人教版高中数学必修五数列知识点及习题详解

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高中数学必修五数列知识点+练习含答案解析(非常详细)

第一部分必修五数列知识点整理第二章数列1、数列的定义及数列的通项公式：①. ()n a f n =，数列是定义域为N 的函数()f n ，当n 依次取1，2，⋅⋅⋅时的一列函数值②i.归纳法若00S =，则n a 不分段；若00S ≠，则n a 分段iii. 若1n n a pa q +=+，则可设1()n n a m p a m ++=+解得m,得等比数列{}n a m +iv. 若()nn S f a =，先求1a 11()()n n n n S f a S f a ++=⎧⎨=⎩得到关于1n a +和n a 的递推关系式例如：21n n S a =+先求1a ，再构造方程组：112121n n n n S a S a ++=+⎧⎨=+⎩⇒（下减上）1122n n n a a a ++=-2.等差数列：① 定义：1n n a a +-=d （常数）,证明数列是等差数列的重要工具。

② 通项0d ≠时，n a 为关于n 的一次函数；d ＞0时，na 为单调递增数列；d ＜0时，n a 为单调递减数列。

③ 前n 1(1)2n n na d -=+，0d ≠时，n S 是关于n 的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。

④ 性质：ii. 若{}n a 为等差数列，则m a ，m k a +，2m k a +，…仍为等差数列。

iii. 若{}n a 为等差数列，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，…仍为等差数列。

iv 若A 为a,b 的等差中项，则有2a bA +=。

3.等比数列： ① 定义：1n na q a +=（常数），是证明数列是等比数列的重要工具。

② 通项时为常数列)。

③.前n 项和需特别注意,公比为字母时要讨论.④.性质：ii.{}仍为等比数列则为等比数列 ,,,,2k m k m m n a a a a ++，公比为k q 。

iii. {}232,,,,n n n n n n a S S S S --K 为等比数列则S 仍为等比数列，公比为n q 。

高中数学必修五数列全套教案(知识讲解+经典例题+巩固练习+答案)

数列的概念与简单表示法【学习目标】1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题.2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系.3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项.4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系.【学习策略】数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。

关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决.【要点梳理】要点一、数列的概念数列概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.要点诠释：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项.要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。

数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号.类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质：（1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的；（2）可重复性：数列中的数可以重复；（3）有序性：数列中的数的排列是有次序的.数列的一般形式：数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项.要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项.要点二、数列的分类根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。

