江苏省扬州市2018届高三第一次模拟考试数学
(完整word版)2018-2019高三第一次模拟试题文科数学

高三年级第一次模拟考试60分.在每小题给出的四个选项中,有且合 题目要畚考公式:样本败据x lt 鬲的标准差 尸¥门如一訝+他— 英叩丘为样車屮均数柱体的体积公式Y=*其中/为底!ftl 曲积・h 为海341(1)复数 I ~i = (A) 1+2i (B) 1-2i(C) 2-i (D) 2+i⑵函数的定义域为(A) (-1,2) (B) (0, 2] (C) (0, 2) (D) (-1,2] ⑶ 己知命题p :办I 砒+ llX ,则了为 锥体的体积公式v=*h 乩中$为底面面枳,h 为商 耶的親血祝*休枳公式$=4庆,評It 中月为球的半牲(A) (C)函数|;宀林匚阴的图象可以由函数'尸沁酬的图象 (A) 64 (B) 31 (C) 32 (D) 63(7) 已知某几何体的三视图如图所示,则其表面积为 (A)右+4观(B)「(C) 2 (D) 8一、选择题:本大题共12小题,毎小题5〕 分,共 只有一 项 符(B)(D)(A) (C)向左平移个单位得到JL个单位得到(B)向右平移3个单位得到 向左平移设变量x 、y 满足约束条件 ⑸ (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 5(D)向右平移个单位得到g+2y —2 鼻(h[2x +工一7冬6则的最小值为(6)等比数列{an }的公比a>1,血,则-血+口 $+他"卜彌=(8) 算法如图,若输入 m=210,n= 119,则输出的n 为 (A) 2 (B) 3 (C) 7 (D) 11(9) 在 中,/恥C 权」,AB=2, AC=3,则 = (A) 10 (B)-10(C) -4 (D) 4(10) 点A 、B 、C D 均在同一球面上,其中 的体积为(11) 已知何m 2 '黑⑴-代2侧集合」「等于D |『工=对止卡(B)卜: (12) 抛物线 的焦点为F,点A 、B 、C 在此抛物线上,点A 坐标为(1,2).若点F 恰为 的重心,则直线 BC 的方程为 (A)龙卄一0 (B): tT '■(C)Ly=0 (D) | It \.■二、填空题:本大题共 4小题,每小题5分,共20分.(13) 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,从全班 50名同学中按男生、女生用分层 抽样的方法随机地抽取一个容量为 10的样本进行分析•己知抽取的样本中男生人数为 6,则班内女生人数为 ________ .Lif ]町= :—(14) 函数.文+】(X 〉0)的值域是 _________ .(15) 在数列1禺1中,尙=1,如 厂% = 2门丨,则数列的通项 □」= _________ .—7 --- F ------(16) —P 尺的一个顶点P ( 7,12)在双曲线 产 3上,另外两顶点 F1、F2为该双曲线是正三角形,AD 丄平面 AD=2AB=6则该球(D)(C) 卜 j(—Ak 土(D)(A) (B) 15 (C)的左、右焦点,则屮八几的内心的横坐标为 __________ .三、解答题:本大题共 6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分12分)在厶ABC 中,角A 、B C 的对边分别为a 、b 、c, A=2B,呦占」5 ' (I ) 求cosC 的值;[c\(II)求的值•(18) (本小题满分12分)某媒体对“男女同龄退休”这一公众关注的问题进行了民意调查, 右表是在某单位得到的数据(人数)•(I )能否有90%以上的把握认为对这一问题的看法与性别有关?(II)从反对“男女同龄退休”的甲、 乙等6名男士中选出2人进行陈述,求甲、乙至少有- 人被选出的概率.反对 合计|男 5 6 H 1 女II1 3 "14 合计 16925(19) (本小题满分12分)如图,在三棱柱.A 尅匚 "Q 中,CC1丄底面ABC 底面是边长为2的正三角形,M N 、G 分别是棱CC1 AB, BC 的中点. (I ) 求证:CN//平面AMB1 (II)若X 严2迄,求证:平面AMG.(20) (本小题满分12 分)X'设函数:「—L(I )当a=0时,求曲线在点(1, f(1))处的切线 方程;P(K 2^k) 0.25 Od U 0J0 kL323 2.072 2.706__ ,讯耐一比严 ____(a+附:(II )讨论f(x)的单调性•(21) (本小题满分12分)中心在原点0,焦点F1、F2在x 轴上的椭圆E 经过点C(2, 2),且 ―二◎土::(I) 求椭圆E 的方程;(II) 垂直于0C 的直线I 与椭圆E 交于A B 两点,当以AB 为直径的圆P 与y 轴相切时,求 直线I 的方程和圆P 的方程•请考生在第(22)、( 23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分 •作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 •(22) (本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,AB 是圆0的直径,以B 为圆心的圆B 与圆0的一个交点为P.过点A 作直线交圆Q 于 点交圆B 于点M N. (I )求证:QM=QNi110(II)设圆0的半径为2,圆B 的半径为1,当AM= 时,求MN 的长.(23) (本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数 方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,.已知直线I 的参数方程为 (t 为参数,(I )求曲线C 的直角坐标方程;(II)设直线I 与曲线C 相交于A B 两点,当a 变化时,求|AB|的最小值.(24) (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 设曲线C 的极坐标方程为2cos 0 L朋& *并在两种坐标系中取相同的长度单位(I) 求不等式的解集S;(II) 若关于x不等式应总=1我=;『;:纂釧有解,求参数t的取值范围(18) 解: 由此可知,有90%的把握认为对这一问题的看法与性别有关.…5分(H)记反对“男女同龄退休”的6男士为ai , i = 1, 2,…,6,其中甲、乙分别为a2,从中选出2人的不同情形为: a1a2, a1a3, a1a4, a1a5, a1a6, a2a3, a2a4, a2a5 , a2a6, a3a4, a3a5, a3a6 , a4a5, a4a6, a5a6,…9分共15种可能,其中甲、乙至少有1人的情形有9种,93 所求概率为P = .…12分(19)解:(I)设 AB1的中点为 P ,连结NP 、MP1 1•/ CM^ — A1 , NP^— A1 , • CM^ NP,2 2文科数学参考答案 一、 选择题: A 卷: ADCDC B 卷: BCDAB 二、 填空题: (13) 20 三、 解答题: (17)解:DACB ADDCAB(14) BB CA(-1,1)(15) n2(16) 1(I): B =(0,亍),••• cosB = 1— s in 2B =•/ A = 2B ,「.4si nA = 2si nBcosB = , cosA = cos2B = 1 — 2si n2B = 5 , ••• cosC = cos[ —(A + B)] = — cos(A + B) = si nAsi nB — cosAcosB =— 2.525 'sinC =1 — cos2C=11 .525 ,根据由正弦定理,c si nC 11b sinB 5…12分(I) K2= 25 X (5 X 3— 6 X11)216 X 9X 11 X 142.932 > 2.706 a1 ,• CNPK是平行四边形,• CN// MP•/ CN平面AMB1 MP平面AMB1 • CN//平面AMB1 …4分(n)v cc 仏平面 ABC •••平面 CC1B1E L 平面 ABC , •/ AG 丄 BC, • AGL 平面 CC1B1B • B1M L AG •/ CC1 丄平面 ABC 平面 A1B1C1 //平面 ABC •- CC L AC, CC1 丄 B1C1 ,在 Rt △ MCA 中 , AM k CM 即 AC2= 6. 同理,B1M=6.•/ BB1/ CC1, • BB1 丄平面 ABC •- BB1 丄 AB, • AB1= B1B2+ AB2= C1C2+ AB2= 2.3 , • AM2+ B1M2= AB2, • B1ML AM 又 AG A AM= A , • B1ML 平面 AMG (20)解:, , x2 x(x — 2) (I)当 a = 0 时,f(x) = , f (x)=—亠exex1 1f(i) =T ,f (i) =-^,曲线y = f(x)在点(1 , f(1))处的切线方程为(2x — a)ex — (x2 — ax 土 a)ex e2x(1 )若 a = 2,贝U f (x) w 0 , f(x)在(一a , +s )单调递减. …7 分(2 )若 a v 2,贝 U…10分 …12分1y =肓(x — 1) +(x — 2)(x — a)exA Bf (x)当x€ ( —a , a)或x€ (2 , +a )时,f (x) v 0,当x € (a , 2)时,f (x) > 0 , 此时f(x)在(—a , a)和(2 , +a )单调递减,在(a , 2)单调递增.(3)若a> 2,贝U当x€ ( —a , 2)或x€ (a , +a )时,f (x) v 0,当x € (2 , a)时,f (x) >0 , 此时f(x)在(—a , 2)和(a , +a )单调递减,在(2 , a)单调递增. …12分x2 y2(21)解:(I)设椭圆E的方程为02+ b2 = 1 (a>b> 0),贝y a2+ b2记c= ,a2—b2 ,不妨设F1( — c , 0) , F2(c , 0),则C f1= ( —c—2, —2) , C f2= (c —2, —2),则C f1 • C f2= 8 —c2 = 2 , c2 = 6,即a2 —b2= 6.由①、②得a2= 12, b2= 6. 当m= 3时,直线I 方程为y =— x + 3, 此时,x1 + x2 = 4,圆心为(2 , 1),半径为2,圆P 的方程为(x — 2)2 + (y — 1)2 = 4; 同理,当 m=— 3时,直线I 方程为y = — x — 3,圆P 的方程为(x + 2)2 + (y + 1)2 = 4. …12分 (22)解:(I)连结 BM BN BQ BP. •/ B 为小圆的圆心,••• BM= BN 又••• AB 为大圆的直径,• BQL MN , •- QM= QN …4 分 (n)v AB 为大圆的直径,•/ APB= 90 , • AP 为圆B 的切线,• AP2= AM- AN …6分 由已知 AB= 4, PB= 1 , AP2= AB2- PB2= 15,所以曲线C 的直角坐标方程为 y2= 2x .(n)将直线l 的参数方程代入 y2 = 2x ,得t2sin2 a — 2tcos a — 1= 0.所以椭圆E 的方程为 x2 y2 i2+ 6 = 1. (也可通过2a = iCFlI + |C ?2|求出a ) (n)依题意,直线 0C 斜率为1,由此设直线I 的方程为y = — X + m 代入椭圆 E 方程,得 3x2 — 4m 灶2m2- 12= 0. 由△= 16m2- 12(2m2 — 12) = 8(18 — m2),得 m2< 18. 4m 2m2— 12 记 A(x1 , y1)、B(x2 , y2),贝U x1 + x2=^ , x1x2 = -—. 3 3 x1 + x2 圆P 的圆心为(一_, y1 + y2 2 ),半径r = 当圆P 与y 轴相切时, x1 + x2 r = 1 2 1, 2x1x2 = (x1 + x2)2 4 2(2m2 — 12)= 3 = 4m2 —,m2= 9v 18. …10分 (I)由 2cos 0 p = sinr v ,得(p sin 0 )2 = 2 p cos 0, …6分 7 6设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,则4C0S2 a 4 2 + = ------------------------ sin4 a sin2 a sin2 a当a =—亍时,|AB|取最小值2 .…10分 (24)解:—x + 3, x v — 3,(I) f(x) = — 3x — 3,— 3<x < 0,x — 3, x >0.如图,函数y = f(x)的图象与直线 y = 7相交于横坐标为 x1 =— 4,x2 = 10的两点, 由此得 S = [ — 4, 10].\ :I…6分(n)由(I )知,f (x )的最小值为一3,则不等式 f(x) + |2t —3| < 0有解必须且只需—3 + |2t — 3| < 0,解得0W t < 3,所以t 的取值范围是[0 , 3]. t1 + t2 = 2C0S a sin2 at1t2 sin2 a :.|AB| = |t1 - t2| = (t1 + t2)2 - 4t1t2 …10分。
江苏省扬州市2018届高三第一次模拟考试数学
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江苏省扬州市2018届高三第一次模拟考试数学考试说明江苏省扬州市2018届高三第一次模拟考试数学科目是为了为学生们提供一个练习和检验自己的机会,考试内容主要覆盖高中数学的基础知识和应用题目。
考试时间为120分钟,总分150分。
考试分为两部分:选择题和非选择题。
选择题部分包括单选题和多选题,共60分;非选择题包括填空题、解答题和证明题,共90分。
考试使用普通科学计算器。
难度分析此次模拟考试难度适中,注重基础知识的考察,又在应用题目中加入一些较为复杂的计算和推理题,旨在考察学生的思考能力和综合应用能力。
选择题的难度较低,其中有一定概率会考察一些考生所熟悉的题目类型。
非选择题的难度适中,较注重计算和推导过程,需要对知识点和解题技巧进行深入理解和掌握。
考试内容选择题选择题部分涵盖高中数学的各个知识点,包括代数、几何、概率与数理统计、数学分析等。
部分题型包括:•单选题:考察对知识点的掌握和应用能力。
•多选题:考察对知识点的理解和判断能力,需要通过对各个选项进行分析和综合判断。
非选择题非选择题部分分为填空题、解答题和证明题。
考察的内容主要包括以下方面:代数•求实数解、复数解等方程的解法及其应用•解二元一次不等式组,解三角不等式及简单难度的组合不等式。
几何•思考几何问题的解法及其应用•常用的几何变换及其性质的掌握。
概率与数理统计•定义、概率公式的应用•基本离散计数型随机变量的概率分布的计算•样本数据的分析数学分析•导数、微分、积分等基础概念及其应用•极值和最值问题的求解考试建议考前准备•回顾数学基础知识,理解各个知识点与题目要求的关系。
•制定学习计划,对各个知识点进行分类学习。
•练习各种难度的数学题目,巩固各类常见数学题型。
考试策略•精读题目,理解所考察的基础知识和题目意图。
•重视题目出题时的条件限制,注意各个计算过程的准确性与合理性。
•归纳,不断提高综合运用能力。
此次江苏省扬州市2018届高三第一次模拟考试数学科目难度适中,基本涵盖了高中数学各个知识点,重视对学生思维能力和综合运用能力的考察。
推荐-扬州大学附属中学2018届高三数学第一次月考测试及答案 精品
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扬州大学附属中学2018届高三数学测试班级 姓名 学号 成绩一、选择题:本大题共10小题,每小题6分,共60分。
直接将答案填在下列表格中。
1. 下列函数中,与||x y =为同一函数的是( B )A .()2x y = B .2x y =C .⎩⎨⎧<->=)0(,)0(,x x x x y D .x y =2. 三个数0.56,60.5,0.5log 6的大小顺序为( D )A .5.05.0666log 5.0<<B .6log 65.05.05.06<<C .65.05.05.066log <<D .5.065.065.06log << 3. 设集合2{|,}M y y x x R ==∈,{|2,}xN y y x R ==∈,则MN 中元素的个数有( D )A .2个B .3个C .4个D .无数个 4. 若关于x 的不等式24x x m -≥对任意(0, 1]x ∈恒成立, 则 ( D ) A .4m ≥- B . 3m ≥- C . 30m -≤< D . 3m ≤-5. 设指数函数()(01)x f x a a a =>≠且,则下列等式不正确...的是 ( B ) A .()()()f x y f x f y +=⋅ B .[()]()()n n n f xy f x f y =⋅C .()()()f x f x y f y -= D .()()n f nx f x = 6. 2|log |y x =的定义域为[, ]a b , 值域为[0, 2]则区间[, ]a b 的长度b a -的最小值为( B )A .3B .43C .2D .23 7. 函数lg ||x y x=的图象大致是 ( D )8. 函数2()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是( B ) A .(1,2) B .(2,)e C .(,3)e D .(3,)+∞9. 已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表:则方程[()]g f x x =的解集为( C )A .{1}B .{2}C .{3}D .∅ 10.已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称,且满足3()()2f x f x =-+,又(1)1f -=,(0)2f =-,则(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++= (D )A .-2B .–1C .0D .1二、填空题:本大题共6小题,每小题6分,共36分。
