重庆南开中学初中班主任(数学)张克张老师
重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试题[含答案]
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重庆市南开中学2024－2025学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的为（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．2x x=B ．2104x x ++=C ．240x -=D ．2240x x ++=3．在反比例函数3k y x -=图象的每一支曲线上y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（ ）A ．3k >B ．0k >C ．3k <D ．0k <4．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 与ADE V 是以点A 为位似中心的位似图形，相似比为1:3，点A 在x 轴上，点A 的坐标是()1,0-，点B 的坐标是()2,2-，则点D 的坐标是（ ）A ．()3,4-B ．()4,6-C ．()4,5-D ．()3,5-5．某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x ，则该厂今年一季度新产品的研发资金y （元）关于x 的函数关系式为（ ）A ．()3101y x =+B ．()()210101101y x x =++++C ．21010y x x =++D ．()2101y x =+6的值应在（ ）A ．8和9之间B ．9和10之间C ．10和11之间D ．11和12之间7．若13a c eb d f ===，则3232ac e bd f -+-+的值为（ ）A ．13B ．1C ．1.5D ．38．下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小三角形，图形②中共有6个小三角形，图形③中共有11个小三角形，图形④中共有17个小三角形，……．按此规律，图形⑩中共有n 个小三角形，这里的n =（ ）A ．87B ．74C ．62D ．539．如图正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 为边AB 上一动点，连接DE ，作CF DE ^于点F ，连接OF ．若BDE α∠=，则DOF ∠的度数为（ ）A ．2αB ．30α°+C ．45α°-D ．602α°-10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为1a ，第二个数记为2a ，第三个数记为3a ，以此类推，第n 个数记为n a （n 为正整数），已知1a x =．并规定：111n na a +=-，123n n T a a a a =××K ，123n n S a a a a =+++¼+．则①25a a =；②1231000211x T T T T x -+++¼+=-；③对于任意正整数k ，()3333233132k k k k k k T S S T T T ++---=--成立，以上结论中正确的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．计算：101()(2)2p -+-＝ ．12．已知关于x 的一元二次方程220x x m -+=的一个根是2，则2m = ．13．一个不透明的箱子里装有a 个球，其中红球有5个，这些球除颜色外都相同．每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25，那么可以估算出a 的值为 ．14．若一个多边形的内角和等于720°，则从这个多边形的一个顶点引出对角线 条．15．如图，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在反比例函数()40y x x =>与()20y x x=-<的图象上，点C 、D 在x 轴上，AB 、BD 分别交y 轴于点E 、F ，则阴影部分的面积为 ．16．若关于x 的不等式组()02422x m x x -ì>ïíï-<-î的解集为0x >，且关于y 的分式方程1322y m y y -=---有非负整数解，则所有满足条件的整数m 的值的和是 ．17．如图，菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=°，过点B 作BE AB ^交CD 于点E ，连接AE ，F 为AE 的中点，H 为BE 的中点，连接FH 和CF ，CF 交BE 于点G ，则GF 的长为 ．18．若一个四位自然数A ，满足百位数字与千位数字的平方差恰好是A 去掉千位与百位数字后得的两位数，则称这个四位数A 为“活泼数”，例如2521A =，因为225221-=，故2521是一个“活泼数”；若一个四位自然数B ，各个数位上的数字互不相等且满足十位数字比千位数字大1，个位数字比百位数字大1，则称这个四位数B 为“可爱数”，例如1425，因为211-=，541-=，故1425是一个“可爱数”．对于一个“活泼数”A abcd =，规定：22()a b b cd F Aab×+-=+，对于一个“可爱数”B mnpq =，规定：()G B p n =-，则(5611)(3142)F G ´= ；当B 的百位数字为4时，若()3()9G B F A +是整数，则所有满足条件的奇数四位数A 的和是 ．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（1）解方程：11322x x x-=---（2）解不等式组：()328143x x x x ì--£ïí+-<ïî．20．先化简，再求值：22122121x x x x xx x x ---æö-¸ç÷+++èø，其中x 满足x 2﹣x ﹣1=0．21．学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，过点B 作ABC ∠的角平分线，交AC 于点F ，连接BE 、DF ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，DE 平分ADC ∠，交AC 于点E ．求证：四边形BEDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD CB =，① ，∴DAC BCA ∠=∠．∵DE 平分ADC ∠，BF 平分CBA ∠，∴12ADE ADC ∠=∠，12CBF ABC ∠=∠．∵ADC CBA∠=∠∴② ，∴()ASA ADE CBF V V ≌．∴DE BF =，DEA BFC ∠=∠．∴③ ，∴四边形BEDF 是平行四边形．同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④ ．22．2022年，教育部制定了独立的《义务教育劳动课程标准》，其中规定：以劳动项目为载体，以孩子经历体验劳动过程为基本要求，培养学生的核心劳动素养，某校分别从该校七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们上周的劳动时间，劳动时间记为x 分钟，将所得数据分为5个组别（A 组：90100x ££；B 组：8090x £<；C 组：7080x £<；D 组：6070x £<；E 组：060x £<），将数据进行分析，得到如下统计：①八年级B 组学生上周劳动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80.②八年级100名学生上周劳动时间频数分布统计表：分组A B C D E 频数14b 28136③七、八年级各100名学生上周带动时间的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级81.379.582八年级81.3c 83④七年级100名学生上周劳动时间分布扇形统计图如图．请你根据以上信息，回答下列问题：(1)a =______，b =______，c =______；(2)根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生上周劳动情况更好，请说明理由；（写出一条理由即可）(3)已知七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计两个年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生一共有多少人？23．四边形ABCD 中，AB CD ∥，BC AB ^，12AB =，6DC =，8BC =．动点P 从A 点出发，沿A B ®方向以每秒1个单位的速度运动，同时，动点Q 从点A 出发，沿折线A D C ®®方向以每秒2个单位的速度运动，当Q 点到达C 点时，P 、Q 两点都停止运动．设动点P 运动的时间为x 秒，1y AP DQ =+，(1)请直接写出1y 关于x 的函数关系式并注明自变量x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数1y 的图象，并写出函数1y 的一条性质；(3)若函数2y x b =+的图象跟函数1y 的图象有两个交点，请直接写出b 的取值范围．24．新学期学校门口开了一家文具店，为了更好的迎接同学们，商家购进了一批笔记本和签字笔，商家用1600元购进笔记本，800元购进签字笔，每本笔记本比每支签字笔的进价贵6元，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍．(1)求每本笔记本和每支签字笔的进价？(2)商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本14元，签字笔的售价为每支5元时，平均每天可售出20本笔记本，40支签字笔．据调查，笔记本的售价每降低0.5元平均每天可多售出5本，且开学活动力度大，降价幅度不低于10%，商家在保证签字笔的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元，则每本笔记本的售价应定为多少元？25．如图，直线122y x =+分别与x 轴，y 轴交于点A ，点C ，点P 是反比例函数(0)k y k x =¹图象与直线AC 在第一象限内的交点，过点P 作PB x ^轴于点B ，且6AB =．(1)求反比例函数的表达式；(2)点D 是直线PB 右侧反比例函数图象上一点，且92APD S =V ，直线PD 交y 轴于点E ，点M ，N 是直线AC 上两点，点M 在点N 的左侧且MN AP =，求EM DN +的最小值及此时点N 的坐标；(3)在（2）的条件下，点F 为反比例函数图象上一点，若45PEF PAB ∠-∠=°，请直接写出所有符合条件的点F 的横坐标．26．在ABC V 中，90BAC ∠=°，AB AC =，D 为线段BC 上一点（点D 不与B ，C 重合），连接AD ．(1)如图1，105ADB ∠=°，CD =BD 的长度；(2)如图2，D 为BC 中点，E 为平面内一点，连接DE ，CE ，AE ，BE ，将线段DE 绕D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接AF ，90FAC ECB ∠+∠=°，G 为线段EC 上一点，AG CE ^，求证：2CE AG =+；(3)如图3，P ，H 为射线AD 上两个点，90BHA ∠=°，2AP BH =，将BNP △沿直线BP 翻折至BHP V 所在平面内得到BKP △，直线PK 与直线AB 交于点T ．若AB =BP 取得最小值时，请直接写出APT △的面积．1．D【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D．2．B【分析】本题主要考查了根的判别式．利用根的判别式对选项中方程根的情况依次进行判断即可．【详解】解：2x x=，则20x x-=，所以2(1)41010D=--´´=>，则此方程有两个不相等的实数根．故A选项不符合题意．210 4x x++=，则2114104D=-´´=，所以此方程有两个相等的实数根．故B选项符合题意．240x-=，2041(4)160D=-´´-=>，所以此方程有两个不相等的实数根．故C选项不符合题意．2240x x++=，22414120D=-´´=-<，所以此方程没有实数根．故D选项不符合题意．故选：B．3．A【分析】此题考查反比例函数图象的性质，根据题意得到反比例函数的系数大于0时得到30k ->，解可得k 的取值范围．【详解】解：根据题意得：30k ->，3k \>，故选：A ．4．B【分析】本题考查的是位似变换，以点A 为坐标原点，原来的x 轴为x 轴建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质求出点D 在新坐标系中的坐标，进而求出点D 的坐标，解题的关键是正确理解在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -．【详解】以点A 为坐标原点，原来的x 轴为x 轴建立新的平面直角坐标系，则在新坐标系中，点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为 ()12-,，∵ABC V 与ADE V 是以点A 为位似中心的位似图形，相似比为1:3，∴点D 在新坐标系中的坐标为 ()13,23-´´，即 ()3,6-，则点D 在原坐标系中的坐标为()4,6-，故选：B ．5．B【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式，直接利用二月的研发资金为：()101x +，故三月份新产品的研发资金为：()2101x +，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金是解题关键．【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：()101x +，故三月份新产品的研发资金为：()2101x +，今年一季度新产品的研发资金()()210101101y x x =++++，故选：B ．6．B【分析】本题主要考查的是二次根式乘法运算，估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键．先利用二次根式的乘法法则计算，进而估算无理数的大小得出答案．6=∵91516<<∴34<<∴9610<<的值应在9和10之间．故选：B ．7．A【分析】先用b 、d 、f 分别表示出a 、c 、e ，再代入要求的式子即可．【详解】解： 由13a c eb d f ===， 333b a ，dc ，f e \===，()323232132332333323a c e a c e a c eb d f ac e a c e -+-+-+\===-+´-´-´-+，故选：A ．【点睛】此题考查比例的性质，解题关键在于掌握其性质定义．8．B【分析】本题考查了规律型中的图形的变化类，根据图形中数的变化找出变化规律是解题的关键．设图形n 中三角形的个数是(n a n 为正整数），列出部分图形中三角形的个数，根据数据的变化找出变化规律第n 个图形三角形个数为(1)(21)2n n n ++-，依此规律即可得出结论．【详解】解：设图形n 中三角形的个数是(n a n 为正整数），1211a ==+Q ，26(12)3a ==++，311(123)5a ==+++，417(1234)7a ==++++，(1)12(21)(21)2n n n a n n n +\=++¼++-=+-．()1011010121015519742a \=´´++´-=+=．故选：B ．9．C【分析】根据正方形的性质及垂直定义得出OD OC =，90DOC DFH EFC ∠=∠=∠=°，利用三角形内角和定理得出BDE OCH α∠=∠=，利用AAS 即可证明ODN OCN V V ≌，得出OF 平分EFC ∠，利用三角形外角性质即可得答案．【详解】解：如图，过点O 作OM CF ^于M ，ON DE ^于N ，设CF 、BD 交于点H ，∵正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∴AC BD ^，OD OC =，∵CF DE ^，∴90DOC DFH EFC ∠=∠=∠=°，∵DHF OHC ∠=∠，∴BDE OCH α∠=∠=，在ODN △和OCM V 中，90OND OMC ODN OCM OD OC α∠=∠=°ìï∠=∠=íï=î，∴ODN OCN V V ≌，∴OM ON =，∴OF 平分EFC ∠，∴1452EFO OFC EFC ∠=∠=∠=°，∴45DOF EFO BDE α∠=∠-∠=°-．故选：C ．【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质、角平分线的判定、三角形内角和定理及三角形外角性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．10．D【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案．【详解】解：∵1a x =，111n n a a +=-，∴211a x =-，31x a x-=，4a x =，511a x =-，∴25a a =，故①正确；∵123n nT a a a a =××K ∴1T x =，212111x T a a x x x===--g ，3123111x x T a a a x x-===--g g g ，41234T a a a a x ==-g g g ，5123451x T a a a a a x-==-g g g g ，61234561T a a a a a a ==g g g g g ，∴1234560T T T T T T +++++=，∵100061664¸=L ，12310001234211x T T T T T T T T x-+++¼+=+++=-，故②正确；由①②可得n n a T 、分别是以3和6为周期的数列，当k 为奇数时：()()3333233323k k k k k k T S S T S S ++++-=--()333132k k k T a a +++=-+11·1x x æö=-+ç÷-èø211x x x--=-，2331321111k k k x x x x x xT T T ------=---=--，∴()3333233132k k k k k k T S S T T T ++---=--，当k 为偶数时：()()3333233323k k k k k k T S S T S S ++++-=--()333132k k k T a a +++=-+11·1x x æö=+ç÷-èø211x x x-++=-，()2331321111k k k x x x T T T x x x----++--=---=--，∴()3333233132k k k k k k T S S T T T ++---=--，故③正确；故选：D ．11．3【分析】根据负整数指数幂，零指数幂的性质解答 ．【详解】解：原式=2+1=3，故答案为3 ．【点睛】本题考查整数指数幂的应用，熟练掌握负整数指数幂和零指数幂的性质是解题关键．12．1【分析】先将x =2代入220x x m -+=，然后求解关于m 的方程，再代入求值即可．【详解】把2x =代入220x x m -+=，得：22220m -+=，∴1m =-∴21m =．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及解一元一次方程的解，理解方程的解是解答本题的关键．13．20【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可．【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.25，∴任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.25，50.25a\=，解得20a =，经检验：20a =是原方程的解，故答案为：20．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是利用红球的个数除以总数等于频率．14．3【分析】根据多边形的内角和公式求出边数，从而求出这个多边形从一个顶点出发引出的对角线的条数．【详解】设多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=720°，解得n=6，∴从这个多边形的一个顶点引出对角线是：6﹣3=3（条），故答案为3．【点睛】本题考查多边形的对角线，多边形内角与外角，关键是要先根据多边形的内角和公式求出边数.15．53##213【分析】设A （a ，4a），a ＞0，根据题意，利用函数关系式表示出线段OD ，OE ，OC ，OF ，EF ，利用三角形的面积公式，即可得答案．【详解】解：设点A 的坐标为（a ，4a ），a ＞0，则OD =a ，OE =4a ，∴点B 的纵坐标为4a，∴点B 的横坐标为-2a ，∴OC =2a ，∴BE =2a ，∵AB ∥CD ，∴12EF BE OF OD ==，∴EF =13OE =43a ，OF =23OE =83a，∴S △BEF =12EF •BE =12×43a ×2a =13，S △ODF =12OD •OF =12×a ×83a =43，∴S 阴影=S △BEF +S △ODF =13+43=53．故答案为：53．【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图象上点的坐标的特征，矩形的性质，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键．16．8-【分析】先按照不等式组的性质求出不等式的解集，进而确定m 取值范围；再解出分式方程，找到分式方程的非负整数解，进而求出m 的值，最后求和即可．【详解】解：()02422x m x x -ì>ïíï-<-î①②，解不等式①得x m >，解不等式②得0x >，Q 不等式的解集为：0x >，0m \£．解分式方程1322y m y y -=---，方程两边同时乘以()2y -得，()132y y m -=-+，解得：52m y +=．25m y \=-，0m £Q ，250y \-£，52y \£．Q 分式方程1322m y y y--=--有非负整数解，20y \-¹，0y ³，2y \¹且0y ³，y \的值为：0，1．m \对应的值为：5-，3-．\符合条件的所有m 的取值之和为：()538-+-=-．故答案为：8-．【点睛】本题考查了分式方程的解以及不等式的解集，解题的关键在于求出m 取值范围以及求出分式方程的解．17【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识．由菱形的性质得4AB BC CD ===，AB CD ∥，60BAD BCE ∠=∠=°，再由三角形中位线定理得122FH AB ==，AB FH ∥，然后证()AAS FHG CEG ≌△△，得12EG GH EH ===，进而由勾股定理即可得出结论．【详解】解：Q 菱形ABCD 的边长为4，60BAD ∠=°，4AB BC CD \===，AB CD ∥，60BAD BCE ∠=∠=°，F Q 为AE 的中点，H 为BE 的中点，\12EH BE =，FH 是ABE V 的中位线，\122FH AB ==，AB FH ∥，\AB FH CD ∥∥，BE AB ^Q ，FH BE \^，CD BE ^，90FHE BEC °\∠=∠=，906030CBE \∠=°-°=°，\122CE BC ==，\BE ===，\12EH BE ==FH CE \=，在FHG △和CEG V 中，FHG CEG FGH CGE FH CE ∠=∠ìï∠=∠íï=î，()AAS FHG CEG \≌△△，\12EG GH EH ===在Rt FHG V中，由勾股定理得：GF ，18． 126905【分析】本题考查因式分解及新定义的运算，理解定义是解决问题的关键．根据题意即可求得(5611)(3142)F G ´的值，结合“活泼数”A abcd =，“可爱数”B mnpq =，百位数字为4，可得()33()93(23)G B m F A a b -=+-+是整数，可知30m -=，3，6，根据“可爱数”可知只有33m -=符合题意，进而可得()13()923G B F A a b =+-+是整数，得231a b -+=±，即24a b -=-或22a b -=-，求得a ，b 得值，结合“活泼数”定义及条件为奇数即可求得所有得满足条件的奇数四位数A 的和．【详解】解：由题意可得：2566211(5611)(3142)1256F G ´+-´´==+ ∵“活泼数”A abcd =，则22b a cd -=，∴22()a b b cd F A a b×+-=+()2222a b b b a a b ×+--=+222a b b a a b×-+=+()()2a b a b a b-+=+2a b =-，则()()3()933323F A F A a b éù+=+=-+ëû，∵“可爱数”B mnpq =，百位数字为4，则1p m =+，4n =，∴()143G B p n m m =-=+-=-，∵()33()93(23)G B m F A a b -=+-+是整数，30m \-=，3，6，当30m -=时，3m =，则4p =，4n =，不符题意，舍去；当33m -=时，6m =，则7p =，4n =，15q n =+=，符合题意；当36m -=时，9m =，则10p =，不符题意，舍去；()13()923G B F A a b \=+-+是整数，231a b \-+=±，24a b \-=-或22a b -=-，当24a b -=-时，1,6a b ==；2,8a b ==；1635A \=或2860A =（偶数，不符题意，舍去）；当22a b -=-时，1,4;2,6;3,8a b a b a b ======；1415A \=或2632A =（偶数，不符题意，舍去）或3855A =，1635141538556905\++=故答案为：12，6905．19．（1）无解；（2）1312x -£<【分析】本题考查了解分式方程和求一元一次不等式组解集．（1）分式方程两边都乘以()2x -，把分式方程化为整式方程，求解，再进行检验即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【详解】解：（1）方程两边都乘以()2x -得：()1132x x =---，解得：2x =．检验：当2x =时，2220x -=-=，所以原分式方程无解；（2）()328143x x x x ì--£ïí+-<ïî①②，解不等式①得：1x ³-，解不等式②得：132x <，所以，不等式组的解集是1312x -£<．20．21x x +；1．【分析】根据分式的运算法则进行计算化简，再将x 2=x +1代入即可．【详解】解：原式=(1)(1)(2)(1)x x x x x x -+--+×2(1)(21)x x x +-=21(1)x x x -+×2(1)(21)x x x +-=21x x +，∵x 2﹣x ﹣1=0，∴x 2=x +1，∴21x x +=11x x ++=1．21．①AD CB ∥ ②ADE CBF ∠=∠ ③DE BF P ④形成的四边形是平行四边形【分析】本题考查了作图﹣复杂作图，平行四边形的性质和全等三角形的判定的知识，三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．（1）作ABC ∠的平分线，其中交AC 于F 即可；（2）由于()ASA ADE CBF V V ≌，根据全等三角形的性质得到()ASA ADE CBF V V ≌根据等角的补角相等可得DE BF =，DEA BFC ∠=∠，则DE BF P ，根据平行四边形的判定即可得到结论．【详解】如图，点F 即为所作；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD CB =，AD CB ∥，∴DAC BCA ∠=∠．∵DE 平分ADC ∠，BF 平分CBA ∠，∴12ADE ADC ∠=∠，12CBF ABC ∠=∠．∵ADC CBA∠=∠∴ADE CBF ∠=∠，∴()ASA ADE CBF V V ≌．∴DE BF =，DEA BFC ∠=∠．∴DE BF P ，∴四边形BEDF 是平行四边形．命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则形成的四边形是平行四边形．故答案为：①AD CB ∥ ②ADE CBF ∠=∠ ③DE BF P ④形成的四边形是平行四边形．22．(1)10，39，80；(2)八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；(3)718．【分析】（1）在扇形统计图中，先求出“B 组”所占的百分比，再求出“A 组”所占的百分比，确定a 的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b 的值，再根据中位数的定义求出c 的值；（2）从中位数、众数的大小比较得出答案；（3）求出七年级、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可．【详解】（1）解：根据扇形统计图可知，“B 组”所占的百分比为144100%40%360´=，所以“A 组”所占的百分比为140%25%18%7%10%----=，即10a =；100142813639b =----=；八年级的中位数在B 组，将100名学生的劳动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为8080802+=，即80c =；故答案为：10，39，80；（2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大；（3）()143980010%40%600718100+´++´=（人），答：七、八年级上周劳动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有718人．【点睛】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．23．(1)()()1100531058x x y x x ì-££ï=í-<£ïî(2)图见解析，当05x ££时，1y 随x 的增大而减小（答案不唯一）(3)06b <£【分析】本题考查动点的函数图象问题、勾股定理、矩形的判定和性质等：（1）作DH AB ^于点H ，得到矩形DCBH ，当05x ££时，点Q 在线段AD 上，当58x <£时，点Q 在线段CD 上，列分段函数即可；（2）根据（1）中解析式描点作图，根据所得图象的增减性可得函数1y 的性质；（3）通过一次函数图象的平移解决问题．【详解】（1）解：如图，作DH AB ^于点H ，Q AB CD ∥，BC AB ^，DH AB ^，\90C B DHB Ð=Ð=Ð=°，\四边形DCBH 是矩形，\8DH BC ==，6BH CD ==，\1266AH AB BH =-=-=，\10AD ===，Q 动点Q 从点A 出发，沿折线A D C ®®方向以每秒2个单位的速度运动，\点Q 从点A 到点D 用时：()1025s ¸=，从点A 到点C 用时：()()10628s +¸=，当05x ££时，点Q 在线段AD 上，102DQ AD AQ x =-=-，AP x =，\110210y AP DQ x x x =+=+-=-；当58x <£时，点Q 在线段CD 上，2210DQ x AD x =-=-，AP x =，\1210310y AP DQ x x x =+=+-=-；综上可知，()()1100531058x x y x x ì-££ï=í-<£ïî；（2）解：1y 的图象如下图所示，由图可知，当05x ££时，1y 随x 的增大而减小，当58x <£时，1y 随x 的增大而增大；（3）解：如图，当06b <£时，函数2y x b =+的图象跟函数1y 的图象有两个交点．24．(1)每本笔记本的进价是8元，每支签字笔的进价是2元；(2)每本笔记本的售价应定为11元．【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程以及一元二次方程是解此题的关键．（1）设每本笔记本的进价是x 元，则每支签字笔的进价是()6x -元，根据“商家用1600元购进笔记本，800元购进签字笔，且购进签字笔的数量是笔记本的2倍”列出分式方程，解方程即可；（2）设每本笔记本的售价为y 元，则每本笔记本的销售利润为()8y -元，每天可售出()14205160100.5y y -+´=-本，根据“笔记本和签字笔平均每天的总获利为270元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．