高中数学必修5等差数列知识点总结和题型归纳

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。

等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。

—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。

≤d＜3 D.＜d≤36、。

在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习

高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习(一)(总22页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--高中数学必修5__第二章《数列》复习知识点总结与练习（一）一．数列的概念与简单表示法知识能否忆起1．数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：①数列：按照一定顺序排列的一列数．②数列的项：数列中的每一个数．(2)数列的分类：(3)数列的通项公式：如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．2．数列的递推公式如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n－1(n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．1.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的函数特征数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝a n(n∈N*)．3.考点（一）由数列的前几项求数列的通项公式[例1] (2012·天津南开中学月考)下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( )A ．a n ＝1B ．a n ＝－1n＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝－1n －1＋32[自主解答] 由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sinn π2可得a 1＝1，a 2＝2， a 3＝1，a 4＝2，….[答案] C 由题悟法1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n ＋1来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想以题试法写出下面数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)3,33,333,3 333，…；(4)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，….所以a n ＝13(10n－1)．(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－1nn，也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n ，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.（二）由a n 与S n 的关系求通项a n已知数列{a n }的前n 项和S n ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[例2] 已知数列{a n }的前n 项和S n ，根据下列条件分别求它们的通项a n . (1)S n ＝2n 2＋3n ；(2)S n ＝3n＋1.[自主解答] (1)由题可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1. 当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，故a n ＝4n ＋1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，故a n ＝⎩⎨⎧4， n ＝1，2×3n －1， n ≥2. 以题试法(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝nn ＋1，则1a 5＝( )D ．30解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝nn ＋1－n －1n ＝1n n ＋1，则a 5＝15×6＝130. （三）数列的性质[例3] 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－21n ＋20. (1)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)n 为何值时，该数列的前n 项和最小？[自主解答] (1)因为a n ＝n 2－21n ＋20＝⎝⎛⎭⎪⎫n －2122－3614，可知对称轴方程为n ＝212＝.又因n ∈N *，故n ＝10或n ＝11时，a n 有最小值，其最小值为112－21×11＋20＝－90.(2)设数列的前n 项和最小，则有a n ≤0，由n 2－21n ＋20≤0，解得1≤n ≤20，故数列{a n }从第21项开始为正数，所以该数列的前19或20项和最小．由题悟法1．数列中项的最值的求法根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数a n ＝f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值．2．前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和S n ，根据S n 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若a m ≥0，且a m ＋1<0，则S m 最大；若a m ≤0，且a m ＋1>0，则S m 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.以题试法3．(2012·江西七校联考)数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大值是( )A ．310B ．19解析：选C a n ＝1n ＋90n ，由基本不等式得，1n ＋90n≤1290，由于n ∈N *，易知当n ＝9或10时，a n ＝119最大．二．等差数列及其前n 项和知识能否忆起一、等差数列的有关概念1．定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．2．等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．二、等差数列的有关公式 1．通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . 2．前n 项和公式：S n ＝na 1＋n n －12d ＝a 1＋a n n2.三、等差数列的性质1．若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，{a n }为等差数列，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 2．在等差数列{a n }中，a k ，a 2k ，a 3k ，a 4k ，…仍为等差数列，公差为kd . 3．若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍为等差数列，公差为n 2d . 4．等差数列的增减性：d >0时为递增数列，且当a 1<0时前n 项和S n 有最小值．d <0时为递减数列，且当a 1>0时前n 项和S n 有最大值．5．等差数列{a n }的首项是a 1，公差为d .若其前n 项之和可以写成S n ＝An 2＋Bn ，则A ＝d2，B ＝a 1－d2，当d ≠0时它表示二次函数，数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn 是{a n }成等差数列的充要条件．1.与前n 项和有关的三类问题(1)知三求二：已知a 1、d 、n 、a n 、S n 中的任意三个，即可求得其余两个，这体现了方程思想．(2)S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ＝An 2＋Bn ⇒d ＝2A .(3)利用二次函数的图象确定S n 的最值时，最高点的纵坐标不一定是最大值，最低点的纵坐标不一定是最小值．2．设元与解题的技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元，若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．考点等差数列的判断与证明[例1] 在数列{a n }中，a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)． (1)求a 2，a 3的值； (2)设b n ＝a n ＋32n(n ∈N *)，证明：{b n }是等差数列．[自主解答] (1)∵a 1＝－3，a n ＝2a n －1＋2n＋3(n ≥2，且n ∈N *)，∴a 2＝2a 1＋22＋3＝1，a 3＝2a 2＋23＋3＝13.(2)证明：对于任意n ∈N *， ∵b n ＋1－b n ＝a n ＋1＋32n ＋1－a n ＋32n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )－3]＝12n ＋1[(2n ＋1＋3)－3]＝1， ∴数列{b n }是首项为a 1＋32＝－3＋32＝0，公差为1的等差数列．由题悟法1．证明{a n }为等差数列的方法：(1)用定义证明：a n －a n －1＝d (d 为常数，n ≥2)⇔{a n }为等差数列； (2)用等差中项证明：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }为等差数列； (3)通项法：a n 为n 的一次函数⇔{a n }为等差数列； (4)前n 项和法：S n ＝An 2＋Bn 或S n ＝n a 1＋a n2.2．用定义证明等差数列时，常采用的两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必须加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．以题试法1．已知数列{a n }的前n 项和S n 是n 的二次函数，且a 1＝－2，a 2＝2，S 3＝6. (1)求S n ；(2)证明：数列{a n }是等差数列．解：(1)设S n ＝An 2＋Bn ＋C (A ≠0)，则⎩⎨⎧－2＝A ＋B ＋C ，0＝4A ＋2B ＋C ，6＝9A ＋3B ＋C ，解得A ＝2，B ＝－4，C ＝0.故S n ＝2n 2－4n . (2)证明：∵当n ＝1时，a 1＝S 1＝－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－4n －[2(n －1)2－4(n －1)]＝4n －6. ∴a n ＝4n －6(n ∈N *)．a n ＋1－a n ＝4， ∴数列{a n }是等差数列. 等差数列的基本运算典题导入[例2] (2012·重庆高考)已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． [自主解答] (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎨⎧ 2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n . (2)由(1)可得S n ＝n a 1＋a n2＝n 2＋2n2＝n (n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2. 从而(2k )2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0，解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.由题悟法1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 及前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．2．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．以题试法2．(1)在等差数列中，已知a 6＝10，S 5＝5，则S 8＝________.(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析：(1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝3.则S 8＝8a 1＋28d ＝8×(－5)＋28×3＝44. (2)依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案：(1)44 (2)6等差数列的性质典题导入[例3] (1)等差数列{a n }中，若a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则前9项和S 9等于( )A ．66B ．99C ．144D ．297(2)(2012·天津模拟)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝( )A ．18B ．17C ．16D ．15[自主解答] (1)由等差数列的性质及a 1＋a 4＋a 7＝39，可得3a 4＝39，所以a 4＝13.同理，由a 3＋a 6＋a 9＝27，可得a 6＝9.所以S 9＝9a 1＋a 92＝9a 4＋a 62＝99.(2)设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.[答案] (1)B (2)A由题悟法1．等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2．应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．以题试法3．