扬州市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
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扬州市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1. 已知为的三个角所对的边,若,则,,a b c ABC ∆,,A B C 3cos (13cos )b C c B =-sin :sin C A =()A .2︰3B .4︰3C .3︰1D .3︰2【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理,意在考查转化能力、运算求解能力.2. 在ABC ∆中,内角A ,B ,C 所对的边分别是,,,已知85b c =,2C B =,则cos C =( )A .725B .725-C. 725±D .24253. 双曲线=1(m ∈Z )的离心率为()A .B .2C .D .34. 已知双曲线﹣=1(a >0,b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,若双曲线右支上存在一点P ,使得F 2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上,则该双曲线的离心率e 的取值范围为( )A .1<e <B .e >C .e >D .1<e <5. 如图,在棱长为1的正方体中,为棱中点,点在侧面内运动,若1111ABCD A B C D -P 11A B Q 11DCC D ,则动点的轨迹所在曲线为( )1PBQ PBD ∠=∠Q A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识,意在考查空间想象能力.6. 圆锥的高扩大到原来的 倍,底面半径缩短到原来的,则圆锥的体积( )12A.缩小到原来的一半B.扩大到原来的倍C.不变D.缩小到原来的167. 为了得到函数y=sin3x 的图象,可以将函数y=sin (3x+)的图象()A .向右平移个单位B .向右平移个单位C .向左平移个单位D .向左平移个单位班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________8. 设集合,,则( )A BC D9. 若关于的不等式的解集为或,则的取值为( )2043x ax x +>++31x -<<-2x >A . B . C .D .1212-2-10.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若该程序运行后输出的结果不大于20,则输入的整数i 的最大值为()A .3B .4C .5D .611.设a ,b ,c ,∈R +,则“abc=1”是“”的()A .充分条件但不是必要条件B .必要条件但不是充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要的条件12.如图所示的程序框图,若输入的x 值为0,则输出的y 值为()A .B .0C .1D .或0二、填空题13.【南通中学2018届高三10月月考】定义在上的函数满足,为的导函数,且对恒成立,则的取值范围是__________________.14.【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f (x )=,若函数y=f (f ()210{ 21(0)xxx e x x x +≥++<(x )﹣a )﹣1有三个零点,则a 的取值范围是_____.15.给出下列命题:①把函数y=sin (x ﹣)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin (2x ﹣);②若α,β是第一象限角且α<β,则cos α>cos β;③x=﹣是函数y=cos (2x+π)的一条对称轴;④函数y=4sin (2x+)与函数y=4cos (2x ﹣)相同;⑤y=2sin (2x ﹣)在是增函数;则正确命题的序号 . 16.=.-23311+log 6-log 42()17.直角坐标P (﹣1,1)的极坐标为(ρ>0,0<θ<π) .18.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若﹣1<a 3<1,0<a 6<3,则S 9的取值范围是 . 三、解答题19.(本小题满分13分)如图,已知椭圆的上、下顶点分别为,点在椭圆上,且异于点,直线22:14x C y +=,A B P ,A B ,AP BP 与直线分别交于点,:2l y =-,M N (1)设直线的斜率分别为,求证:为定值;,AP BP 12,k k 12k k ⋅(2)求线段的长的最小值;MN (3)当点运动时,以为直径的圆是否经过某定点?请证明你的结论.P MN【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程及性质、直线与椭圆的位置关系,考查考生运算求解能力,分析问题与解决问题的能力,是中档题.20.已知直线l :(t 为参数),曲线C 1:(θ为参数).(Ⅰ)设l 与C 1相交于A ,B 两点,求|AB|;(Ⅱ)若把曲线C 1上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线C 2,设点P 是曲线C 2上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值.21.已知函数f (x )=ax 2+lnx (a ∈R ).(1)当a=时,求f (x )在区间[1,e]上的最大值和最小值;(2)如果函数g (x ),f 1(x ),f 2(x ),在公共定义域D 上,满足f 1(x )<g (x )<f 2(x ),那么就称g (x )为f 1(x ),f 2(x )的“活动函数”.已知函数+2ax .若在区间(1,+∞)上,函数f (x )是f 1(x ),f 2(x )的“活动函数”,求a 的取值范围. 22.(本小题满分12分)设曲线:在点处的切线与轴交与点,函数.C ln (0)y a x a =≠00(,ln )T x a x x 0((),0)A f x 2()1xg x x=+(1)求,并求函数在上的极值;0()f x ()f x (0,)+∞(2)设在区间上,方程的实数解为,的实数解为,比较与的大小.(0,1)()f x k =1x ()g x k =2x 1x 2x 23.(本小题满分13分)如图,已知椭圆C :,以椭圆的左顶点为圆心作圆:22221(0)x y a b a b +=>>C T T (),设圆与椭圆交于点、.[_]222(2)x y r ++=0r >T C M N (1)求椭圆的方程;C (2)求的最小值,并求此时圆的方程;TM TN ⋅u u u r u u u rT (3)设点是椭圆C 上异于、的任意一点,且直线,分别与轴交于点(为坐标P M N MP NP x R S 、O 原点),求证:为定值.OR OS ⋅【命题意图】本题考查椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,几何问题构建代数方法解决等基础知识,意在考查学生转化与化归能力,综合分析问题解决问题的能力,推理能力和运算能力.24.已知函数f(x)=x|x﹣m|,x∈R.且f(4)=0(1)求实数m的值.(2)作出函数f(x)的图象,并根据图象写出f(x)的单调区间(3)若方程f(x)=k有三个实数解,求实数k 的取值范围.扬州市一中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(参考答案)一、选择题题号12345678910答案C A B B C.A A C D B 题号1112答案A B二、填空题13.14.11 [133e e⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭,)15.16.33 217. .18. (﹣3,21) .三、解答题19.20.21.22.23.24.。
推荐-扬州市一中2018年高三数学模拟试卷附答案 精品
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扬州市一中2018年高三数学模拟试卷班级 姓名 成绩 一.选择题:(5'12)1. 已知集合M ={}12x x -<< ,N =21 1 ,2y y x x M ⎧⎫=-∈⎨⎬⎭⎩, 则MN 为 ( )A .{a|-1<a<2}B .{a|-12<a<1} C .{a|-1<a<1} D .φ2.函数y = 2x 3 –3x 2 –12x + 5 在 [0 ,3 ] 上的最大值和最小值分别为 ( ) A .5 ,-15 B .5 ,-4 C .-4 ,-15 D .5 ,-16 3.已知函数y = ︱sin(2x -6π)︱,以下说法正确的是 ( ) A .函数的周期为4π B .函数图象的一条对称轴为直线x = 3πC .函数是偶函数D .函数在 [ 32π ,65π]上为减函数4.下列各式中,正确的是 ( ) A .|a ||b |=|a ·b | B .(a ·b )2= a 2·b2C .若a ⊥( b – c ) ,则a ·b = a ·cD .a ·b = a ·c ,则b = c 5.小王通过英语听力测试概率是13,他连续测试3次,那么其中恰有一次获得通过的概率是 ( ) A .49 B .29C .427D .2276.在正三棱锥P -ABC 中,三条侧棱两两垂直且侧棱长为a ,则点P 到平面ABC的距离为 ( ) A .a 36 B .a 33 C .a 66 D .a 332 7.定义在R 上的函数f ( x )对任意两个不等实数a ,b ,总有0)()(>--ba b f a f 成立,则必有 ( ) A .函数f ( x )是奇函数 B .函数f ( x )是偶函数C .函数f ( x )在R 上是增函数D .函数f ( x ) 在R 上是减函数 8.设函数f (x)=121xx-+ ,若函数 y = g (x)的图象与y = 1f -(x+1) 的图象关于直线 y = x 对称,那么g (2 )为 ( ) A .–1 B .–2 C .45- D .25- 9.已知定义域为(–∞ ,0)(0 ,+∞ )的函数f(x)是偶函数,并且在(–∞ ,0)上是增函数.若f(–3)= 0 ,则()f x x< 0 的解是 ( ) A .(–3 ,0)(0 ,3 ) B .(–∞ ,-3)(0 ,3 ) C .(–∞ ,-3)(3 ,+∞ ) D .(–3 ,0)(3 ,+∞ ) 10.教室内有一标枪,无论怎样放置,在地面上总有这样的直线,它与标枪所在直线 ( ) A .平行 B .垂直 C .相交 D .异面11.若4 , b 3 , a a ==与b 的夹角为60°,则a b +等于 ( )A 12.如图所示,已知棱长为1的正方体容器1111ABCD A BC D -中,在1A B 、11A B 、11B C 的中点E 、F 、G 处各开有一个小孔,若此容器可以任意放置,则装水较多的容积是(小孔面积对容积的影响忽略不计) ( )A .78 B .1112 C .4748 D . 5556二.填空题:(4'⨯4)13.椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=有相同的焦点,则a 的值为 14.已知函数y =1-x x,给出下列四个命题: ① 函数图象关于点(1,1)对称② 函数图象关于直线 y = 2 – x 对称 ③ 函数在定义域内单调递减④ 将图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位后与函数xy 1=的图象重合其中,正确的命题是 (写出所有正确命题的序号) 15.如图所示,在△ABC 中,D 为BC 边上一点,若AB = a ,AC = b ,2BD DC =,则AD =(用a , b 表示)16.已知0θπ<<,在等比数列{n a }中,2sin cos a θθ=+,31sin 2a θ=+,则34sin 2cos 42θθ+-是数列{n a }中的第 项 三.解答题:(12'+ 12'+ 12'+ 12'+ 12'+ 14') 17.已知2sin cos 5sin 3cos θθθθ+=-- ,求3cos 24sin 2θθ+的值18.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=90°,AD∥BC,AB = BC = a ,AD = 2a ,且PA⊥平面ABCD ,PD与底面成30°角(1)试在棱PD上找一点E ,使PD⊥平面ABE(2)求异面直线AE与CD所成的角的大小19.等差数列{n a }的前n 项和n S 与第n a 项之间满足2 lg 12n a + = lg n S ,若n b =3(1)nS n n + ,求: (1){n a } 的通项公式 (2)数列{n b } 的前n 项和n T20.设函数y = f (x) =32ax bx cx d +++的图象与y 轴的交点为P ,且曲线在P点处的切线方程为24x + y -12=0 ,若函数在x=2处取得极值-16 ,试求函数解析式,并求函数的单调区间.21.甲、乙两名篮球运动员,甲投篮命中的概率为12,乙投篮命中的概率为q ;他们各投篮两次.(1)求甲恰好命中1次的概率;(2)若甲比乙投中次数多的概率恰好等于736,试求q 的值22.已知函数f (x) 的定义域为D,且f (x) 同时满足以下条件:(Ⅰ)f (x) 在D上单调递增或单调递减(Ⅱ)存在区间[a ,b ]⊆D,使得f (x) 在区间[a ,b ]上的值域是[a ,b ]那么我们把函数f (x) (x ∈D )叫闭函数-符合条件(2)的区间[a ,b ];(1)求闭函数y =3x(2)判断函数y =2x-lgx 是不是闭函数?若是,请说明理由,并找出区间[a ,b ];若不是,请说明理由;(3)若y = k + k的取值范围.答案:二.填空题:13.1 14。
推荐-新华中学高三试卷(学生版) 精品
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扬州市新华中学2018-2018学年度第一学期第一阶段考试高三年级数学试卷答案(考试时间:120分钟 满分:160分)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案填 写在答题纸相应位置上.1、已知集合{}{}12345625M ,,,,,,N x x ,x Z ==-<<∈,则集合N M ⋂= ▲2、已知α为第二象限角,且4cos 25π⎛⎫α+=- ⎪⎝⎭,则tan α= ▲ 3、函数2lg(421)y x x =--的定义域是: ▲4、如果实数,x y 满足不等式组10220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩≥1≤≤,则22x y +的最小值为: ▲5、设数列{}n a 的首项127,5a a =-=,且满足22()n n a a n N ++=+∈,则13518a a a a ++++= ▲ 6、若集合{}21,A a =-,{}B 2,4=,则“2a =-”是“{}A B 4=”的 ▲ 条件。
7、已知复数z x yi =+,且2z -=y x的最大值: ▲ 8、函数()y f x =的图象经过原点,且它的导函数'()y f x =的图象是如下图所示的一条直线,则()y f x =的图象不经过:第 ▲ 象限9、方程x x 28lg -=的根()z k k k x ∈+∈,1,,则k = ▲10、若函数32()234f x x x ax a =+++有一个极大值和一个极小值,则a 的取值范围是: ▲11、ABC ∆三边a,b,c 所对的角分别为A,B,C,若222c a b 2abcos 2C <++,则C 的取值范 围是: ▲12、定义:区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ,值域为]2,0[则区间],[b a 的长度的最大值为: ▲13、若数列}{n a 满足12 (01),1 (1).n n n n n a a a a a +≤≤⎧=⎨->⎩且167a =,则2008a = ▲ 14、已知命题p :0c 1<< ;q :x x 2c 1+->的解集为R .如果P 和q 有且仅有一个正确,则c 的取值范围是: ▲二、解答题:本大题共6小题,共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、(本题14分)已知a (2cos x )=,b (3cos x,2cos x )=-,设f(x)a b =⋅,(1)当)23,2(ππ∈x 时,求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的取值集合;(2)若锐角α满足4)2(=αf ,求)6sin(πα+的值。
【2018-2019】2018届江苏省扬州中学高考数学模拟试卷及答案-实用word文档 (9页)
