1 1 1 4 0 2 2 2 2 2 8 1 1 1 1 1 0 0 2 2 4 2 8
P 12 P 11 P 12 P 12 P 22 P 13 P 32 P 13 P 11 P 13 P 12 P 23 P 13 P 33
1/2 e1
1/2
3/5 e2 2/5
可 靠 性 设 计
当n=1时
1 2 E 1 E 0 P 1 0 2 5 1 2 1 3 2 5 1 2
当n=2时
1 E 2 E 0 P E 1 P 2