(1)(2012·江西高考)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 1＝7，a 3＋b 3＝21，则a 5＋b 5＝________.(2)(2012·海淀期末)若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：(1)设两等差数列组成的和数列为{c n }，由题意知新数列仍为等差数列且c 1＝7，c 3＝21，则c 5＝2c 3－c 1＝2×21－7＝35.(2)∵a n ＋1－a n ＝－3，∴数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧ a k ≥0，a k ＋1≤0，即⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3k ＋1≤0，解得193≤k ≤223.∵k ∈N *，∴k ＝7.故满足条件的n 的值为7.答案：(1)35 (2)B三．等比数列及其前n 项和[知识能否忆起]1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列{a n }的常用性质(1)在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2r (m ，n ，p ，q ，r ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r . 特别地，a 1a n ＝a 2a n －1＝a 3a n －2＝….(2)在公比为q 的等比数列{a n }中，数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q k；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时q ≠－1)；a n ＝a m q n －m .1.等比数列的特征(1)从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． (2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. 2．等比数列的前n 项和S n(1)等比数列的前n 项和S n 是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用．(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误考点等比数列的判定与证明典题导入[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[自主解答] (1)证明：∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1，∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴a n ＋1－1a n －1＝12. ∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1， ∴a 1＝12，c 1＝－12.又c n ＝a n －1，故{c n }是以－12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)可知c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴a n ＝c n ＋1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.在本例条件下，若数列{b n }满足b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，证明{b n }是等比数列．证明：∵由(2)知a n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1 ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . 又b 1＝a 1＝12也符合上式，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .∵b n ＋1b n ＝12，∴数列{b n }是等比数列．由题悟法等比数列的判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．以题试法1． (2012·沈阳模拟)已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }( )A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列解析：选 A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2，得log aa n ＋1a n ＝2＝log a a 2，故a n ＋1a n＝a 2.又a >0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．等比数列的基本运算典题导入[例2] {a n }为等比数列，求下列各值： (1)a 6－a 4＝24，a 3a 5＝64，求a n ； (2)已知a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，求公比q. 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意得⎩⎨⎧a 6－a 4＝a 1q 3q 2－1＝24， ①a 3a 5＝a 1q 32＝64. ②由②得a 1q 3＝±8，将a 1q 3＝－8代入①中，得q 2＝－2(舍去)．将a 1q 3＝8代入①中，得q 2＝4，q ＝±2. 当q ＝2时，a 1＝1，∴a n ＝a 1qn －1＝2n －1.当q ＝－2时，a 1＝－1，∴a n ＝a 1q n －1＝－(－2)n －1.∴a n ＝2n －1或a n ＝－(－2)n －1.(2)∵a 2·a 8＝36＝a 3·a 7，而a 3＋a 7＝15，∴⎩⎨⎧ a 3＝3，a 7＝12或⎩⎨⎧a 3＝12，a 7＝3.∴q 4＝a 7a 3＝4或14.∴q ＝±2或q ＝±22.由题悟法1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．以题试法2．(2012·山西适应性训练)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{3a n }的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以(2＋3d )2＝(2＋d )·(2＋7d )，解得d ＝2.所以a n ＝2n (n ∈N *)．(2)由(1)知3a n ＝32n ，设数列{3a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝32＋34＋…＋32n ＝91－9n1－9＝98(9n－1)．等比数列的性质典题导入[例3] (1)(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )C ．1D ．－32(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3[自主解答] (1)因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3.log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7 ＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74 ＝7log 33π3＝7π3，故sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)＝32. (2)由等比数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.[答案] (1)B (2)C由题悟法等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”，它们的通项公式和性质有许多相似之处，其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握，同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算，若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系，可简化题目的运算．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(2012·成都模拟)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n)B ．16(1－2－n)(1－4－n)(1－2－n)解析：(1)选D 法一：由题意得⎩⎨⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8，解得⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.法二：由⎩⎨⎧ a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8，解得⎩⎨⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎨⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎨⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.(2)选C ∵a 2＝2，a 5＝14，∴a 1＝4，q ＝12，a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －5.故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝323(1－4－n)．练习题1．(教材习题改编)数列1，23，35，47，59…的一个通项公式是 ( )A ．a n ＝n2n ＋1B ．a n ＝n2n －1C ．a n ＝n2n －3D ．a n ＝n2n ＋3答案：B2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．64解析：选A a 8＝S 8－S 7＝64－49＝15. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝n ＋12－n n ＋2n ＋1n ＋2＝1n ＋1n ＋2>0.4．(教材习题改编)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝⎩⎨⎧2·3n －1n 为偶数，2n －5n 为奇数，则a 4·a 3＝________.解析：a 4·a 3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案：545．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn ＋q n ，且a 2＝32，a 4＝32，则a 8＝________. 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q 2＝32，4p ＋q 4＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝14，q ＝2.则a n ＝14n ＋2n ，故a 8＝94.答案：941．(2012·福建高考)等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 法一：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎨⎧2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.故d ＝2.法二：∵在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5. 又a 4＝7，∴公差d ＝7－5＝2.2．(教材习题改编)在等差数列{a n }中，a 2＋a 6＝3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝( )C ．－32D ．－12解析：选D ∵a 2＋a 6＝3π2，∴2a 4＝3π2.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 4－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝－cos π3＝－12.3．(2012·辽宁高考)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( )A ．58B ．88C ．143D ．176解析：选B S 11＝11a 1＋a 112＝11a 4＋a 82＝88.4．在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________. 解析：由a n ＋1＝a n ＋2知{a n }为等差数列其公差为2. 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －15．(2012·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ，又a 1＝12，所以d ＝12，故a 2＝a 1＋d ＝1，S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12n ＋12(n 2－n )×12＝14n 2＋14n . 答案：1 14n 2＋14n1．(2011·江西高考){a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析：选B 由S 10＝S 11，得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20.2．(2012·广州调研)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．72解析：选 B 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎨⎧a 5＝a 1＋4d ＝8，S 3＝3a 1＋3d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2，则S 10－S 7＝a 8＋a 9＋a 10＝3a 1＋24d ＝48. 