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2018届江苏省扬州中学高考数学模拟试卷题目一.填空题:1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={1,2,3,5},则∁U(A∩B)=.2.“ ”是“ ”的条件.(填:充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)3.如图所示,该伪代码运行的结果为 .4. 已知一组数据为8,12,10,11,9.则这组数据方差为____________.5. 已知实数x,y满足条件,为虚数单位),则的最小值等于 .6.已知向量夹角为45°,且,则 = .7.函数在处的切线方程为 .8.在区间内随机地取出一个数,则恰好使1是关于的不等式的一个解的概率大小为_____ __.9.已知正四棱锥的体积是48cm3,高为4cm,则该四棱锥的侧面积是 cm2.10.若,则的最大值为__________ ____.11.由直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值为 .直角的三边满足,则面积的最大值是13.设数列满足,且对任意的,满足则 =____________ __.14.如图,直角梯形中,∥ , .在等腰直角三角形中,,点分别为线段上的动点,若,则的取值范围是 _____________.二.解答题:15. (本小题14分) 已知均为锐角,且 , .(1)求的值; (2)求的值.16. (本小题14分)如图,四棱锥中,底面是菱形,,,为的中点, .(1)求证: ;(2)若菱形的边长为,,求四面体的体积;17. (本小题14分)如图,某生态园将一块三角形地的一角开辟为水果园,已知角为,的长度均大于200米,现在边界处建围墙,在处围竹篱笆.(1)若围墙、总长度为200米,如何可使得三角形地块面积最大?(2)已知竹篱笆长为米,段围墙高1米,段围墙高2米,造价均为每平方米100元,求围墙总造价的取值范围.18.(本小题16分)已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为圆,是上一点,,且 .(1)求椭圆的方程;(2)当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时,线段上取点,且满足,证明点总在某定直线上,并求出该定直线的方程.19. (本小题16分)已知函数 ( 为自然对数的底数).(1)当时,直接写出的值域(不要求写出求解过程);(2)若,求函数的单调区间;(3)若,且方程在内有解,求实数的取值范围.20. (本小题16分) 若数列和的项数均为,则将定义为数列和的距离.(1) 已知 , , ,求数列和的距离 .(2) 记为满足递推关系的所有数列的集合,数列和为中的两个元素,且项数均为 .若,,数列和的距离大于201X ,求的最小值.(3) 若存在常数M>0,对任意的,恒有则称数列和的距离是有界的.若与的距离是有界的,求证:与的距离是有界的.第Ⅱ卷(共40分)21B.矩阵与变换(本小题满分10分)若点A(2,2)在矩阵M= 对应变换的作用下得到的点为B(一2,2),求矩阵M的逆矩阵.21C.坐标系与参数方程(本小题满分10分)在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为 ( 为参数).(1)求曲线的普通方程;(2)若直线与曲线交于两点,点的坐标为,求的值.22. (本题满分10分)如图,在棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,A1E=CF=1.(1)求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值;(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.23.(本小题满分10分)已知非空有限实数集S的所有非空子集依次记为S1,S2,S3,……,集合Sk中所有元素的平均值记为bk.将所有bk组成数组T:b1,b2,b3,……,数组T中所有数的平均值记为m(T).(1)若S={1,2},求m(T);(2)若S={a1,a2,…,an}(n∈N*,n≥2),求m(T).2018届江苏省扬州中学高考数学模拟试卷答案。
2018届江苏省扬州市高三年级第一次模拟考试试卷与答案
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{正文}2018届江苏省扬州市高三年级第一次模拟考试英语试题(满分120分,考试时间120分钟)第一卷(选择题,三部分,共75分)第一部分听力(共两节,每题1分,满分20分)第一节(共5小题;每小题1分,满分5分)听下面5段对话,每段对话后有一个小题。
从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.What does Mr. Connors most probably do?A.A mechanic.B.A salesman.C.An engineer.2.When does the man want the woman to get to the restaurant?A.At 6:20.B.At 6:30.C.At 6:50.3.Where is Tom probably?A.At the bank.B.At his office.C.In the barber's. 4.What is the question probably about?A.English.B.Math.C.Chemistry.5.Why will the woman go to Beijing?A.She has found a new job there.B.She will attend college there.C.She wants to see the world.第二节(共15小题;每小题1分,满分15分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前,你将有时间阅读各个小题,每小题5秒钟;听完后,各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
听下面一段对话,回答第6至7题。
6.What kind of business does the man's company probably do?A.Painting.B.Designing.C.Printing.7.When will the woman's order be done?A.By the end of the week.B.At the beginning of next month.C.In six weeks.听下面一段对话,回答第8至9题。
2018届江苏省扬州市第一学期期末调研测试高三数学试题(解析版)
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2018届江苏省扬州市第一学期期末调研测试高三数学试题一、填空题1.若集合,,则__________.【答案】【解析】2.若复数(是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为__________.【答案】-6【解析】是纯虚数,则3.若数据31,37,33,,35的平均数是34,则这组数据的标准差是__________.【答案】2【解析】.4.为了了解某学校男生的身体发育情况,随机抽查了该校100名男生的体重情况,整理所得数据并画出样本的频率分布直方图.根据此图估计该校2000名男生中体重在的人数为__________.【答案】240【解析】该校2000名男生中体重在的人数为. 5.运行下边的流程图,输出的结果是__________.【答案】94【解析】不成立,执行,不成立,执行,成立,所以输出6.从2名男生2名女生中任选两人,则恰有一男一女的概率为__________.【答案】【解析】从2名男生2名女生中任选两人,共有种情况,其中一男一女有种情况,则恰有一男一女的概率为点睛:有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.(1)基本事件总数较少时,用列举法把所有基本事件一一列出时,要做到不重复、不遗漏,可借助“树状图”列举.(2)注意区分排列与组合,以及计数原理的正确使用.7.若圆锥的侧面展开图的面积为且圆心角为的扇形,则此圆锥的体积为__________.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为,母线长为,由题意知,且,解得,∴圆锥高∴此圆锥的体积8.若实数,满足,则的取值范围是__________.【答案】【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,目标函数的几何意义为坐标原点与可行域内的点连线距离的平方,据此可得,目标函数取得最大值时经过点,其最大值为:,考查坐标原点到直线的距离:可得目标函数的最小值为.综上可得的取值范围是.点睛:(1)本题是线性规划的综合应用,考查的是非线性目标函数的最值的求法.(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法,给目标函数赋于一定的几何意义.9.已知各项都是正数的等比数列的前项和为,若,,成等差数列,且,则__________.【答案】【解析】因为,,成等差数列,所以10.在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线与圆没有交点,则双曲线离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】圆的方程可化为,双曲线的渐近线为,依题意有,整理得又,所以双曲线离心率的取值范围是.11.已知函数,则关于的不等式的解集为__________.【答案】【解析】函数的解析式:,则,且:,故函数单调递减,即函数是定义域内单调递减的奇函数,原不等式即:,故,求解关于的不等式可得原不等式的解集为:,表示为区间形式即.点睛:对于求值或范围的问题,一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性,再利用其单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式(组)的问题,若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)=f(|x|).12.已知正的边长为2,点为线段中垂线上任意一点,为射线上一点,且满足,则的最大值为__________.【答案】【解析】以的中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系,则,设,三点共线,则:,即:,由可得:,据此可得点的轨迹方程满足:,整理变形可得:,如图所示,点的轨迹方程是以为直径的圆,则点睛:求与圆有关的轨迹方程时,常用以下方法:(1)直接法:根据题设条件直接列出方程;(2)定义法:根据圆的定义写出方程;(3)几何法:利用圆的性质列方程;(4)代入法:找出要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.13.已知函数,若存在实数使得该函数的值域为,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】在同一个平面直角坐标系中绘制函数的图像和函数在区间上的图像,函数的值域为,则函数图像位于直线和轴之间,观察函数图像可得,实数的取值范围是.14.已知正实数,满足,则的最小值为__________.【答案】【解析】令,则:,即,则:,据此有:,综上可得:当且仅当时等号成立.综上可得:的最小值为.二、解答题15.如图,在直三棱柱中,,分别为,的中点.(1)证明:平面;(2)若平面平面,证明:.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】试题分析:⑴由直三棱柱的性质可知四边形是平行四边形,结合三角形中位线的性质可得⑵在平面内,过作于,由线面垂直的性质定理可得平面,则,由直三棱柱的性质可得,则平面,利用线面垂直的定义可得.试题解析:⑴在直三棱柱中,四边形是平行四边形,所以,在中,分别为的中点,故,所以,又平面,平面,所以平面.⑵在平面内,过作于,因为平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以,在直三棱柱中,平面,平面,所以,因为,平面,平面,所以平面,因为平面,所以.16.已知在中,,,且的面积为9.(1)求;(2)当为锐角三角形时,求的值.【答案】(1)或;(2).【解析】试题分析:⑴由题意结合三角形面积公式可得,则,据此分类讨论可得:当cosB=时,,当cosB=时,;⑵结合(1)的结论可知AB=6,AC=,BC=5,由余弦定理可得,则,,,所以.试题解析:⑴因为S△ABC=,又AB=6,BC=5,所以,又,所以,当cosB=时,,当cosB=时,,所以或.⑵由为锐角三角形得B为锐角,所以AB=6,AC=,BC=5,所以,又,所以,所以,,所以.17.如图,射线和均为笔直的公路,扇形区域(含边界)是一蔬菜种植园,其中、分别在射线和上.经测量得,扇形的圆心角(即)为、半径为1千米.为了方便菜农经营,打算在扇形区域外修建一条公路,分别与射线、交于、两点,并要求与扇形弧相切于点.设(单位:弧度),假设所有公路的宽度均忽略不计.(1)试将公路的长度表示为的函数,并写出的取值范围;(2)试确定的值,使得公路的长度最小,并求出其最小值.【答案】⑴,其中,⑵当时,长度的最小值为千米..【解析】试题分析:⑴由切线的性质可得OS⊥MN.则SM=,SN=,据此可得,其中.⑵利用换元法,令,则,由均值不等式的结论有:,当且仅当即时等号成立,即长度的最小值为千米.试题解析:⑴因为MN与扇形弧PQ相切于点S,所以OS⊥MN.在OSM中,因为OS=1,∠MOS=,所以SM=,在OSN中,∠NOS=,所以SN=,所以,其中.⑵因为,所以,令,则,所以,由基本不等式得,当且仅当即时取“=”.此时,由于,故.答:⑴,其中.⑵当时,长度的最小值为千米.点睛:(1)利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数关系式,然后用基本不等式求解.(2)在求所列函数的最值时,若用基本不等式时,等号取不到,可利用函数单调性求解.18.已知椭圆:,若椭圆:,则称椭圆与椭圆“相似”.(1)求经过点,且与椭圆:“相似”的椭圆的方程;(2)若,椭圆的离心率为,在椭圆上,过的直线交椭圆于,两点,且.①若的坐标为,且,求直线的方程;②若直线,的斜率之积为,求实数的值.【答案】(1);(2)①,②.【解析】试题分析:⑴设椭圆的方程为,结合椭圆过点可得椭圆的方程为.⑵由题意设椭圆,椭圆,设,①方法一:联立直线方程与椭圆方程可得,则,,代入椭圆可得,解得,直线的方程为.方法二:由题意得,则椭圆,,设,则,联立椭圆方程可得,则直线的方程为.②方法一:由题意得,结合,则,可得:,整理计算得到关于的方程:,.方法二:不妨设点在第一象限,直线,与椭圆方程联立可得,则,直线的斜率之积为,计算可得,则,结合,可得,即,.试题解析:⑴设椭圆的方程为,代入点得,所以椭圆的方程为.⑵因为椭圆的离心率为,故,所以椭圆,又椭圆与椭圆“相似”,且,所以椭圆,设,①方法一:由题意得,所以椭圆,将直线,代入椭圆得,解得,故,所以,又,即为中点,所以,代入椭圆得,即,即,所以,所以直线的方程为.方法二:由题意得,所以椭圆,,设,则,代入椭圆得,解得,故,所以,所以直线的方程为.②方法一:由题意得,,即,,则,解得,所以,则,,所以,即,所以.方法二:不妨设点在第一象限,设直线,代入椭圆,解得,则,直线的斜率之积为,则直线,代入椭圆,解得,则,,则,解得,所以,则,,所以,即,即,所以.点睛:解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的条件;(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力,重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题. 19.已知函数,,.(1)若,且函数的图象是函数图象的一条切线,求实数的值; (2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围;(3)若对任意实数,函数在上总有零点,求实数的取值范围.【答案】(1);(2);(3). 【解析】试题分析:(1)由题意可知的图象直线过点,设切点坐标为,则切线方程是,解方程可得,.(2)由题意得恒成立,构造函数,二次求导讨论可得在上单调递增, 所以,即.(3)利用必要条件探路,可知若,在上总有零点的必要条件是,即, 然后证明当时,在上总有零点可得实数的取值范围是.试题解析: (1)由知,的图象直线过点,设切点坐标为,由得切线方程是,此直线过点,故,解得,所以.(2)由题意得恒成立,令,则,再令,则,故当时,,单调递减;当时,,单调递增,从而在上有最小值,所以在上单调递增,所以,即.(3)若,在上单调递增,故在上总有零点的必要条件是,即,以下证明当时,在上总有零点.①若,由于,,且在上连续,故在上必有零点;②若,,由(2)知在上恒成立,取,则,由于,,且在上连续,故在上必有零点,综上得:实数的取值范围是.20.已知各项都是正数的数列的前项和为,且,数列满足,.(1)求数列、的通项公式;(2)设数列满足,求和;(3)是否存在正整数,,,使得,,成等差数列?若存在,求出所有满足要求的,,,若不存在,说明理由.【答案】(1),;(2);(3)存在或,,满足要求.