【详解】（1）解：设每本笔记本的进价是x 元，则每支签字笔的进价是()6x -元，根据题意得：800160026x x=´-，解得：8x =，经检验，8x =是所列方程的解，且符合题意，6862x \-=-=，答：每本笔记本的进价是8元，每支签字笔的进价是2元；（2）解：设每本笔记本的售价为y 元，则每本笔记本的销售利润为()8y -元，每天可售出()14205160100.5y y -+´=-本，根据题意得：()()()8160105240270y y --+-´=，整理得：2241430y y -+=，解得：121113y y ==，，当11y =时，141411100%100%21.4%10%1414y --´=´»>，符合题意；当13y =时，141413100%100%7.1%10%1414y --´=´»<，不符合题意，舍去，答：每本笔记本的售价应定为11元．25．(1)反比例函数解析式为6y x=；(2)EM DN +的最小值为，此时(4,4)N ；(3)符合条件的点F 5-．【分析】（1）先求出点A 坐标，利用6AB =求出点P 的坐标，继而求出反比例函数解析式即可；（2）过点D 作y 轴的平行线交直线AC 于点K ，根据面积求出点D 坐标，再求出直线PD解析式，得到点E 坐标，继而求出线段MN 长，将点D 沿着射线PA 方向平移个单位长度得到点(3,1)D ¢--，连接MD ¢，D E ¢，则四边形DD MN ¢是平行四边形，则D M DN ¢=，当点E 、M 、D ¢共线时取等号，此时EM DN +最小，最小值为D E ¢的长，据此求出最小值和点N 坐标即可；（3）分两种情况讨论①当EF 在ED 左侧时，②当EF 在ED 右侧时，根据条件分别求出点F 的横坐标即可．【详解】（1）解：在一次函数122y x =+中，令0y =时，4x =-，4\=OA ，6AB =Q ，2OB \=，当2x =时，12232y =´+=，(2,3)P \，Q 点P 在反比例函数图象上，6k \=，\反比例函数解析式为6y x=；（2）解：如图，过点D 作y 轴的平行线交直线AC 于点K ，设点6,D a a æöç÷èø，2a >，则1,22K a a æö+ç÷èø，92APD ADK PDK S S S =-=Q △△△，\11692(24)222a a æö´+-´+=ç÷èø，整理得：2120a a +-=，解得3a =或4a =-（舍去），(3,2)D \，设直线PD 的解析式为y kx b =+，3223k b k b +=ìí+=î，解得15k b =-ìí=î，\直线PD 的解析式为5y x =-+，)5(0,E \，(4,0)-Q A ，(2,3)P，MN AP \==将点D 沿着射线PA方向平移个单位长度得到点(3,1)D ¢--，连接MD ¢，D E ¢，则四边形DD MN ¢是平行四边形，则D M DN ¢=，EM DN EM D M D E \+=³¢¢+，当点E 、M 、D ¢共线时取等号，此时EM DN +最小，最小值为D E ¢的长，(3,1)D ¢--Q ，(0,5)E ，\直线D E ¢的解析式为25y x =+，D E ¢=，由12225y x y x ì=+ïíï=+î，解得21x y =-ìí=î，(2,1)M \-，则(4,4)N ，EM DN \+的最小值为，此时(4,4)N ；（3）解：①当EF 在ED 左侧时，如图所示，设PE 与x 轴交于点Q ，则(5,0)Q ，5OE OQ \==，则45OEQ OQE ∠=∠=°，Q 当0x =时，1222y x =+=，(0,2)C \，则2OC =，过点M 作MH y ^轴，垂足为H ，90MHE COA \∠=∠=°，2MH OC ==，4HE OA ==，()SAS MHE COA \V V ≌，HEM CAO \∠=∠，则45PEM HEM OEQ PAB ∠=∠+∠=∠+°，45PEF PAB ∠-∠=°Q ，45PEF PAB \∠=∠+°，PEF PEM \∠=∠，即点E 、M 、F 共线，则点F 为直线25y x =+与反比例函数6y x=图象的交点，由6y x y ì=ïíï=î得22560x x +-=，解得x =或x =，点F ②当EF 在ED 右侧时，如图，ES x ∥轴，则45SEP ∠=°，则4545PEF FES PAB ∠=∠+°=∠+°，FES PAB \∠=∠，则EF AP ∥，\直线EF 的解析式为152y x =+，由6152y x y x ì=ïïíï=+ïî得210120x x +-=，解得5x =-或5x =-，\在ED 右侧的点F 横坐标为5-综上分析，符合条件的点F 或5-．【点睛】本题考查了反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、平移性质、平行四边形的判定与性质、最短路径问题、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活数形结合和分类讨论思想是解答本题的关键．26．(1)BD =；(2)(3)APT S V 【分析】（1）作DE AC ^于E ，由Rt CDE △求得DE ，由Rt ADE V 求得AE ，由Rt ABC △求得BC ，进一步得出结果；（2）可证得()SAS ADF BDE V V ≌，从而得出EBD FAB ∠=∠，BE AF =，可证得EBA AOE ∠=∠，从而点E B O A 、、、共圆, 从而得出45BEC BAD ∠=∠=°，从而12BEC BAC ∠=∠，12EH AF ==，EH BH =，进而得出点E 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，从而AE AC AB ==，可得出AH 是BE 的垂直平分线, 从而EAH BAH ∠=∠，AEH ABH ∠=∠，进而证得GAH AHG ∠=∠，从而AG GH =，进一步得出结论；（3）作CE AD ^于E ，可证得ACE BAH ≌V V ，从而得出AE BH =，进而得出 CP CA ==从而得出点P 在以C BC 交C e 于点 P ¢，可得出当点P 运动在P ¢处时，BP 最小， 作AH BC ^于H ，可求得APC △的面积，根据BPT CPA ∽V V ，可求得BPT △的面积，进一步得出结果．【详解】（1）如图1，作DE AC ^于E ，∴AB AC =，90BAC ∠=°，∴45B C ∠==°∠，在Rt CDE △中，CD =45C ∠=°，∴由勾股定理得：DE CE ==，在Rt ADE V 中，1054560DAC ADB C ∠=∠-∠=°-°=° ，DE =∴1AE =∴1AC AE CE =+=，在Rt ABC △中，1AC =，45C ∠=°，∴BC =+，∴BD BC CD =-=（2）证明：如图2，设AD 和CE 交于点O∴AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ^，∵90BAC ∠=°∴12AD BD CD BC ===，∵线段DE 绕D 顺时针旋转90°得到线段DF ，∴90EFD ∠=°，DE DF =，∴90ADB EDF ∠==°，∴ADF BDE ∠=∠，∴()SAS ADF BDE V V ≌，∴EBD FAB ∠=∠，BE AF =，CAF CAD ∠=∠，∴4545EBA CAF ∠+°=∠+°，∴EAB CAF ∠=∠，∵90ADC ∠=°，∴90BCE COD ∠+∠=°，∵AOE COD ∠=∠，∴90BCE AOE ∠+∠=°，∵90BCE CAF ∠+∠=°，∴CAF AOE ∠=∠，∴EBA AOE ∠=∠，∴点E B O A 、、、共圆，∴45BEC BAD ∠=∠=°，∴12BEC BAC ∠=∠，12EH AF ==，EH BH =，AB AC =，∴点E 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，∴AE AC AB ==，∵AG CE ^，∴12EG CG CE ==，∵EH BH =，AE AB =，∴AH 是BE 的垂直平分线，∴EAH BAH ∠=∠，AEH ABH ∠=∠，∵BH AG ∥，∴BAG ABH ∠=∠，∴GAH BAH BAG EAH AEH ∠=∠+∠=∠+∠，∵AHG EAH AEH ∠=∠+∠，∴GAH AHG ∠=∠，∴AG GH =，∴EG EH GH AF AG =++，∴22EG AG +，∴2CE AG =+；（3）如图3，作CE AD ^于E ，∴90AEC ∠=°，∴90EAC ACE ∠+∠=°，∵90BAC ∠=°，∴90BAH CAE ∠+∠=°，∴BAH ACE ∠=∠，∵AB AC =，90AEC AHB ∠=∠=°，∴()ACE BAH AAS V V ≌，∴AE BH =，∵2AP BH =，∴2AP AE =，∴CP CA ==∴点P 在以C BC 交C e 于点P ¢，∴当点P 运动在P ¢处时,BP 最小，如图4，作AH BC ^于H ，。
重庆市南开中学八年级(下)期中数学试卷
八年级（下）期中数学试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.下列因式分解中，正确的是（ ）A. B. m 2−n 2=(m−n )23x 2−x =x(3x−1)C. D. x 4−2x 2y 2+y 4=(x 2−y 2)2x 2−3x−4=(x +4)(x−1)2.下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A. B. (x +y)(x−2y)=x 2−xy +y 23x 2−x =x(3x−1)C. D. (a−b )2=(a−b)(a−b)m 2−n 2=(m−n )23.若分式的值是为正数，则x 的取值范围为（ ）x +1x 2+6A. B. C. D. x >−1x =−1x ≥−1x <−14.若x =1是一元二次方程x 2+kx -3=0的一个根，则k 的值为（ ）A. B. 2 C. 4 D. −2−45.将方程x 2+4x +1=0配方后得到的形式是（ ）A. B. C. D. (x +2)2=3(x +2)2=−5(x +4)2=−3(x +4)2=36.根据下列条件，能判定平行四边形ABCD 是矩形的是（ ）A. ，B. AB =CD AD =BC AB =BCC. D. ，AC =BDAB//CD AD//BC7.若关于x 的一元二次方程ax 2+x +1=0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A. B. 且a <14a ≤14a ≠0C. 且 D. a ≥−14a ≠0a ≥−148.在x 3-4x 2+5x -k 中，有一个因式为（x +2），则k 的值为（ ）A. B. 34 C. 2D. −34−29.若关于x 的方程=m 无解，则m 的值为（ ）x−1x−2−m2−x A. 0 B. C. 0或 D. 1或−1−1−110.已知AB =AC ，AD 为∠BAC 的角平分线，D 、E 、F …为∠BAC 的角平分线上的若干点．如图1，连接BD 、CD ，图中有1对全等三角形；如图2，连接BD 、CD 、BE 、CE ，图中有3对全等三角形；如图3，连接BD 、CD 、CE 、BF 、CF ，图中有6对全等三角形；依此规律，第8个图形中有全等三角形（ ）A. 24对B. 28对C. 36对D. 72对11.已知关于a 的一元二次方程5a 2-a -11=0的两实数根分别为m ，n ，则直线y =-mnx +m +n 一定不经过（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限12.如图，正方形ABCD 中，以AD 为底边作等腰△ADE ，将△ADE 沿DE 折叠，点A落到点F 处，连接EF 刚好经过点C ，再连接AF ，分别交DE 于G ，交CD 于H ．在下列结论中：①△ABM ≌△DCN ；②∠DAF =30°；③△AEF 是等腰直角三角形；④EC =CF ；⑤S △HCF =S △ADH ，其中正确的结论有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.使分式有意义的x 的取值范围是______．xx−114.如图，已知菱形ABCD 中，对角线AC =8，BD =6，则菱形的高为______ ．15.若a +b =5，ab =-2，则a 2b +ab 2= ______ ．16.如图▱ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，E 是CD 边的中点，连接OE ，若▱ABCD 周长为20，BD =8，则△ODE 的周长为______ ．17.设x 1，x 2是一元二次方程x 2+5x -1=0的两个根，那么x 13-11x 1-3x 22-16= ______ ．18.4月23日为“世界读书日”，校团委计划募集若干本图书捐赠给社区留守儿童．实际募集的图书比计划增加了51本，从而使每位受赠者在所得书本数量不变的情况下，受赠人数比原计划的两倍少17人．已知实际受赠人数超过50人，但不超过60人，则原计划募集图书______ 本．三、计算题（本大题共3小题，共28.0分）19.分解因式；（1）2x 3−8x 2+8x （2）．(x−2y )2−4(2x−y )220.化简（1）2xx−2+x +22−x （2）．2x−6x 2−4x+4÷12−4xx 2+x−6⋅1x +321.解方程（1）=22xx−1−4x−1x 2−x（2）（x -2）（x +3）=5．四、解答题（本大题共5小题，共50.0分）22.先化简，再求值：÷（a +2-），其中a 是方程x 2+3x -1=0的解．a−33a 2−6a 5a−223.2009年9月开始运营的成渝动车，路线全长315km ，伴随动车的开通，成渝两地进入了“两小时经济圈”．2015年10月成渝高铁即将开通运营，时空距离将再次拉近，昔日“蜀道难，难于上青天”，今日“川渝通，通于斩天堑”．高铁路线全长294km ，平均运行速度将是动车的1.8倍，运行时间有望减少l 小时零5分钟，开通后成渝都将跨入“一小时经济圈”，住在重庆，工作在成都将不再是梦想．（1）求动车的平均速度；（2）重庆到成都的动车票价为110元/人，预计高铁票价为160元/人．高铁开通后，一个15人的旅行团想要由重庆到成都旅游，部分人乘坐高铁，其余乘坐动车，若要使单程票价总额不超过2280元，则最多可以安排多少人乘坐高铁？24.如图，正方形ABCD 中，点M 为DA 延长线上一点，连接BM ，过点C 作CN ∥BM ，交AD 于点N ，在CD 延长线上取一点F ，使BM =CF -DN ，连接BF ，交CN 于点E ．（1）∠F =30°，BC =2，求DF 的长度；3（2）求证：BC =EC ．25.商人陈某打算对现有门面进行转型投资．经过考察，发现其门面所在的融侨公园附近有几所规模不小的学校却没有相应的文具店．为了保证投资利益，陈某决定针对某些常用文具进行调研．该门面在开学前采购了一种今年新上市的文具袋，准备9月份（9月1日至9月30日）进行30天的试销售，购进价格为20元/个．销售结束后，得知日销量y（个）与销售时间x天之间有如下关系：y=-2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知销售价格z（元/个）与销售时间x之间的函数关系满足如图所示的函数图象．（1）求z于x的函数关系式；（2）在这30天（9月1日至9月30日）的试销中，第x天的日销售利润为1125元，求x．26.已知：如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作OE⊥CD于点E，且BC=4cm．点P从点B出发，沿折线BO-OE-ED运动，到点D停止．点P在BO上2以cm/s的速度运动，在折线OE-ED上以1cm/s的速度运动．当点P与点B不重合，过点P作PQ⊥BC于点Q，以PQ为边在PQ左侧作矩形PQMN，使MQ=32 PQ，设点P的运动时间为t（s）（1）点P从点B运动到点O所需的时间为______（s）；当点P在线段OE上运动时，线段OP的长为______（用含t的代数式表示）；（2）当点N落在AB边上时，则t的值为______；（3）设矩形PQMN与△BOC重叠部分的面积为S（cm2），请直接写出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（4）在点P、O重合之前的整个运动过程中，作矩形PQMN关于直线PQ的轴对称图形PQM′N′，取CO中点K，是否存在某一时刻，使△PN′K为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、原式=（m+n）（m-n），错误；B、原式=x（3x-1），正确；C、原式=（x2-y2）2=（x+y）2（x-y）2，错误；D、原式=（x-4）（x+1），错误．故选B．A、原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；B、原式提取x得到结果，即可做出判断；C、原式利用完全平方公式及平方差公式分解得到结果，即可做出判断；D、原式利用十字相乘法分解得到结果，即可做出判断．此题考查了因式分解-运用公式法，提公因式法，以及十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．2.【答案】B【解析】解：A．不是乘积的形式，错误；B．符合因式分解的定义，正确；C．两边都是乘积的形式，错误；D．m2-n2=（m+n）（m-n），错误；故选B．认真审题，根据因式分解的定义，即：将多项式写成几个因式的乘积的形式，进行分析，据此即可得到本题的答案．本题主要考查了因式分解的定义，即：将多项式写成几个因式的乘积的形式，牢记定义是解题的关键，要注意认真总结．3.【答案】A【解析】解：∵分式的值为正数，x2+6＞0，∴x+1＞0，解答，x＞-1，故选A．若分式的值是正数，则只需分子和分母同号．本题主要考查了分式的值．根据分式的值的符号来判断分子和分母的符号是解答此题的关键．4.【答案】B【解析】解：根据题意将x=1代入方程，得：1+k-3=0，解得k=2．故选：B．根据一元二次方程的根的定义，方程的根就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，因而把x=1代入方程就得到一个关于k的方程，就可以求出k的值．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，逆用一元二次方程解的定义易得出k的值．5.【答案】A【解析】解：∵x2+4x+1=0∴x2+4x=-1∴x2+4x+4=-1+4∴（x+2）2=3故选A．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．本题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．6.【答案】C【解析】解：∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴A不能判定；∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形，∴B不能判定；∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），∴C能判定；∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴D不能判定；故选：C．由平行四边形的判定方法和矩形的判定方法得出A、B、D不能判定，C能判定，即可得出结论．本题考查了矩形的判定方法、平行四边形的判定方法；熟练掌握矩形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．7.【答案】B【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+x+1=0有实数根，∴△=b2-4ac=12-4×a×1=1-4a≥0，解得：a≤，∵方程ax2+x+1=0是一元二次方程，∴a≠0，∴a的范围是：a≤且a≠0．故选B．由关于x的一元二次方程ax2+x+1=0有实数根及一元二次方程的定义，即可得判别式△≥0，a≠0，继而可求得a的范围．此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△≥0．同时考查了一元二次方程的定义．8.【答案】A【解析】解：设另一个因式为：（x2-6x+m），则：x3-4x2+5x-k=（x+2）（x2-6x+m）=x3-4x2+（m-12）x+2m，∴m-12=5，解得：m=17，∴-k=2m=2×17=34，∴k=-34．故选A．认真审题，根据多项式中含有x3-4x2，并且进行因式分解后含有一个因式（x+2），所以可以设出另一个因式，据此即可得出本题的答案．本题主要考查了因式分解的定义，以及整式的乘法，根据原多项式正确设出另一个因式是解题的关键，要注意总结．9.【答案】D【解析】解：方程去分母，得：x-1+m=m（x-2），（1-m）x=1-3m，当1-m=0时，整式方程无解，即m=1；当x-2=0时，即x=2，分式方程无解，把x=2代入（1-m）x=1-3m得：2（1-m）=1-3m，解得：m=-1，∴m=1或-1，故选：D．分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是明确分式方程无解的条件．10.【答案】C【解析】解：当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；当有4点时，有10个全等三角形；…当有n个点时，图中有个全等三角形．则有8个点，即第8个图形中有全等三角形：=36（对）．故选：C．根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有个全等三角形即可．本题考查了对全等三角形的应用，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度．11.【答案】D【解析】解：因为关于a的一元二次方程5a2-a-11=0的两实数根分别为m，n，可得：-mn=>0，m+n=>0，可得：直线y=-mnx+m+n一定不经过第四象限，故选D.根据根与系数关系得出-mn和m+n的正负性，再解答即可．此题考查一次函数问题，关键根据根与系数关系得出-mn和m+n的正负性．12.【答案】B【解析】【分析】首先证明∠HCF=∠FHC=67.5°，由此可以判定③正确，②错误，再证明AC∥DF，推出S△DFA=S△FDC，由此判断⑤正确，根据ASA可以判断①正确，在△EAF中，由∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，推出CE=CK＜CF，由此判断④错误．本题考查四边形综合题、圆的有关性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造圆利用圆的有关性质解决问题，属于中考常考题型．【解答】解：如图，连接AC、以D为圆心DA为半径画圆．∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC=AB=BC，∠ADC=∠B=∠DCB=90°，∠ACD=∠DAC=45°∵△DEF是由△DEA翻折得到，∴DA=DF=DC，EA=EF，∠AED=∠DEF，∴∠AFC=∠ADC=45°∴∠EFA=∠EAF=45°，∴∠AEF=90°，∴∠DEF=∠DEA=45°，∵EA=ED=EF，∴∠DAE=∠ADE=∠EDF=∠EFD=67.5°，∴∠DAF=∠DFA=22.5°，∴∠ADF=180°-∠DAF-∠DFA=135°，∴∠CDF=∠ADF-∠ADC=45°，∴∠DCF=180°-∠CDF-∠DFC=67.5°，∵∠CHF=∠CDF+∠DFA=67.5°，∴∠HCF=∠FHC，∴△CFH是等腰三角形，故③正确．②错误，∵∠ACD=∠CDF，∴AC∥DF，∴S△DFA=S△FDC，∴S△ADH=S△CHF，故⑤正确，∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠BAM=∠CDN，在△ABM和△DCN中，，∴△ABM≌△DCN，故①正确，在△EAF中，∵∠CAE=∠CAF，∠AEC=90°，作CK⊥AF于K，∴CE=CK＜CF，∴CE≠CF故④错误．∴①③⑤正确，选B．13.【答案】x≠1【解析】解：∵分式有意义，∴x-1≠0，解得x≠1．故答案为：x≠1．先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．本题考查的是分式有意义的条件，即分式的分母不为0．14.【答案】4.8【解析】解：菱形的面积是：AC•BD=×8×6=24，菱形的边长是：AB===5，设菱形的高是h，则5h=24，解得：h=4.8．故答案是：4.8．首先根据对角线求得菱形的面积，再根据菱形的面积等于底乘以高，即可求得菱形的高．本题主要考查了菱形的面积的计算，正确理解菱形的面积的两种计算方法是解题的关键．15.【答案】-10【解析】解：∵a+b=5，ab=-2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=-2×5=-10．故答案为：-10．直接提取公因式ab，进而分解因式将已知代入求出即可．此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确分解因式是解题关键．【分析】本题考查了三角形的中位线，平行四边形的性质的应用，能求出EO+DE的值是解此题的关键，注意：平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质得出AD=BC，AB=CD，DO=BO=BD，求出BC+DC=10，DO=4，根据三角形的中位线求出EO=BC，求出DE+EO的值，即可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，DO=BO=BD，∵▱ABCD周长为20，BD=8，∴BC+DC=10，DO=4，∵BO=DO，E是CD边的中点，∴DE=DC，EO=BC，∴DE+EO=（BC+DC）=10=5，∴△ODE的周长为DO+DE+EO=4+5=9．故答案为：9．17.【答案】-99【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2+5x-1=0的两个根，∴x12=-5x1+1，x22=5x2+1，x1+x2=-5，∴x13-11x1-3x22-16=-5x12+x1-11x1-3（-5x2+1）-16=-5（-5x1+1）-10x1+15x2-3-16=15（x1+x2）-5-3-16=-99，故答案为：-99．根据x1，x2是一元二次方程x2+5x-1=0的两个根，得到x12=-5x1+1，x22=5x2+1，x1+x2=-5，然后化简所求代数式，再整体代入求值即可．本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数关系，两根之和是-，两根之积是，此题难度不大．解：设原来的受赠人数是x 人，每位受赠者得到y 本图书，则计划捐赠给社区儿童的图书的数量是xy 本；实际捐赠给社区儿童的图书的数量是xy+51本，实际受赠人数是2x-17人，所以xy+51=（2x-17）y ，整理，可得x=17+（1），又因为50＜2x-17≤60，所以34≤x≤38（2），由（1）（2），可得2≤y≤3，所以y=3，x=17+=34，34×3=102（本）．答：原计划募集图书102本．故答案为：102．根据题意，设原来的受赠人数是x 人，每位受赠者得到y 本图书，则计划捐赠给社区儿童的图书的数量是xy 本；然后判断出实际捐赠给社区儿童的图书的数量是xy+51本，实际受赠人数是2x-17人，再根据实际捐赠给社区儿童的图书的数量=每位受赠者得到的图书的数量×实际受赠人数，列出方程，根据50＜实际受赠人数≤60，求出x 、y 的值是多少，进而求出原计划募集图书多少本即可．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，弄清题意，找出合适的不等关系，进而列出不等式组是解答此类问题的关键．19.【答案】解：（1）原式；=2x(x 2−4x +4)=2x(x−2)2（2）原式=x 2−4xy +4y 2−4(4x 2−4xy +y 2)=x 2−4xy−16x 2+8xy =−15x 2．+4xy =x(−15x +4y)【解析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式合并即可得到结果．此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20.【答案】解：（1）原式=；2x x−2−x +2x−2=x−2x−2=1（2）原式=．2(x−3)(x−2)2×(x−2)(x +3)−4(x−3)×1x ＋3=1−2(x−2)=−12x−4【解析】（1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果；（2）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.【答案】解：（1）去分母得：2x 2-4x +1=2x 2-2x ，解得：x =，12经检验x =是分式方程的解；12（2）方程整理得：x 2+x -11=0，这里a =1，b =1，c =-11，∵△=1+44=45，∴x =．−1±352【解析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）方程整理后，利用公式法求出解即可．此题考查了解分式方程，以及解一元二次方程-公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.【答案】解：原式=÷a−33a(a−2)a 2−4−5a−2=•a−33a(a−2)a−2(a+3)(a−3)=13a(a +3)=，13(a 2+3a)∵a 是方程x 2+3x -1=0的解，∴a 2+3a =1，∴原式==．13(a 2+3a)13【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据a 是方程x 2+3x-1=0的解得出a 2=1-3a ，代入原式进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．23.【答案】解：（1）设动车的平均速度为xkm /h ，则高铁的平均速度为1.8xkm /h ，由题意得-=，315x 2941.8x 6560解得x =140，答：动车的平均速度为140km/h．（2）设可以安排a人乘坐高铁，则（15-a）人乘坐动车，由题意得110a+160（15-a）≤2280，解得a≥2.4，∵a是整数，∴a最小取整数3．答：最多可以安排3人乘坐高铁．【解析】（1）设动车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度为1.8xkm/h，根据运行时间有望减少l小时零5分钟，列出方程解答即可；（2）设可以安排a人乘坐高铁，则15-a人乘坐动车，根据单程票价总额不超过2280元，列出不等式解答即可．此题考查分式方程，一元一次不等式的实际运用，找出题目蕴含的数量关系与不等关系是解决问题的关键．24.【答案】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∠BCF=90°，33∴CF=BC•cot∠F=2×=6，3∴DF=6-2．（2）在CD上截取CH=ND，如图，则可证Rt△BCH≌Rt△CDN∴BH=CN=BM，∠HBC=∠NCD，又HF=CF-CH=CF-DN=BM，∴BH=FH∴∠FBH=∠BFH故∠FBC=∠FBH+∠HBC=∠BFH+∠NCD=∠BEC∴BC=EC．【解析】（1）由正方形的性质可知∠BCF=90°，由∠F=30°，BC=2结合三角函数可求得CF的长，再由线段间的关系可得出结论；（2）构造辅助线充分利用BM=CF-DN这个条件是关键，然后利用等角对等边的性质去证明．本题考查了正方形的性质、勾股定理、平行四边形的判定及性质以及特殊角的三角函数值，解题的关键：（1）利用特殊角的三角函数值；（2）找到∠BEC=∠EBC．本题属于中档题，（1）没有难度，（2）稍微有点难度，解决该类型的题时，找边相等要想到两边所在的三角形为等边或者等腰三角形．25.【答案】（1）由图象知，当1≤x≤20时，设z=kx+b，{38=6k+b则有：，解得：，{k =12b =35即z =x +35，12当20＜x ≤30时z =45，综上：z =；{12x +35，(1≤x ≤20)45，(20＜x ≤30)（2）当1≤x ≤20时，W =yz -20y =（-2x +80）（x +35）-20（-2x +80），12=-x 2+10x +1200当20＜x ≤30时，W =yz -20y =45（-2x +80）-20（-2x +80）=-50x +2000，即W ={−x 2+10x +1200，(1≤x ≤20)−50x +2000，(20＜x ≤30)9月30日的价格为45元，日销售量为20个，9月份当1≤x ≤20时日销售利润为：W =-x 2+10x +1200=-（x 2-10x +25）+1225=-（x -5）2+1225，当9月5日时日利润最大为1225元．当20＜x ≤30时，利润为W =-50x +2000，当x 增加时W 减小，故为x =21时最大．最大日销售利润为950元，综上9月份日销售利润最大为1225元．故把W =1125代入W =-（x -5）2+1225中，可得：x =15，在这30天（9月1日至9月30日）的试销中，第15天的日销售利润为1125元．【解析】（1）根据图象得出销售价格z 与销售时间x （天）的关系为一次函数关系，进而求出即可；（2）根据当1≤x≤20时，以及当20＜x≤30时，表示出日销售利润，进而求出函数关系式，代入解答即可．此题主要考查了二次函数与一次函数的应用和一元二次方程的应用，根据已知得出利润与销量之间的函数关系式是解题关键．26.【答案】2；t -2；3或143【解析】解：（1）OB=BC=2cm ，则点P 从点B 运动到点O 所需的时间是=2，故答案是2，t-2；（2）当点N落在AB边上时，P在OE上，则PQ=CD=BC=2，则PN=QM=PQ=3=t，解得：t=3．当MN在AB上，P在CD上时，（t-2）=4，解得：t=．故答案是：或3；（3）P从B到O的时间是2秒，则BQ=t，重合部分是△BPQ，则S=t2；当2＜t≤3时，如图2．S△OBC=×42=4，QC=4-t，则S△QCG=（4-t）2，则S=4-（4-t）2=-t2+4t-4；当3＜t≤4时，如图3，QM=3，BQ=t，则QC=4-t，则S△QCG=（4-t）2，BM=t-3，则S△BMH=（t-3）2，则S=4-（4-t）2-（t-3）2=-t2+7t-；当P在DE上时，PQ=2+（t-4）=t-2，当MN在AB上时，（t-2）=4，解得：t=．当4＜t≤时，如图4．PC=2+（t-4）=t-2，CM=（t-2）．BM=4-CM=4-（t-2）=7-t，则S△BMH=（7-t）2=（14-3t）2．则S=4-（14-3t）2=-t2+t-；当＜t≤6时，重合部分是S=S△OBC=4．则PN'=t，KG=t-1，PG=3-t，GN'=t+t-3=t-3．当PK=KN'时，3-t=t-3，解得：t=；在直角△PKG中，PK2=（t-1）2+（3-t）2，当PN'=PK时，（t-1）2+（3-t）2=（t）2，解得：t=2-16或-2-16（舍去）．在直角△KN'G中，N'K2=（t-3）2+（t-1）2，当N'K=PN'时，（t-3）2+（t-1）2=（t）2，解得：t=（舍去）或．总之，t=2-16或或．（1）求得OB的长，则P到O的时间就可求得，进而求得OP的长；（2）点N在AB上，PQ=2，则PN=QM=PQ，据此即可求得；（3）首先求得P在OE上，且MN在AB上时t的值，以及P在DE上，且MN 在AN上时t的值，然后分情况进行讨论即可求解；（4）过K作KG⊥NP于点G，当PK=KN'时，PG=N'G，从而求得t；当PN'=PK 时，利用勾股定理求得PK，然后列方程求得t．本题考查了正方形的性质和等腰三角形的判定与性质，正确进行讨论是解决本题的关键．。