3．(2013·东北三校联考)等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( ) A ．10 B ．20 C ．40D ．2＋log 25 解析：选 B 依题意得，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝10a 1＋a 102＝5(a 5＋a 6)＝20，因此有log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝20.4．(2012·海淀期末)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n >0，a 2n ＋1－a 2n ＝1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25解析：选C ∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，1为公差的等差数列．∴a 2n＝1＋(n －1)＝n .又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴n <5.即n <25.故n 的最大值为24.5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，并且S 10>0，S 11<0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 的值为( )A ．5B ．6C ．4D ．7解析：选A 由S 10>0，S 11<0知a 1>0，d <0，并且a 1＋a 11<0，即a 6<0，又a 5＋a 6>0，所以a 5>0，即数列的前5项都为正数，第5项之后的都为负数，所以S 5最大，则k ＝5.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B 因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8.所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3.7．(2012·广东高考)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________. 解析：设等差数列公差为d ，∵由a 3＝a 22－4，得1＋2d ＝(1＋d )2－4，解得d 2＝4，即d ＝±2.由于该数列为递增数列，故d ＝2.∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 答案：2n －18．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析：a 7－a 5＝2d ＝4，则d ＝＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案：39．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S nT n＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：∵{a n }，{b n }为等差数列，∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941，∴a 6b 6＝1941. 答案：194110．(2011·福建高考)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋3－2n ]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.11．设数列{a n }的前n 项积为T n ，T n ＝1－a n ，(1)证明⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是等差数列；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 的前n 项和S n .解：(1)证明：由T n ＝1－a n 得，当n ≥2时，T n ＝1－T nT n －1，两边同除以T n 得1T n －1T n －1＝1.∵T 1＝1－a 1＝a 1，故a 1＝12，1T 1＝1a 1＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1T n 是首项为2，公差为1的等差数列． (2)由(1)知1T n ＝n ＋1，则T n ＝1n ＋1，从而a n ＝1－T n ＝n n ＋1.故a nT n＝n .∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n T n 是首项为1，公差为1的等差数列．∴S n ＝n n ＋12.12．已知在等差数列{a n }中，a 1＝31，S n 是它的前n 项和，S 10＝S 22. (1)求S n ；(2)这个数列的前多少项的和最大，并求出这个最大值．解：(1)∵S 10＝a 1＋a 2＋…＋a 10，S 22＝a 1＋a 2＋…＋a 22，又S 10＝S 22，∴a 11＋a 12＋…＋a 22＝0，即12a 11＋a 222＝0，故a 11＋a 22＝2a 1＋31d ＝0.又∵a 1＝31，∴d ＝－2， ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝31n －n (n －1)＝32n －n 2.(2)法一：由(1)知S n ＝32n －n 2，故当n ＝16时，S n 有最大值，S n 的最大值是256. 法二：由S n ＝32n －n 2＝n (32－n )，欲使S n 有最大值，应有1<n <32，从而S n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋32－n 22＝256，当且仅当n ＝32－n ，即n ＝16时，S n 有最大值256.1．(教材习题改编)等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16D ．32解析：选C a 2·a 6＝a 24＝16.2．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32nB ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23nC ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1D ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1解析：选C (a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)⇒a ＝5， a 1＝4，q ＝32，故a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝( ) A ．64B ．81C ．128D ．243解析：选A q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝2，故a 1＋a 1q ＝3⇒a 1＝1，a 7＝1×27－1＝64.4．(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝4，则公比q ＝________；a 1＋a 2＋…＋a n ＝________.解析：a 4＝a 1q 3，得4＝12q 3，解得q ＝2，a 1＋a 2＋…＋a n ＝121－2n1－2＝2n －1－12.答案：2 2n －1－125．(2012·新课标全国卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.解析：∵S 3＋3S 2＝0，∴a 1＋a 2＋a 3＋3(a 1＋a 2)＝0， ∴a 1(4＋4q ＋q 2)＝0. ∵a 1≠0，∴q ＝－2. 答案：－21．设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q 为( ) A ．－12B ．1C ．－12或1解析：选C 当q ＝1时，满足S 3＝3a 1＝3a 3.当q ≠1时，S 3＝a 11－q 31－q＝a 1(1＋q ＋q 2)＝3a 1q 2，解得q ＝－12，综上q ＝－12或q ＝1.2．(2012·东城模拟)设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(a n ≠0)(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )C ．4D ．2解析：选A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 11－241－2a 1×2＝152.3．(2012·安徽高考)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.4．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…5．(2013·太原模拟)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( )A ．80B ．30C ．26D ．16解析：选B 设S 2n ＝a ，S 4n ＝b ，由等比数列的性质知： 2(14－a )＝(a －2)2，解得a ＝6或a ＝－4(舍去)，同理(6－2)(b －14)＝(14－6)2，所以b ＝S 4n ＝30.6．已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn＝( )或23D ．以上都不对解析：选 B 设a ，b ，c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a <c <d <b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.7．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.解析：由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7， ∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16.答案：168．(2012·江西高考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 11－q 51－q ＝1－－253＝11.答案：119．(2012·西城期末)已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则a 1＝________；1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n＝________.解析：∵{a n }是公比为2的等比数列，且a 3－a 1＝6，∴4a 1－a 1＝6，即a 1＝2，故a n ＝a 12n －1＝2n，∴1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，即数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a 2n 是首项为14，公比为14的等比数列，∴1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝13⎝⎛⎭⎪⎫1－14n .答案：213⎝⎛⎭⎪⎫1－14n 10．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1.解：(1)∵S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，∴S n ＝2n －1，又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2(2－1)＝2n －2.∴a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，2n －2，n ≥2.(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n1－4＝24n－13.∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋24n－13＝22n ＋1＋13.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1. 当n ≥2时，有⎩⎨⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1.两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 11－3n1－3＝12a 1·3n－12a 1，b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n .要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2.所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．12． (2012·山东高考)已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10＝2a 5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m的项的个数记为b m .求数列{b m }的前m 项和S m .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，前n 项和为T n ，由T 5＝105，a 10＝2a 5，得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×5－12d ＝105，a 1＋9d ＝2a 1＋4d ，解得a 1＝7，d ＝7.因此a n ＝a 1＋(n －1)d ＝7＋7(n －1)＝7n (n ∈N *)． (2)对m ∈N *，若a n ＝7n ≤72m，则n ≤72m －1.因此b m ＝72m －1.所以数列{b m }是首项为7，公比为49的等比数列，故S m ＝b 11－q m 1－q ＝7×1－49m 1－49＝7×72m －148＝72m ＋1－748.。