【解析】试题分析:(1)由递推关系可得,则,是等差数列,其中公差为1,且,通项公式为,数列是等比数列,其中首项为,公比为,故.(2)结合(1)的结论可得,则,(3)假设存在正整数,使得成等差数列,则,而数列从第二项起单调递减,分类讨论:当时,,若,无解;若,符合要求,若,无解;故,此时,可得,.试题解析:(1)①,②,②-①得:,即,因为是正数数列,所以,即,所以是等差数列,其中公差为1,在中,令,得,所以,由得,所以数列是等比数列,其中首项为,公比为,所以.(2),裂项得,所以,(3)假设存在正整数,使得成等差数列,则,即,因为,所以数列从第二项起单调递减,当时,,若,则,此时无解;若,则,因为从第二项起递减,故,所以符合要求,若,则,即,不符合要求,此时无解;当时,一定有,否则若,则,即,矛盾,所以,此时,令,则,所以,,综上得:存在或,,满足要求. 21.已知,,若点在矩阵对应的变换作用下得到点,求矩阵的逆矩阵.【答案】.【解析】试题分析:由题意可得,利用待定系数法或者逆矩阵公式可得.试题解析:因为,即,即,解得,所以,法1:设,则,即,解得,所以.法2:因为,且,所以.22.在直角坐标系中,直线的参数方程是:(是参数,是常数).以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线相交于、两点,且,求实数的值.【答案】(1)直线的普通方程为,曲线的直角坐标方程是;(2)或.【解析】试题分析:(1)消去参数可得直线的普通方程为.利用极坐标与直角坐标的关系可得曲线的直角坐标方程是;(2)由题意可得圆心到直线的距离为,求解关于实数m的方程可得或.试题解析:(1)因为直线的参数方程是: (是参数),所以直线的普通方程为.因为曲线的极坐标方程为,故,所以所以曲线的直角坐标方程是.(2)设圆心到直线的距离为,则,又,所以,即或.23.扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习,每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所.(1)求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率;(2)设,分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数,记,求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1);(2)见解析.【解析】试题分析:⑴由题意结合对立事件概率公式可得6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为.⑵由题意可得所有可能取值是0,2,4,6,结合概率公式计算可得,,,,据此可得分布列,计算随机变量的数学期望.试题解析:⑴记“6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习” 为事件,则. 答:6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为.⑵所有可能取值是0,2,4,6,记“6名学生中恰有名被分到甲学校实习”为事件(),则,,,,所以随机变量的概率分布为:所以随机变量的数学期望.答:随机变量的数学期望.24.二进制规定:每个二进制数由若干个0、1组成,且最高位数字必须为1.若在二进制中,是所有位二进制数构成的集合,对于,,表示和对应位置上数字不同的位置个数.例如当,时,当,时.(1)令,求所有满足,且的的个数;(2)给定,对于集合中的所有,求的和.【答案】(1);(2).【解析】试题分析:(1)由题意可知为5位数且与有2项不同,由排列组合公式可得的个数为. (2)由题意可知的和,倒叙相加可得第 21 页共 22 页的和为.试题解析:(1)因为,所以为5位数且与有2项不同,又因为首项为1,故与在后四项中有两项不同,所以的个数为.(2)当=0时,的个数为;当=1时,的个数为,当=2时,的个数为,………当时,的个数为,设的和为,则,倒序得,倒序相加得,即,所以的和为.点睛:“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种,然后根据此新定义去解决问题,有时还需要用类比的方法去理解新的定义,这样有助于对新定义的透彻理解。
扬州 届高三第一次模拟数学答案

代入椭圆得
x 2
x
2
2y2 8 2(4 y)2
32
,解得
y
1 2
,故
x
30 2
所以 k 30 , 10
所以直线 l 的方程为 y 30 x 2 10
②方法一: 由题意得 x02 2 y02 8b2 , x12 2 y12 2b2 , x22 2 y22 2b2 ,
y0 x0
直线 OP, OA的斜率之积为
1 2
,则直线 OA :
y
1 2k
x ,代入椭圆
E1
:
x2
2y2
2b2
,
解得 x1
2bk 1 2k 2
,则
y1
b 1 2k 2
uuur AP
uuur AB
,则
(x0
x1,
y0
y1)
(x2
x1,
y2
y1)
,解得
x2
y2
x0 y0
( 1)x1
( 1) y1
所以 8b2 ( 1)2 2b2 22b2 ,即 4 ( 1)2 2 ,所以 5 2
.………16 分
方法二:不妨设点 P 在第一象限,设直线 OP : y kx(k 0) ,代入椭圆 E2 : x2 2 y2 8b2 ,
解得 x0
2 2b 1 2k 2
,则
y0
2 2bk , 1 2k 2
(2) cn
bn2 Sn
n2 (n2 n)2n1
,裂项得 cn
1 n 2n
1 (n 1)2n1
所以 c1 c2 L
cn
1 2
(n
1 1)2n1
……………………7 分 ……………………9 分
高三数学-2018扬州市高三质量调研卷[含解答]江苏 精品
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2018年2月扬州市高三质量调研卷数 学 试 题班级 学号 姓名 得分 2018-3-21一. 选择题:(题共12小题, 每小题5分,共60分)1. 已知集合},02x x |x {M 2<--= Z 为整数集, 则Z M 等于 ( ) A. }1,0{ B. }0,1{ - C. }2,1,0,1{ - D. }1,0,1,2{ --2.165cos 15sin 的值等于 ( )A.41 B. 21C. 41-D. 21-3. 在等比数列}a {n 中, 24a a a ,3a a a 876543=⋅⋅=⋅⋅ , 则11109a a a ⋅⋅ 的值为 ( )A. 48B. 72C. 144D. 1924. 已知实数x 、y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤+,0y ,0x ,1x y ,7y 2x 3 则y 4x 3u +=的最大值是 ( )A. 0B. 4C. 7D. 115. 设a 、b 、c 表示三条直线, β、γ表示两个平面, 则下列命题中逆命题不成立......的是 ( ) A. 已知,c γ⊥若,c β⊥则γ∥β B. 已知β⊂b , c 是a 在β内的射影, 若b ⊥c, 则a ⊥b C. 已知γ⊂b ,γ⊄c , 若c ∥γ, 则c ∥b D. 已知β⊂b , 若,b γ⊥则γ⊥β6. 下列四个函数中, 同时具有性质: ①最小正周期为π2; ②图象关于直线3x π=对称的一个函 数是 ( )A. )6x sin(y π+= B. )6x sin(y π-= C. )3x 21sin(y π+= D. )3x 2sin(y π-= 7. “0k 4<<-”是“函数k kx x y 2--=的值恒为正值”的 ( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 8. 在等差数列}a {n 中, 前n 项和为n S ,31S S 42=, 则84S S是 ( ) A. 81 B. 31 C. 91 D. 1039. 如图, 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中, P 是侧面BB 1C 1C 内一动点, 若 点P 到直线BC 的距离是点P 到直线C 1D 1距离的2倍, 则动点P 的 轨迹所在的曲线是 ( ) A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线10. 设)4,0(π∈θ , 则二次曲线1tan y cot x 22=θ-θ的离心率的取值范围是 ( ) A. )21,0( B. )22,21( C. )2,1( D. ),2(∞+ 11. 关于函数,x1x1lg)x (f +-=有下列三个命题: ⑴对于任意)1,1(x -∈,都有0)x (f )x (f =-+ ⑵)x (f 在)1,1( -上是减函数;⑶对于任意1x ,2x )1,1( -∈,都有)x x 1x x (f )x (f )x (f 212121++=+其中正确的命题个数是 ( )A. 0B. 1C. 2D. 312. 方程0)y ,x (f = 的曲线如左图所示, 那么方程0)y ,x 2(f =-- 的曲线是 ( )二. 填空题:(本大题共4小题;每小题4分,共16分)13. 不等式12x x x22≥+-的解集为 .14. 已知圆C 的圆心在第一象限, 与x 轴相切于点)0,3( , 且与直线x 3y =也相切, 则该圆的方程为 .15. 已知O 为原点, )0,2( =, )2,0( =, t =)2t 0(≤≤, 则⋅的最小值是 .16. 有一个39人的旅游团去某旅馆住宿, 现已知该旅馆还乘2人间 (该房间有两张床位, 可供2人住, 以下类推 )、3人间、4人间若干, 且2人间数比3人间数、4人间数均多, 但比3人 间数、4人间数的和少. 若这些房间的所有床位数为39, 恰好可供该旅游团39人住宿, 则其 中2人间数为 . 三. 解答题:(本大题6小题,共74分) 17.(本题12分)已知)x cos ),x 4sin(2( a -π=,)x sin 32),x 4(cos( b -π=,记b a ⋅=)x (f . (1) 求)x (f 的周期及最小值;(2) 若)x (f 按m 平移得到x 2sin 2y =, 求向量m .18. (本题12分) 已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中, AC AB =, D 是BC 中点, F 为棱1BB 上一点, 且1FB 2BF =, a 2BC BF ==. (1) 求证: ⊥F C 1平面ADF;(2) 若,a 5AB = 试求出二面角D —AF —B 的正切值.19. (本题12分) 设某银行一年内吸纳储户存款的总数与银行付给储户年利率的平方成正比, 若 该银行在吸纳到储户存款后即以5%的年利率把储户存款总数的90%贷出以获取利润, 问 银行支付给储户年利率定为多少时, 才能获得最大利润?(注: 银行获得的年利润是贷出款额的年利息与支付给储户的年利息之差.)20.(本题12分)已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-->++=.0x ,x 4x x ,0x ,x 4x x )x (f 22(1) 求证: 函数)x (f 是偶函数;(2) 判断函数)x (f 分别在区间]2,0( 、),2[∞+ 上的单调性, 并加以证明; (3) 若4|x |1 ,4|x |121≤≤≤≤ , 求证: 1|)x (f )x (f |21≤- .21. (本题12分) 已知椭圆E 的右焦点F )0,1( , 右准线l :4x =, 离心率21e =. (1) 求椭圆E 的方程;(2) 设A 是椭圆E 的左顶点, 一经过右焦点F 的直线与椭圆E 相交于P 、Q 两点(P 、Q 与A 不重合), 直线AP 、AQ 分别与右准线l 相交于点M 、N, 求证: 直线PN 、直线QM 与x 轴相交于同一点.22. (本题14分)设数列}a {n 的各项都是正数, 且对任意*∈N n 都有,)a a a a (a a a a 2n 3213n 333231++++=++++ 记n S 为数列}a {n 的前n 项和.(1) 求证: n n 2n a S 2a -=; (2) 求数列}a {n 的通项公式; (3) 若n a 1n nn 2)1(3b ⋅λ-+=-(λ为非零常数, *∈N n ), 问是否存在整数λ, 使得对任意 *∈N n , 都有n 1n b b >+.2018年2月扬州市高三质量调研卷数学试题(答卷纸)班级学号姓名得分(每小题4分,共16分)13. ; 14. ;15. ;16. ;三. 解答题(共74分)17.(本小题满分12分)解:18.(本小题满分12分)解:20.(本小题满分12分)解:数 学 参 考 答 案(每小题4分,共16分)13. [1, 2] ; 14. 1)1y ()3x (22=-+- ; 15. 21-; 16. 6 ;三. 解答题(共74分) 17.(本小题满分12分) 解: (1)x cos x sin 32)x 4cos()x 4sin(2)x (f +-π-π=⋅=b a …………(2分) =)6x 2sin(2π+…………(6分) ∴)x (f 的周期为π,最小值为-2. …………(8分) (2)若)x (f 按向量m 平移得到,x 2sin 2y = 则向量m )0,12k ( π+π=)0k (>…………(12分) 18.(本小题满分12分)解: (1) ∵AC AB =, F 为棱BB1上一点, ∴AD ⊥BC, 又∵直三棱柱ABC -A 1B 1C 1, ∴BB 1⊥底面ABC, ∴BB 1⊥AD, ∴AD ⊥平面BC 1,………(3分) 在Rt △DBF 和Rt △FB 1C 1中,,FB C B DB BF ,2a a 2DB BF 111===∴Rt △DBF ∽Rt △FB 1C 1, ∴∠BDF =∠B 1FC 1, 又∠BDF +∠BFD =90°, ∴∠B 1FC 1+∠BFD =90°,∴DF ⊥C 1F, ∴C 1F ⊥平面ADF. ………(6分) (2) 过B 作BE ∥C 1F, 交DF 于H, 则BH ⊥平面ADF, ………(8分)过H 作HG ⊥AF 交AF 于G 点, 连结BG , 则BG ⊥AF,则∠BGH 为所求二面角的平面角, ………(9分) 若AB =,a 5可得43tan =θ.………(12分) 19.(本小题满分12分)解:设银行支付给储户的年利率为, 银行获得的年利润为,则0x kx 05.09.0kx y 22=⋅-⨯⨯=. ),0x (kx kx 45.032>-………(5分)),x 03.0(kx 3kx 3kx 09.0y 2-=-='………(7分) 令,0y ='得03.0x =,………(9分)当03.0x <时, 0y >'; 当03.0x >时, 0y <'. 故当03.0x =时, y 取极大值,并且这个极大值就是函数y 的最大值. ………(11分)所以, 当银行支付给储户年利率为3%时, 银行可获得的年利润. ………(12分) 20.(本小题满分12分)解: (1) 当0x >时, 0x <-, 则)x (4)x ()x ()x (f ,x 4x x )x (f 22-+----=-++=x 4x x 2++= ∴)x (f )x (f -=………(2分)当0x <时, 0x >-, 则)x (4)x ()x ()x (f ,x 4x x )x (f 22-+-+--=-+--=x 4x x 2+--=, ∴)x (f )x (f -=综上所述, 对于0x ≠, 都有)x (f )x (f -=, ∴函数)x (f 是偶函数.………(4分) (2) 当0x >时, ,1x4x x 4x x )x (f 2++=++=设0x x 12>>, 则)4x x (x x x x )x (f )x (f 21211212-⋅⋅-=-………(6分)当2x x 12≥>时, 0)x (f )x (f 12>-; 当0x x 212>>≥时, 0)x (f )x (f 12<-, ∴函数)x (f 在]2,0( 上是减函数, 函数)x (f 在),2[∞+ 上是增函数.………(8分) (3)由(2)知, 当4x 1≤≤时, 6)x (f 5≤≤,………(9分)又由(1)知, 函数)x (f 是偶函数, ∴当4|x |1≤≤ 时, 6)x (f 5≤≤,………(10分) ∴若4|x |11≤≤ , 4|x |12≤≤ , 则6)x (f 51≤≤, 6)x (f 52≤≤,………(11分) ∴1)x (f )x (f 121≤-≤-, 即1|)x (f )x (f |21≤-.………(12分)21.(本小题满分12分)解: (1)设椭圆E 上任一点P(x, y), 则21|4x |y )1x (22=-+-,………(3分) 化简得, 13y 4x 22=+,………(5分) (2)①当直线⊥PQ x 轴时, )3,4(N ),3,4(M ),23,1(Q ),23,1(P -- ,)4x (233y :PN --=+, ),4x (233y :QM -=-令,0y =得直线PN 、直线QM 与x 轴相交于同一点)0,2( , 即右顶点, 设为B. ………(6分) ②当直线PQ 不垂直x 轴时, 设)1x (k y :PQ -= ,)y ,x (Q ),y ,x (P 2211 ,由,012k 4x k 8x )k 43()1x (k y 13y 4x 222222=-+-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+∴2221k 43k 8x x +=+, 2221k 4312k 4x x +-=⋅, ……(7分) 又AP: ),2x (2x y y 11++= AQ: ),2x (2x y y 22++=令4x =, 得)2x y 6,4(M 11+ , )2x y 6,4(N 22+ .