高中数学_数学归纳法教学设计学情分析教材分析课后反思

数学归纳法教学设计

【教学目标】

（1）知识与技能：

①理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；

②会用数学归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题；

③能通过“归纳、猜想”的过程得出结论并用数学归纳法证明结论。

（2）过程与方法：

努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。

（3）情感态度与价值观：

通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。

【教学重点】

借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n 有关的数学命题；

【教学难点】

数学归纳法中递推关系的应用。

【辅助教学】

多媒体技术辅助课堂教学。

【教学过程】 一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）

（情景一）问题1：大球中有5个小球，如何证明它们都是绿色的？

问题2: 如果{}n a 是一个等差数列，怎样得到()11n a a n d =+-?

（情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。

【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。

（情景三）问题：如何解决不完全归纳法存在的问题呢？

如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？

二、搜索生活实例，激发学生兴趣

展示多米诺骨牌的动画，探究多米诺骨牌如何才能全部倒下？

（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境三的问题。）

① 第一块骨牌必须要倒下 ②任意相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则后一块也倒下 相当于能推倒第一块骨牌 相当于第k 块骨牌能推倒第1k +块骨牌 三、师生合作，形成概念。

一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可以按照以下步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值()*00 n n N ∈时命题成立；

（2）（归纳递推）假设()*0 , n k k n k N =≥∈时命题成立，证明当1n k =+命题也成立.

完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立。

上述这种证明方法叫做数学归纳法。 四、讲练结合，巩固概念

类型一 用数学归纳法证明等式 例1：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236

n n n n ++++++= 证明：（1）当1n =时，左边：211=，右边：

1(11)(21)16

⨯+⨯+=，左边=右边，等式成立。 （2）假设当*()n k k N =∈时等式成立，

即2222*(1)(21)123... ()6

k k k k k N ++++++=∈ 则当()*1 n k k N =+∈时，

左边()()()()222222*********k k k k k k ++=+++

+++=++ (1)(2)(23) =6

k k k +++=右边 即当1n k =+时，等式也成立。 由(1)，(2)得：对*n N ∀∈，等式2222(1)(21)1236n n n n +++++

+

=

成立

【方法技巧】证明中的几个注意问题：

（1）在第一步中的初始值不一定从1取起, 证明应根据具体情况而定.（找准起点，奠基要稳）

（2）在第二步中,证明1n k =+命题成立时,必须用到n k =命题成立这一归纳假设，否则就

打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效. （用上假设，递推才真）

（3）明确变形目标（写明结论，才算完整）

变式训练：用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+

++=++ 证明： （1）当1n =时，左边122=⨯=，右边112323=

⨯⨯⨯=，左边=右边，等式成立； （2）假设当n k =时，等式成立，

即()()()11223341123

k k k k k ⨯+⨯+⨯+

++=++， 则当1n k =+时 ()()()122334112k k k k ⨯+⨯+⨯++++++

()()()()112123

k k k k k =+++++ ()()11123k k k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ ()()()1111123

k k k =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以1n k =+，公式成立，

由（1）（2）可知，当*n N ∈时， 公式1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+

++=++成立. 类型二 归纳——猜想——证明

例2：已知数列()()1111

,,,,,14477103231n n ⨯⨯⨯-+ n S 为该数列的前n 项和，

计算1234,,,S S S S ，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.

解：111144S ==⨯， 2118247287S S =+==⨯ 3212137107010S S =+==⨯， 43131404101310101313013

S S =+=+==⨯⨯ 根据上述结果，猜想31

n n S n =+. 证明：（1）当1n =时，左边114S ==，右边113114==⨯+，猜想成立， （2）假设当()

* n k k N =∈时猜想成立，即 ()()11111447710323131

k k S k k k =

++++=⨯⨯⨯-++，