高中数学必修5(人教B版)第二章数列2.4知识点总结含同步练习题及答案

四、课后作业
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1. 数列 1, 3, 7, 15, ⋯ 的通项公式 an 等于 ( A．2 n
答案： C
)
C．2 n − 1 D．2 n−1
B．2 n + 1
2. 已知 a1 = 1 ， an+1 = 第 66 项是 ( 6a n + 1 1 1 B． C． 391 390
答案： A
1 ) ，则 an = ( n
)
C．2 + n ln n
B．2 + (n − 1) ln n D．1 + n + ln n
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an ，等式两边同时取倒数，得 2an + 1 an+1 1 =
an ，求数列{an }的通项公式． 2an + 1 2an + 1 1 = + 2, an an
所以
an+1
故数列{
1
−
1 = 2. an
1 1 }为等差数列，首项 = 1 ，公差 d = 2．所以 an a1 1 = 1 + (n − 1) × 2 = 2n − 1, an
因此数列{an }的通项公式为
an =
1 . 2n − 1
已知数列{an }中，a1 = 2 ，an+1 = 2an + 3 × 2 n ，求数列{an }的通项公式．解：因为 an+1 = 2an + 3 × 2 n ，等式两边同时除以 2 n+1 ，得
an+1 2 n+1
所以
=
2an + 3 × 2 n 2 n+1

数列知识点总结及例题讲解

人教版数学必修五第二章数列重难点解析第二章课文目录2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n项和2.4 等比数列2.5 等比数列前n项和【重点】1、数列及其有关概念，通项公式及其应用。