∴2x )1x (k 2x y k 1111PB --=-=, 2x )1x (k 32x y 3242x y 6k 222222NB +-=+=-+=………(9分) 0]8k43k 85k 4312k 42[)2x )(2x (k 2x )1x (k 32x )1x (k k k 2222212211NBPB =-+⋅++-⋅-+-=+----=-, 直线PN 与x 轴相交于右顶点B. ………(11分) 同理, 直线QM 与x 轴相交于右顶点B,所以, 直线PN 、直线QM 与x 轴相交于同一点. ………(12分)22.(本小题满分14分)证明:(1)在已知式中, 当1n =时, ,a a 2131=∵,0a 1>∴1a 1=.………(1分)当2n ≥时, 2n 1n 213n 31n 3231)a a a a (a a a a ++++=++++--①21n 2131n 3231)a a a (a a a --+++=+++②由①-②得, )a a 2a 2a 2(a a n 1n 21n 3n ++++=- ………(3分)∵,0a n >∴,a a 2a 2a 2a n 1n 212n ++++=- 即,a S 2a n 12n -=∴1a 1=适合上式,)N n (a S 2a n n 2n +∈-=.………(4分)(2)由(1)知, )N n (a S 2a n n 2n +∈-=③当2n ≥时, 1n 1n 21n a S 2a ----=④由③-④得,1n n 1n n 21n 2n a a )S S (2a a ---+--=-1n n n a a a 2-+-=1n n a a -+=………(6分)∵0a a 1n n >+-, ∴1a a 1n n =--, 数列}a {n 是等差数列,首项为1, 公差为1, 可得n a n =.………(8分)(3) ∵n a n =, ∴,2)1(32)1(3b n 1n n a 1n n n n ⋅λ-+=⋅λ-+=--………(9分)∴02)1(332]2)1(3[2)1(3b b n 1n n n 1n n 1n n 1n n 1n >⋅-λ-⋅=⋅λ-+-⋅λ-+=---+++, ∴1n 1n )23()1(--<λ⋅- ⑤………(11分) 当 ,3,2,1k ,1k 2n =-=时, ⑤式即为2k 2)23(-<λ ⑥ 依题意, ⑥式对 ,3,2,1k =都成立, 当 ,3,2,1k ,k 2n ==时, ⑤式即为1k 2)23(-->λ ⑦依题意, ⑦式对 ,3,2,1k =都成立, ∴23->λ………(13分) ∴,123<λ<-又0≠λ, ∴存在整数1-=λ, 使得对任意+∈N n , 都有n 1n b b >+.………(14分)。
江苏省扬州市2018届高三考前调研测试数学试题参考答案
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3 10 5 12. 2
7.
所以 sin A 1 cos A 1 (
2
10 2 3 10 , ) 10 10
……8 分 ……10 分
在 ABC 中,
3 2 5 a b ,即 ,所以 sin B , sin A sin B 5 3 10 sin B 10
又 A(
扬州市 2018 届高三考前调研测试
数 学 参 考 答 案
1.
2
2.三
3. 充分不必要 8.
4. 100
5. 9
6 3 9. 10. 16 9 3 3 1 11. 6 13. 14. {2 3 2, 2} 8 2 10 15.解:⑴在 ABC 中,因为 cos A , b 2, c 5 , 10 10 2 2 2 所以 a b c 2bc cos A 2 5 2 2 5 ( ) 9, 10 因为 a 是 ABC 的边,所以 a 3 ; ……6 分 10 ⑵在 ABC 中,因为 cos A ,所以 A ( , ) , 2 10
…………………14 分
2b 2 2 6 18 解:⑴因为椭圆 C 的短轴长为 2 2 ,离心率为 ,所以 c 6 , 3 3 a 2 2 x y a 6 又 a 2 b2 c 2 ,解得 ,所以椭圆 C 的方程为 1. 6 2 b 2 ⑵因为 A 为椭圆 C 的上顶点,所以 A 0, 2 .
5 2 5 , ) ,所以 B (0, ) ,所以 cos B 1 sin 2 B 1 ( ) 2 5 5 2 2
2 5 10 5 3 10 2 ( ) . 14 分 5 10 5 10 10 16.证明:⑴在平面 PAB 中, M , N 分别为 PA, AB 的中点,所以 MN // PB , ……3 分 又 PB 平面 CMN , MN 平面 CMN , 所以 PB // 平面 CMN ; ……6 分 ⑵在平面 PAB 中, AB BP, MN // PB ,所以 AB MN , ……8 分 在平面 PAC 中, AC PC, M 为 PA 中点,所以 CM PA , 因为平面 PAB 平面 PAC ,平面 PAB 平面 PAC PA , 所以 CM 平面 PAB , ……12 分 因为 AB 平面 PAB ,所以 CM AB , 又 CM MN M , CM 平面 CMN , MN 平面 CMN , 所以 AB 平面 CMN . ……14 分 17. 解: (1)线路 MN 段上的任意一点到景点 A 的距离比到景点 B 的距离都多 16 km ,所以线路 MN 段所在 曲线是以定点 A , B 为左、右焦点的双曲线的右上支, 2 2 则其方程为 x y 64(8 x 10,0 y 6) , ……3 分 因为线路 NP 段上的任意一点到 O 的距离都相等.所以线路 NP 段所在曲线是以 O 为圆心、以 ON 长为半径的 圆,由线路 MN 段所在曲线方程可求得 N (8, 0) ,
2018年江苏省扬州市高考数学考前模拟试卷
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2018年江苏省扬州市高考数学考前模拟试卷一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.(★)已知集合A={-1,2,3},B={x|x(x-3)<0},则A∩B= .2.(★)在复平面内,复数(i为虚数单位)对应的点位于第象限.3.(★)设x∈R,则“2 x>2”是“”的条件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”)4.(★)对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为400,右图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为.5.(★★)运行如图所示的算法流程图,输出的k的值为.6.(★★)在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y 2=2px(p>0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4,则该抛物线的焦点到准线的距离.7.(★★)书架上有5本书,其中语文书2本,数学书3本,从中任意取出2本,则取出的两本书都是数学书的概率为.8.(★★)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S 13=6,则3a 9-2a 10= .9.(★★★)记棱长都为1的正三棱锥的体积为V 1,棱长都为1的正三棱柱的体积为V 2,则= .10.(★★★)若将函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移个单位所得到的图象关于原点对称,则φ= .11.(★★★)在△ABC中,AH是底边BC上的高,点G是三角形的重心,若AB=2,AC=4,∠BAH=30°,则= .12.(★★)已知函数(a,b为正实数)只有一个零点,则的最小值为.13.(★★★)已知等边△ABC的边长为2,点P在线段AC上,若满足的点P恰有两个,则实数λ的取值范围是.14.(★★★)已知函数的最小值为a,则实数a的取值集合为.二、解答题:(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(★★★)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求a;(2)求cos(B-A)的值.16.(★★★)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面PAC,AB⊥BP,M,N分别为PA,AB的中点.(1)求证:PB∥平面CMN;(2)若AC=PC,求证:AB⊥平面CMN.17.(★★★)某市为改善市民出行,准备规划道路建设.规划中的道路M-N-P如图所示,已知A,B是东西方向主干道边两个景点,且它们距离城市中心O的距离均为,C是正北方向主干道边上的一个景点,且距离城市中心O的距离为4km,线路MN段上的任意一点到景点A的距离比到景点B的距离都多16km,其中道路起点M到东西方向主干道的距离为6km,线路NP段上的任意一点到O的距离都相等.以O为原点、线段AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.(1)求道路M-N-P的曲线方程;(2)现要在道路M-N-P上建一站点Q,使得Q到景点C的距离最近,问如何设置站点Q的位置(即确定点Q的坐标)?18.(★★★)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)的短轴长为,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)已知A为椭圆C的上顶点,点M为x轴正半轴上一点,过点A作AM的垂线AN与椭圆C交于另一点N,若∠AMN=60°,求点M的坐标.19.(★★★)已知函数f(x)=lnx-x+ ,g(x)= (其中a为参数)(1)若对任意x∈R,不等式g(x)-b<0恒成立,求实数b的取值范围;(2)当a= 时,求函数f(x)的单调区间;(3)求函数f(x)的极值.20.(★★★)已知无穷数列{a n}的各项都不为零,其前n项和为S n,且满足a n•a n+1=S n (n∈N *),数列{b n}满足,其中t为正整数.(1)求a 2018;(2)若不等式对任意n∈N *都成立,求首项a 1的取值范围;(3)若首项a 1是正整数,则数列{b n}中的任意一项是否总可以表示为数列{b n}中的其他两项之积?若是,请给出一种表示方式;若不是,请说明理由.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)21.(★★★★)已知a,b∈R,若点P(1,-1)在矩阵对应的变换作用下得到点Q(2,-2).(1)求a,b的值;(2)求矩阵A的特征值.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分30分)22.(★★★)在极坐标系中,直线与极轴交于点C,求以点C为圆心且半径为1的圆的极坐标方程.23.(★★★★)在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,,从正四棱柱的8个顶点中任取3个点构成三角形,记三角形的面积为X.(1)求P(X=4)的值;(2)求X的分布列和数学期望.24.(★★★★)在数列{a n}中,.(1)求a 2,a 3的值;(2)证明:①0≤a n≤1;②.。
2018届江苏省扬州市高三第一次模拟考试 数学试题(附答案)
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2018届江苏省扬州市高三第一次模拟考试数学试题(满分160分,考试时间120分钟)参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1n ∑n i =1(x i -x)2,其中x =1n ∑n i =1x i . 棱锥的体积V =13Sh ,其中S 是棱锥的底面积,h 是高. 一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.若集合A ={x|1<x<3},B ={0,1,2,3},则A ∩B =________.2.若复数(a -2i )(1+3i )(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为________.3.若数据31,37,33,a ,35的平均数是34,则这组数据的标准差是________.4.为了了解某学校男生的身体发育情况,随机抽查了该校100名男生的体重情况,整理所得数据并画出样本的频率分布直方图.根据此图估计该校2 000名男生中体重在70~78(kg )的人数为________.(第4题) (第5题)5. 运行如图所示的流程图,输出的结果是________.6. 已知从2名男生2名女生中任选2人,则恰有1男1女的概率为________.7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形,则此圆锥的体积为________. 8. 若实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4,y ≤3,3x +4y ≥12,则x 2+y 2的取值范围是________.9.已知各项都是正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若4a 4,a 3,6a 5成等差数列,且a 3=3a 22,则S 3=________.10.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x 2+y 2-6y +5=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是________.11.已知函数f(x)=sin x -x +1-4x2x ,则关于x 的不等式f(1-x 2)+f(5x -7)<0的解集为________. 12.已知正△ABC 的边长为2,点P 为线段AB 中垂线上任意一点,Q 为射线AP 上一点,且满足AP →·AQ→=1,则|CQ →|的最大值为________.13.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 12(-x +1)-1,x ∈[-1,k],-2|x -1|, x ∈(k ,a],若存在实数k 使得该函数的值域为[-2,0],则实数a 的取值范围是________.14.已知正实数x ,y 满足5x 2+4xy -y 2=1,则12x 2+8xy -y 2的最小值为________.二、 解答题:本大题共6小题,计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,D ,E 分别为AB ,AC 的中点.(1) 证明:B 1C 1∥平面A 1DE ;(2) 若平面A 1DE ⊥平面ABB 1A 1,证明:AB ⊥DE.16. (本小题满分14分)已知在△ABC 中,AB =6,BC =5,且△ABC 的面积为9.(1) 求AC 的长度;(2) 当△ABC 为锐角三角形时,求cos ⎝⎛⎭⎫2A +π6的值.如图,射线OA 和OB 均为笔直的公路,扇形OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园,其中P ,Q 分别在射线OA 和OB 上.经测量得,扇形OPQ 的圆心角(即∠POQ)为2π3、半径为1千米.为了方便菜农经营,打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ,分别与射线OA ,OB 交于M ,N 两点,并要求MN 与扇形弧PQ 相切于点S ,设∠POS =α(单位:弧度),假设所有公路的宽度均忽略不计.(1) 试将公路MN 的长度表示为α的函数,并写出α的取值范围;(2) 试确定α的值,使得公路MN 的长度最小,并求出其最小值.已知椭圆E 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),若椭圆E 2:x 2ma 2+y 2mb 2=1(a>b>0,m>1),则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”.(1) 求经过点(2,1),且与椭圆E 1:x 22+y 2=1“相似”的椭圆E 2的方程; (2) 若m =4,椭圆E 1的离心率为22,点P 在椭圆E 2上,过点P 的直线l 交椭圆E 1于A ,B 两点,且AP →=λAB →,①若点B 的坐标为(0,2),且λ=2,求直线l 的方程;②若直线OP ,OA 的斜率之积为-12,求实数λ的值.已知函数f(x)=e x,g(x)=ax+b,a,b∈R.(1) 若g(-1)=0,且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线,求实数a的值:(2) 若不等式f(x)>x2+m对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数m的取值范围;(3) 若对任意实数a,函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上总有零点,求实数b的取值范围.已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n,且2S n=a2n+a n,数列{b n}满足b1=12,2b n+1=b n+b na n.