高中数学_数学归纳法教学设计学情分析教材分析课后反思

数学归纳法教学设计
【教学目标】
（1）知识与技能：
①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；
②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；
③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。

（2）过程与方法：
努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观：
通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

【教学重点】
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题；
【教学难点】
数学归纳法中递推关系的应用。

【辅助教学】
多媒体技术辅助课堂教学。

【教学过程】 一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）
（情景一）问题1：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？
问题2: 如果{}n a 是一个等差数列，怎样得到()11n a a n d =+-?
（情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。

【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。

归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。

（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？
二、搜索生活实例，激发学生兴趣
展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？
（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。

）
① 第一块骨牌必须要倒下 ②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下 相当于能推倒第一块骨牌 相当于第k 块骨牌能推倒第1k +块骨牌 三、师生合作，形成概念。

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可以按照以下步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值()*00 n n N ∈时命题成立；
（2）（归纳递推）假设()*0 , n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+命题也成立.
完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。

上述这种证明方法叫做数学归纳法。

四、讲练结合，巩固概念
类型一 用数学归纳法证明等式 例1：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236
n n n n ++++++= 证明：（1）当1n =时，左边：211=，右边：
1(11)(21)16
⨯+⨯+=，左边=右边，等式成立。

（2）假设当*()n k k N =∈时等式成立，
即2222*(1)(21)123... ()6
k k k k k N ++++++=∈ 则当()*1 n k k N =+∈时，
左边()()()()222222*********k k k k k k ++=+++
+++=++ (1)(2)(23) =6
k k k +++=右边 即当1n k =+时，等式也成立。

由(1)，(2)得：对*n N ∀∈，等式2222(1)(21)1236n n n n +++++
+
=
成立
【方法技巧】证明中的几个注意问题：
（1）在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳）
（2）在第二步中,证明1n k =+命题成立时,必须用到n k =命题成立这一归纳假设，否则就
打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. （用上假设，递推才真）
（3）明确变形目标（写明结论，才算完整）
变式训练：用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+
++=++ 证明： （1）当1n =时，左边122=⨯=，右边112323=
⨯⨯⨯=，左边=右边，等式成立； （2）假设当n k =时，等式成立，
即()()()11223341123
k k k k k ⨯+⨯+⨯+
++=++， 则当1n k =+时 ()()()122334112k k k k ⨯+⨯+⨯++++++
()()()()112123
k k k k k =+++++ ()()11123k k k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ ()()()1111123
k k k =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以1n k =+，公式成立，
由（1）（2）可知，当*n N ∈时， 公式1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+
++=++成立. 类型二 归纳——猜想——证明
例2：已知数列()()1111
,,,,,14477103231n n ⨯⨯⨯-+ n S 为该数列的前n 项和，
计算1234,,,S S S S ，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.
解：111144S ==⨯， 2118247287S S =+==⨯ 3212137107010S S =+==⨯， 43131404101310101313013
S S =+=+==⨯⨯ 根据上述结果，猜想31
n n S n =+. 证明：（1）当1n =时，左边114S ==，右边113114==⨯+，猜想成立， （2）假设当()
* n k k N =∈时猜想成立，即 ()()11111447710323131
k k S k k k =
++++=⨯⨯⨯-++，
那么，当1n k =+时， ()()()()11111114477103231312311k S k k k k +=
+++++⨯⨯⨯-++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
()()1313134k k k k =++++()()()()()
234134131343134k k k k k k k k ++++==++++ ()()()()()()13111313434311
k k k k k k k k ++++===+++++， 所以，1n k =+时，猜想成立， 由（1）（2）可知，对于n N ∈，猜想成立，即，*,31n n n N S n ∀∈=
+ 【方法技巧】 “归纳—猜想—证明”的一般环节
学生总结 课件展示 框图呈现
变式训练：设0,()ax a f x a x
>=+，令111,(),n n a a f a n N *+==∈， (1)写出123,,a a a ，并猜想出数列{}n a 的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论.
五、课堂小结
1.归纳法：完全归纳法和不完全归纳法；
2.用数学归纳法证明等式：
①找准基础，奠基要稳。