重庆中考复习宝典(南开张克筷子班)
NO.1突然接到有段时间没有联系的张老师发来的小任务的时候，心里不禁有一些惊喜。
回头想想，好像那个让人惊心动魄的日子也就几个月之前的事情，几个月前，我还在为着那纸南开的录取通知书而埋头苦读，在操场上挥洒汗水，身边的还是那几个可爱的姑娘……一切都还历历在目。
那段日子辛苦，但是却真真切切值得怀念。
而此时此刻，当我坐在南开的自习室里面，敲打下这字字句句的时候，我明白，那段日子更是不悔，幸福，让我自豪的。
关于考前准备如果要说中考制胜的关键，我想应该就是“总结”。
不管是什么学科，这都是最重要的。
刷题当然也很关键，毕竟熟能生巧。
但是我一向不是使用题海战术的人，苦学不如巧学，我没有这么多时间来把一套又一套的辅导题目做完，那是很盲目的。
要想把课外习题运用到最佳，我一般会选择我自己最不熟悉的，或者是原来考试和做题的过程中不会做，做错过的题型抓出来练习。
但并不能是做题做完了就完了，一定要做总结。
不过也不是仅仅只把题目抄到本子上，更重要的是你要明白自己的错点到底在哪里，不然你第二次做还是卡在一样的地方。
不过文理科还是稍微有一些差距的。
总结相较起来比较适合文科（尤其是英语，因为英语的点很零碎。
）例如说，英语，我就拿一个本子专门记录错点（注意是错点不是错题），然后分类（如这是词汇拼写，这个是词语搭配）。
每做错一道题，就把这道题的错点写在相应的位置，这样下一次考试的时候一翻就翻到了。
政治也是如此，把每种题型对应的点写到书上，答题的时候一翻就到了。
理科的话则更加注重于理解了。
把自己的每一道错题搞得清清楚楚，每一个点都弄透彻了，也就基本没什么问题了。
关于中考期间心态一定要好！任何一套卷子遇到不会做的都很正常，所以说如果在考试过程中遇到不会做的题不要慌张。
在考试之前对自己的要求不能太高。
考完一科忘一科就行了。
然后就是时间安排，遇到一道不会做的题，给自己五分钟时间思考，想不出来就跳。
难题遇到也是很正常的事情，但要清楚自己的能力范围在哪里。
重庆市南开中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
重庆市南开中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题一、单选题1．下列各数中，是无理数的是（ ）A ．75 B C ．0 D ．3-2．第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会的项目图标中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ）A ．64a a a ÷=B ．()32624a a =C ．236a a a ⋅=D ．22243a a a -= 4．下列事件是必然事件的是（ ）A ．黄河入海流B ．白发三千丈C ．鱼戏莲叶间D ．千山鸟飞绝 5．一个正方形的面积是27，估计这个正方形的边长在（ ）A ．3到4之间B ．4到5之间C ．5到6之间D ．6到7之间 6．小南准备观察液体中的扩散现象，他先用水管匀速在空脸盆内注满水，然后将墨水滴在水面上，观察到墨水慢慢散开．为了验证墨水扩散速度与水的运动有关，小南在脸盆底部扎了一个口匀速放水．在整个过程中，能大致表示脸盆内水面高度与时间的关系图象是（ ） A ． B ．C ．D ．7．下列说法正确的是（ ）A ．等腰三角形一边上的中线也是这条边上的高B ．面积相等的两个三角形全等C ．三角形三条角平分线的交点一定在三角形的内部D ．两直线平行，内错角互补8．如图，某段河流的两岸是平行的，小开想出了一个不用涉水过河就能测得河的宽度的方案，首先在岸边点B 处，选对岸正对的一棵树A ，然后沿河岸直行20m 到达树C ，继续前行20m 到达点D 处，再从点D 处沿河岸垂直的方向行走．当到达树A 正好被树C 遮挡住的点E 处时，停止行走，此时DE 的长度即为河岸AB 的宽度．小开这样判断的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA9．如图1，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4:3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（ ）A ．200B ．175C ．150D ．12510．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 为BC 边上靠近点C 的三等分点，且AB BE =，若阴影部分面积为4，则ABC V 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1211．如图，已知AB CD ∥，BAC ∠的角平分线与CD 交于点E ，F 为射线AB 上的一个动点，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，且FG EG =．若AEF α∠=，则ECG ∠的度数为（ ）A ．452α︒- B ．30α︒+ C ．45α︒- D ．2α12．在整式()231a -，()254a a -+，()28419a a -+前添加“+”或“-”，先求和，再求和的绝对值的操作，称为“优绝对值”操作，将操作后的化简结果记为M ．例如：()()()22222231548419618618618a a a a a a a a ----+--+=--=+=+，则2618M a =+，当1a =时，M 的化简求值结果为：2611824M =⨯+=．下列说法正确的个数为（ ） ①至少存在一种“优绝对值”操作，使得操作后的化简结果为常数；②把所有可能的“优绝对值”操作后的式子化简，共有8种不同的结果；③在所有可能的“优绝对值”操作中，若操作后的化简求值的结果为17，则满足条件的a 有且只有一个，此时14a =-． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题13．世界上最小的鱼是生活在澳大利亚东海岸的胖婴鱼，它的质量约为0.0000012千克，将数据0.0000012用科学记数法表示为．14x 的取值范围是．15．已知8的立方根是x ，16的算术平方根是y ，则y x =．16．为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y （棵）与参与活动人数x （人）的变化关系如下表所示：观察表中数据可知，该班有人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为32棵．17．一个不透明口袋中装有红，黄，绿三种颜色的玻璃球共16个，每个球除颜色外完全相同，其中黄球和绿球一共12个，若从袋中任意摸出一球恰好摸到红球的概率是． 18．已知ABC V 两边长分别为4与5，第三边的长为奇数，则第三边的长的最大值为． 19．如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边的F 点上，已知4CF =，8AB =，则AD =．20．如图，在等边ABC V 中，点D 为线段AB 上一点，4BD AD =，连接CD ，点E 为线段AC下方一点，连接CE ，且C D C E =，BDC ACE ∠=∠，连接BE 交AC 于点M ，点F 为线段AC延长线上一点，AD CF =，连接EF ．已知2AD =，则CM 的长为．21．如图，在ABC V 中，AB BC =，90ABC ∠=︒，BAC ∠与BCA ∠的角平分线交于点D ，延长AD 交BC 于点E ，过点E 作EF AC ⊥于点F ，过点E 作EH CD ⊥交AC 于点H ，则下列结论：①135ADC ∠=︒；②HF GF =；③2222AC CE AE +=；④DEC HEF S S ∆∆=，正确的有．（填序号）22．对于任意一个三位自然数M ，若它的各数位上的数字均不为0，且满足十位数字与百位数字之差等于个位数字与十位数字之差的2倍，则称M 为“2阶等差中项数”，将这个三位自然数M 的百位数字和个位数字互换位置，得到M '，规定()99M M F M '-=．已知A 、B 均为“2阶等差中项数”，其中31010A x y =++，10070B m n =++（18x ≤≤，1y ≤，m ，9n ≤，且x ，y ，m ，n 均为正整数）．令()()F A k F B =，当()()303F A F B --为完全平方数时，则满足条件的所有k 之和为．三、解答题23．计算：(1)())2020241113-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭； (2)()3263272372a a a a a a ⋅+⋅÷+；(3)()()222525m n m n --+；(4)()()3131x y x y +--+．24．先化简，再求值：()()()()24332253a b a b a b a b b a ⎡⎤-+--++÷⎣⎦，其中4a =，23b =-． 25．如图，在ABC V 中，AB AC =，D 为BC 延长线上一点．(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段BD 的垂直平分线，与边AC ，BC 分别交于点E ，F ，在线段AB 上截取AH ，使得AH AE =，连接EH ；（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)在（1）所作图形中，连接BE ，DE ，求证：HE CD =．（请补全下面的证明过程） 证明：∵AB AC =，AH AE =，∴AB AH AC AE -=-，∴①______．∵EF 是BD 的垂直平分线，∴______②，∴EBD EDC ∠=∠．∵AB AC =，∴③______．在ECD V 中，CED ACB EDC ∠=∠-∠，HBE ABC EBD ∠=∠-∠，∴CED HBE ∠=∠．在EBH △和DEC V 中，()()BH EC BE ED ⎧=⎪⎨⎪=⎩已证④已证 ∴()SAS EBH DEC V V ≌．∴HE CD =．26．“五月五是端阳，插艾叶戴香囊，吃粽子撒白糖，龙船下水喜洋洋．”端午是我国传统节日，也是集拜神祭祖，祈福辟邪，欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．某校为了更好地调动学生参与端午活动的积极性，采取抽样调查的方法，调查了学生感兴趣的四项端午习俗项目：插艾叶，戴香囊，吃粽子，赛龙舟，并将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：(1)在这次调查中，一共调查了______名学生，扇形统计图中m 的值为______；(2)补全条形统计图；(3)若该校共有3000名学生，请估计该校对插艾叶项目感兴趣的学生有多少人？ 27．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，过点A 作AD CB ⊥于点D ，延长DA 至点E ，使得DE AC =，过点E 作EF AB ∥，交CB 的延长线于点F ，连接CE ．(1)求证：ACB DEF V V ≌；(2)若50FCE ∠=︒，70CEF ∠=︒，求FCA ∠的度数．28．利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法．请阅读材料：例题：计算()()()()234188345189234189345188+++⋅⋅⋅+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+⨯+++⋅⋅⋅+的值．解：设34188M =++⋅⋅⋅+，则原式()()()21892189378M M M M =++-++=． 请解决下列问题：(1)计算：()()()()2342024345202523420253452024______---⋅⋅⋅-⨯+++⋅⋅⋅+----⋅⋅⋅-⨯++++=L；(2)已知23a b a b-=+，求42332a b a b a b a b -+---的值；(3)证明：若n 为正整数，则代数式()()()223581n n n n +++++的值一定是某个整数的平方．29．如图1，已知八边形ABCDEFGH 相邻的两边互相垂直，且AB AH =，DC DE =，动点P 从八边形顶点A 出发，沿着八边形的边以每秒cm a 的速度逆时针运动，当P 运动到点E 时调头，以原来的速度原路返回，到A 点处停止运动．PAH V 的面积为()2cm S ，运动时间为t （秒），S 与t 的图象如图2所示，请回答以下问题：(1)AB =______cm ，DE =______cm ，=a ______cm/s ；(2)当点P 第一次在边CD 上运动时，求S 与t 的关系式；(3)点P 在返回过程中，当时间t 为何值时，AHP △为等腰三角形？请直接写出t 的值．。
重庆市沙坪坝区南开中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）下列各数中最大的是（）A．5B．0C．﹣2D．2．（4分）若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2B．x＞2C．x＜2D．x≤23．（4分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．9，13，174．（4分）已知x＞y，则下列不等式成立的是（）A．﹣2x＞﹣2y B．6﹣x＞6﹣y C．3x＞3y D．﹣＞﹣5．（4分）如图，已知△ABC≌△AB'C'，且AC′∥BC，若∠BAC＝80°，∠C'＝68°，则∠B′AC的度数为（）A．32°B．20°C．15°D．12°6．（4分）估算（+2）×在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．（4分）下列说法正确的是（）A．9的平方根是3B．任意实数都有立方根C．三角形三条中线的交点到三角形三个顶点的距离相等D．两边和一个角分别相等的两个三角形全等8．（4分）2023年杭州亚运会期间，吉祥物琼琼、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进x个玩偶，y个钥匙扣，则下列方程组正确的是（）A．B．C．D．9．（4分）如图，有一条东西走向的隧道AB，小南从隧道的一端点A沿正南方向行走400m达到点C处，再向正东方向行走300m到达点D处，此时测得隧道另一端点B在点D的北偏东60°方向上，则隧道AB的长为（）A．B．C．500m D．800m10．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为2的是（）A．x＝2，y＝2B．，y＝﹣1C．，y＝1D．x＝﹣2，y＝﹣211．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为边BC上一点，连接AD，AE＝AD 且∠DAE＝90°，连接CE、BE，若，BD＝8，则CE的长为（）A．15B．C．18D．12．（4分）已知两个二次根式，进行如下操作：令n＝1，将A加上B，结果记为，令n＝2，将A加上B，结果记为；令n＝3，将A加上B，结果记为，以此类推，下列说法正确的个数是（）①C1的最小值为0；②当x＝1时，；③；④若，则有唯一解．A．1B．2C．3D．4二、填空题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．（3分）计算：＝．14．（3分）若，那么代数式（2a﹣2b+6）4的值为．15．（3分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，AC＝10，则S△ABC＝．16．（3分）如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝．17．（3分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么化简＝．18．（3分）南开数学组于每年3月14日举办数学节“πDay”，计划购进A、B两款的魔方，每个A款魔方的价格是15元，每个B款魔方的价格是22元．若数学组计划购进这两款魔方共40个，其中B款魔方的数量不少于A款魔方的数量，学校最多能够提供资金776元，则最少购买个A款魔方．19．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为．20．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于点H，以AH为边向左侧作等边△AHM，Q为线段AM上一动点，连接BQ，QH，则△QBH的周长最小值为．21．（3分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，将△ABD沿AD折叠至△ABC所在平面内，得到△ADE，AE与BC交于点F，连接CE，若AD∥CE，∠BAC＝∠AFC＝120°，，则AB的长为．22．（3分）有两个三位数m＝100a+10b+c和n＝100d+10e+f（1≤a，b，c，d，e，f≤9），若m，n满足F （m，n）＝为整数时，则称m，n为最佳“搭档数”，p＝467+110x，q＝200y+z+37（0≤x ≤3，0＜y≤4，3＜z≤9），若p q是最佳“搭档数”，且q的各个数位上的数字之和能被12整除，则p ＝．三、解答题（本大题共7个小题，23题16分，24题～26题每小题16分，27题～28题每小题16分，29题12分，共72分）23．（16分）计算：（1）；（2）解方程组：；（3）解方程组：．24．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2，y ＝1．25．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，E为△ABC外一点，AB＝AE，连接AD，连接DE交AB于F，且AD平分∠CDE．（1）用尺规完成以下基本作图：过点A作DE的垂线，垂足为M；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）（2）求证：∠BDF＝∠EAF．请根据下列证明思路完成填空：证明：∵∠C＝90°，∴CA⊥CD．∵AD平分∠CDE，CA⊥CD，AM⊥DE，∴．∵AM⊥DE，∴∠AME＝∠C＝90°．在Rt△ABC和Rt△AEM中，，∴Rt△ABC≌Rt△AEM（）．∴．∵∠BFE＝∠B+∠BDF，∠BFE＝∠E+∠EAF，∴∠B+∠BDF＝．∴∠BDF＝∠EAF．26．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC∥AD且BC＝2AD，AE平分∠BAC，并与BD交于点F．（1）求证：△AFD≌△EFB；（2）若∠BAC＝60°且AB＝6，求AF的长．27．（10分）一年一度的NK校庆及运动会圆满结束，为表彰在校庆及运动会中表现优异的同学，初二某班班委会分两次购买了A、B两种文创产品作为奖品，每次购进同一种奖品的单价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）所花费用（元）A B第一次1520520第二次2017616（1）求A、B两种奖品的单价分别是多少元？（2）考虑到啦啦队和后勤服务的同学也做出了很多贡献，班委会计划用不超过480元再购买一批奖品，要求三次一共购进A、B两种奖品共100件，且第三次购进A奖品的数量不少于B奖品的数量，请问第三次有哪几种购进方案？28．（10分）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即：当n为非负整数时，如果，则＜x＞＝n，反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则．例如：＜0＞＝＜0.49＞＝0，＜0.67＞＝＜1.46＞＝1，＜3.5＞＝＜4.13＞＝4，＜2＞＝2．试解决下列问题：（1）填空：①＜π﹣1＞＝（π为圆周率）；②＝；（2）②如果＜x﹣1＞＝4，则实数x的取值范围为；（3）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是；（4）求满足的所有非负实数x的值，并写出必要过程．29．（12分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC、点D为BC上一点，连接AD．（1）如图1，若AB＝6，AD＝4，且∠ADC＝60°，求线段CD的长度；（2）如图2，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，以AB为斜边作等腰直角△ABG，过点G作GF∥BC交DA延长线于点F、且BE＝AF，求证：CD﹣BD＝AD；（3）如图3，在（2）问的条件下，，∠CGH＝30°，过点G作GH⊥AD交BC于点H，点M 为GH延长线上一动点，将线段MH绕点M逆时针旋转150°至MN，连接HN，过点C作CP⊥HN于点P，连接CM并延长交直线HN于点Q，当CP﹣CM取得最大值时，直接写出△CHQ的面积．2023-2024学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）1．（4分）下列各数中最大的是（）A．5B．0C．﹣2D．【分析】先进行大小比较再取最大的数即可．【解答】解：﹣2＜﹣＜0＜5，故最大的数是5．故选：A．【点评】本题考查实数大小比较和算术平方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．2．（4分）若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2B．x＞2C．x＜2D．x≤2【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，解得x≥2．故选：A．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．3．（4分）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．9，13，17【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+22≠32，故不是直角三角形，故此选项不合题意；B、22+32≠42，故不是直角三角形，故此选项不合题意；C、32+42＝52，故是直角三角形，故此选项符合题意；D、92+132＝172，故不是直角三角形，故此选项不合题意．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．4．（4分）已知x＞y，则下列不等式成立的是（）A．﹣2x＞﹣2y B．6﹣x＞6﹣y C．3x＞3y D．﹣＞﹣【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：A、∵x＞y，∴﹣2x＜﹣2y，故本选项不符合题意；B、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴6﹣x＜6﹣y，故本选项不符合题意；C、∵x＞y，∴3x＞3y，故本选项符合题意；D、∵x＞y，∴﹣＜﹣，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．5．（4分）如图，已知△ABC≌△AB'C'，且AC′∥BC，若∠BAC＝80°，∠C'＝68°，则∠B′AC的度数A．32°B．20°C．15°D．12°【分析】先根据全等三角形的性质得到∠BAC＝∠B′AC′＝80°，∠C＝∠C'＝68°，再利用平行线的性质得到∠CAC′＝∠C＝68°，然后计算∠B'AC′﹣∠CAC′即可．【解答】解：∵△ABC≌△AB'C'，∴∠BAC＝∠B′AC′＝80°，∠C＝∠C'＝68°，∵AC′∥BC，∴∠CAC′＝∠C＝68°，∴∠B′AC＝∠B'AC′﹣∠CAC′＝80°﹣68°＝12°．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等．也考查了平行线的性质．6．（4分）估算（+2）×在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【分析】先将原式计算后再进行估算即可．【解答】解：原式＝+2，∵16＜18＜25，∴4＜＜5，则6＜+2＜7，即原式的值在6和7之间，故选：C．【点评】本题考查无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．7．（4分）下列说法正确的是（）A．9的平方根是3B．任意实数都有立方根C．三角形三条中线的交点到三角形三个顶点的距离相等D．两边和一个角分别相等的两个三角形全等【分析】根据平方根的定义对A选项进行判断；根据立方根的定义对B选项进行判断；根据三角形的外心的性质对C选项进行判断；根据全等三角形的判定方法对D选项进行判断．【解答】解：A．9的平方根为±3，所以A选项不符合题意；B．任意实数都有立方根，所以B选项符合题意；C．三角形三边的中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，所以C选项不符合题意；D．两边和它们所夹的角分别相等的两个三角形全等，所以D选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了平方根、立方根和线段垂直平分线的性质．8．（4分）2023年杭州亚运会期间，吉祥物琼琼、宸宸、莲莲因其灵动可爱的形象受到了大家的喜爱．为了提高销量，某店家推出了吉祥物套装礼盒，一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣．已知一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，该店家计划用5000元购进一批玩偶和钥匙扣，使得刚好配套，设购进x个玩偶，y个钥匙扣，则下列方程组正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用总价＝单价×数量，结合购进玩偶和钥匙扣数量间的关系，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：∵一个套装礼盒里包含1个吉祥物宸宸玩偶和2个其他吉祥物的钥匙扣，∴购进钥匙扣的数量是购进宸宸玩偶数量的2倍，∴2x＝y；∵一个玩偶的进价为60元，一个钥匙扣的进价为20元，且店家共花费5000元，∴60x+20y＝5000．∴根据题意可列出方程组．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．（4分）如图，有一条东西走向的隧道AB，小南从隧道的一端点A沿正南方向行走400m达到点C处，再向正东方向行走300m到达点D处，此时测得隧道另一端点B在点D的北偏东60°方向上，则隧道AB的长为（）A．B．C．500m D．800m【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得AE，DE，在Rt△BDE中，求出BE，即可求出AB．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，由题意可知，四边形ACDE是矩形，AE＝CD＝300m，DE＝AC ＝400m，在Rt△BDE中，∵∠BDE＝60°，∴∠DBE＝30°，∴BD＝2DE＝800m，由勾股定理，得BE＝＝＝（m），∴AB＝AE+BE＝（m），∴隧道AB的长为（）m．故选：B．【点评】本题考查勾股定理，含30°角直角三角形的性质，三角形内角和定理，构造直角三角形，运用勾股定理是解题的关键．10．（4分）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为2的是（）A．x＝2，y＝2B．，y＝﹣1C．，y＝1D．x＝﹣2，y＝﹣2【分析】根据选项中x，y的值，选择对应的代数式，并将x，y的值代入代数式进行求值即可得出结果．【解答】解：对于选项A，当输入x＝2，y＝2时，由于x＝y，则输出的结果为：x2+y＝22+2＝6；对于选项B，当输入x＝，y＝﹣1时，由于x＞y，则输出的结果为：x2﹣y＝（）2﹣（﹣1）＝6；对于选项C，当输入x＝﹣，y＝1时，由于x＜y，则输出的结果为：x2+y＝（﹣）2+1＝6，对于选项D，当输入x＝﹣2，y＝﹣2时，由于x＝y，则输出的结果为：x2+y＝（﹣2）2+（﹣2）＝2．故选：D．【点评】此题主要考查了求代数式的值，理解题意，根据输入的x，y的值选择对应的代数式是解决问题的关键．11．（4分）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为边BC上一点，连接AD，AE＝AD 且∠DAE＝90°，连接CE、BE，若，BD＝8，则CE的长为（）A．15B．C．18D．【分析】连接DE，利用SAS证明△ABE≌△ACD，根据全等三角形的性质得出BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，进而推出∠EBD＝90°，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求出DE＝AD＝10，BE＝6＝CD，再根据勾股定理求解即可．【解答】解：连接DE，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠EAB＝∠DAC，∠ABC+∠ACD＝90°，在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD，∴∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ABC+∠ACD＝90°，∵AE＝AD且∠DAE＝90°，AD＝5，∴DE＝AD＝10，∵BD＝8，∴BE＝＝6＝CD，∴BC＝BD+CD＝14，∴CE＝＝2，故选：B．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用SAS证明△ABE≌△ACD是解题的关键．12．（4分）已知两个二次根式，进行如下操作：令n＝1，将A加上B，结果记为，令n＝2，将A加上B，结果记为；令n＝3，将A加上B，结果记为，以此类推，下列说法正确的个数是（）①C1的最小值为0；②当x＝1时，；③；④若，则有唯一解．A．1B．2C．3D．4【分析】①利用二次根式的性质和非负数的性质可得＝+≥+，即可判断①；②由题意得：C1+C3+C5+…+C2021﹣（C2+C4+C6+…+C2022）＝++++++…++﹣（++++++…++）＝﹣45，即可判断②；③运用分式的运算法则即可判断③；④运用分式的运算法则和乘法公式即可判断④．