(1) 求数列{a n},{b n}的通项公式;(2) 设数列{c n}满足c n=b n+2S n,求c1+c2+…+c n的值;(3) 是否存在正整数p,q,r(p<q<r),使得b p,b q,b r成等差数列?若存在,求出所有满足要求的p,q,r的值;若不存在,请说明理由.2018届高三年级第一次模拟考试(六)数学附加题(本部分满分40分,考试时间30分钟)21. B. [选修42:矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ,y ∈R ,若点M (1,1)在矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3y 对应的变换作用下得到点N (3,5),求矩阵A 的逆矩阵A -1.C. [选修44:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x =m +22t ,y =22t(t 是参数,m 是常数).以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=6cos θ.(1) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2) 若直线l 与曲线C 相交于P ,Q 两点,且PQ =2,求实数m 的值.22.(本小题满分10分)扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习,每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所.(1) 求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率;(2) 设X ,Y 分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数,记ξ=|X -Y|,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).23.(本小题满分10分)二进制规定:每个二进制数由若干个0,1组成,且最高位数字必须为1.若在二进制中,S n 是所有n 位二进制数构成的集合,对于a n ,b n ∈S n ,M(a n ,b n )表示a n 和b n 对应位置上数字不同的位置个数.例如当a 3=100,b 3=101时,M(a 3,b 3)=1;当a 3=100,b 3=111时,M(a 3,b 3)=2.(1) 令a 5=10 000,求所有满足b 5∈S 5,且M(a 5,b 5)=2的b 5的个数;(2) 给定a n (n ≥2),对于集合S n 中的所有b n ,求M(a n ,b n )的和.2018届扬州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1.{2} 2. -6 3. 2 4. 240 5. 94 6.237. 22π3 8. ⎣⎡⎦⎤14425,25 9. 132710. ⎝⎛⎭⎫1,32 11.(2,3) 12.13+12 13. ⎝⎛⎦⎤12,2 14. 73 15. 解析:(1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,四边形B 1BCC 1是矩形,所以B 1C 1∥BC.(2分) 在△ABC 中,D ,E 分别为AB ,AC 的中点,故BC ∥DE ,所以B 1C 1∥DE.(4分)又B 1C 1⊄平面A 1DE ,DE ⊂平面A 1DE ,所以B 1C 1∥平面A 1DE.(7分)(2) 在平面ABB 1A 1内,过点A 作AF ⊥A 1D ,垂足为F.因为平面A 1DE ⊥平面A 1ABB 1,平面A 1DE ∩平面A 1ABB 1=A 1D ,AF ⊂平面A 1ABB 1,所以AF ⊥平面A 1DE.(11分)又DE ⊂平面A 1DE ,所以AF ⊥DE.在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,A 1A ⊥平面ABC ,DE ⊂平面ABC ,所以A 1A ⊥DE.因为AF ∩A 1A =A ,AF ⊂平面A 1ABB 1,A 1A ⊂平面A 1ABB 1,所以DE ⊥平面A 1ABB 1.因为AB ⊂平面A 1ABB 1,所以DE ⊥AB.(14分)16. 解析:(1) 因为S △ABC =12AB ×BC ×sin B =9,又AB =6,BC =5,所以sin B =35.(2分) 又B ∈(0,π),所以cos B =±1-sin 2B =±45.(3分) 当cos B =45时, AC =AB 2+BC 2-2AB·BC cos B =36+25-2×6×5×45=13.(5分) 当cos B =-45时, AC =AB 2+BC 2-2AB·BC cos B =36+25+2×6×5×45=109. 所以AC =13或109.(7分)(2) 由△ABC 为锐角三角形得B 为锐角,所以AB =6,AC =13,BC =5,所以cos A =36+13-252×6×13=213. 又A ∈(0,π),所以sin A =1-cos 2A =313,(9分) 所以sin 2A =2×313×213=1213, cos 2A =⎝⎛⎭⎫2132-⎝⎛⎭⎫3132=-513,(12分) 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A +π6=cos 2A cos π6-sin 2A sin π6=-53-1226.(14分) 17. 解析:(1) 因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ,所以OS ⊥MN.在Rt △OSM 中,因为OS =1,∠MOS =α,所以SM =tan α.在Rt △OSN 中,∠NOS =2π3-α,所以SN =tan ⎝⎛⎭⎫2π3-α, 所以MN =tan α+tan ⎝⎛⎭⎫2π3-α=3(tan 2α+1)3tan α-1,(4分) 其中π6<α<π2.(6分) (2) 因为π6<α<π2,所以3tan α-1>0. 令t =3tan α-1>0,则tan α=33(t +1),所以MN =33⎝⎛⎭⎫t +4t+2, (8分) 由基本不等式得MN ≥33·⎝⎛⎭⎫2t ×4t +2=23,(10分) 当且仅当t =4t,即t =2时等号成立. (12分) 此时tan α=3,由于π6<α<π2, 故α=π3,MN =23千米.(14分) 18. 解析:(1) 设椭圆E 2的方程为x 22m +y 2m =1,代入点(2,1)得m =2, 所以椭圆E 2的方程为x 24+y 22=1.(3分) (2) 因为椭圆E 1的离心率为22,故a 2=2b 2, 所以椭圆E 1:x 2+2y 2=2b 2.又椭圆E 2与椭圆E 1“相似”,且m =4,所以椭圆E 1:x 2+2y 2=8b 2.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),直线l 1:y =kx +2, ①方法一:由题意得b =2,所以椭圆E 1:x 2+2y 2=8,将直线l :y =kx +2,代入椭圆E 1:x 2+2y 2=8得(1+2k 2)x 2+8kx =0,解得x 1=-8k 1+2k 2,x 2=0,故y 1=2-4k 21+2k 2,y 2=2, 所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-8k 1+2k 2,2-4k 21+2k 2.(5分) 又AP →=2AB →,即B 为AP 中点, 所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1+2k 2,2+12k 21+2k 2,(6分) 代入椭圆E 2:x 2+2y 2=32得⎝⎛⎭⎫8k 1+2k 22+2⎝ ⎛⎭⎪⎫2+12k 21+2k 22=32, 即20k 4+4k 2-3=0,即(10k 2-3)(2k 2+1)=0,所以k =±3010, 所以直线l 的方程为y =±3010x +2.(8分) 方法二:由题意得b =2,所以椭圆E 1:x 2+2y 2=8,E 2:x 2+2y 2=32, 设A(x ,y),B(0,2),则P(-x ,4-y),代入椭圆得⎩⎪⎨⎪⎧x 2+2y 2=8,x 2+2(4-y )2=32,解得y =12, 故x =±302,(6分) 所以k =±3010,所以直线l 的方程为y =±3010x +2.(8分) ②方法一: 由题意得x 20+2y 20=8b 2,x 21+2y 21=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,y 0x 0·y 1x 1=-12,即x 0x 1+2y 0y 1=0, 因为AP →=λAB →,所以(x 0-x 1,y 0-y 1)=λ(x 2-x 1,y 2-y 1),解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=x 0+(λ-1)x1λ,y 2=y 0+(λ-1)y1λ,(12分)所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+(λ-1)x 1λ2+2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0+(λ-1)y 1λ2=2b 2,则x 20+2(λ-1)x 0x 1+(λ-1)2x 21+2y 20+4(λ-1)y 0y 1+2(λ-1)2y 21=2λ2b 2,(x 20+2y 20)+2(λ-1)(x 0x 1+2y 0y 1)+(λ-1)2(x 21+2y 21)=2λ2b 2,所以8b 2+(λ-1)2·2b 2=2λ2b 2,即4+(λ-1)2=λ2,所以λ=52.(16分)方法二:不妨设点P 在第一象限,设直线OP :y =kx(k>0),代入椭圆E 2:x 2+2y 2=8b 2,解得x 0=22b 1+2k 2,则y 0=22bk1+2k 2, 因为直线OP ,OA 的斜率之积为-12,所以直线OA :y =-12k x ,代入椭圆E 1:x 2+2y 2=2b 2,解得x 1=-2bk 1+2k 2,则y 1=b1+2k 2.因为AP →=λAB →,所以(x 0-x 1,y 0-y 1)=λ(x 2-x 1,y 2-y 1),解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=x 0+(λ-1)x 1λ,y 2=y 0+(λ-1)y1λ,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0+(λ-1)x 1λ2+2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0+(λ-1)y 1λ2=2b 2,则x 20+2(λ-1)x 0x 1+(λ-1)2x 21+2y 20+4(λ-1)y 0y 1+2(λ-1)2y 21=2λ2b 2,(x 20+2y 20)+2(λ-1)(x 0x 1+2y 0y 1)+(λ-1)2(x 21+2y 21)=2λ2b 2,所以8b 2+2(λ-1)[22b 1+2k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫-2bk 1+2k 2+2·22bk 1+2k 2·b 1+2k 2]+(λ-1)2·2b 2=2λ2b 2,即8b 2+(λ-1)2·2b 2=2λ2b 2,即4+(λ-1)2=λ2,所以λ=52.19. 解析:(1) 由g(-1)=0知,g(x)的直线图象过点(-1,0).设切点坐标为T(x 0,y 0),由f′(x)=e x 得切线方程是y -e x 0=e x 0(x -x 0),此直线过点(-1,0),故0-e x 0=e x 0(-1-x 0),解得x 0=0,所以a =f′(0)=1.(3分) (2) 由题意得m<e x -x 2,x ∈(0,+∞)恒成立,令m(x)=e x -x 2,x ∈(0,+∞),则m′(x)=e x -2x ,再令n(x)=m′(x)=e x -2x ,则n′(x)=e x -2, 故当x ∈(0,ln 2)时,n ′(x)<0,n(x)单调递减;当x ∈(ln 2,+∞)时,n ′(x)>0,n(x)单调递增, 从而n(x)在(0,+∞)上有最小值n(ln 2)=2-2ln 2>0, 所以m(x)在(0,+∞)上单调递增,(6分) 所以m ≤m(0),即m ≤1.(8分)(3) 若a<0,F(x)=f(x)-g(x)=e x -ax -b 在(0,+∞)上单调递增,故F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0,即b>1,(10分) 以下证明当b>1时,F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上总有零点. ①若a<0,由于F(0)=1-b<0,F ⎝⎛⎭⎫-b a =e -b a -a ⎝⎛⎭⎫-b a -b =e -ba >0,且F(x)在(0,+∞)上连续, 故F(x)在⎝⎛⎭⎫0,-ba 上必有零点;(12分) ②若a ≥0,F(0)=1-b<0,由(2)知e x >x 2+1>x 2在x ∈(0,+∞)上恒成立,取x 0=a +b ,则F(x 0)=F(a +b)=e a +b -a(a +b)-b>(a +b)2-a 2-ab -b =ab +b(b -1)>0, 由于F(0)=1-b<0,F(a +b)>0,且F(x)在(0,+∞)上连续, 故F(x)在(0,a +b)上必有零点,综上得,实数b 的取值范围是(1,+∞).(16分) 20. 解析:(1) 2S n =a 2n +a n ,① 2S n +1=a 2n +1+a n +1 ,②②-①得2a n +1=a 2n +1-a 2n +a n +1-a n , 即(a n +1+a n )(a n +1-a n -1)=0.因为{a n }是正数数列,所以a n +1-a n -1=0, 即a n +1-a n =1,所以{a n }是等差数列,其中公差为1. 在2S n =a 2n +a n 中,令n =1,得a 1=1, 所以a n =n.(2分)由2b n +1=b n +b n a n 得b n +1n +1=12·b nn,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n n 是等比数列,其中首项为12,公比为12,所以b n n =⎝⎛⎭⎫12n ,即b n =n2n .(5分)(2) c n =b n +2S n =n +2(n 2+n )2n +1,裂项得c n =1n ·2n -1(n +1)2n +1,(7分) 所以c 1+c 2+…+c n =12-1(n +1)2n +1.(9分)(3) 假设存在正整数p ,q ,r(p<q<r),使得b p ,b q ,b r 成等差数列,则b p +b r =2b q , 即p 2p +r 2r =2q 2q . 因为b n +1-b n =n +12n +1-n 2n =1-n 2n +1, 所以数列{b n }从第二项起单调递减, 当p =1时,12+r 2r =2q2q ,若q =2,则r 2r =12,此时无解;若q =3,则r 2r =14,因为{b n }从第二项起递减,所以r =4,所以p =1,q =3,r =4符合要求.(11分)若q ≥4,则b 1b q ≥b 1b 4≥2,即b 1≥2b q ,不符合要求,此时无解;当p ≥2时,一定有q -p =1,否则若q -p ≥2,则b p b q ≥b p b p +2=4p p +2=41+2p ≥2,即b p ≥2b q ,矛盾,所以q -p =1,此时r 2r =12p ,令r -p =m +1,则r =2m +1,所以p =2m +1-m -1,q =2m +1-m ,综上得,存在p =1,q =3,r =4或p =2m +1-m -1,q =2m +1-m ,r =2m+1满足要求.(16分)21.B. 解析:因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=⎣⎢⎡⎦⎥⎤35,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=⎣⎢⎡⎦⎥⎤35,即⎩⎪⎨⎪⎧2+x =3,3+y =5,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =2, 所以A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132.(5分) 方法一:设A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d,则AA -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001,即⎩⎪⎨⎪⎧2a +c =1,3a +2c =0,2b +d =0,3b +2d =1,(7分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-1,c =-3,d =2,所以A-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2-1-32.(10分) 方法二:因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d -1=⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ dad -bc -b ad -bc -c ad -bca ad -bc , 且det(A)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2132=2×2-1×3=1, 所以A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2-1-32.