2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。

3、等差数列的概念，等差数列的通项公式；等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用。

4、等差数列n项和公式的理解、推导及应用，熟练掌握等差数列的求和公式。

5、等比数列的定义及通项公式，等比中项的理解与应用。

6、等比数列的前n项和公式推导，进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式【难点】1、根据数列的前n项观察、归纳数列的一个通项公式。

2、理解递推公式与通项公式的关系。

3、等差数列的性质，灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。

4、灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题。

5、灵活应用求和公式解决问题，灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。

6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。

一、数列的概念与简单表示法1.数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：(1)数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；(2)定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项，…,第n项，….3.数列的一般形式：aj,az,ag, …,an, …,或简记为{a},其中a。

是数列的第n项4.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项a。

与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意： (1)并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④;(2)一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1,0,1,0,1,0, …它的通项公式可以是,也可以是； 1.(3)数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第召项，又是这个数列中所有各项的一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项.5.数列与函数的关系：数列可以看成以正整数集N(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数an= f(n),当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

高二数学必修五--数列知识点总结及解题技巧(含答案)---强烈-推荐

数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。

前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。

3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比。

高中数学必修5(人教B版)第二章数列2.1知识点总结含同步练习题及答案

故
an+2 = an + an+2 + an+3 ,
an+2 = an + an+2 + an+3 ,
所以 an+3 = −an ．（3）由（2）结论可知，an+6 = −an+3 = an ，即 an+6 = an ，所以数列{an }为以 6 为周期的数列．又a1 = a，a2 = b，a3 = b − a，a4 = −a，a5 = −b，a6 = a − b，所以 S6 = 0．故S2010 = S335×6 = 0．
1
−
n2 n2 + 1
=
[(n
+
2n + 1 1)2 + 1](n2
+ 1)
>
0,
所以
an+1 > an (n ∈ N+ ),
因此数列{an }是递增数列．
在数列{an }中，an
=
(n
+ 1)(
10 11
n
)
(n
∈
N+ )：
()
（1）求证：数列{an }先递增，后递减；
（2）求数列{an }的最大项．证明：（1）因为 an = (n + 1)(
（2）a3 = a2 + a1 = 2 + 1 = 3，a4 = a3 + a2 = 3 + 2 = 5，a5 = a4 + a3 = 5 + 3 = 8，所以
该数列的前 5 项分别为 1, 2, 3, 5, 8．
2.观察法
描述：观察法观察法就是写出数列前面若干项进行观察，横向看各项之间的关系，纵向看各项与序数的联系，寻找共同的构成规律，找出各项与项的序号 n 的函数关系，从而归纳出数列的通项公式的方法，这样得到的数列的通项公式严格上来说需要进行证明．

高中数学_数列知识点汇总_新人教A版必修5

必修5 数列知识点小结【等差数列】1. 证明方法：①递推关系（定义）：)(1*+∈=-N n d d a a n n 为常数，②等差中项法：112+-+=n n n a a a )1(>n判断方法：③通项公式q pn d n a a n +=-+=)1(1（其中p,q 为常数）④前n 项和Bn An 2+=-+=+=d n n n a a a n S n n 2)1(2)(11(A,B 为常数）2. 等差中项：b A a ,,成等差数列，A 称为b a 与的等差中项（其中b a 与为任意实数， A 存在且唯一），2ba Ab a A +=⇔的等差中项与为即 3. 等差数列性质：（1）任两项关系：nm a a m n a a d nm m n --=--=（其中n m ≠）（2）任两项关系：d m n a a m n )(-+=（其中n m ≠）（3）是递增数列；数列}a {,0d n >是递减数列；数列}a {,0d n < 是常数列数列}a {,0d n =。

（4）两和式项数相同，下标和相等，则两式相等，如：112+-+=n n n a a a （其中n>1, n n n a a a +=2） k n k n n a a a +-+=2（其中n-k>0, n n n a a a +=2）特别若q p n m a a a a q p nm +=++=+则,k q p s n m a a a a a a k q p s n m ++=++++=++则,（5）前n 项和性质：①：成等差数列 ,,,232kk k k k S S S S S--②：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列。

③：{}{}n n b a ,为项数相同的等差数列(或无穷数列)，其前n 项和分别是：n S 、n T ，则1212--=n n nnT S b a ，1212)12()12(----=m n m n T n S m b a （处理方法分别设n S 、Bn An T n+=2）。