【解答】解：①＝+≥+，∴结论①错误；②当x＝1时，C1＝+，C2＝+，C3＝+，C4＝+，……C2021＝+，C2022＝+，∴C1+C3+C5+…+C2021﹣（C2+C4+C6+…+C2022）＝++++++…++﹣（++++++…++）＝﹣＝﹣45，∴结论②正确；③∵+++…+＝+++…+＝﹣+﹣+﹣+…+﹣＝﹣，∴结论③正确；④∵，∴（+）2+＝4x2+29，∴（+）2+（﹣）2＝4x2+29，∴4x+26＝29，∴x＝，∴结论④正确．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的性质与化简，分式加减运算，完全平方公式等，熟练掌握二次根式的性质、分式的运算法则、找到运算结果的变化规律是解题的关键．二、填空题：（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请将答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．（3分）计算：＝4．【分析】根据算术平方根的概念去解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵42＝16，∴＝4，故答案为4．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．14．（3分）若，那么代数式（2a﹣2b+6）4的值为64．【分析】首先将已知条件a﹣b+3＝转化为2a﹣2b＝2﹣6，然后整体代入代数式进行计算即可得出答案．【解答】解：∵a﹣b+3＝，∴a﹣b＝﹣3，∴2a﹣2b＝2﹣6，∴（2a﹣2b+6）4＝（2﹣6+6）4＝（2）4＝64．故答案为：64．【点评】此题主要考查了求代数式的值，熟练掌握求代数式值的方法于技巧，理解整体思想在解决问题中的应用是关键．15．（3分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，AC＝10，则S△ABC＝24．【分析】由勾股定理可求得BC的长度，再由三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝8，AC＝10，∴BC＝，∴S△ABC＝．故答案为：24．【点评】本题主要考查三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式．16．（3分）如图，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，BD＝7，DC＝9，则∠DBA＝45° ．【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理的逆定理即可解答．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝4，∴∠ABC＝45°，BC＝4，∵BD＝7，DC＝9，∴BD2+BC2＝49+32＝81＝92＝DC2，∴△DBC是直角三角形，∠DBC＝90°，∴∠DBA＝∠DBC﹣∠ABC＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．17．（3分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么化简＝﹣a﹣b．．【分析】先根据数轴析a，b，c之间的大小关系，再进行化简．【解答】解：由数轴可知，a＜b＜0＜c，a﹣c＜0，b+c＜0，则原式＝c﹣a+[﹣（b+c）]＝c﹣a+（﹣b﹣c）＝c﹣a﹣b﹣c＝﹣a﹣b．故答案为：﹣a﹣b．【点评】本题考查二次根式的性质与化简，能够根据数轴分析a，b，c之间的大小关系是解题的关键．18．（3分）南开数学组于每年3月14日举办数学节“πDay”，计划购进A、B两款的魔方，每个A款魔方的价格是15元，每个B款魔方的价格是22元．若数学组计划购进这两款魔方共40个，其中B款魔方的数量不少于A款魔方的数量，学校最多能够提供资金776元，则最少购买15个A款魔方．【分析】设购进x个A款魔方，则购进（40﹣x）个B款魔方，根据“购进B款魔方的数量不少于A款魔方的数量，且学校最多能够提供资金776元”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．【解答】解：设购进x个A款魔方，则购进（40﹣x）个B款魔方，根据题意得：，解得：≤x≤20，又∵x为正整数，∴x的最小值为15，∴最少购买15个A款魔方．故答案为：15．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．19．（3分）关于x，y的二元一次方程组的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为11．【分析】解方程组求出x，y，根据方程组的解为正整数，求出整数a的值．【解答】解：方程组得，，∵方程组的解为正整数，∴a＝﹣3时，，a＝﹣2时，，a＝0时，，a＝4时，，a＝12时，，∴满足条件的所有整数a的和为﹣3﹣2+0+4+12＝11．故答案为：11．【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，并结合题意得出整数a的值．20．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝2，AH⊥BC于点H，以AH为边向左侧作等边△AHM，Q为线段AM上一动点，连接BQ，QH，则△QBH的周长最小值为．【分析】连接BM，根据等边三角形的性质得到AM＝AH，∠MAH＝60°，∠BAH＝，求得BM＝BH，根据全等三角形的性质得到∠AMB＝∠AHB＝90°，延长BM到N，使MN＝BM，得到点B与N关于AM对称，连接NH交AM于Q，则BQ+QH＝NQ+QH＝NH的值最小，即此时△△QBH 的周长最小，过N作ND⊥CB交CB的延长线于D，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：连接BM，∵△AMH是等边三角形，∴AM＝AH，∠MAH＝60°，∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴∠BAH＝，∴∠MAB＝∠HAB＝30°，∴AB垂直平分MH，∴BM＝BH，在△AMB与△AHB中，，∴△AMB≌△AHB（SSS），∴∠AMB＝∠AHB＝90°，∴BM⊥AM，延长BM到N，使MN＝BM，∴点B与N关于AM对称，连接NH交AM于Q，则BQ+QH＝NQ+QH＝NH的值最小，即此时△△QBH的周长最小，∵BM⊥AM，MN＝BM，∴AN＝AB，∠NAM＝∠BAM＝60°，∴△ABN是等边三角形，∴BN＝AB＝2，过N作ND⊥CB交CB的延长线于D，∴∠NDB＝90°，∵∠ABC＝∠ABN＝60°，∴∠DBN＝60°，∴BD＝，DN＝BN＝，∴NH＝＝＝，∴△QBH的周长最小值＝+1，故答案为：+1．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路径问题，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．21．（3分）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，连接AD，将△ABD沿AD折叠至△ABC所在平面内，得到△ADE，AE与BC交于点F，连接CE，若AD∥CE，∠BAC＝∠AFC＝120°，，则AB的长为．【分析】根据折叠的性质得到∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，根据平行线的性质得到∠DAE＝∠AEC，根据全等三角形的性质得到AD＝CE，DE＝AC，得到BD＝AC＝2，求得BC＝4，过B作BH⊥AC交CA的延长线于H，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵将△ABD沿AD折叠至△ABC所在平面内，得到△ADE，∴∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，∵AD∥CE，∴∠DAE＝∠AEC，∴∠BAD＝∠AEC，∵∠BAC＝∠AFC＝120°，∴∠ABC＝180°﹣120°﹣∠ACB，∠CAF＝180°﹣120°﹣∠ACF，∴∠ABC＝∠CAF，在△ABD与△EAC中，，∴△ABD≌△EAC（ASA），∴AD＝CE，DE＝AC，∴BD＝AC＝2，∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD，∠DEC＝∠AED+∠CEF，∴∠ADC＝∠DEC，∵AD∥CE，∴∠ADC＝∠DCE，∴∠DCE＝∠DEC，∴CD＝DE＝2，∴BC＝4，过B作BH⊥AC交CA的延长线于H，∴∠BAH＝60°，∴∠ABH＝30°，设AH＝x，则AB＝2x，∴BH＝＝x，∵BH2+CH2＝BC2，∴（x）2+（x+2）2＝（4）2，解得x＝（负值舍去），∴AB＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．22．（3分）有两个三位数m＝100a+10b+c和n＝100d+10e+f（1≤a，b，c，d，e，f≤9），若m，n满足F （m，n）＝为整数时，则称m，n为最佳“搭档数”，p＝467+110x，q＝200y+z+37（0≤x ≤3，0＜y≤4，3＜z≤9），若p，q是最佳“搭档数”，且q的各个数位上的数字之和能被12整除，则p ＝467或687．．【分析】先根据q的数字之和能被12整除，求出y和z的值，然后将p和q根据位值原则改写，根据“搭档数”的定义列出代数式，根据不定方程整数解的求法进行求解即可．【解答】解：根据q的各个数位上的数字和能被12整除，可得：2y+3+7+z＝2y+z+10能被12整除，∵0＜y≤4，3＜z≤9，∴3＜2y+z≤17，∴2y+z＝14，∴5≤2y≤10，∴y＝3或4，z＝8或6，根据位值原则：p＝100（4+x）+10（6+x）+7，当y＝3，z＝8时，q＝645，根据“搭档数”定义可得：＝＝1+为整数，∴x＝0或2或3，当y＝4，z＝6时，q＝843，根据“搭档数”定义可得：＝＝1+为整数，∴x＝0或2，综上所述，x＝0或2，∴p＝467或687．故答案为：467或687．【点评】p和q是本题解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，23题16分，24题～26题每小题16分，27题～28题每小题16分，29题12分，共72分）23．（16分）计算：（1）；（2）解方程组：；（3）解方程组：．【分析】（1）根据零指数幂，算术平方根以及绝对值的定义进行计算即可；（2）利用代入消元法，先将原方程组中的方程①变形为x＝y+2，再代入方程②求出y的值，再代入求出相应的x的值即可；（3）利用加减消元法，将原方程组中的方程②×2得到4x+6y＝12，再与方程①相减即可求出x的值，代入求出相应的y的值即可．【解答】解：（1）原式＝1+4+﹣1＝4+；（2），由①得，x＝y+2③，③代入②得，2（y+2）+3y＝9，解得，y＝1，把y＝1代入③得，x＝1+2＝3，所以原方程组的解为；（3）原方程组可变为，②×2得，4x+6y＝12③，①﹣③得，x＝0，把x＝0代入②得，3y＝6，解得，y＝2，所以原方程组的解为．【点评】本题考查零指数幂，算术平方根、绝对值以及解二元一次方程组，掌握零指数幂，算术平方根、24．（8分）先化简，再求值：，其中x＝﹣2，y ＝1．【分析】根据完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式的运算法则以及合并同类项、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算，得到答案．【解答】解：原式＝[（4x2﹣2xy+y2﹣（4x2﹣y2）+（x2y2﹣y2）]÷x＝（4x2﹣2xy+y2﹣4x2+y2+x2y2﹣y2）÷x＝（﹣2xy+x2y2）÷x＝﹣2y+xy2，当x＝﹣2，y＝1时，原式＝﹣2×1+（﹣2）×12＝﹣4．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．25．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，E为△ABC外一点，AB＝AE，连接AD，连接DE交AB于F，且AD平分∠CDE．（1）用尺规完成以下基本作图：过点A作DE的垂线，垂足为M；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）（2）求证：∠BDF＝∠EAF．请根据下列证明思路完成填空：证明：∵∠C＝90°，∴CA⊥CD．∵AD平分∠CDE，CA⊥CD，AM⊥DE，∴AC＝AM．∵AM⊥DE，∴∠AME＝∠C＝90°．在Rt△ABC和Rt△AEM中，，∴Rt△ABC≌Rt△AEM（HL）．∴∠B＝∠E．∵∠BFE＝∠B+∠BDF，∠BFE＝∠E+∠EAF，∴∠B+∠BDF＝∠E+∠EAF∴∠BDF＝∠EAF．【分析】（1）按基本作图“过一点作已知直线的垂线”作出图形即可；（2）由∠C＝90°，得CA⊥CD，而AM⊥DE，由角平分线的性质得AC＝AM，即可根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ABC≌Rt△AEM，得∠B＝∠E，因为∠BFE＝∠B+∠BDF＝∠E+∠EAF，所以∠BDF＝∠EAF，于是得到问题的答案．【解答】解：（1）作法：1．以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，交DE于点G、点H；2．分别以点G、点H为圆心，以大于GH的长为半径作弧，两弧交于点I；3．作射线AI交DE于点M，射线AM就是所求的图形．（2）证明：∵∠C＝90°，∴CA⊥CD，∵AD平分∠CDE，CA⊥CD，AM⊥DE，∴AC＝AM，∵AM⊥DE，∴∠AME＝∠C＝90°，在Rt△ABC和Rt△AEM中，，∴Rt△ABC≌Rt△AEM（HL），∴∠B＝∠E，∵∠BFE＝∠B+∠BDF，∠BFE＝∠E+∠EAF，∴∠B+∠BDF＝∠E+∠EAF，∴∠BDF＝∠EAF，故答案为：AC＝AM，HL，∠B＝∠E，∠E+∠EAF．【点评】此题重点考查尺规作图、过一点作已知直线的垂线、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出图形并且证明Rt△ABC≌Rt△AEM是解题的关键．26．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC∥AD且BC＝2AD，AE平分∠BAC，并与BD交于点F．（1）求证：△AFD≌△EFB；（2）若∠BAC＝60°且AB＝6，求AF的长．【分析】（1）由AB＝AC，AE平分∠BAC，得EB＝EC＝BC，由BC∥AD且BC＝2AD，得∠D＝∠EBF，AD＝BC，则AD＝EB，而∠AFD＝∠EFB，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△AFD≌△EFB；（2）由AB＝AC，∠BAC＝60°，证明△ABC是等边三角形，则BC＝AB＝6，所以EB＝EC＝BC＝3，因为AE⊥BC，所以∠AEB＝90°，根据勾股定理得AE＝＝3，则AF＝EF＝AE＝．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴EB＝EC＝BC，∵BC∥AD且BC＝2AD，∴∠D＝∠EBF，AD＝BC，∴AD＝EB，在△AFD和△EFB中，，∴△AFD≌△EFB（AAS）．（2）解：AB＝AC，∠BAC＝60°且AB＝6，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝6，∴EB＝EC＝BC＝3，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴AE＝＝＝3，∵△AFD≌△EFB，∴AF＝EF＝AE＝×3＝，∴AF的长是．【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明AD＝EB及△ABC是等边三角形是解题的关键．27．（10分）一年一度的NK校庆及运动会圆满结束，为表彰在校庆及运动会中表现优异的同学，初二某班班委会分两次购买了A、B两种文创产品作为奖品，每次购进同一种奖品的单价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）所花费用（元）A B第一次1520520第二次2017616（1）求A、B两种奖品的单价分别是多少元？（2）考虑到啦啦队和后勤服务的同学也做出了很多贡献，班委会计划用不超过480元再购买一批奖品，要求三次一共购进A、B两种奖品共100件，且第三次购进A奖品的数量不少于B奖品的数量，请问第三次有哪几种购进方案？【分析】（1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，利用总价＝单价×数量，结合前两次购进两种奖品的数量及所花费用，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设第三次购进m件A种奖品，则购进（28﹣m）件B种奖品，根据“第三次购进A奖品的数量不少于B奖品的数量，且所花费用不超过480元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购进方案．【解答】解：（1）设A种奖品的单价是x元，B种奖品的单价是y元，根据题意得：，解得：．答：A种奖品的单价是24元，B种奖品的单价是8元；（2）设第三次购进m件A种奖品，则购进100﹣15﹣20﹣20﹣17﹣m＝（28﹣m）件B种奖品，根据题意得：，解得：14≤m≤16，又∵m为正整数，∴m可以为14，15，16，∴第三次有3种购进方案，方案1：购进14件A种奖品，14件B种奖品；方案2：购进15件A种奖品，13件B种奖品；方案3：购进16件A种奖品，12件B种奖品．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．28．（10分）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞．即：当n为非负整数时，如果，则＜x＞＝n，反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则．例如：＜0＞＝＜0.49＞＝0，＜0.67＞＝＜1.46＞＝1，＜3.5＞＝＜4.13＞＝4，＜2＞＝2．试解决下列问题：（1）填空：①＜π﹣1＞＝2（π为圆周率）；②＝4；（2）②如果＜x﹣1＞＝4，则实数x的取值范围为 4.5≤x＜5.5；（3）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 1.5≤a＜2.5；（4）求满足的所有非负实数x的值，并写出必要过程．【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π﹣1＞的值；②先估算，然后利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜＞的值；（2）利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；（3）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；（4）根据题意列出不等式，解不等式即可得到结论．【解答】解：（1）①由题意可得：＜π﹣1＞＝2；②∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∵3.52＝12.25＜15，∴3.5＜＜4，∴＝4；故答案为：①2；②4；（2）∵＜x﹣1＞＝4，∴3.5≤x﹣1＜4.5，∴4.5≤x＜5.5；故答案为：4.5≤x＜5.5；（3）解不等式组得：﹣1≤x＜＜a＞，由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，故1.5≤a＜2.5；故答案为：1.5≤a＜2.5；（4）∵x≥0，x+1为整数，设x+1＝k，k为整数，则x＝，∴＜＞＝k，∴k﹣≤＜k+，k≥0，∴≤k＜，∴k＝2，3，则x＝，．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．29．（12分）如图，等腰△ABC中，AB＝AC、点D为BC上一点，连接AD．（1）如图1，若AB＝6，AD＝4，且∠ADC＝60°，求线段CD的长度；（2）如图2，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，以AB为斜边作等腰直角△ABG，过点G作GF ∥BC交DA延长线于点F、且BE＝AF，求证：CD﹣BD＝AD；（3）如图3，在（2）问的条件下，，∠CGH＝30°，过点G作GH⊥AD交BC于点H，点M 为GH延长线上一动点，将线段MH绕点M逆时针旋转150°至MN，连接HN，过点C作CP⊥HN于点P，连接CM并延长交直线HN于点Q，当CP﹣CM取得最大值时，直接写出△CHQ的面积．。
重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试题(解析版)
重庆南开中学2024-2025学年度上学期期中考试初2025届数学试题（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.17−的相反数是( )．A.17− B.17C. −7D. 7【答案】B【解析】【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数， 0的相反数是0．【详解】解：17−的相反数是17，故选：B．2. 下列化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）A. 蒸馏烧瓶B. 烧杯C. 圆底烧瓶D. 分液漏斗【答案】C【解析】【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可．【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形．故选C ．3. 二次函数()20y ax bx c a ++≠的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）A. 0a >B. 0b >C. 240b ac −<D. 0c >【答案】A【解析】 【分析】本题考查根据二次函数图象判断各项系数和式子的符号，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向和对称轴的位置确定a 、b 的符号，由抛物线与x 轴的交点个数确定∆的符号，由抛物线与y 轴的交点位置确定c 的符号，即可得出答案．【详解】解：A 、∵抛物线的开口向上，∴0a >，故此选项符合题意；B 、∵抛物线的对称轴在y 轴右侧，∴02b a−>， ∵0a >，∴0b <，故此选项不符合题意；C 、∵抛物线与x 轴的两个交点，∴240b ac ∆=−>，故此选项不符合题意；D 、∵抛物线与y 轴的交点在负半轴上，∴0c <，故此选项不符合题意；故选：A ．4. 将ABC 沿BC 方向平移至DEF ，点A ，B ，C 的对应点分别是D ，E ，F ，使得:5:3BC EC =，则ABC 与GEC 的周长之比为（ ）A. 2:3B. 2:5C. 5:3D. 3:5【答案】C【解析】 【分析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平移的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平移的性质得到AB GE ∥，从而可得到ABC GEC △∽△，利用相似三角形周长于相似比可得答案． 【详解】解：∵ABC 沿BC 方向平移至DEF ，∴AB DE ∥，即AB GE ∥，∴A EGC ∠=∠,B GEC ∠=∠,∴ABC GEC △∽△，∴ABC 与GEC 的周长之比:5:3BCEC =， 故选：C ．5. 中国选手郑钦文顺利入围2024年WTA 年终总决赛女子单打项目，该项目第一阶段采用组内循环赛制，即每两名选手之间比赛一场．现计划安排28场组内循环赛，共有几名选手参加组内循环赛？设一共有x 名选手参加组内循环赛，根据题意可列方程为（ ）A. ()128x x −=B. ()128x x +=C. ()11282x x +=D. ()11282x x −= 【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了有实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．设一共有x 名选手参加组内循环赛，则每个队参加()1x −场比赛，则共有()112x x −场比赛，可以列出一个一元二次方程． 【详解】解：由题意可列方程为：()11282x x −=， 故选：D ．6. 估计+）A. 6和7之间B. 7和8之间C. 8和9之间D. 9和10之间【答案】D【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则．先利用二次根式的运算法则将原式化简，再对无理数进行估算．【详解】解：++，3<<∵67∴9310+<故选：D．7. 南南用相同的小圆圈按照一定的规律摆成了“中”字，第①个图形中有10个小圆圈，第②个图形中有16个小圆圈，第③个图形中有22个小圆圈，…，按照此规律排列下去，则第⑧个图形中小圆圈的个数是（）A. 42B. 52C. 46D. 58【答案】B【解析】【分析】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到进一步解题的规律，难度不大．仔细观察图形变化，找到图形变化规律，利用规律求解．×+=个小圆圈，【详解】第①个图形中一共有16410×+=个小圆圈，第②个图形中一共有26416×+=个小圆圈，第③个图形中一共有36422…，∴第n 个图形中一共有()64n +个小圆圈，∴第⑧个图形中小圆圈的个数是86452×+=，故选：B ．8. 如图，AB 是O 的直径，AE 、CE 、CB 为O 的弦，132AO =，12AE =，则sin BCE ∠=（ ）A. 512B. 1312C. 513D. 125【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，求一个角的正弦值，勾股定理；根据AB 是O 的直径，得出90AEB ∠=°，再运用勾股定理算出5BE ，再结合 EBEB =，则BCE BAE ∠=∠，所以5sin sin 13BE BCE BAE AB ∠=∠==，即可作答． 【详解】解：连接BE ，如图：∵AB 是O 的直径，∴90AEB ∠=°， ∵132AO =， ∴13AB =，在Rt ABE △中，5BE ，∵ EBEB =，∴BCE BAE ∠=∠， ∴5sin sin 13BE BCE BAE AB ∠=∠==， 故选：C ． 9. 如图，在正方形ABCD 中，O 是对角线BD 的中点，E 为正方形内的一点，连接BE ，CE ，使得CB CE =，延长BE 与ECD ∠的角平分线交于点F ．若BEC α∠=，连接OF ，则FOD ∠的度数为（ ）A. 290α−°B. 1452α°+C. 1902α°−D. 245α−°【答案】A【解析】 【分析】连接DF ，先证明∴()SAS CEF CDF ≌，得到CEF CDF ∠=∠，从而得180CDF CEF α∠=∠=°−，继而90BFD ∠=°，然后利用直角 三角形的性质，得出OF OB =，从而有45OFB OBF α∠=∠=−°，然后由三角形外角的性质可求解．【详解】解：连接DF ，如图，∵正方形ABCD∴BC CD =，45CBD CDB ∠=∠=°，∵CB CE =∴CE CD =，CBE BEC α∠=∠=， ∴45DBE α∠=−°，∵CF 是ECD ∠角平分线∴ECF DCF ∠=∠ ∵CF CF =，ECF DCF ∠=∠，CE CD =， ∴()SAS CEF CDF ≌∴CEF CDF ∠=∠，∴180CDF CEF α∠=∠=°−∴18045135BDFCDF CDB αα∠=∠−∠=°−−°=°− ∴1354590BDF DBE αα∠+∠=°−+−°=° ∴90BFD ∠=°∵O 是对角线BD 的中点，∴OF OB =∴45OFB OBF α∠=∠=−° ∴4545290FOD OFB OBF ααα∠=∠+∠=−°+−°=−° 故选：A ．【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明90BFD ∠=°是解题的关键．10. 给定三个互不相等的代数式，先将任意两个代数式作差（相同的两个代数式只作一次差），再将这些差“绝佳操作”．例如：对于m ，n ，p 作“绝佳操作”，得到m n m p n p −+−+−．下列说法：①对2，4−，5作“绝佳操作”结果是18；②对m ，n ，p 作“绝佳操作”的结果一共有8种；③对22a ，66a −，42a 作“绝佳操作”的结果为28，则a的值为1−或1−；其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】本题考查新定义和绝对值化简，解一元二次方程，理解万岁新定义是解题的关键，注意分类讨论． 利用绝对值的性质进行逐个计算判断即可． 【详解】解：①()242545−−+−+−−的的18=，故①正确；②当m n p >>时，则22m n m p n p m n m p n p m p −+−+−=−+−+−=−，当m p n >>时，则22m n m p n p m n m p n p m n −+−+−=−+−−+=−，当n m p >>时，则22m n m p n p m n m p n p n p −+−+−=−++−+−=−， 当n p m >>时，则22m n m p n p m n m p n p n m −+−+−=−+−++−=− 当p m n >>时，则22m n m p n p m n m p n p p n −+−+−=−−+−+=−当p n m >>时，则22m n m p n p m n m p n p p m −+−+−=−+−+−+=− ∴对m ，n ，p 作“绝佳操作”的结果一共有6种，故②错误；③当226642a a a >−>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=，化简得：2260a a −−=，解得：1a =+1a =−； 当224266a a a >−>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：2340a a −−=，解得：4a =（舍去）或1a =−；当266242a a a −>>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：6828a −=，解得：6a =（舍去）； 当266422a a a −>−>时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：23100a a −+=，∵()234110310∆=−−××=−<∴无解；当242266a a a −>>−时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：8a −=，解得：8a =−（舍去）， 当242662a a a −>−>时，则()()()22266242664228a a a a a a −−+−−+−−−=， 化简得：4828a −+=，解得：5a =−（舍去），综上，a 的值为11−，故③错误；∴只有①正确，共1个，二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每个小题的答案直接填在答题．．卡．中对应的横线上． 11. 计算：()01tan3012−°−−=________． 【答案】12##0.5 【解析】【分析】本题主要考查实数混合运算，零指数幂，负整理指数幂，特殊角的三角函数，解题的关键是掌握分负整数指数幂、零指数幂的规定，熟记特殊锐角的三角函数值．【详解】解：()01tan3012−°−−112 =−−112=− 12=． 故答案为：12． 12. 正八边形每个外角的度数为_____．【答案】45°##45度【解析】【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，根据任何一个多边形的外角和都是360°求解即可．【详解】解：因为任何一个多边形的外角和都是360°，所以正八边形的每个外角的度数是：360845°÷=°．故答案为：45°．13. 为了全面推进素质教育，助力学生健康成长，公能学校开设了多门选修课程．其中南南和开开想从刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊中选修一门课程，两名同学恰好选修同一门课程的概率为________． 