(10分) C. 解析:(1) 因为直线l 的参数方程是:⎩⎨⎧x =m +22t ,y =22t(t 是参数),所以直线l 的普通方程为x -y -m =0.(2分)因为曲线C 的极坐标方程为ρ=6cos θ,所以ρ2=6ρcos θ ,所以x 2+y 2=6x , 所以曲线C 的直角坐标方程是(x -3)2+y 2=9.(5分) (2) 设圆心到直线l 的距离为d ,则d =32-12=2 2.又d =|3-m |2=2 2.(8分)所以|3-m |=4,即 m =-1或m =7.(10分)22.解析:(1) 记 “6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习” 为事件A ,则P(A)=1-126=6364.故6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为6364.(3分)(2) ξ所有可能取值是0,2,4,6,记“6名学生中恰有i 名被分到甲学校实习”为事件A i (i =0,1,…,6),则P (ξ=0)=P(A 3)=C 36C 3326=516,P (ξ=2)=P(A 2+A 4)=P(A 2)+P(A 4)=C 26C 4426+C 46C 2226=1532, P (ξ=4)=P(A 1+A 5)=P(A 1)+P(A 5)=C 16C 5526+C 56C 1126=316, P (ξ=6)=P(A 0+A 6)=P(A 0)+P(A 6)=C 06C 6626+C 66C 0626=132,(7分) 所以随机变量ξ所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×516+2×1532+4×316+6×132=158.(9分)故随机变量ξ的数学期望E(ξ)=158.(10分)23.解析:(1) 因为M(a 5,b 5)=2,所以b 5为5位数且与a 5有2项不同. 因为首项为1,所以a 5与b 5在后四项中有两项不同,所以b 5的个数为C 24=6.(3分) (2) 当M(a n ,b n )=0时,b n 的个数为C 0n -1; 当M(a n ,b n )=1时,b n 的个数为C 1n -1, 当M(a n ,b n )=2时,b n 的个数为C 2n -1, …当M(a n ,b n )=n -1时,b n 的个数为C n -1n -1.设M(a n ,b n )的和为S, 则S =0C 0n -1+1C 1n -1+2C 2n -1+…+(n -1)C n -1n -1,(6分)倒序得S =(n -1)C n -1n -1+…+2C 2n -1+1C 1n -1+0C 0n -1,倒序相加得2S =(n -1)(C 0n -1+C 1n -1…+C n -1n -1)=(n -1)·2n -1,即S =(n -1)·2n -2, 所以M(a n ,b n )的和为(n -1)·2n -2.(10分)。
届扬州市高三数学模拟试卷及答案
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届扬州市高三数学模拟试卷及答案2018届扬州市高三数学模拟试卷及答案高考即将到来,们高考数学复习的怎么样呢,不如让我们做套高考模拟试卷来看看吧,以下是店铺为你整理的2018届扬州市高考数学模拟试卷,希望能帮到你。
2018届扬州市高考数学模拟试卷题目一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应位置)1.已知,则▲ .2.若复数满足,则复数在复平面上对应的点在第▲ 象限.3.随着社会的发展,食品问题渐渐成为社会关注的热点,为了提高学生的食品安全意识,某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛,的频率分布直方图如下图所示,数据的分组依次为,,,,若该校的学生总人数为3000,则成绩不超过60分的学生人数大约为▲ .4.在区间内任取一个实数 , 则满足的概率为▲ .5.如图是一个算法流程图,则输出的值为▲ .6.函数的定义域为▲ .7.已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的焦距为▲ .8.已知,则▲ .9.已知圆锥的侧面展开图是半径为4,圆心角等于的扇形,则这个圆锥的体积是▲10.已知圆为常数)与直线相交于两点,若,则实数▲ .11、设等差数列的前项和为,若,,则的最小值为▲ .12.若动直线与函数,的图象分别交于两点,则线段长度的最大值为▲ .13.在中,、分别是、的中点,是直线上的动点.若的面积为2,则的最小值为▲ .14.已知函数有两个不相等的零点,则的最大值为▲ .二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分14分)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若, .⑴求的值;⑵若,求的面积.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,CD∥AB,AB=2CD,AC交BD于O,锐角PAD所在平面⊥底面ABCD,PA⊥BD,点Q在侧棱PC上,且PQ=2QC.求证:⑴PA∥平面QBD;⑵BD AD.17.(本小题满分14分)如图是一座桥的截面图,桥的路面由三段曲线构成,曲线和曲线分别是顶点在路面、的抛物线的一部分,曲线是圆弧,已知它们在接点、处的切线相同,若桥的.最高点到水平面的距离米,圆弧的弓高米,圆弧所对的弦长米.(1)求弧所在圆的半径;(2)求桥底的长.18.(本小题满分16分)如图,已知椭圆的左顶点,且点在椭圆上,、分别是椭圆的左、右焦点。
扬州市2018届高三上学期期中调研考试数学试题(含答案)
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答:略
……16 分
c 2
19.
解:(1)①由题意得
aa2
2 b2
a2
2
c2
,解得
a
ห้องสมุดไป่ตู้
b 1
2
,所以椭圆方程为
x2 2
y2
1
c
……2 分
②因为 e c a
2 2
,所以设椭圆方程为
x2 2c2
y2 c2
1 ,直线 l :
征向量.
22、(本小题满分10分) 某校校庆期间,高三艺术班的同学们准备了 7 个节目,其中歌舞类节目 3 个、小品类节
目 2 个、魔术类节目 2 个,现从中随机选取 3 个节目参加校庆文艺演出,记 X 为选出的 3 个节目中魔术类节目的个数,求X的分布列和数学期望E(X).
高三数学试题 II 第l页(共2页)
氐
c长
贮尼
B
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A
高三数学试题 I 第3页(共4页)
19、(本小题满分 16 分)
,7 已知椭圆- aX产 2 y2 =l(a > b > 0)的右焦点为F, 直线l经过F且与椭圆交于A,B两点
(1)给定椭圆的离心率为义:
.r
2
@若椭圆的右准线方程为x=2, 求椭圆方程; @若A点为椭圆的下顶点,求 AF
=
,则xyz的最小值为 10
�
.
二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15、(本小题满分14 分)
✓ 记函数 f(x)= -x2+2x+3 的定义域为集合 A, 函数 g(x)=x2 - x+1,xeR 的值域
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江苏省扬州市2018届高三第一次模拟考试数学2018届高三年级第一次模拟考试(六)数 学(满分160分,考试时间120分钟)参考公式:样本数据x 1,x 2,…,x n 的方差s 2=1n ∑n i =1(x i -x)2,其中x =1n ∑n i =1x i.棱锥的体积V =13Sh ,其中S 是棱锥的底面积,h 是高.一、 填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.若集合A ={x|1<x<3},B ={0,1,2,3},则A ∩B =________.2.若复数(a -2i )(1+3i )(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为________.3.若数据31,37,33,a ,35的平均数是34,则这组数据的标准差是________.4.为了了解某学校男生的身体发育情况,随机抽查了该校100名男生的体重情况,整理所得数据并画出样本的频率分布直方图.根据此图估计该校2 000名男生中体重在70~78(kg )的人数为________.(第4题) (第5题)5. 运行如图所示的流程图,输出的结果是________.6. 已知从2名男生2名女生中任选2人,则恰有1男1女的概率为________.7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为2π3的扇形,则此圆锥的体积为________.8. 若实数x,y满足⎩⎪⎨⎪⎧x≤4,y≤3,3x+4y≥12,则x2+y2的取值范围是________.9.已知各项都是正数的等比数列{a n}的前n 项和为S n,若4a4,a3,6a5成等差数列,且a3=3a22,则S3=________.10.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x 2+y 2-6y +5=0没有交点,则双曲线离心率的取值范围是________.11.已知函数f(x)=sin x -x +1-4x2x ,则关于x 的不等式f(1-x 2)+f(5x -7)<0的解集为________.12.已知正△ABC 的边长为2,点P 为线段AB 中垂线上任意一点,Q 为射线AP 上一点,且满足AP →·AQ →=1,则|CQ →|的最大值为________.13.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 12(-x +1)-1,x ∈[-1,k],-2|x -1|, x ∈(k ,a],若存在实数k 使得该函数的值域为[-2,0],则实数a 的取值范围是________.14.已知正实数x ,y 满足5x 2+4xy -y 2=1,则12x 2+8xy -y 2的最小值为________.二、 解答题:本大题共6小题,计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,D,E分别为AB,AC的中点.(1) 证明:B1C1∥平面A1DE;(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1,证明:AB⊥DE.16. (本小题满分14分)已知在△ABC中,AB=6,BC=5,且△ABC 的面积为9.(1) 求AC的长度;(2) 当△ABC为锐角三角形时,求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A +π6的值.如图,射线OA和OB均为笔直的公路,扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园,其中P,Q分别在射线OA和OB上.经测量得,扇形OPQ的圆心角(即∠POQ)为2π3、半径为1千米.为了方便菜农经营,打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN,分别与射线OA,OB交于M,N两点,并要求MN与扇形弧PQ相切于点S,设∠POS=α(单位:弧度),假设所有公路的宽度均忽略不计.(1) 试将公路MN的长度表示为α的函数,并写出α的取值范围;(2) 试确定α的值,使得公路MN的长度最小,并求出其最小值.已知椭圆E 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),若椭圆E 2:x 2ma 2+y 2mb 2=1(a>b>0,m>1),则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”.(1) 求经过点(2,1),且与椭圆E 1:x 22+y2=1“相似”的椭圆E 2的方程;(2) 若m =4,椭圆E 1的离心率为22,点P在椭圆E 2上,过点P 的直线l 交椭圆E 1于A ,B 两点,且AP→=λAB →, ①若点B 的坐标为(0,2),且λ=2,求直线l 的方程;②若直线OP ,OA 的斜率之积为-12,求实数λ的值.已知函数f(x)=e x,g(x)=ax+b,a,b∈R.(1) 若g(-1)=0,且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线,求实数a的值:(2) 若不等式f(x)>x2+m对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数m的取值范围;(3) 若对任意实数a,函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上总有零点,求实数b的取值范围.已知各项都是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且2S n =a 2n +a n ,数列{b n }满足b 1=12,2b n +1=b n +b na n.(1) 求数列{a n },{b n }的通项公式; (2) 设数列{c n }满足c n =b n +2S n,求c 1+c 2+…+c n 的值;(3) 是否存在正整数p ,q ,r(p<q<r),使得b p ,b q ,b r 成等差数列?若存在,求出所有满足要求的p ,q ,r 的值;若不存在,请说明理由.2018届高三年级第一次模拟考试(六)数学附加题(本部分满分40分,考试时间30分钟)21. B. [选修42:矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ,y ∈R ,若点M (1,1)在矩阵A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3y 对应的变换作用下得到点N (3,5),求矩阵A 的逆矩阵A -1.C. [选修44:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =m +22t ,y =22t (t 是参数,m 是常数).以O为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=6cos θ.(1) 求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2) 若直线l 与曲线C 相交于P ,Q 两点,且PQ =2,求实数m 的值.22.(本小题满分10分)扬州大学数学系有6名大学生要去甲、乙两所中学实习,每名大学生都被随机分配到两所中学的其中一所.(1) 求6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率;(2) 设X,Y分别表示分配到甲、乙两所中学的大学生人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).23.(本小题满分10分)二进制规定:每个二进制数由若干个0,1组成,且最高位数字必须为1.若在二进制中,S n 是所有n位二进制数构成的集合,对于a n,b n∈S n,M(a n,b n)表示a n和b n对应位置上数字不同的位置个数.例如当a3=100,b3=101时,M(a3,b3)=1;当a3=100,b3=111时,M(a3,b3)=2.(1) 令a5=10 000,求所有满足b5∈S5,且M(a5,b5)=2的b5的个数;(2) 给定a n(n≥2),对于集合S n中的所有b n,求M(a n,b n)的和.2018届扬州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1.{2} 2. -6 3. 2 4. 240 5. 94 6.237. 22π3 8. ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤14425,25 9. 1327 10. ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1,3211.(2,3) 12. 13+12 13. ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12,2 14. 7315. 解析:(1) 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,四边形B 1BCC 1是矩形,所以B 1C 1∥BC.(2分)在△ABC 中,D ,E 分别为AB ,AC 的中点, 故BC ∥DE ,所以B 1C 1∥DE.(4分) 又B 1C 1⊄平面A 1DE ,DE ⊂平面A 1DE , 所以B 1C 1∥平面A 1DE.(7分)(2) 在平面ABB 1A 1内,过点A 作AF ⊥A 1D ,垂足为F.因为平面A 1DE ⊥平面A 1ABB 1,平面A 1DE ∩平面A 1ABB 1=A 1D ,AF ⊂平面A 1ABB 1,所以AF ⊥平面A 1DE.