人版高中数学必修五数列知识点和习题详解

a4成等比数列，
则a2=(ห้องสมุดไป่ตู้
B.—6
C.—8
D.
—10
设S是等差数列｛an｝的前n项和，若玉=
a3
-，则鱼=(
9S5
B.
C. 2
D.
已知数列一
1,a1,a2,
—4成等差数列，—
1,b1,b2,b3,—4成等比数列，则
吏引的值是（）
b2
B.
D.-
4
10.在等差数列｛an｝中，anM0,
an-1—an+an+—0(n》2)，若6-1=38,则n=(
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A. 38B.20
C. 10
D. 9
二、填空题
1
11.设f(x)=产，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(—5)+f(—4)+…+f(0)+…+
2x+屁
f(5)+f(6)的值为.
12.已知等比数列｛an｝中，
(1)若a3-a4-a5=8,贝Ua?a3-a4-a5-a6=.
S6,S12-S成等比数列•
第二章数列
参考答案
条直线交点的个数，则f(4)=；当n>4时，f(n)=.
三、解答题
17.(1)已知数列｛an｝的前n项和3n2—2n,求证数列｛an｝成等差数列.
(2)已知1,1,1成等差数列，求证山 ,口, 口也成等差数列.
ab ca b c
18.设｛an｝是公比为q的等比数列，且ai,a3,a?成等差数列.
⑴求q的值；
a1a8>a4a5
已知方程
Imnn丨等于（
A.
5.

人教版高中数学必修五《数列》基础知识要点总结

②根据数列项的大小变化分——递增数列、递减数列、常数列、摆动数列
5、数列的递推公式
如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式。
6、数列前n项和的定义
一般地，我们称为数列的前项和，用表示，即
二、等差数列与等比数列
已知三个数成等比数列，且已知三个数之积时，一般设此三个数分别为，，，其中为公比。
若已知四个数成等比数列及这个四个数的积时，一般不设为，，，，因为这种设法使得四个数的公比为，就漏掉了公比为负数的情形，造成漏解。
2、求数列最大（小）值的方法
一般方法——解不等式；或
特别地，若为等差数列，为它的前n项的和时，求的最大（小）值可以利用①二次函数的性质；② 中项的符号。
3、求数列通项的常用方法
①观察法:根据数列的前几项归纳出数列的通项公式；
②公式法：利用求通项公式
③根据递推公式求通项公式：
（1）迭代法：对于形如型的递推公式，采取逐次降低“下标”数值的反复迭代方式，最终使与初始值 (或 )建立联系的方法就是迭代法．
（2）累加法：形如的递推公式可用求出通项；
①
②
③
①
②
③
4、等差（比）数列的通项公式
①
②
③ ，其中、是常数
①
②
③
5、性质1
在等差数列中，若已知与，其中，则该数列的公差。
若等比数列中，公比是，则。
6、性质2
在等差数列中，若且、、、，则。
特别地、在等差数列中，若且、、，则。
在等比数列中，若（，，，），则。

人教版高中数学必修五数列复习提纲及例题

《数列》复习1.数列的通项求数列通项公式的常用方法：（1）观察与归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变：分析符号、数字、字母与项数n 在变化过程中的联系，初步归纳公式。

（2）公式法：等差数列与等比数列。

（3）利用n S 与n a 的关系求n a ：11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩（4）构造新数列法；（5）逐项作差求和法；（6）逐项作商求积法2.等差数列{}n a 中：（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性；（2）1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-；（3）{}n ka 也成等差数列；(4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列. (5)1211221213,,m m m m m m ma a a a a a a a a +++++++++++++仍成等差数列.（6）1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+，21()22n d dS n a n =+-， 2121n n S a n -=-，()(21)n n nn A a f n f n B b =⇒=-.(7)若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；若2p qm +=，则2p q m a a a +=,()0p q p q a q a p p q a +==≠⇒=，,()()p q p q S q S p p q S p q +==≠⇒=-+；m n m n S S S mnd +=++.(8)“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；（9）等差中项：若,,a A b 成等差数列，则2a bA +=叫做,a b 的等差中项。