【答案】14【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出他们两人恰好选修同一门课程的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：用A 、 B 、C 、D 分别表示刺绣、糖画、国家疆土、巧匠工坊，画树状图如图，共有16种等可能的结果，其中他们两人恰好选修同一门课程的结果数为4， 所以他们两人恰好选修同一门课程的概率为：41164=． 14. 如图，点A 在反比例函数()0k yk x=≠图象上，过点A 作AB x ⊥轴于点B ，连接OA ，若ABO 的面积为2，则k =________．【答案】4【解析】【分析】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于k ．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是122k =，再根据反比例函数的图象位于第二象限即可求出k 的值． 【详解】解：根据题意可知：221AOB S k == ， 又反比例函数的图象位于第一象限，0k >，则4k =．故答案为：4．15. 若二次函数232y x x =−+过点(),3m ，则代数式2262023m m −+=________． 【答案】2025【解析】【分析】本题考查的是抛物线的性质．掌握“点在抛物线上，则点的坐标满足函数解析式”是解本题的关键．由于抛物线经过点(),3m ，则231m m −=，把2262023m m −+整理后整体代入即可． 【详解】∵二次函数232y x x =−+过点(),3m ， ∴2323m m −+=， ∴231m m −=，∴()222620232320232120232025m m m m −+=−+=×+=． 故答案为：2025．16. 关于x 的一元一次不等式组()341221x x x x m − ≤−+≥−+至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13222m y y−=−−−的解为非负整数，则符合条件的整数m 的值之和为________． 【答案】2 【解析】【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，掌握相应的计算方法是关键． 先解不等式组，确定m 的取值范围25<≤m ，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得22m y −=，由分式方程有非负整数解，确定出的值，即可解答．【详解】解：()341221x x x x m − ≤−+≥−+①② 解①得：2x ≤， 解②得：23m x −≥， ∴223m x −≤≤， ∵不等式组至少有2个整数解， ∴213m −≤， 解得：5m ≤；13222m y y−=−−−， 去分母得：1243m y −=−+， 解得：2my =， ∵分式方程的解为非负整数，且2y ≠ ∴0m ≥且4m ≠的偶数， 又∵5m ≤ ∴2m =，0∴符合条件的整数m 的值之和为202+=． 故答案：2．17. 如图，在矩形ABCD 中，4=AD ，点E 为AB 中点，将矩形沿着EF 所在的直线翻折至矩形ABCD 所在的平面，点B ，C 的对应点分别是B ′，C ′，B E ′与CD 交于点G ，使得CF GF =，连接AB ′，B F ′，AF ，若25B G GF ′=，则GF =________；AB F S ′= ________．【答案】 ①. 5 ②. 985【解析】【分析】过点G 作GH C F ′⊥，则四边形B C HG ′′是矩形，根据矩形的性质，结合折叠的性质可得4GH B C ′′==，GF GE =，令5GF CF a ==，则2B G C H a ′′==，5CF C F a ′==，可知3HF C F C H a ′′=−=，根据勾股定理即可求解，则2B G ′=，7BE B E ′==，令AB ′与CD 交于点O ，过点B ′作B M CD ′⊥，则90D B MO ′∠=∠=°，再证明B OG B AE ′′△∽△，DOA MOB ′△∽△，结合相似三角形的性质求得2855B M AD ′==，由1122AB F AOF B OF S S S OF AD OF B M ′′′=+=⋅+⋅△△△，即可求解． 【详解】解：在矩形ABCD 中，4AD BC ==，AB CD =，90B C D ∠==∠=°，AB CD ∥，则BEF DFE ∠=∠，由折叠可知，BE B E ′=，CF C F ′=，4BC B C ′′==，90C C ′∠=∠=°，90EB C B ′∠=∠=°，BEF B EF ′∠=∠，则B EF DFE ′∠=∠， ∴GF GE =，为过点G 作GH C F ′⊥，则四边形B C HG ′′是矩形， ∴4GHB C ′′==，B G C H ′′=， ∵25B G GF ′=，CF GF =，令5GFCF a ==，则2B G C H a ′′==，5CF C F a ′==， ∴3HF C F C H a ′′=−=，由勾股定理可得：222GH GF HF =−，即：()()222453a a =−，解得：1a =，∴5GF =，则2B G ′=，7BEB E ′==， 令AB ′与CD 交于点O ，过点B ′作B M CD ′⊥，则90D B MO ′∠=∠=°，∵点E 是AB 的中点，∴7AE BE ==，即14ABCD ==， ∵AB CD ∥，∴B OG B AE ′′△∽△，B G B O GF OA ′′==∴OG B GAE B E ′=′，即277OG =， ∴2OG =，∴7OF OG GF =+=，则2OD CD OF CF =−−=， ∵DOA MOB ′∠=∠ ∴DOA MOB ′△∽△，∴25B M B O AD OA ′′==，则2855B M AD ′==， ∴1118987422255AB F AOF B OF S S S OF AD OF B M ′′′=+=⋅+⋅=××+=， 故答案为：5，985． 【点睛】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，平行线分线段成比例等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．18. 一个四位数M 各数位上的数字均不为0，若将M 的千位数字和个位数字对调，百位数字和十位数字对调，得到新的四位数N ，则称N 为M 的“翻折数”，规定()11M NF M +=．例如：1235的“翻折数”为5321，()12355321123559611F +==，则()2678F =________；若()5001200101M x y =+++（M ，y 为整数，59x ≤≤，18y ≤≤），M 的“翻折数”N 能被17整除，则()F M 的最大值为________． 【答案】 ①. 1040 ②. 757 【解析】【分析】根本题主要考查了有理数的混合运算，二元一次方程的解，列代数式，本题是阅读型题目，准确理解题干中的定义和公式并熟练应用是解题的关键．据()11M NF M +=代入求解()2678F 即可；首先表示出s 和t 的“翻折数”，然后求出3153x y ++的取值范围，进而分类讨论求得x ，y 的值，然后代入()11M NF M +=求解即可． 【详解】根据题意可得，()267887622678104011F +==；∵()5001200101M x y =+++（M ，y 为整数59x ≤≤，18y ≤≤）， ∴M 的千位数字为6，百位数字为210x −，十位数字为1y +，个位数字为1， ∴M 的“翻折数”N 为()()10001001102106y x +++−+201001006x y =++()175593153x y x y =+++++，∵59x ≤≤，18y ≤≤， ∴333153150x y ≤++≤， ∵M 的“翻折数”N 能被17整除， ∴3153x y ++能被17整除， ∵x ，y 都是整数， ∴3153x y ++是整数，∴431533x y +=+，51，68，85，102，119，136，∴当431533x y +=+时，x ，y 无整数解， 当131535x y +=+时，13x y = = （舍去）或62x y = =，当831536x y +=+时，x ，y 无整数解， 当531538x y +=+时，x ，y 无整数解， 当2315310x y +=+时，36x y == （舍去）或85x y = = ，当9315311x y +=+时，x ，y 无整数解， 当6315313x y +=+时，x ，y 无整数解，∴当62x y = =时，()5001200610216231M =+×+×+=，1326N =，()6231132668711F M +==， 当85x y = =时，()5001200810516661M =+×+×+=，1666N =，()6661166675711F M +==， ∴()F M 的最大值为757， 故答案为：1040，757．三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上． 19. 计算：（1）()22()m m n m n +−+（2）2214123a a a a −+÷ +【答案】（1）2n −； （2）321a a +−． 【解析】【分析】本题考查了整式的运算和分式的混合运算．解题的关键是掌握整式和分式混合运算顺序和运算法则．（1）利用完全平方公式和单项式乘多项式展开，再合并即可；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果即可． 【小问1详解】解：()22()m m n m n +−+2222(2)m mn m mn n =+−++22222m mn m mn n =+−−− 2n =−；【小问2详解】解：2214123a a a a −+÷ + 2221413a a a a a+−÷+ ()()()321·2121a a a a a a ++=+− 321a a +=−． 20. 为了全面了解学生对校史的掌握情况，公能学校开展了校史知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的比赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x 表示，共分为四组：A ．90100x <≤；B ．8090x <≤；C ．7080x <≤；D ．6070x <≤；），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩为：68，76，78，79，84，85，86，86，86，86， 88，89，89，91，91，94，94，95，95，100．八年级20名学生的竞赛成绩在B 组的数据为：80，83，86，87，87，89，89． 七、八年级所抽学生的校史知识竞赛成绩统计表年级 七年级 八年级 平均数8787中位数 87 b众数 a92根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a =________；b =________；m =________；（2）根据以上数据分析，你认为在此次知识竞赛中，该校七、八年级中哪个年级学生对校史的掌握情况更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）公能学校七年级有500名学生、八年级有600名学生参加此次校史知识竞赛，请估计七、八年级参加此次知识竞赛的成绩优秀(90)x >的学生共有多少人？ 【答案】（1）86；87；40（2）八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由见解析 （3）415 【解析】【分析】（1）根据众数和中位数定义求a 、b 值，先求出B 组人数占的百分比为35%，即可由%110%15%35%m =−−−求出m 值；（2）根据两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，可得出结论； （3）用各年级的总人数乘以年级的优秀率，再相加，列式计算即可求解. 【小问1详解】解：在七年级20名学生的竞赛成绩中86出现的次数最多，故众数86a =； ∵八年级20名学生的竞赛成绩在B 组的数据为：80，83，86，87，87，89，89． ∴B 组人数占的百分比为：7100%35%20×=， ∵C 组人数占的百分比为15%，D 组人数占的百分比为10%， ∴A 组人数占的百分比为%110%15%35%40%m =−−−=，即40m =． ∴八年级20名学生竞赛成绩的中位数在B 组，的∴把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是87，89，故中位数8789872b +=， 故答案：86；87；40． 【小问2详解】解：八年级学生安全知识竞赛成绩较好，理由如下：因为两个年级成绩的平均数相同，但八年级的中位数高于七年级，所以得到八年级学生安全知识竞赛成绩较好（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：750060040%20×+× 175240+415=（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数大约是415人．【点睛】本题考查众数，中位数，统计表，扇形统计图，用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键．21. 在学习了平行四边形与正方形的相关知识后，智慧小组进行了更深入的探究．他们发现，如图所示的正方形ABCD ，分别取BC ，CD 的中点M ，N ，连接AM ，DN 交于点E ，过B 作AM 的垂线，交AM 于点Q ，交AD 于点P ．则四边形BPDN 是平行四边形．（1）用尺规完成以下基本作图：过B 作AM 的垂线，交AM 于点Q ，交AD 于点P （只保留作图痕迹）．（2）根据（1）中所作图形，智慧小组发现四边形BPDN 是平行四边形成立，并给出了证明，请补全证明过程．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥．又∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点，∴12DM CD =，12CN BC =，∴ ① ，在ADM 与DCN 中，为AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()ADM DCN SAS ≌．∴ ② ．又∵90CDN ADN ∠+∠=°，∴90DAM ADN ∠+∠=°，∴90AED ∠=°，又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°，∴ ③ ．又∵DP BN ∥ ∴四边形BPDN 是平行四边形．进一步思考，智慧小组发现任取BC ，CD 的上点N ，M （M 不与C ，D 重合），DM CN =，连接AM ，DN ，过B 作AM 的垂线，交AD 于点P ，则四边形BPDN 是 ④ ．【答案】（1）见解析 （2）DM CN =；DAM CDN ∠=∠；∥BP DN ；进一步思考：四边形BPDN 是平行四边形 【解析】【分析】（1）利用尺规基本作图——经过直线外一点作已知直线的第一线作法作出图形即可；（2）先证明()SAS ADM DCN ≌，得到DAM CDN ∠=∠．从而证得90AQP AED ∠=∠=°，即可得到∥BP DN ．又由正方形的性质得DP BN ∥，即可得出结论；进一步思考：证明()SAS ADM DCN ≌，得到DAM CDN ∠=∠，再证明∥BP DN ，又由正方形的性质得DP BN ∥，即可得出结论． 【小问1详解】解：如图所示，BP 就是所求作的经过点B 垂直于AM 于Q ，交AD 于P 的直线，【小问2详解】证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥． 又∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴12DM CD =，12CN BC =， ∴DM CN =，在ADM 与DCN 中，AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()SAS ADM DCN ≌． ∴DAM CDN ∠=∠． 又∵90CDN ADN ∠+∠=°， ∴90DAM ADN ∠+∠=°， ∴90AED ∠=°， 又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°， ∴∥BP DN ． 又∵DP BN ∥∴四边形BPDN 是平行四边形． 进一步思考：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD CD BC ==，90ADC C ∠=∠=°，AD BC ∥． 在ADM 与DCN 中，AD CD ADM C DM CN =∠=∠ =∴()SAS ADM DCN ≌． ∴DAM CDN ∠=∠． 又∵90CDN ADN ∠+∠=°， ∴90DAM ADN ∠+∠=°， ∴90AED ∠=°， 又∵BP AE ⊥，∴90AQP AED ∠=∠=°， ∴∥BP DN ． 又∵DP BN ∥∴四边形BPDN 是平行四边形． 故答案为：平行四边形．【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，尺规基本作图—作垂线，平行四边形的判定．熟练掌握正方形的性质，和平行四边形的判定是解题的关键．22. 重庆金沙天街某家蛋糕店推出了“流沙羊角”和“开心果羊角”两款特色蛋糕．（1）购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，求“流沙羊角”和“开心果羊角”的单价分別为多少元？（2）国庆节当天，蛋糕店进行促销活动，将“流沙羊角”的单价降低了2m 元，“开心果半角”单价降低了m 元，节日当天“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，且“流沙羊角”的销售额为960元，“开心果羊角”的销售额为750元，求m 的值．【答案】（1）“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元 （2）2 【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用，分式方程的应用，正确列出方程组或方程是解题的关键． （1）设“流沙羊角”的单价为x “开心果羊角”的单价为y 元，根据购买1个“流沙羊角”和1个“开心果羊角”需要37元，购买1个“流沙羊角”和2个“开心果羊角”需要54元，列出方程组，求解即可． （2）根据销量等于销售额除以销售单价，以“流沙羊角”的销量是“开心果羊角”销量的1.2倍，列出分式方程求解即可． 【小问1详解】解：设“流沙羊角”的单价为x 元，“开心果羊角”的单价为y 元，根据题意，得37254x y x y +=+= ， 解得：2017x y = =， 答：“流沙羊角”的单价为20元，“开心果羊角”的单价为17元． 【小问2详解】 解：根据题意，得960750 1.220217m m=×−−， 解得：2m =，经检验，2m =是方程的解且符合题意， ∴m 的值为2．23. 如图1，在菱形ABCD 中，5AB =，8BD =，动点P 从点A 出发，沿着A B C −−的路线运动，到达C 点停止，过点P 作PQ BD ∥交菱形的另一边于点Q ．设动点P 行驶的路程为x ，点P 、Q 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y 的图象，并写出函数y 的一条性质；（3）函数11y x b 2=+与函数y 只有一个交点，求b 的取值范围． 【答案】（1）()()80558165105x x y x x ≤≤ =−+<≤ ； （2）作图见解析，当05x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当510x <≤时，y 随x 的增大而减小； （3）50b −≤<或112b =． 【解析】【分析】（1）分点P 在AAAA 上和点P 在BC 上两种情况讨论，利用相似三角形的判定及性质构造等量关系，即可得到答案；（2）根据（1）所得函数关系式，利用描点法画图，再写出该函数的性质即可；（3）结合函数图象，将()5,8、()0,0和()10,0代入11y x b 2=+，分别求出b 的值，即可得出b 的取值范围．【小问1详解】解：如图，点P 在AAAA 上时，05x ≤≤，∵PQ BD ∥， ∴APQ ABD ∽，∴AP PQ AB BD =即58x y=， ∴85y x =， ∵5AB =，如图，点P 在BC 上时，∵四边形ABCD 是菱形， ∴5BC AB ==， ∴10PC x =−，当点P 在BC 上时，510x <≤， ∵PQ BD ∥， ∴CPQ CBD ∽，∴CP PQ CB BD =即1058x y −=， ∴8165y x =−+，综上可知，y 关于x 的函数表达式为()()80558165105x x y x x ≤≤ =−+<≤ 【小问2详解】解：由（1）所得关系式可知，x0 5 8 10 y83.2函数图象如下：性质：当05x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当510x <≤时，y 随x 的增大而减小；（答案不唯一） 【小问3详解】解：如图，由图象可知，函数11y x b 2=+的图象在3l 和2l 之间时，与函数y 只有一个交点， 将()5,8代入11y x b 2=+，得：1852b =×+，解得：112b =， 将()0,0代入11y x b 2=+，得：0b =， 将()10,0代入11y x b 2=+，得：5b =−， ∴b 的取值范围为50b −≤<或112b =．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定及性质，求一次函数解析式，描点法画函数图象，一次函数图象和性质，两直线交点问题等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键．24. 如图，M 为沙坪坝区物流中心，N ，P ，Q 为三个菜鸟驿站，N 在M 的正南方向4.3km 处，Q 在M 的正东方向，P 在Q 的南偏西37°方向2.5km 处，N 在P 南偏西64°方向．（sin370.60°≈，cos370.80°≈，tan370.75°≈，sin640.90°≈，cos640.44°≈，tan64 2.05°≈）（1）求驿站P ，驿站N 之间的距离（结果精确到0.1km ）； （2）“双11”期间，派送员从沙坪坝区物流中心M 出发，以30km/h 的速度沿着M N P Q ———的路线派送快递到各个驿站，派送员途径N ，P 两个驿站各停留6min 存放快递，请计算说明派送员能否在40min 内到达驿站Q ？【答案】（1）5.2km （2）能，理由见解析 【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，将实际问题转化成解直角三角形的问题，利用解直角三角形的 知识求解是解题的关键．（1）过点P 作PA MN ⊥于A ，PB MQ ⊥于B ，先解Rt PBQ △，求得2km PB =，再证明2km AM PB ==，从而得出 2.3km AN =，然后解Rt PAN △，即可求解． （2）求出派送员所需总时间，再与40min 比较即可得出答案． 【小问1详解】解：过点P 作PA MN ⊥于A ，PBMQ ⊥于B ，如图，根据题意，得37BPQ PQD ∠=∠=°，64PNA NPC ∠=∠=°， 4.3km MN =， 2.5km PQ =， 在Rt PBQ △中，∵cos PB BPQ PQ∠=， ∴()cos 2.5cos37 2.50.802km PBPQ BPQ =⋅∠=×°≈×=， ∵PA MN ⊥，PBMQ ⊥，90NMQ ∠=°，∴四边形AMBP 是矩形， ∴2km AM PB ==，∴()4.32 2.3km AN MN AM =−=−=，在Rt PAN △中，∵cos PNA ∠∴()2.3 2.3 5.2km cos cos 640.44ANPNPNA ==≈≈∠°，答：驿站P ，驿站N 之间的距离约为5.2km ． 【小问2详解】解：∵30km/h 0.5km/min =，∴()()4.3 5.2 2.50.56236min ++÷+×=， ∵36min<40min ，∴派送员能在40min 内到达驿站Q ．25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =−+与抛物线()230y ax x a =−+≠交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上，直线与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式；（2）P 是直线AB 上方抛物线上一点，过P 作PQ y ∥轴交直线AB 于点Q ，求PQ AQ 的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）在（2）PQ AQ 的最大值的条件下，连接BP ，将抛物线沿射线BA 方向平移，使得点A 在新抛物线的对称轴上，M 是新抛物线上一动点，当MAB BPQ ∠=∠时，直接写出所有符合条件的点M 的坐标．【答案】（1）2134y x x =−−+（2）PQ AQ +的最大值为4，()2,4P −（3）点M 的坐标为()2,2或 【解析】【分析】（1）先由一次函数解析式求出点()2,0A ，再把()2,0A 代入23y ax x =−+，求出a 值即可；（2）延长PQ 交y 轴于D ，证明OAC DAQ ∽，得AC OC AQ DQ =1DQ =，求得DQ AQ =，再设21,34P x x x −−+ ，则1,12Q x x−+ ，则211242PQ x x =−−+，112QD x =−+，所以()21244PQ AQ PQ QD PD x +=+==−++，利用二次函数最值即可求解． （3）根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为2114y x x =−++，再分两种情况：当点M 在直线AB 上方时，当点M 在直线AB 下方时，分别求解即可． 【小问1详解】解：对于直线112y x =−+， 令0y =，则1102x −+=，解得：2x =， ∴()2,0A ，把()2,0A 代入23y ax x =−+，得0423a −+， 解得：14a =−， ∴抛物线的表达式2134y x x =−−+． 【小问2详解】解：延长PQ 交y 轴于D ，对于直线112y x =−+， 令0x =，则1y =， ∴CC (0,1)， ∵()2,0A∴AC ==∵PQ y ∥轴，即QD OC ∥， ∴OAC DAQ ∽∴AC OC AQ DQ =1DQ=，∴DQ AQ =， 设21,34P x x x −−+ ，则1,12Q x x −+，∴2211113124242PQ x x x x x=−−+−−+=−−+，112QD x =−+∴()221132444PQ AQ PQ QD PD x x x =+==−−+=−++ ∵104−< ∴当2x =−时，PQ AQ +的最大值为4； ∴()2,4P −． 【小问3详解】解：联立，2134112y x x y x =−−+=−+， 解得：1143x y =− = ，2220x y = = ，∴()4,3B −，由（2）知，在PQ AQ +的最大值的条件下，抛物线的顶点为点()2,4P −，对称为直线PQ ， 当2x =−时，则()12122y =−×−+=， ∴()2,2Q −， 则2PQ =，PB QB∴BPQ BQP ∠=∠， ∵将抛物线沿射线BA 方向平移，使得点A 在新抛物线的对称轴上， ∴点Q 平移后与点A 重合， ∵()2,2Q −，()2,0A ，∴抛物线沿射线BA 方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位，∴抛物线顶点()2,4P −平移后到点()2,2P ′，点()4,3B −平移后到点()0,1B ′，即B ′与C 重合，∴BPQ B P A ′′ ≌，抛物线平移后的解析式为()221122144y x x x =−−+=−++，∴BPQ B P A ′′∠=∠， ∵()0,1B ′，()2,2P ′，∴P B =′=′∵()0,1B ′，()2,0A ，∴AB ′=，∴P B AB ′′′=， ∴B AP B P A ′′′′∠=∠， 当点M 在直线AB 上方时，∵MAB BPQ ∠=∠， ∴MAB B P A ′′∠=∠， ∴点M 与点P ′重合， ∴()2,2M ，当点M 在直线AB 下方时，设21,14M x x x−++， 过点M 作ME PQ ∥，交AB 于E ，交x 轴于N ，则MEA BQP ∠=∠，1,12E x x−+， 则AOC ANE △∽△，∴AC OCAE EN=，则E AE EN AC =⋅=， ∵MAB BPQ ∠=∠， ∴BPQ MAE △∽△，∴BQ PQ ME AE=，则BQ ME PQ AE =，=，整理得：32E M y y =−， 即：231111224x x x −+=−−++，解得：x =（x =，此时，M y =∴M ， 综上，符合条件的点M 的坐标为()2,2或． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要去向不明了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线的平移，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键．26. 在ABC 中，AC BC =，D 为线段AB 上一点，连接CD ．（1）如图1，若30B ∠=°，AC AD =，过A 作AE CD ⊥于O ，交BC 于E ，2CE =，求线段BE 的长；（2）如图2，过点B 作BF CD ⊥交CD 延长线于点F ，以BC 为斜边在ABC 的右侧作等腰直角三角形BCG ，过点G 作GH AB ∥，交DC 的延长线于点H ，HC FB =．猜想线段AD ，BD ，CD 的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，60ACB ∠=°，过A 作AQ BC ⊥于Q ，作ACB ∠的角平分线交AQ 于M ，取CM 的中点N ，连接QN ．点K 为直线BC 上的动点，连接NK ，将QKN 沿着NK 所在直线翻折至ABC 所在平面得到Q KN ′ ，连接MQ ′，取MQ ′中点P ，连接CP ．将12CD 绕着点D 顺时针旋转至直线AB 上方DR 处，使得BDR ACD ∠=∠．当CP 取得最小值时，连接AP ，PR ，AR ，当ARP △以AP 为腰的等腰三角形时，请直接写出DR AP的值． 【答案】（1）（2）AD BD =+（3 【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质得120ACB ∠=°，75ACD ∠=°，得45DCE ∠=°，根据线段垂直平分线性质，得2CE DE ==，得90CED ∠=°，即得BE = （2）过点C 作CI AB ⊥于I ，得AI BI =，根据等腰直角BCG 中，90BG CG BGC =∠=°，，BF CD ⊥，得点G 、C 、F 、B 在以BC 为直径的圆上，得GCH GBF ∠=∠，结合HC FB =，得()SAS GCH GBF ≌，得GF GH BGF CGH =∠=∠，， 得90FGH ∠=°，证明45IDC H ∠=∠=°，得DI =，根据BI BD DI =+，AD AI DI =+，即得AD BD =+；（3）证明当'Q 与C 重合时，点P 与点N 重合，PC 取得最小值，当AP AR =时，设CD 中点为T ，连接RT BR CR ，，，由对称性知，点R 在ABC ∠的平分线上，得CR AR =，由BDR ACD ∠=∠，得60CDR CAD ∠=∠=°，根据RT DT CT ==，得DTR 是等边三角形，得30RCT ∠=°，90CRD ∠=°，得tan DR DCR CR ∠=；②延长CM 交AB 于L ，过B 作BS AC ∥，交DR 延长线于S ，连接CS ，则AL BL =，60CBS ACB ∠=∠=°，得60CBS CDS ∠=∠=°，得B 在过C 、D 、S 三点的圆上，得60CSD CBD ∠=∠=°，得 CDS 是等边三角形，当D 与点B 重合时，T 与Q 重合，点R 在BS 上，根据150NQB NQR ∠=∠=°，BQ RQ NQ NQ ==，，得()SAS BQN RQN ≌,得BN RN =，得AN RN =，设ABC 的边长为2，则1AL =，CL =，根据23CM CL =，N 是CM 中点，得NL =，得AN =DR AP =【小问1详解】解：AC BC = ，30B ∠=°。
重庆市南开中学校2021-2022学年八上期末数学试题(原卷版)
6.某天，孟孟与欢欢在讨论攀攀的年龄，欢欢说：“攀攀至多3岁．”而孟孟说：“攀攀的年龄一定大于1岁．”则攀攀年龄的取值范围在数轴上表示正确的是（）
B.