(11分)又DE ⊂平面A 1DE ,所以AF ⊥DE. 在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中,A 1A ⊥平面ABC,DE⊂平面ABC,所以A1A⊥DE.因为AF∩A1A=A,AF⊂平面A1ABB1,A1A ⊂平面A1ABB1,所以DE⊥平面A1ABB1.因为AB⊂平面A1ABB1,所以DE⊥AB.(14分)16. 解析:(1) 因为S△ABC=12AB×BC×sin B=9,又AB=6,BC=5,所以sin B=35.(2分)又B∈(0,π),所以cos B=±1-sin2B=±45.(3分)当cos B=45时,AC=AB2+BC2-2AB·BC cos B=36+25-2×6×5×45=13.(5分)当cos B=-45时,AC =AB 2+BC 2-2AB·BC cos B=36+25+2×6×5×45=109.所以AC =13或109.(7分)(2) 由△ABC 为锐角三角形得B 为锐角, 所以AB =6,AC =13,BC =5, 所以cos A =36+13-252×6×13=213.又A ∈(0,π),所以sin A =1-cos 2A =313,(9分)所以sin 2A =2×313×213=1213,cos 2A =⎝⎛⎭⎪⎫2132-⎝ ⎛⎭⎪⎫3132=-513,(12分) 所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A +π6=cos 2A cos π6-sin 2A sinπ6=-53-1226.(14分)17. 解析:(1) 因为MN 与扇形弧PQ 相切于点S ,所以OS ⊥MN.在Rt △OSM 中,因为OS =1,∠MOS =α,所以SM =tan α.在Rt △OSN 中,∠NOS =2π3-α,所以SN=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-α,所以MN =tan α+tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-α=3(tan 2α+1)3tan α-1,(4分)其中π6<α<π2.(6分)(2) 因为π6<α<π2,所以3tan α-1>0.令t =3tan α-1>0,则tan α=33(t +1),所以MN =33⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t +4t +2, (8分)由基本不等式得MN ≥33·⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ×4t +2=23,(10分)当且仅当t=4t,即t=2时等号成立. (12分)此时tanα=3,由于π6<α<π2,故α=π3,MN=23千米.(14分)18. 解析:(1) 设椭圆E2的方程为x22m+y2 m=1,代入点(2,1)得m=2,所以椭圆E2的方程为x24+y22=1.(3分)(2) 因为椭圆E1的离心率为22,故a2=2b2,所以椭圆E1:x2+2y2=2b2.又椭圆E2与椭圆E1“相似”,且m=4,所以椭圆E1:x2+2y2=8b2.设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),直线l1:y=kx+2,①方法一:由题意得b=2,所以椭圆E1:x2+2y2=8,将直线l:y=kx+2,代入椭圆E1:x2+2y2=8得(1+2k2)x2+8kx=0,解得x 1=-8k 1+2k 2,x 2=0,故y 1=2-4k21+2k 2,y 2=2,所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫-8k 1+2k 2,2-4k 21+2k 2.(5分)又=2,即B 为AP 中点,所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1+2k2,2+12k 21+2k 2,(6分) 代入椭圆E 2:x 2+2y 2=32得⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 1+2k 22+2⎝ ⎛⎭⎪⎫2+12k 21+2k 22=32, 即20k 4+4k 2-3=0,即(10k 2-3)(2k 2+1)=0,所以k =±3010,所以直线l 的方程为y =±3010x +2.(8分)方法二:由题意得b =2,所以椭圆E 1:x 2+2y 2=8,E 2:x 2+2y 2=32,设A(x ,y),B(0,2),则P(-x ,4-y),代入椭圆得⎩⎨⎧x 2+2y 2=8,x 2+2(4-y )2=32,解得y =12, 故x =±302,(6分)所以k =±3010,所以直线l 的方程为y =±3010x +2.(8分)②方法一: 由题意得x 20+2y 20=8b 2,x 21+2y 21=2b 2,x 22+2y 22=2b 2, y 0x 0·y 1x 1=-12,即x 0x 1+2y 0y 1=0, 因为=λ,所以(x 0-x 1,y 0-y 1)=λ(x 2-x 1,y 2-y 1),解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=x 0+(λ-1)x 1λ,y 2=y 0+(λ-1)y 1λ,(12分)所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0+(λ-1)x 1λ2+2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0+(λ-1)y 1λ2=2b 2,则x 20+2(λ-1)x 0x 1+(λ-1)2x 21+2y 20+4(λ-1)y 0y 1+2(λ-1)2y 21=2λ2b 2,(x 20+2y 20)+2(λ-1)(x 0x 1+2y 0y 1)+(λ-1)2(x 21+2y 21)=2λ2b 2,所以8b 2+(λ-1)2·2b 2=2λ2b 2,即4+(λ-1)2=λ2,所以λ=52.(16分)方法二:不妨设点P 在第一象限,设直线OP :y =kx(k>0),代入椭圆E 2:x 2+2y 2=8b 2,解得x 0=22b 1+2k 2,则y 0=22bk1+2k 2, 因为直线OP ,OA 的斜率之积为-12,所以直线OA :y =-12kx ,代入椭圆E 1:x 2+2y 2=2b 2,解得x 1=-2bk 1+2k 2,则y 1=b1+2k 2. 因为=λ,所以(x 0-x 1,y 0-y 1)=λ(x 2-x 1,y 2-y 1),解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2=x 0+(λ-1)x 1λ,y 2=y 0+(λ-1)y 1λ,所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0+(λ-1)x 1λ2+2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0+(λ-1)y 1λ2=2b 2,则x 20+2(λ-1)x 0x 1+(λ-1)2x 21+2y 20+4(λ-1)y 0y 1+2(λ-1)2y 21=2λ2b 2, (x 20+2y 20)+2(λ-1)(x 0x 1+2y 0y 1)+(λ-1)2(x 21+2y 21)=2λ2b 2,所以8b 2+2(λ-1)[22b1+2k 2·⎝⎛⎭⎪⎫-2bk 1+2k 2+2·22bk 1+2k 2·b 1+2k2]+(λ-1)2·2b 2=2λ2b 2, 即8b 2+(λ-1)2·2b 2=2λ2b 2,即4+(λ-1)2=λ2,所以λ=52.19. 解析:(1) 由g(-1)=0知,g(x)的直线图象过点(-1,0).设切点坐标为T(x 0,y 0),由f′(x)=e x得切线方程是y -e x 0=e x 0(x -x 0),此直线过点(-1,0),故0-e x 0=e x 0(-1-x 0),解得x 0=0,所以a =f′(0)=1.(3分)(2) 由题意得m<e x -x 2,x ∈(0,+∞)恒成立,令m(x)=e x-x 2,x ∈(0,+∞),则m′(x)=e x -2x ,再令n(x)=m′(x)=e x -2x ,则n′(x)=e x -2,故当x ∈(0,ln 2)时,n ′(x)<0,n(x)单调递减;当x ∈(ln 2,+∞)时,n ′(x)>0,n(x)单调递增,从而n(x)在(0,+∞)上有最小值n(ln 2)=2-2ln 2>0,所以m(x)在(0,+∞)上单调递增,(6分) 所以m ≤m(0),即m ≤1.(8分)(3) 若a<0,F(x)=f(x)-g(x)=e x -ax -b 在(0,+∞)上单调递增,故F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上总有零点的必要条件是F(0)<0,即b>1,(10分)以下证明当b>1时,F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上总有零点.①若a<0,由于F(0)=1-b<0,F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫-b a =e -b a -a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫-b a -b =e -ba>0,且F(x)在(0,+∞)上连续,故F(x)在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0,-b a 上必有零点;(12分)②若a ≥0,F(0)=1-b<0,由(2)知e x>x 2+1>x 2在x ∈(0,+∞)上恒成立,取x 0=a +b ,则F(x 0)=F(a +b)=ea +b-a(a+b)-b>(a +b)2-a 2-ab -b =ab +b(b -1)>0,由于F(0)=1-b<0,F(a +b)>0,且F(x)在(0,+∞)上连续,故F(x)在(0,a +b)上必有零点,综上得,实数b 的取值范围是(1,+∞).(16分)20. 解析:(1) 2S n =a 2n +a n ,①2S n +1=a 2n +1+a n +1,②②-①得2a n +1=a 2n +1-a 2n +a n +1-a n ,即(a n +1+a n )(a n +1-a n -1)=0.因为{a n }是正数数列,所以a n +1-a n -1=0, 即a n +1-a n =1,所以{a n }是等差数列,其中公差为1. 在2S n =a 2n +a n 中,令n =1,得a 1=1, 所以a n =n.(2分)由2b n +1=b n +b n a n 得b n +1n +1=12·b n n,所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n n 是等比数列,其中首项为12,公比为12,所以b n n =⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12n,即b n =n 2n .(5分)(2) c n =b n +2S n =n +2(n 2+n )2n +1,裂项得c n =1n ·2n -1(n +1)2n +1,(7分) 所以c 1+c 2+…+c n =12-1(n +1)2n +1.(9分)(3) 假设存在正整数p ,q ,r(p<q<r),使得b p ,b q ,b r 成等差数列,则b p +b r =2b q ,即p 2p +r 2r =2q 2q . 因为b n +1-b n =n +12n +1-n 2n =1-n2n +1,所以数列{b n }从第二项起单调递减, 当p =1时,12+r 2r =2q2q ,若q =2,则r 2r =12,此时无解;若q =3,则r 2r =14,因为{b n }从第二项起递减,所以r =4,所以p =1,q =3,r =4符合要求.(11分)若q ≥4,则b 1b q ≥b 1b 4≥2,即b 1≥2b q ,不符合要求,此时无解;当p ≥2时,一定有q -p =1,否则若q -p ≥2,则b p b q ≥b p b p +2=4p p +2=41+2p ≥2,即b p ≥2b q ,矛盾,所以q -p =1,此时r 2r =12p ,令r -p =m +1,则r =2m +1,所以p =2m +1-m -1,q =2m +1-m ,综上得,存在p =1,q =3,r =4或p =2m +1-m -1,q =2m +1-m ,r =2m +1满足要求.(16分)21.B. 解析:因为A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=⎣⎢⎡⎦⎥⎤35,即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x 3y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11=⎣⎢⎡⎦⎥⎤35,即⎩⎨⎧2+x =3,3+y =5,解得⎩⎨⎧x =1,y =2,所以A =⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132.(5分) 方法一:设A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ,则AA -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d =⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001,即⎩⎪⎨⎪⎧2a +c =1,3a +2c =0,2b +d =0,3b +2d =1,(7分) 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-1,c =-3,d =2,所以A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2-1-32.(10分)方法二:因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d -1=⎣⎢⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎥⎤ d ad -bc -b ad -bc -c ad -bc a ad -bc , 且det(A)=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2132=2×2-1×3=1,所以A -1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2132-1=⎣⎢⎡⎦⎥⎤2-1-32.(10分) C. 解析:(1) 因为直线l 的参数方程是:⎩⎪⎨⎪⎧x =m +22t ,y =22t (t 是参数), 所以直线l 的普通方程为x -y -m =0.(2分) 因为曲线C 的极坐标方程为ρ=6cos θ,所以ρ2=6ρcos θ ,所以x 2+y 2=6x ,所以曲线C 的直角坐标方程是(x -3)2+y 2=9.(5分)(2) 设圆心到直线l 的距离为d ,则d =32-12=2 2.又d =|3-m |2=2 2.(8分)所以|3-m |=4,即 m =-1或m =7.(10分) 22.解析:(1) 记 “6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习” 为事件A ,则P(A)=1-126=6364. 故6名大学生中至少有1名被分配到甲学校实习的概率为6364.(3分)(2) ξ所有可能取值是0,2,4,6,记“6名学生中恰有i名被分到甲学校实习”为事件A i(i =0,1,…,6),则P(ξ=0)=P(A3)=C36C3326=516,P(ξ=2)=P(A2+A4)=P(A2)+P(A4)=C26C44 26+C46C2226=1532,P(ξ=4)=P(A1+A5)=P(A1)+P(A5)=C16C55 26+C56C1126=316,P(ξ=6)=P(A0+A6)=P(A0)+P(A6)=C06C66 26+C66C0626=132,(7分)所以随机变量ξ的概率分布为:ξ0 2 4 6P 5161532316132所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)=0×516+2×1532+4×316+6×132=158.(9分) 故随机变量ξ的数学期望E(ξ)=158.(10分) 23.解析:(1) 因为M(a 5,b 5)=2,所以b 5为5位数且与a 5有2项不同.因为首项为1,所以a 5与b 5在后四项中有两项不同,所以b 5的个数为C 24=6.(3分)(2) 当M(a n ,b n )=0时,b n 的个数为C 0n -1;当M(a n ,b n )=1时,b n 的个数为C 1n -1,当M(a n ,b n )=2时,b n 的个数为C 2n -1,…当M(a n ,b n )=n -1时,b n 的个数为C n -1n -1.设M(a n ,b n )的和为S, 则S =0C 0n -1+1C 1n -1+2C 2n -1+…+(n -1)C n -1n -1,(6分)倒序得S =(n -1)C n -1n -1+…+2C 2n -1+1C 1n -1+0C 0n -1,倒序相加得2S =(n -1)(C 0n -1+C 1n -1…+C n -1n -1)=(n -1)·2n -1,即S =(n -1)·2n -2, 所以M(a n ,b n )的和为(n -1)·2n -2.(10分)。