②用上假设，递推才真。

③写明结论，才算完整
3.归纳——猜想——证明
六、当堂检测
1.用数学归纳法证明212*122221()n n n N +++++
+=-∈的过程中，在验证1n =时，左
端计算所得的项为( C )
A.1
B.12+
C.2122++
D. 231222+++
2.用数学归纳法证明 *(1)(2)
()213(21)()n n n n n n n N +++=⨯⨯⨯⨯-∈，“从k 到1k +”左端增乘的代数
式为221k +（） 3.已知数列{}n a 的前n 项和2 (2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =
( B )
A.22(1)n +
B. 2(1)n n +
C. 221n -
D. 221
n - 设计意图：检测学生对本节课内容的掌握程度，锻炼实际应用能力.
拓展训练（延伸提高，课下思考）
1.用数学归纳法证明22 (5,)n n n n N *>≥∈.
2. (2014·石家庄高二检测)求证：*1115 (2,)1236
n n N n n n +++>≥∈++. 数学归纳法学情分析
本校的学生基础较好，思维活跃。

学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从“骨牌游戏原理”启发得到“数学方法”的过程有困难；二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。

效果分析
根据本节课的学习目标设定来看，本节课顺利的使学生了解了“完全归纳法”和“不完全归纳法”。

多米诺骨牌游戏的展示使学生很自然的总结出数学归纳法的一般步骤，典例探究中的类型一的细致讲解和分析也达到了预期效果。

老师设计的小问题也有不少同学顺利的解决，类型二由于证明部分与类型一一致，仅强调了“归纳 —猜想”的过程。

通过当堂反馈反映出学生能很好的掌握本节课的内容，但对一些较活的问题存在一定难度。

数学归纳法教材分析
本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（人教A 版）》第二章第三节《2.3数学归纳法》。

在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它
*(n 3)(n 4)123(n
3)(n N )2
+++++++=∈们的正确性还有待证明。

因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。

通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。

本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与正整数有关的问题。

2.3 数学归纳法课后练习题
一、选择题
①用数学归纳法证明等式 时， 第一步验证n=1时，左边应取的项是（D ）
Ａ．1 Ｂ.1+2 Ｃ.1+2+3 Ｄ.1+2+3+4
【命题意图：】考查数学归纳法的“归纳奠基”这一步，让学生能正确判断，n 取初始值时等式左边的项有哪些，而未必一项。

本题是属于基础题，必做题。

②用数学归纳法证明(n 1)(n 2)(n 3)(n n)2123(2n 1)n ++++=••••-时，从k 到k+1时，左端需增乘的代数式为（ B ）
A ．21k +
B ．2(2k 1)+
C ．211k k ++
D ．23
1k k ++
【命题意图：】考查数学归纳法的“归纳递推”这一步，训练学生寻找第k 步与第k+1步之间的关系 ，必做题。

二、填空题
③用数学归纳法证明33n n ≥时，第一步应验证
答案：n=3时，不等式是否成立
【命题意图：】考查数学归纳法的第一步，必做题。

④已知)(1...31211)(*N n n
n f ∈++++
=，用数学归纳法证明2)2(n
f n >时， =-+)2()2(1k k f f 答案：121 (2)
21121++++++k k k 【命题意图：】考查学生寻找数学归纳法的证明过程中第K 步与第K+1
步的关系并且使学生发现，由第k 步到第k+1步之间
未必只有一项，必做题。

三、解答题
⑤用数学归纳法证明：
【命题意图：】考查数学归纳法的证明过程，必做题。

⑥由下列不等式：， 2231211>++
， 2371...31211>++++，
2151...31211>++++
， 你能猜想一个怎样的结论？并加以证明。

【命题意图：】本题首先考查了之前学过的知识“归纳推理”，让学生体验从“特殊到一般”的思维过程。

引导学生先大胆猜想，然后11
2>1111...133557(21)(21)21
n n n n ++++=⨯⨯⨯-++
按照猜想的方向，用数学归纳法，大胆的尝试证明。

让学生在解题中充分的体验“归纳—猜想—证明”的乐趣，体会成功的喜悦！属于提高题，选做题。

课后反思
教材在对数学归纳法知识的呈现过程应是非常到位和有层次的：1.“问题”：教材通过对递推数列进行归纳猜想得数列的通项公式，一一验证不可能实现，由此提出需要“另辟蹊径”，寻求一种能用有限个步骤的推理证明n取所有正整数都成立的数学方法.
2.“经验”：引入多米诺骨牌游戏，引导学生思考多米诺骨牌倒下的条件.
3.“类比”：类比多米诺骨牌倒下的条件，思考数列通项公式证明的方法,
4.“概括”：通过生活化的模型以及具体数学问题的例证，抽象概括出数学归纳法证题的一般模式.
5.“应用”：通过例题，加深对数学归纳法的理解，会用数学归纳法证明一些简单的数学问题.
课标分析
教师应借助具体实例让学生了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．普通高中新课程数学学科教学指导意见指出：让学生经历归纳、猜想、证明的数学探究过程．。