C. D.
7.估计 的值在（）
A.2到3之间B.3到4之间
C.4到5之间D.5到6之间
8.直线 和 在同一直角坐标系中的图象可能是（）
南开中学2021—2022学年度（上）初2023级期末
数学试题
考试时间：120分钟满分：150分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案在答题卡中对应位置涂黑．
1.下列各数是无理数的是（）
A.-1B.2C. D.3
24.解下列方程组：
（1）
（2）
25.解下列不等式（组）：
（1） ；
（2）
四、解答题（本大题共6个小题，其中26题8分，27题8分，28题8分，29题10分，30题10分，31题12分，共56分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
26.为了教育引导学生学习禁毒知识、远离毒品侵害，北关中学开展了“全民禁毒，共享幸福”知识竞赛活动．现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分10分）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
27.如图，在 中， ，点E为 内一点，且 为等边三角形．
（1）用尺规完成以下基本作图：以BC为边在 内作等边 ．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）在（1）所作图形中，连接CE、AF，猜想四边形AFCE的形状，并证明你的猜想．
28.在函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
重庆市沙坪坝区南开中学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题
重庆市沙坪坝区南开中学校2023-2024学年九年级上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．．C ．．9．如图，在正方形ABCD 中，点分别在边BC AB ，上（点E 不与点合），且AF BE =．连接AC ，，连接AE BG ，交于点H ．若则DGCG＝（）A ．53B ．14534D ．10．对于代数式M 、N 定义一种新运算：223M MN N =-+．1=，则()1&511x =；2,x 是一元二次方程2x -的两个根，则12&1x x =；()1&1x -的函数图象与直线为常数）有三个交点时，则．以上结论正确的个数是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个16．若关于x 的不等式组1522m y y y--=--有非负整数解，则所有满足条件的整数17．如图，在矩形ABCD 形AFGD 翻折得到四边形3sin ,5CGP GF ∠==三、解答题已知：如图，在矩形∠．平分DAE求证：四边形AEFD 证明：∵四边形∴，∴DAF AFE∠=∠，∠∵AF平分DAE ∴，∴AFE EAF∠=∠(1)请直接写出1y 关于t 的函数表达式，并注明自变量(2)如图2，平面直角坐标系中已给出函数2y 的图象，请在该坐标系中画出函数并写出函数1y 的一条性质；(3)结合函数图象，估计当12y y =时t 的近似值．（近似值保留一位小数，24．如图，某工厂准备开发一块四边形ABCD 的空地，点A 在点D 的北偏东60︒方向上，点B 在点A 的正东方向，知2AB =千米，52CD =千米．（参考数据：2≈(1)如果要在空地四周建立防护栏，需要多少千米的防护栏？（精确到(2)该工厂计划用380万元改造该地块，如果每平方千米的改造费用为算，判断改造费用是否充足？25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线213y x bx =-+交y 轴于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)直线3944y x =+与直线BC 交于点E ．点(,0)M m 是线段AB 上的动点，过点M 作x 轴的垂线，交直线AE 于点G ，交抛物线于点F ，交直线BC 于点H ．①若点F 在第二象限，且2227EFG OEG S S =，求m 的值；②在平面内是否存在点P ，使得以点E 、F 、H 、P 为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．26．在等边ABC 中，点D 是射线CB 上一点，连接AD ，将ABD 沿AD 翻折到AED 连接CE ．(1)如图1，点D 在线段BC 上，BAD ∠＝10︒，求BCE ∠的度数；(2)如图2，点D 在线段CB 的延长线上，AD 交CE 于点F ，连接BE 交AD 于点G ．猜想线段AF ，FG 和CF 之间的数量关系，并说明理由；(3)如图3，将AD 绕点A 逆时针旋转90︒得到AM ，连接BM ．若AB ＝2，当AM BM+的和取得最小值时，请直接写出AED的面积．。
2025届重庆市沙坪坝区南开中学九年级数学第一学期期末联考试题含解析
2025届重庆市沙坪坝区南开中学九年级数学第一学期期末联考试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．若点 A 1(2,)y 、B 2(2,)y 、C 3(2,)y -都在二次函数()231y x k =-+的图象上，则123、、y y y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．312y y y >>D ．321y y y >> 2．如图，在正方形网格上，与△ABC 相似的三角形是（ ）A ．△AFDB ．△FEDC ．△AED D ．不能确定3．若△ABC ∽△ADE ，若AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，则EC 的长是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到颜色相同的球的概率为( )A ．23B ．13C ．12D ．145．如图，阳光透过窗户洒落在地面上，已知窗户AB 高1.5m ，光亮区的顶端距离墙角3m ，光亮区的底端距离墙角1.2m ，则窗户的底端距离地面的高度(BC )为( )A ．1mB ．1.2mC ．1.5mD ．2.4m6．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，13AD AB =，BC =12，则DE 的长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．下列图形是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（ ）A ．22B ．2C ．22D ．19．如图，在ABC 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：：ACP B ∠∠=①；APC ACB ∠∠=②；2AC AP AB =⋅③；AB CP AP CB ⋅=⋅④，能满足APC 与ACB 相似的条件是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③ 10．在平面直角坐标系中，二次函数269y x x =-+-与坐标轴交点个数（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，抛物线y ＝﹣2x 2+2与x 轴交于点A 、B ，其顶点为E ．把这条抛物线在x 轴及其上方的部分记为C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B 、D ，C 2的顶点为F ，连结EF ．则图中阴影部分图形的面积为______．12．若一个反比例函数的图像经过点(),A a a 和()3,2B a -，则这个反比例函数的表达式为__________．13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b 与反比例函数m y x =的图象相交于点(2,3)A 和点(,1)B n -，则关于x 的不等式m kx b x+>的解集是_____．14．如图，将矩形ABCD 绕点A 旋转至矩形AB ′C ′D ′位置，此时AC ′的中点恰好与D 点重合，AB ′交CD 于点E ．若AB ＝3，则△AEC 的面积为_____．15．不等式组的解是________．16．如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC 绕着点A 逆时针旋转得到△AB ′C ′，则BB '的长为_____．17．一个口袋中放有除颜色外，形状大小都相同的黑白两种球，黑球6个，白球10个．现在往袋中放入m 个白球和4个黑球，使得摸到白球的概率为35，则m ＝__． 18．如图，正方形ABCD 的边长为5，E 、F 分别是BC 、CD 上的两个动点，AE ⊥EF ．则AF 的最小值是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，点E为□ABCD中一点，EA=ED，∠AED=90º，点F，G分别为AB，BC上的点，连接DF,AG，AD=AG=DF，且AG⊥DF于点H，连接EG，DG，延长AB,DG相交于点P．（1）若AH=6，FH=2，求AE的长；（2）求证：∠P=45º；（3）若DG=2PG，求证：∠AGE=∠EDG．20．（6分）用适当的方法解下列一元二次方程（1）x2+2x＝3；（2）2x2﹣6x+3＝1．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（3，1）在反比例函数kyx=的图象上．（1）求反比例函数kyx=的表达式；（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP=12S△AOB，求点P的坐标；（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，直接写出点E的坐标，并判断点E是否在该反比例函数的图象上，说明理由．22．（8分）如图，在ABC ∆中，CD 是AB 边上的高，且2CD AD BD =⋅．（1）求ACB ∠的度数；（2）在（1）的条件下，若4,10AC AB ==，求AD 的长．23．（8分）甲口袋中装有3个小球，分别标有号码1，2，3；乙口袋中装有2个小球，分别标有号码1，2；这些球除数字外完全相同．从甲、乙两口袋中分别随机地摸出一个小球，则取出的两个小球上的号码恰好相同的概率是多少？24．（8分）如图，某数学兴趣小组为测量一棵古树BH 和教学楼CG 的高，先在点A 处用高1.5米的测角仪测得古树顶端点H 的仰角HDE ∠为45︒，此时教学楼顶端点G 恰好在视线DH 上，再向前走7米到达点B 处，又测得教学楼顶端点G 的仰角GEF ∠为60︒，点A 、B 、C 点在同一水平线上．（1）计算古树BH 的高度；（2）计算教学楼CG 的高度．（结果精确到0.12 1.4≈3 1.7≈）．25．（10分）综合与探究：如图所示，在平面直角坐标系中，直线2y x =+与反比例函数()0k y k x=>的图象交于(),3A a ，()3,B b -两点，过点A 作AC x ⊥轴于点C ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ．（1）求a ，b 的值及反比例函数的函数表达式；（2）若点P 在线段AB 上，且ACP BDP S S ∆∆=，请求出此时点P 的坐标；（3）小颖在探索中发现：在x 轴正半轴上存在点M ，使得MAB ∆是以A ∠为顶角的等腰三角形.请你直接写出点M 的坐标.26．（10分）小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现：每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可近似地看作一次函数y ＝－10x ＋500，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%.(1)设小明每月获得利润为w(元)，求每月获得利润w(元)与销售单价x(元/件)之间的函数表达式，并确定自变量x 的取值范围；(2)当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】根据反二次函数图象上点的坐标特征比较y 1、y 2、y 3的大小，比较后即可得出结论．【详解】解：∵A 12y ，)、B (2，2y )、C (32y -，)在二次函数y=()23x-1+k 的图象上，∵y=()23x-1+k 的对称轴x=1，∴当x=0与x=2关于x=1对称，∵A,B 在对称轴右侧,y 随x 的增大而增大，则y 2＞y 1，C 在对称轴左侧，且2<0 ，则y 3＞y 2，∴y 3＞y 2＞y 1，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标关于对称轴对称的特征比较y 1、y 2、y 3的大小是解题的关键．2、A【分析】根据题意直接利用三角形三边长度，得出其比值，进而分析即可求出相似三角形．【详解】解：∵AF ＝4，DF ＝4，AD ＝4 AB ＝2，BC ＝2 AC ＝2 ∴2AF DF AD AB AB AC===， ∴△AFD ∽△ABC ．故选：A ．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定以及勾股定理，由勾股定理得出三角形各边长是解题的关键．3、C【分析】利用相似三角形的性质得，对应边的比相等，求出AE 的长，EC=AC-AE ，即可计算DE 的长；【详解】∵△ABC ∽△ADE ， ∴AB AC AD AE=， ∵AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，∴AE=2，即EC=AC-AE=6-2=4；故选C.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.4、C【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次都摸到颜色相同的球结果共有2种， ∴两次都摸到颜色相同的球的概率为2142=. 故选C ．【点睛】本题考查用树状图或列表法求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．5、A【分析】根据光沿直线传播的原理可知AE ∥BD ，则BCD ∽ACE △，根据相似三角形的对应边成比例即可解答．【详解】解：∵AE ∥BD∴BCD ∽ACE △ ∴BC CD CA CE= ∵ 1.5AB m =， 1.2CD m =，3CE m ∴1.21.53BC BC =+ 解得：1BC =经检验1BC =是分式方程的解．故选：A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，解题关键是熟知：平行于三角形一边的直线和其他两边或延长线相交，所截得的三角形与原三角形相似．6、B【解析】试题解析：在△ABC 中，DE ∥BC ，.ADE ABC ∴∽1.3DE AD BC AB ∴== 12.BC =4.DE ∴=故选B.7、B【解析】根据中心对称图形的定义，在平面内，把图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图像能与原图形重合，就为中心对称图形.【详解】选项A ，不是中心对称图形.选项B,是中心对称图形.选项C,不是中心对称图形.选项D,不是中心对称图形.故选B【点睛】本题考查了中心对称图形的定义.8、B【解析】试题解析：如图所示，连接OA 、OE ，∵AB 是小圆的切线，∴OE ⊥AB ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AE =OE ，∴△AOE 是等腰直角三角形，2 2.OE ∴== 故选B.9、D【分析】根据相似三角形的判定定理，结合图中已知条件进行判断.【详解】当ACP B ∠∠=，A A ∠∠=，所以APC ∽ACB ,故条件①能判定相似，符合题意；当APC ACB ∠∠=，A A ∠∠=，所以APC ∽ACB ，故条件②能判定相似，符合题意；当2AC AP AB =⋅，即AC ：AB AP =：AC ，因为A A ∠=∠所以APC ∽ACB ，故条件③能判定相似，符合题意；当AB CP AP CB ⋅=⋅，即PC ：BC AP =：AB ，而PAC CAB ∠∠=，所以条件④不能判断APC 和ACB 相似，不符合题意；①②③能判定相似，故选D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键.10、B【分析】首先根据根的判别式判定与x 轴的交点，然后令0x =，判定与y 轴的交点，即可得解.【详解】由题意，得()()2641936360=-⨯-⨯-=-=△ ∴该函数与x 轴有一个交点当0x =时，9y =-∴该函数与y 轴有一个交点∴该函数与坐标轴有两个交点故答案为B.【点睛】此题主要考查利用根的判别式判定二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握，即可解题.二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】由S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE ＝BD×OE ，即可求解． 【详解】令y ＝0，则：x ＝±1，令x ＝0，则y ＝2， 则：OB ＝1，BD ＝2，OB ＝2，S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE ＝BD×OE ＝2×2＝1．故：答案为1．【点睛】本题考查的是抛物线性质的综合运用，确定S 阴影部分图形＝S 四边形BDFE 是本题的关键．12、36y x= 【分析】这个反比例函数的表达式为k y x=，将A 、B 两点坐标代入，列出方程即可求出k 的值，从而求出反比例函数的表达式． 【详解】解：设这个反比例函数的表达式为k y x =将点(),A a a 和()3,2B a -代入，得23k a a k a ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩化简，得260a a +=解得：126,0a a =-=（反比例函数与坐标轴无交点，故舍去）解得：36k = ∴这个反比例函数的表达式为36y x =故答案为：36y x =． 【点睛】此题考查的是求反比例函数的表达式，掌握待定系数法是解决此题的关键．13、-6＜x ＜0或x ＞2；【解析】观察一次函数和反比例函数图象，一次函数比反比例函数高的部分就是所求.【详解】解：本题初中阶段只能用数形结合，由图知-6＜x ＜0或x ＞2；点睛：利用一次函数图象和反比例函数图象性质数形结合解不等式： 形如式0m kx b x +->不等式，构造函数1y kx b =+，2y =m x，如果12y y >,找出1y 比2y ,高的部分对应的x 的值,12y y <,找出1y 比2y ,低的部分对应的x 的值.14、3【分析】先求出∠ACD=30°，进而可算出CE、AD，再算出△AEC的面积．【详解】如图，由旋转的性质可知：AC=AC'，∵D为AC'的中点，∴AD=1122AC AC='，∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴∠ACD=30°，∵AB∥CD，∴∠CAB=30°，∴∠C'AB'=∠CAB=30°，∴∠EAC=30°，∴AE=EC，∴DE=1122AE EC=，∴CE=222 33CD AB==，DE=11 3AB=，AD3∴132AECS EC AD==3【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、直角三角形中30度角的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．15、x ＞4【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，然后根据同大取大得出不等式组的解集.【详解】由①得:x ＞2;由②得 :x ＞4;∴此不等式组的解集为x ＞4;故答案为x ＞4.【点睛】考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.16、π【分析】根据图示知45BAB ∠'=︒ ，所以根据弧长公式180n r l π=求得'BB 的长． 【详解】根据图示知，45BAB ∠'=︒ ，∴'BB 的长为：454180ππ⨯=． 故答案为：π ．【点睛】本题考查了弧长的计算公式，掌握弧长的计算方法是解题的关键．17、1【分析】根据概率公式列出方程，即可求出答案．【详解】解：由题意得，10m 3610m 45+=+++ 解得m ＝1，经检验m ＝1是原分式方程的根，故答案为1．【点睛】本题主要考查了概率公式，根据概率公式列出方程是解题的关键．18、254【分析】设BE ＝x ，CF ＝y ，则EC ＝5﹣x ，构建二次函数了，利用二次函数的性质求出CF 的最大值，求出DF 的最小值即可解决问题．【详解】解：设BE＝x，CF＝y，则EC＝5﹣x，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEC＝90°，而∠AEB+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴Rt△ABE∽Rt△ECF，∴ABEC＝BECF，∴55x-＝xy，∴y＝﹣15x2+x＝﹣15（x﹣52）2+54，∵﹣15＜0，∴x＝52时，y有最大值54，∴CF的最大值为54，∴DF的最小值为5﹣54＝154，∴AF的最小值＝22AD DF+＝221554⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝254，故答案为254．【点睛】本题考查了几何动点问题与二次函数、相似三角形的综合问题，综合性较强，解题的关键是找出相似三角形，列出比例关系，转化为二次函数，从而求出AF的最小值．三、解答题(共66分)19、（1）52；（2）见详解；（3）见详解【分析】（1）在Rt △ADH 中，设AD=DF=x ，则DH=x-2，由勾股定理，求出AD 的长度，由等腰直角三角形的性质，即可求出AE 的长度；（2）根据题意，设∠ADF=2a ，则求出∠FAH=a =，然后∠ADG=∠AGD=45a ︒+，再根据三角形的外角性质，即可得到答案；（3）过点A 作AM ⊥DP 于点M ，连接EM ，EF ，根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，得到角之间的关系，从而通过等量互换，即可得到结论成立．【详解】解：（1）∵AG ⊥DF 于点H ，∴∠AHD=90°，∵AH=6，FH=2，在Rt △ADH 中，设AD=DF=x ，则DH=DF -FH=x-2，由勾股定理，得：222AD DH AH =+，∴222(2)6x x =-+，∴10x =，即AD=DF=AG=10，∵EA=ED ，∠AED=90º，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴AE=DE=210522⨯=； （2）如图：∵∠AED=90º，AG ⊥DF ，∴∠EAH=∠EDH ，设∠ADF=2a ，∵DA=DF ，则∠AFH=∠DAF=1(1802)902a a ⨯︒-=︒-， ∴∠FAH=90(90)a a ︒-︒-=，∴∠DAH=90902a a a ︒--=︒-，∵AD=AG ，∴∠ADG=∠AGD=1[180(902)]452a a ⨯︒-︒-=︒+， ∴4545P AGD FAH a a ∠=∠-∠=︒+-=︒；（3）过点A 作AM ⊥DP 于点M ，连接EM ，EF ，如图：∵AD=AG ，DG=2PG ，∴PG=GM=DM ，∵∠P=45°，∴△APM 是等腰直角三角形，∴AM=PM=DG ，∵∠ANO=∠DNM ，∠AED=∠AMD=90°，∴∠OAM=∠ODG ，∵AE=DE ，AM=DG ，∴△AEM ≌△DEG ，∴EM=EG ，∠AEM=∠DEG ，∴∠AED+∠DEM=∠DEM+∠MEG ，∴∠MEG=∠AED=90°，∴△MEG 是等腰直角三角形；∴∠EMG=45°，∵AM ⊥DP ，∴∠AME=∠EMG=45°，∴ME 是∠AMP 的角平分线，∵AM=PM ，∴ME ⊥AP ，∵∠AOH=∠DOE ，∴∠OAH=∠ODE ，∴△AEG ≌△DEF （SAS ），∴∠AEG=∠DEF ，∴∠AED+∠AEF=∠AEF+∠FEG ，∴∠FEG=∠AED=90°，∴∠FEG+∠MEG=180°，即点F 、E 、M ，三点共线，∴MF ⊥AP ，∵AM 平分∠DAG ，∴∠GAM=∠DAM ，∵∠EAN+∠DAM=45°，∴∠EAN+∠GAM=45°，∵∠PAG+∠GAM=45°，∴∠EAN=∠PAG ，∵∠PAG+∠AFH=∠DFE+∠AFH=90°，∴∠EAN=∠PAG=∠DFE ，∵△AEG ≌△DEF ，∴∠AGE=∠DFE=∠EAN ，∵∠EAN=∠EDM ，∴∠AGE=∠EDM ，∴∠AGE=∠EDG ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，以及角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的性质进行证明，注意正确做出辅助线，找出角之间的关系，边之间的关系，从而进行证明．20、（1）x 1＝﹣3，x 2＝1；（2）12x x ==【分析】（1）移项，方程左边分解因式后，利用两数相乘积为1，两因式中至少有一个为1转化为两个一元一次方程来求解；（2）方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解．【详解】解：（1）移项得：x 2+2x ﹣3＝1，分解因式得：（x +3）（x ﹣1）＝1，可得x +3＝1或x ﹣1＝1，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1；（2）方程变形得：x 2﹣3x ＝﹣32， 配方得：x 2﹣3x +94＝﹣32+94，即（x ﹣32）2＝34，解得：12x x == 【点睛】 此题考查了解一元二次方程-因式分解法及配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．21、（1）y =；（2）P （-，0）；（3）E （1），在．【分析】（1）将点A ，1）代入k y x=，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；（2）先由射影定理求出BC=3，那么B ，﹣3），计算求出S △AOB =124=S △AOP =12S △AOB 点P 的坐标为（m ，0），列出方程求解即可；（3）先解△OAB ，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E 1），即可求解．【详解】（1）∵点A ，1）在反比例函数k y x=的图象上，∴k=∴反比例函数的表达式为y x=；（2）∵A 1），AB ⊥x 轴于点C ，∴AC=1，由射影定理得2OC =AC•BC ，可得BC=3，B 3），S △AOB =12×4=∴S △AOP =12S △AOB 设点P 的坐标为（m ，0），∴12×|m|×，∴|m|=∵P 是x 轴的负半轴上的点，∴m=﹣∴点P 的坐标为（-，0）；（3）点E 在该反比例函数的图象上，理由如下：∵OA ⊥OB ，OA=2，OB=AB=4，∴sin ∠ABO=OA AB =24=12， ∴∠ABO=30°，∵将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转60°得到△BDE ，∴△BOA ≌△BDE ，∠OBD=60°，∴BO=BD=OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣BC ﹣DE=1，∴E （1），∵（﹣1）∴点E 在该反比例函数的图象上．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k 的几何意义；坐标与图形变化-旋转．22、（1）90ACB ∠=︒；（2） 1.6AD =【分析】(1) CD 是AB 边上的高，且2CD AD BD =⋅，就可以得出ADC CDB ∆~∆，可得∠A=∠BCD ，由直角三角形的性质可求解；(2证明~ACD ABC ∆∆，可得AD AC AC AB=，再把4,10AC AB ==代入可得答案． 【详解】（1）证明：在ABC ∆中，∵CD 是AB 边上的高，∴090ADC CDB ∠=∠=，∵2CD AD BD =， ∴AD CD CD BD =， ∴ADC CDB ∆~∆， ∴A BCD ∠=∠，∴090ACB ACD BCD ACD A ∠=∠+∠=∠+∠=；（2）由（1）知ABC ∆是直角三角形，在Rt ABC ∆中，∵090ACD A B A ∠+∠=∠+∠=，∴ACD B ∠=∠，又∵A A ∠=∠，∴~ACD ABC ∆∆，∴AD AC AC AB=， 又∵4,10AC AB ==，∴4410AD =， ∴ 1.6AD =【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是关键．23、两个小球的号码相同的概率为13. 【解析】【试题分析】利用树状图求等可能事件的概率，树状图见解析.【试题解析】画树状图得：∵共有6种等可能的结果，这两个小球的号码相同的有2情况， ∴这两个小球的号码相同的概率为：2163=． 24、 (1)8.5米；(2)18.0米【分析】（1）先根据题意得出DE=AB=7米，AD=BE=1.5米，在Rt △DEH 中，可求出HE 的长度，进而可计算古树BH的高度；（2）作HJ ⊥CG 于G ，设HJ=GJ=BC=x ，在Rt △EFG 中，利用特殊角的三角函数值求出x 的值，进而求出GF ，最后利用 CG=CF+FG 即可得出答案．【详解】解：（1）由题意：四边形ABED 是矩形，可得DE=AB=7米，AD=BE=1.5米，在Rt △DEH 中，∵∠EDH=45°，∴HE=DE=7米．∴BH=EH+BE=8.5米．答：古树BH 的高度为8.5米．（2）作HJ ⊥CG 于G ．则△HJG 是等腰直角三角形，四边形BCJH 是矩形，设HJ=GJ=BC=x ．在Rt △EFG 中，tan60°=73GF x EF x +==， ∴7(31)2x =， ∴3x ≈16.45∴CG=CF+FG=1.5+16.45≈17.95≈18.0米．答：教学楼CG 的高度为18.0米．【点睛】本题主要考查解直角三角形，能够数形结合，构造出直角三角形是解题的关键．25、（1）1a =，1b =-，3y x =；（2）点P 的坐标为()0,2；（3）()123,0M + 【分析】（1）利用点在直线上，将点的坐标代入直线解析式中求解即可求出a ，b ，最后用待定系数法求出反比例函数解析式；（2）设点(),p p P x y ，用三角形的面积公式得到()()111322p p AC x DB x ⋅-=⋅+求解即可得出结论； （3）设出点M 坐标，表示出MA 2=（m-1）2+9，AB 2=32，根据等腰三角形的性质建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：（1）∵直线2y x =+与反比例函数()0k y k x =>的图象交与(),3A a ，()3,B b -两点 ∴23a +=，32b -+=.∴1a =，1b =-.∴()1,3A ，()3,1B --.∵点()1,3A 在反比例函数k y x =上， ∴133k =⨯=. ∴反比例函数的函数表达式为3y x =. （2）设点(),p p P x y ，∵()1,3A ，∴()1,0C .∴3AC =.∵()3,1B --，∴()3,0D -.∴1BD =，∵ACP BDP S S ∆∆= ∴()()111322p p AC x DB x ⋅-=⋅+. 解得：0p x =，∴2p y =.∴点P 的坐标为()0,2.（3）设出点M 坐标为（m,0），∴MA 2=（m-1）2+9，AB 2=（1+3）2+（3+1）2=32，∵MAB ∆是以A ∠为顶角的等腰三角形∴AM=AB,故（m-1）2+9=32解得m=1m=1-（舍去）∴()1M +【点睛】此题主要考查反比例函数与一次函数综合，解题的关键是熟知待定系数法求解析式、三角形的面积公式及等腰三角形的性质.26、 (1)w ＝－10x 2＋700x －10000(20≤x ≤32)；(2)当销售单价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．【解析】分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；详解：（1）由题意，得：w=（x-20）•y=（x-20）•（-10x+500）=-10x2+700x-10000，即w=-10x2+700x-10000（20≤x≤32）.(2)w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250.对称轴为：x=35，又∵a＝－10＜0，抛物线开口向下，∴当20≤x≤32时，w随着x的增大而增大，∴当x＝32时，w最大＝2160.答：当销售单价定为32元/件时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元．点睛：二次函数的应用.重点在于根据题意列出函数关系式.。