（10）判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法。

3.等比数列{}n a 中：（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。

人教版高一数学必修5--第二章数列总结

人教版高一数学必修 5 第二章数列总结1、数列的基本观点(1)定义：依据必定的序次摆列的一列数叫做数列．(2)通项公式：假如数列 { a n} 的第n项a n与n之间的函数关系能够用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．(3)递推公式：假如已知数列 { a n} 的第一项 ( 或前几项 ) ，且任何一项a n与它前一项a n－1( 或前几项 ) 间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．2、主要公式(1)通项公式 a n与前 n 项和公式 S n间的关系：S1n＝1a n＝.S n－ S n－1n≥2(2)等差数列a n＝a1＋( n－1) d＝ a m＋( n－ m) d.11S n＝2n( a1＋ a n)， S n＝ na1＋2n( n－1) d.a＋ bA＝2( 等差中项 )．（3）等比数列a n＝a1q n－1， a n＝a m· q n－m.1q ＝ 1S n＝naa1－ n1－n.a q a 1 q≠1＝1－q1－q q＝±(等比中项 )．G ab3．主要性质(1)若 m＋ n＝ p＋ q( m、 n、 p、q∈N*)，在等差数列 { a n} 中有：a m＋a n＝a p＋a q；在等比数列 { a n} 中有：a m·a n＝a p·a q.(2)等差 ( 比) 数列挨次k之和仍旧成等差 ( 比 ) ．一数列的通公式的求法1．察法依据下边数列的前几，写出数列的一个通公式．5 79(1)1,1，7，15，31，⋯；2．定法等差数列 {n是增数列，前和n1， 3， 9 成等比数列，2.求数列 {na n S，且＝aa a a S a的通公式．3．前n和法(1) 已知数列 {n}的前n 和n＝n2＋ 3 ＋ 1，求通an；a S n(2) 已知数列 { a n} 的前n和S n＝2n＋ 2，求通a n.4．累加法已知 { a n} 中，a1＝ 1，且a n＋1－a n＝ 3n( n∈ N* ) ，求通a n.5．累乘法1已知数列 { a n} ，a1＝3，前n和S n与a n的关系是S n＝ n(2 n－1) a n，求通 a n. 6．助数列法已知数列 {a} 足a＝ 1，a＝ 3＋ 2(n*a} 的通公式．∈N ) ．求数列 {n1n＋1n n7．倒数法已知数列 { a } 中，a＝ 1，a a n* a .＝a＋1( n∈N ) ．求通n1n＋ 1n二数列的前n 和的求法1．分化乞降法假如一个数列的每一是由几个独立的合而成，而且各独立也可成等差或等比数列，数列的前1乞降： S n＝1＋22n和可考拆后利用公式求解．1＋ 31＋⋯＋ ( ＋1n) ．48n 22．裂乞降法于裂后明有能相消的的一数列，在乞降常用“裂法”，分式的乞降多利用此法．可用待定系数法通公式行拆，相消注意消去的律，即消去哪些，保存哪些，常的拆公式有：11 1 1(1) n n ＋k ＝ k ·(n － n ＋ k ) ； (2) 若 { a n } 等差数列，公差d ，1＝1(1－ 1)；a n ·a n ＋ 1 d a n a n ＋ 11(3)＝ n ＋ 1－ n 等．n ＋ 1＋ n3．位相减法若数列 { a n } 等差数列，数列{ b n } 是等比数列，由两个数列的乘成的新数列{ a n b n } ，当求数列的前n 的和，经常采纳将 { a n b n } 的各乘以等比数列 { b n } 的公比 q ，而后位一与{ a n b n } 的同次相减，即可化特别数列的乞降，因此种数列乞降的方法称位相减法．已知数列 { a n } 中， a 1＝ 3，点 ( a n ， a n ＋1) 在直 y ＝ x ＋2 上．(1) 求数列 { a n } 的通公式；n(2) 若 b n ＝ a n ·3，求数列 { b n } 的前 n 和 T n . 4．分段乞降法假如一个数列是由各自拥有不一样特色的两段组成，可考利用分段乞降．已知数列 { a n } 的前 n 和 S n ，且 a n ＋ S n ＝ 1( n ∈ N * ) ．(1) 求数列 { a n } 的通公式；(2) 若数列 { b n } 足 b n ＝ 3＋ log 4a n ， T n ＝ | b 1| ＋ | b 2| ＋⋯＋ | b n | ，求 T n .附注：常用1） 1+2+3+...+n =2） 1+3+5+...+(2n-1) =3）三、等差、等比数列的对照（1）判断数列的常用方法看数列是否是等差数列有以下三种方法：①②2()③(为常数 ).看数列是否是等比数列有以下四种方法：①②(，)③(为非零常数 ).④正数列 {} 成等比的充要条件是数列{} （）成等比数列 .（ 2）等差数列与等比数列对照小结：等差数列等比数列定义1．1．公式2．2．1．，1．，性质称为与的等差中项称为与的等比中项2．若（、、、2．若（、、、），则），则3．，，成等差数3．，，成等比数列列4.，4.（3）在等差数列｛｝中 , 相关 Sn 的最值问题：1），时，有最大值；，时，有最小值；2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可以下确立或。

(完整版)高二数学必修五数列知识点总结及解题技巧(含答案)--强烈推荐,推荐文档

设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；
设，
，，则有；
(9) 是等差数列的前项和，则；
其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙
①．为等差数列，公差为；
②．（即
）为等差数列，公差；
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③．（即）为等差数列，公差为.
1
q1。

；
a
）设，是等比数列，则也是等比数列。

）设是等比数列，是等差数列，且则也是等比数列（即等比数
）设是正项等比数列，则是等差数列；
）设，
，，则有；
）其他衍生等比数列：若已知等比数列，公比为，前项和为，则
①．为等比数列，公比为；
②．（即）为
等比数列，公比为；。