江苏省扬州市2018届高三第一次模拟考试数学

江苏省扬州市2018届高三第一次模拟考试数学

2018届高三年级第一次模拟考试(六)

数 学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2

＝1n ∑n i ＝1(x i －x)2

，其中x ＝1n ∑n i ＝1x i

.

棱锥的体积V ＝1

3Sh ，其中S 是棱锥的底面

积，h 是高．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.若集合A ＝{x|1

2.若复数(a －2i )(1＋3i )(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为________．

3.若数据31，37，33，a ，35的平均数是34，则这组数据的标准差是________．

4.为了了解某学校男生的身体发育情况，随机抽查了该校100名男生的体重情况，整理所得数据并画出样本的频率分布直方图．根据此图估计该校2 000名男生中体重在70～78(kg )的人数

为________．

(第4题) (第5题)

5. 运行如图所示的流程图，输出的结果是________．

6. 已知从2名男生2名女生中任选2人，则恰有1男1女的概率为________．

7. 若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为

2π

3的扇形，则此圆锥的体积为________．

8. 若实数x，y满足

⎩⎪

⎨

⎪⎧x≤4，

y≤3，

3x＋4y≥12，

则x2＋y2的取值范围是________．

9.已知各项都是正数的等比数列{a n}的前n 项和为S n，若4a4，a3，6a5成等差数列，且a3＝3a22，则S3＝________．

10．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2

a 2

－y 2

b

2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆x 2＋y 2

－6y ＋5＝0没有交点，则双曲线离心率的取值范围是________．

11．已知函数f(x)＝sin x －x ＋1－4

x

2x ，则关于

x 的不等式f(1－x 2

)＋f(5x －7)<0的解集为________．

12．已知正△ABC 的边长为2，点P 为线段AB 中垂线上任意一点，Q 为射线AP 上一点，且满足AP →·AQ →＝1，则|CQ →|的最大值为________．

13

．已知函数f(x)＝

⎩

⎪⎨⎪⎧log 1

2

（－x ＋1）－1，x ∈[－1，k]，－2|x －1|， x ∈（k ，a]，若存在实数k 使得该函数的值域为[－2，0]，则实数a 的取值范围是________．

14．已知正实数x ，y 满足5x 2

＋4xy －y 2

＝1，则12x 2＋8xy －y 2的最小值为________．

二、 解答题：本大题共6小题，计90分．解

答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．

(1) 证明：B1C1∥平面A1DE；

(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，证明：AB⊥DE.

16. (本小题满分14分)

已知在△ABC中，AB＝6，BC＝5，且△ABC 的面积为9.

(1) 求AC的长度；

(2) 当△ABC为锐角三角形时，求

cos ⎝

⎛⎭⎪⎫

2A ＋π6的值．

如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P，Q分别在射线OA和OB上．经测量得，扇形

OPQ的圆心角(即∠POQ)为2π

3、半径为1千

米．为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA，OB交于M，N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点S，设∠POS＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．

(1) 试将公路MN的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围；

(2) 试确定α的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值.

已知椭圆E 1：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a>b>0)，若椭圆E 2：

x 2

ma 2＋y 2

mb 2

＝1(a>b>0，m>1)，则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”．

(1) 求经过点(2，1)，且与椭圆E 1：x 2

2＋y

2

＝1“相似”的椭圆E 2的方程；

(2) 若m ＝4，椭圆E 1的离心率为2

2，点P

在椭圆E 2上，过点P 的直线l 交椭圆E 1于A ，B 两点，且AP

→＝λAB →， ①若点B 的坐标为(0，2)，且λ＝2，求直线l 的方程；

②若直线OP ，OA 的斜率之积为－1

2，求实

数λ的值．

已知函数f(x)＝e x，g(x)＝ax＋b，a，b∈R.

(1) 若g(－1)＝0，且函数g(x)的图象是函数f(x)图象的一条切线，求实数a的值：

(2) 若不等式f(x)>x2＋m对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数m的取值范围；

(3) 若对任意实数a，函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上总有零点，求实数b的取值范围．