重庆市沙坪坝区南开中学校2023-2024学年七年级上学期期中数学试题
重庆市沙坪坝区南开中学校2023-2024学年七年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．比0小的数是（）A ．1-B ．0C ．3.5D ．1002．下列各式符合代数式书写规范的是（）A ．9y ⨯B ．x y÷C ．193aD ．14b-3．用一个平面去截一个几何体，截面形状为圆形，则这个几何体不可能为（）A ．球体B ．圆锥C ．圆柱D ．六棱柱4．下列各代数式中，是单项式的是（）A ．m n-B ．5abC ．5xy +D ．1c5．杭州亚运会参赛运动员共12400人，其中数字12400用科学记数法表示为（）A ．41.2410⨯B ．21.2410⨯C ．212410⨯D ．50.12410⨯6．如图是一个正方体的展开图，其中相对的面上的数字和为5，则xy的值为（）A ．23B ．4C ．14D ．327．在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，如图检测结果中最接近标准质量的是（）A ．0.9+B ． 3.6+C ． 2.5+D ．0.8-8．下列平面图形绕虚线旋转一周，能形成如图所示几何体的是（）A ．B ．C ．D ．9．若m a b 与52n a b -是同类项，则（）A ．5,0m n ==B ．5,1m n ==C ．5,1m n ==-D ．2,0m n =-=10．如图，各个图形均是由边长为1的正方形按某种规律排列而成，第一个图形有8个正方形，第二个图形有13个正方形，第三个图形有18个正方形…按此规律，第7个图形中正方形的个数为（）A ．33B ．38C ．43D ．4811．如图，在数轴上，点A 表示的数是12-，点B 表示的数是2，AB 表示点A 与点B 之间的距离．若P 从点A 出发，M 从点B 出发，P 、M 同时向数轴负方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点M 的速度是每秒5个单位长度，当P 、M 两个点的距离为3个单位长度时，运动时间为（）A ．7.5秒B ．8.5秒C ．5.5秒或8.5秒D ．7.5秒或8.5秒12．某直路．．上依次有A 、B 、C 、D 四个车间，A 车间有20人，B 车间有20人，C 车间有10人，D 车间有30人，已知相邻两个车间的距离均为10m ．现需在直线道路上修建一个供水点E ，则所有人到供水点E 的总路程和最少为（）A ．700mB ．800mC ．900mD ．1200m二、填空题19．按图示的程序计算，若开始输入的数为0，最后输出的结果为20．若多项式23m n -+的值为2，则多项式231m n --的值是．21．已知多项式32395x y ax bx x ++-++的值与x 的取值无关，则a b -22．若定义一种新的运算1m n m n mn +∆=+，则下列结论：①()22Δ40-=；②③()()ΔΔm n m n -=-．上述结论正确的有（写出番号）．23．若21,9a b -=-=，且a b b a -=-，则a b +的值为．24．数轴上有A ，B ，C 三个点，其中点A ，B 表示的数分别是6-，10之间，以AC 为边向上作等边三角形，将此三角形绕着顶点向右翻滚（无滑动）点A 的对应点A '落在射线CB 上，并且5A B '=，则C 点表示的数是三、解答题29．重庆仙女山是国家5A 级景区，是中国最具影响力的森林公园之一．小南参与了学校布置的社会实践活动，在出发时测量了气温为14℃将气温数据列成了下列表格：“+”号表示比前一次增加的气温，少的气温．次数12345温度变化()℃ 3.8- 1.4+ 3.3- 2.9- 1.5+(1)请问小南第2次测量气温为多少？(2)已知该地区高度每增加100m ，气温降低0.5℃，高度为多少米？30．某市体育中心游泳馆的设计方案如图所示，其中半圆形休息区和长方形游泳区外的地方都是自由活动区域，21,32m a n b ==（单位：米）(1)自由活动区域的面积为________平方米；(2)若这个自由活动区域需要占游泳馆总面积的宽之间满足32a b =，请问：这个设计方案是否符合要求？为什么？及推理过程）31．每个多位数都可以通过反复求各位上的数字之和，最终变成一位数，如果求出的一位数是1．就称原来的多位数为“归一数”，例如，七位数37，37的各位数字之和为10，10的各位数字之和为(1)判断251_____“归一数”；1000________“(2)从2-8这八个数字之中任意选择两个数字，知这个三位数是“归一数”，现将其各个数位上的数字两两交换位置后还可得到数．①证明：这六个三位数的和一定是222的倍数；②请判断这六个三位数的和是否为定值，如果是，直接写出结果，如果不是，请说明理由．32．将两个数轴平行放置，并使二者的刻度数上下对齐，就构成一个“双轴系”．定义“双轴系”中两个点数轴上，则二者之间的距离定义和通常的距离一致，位于两个数轴上，定义1AB a b =-+．利用“双轴系”定义一种“有向数”，记号是在通常数的右边加上表示上层数轴中表示数“2”的点，“3-↓”表示下层数轴中表示数分别表示上下两个数轴的原点．(1)在双轴系中3↑与5↑的距离为：______，2(2)在（1）的假设下，现有只电子蚂蚁甲从“0↑”。
三条线段之和最小值问题
三条线段之和最小值问题三条线段之和最小值问题.重庆南开中学初2013级l1班周华吴朱泓郦0重庆南开中学初20i3级I2班王丁刘珈言.指导教师:张克近几年,中考数学试卷中出现了求三条线段之和最小值的试题.题目多变,风格清新,但万变不离其宗.下面举三例:霸(2009福建彰州改编)如图1,厶40B--450r腥厶4OB内一点.E图13(1)--角板绕点0旋转.acoFfl邑否成为等腰直角三角形?若能,指出所有情况(即给出ACO腥等腰直角三角形时B珀勺长);若不能,请说明理由.(2)---角板绕点0旋转,线段OE和0间有什么数量关系?用图l2或图13加以证明.(3)若将三角板的直角顶点放在斜边上的点P处(如图14),当:AC4时.和贿怎样的数量关系?证明你发现的结论222012/02图14CQ-..?..图1APO=IO,Q,R分别是,OB上的动点,求PQ+PR+RQ的最小值点跟角内部的一个定点.要在角的两边各确定一点使这三点连成的三角形周长最小.只需将这三边的和转化为以两定点为端点的藤(1)△c匕成为等腰直角三角形.包括:当点雕曰C中点时, CF=OF,曰÷;当点B与点腹合时,Z OF=oC.Bl0.(2)如图12,连结DB,则对于△OEB和△OFC.有OB=OC;OBE=/0CF--45..因为E0露+/--BOF=/-COF+L_BOF=90..所以/_EOB=C0F所以△D朋△OFC.所以DEl_D(图13的证明方法与此类似) (3)如图14,过点尸作肼上AB,垂足为.AM.PN_LBC.垂足为点因为厶EPM+厶EPN=厶EPN+/_FPN=90~. 所以厶EPM=FpN.叉因为EMP= FNP=90~.所以AEPM'-"AFPN.所以—PM—:丝.因为AAMP~APNC:BJPP}为等腰直角三角形,所~'XRt△PMA RtAPNC.所以:.又因为一AP pNPCAC一1所以一PE::三4PPC以上试题建立在三角板旋转的基础上.同学们在解题过程中通过实验操作,观察,猜想,论证,可发现图形(三角板)旋转过程中几何基本元素之间的数量关系.涉及的主要知识有三角形旋转后构造的重叠部分的面积,有关线段和角的数量关系(相等)或位置关系(垂直或平行),三角形全等与相似的判定和性质,直角三角形的性质和圆的有关内容.以上试题.突出体现了以下特点:第一.试题结合三角板的具体情境,考查了同学们对基本几何图形的形状,大小,位置关系及变换的认识, 对重要几何基本事实(核心概念)的理解和应用.第二,试题注重让同学们在应试过程中经历操作,观察,推理,想象等探索过程.强调在图形运动(重叠,旋转,平移)变化过程中研究几何图形的基本要素及其关系的能力.第三.试题更加突出"合情推理"与"演绎推理"相辅相成的关系.考查了同学们优化解题途径及方法的能力.囝一条直线即可.鬟分别作点P关于∞,OA的对称点尸I,P2,连结PlP2,根据轴对称性易知DP=OP2=OP=IO,PlO=2AOB=90.,因而P,=l0'2,故PQ+PR+RQ的最小值为10,/2.(2010福建宁德)如图2,四边形ABCD是正方形.&ABE是等边三角形,为对角线BD(不含B点)上任意一点,将嗍点逆时针旋转60o得到BN,连结EN,AM,CM.E.图2(1)求证:AAMB~AENB.(2)①当点臃何处时,AM+CM的值最小?②当点在何处时,A肘+8肘r+c的值最小?说明理由.(3)当AM+BM+CM的最小值为,/了+1时,求正方形的边长嘲易证△AAENB,以及△删为等边三角形.所以A肌BM+CM就可以转块氓EN+NM+CM. 而E,C两点已定,则连结EC,利用两点之间线段最短便可求解.(1)因为△A舾是等边三角形,所以=胞,ABE=f0~.因为MBN:而.致以厶MBN一/_ABN= 厶ABE～LABN.即LMBA=厶NBE. 又因为枷=.所以AAMB~AENB (SAS).(2)①当点M落在BD的中点时,AM+CM的值最小.(墓>如图3,连结佃.当点位于BD 与CE的交点处时.A删+C的值最小.理由如下:连结MN,由(1)知,△A△ENB.所以AM;叭因为MBN:而.MB=NB.纸,扶BMN足等边三角形.所以BM=MN.所以A肌BM+CM:EN+MN+CM.根据"雨点之间线段最短"得,当删+删+CM=EC时最短,所以当点位于BD与CE的交点处时,AMf+BM+CM~值最小即等于点的长.,AD(3)过点E作EF上BC交CB的延长线于点F.则LEBF--90.—60.=30..设正方形的边长为.~1BF=.,2E.在Rt△E中.因为E2EC:,所以+(孚)=(,/了十1),解得l=,/,X2一,/(舍去),所以正方形的边长为,/.黼辫(20l1四川南充)如图4.在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD= AB=CD=-2,LC=60~,幌BC的中点.(1)求证:AMDC~等边三角形.(2)将△c绕点旋转,当MD(即)与AB交于一点E,MC(即MC)同时与AD交于一点邝寸,点层.F 和点A构成AAEE试探究AAEF的周长是否存在最小值.如果不存在.请说明理由;如果存在,请计算出△A肼周长的最小值.BQMPC图4鳓(1)过点D作DPJ-Bc于点P,过点A作AQ_I_BCff-AQ,得到CP=BQ=÷B,CP+BQ=AB--AD.由矩形AD尸Q,AD=PQ,推I~BC=2AD.由拓展延伸点是BC的中点,推出BM=CM=AD= AB=CD.根据等边三角形的判定即可得到答案.(2)连结AM,由ABMD是菱形可得出AMAB.AMAD和AMCD是等边三角形.进而有胀ME证出△BMEAAMF'(ASA)后可得出占F,ME=MF,从而△璇等边三角形.根据的最小值为点J】If到AD的距离,/了,即的最小值是,/了.即可求出△AE肭周长.翻(1)过点D作DP~BC于点尸,过点A作口上C于点Q,因为lLC=LB=60.,所以CP=BQ=÷AB, CP+BQ--AB--AD.又因为ADPQ是矩形,AD=PQ,~k.BC=2AD.由已知,点妯C的中点.所以删=CM=AD=AB= CD.即在△MDC中,C=CD,C= 60..所以△c是等边三角形.(2)AAEF的周长存在最小值,理由如下:连结AM,由(1)易知平行四边形ABMD是菱形,△MAB, AMAD和AMCD是等边三角形.所以有BMA=BME+/AME=60.. EMF:厶AMF+厶AME=60o.所以BME=AMF.在△BME与△AMF 中,,EBM=FAM=60.,BME=AMF.致以BMEi△AMF(ASA).所.以BEF.ME= MF.A+AF=AE+砸丑因为厶EMF=LDMC=60o.故△EMF是等边三角形.E肼F因为MF的最小值为点到AD的距离.即的最小值是,/了.所以△A的周长=AE+AF+EF=ABEF.纸以△AEF的周长的最小值为2+.此类题的最大特点是找"替身"以实现"等量转化",主要途径是利用轴对称的性质和两点之间线段最短来求解.全等,等边三角形的性质等知识都是解决此类问题的得力助手.圜韧巾教学辅导23。
重庆南开中学2024-2025学年上学期八年级数学期中模拟试卷
重庆南开中学2024-2025学年上学期八年级数学期中模拟试卷一、单选题1．下列各数中，是无理数的是（）A ．1-B ．0.1C ．227D 2．在平面直角坐标系中，点(2,3)P -位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列计算正确的是（）A6=±B =C=D 3=4．华华和伟伟下棋，华华执圆形棋子，伟伟执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用−1,1表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，则左上角的圆形棋子可用（）表示．A ．()1,2-B ．()1,3-C ．()2,2-D ．−2,35．若函数()15my m x =+-是一次函数，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1±D ．06．估计）A ．7和8之间B ．8和9之间C ．9和10之间D ．10和11之间7．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红”茶，作为中国传统文化的重要组成部分，承载着深厚的历史与文化底蕴．在品茶的过程中，茶具的选择对茶汤的口感、香气、色泽以及品饮的体验有显著影响．某茶具厂共有120个工人，每个工人一天能做200个茶杯或50个茶壶，如果8个茶杯和1个茶壶为一套，问如何安排生产可使每天生产的产品配套？设生产茶杯的工人有x 人，生产茶壶的工人有y 人，则下列方程组正确的是（）A ．12020050x y x y +=⎧⎨=⎩B ．120820050x y x y +=⎧⎨⨯=⎩C ．120200850x y x y +=⎧⎨=⨯⎩D ．120850200x y x y+=⎧⎨⨯=⎩8．一次函数y kx b =+与正比例函数y kbx =在同一坐标系中的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．9．如图，在ABC V 中，,A AB AC α∠==，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 边上，且,BE CF BD CE ==．则EDF ∠的度数是（）A ．454α︒+B ．4αC ．454α︒-D ．902α︒-10．在平面直角坐标系中，将若干个整点按图中方向排列，即()()()()()0001112223→→→→，，，，，()()3344→→，，，……，按此规律排列下去第24个点的坐标是（）A ．()1313，B ．()1414，C ．()1515，D ．()1415，11．如图，直线483y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，在y 轴的负半轴上有一点D ，若将DAB ∆沿直线AD 折叠得到DAC ∆，点C 在x 轴上，则点D 的坐标为（）A ．()0,12-B ．()0,10-C ．()0,8-D ．()0,6-12．有如下的一列等式：23200110221033210,,,,T a T a x a T a x a x a T a x a x a x a ==-=-+=-+-⋯，其中n 为正整数，n T 的各项系数均不为0且不相等．交换任意两项的系数得到的新多项式称为“友好多项式”那么以下说法正确的有（）①多项式3T 有6个不同的“友好多项式”；②求多项式3T 所有不同的“友好多项式”之和，其中3x 的系数为：3212a a a -+；③若(21)nn T x =-，那么当2025n =时，20252025202320211132a a a a ++++⋯+=．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题13．x 的取值范围是14．在平面直角坐标系中，点(2,23)Q a a -+在x 轴上，则a 的值为．15．在平面直角坐标系中，若将一次函数21y x m =+-的图象向上平移3个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则m 的值为．16．如图，一次函数(0)y kx b k =+≠与2y x =-+的图象交于点(,3)P m ，则关于,x y 的二元一次方程组2y kx by x =+⎧⎨=-+⎩的解为．17．若关于x ，y 的二元一次方程组2121x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩的解互为相反数，则k 的值为．18．已知1,1a b ==-，则223a b ab ++=．19．如图，若实数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，则化简a b c +-=．20．如图，已知AB AC ==60BAC ∠=︒，8CD =，BD =AD =．21．如图，在等腰直角三角形ABC 中，过点A 作AD BC ∥使得AD AC =，连接CD 交AB 于点E ，在AD 上取一点F 使得AF AB =，连接BF 交CD 于点G ，连接AG ，则①45AGE ∠=︒；②CD AC BC =+；③EAG AEG =∠∠；④ABG AEGF S S = 四边形．其中正确的是．22．如果一个自然数100M A B =＋，其中A 与B 都是两位数，若A 各数位上的数字之和等于B 各数位上的数字之和，且A 与B 差的绝对值为9，则称数M 为“赓续前行数”．把“赓续前行数”M 拆分出两个两位数A 与B 的过程，称为“赓续拆分”．把一个四位“赓续前行数”M 进行“赓续拆分”，即100M A B =＋（M 的各数位上的数字均不为0，且A 的十位数字大于个位数字），A 与B 的和记为()F M ，A 与B 的差记为()G M ．令()()()F M K MG M ＝，当()K M 为正整数时，则M 的最小值是．三、解答题23．计算：(1)()11π323-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭；(2))(2112-．24．解方程组：(1)325236x y x y -=⎧⎨-=⎩；(2)2234(1)3(1)2x y x y y ⎧+=⎪⎨⎪--=--⎩．25．先化简，再求值：21(2)(2)(2)2a b a b a b b ⎛⎫⎡⎤+-+-÷- ⎪⎣⎦⎝⎭20b +=．26．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，连接,AC BD．(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作BAC ∠的平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ；（保留作图痕迹，不写作法和结论）(2)在（1）所作图形中，若,2AB AC BC AD ==，求证：F 是BD 的中点．（补全证明过程）证明：,AB AC AE =Q 平分BAC ∠，∴①2BC BE ∴=2BC AD= ∴②AD BC ，∴③在ADF △和EBF △中，ADB DBEAFD BFE AD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ADF EBF ∴ ≌，∴④F ∴是BD 的中点．27．某市教育行政部门为了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了某中学八年级学生一个学期参加综合实践活动的时间，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)扇形统计图中a 的值是______，该校八年级学生共有______人；(2)在本次抽样调查中，参加综合实践活动的时间为5天的学生有______人，并补全条形统计图；(3)如果该市八年级的学生共有2万人，根据以上数据，试估计这2万人中参加综合实践活动时间不少于4天的学生有多少人．28．某面馆向食客推出经典特色小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面），已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．(1)求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？(2)该面馆在4月共卖出“堂食”小面2500份，“生食”小面1500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低1元，统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增长20%3a ，这两种小面的总销售额在：4月的基础上增加%a ，求a 的值．29．如图1，在Rt ABC △中，90,60,A B D ∠=︒∠=︒为AC 上一点，且4CD AB ==．动点P 以每秒2个单位长度的速度从点A 出发，沿着A B C →→匀速运动到点C 时停止运动，设点P 运动的时间为x 秒，CDP △的面积为y ．(1)直接写出y 关于x 的函数关系式，并注明x 的取值范围；(2)如图2，在平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质______；(3)结合函数图象，当CDP △的面积为4时，直接出x 的值．30．如图，直线:24l y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，且与直线m 相交于点(1,2)M ，已知直线m 经过点(1,0)C -，且与y 轴交于点D ．(1)求点A 、B 的坐标以及直线m 的解析式；(2)若P 为直线m 上一动点，2APM BDM S S = ，求点P 的坐标；(3)点Q 是直线AB 上方第一象限内的动点，当ABQ 为等腰直角三角形时，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．31．如图，在ABC V 中，点D 是AB 上一点，点E 是BC 上一点，连接DE 、AE ，且AED ABC ∠=∠，点F 是AE 上一点，且EF DE =，连接CF ．(1)如图1，若2,6CE BD BC ===，求CF 的长度：(2)如图2，若CE AD =．点G 为CF 上一点，连接EG ，且CEG EAB ∠=∠，求证：2AE GE =；(3)如图3，若,,455CE AD EF ABC ==∠=︒，当CF 取得最小值时，请直接写出ABE 的面积．。
重庆市沙坪坝区南开中学校2023-2024学年七年级上学期期末数学模拟试题
重庆市沙坪坝区南开中学校2023-2024学年七年级上学期期末数学模拟试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．．C．．3．下列各对数中，数值相等的是A．72-与()2-23-与()23-C．332-⨯与-．()23--与(-4．下列说法不正确的是A．0既不是正数，也不是负数．绝对值最小的数是C．绝对值等于自身的数只有．平方等于自身的数只有5．已知x y=，则下列变形正确的是（A．x ya a=a x-6．下列说法正确的是（A．两点确定一条直线点到这条直线的距离C．所有内错角都相等垂直7．如图，A则B地在灯塔A．与正方形A的边长有关B．与正方形C．与正方形C的边长有关D．与二、填空题11．第52次《中国互联网络发展状况统计报告》：截止1079000000人，其中1079000000可用科学记数法表示为12．单项式235x y-的系数是，次数是13．40°43′30″=度．三、计算题四、问答题五、计算题六、作图题请根据以上信息，解答下列问题：(1)此次抽样的样本容量为__________，=a __________；(2)扇形统计图中，第5段对应的圆心角度数为________︒；(3)已知该年级有1000名学生参加测试，请估计该年级数学成绩为优秀（80分及以上）的人数．七、应用题24．某商场分别购进了甲乙两种型号扫地机器人40台与20台，已知甲种型号扫地机器人每台的进价比乙种型号扫地机器人每台的进价便宜10%，甲种型号扫地机器人每台售价1100元，乙种型号扫地机器人每台售价1500元．（1）“双十一”期间商场促销，乙种型号扫地机器人按售价八折出售，甲种型号扫地机器人按原价销售．某公司一共花了10300元买了甲乙两种型号扫地机器人共9台．问某公司甲、乙两种型号扫地机器人各买了多少台？（2）在（1）的条件下甲乙两种型号扫地机器人销售一空，甲种型号扫地机器人利润是乙种型号扫地机器人利润的2倍．问甲乙两种型号扫地机器人每台进价各是多少元？八、问答题(1)若4BE =，34AD BD =，求线段CE 的长；(2)若点C 、D 、E 在线段AB 上运动，始终保持3CD AC =，DE。
重庆市南开中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试模拟试卷及答案
重庆市南开中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试模拟（满分150分，考试时间120分钟）一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列代数式中属于分式的是（）A．B．C．D．2．（4分）使分式有意义的x的取值范围为（）A．x＞﹣3B．x≠3C．x≠﹣3D．x＜33．（4分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2D．x2+2x+1＝x（x+2）+14．（4分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE与BC相交于点F，若AB∥DE，则∠EFB的大小是（）A．75°B．90°C．105°D．120°5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：3，且△ABC的面积为4，则△DEF 的面积为（）A．8B．10C．16D．366．（4分）估计（﹣2）的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间7．（4分）下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3B．C．D．10．（4分）在多项式a+b+c+d+e中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有k（2≤k≤5）项，并把绝对值符号内最右边项的“+”改为“﹣”，称此为“绝对操作”．最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为M．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得|a+b|+c+d+e，此时k＝2．再将“+b”改为“﹣b”，可得|a﹣b|+c+d+e．于是同一种“绝对操作”得到的M有2种可能的情况：M＝a﹣b+c+d+e或M＝﹣a+b+c+d+e．下列说法正确的个数为①若k＝5，M＝0，则e＝a+b+c+d；②共有2种“绝对操作”，可能得到M＝a+b﹣c+d+e；③共有3种“绝对操作”，使得可能得到的M中有且只有2个“﹣”（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：+（2021﹣π）0﹣（）﹣1＝．12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为．13．（4分）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是．14．（4分）如图，直线OA解析式为y＝x，AB⊥x轴于点B，反比例函数过AB中点C，若△AOB的面积为2，则k的值为．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝10，点D为边AC的中点，点E在边AB上，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，连接AF，CF，若CF＝6，则△FDE的面积是．17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于y的分式方程3﹣有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是．18．（4分）对于四位数M＝，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则＝；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d （0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最大值为．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，珈珈的思路是：过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．证明：用直尺和圆规过点A作BE的垂线AG交BE于点G，交BC于点F，连接EF（只保留作图痕迹）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴①，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴②，∴AB＝AE，∵AF⊥BE，∠AGB＝∠FGB＝90°，又∵BG＝BG，∴△ABG≌△FBG（ASA），∴③，∵AB＝AE，AF⊥BE，∴AF垂直平分BE，∴④，∴BF＝BA＝EF＝AE，∴四边形ABFE是菱形．20．（10分）计算：（1）（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（﹣b﹣a）+3a•2b；（2）．21．（10分）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生暑假期间的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100分．现从两个班分别随机抽取了20名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：A.0≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100），下面给出了部分信息：甲班20名学生的成绩为：甲班82859673919987918691879489969691100939499乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：93，91，92，94，92，92，92甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表：班级甲班乙班平均数9192中位数91b众数c92方差41.227.3根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a，b，c的值：a＝；b＝；c＝；（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若甲、乙两班总人数为120，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？22．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着BA运动到A点停止，作DE⊥AB交直线AC于E，设AD+CE＝y，点D的运动时间为t．（1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围；（2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；（3）结合图象直接写出y＝5时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）23．（10分）2022年夏天，重庆多地高温，露营广受市民喜爱．某电商购进一批A型帐篷和B型帐篷，已知一顶A 型帐篷的进价比一顶B型帐篷的进价多80元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同．（1）每顶A型帐篷和B型帐篷的进价分别是多少元？（2）7月份该电商以300元每顶售出A型帐篷120顶，以200元每顶售出B型帐篷150顶．8月份电商决定调整价格，每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在7月的基础上下降了m元，由于气温持续攀升，8月份A型帐篷的销量比7月份增加了0.2m顶，B型帐篷的销量比7月份增加了m顶，商家在8月份获利10840元，求m的值．24．（10分）夜晚，小明站在两路灯AB、CD之间的点F处，小明身高EF＝1.5m，如图，若BD＝10m，他在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN．（1）若FB＝4m，FN＝3m，求路灯CD的高度？（2）若AB和CD的高度都恰好等于（1）中CD的高度，小明在两路灯AB、CD之间行走（不包括点B，点D），则线段NM的长是否为定值？若是，请求出NM的长；若不是，请说明理由．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣6，0），点B的坐标是（4，0）．等腰Rt△BOC的顶点C在y轴正半轴．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，点D为线段BC上一动点，E为直线AC上一点，连接DE且满足DE平行于y轴，连接BE，求△BDE面积取得最大值，并求出此时E的坐标；（3）在第（2）问△BDE面积取得最大值条件下，如图3，将△AOC绕点O顺时针旋转得到△A1OC1，点C1恰好落在直线DE上，将△A1OC1沿着直线AC平移得到△A2O2C2，平移过程中是否存在某一时刻，使得△A2O2C 是以O2C为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点O2的坐标；若不存在，说明理由．26．（10分）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，点E在边BC上，且AE⊥CD交CD 于点F．（1）如图1，当∠ACB＝60°时，若CD＝，求AF的长；（2）如图2，当∠ACB＝45°时，连接BF，求证：CD+DF＝AF+BF；（3）如图3，当∠ACB＝75°时，直接写出的值．重庆市南开中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试模拟一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列代数式中属于分式的是（）A．B．C．D．2．（4分）使分式有意义的x的取值范围为（）A．x＞﹣3B．x≠3C．x≠﹣3D．x＜33．（4分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2D．x2+2x+1＝x（x+2）+14．（4分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE与BC相交于点F，若AB∥DE，则∠EFB的大小是（）A．75°B．90°C．105°D．120°5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：3，且△ABC的面积为4，则△DEF 的面积为（）A．8B．10C．16D．366．（4分）估计（﹣2）的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间7．（4分）下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形8．（4分）我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3B．C．D．10．（4分）在多项式a+b+c+d+e中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有k（2≤k≤5）项，并把绝对值符号内最右边项的“+”改为“﹣”，称此为“绝对操作”．最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为M．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得|a+b|+c+d+e，此时k＝2．再将“+b”改为“﹣b”，可得|a﹣b|+c+d+e．于是同一种“绝对操作”得到的M有2种可能的情况：M＝a﹣b+c+d+e或M＝﹣a+b+c+d+e．下列说法正确的个数为①若k＝5，M＝0，则e＝a+b+c+d；②共有2种“绝对操作”，可能得到M＝a+b﹣c+d+e；③共有3种“绝对操作”，使得可能得到的M中有且只有2个“﹣”（）A．0B．1C．2D．3二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：+（2021﹣π）0﹣（）﹣1＝．12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为．13．（4分）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是．14．（4分）如图，直线OA解析式为y＝x，AB⊥x轴于点B，反比例函数过AB中点C，若△AOB的面积为2，则k的值为．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是．16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝10，点D为边AC的中点，点E在边AB上，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，连接AF，CF，若CF＝6，则△FDE的面积是．17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于y的分式方程3﹣有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是．18．（4分）对于四位数M＝，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则＝；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d （0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最大值为．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，珈珈的思路是：过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．证明：用直尺和圆规过点A作BE的垂线AG交BE于点G，交BC于点F，连接EF（只保留作图痕迹）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴①，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴②，∴AB＝AE，∵AF⊥BE，∠AGB＝∠FGB＝90°，又∵BG＝BG，∴△ABG≌△FBG（ASA），∴③，∵AB＝AE，AF⊥BE，∴AF垂直平分BE，∴④，∴BF＝BA＝EF＝AE，∴四边形ABFE是菱形．20．（10分）计算：（1）（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（﹣b﹣a）+3a•2b；（2）．21．（10分）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生暑假期间的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100分．现从两个班分别随机抽取了20名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：A.0≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100），下面给出了部分信息：甲班20名学生的成绩为：甲班82859673919987918691879489969691100939499乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：93，91，92，94，92，92，92甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表：班级甲班乙班平均数9192中位数91b众数c92方差41.227.3根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a，b，c的值：a＝；b＝；c＝；（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若甲、乙两班总人数为120，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？22．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着BA运动到A点停止，作DE⊥AB交直线AC于E，设AD+CE＝y，点D的运动时间为t．（1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围；（2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；（3）结合图象直接写出y＝5时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）23．（10分）2022年夏天，重庆多地高温，露营广受市民喜爱．某电商购进一批A型帐篷和B型帐篷，已知一顶A 型帐篷的进价比一顶B型帐篷的进价多80元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同．（1）每顶A型帐篷和B型帐篷的进价分别是多少元？（2）7月份该电商以300元每顶售出A型帐篷120顶，以200元每顶售出B型帐篷150顶．8月份电商决定调整价格，每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在7月的基础上下降了m元，由于气温持续攀升，8月份A型帐篷的销量比7月份增加了0.2m顶，B型帐篷的销量比7月份增加了m顶，商家在8月份获利10840元，求m的值．24．（10分）夜晚，小明站在两路灯AB、CD之间的点F处，小明身高EF＝1.5m，如图，若BD＝10m，他在路灯AB下的影子为FM，在路灯FN．（1）若FB＝4m，FN＝3m，求路灯CD的高度？（2）若AB和CD的高度都恰好等于（1）中CD的高度，小明在两路灯AB、CD之间行走（不包括点B，点D），则线段NM的长是否为定值？若是，请求出NM的长；若不是，请说明理由．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣6，0），点B的坐标是（4，0）．等腰Rt△BOC的顶点C在y轴正半轴．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，点D为线段BC上一动点，E为直线AC上一点，连接DE且满足DE平行于y轴，连接BE，求△BDE面积取得最大值，并求出此时E的坐标；（3）在第（2）问△BDE面积取得最大值条件下，如图3，将△AOC绕点O顺时针旋转得到△A1OC1，点C1恰好落在直线DE上，将△A1OC1沿着直线AC平移得到△A2O2C2，平移过程中是否存在某一时刻，使得△A2O2C 是以O2C为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点O2的坐标；若不存在，说明理由．26．（10分）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，点E在边BC上，且AE⊥CD交CD 于点F．（1）如图1，当∠ACB＝60°时，若CD＝，求AF的长；（2）如图2，当∠ACB＝45°时，连接BF，求证：CD+DF＝AF+BF；（3）如图3，当∠ACB＝75°时，直接写出的值．重庆市南开中学2023-2024学年九年级上学期数学开学考试模拟参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列代数式中属于分式的是（）A．B．C．D．【答案】C2．（4分）使分式有意义的x的取值范围为（）A．x＞﹣3B．x≠3C．x≠﹣3D．x＜3【答案】B3．（4分）下列从左到右的变形属于因式分解的是（）A．a（x+y）＝ax+ay B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2D．x2+2x+1＝x（x+2）+1【答案】B4．（4分）如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起，其中∠BAC＝∠EAD＝90°，∠B＝60°，∠E＝45°，AE与BC相交于点F，若AB∥DE，则∠EFB的大小是（）A．75°B．90°C．105°D．120°【答案】C5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，已知OA：OD＝1：3，且△ABC的面积为4，则△DEF 的面积为（）A．8B．10C．16D．36【答案】D6．（4分）估计（﹣2）的值应在（）A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间【答案】B7．（4分）下列说法正确的是（）A．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形【答案】C8．（4“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（）A．B．C．D．【答案】A9．（4分）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，AD＝，DG＝，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．3B．C．D．【答案】B10．（4分）在多项式a+b+c+d+e中添加1个绝对值符号，使得绝对值符号内含有k（2≤k≤5）项，并把绝对值符号内最右边项的“+”改为“﹣”，称此为“绝对操作”．最后将绝对值符号打开并化简，得到的结果记为M．例如：将原多项式添加绝对值符号后，可得|a+b|+c+d+e，此时k＝2．再将“+b”改为“﹣b”，可得|a﹣b|+c+d+e．于是同一种“绝对操作”得到的M有2种可能的情况：M＝a﹣b+c+d+e或M＝﹣a+b+c+d+e．下列说法正确的个数为①若k＝5，M＝0，则e＝a+b+c+d；②共有2种“绝对操作”，可能得到M＝a+b﹣c+d+e；③共有3种“绝对操作”，使得可能得到的M中有且只有2个“﹣”（）A．0B．1C．2D．3【答案】C二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）计算：+（2021﹣π）0﹣（）﹣1＝﹣4．【答案】﹣4．12．（4分）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形的边数为7．【答案】见试题解答内容13．（4分）有四张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字，0，2．把这四张卡片背面朝上，随机抽取1张将上面的数字记作a，则a≤0的概率是．【答案】．14．（4分）如图，直线OA解析式为y＝x，AB⊥x轴于点B，反比例函数过AB中点C，若△AOB的面积为2，则k的值为2．【答案】2．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是8﹣2π．【答案】见试题解答内容16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝5，AC＝10，点D为边AC的中点，点E在边AB上，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，连接AF，CF，若CF＝6，则△FDE的面积是．【答案】．17．（4分）若关于x的不等式组的解集为x＞1，且关于y的分式方程3﹣有非负整数解，则所有满足条件的整数m的值的和是﹣13．【答案】﹣13．18．（4分）对于四位数M＝，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把M叫做“双倍差数”，将“双倍差数”M的个位数字去掉得到的数记为s，将千位数字去掉得到的数记为t，并规定F（M）＝s﹣t﹣10（b﹣d），则＝82；若一个四位数M＝1201+1000a+100b+30c+d （0≤a≤8，0≤b≤7，0≤c≤3，0≤d≤8，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且F（M）除以13余1，则满足条件的M的最大值为6939．【答案】82；6939．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）由平行四边形如何构造菱形？如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，珈珈的思路是：过点A作BE的垂线AG，垂足为G，交线段BC于点F，然后利用四边相等的四边形是菱形即可完成构造，请根据以上思路完成作图和填空．证明：用直尺和圆规过点A作BE的垂线AG交BE于点G，交BC于点F，连接EF（只保留作图痕迹）．∵四边形ABCD是平行四边形，∴①AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴②∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∵AF⊥BE，∠AGB＝∠FGB＝90°，又∵BG＝BG，∴△ABG≌△FBG（ASA），∴③AB＝BF，∵AB＝AE，AF⊥BE，∴AF垂直平分BE，∴④BF＝EF，∴BF＝BA＝EF＝AE，∴四边形ABFE是菱形．【答案】AD∥BC，∠ABE＝∠AEB，AB＝BF，BF＝EF．20．（10分）计算：（1）（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（﹣b﹣a）+3a•2b；（2）．【答案】（1）2a2+2ab+3b2；（2）．21．（10分）入学考试前，某语文老师为了了解所任教的甲、乙两班学生暑假期间的语文基础知识背诵情况，对两个班的学生进行了语文基础知识背诵检测，满分100分．现从两个班分别随机抽取了20名学生的检测成绩进行整理，描述和分析（成绩得分用x表示，共分为五组：A.0≤x＜80，B.80≤x＜85，C.85≤x＜90，D.90≤x＜95，E.95≤x≤100），下面给出了部分信息：甲班20名学生的成绩为：甲班82859673919987918691879489969691100939499乙班20名学生的成绩在D组中的数据是：93，91，92，94，92，92，92甲、乙两班抽取的学生成绩数据统计表：班级甲班乙班平均数9192中位数91b众数c92方差41.227.3根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述图表中a，，c的值：a＝40；b＝92.5；c＝91；（2）根据以上数据，你认为甲、乙两个班中哪个班的学生基础知识背诵情况较好？请说明理由（一条理由即可）；（3）若甲、乙两班总人数为120，且都参加了此次基础知识检测，估计此次检测成绩优秀（x≥95）的学生人数是多少？【答案】见试题解答内容22．（10分）如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着BA运动到A点停止，作DE⊥AB交直线AC于E，设AD+CE＝y，点D的运动时间为t．（1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围；（2）在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；（3）结合图象直接写出y＝5时t的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】（1）y＝；（2）画出函数图象见解答过程；当t＝3时，y取最小值3（答案不唯一）；（3）t≈2.3或t≈5.0．23．（10分）2022年夏天，重庆多地高温，露营广受市民喜爱．某电商购进一批A型帐篷和B型帐篷，已知一顶A 型帐篷的进价比一顶B型帐篷的进价多80元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同．（1）每顶A型帐篷和B（2）7月份该电商以300元每顶售出A型帐篷120顶，以200元每顶售出B型帐篷150顶．8月份电商决定调整价格，每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在7月的基础上下降了m元，由于气温持续攀升，8月份A型帐篷的销量比7月份增加了0.2m顶，B型帐篷的销量比7月份增加了m顶，商家在8月份获利10840元，求m的值．【答案】（1）每顶A型帐篷进价240元，B型帐篷的进价160元；（2）20．24．（10分）夜晚，小明站在两路灯AB、CD之间的点F处，小明身高EF＝1.5m，如图，若BD＝10m，他在路灯AB下的影子为FM，在路灯CD下的影子为FN．（1）若FB＝4m，FN＝3m，求路灯CD的高度？（2）若AB和CD的高度都恰好等于（1）中CD的高度，小明在两路灯AB、CD之间行走（不包括点B，点D），则线段NM的长是否为定值？若是，请求出NM的长；若不是，请说明理由．【答案】（1）4.5m；（2）线段NM的长是定值，NM的长5m．25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣6，0），点B的坐标是（4，0）．等腰Rt△BOC的顶点C在y轴正半轴．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，点D为线段BC上一动点，E为直线AC上一点，连接DE且满足DE平行于y轴，连接BE，求△BDE面积取得最大值，并求出此时E的坐标；（3）在第（2）问△BDE面积取得最大值条件下，如图3，将△AOC绕点O顺时针旋转得到△A1OC1，点C1恰好落在直线DE上，将△A1OC1沿着直线AC平移得到△A2O2C2，平移过程中是否存在某一时刻，使得△A2O2C 是以O2C为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点O2的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝；（2）面积最大值为；E（2，）；（3）存在，点O2的坐标为（6，4）或（）或（）．26．（10分）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，点D是边AB的中点，连接CD，点E在边BC上，且AE⊥CD交CD 于点F．（1）如图1，当∠ACB＝60°时，若CD＝，求AF的长；（2）如图2，当∠ACB＝45°时，连接BF，求证：CD+DF＝AF+BF；（3）如图3，当∠ACB＝75°时，直接写出的值．【答案】（1）．（3）．。
重庆市南开中学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题
重庆市南开中学校 2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题一、单选题1．下列各数中，最小的数是（ ）A ．72-B ．1-C ．5D ．132．下列窗花图案中是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列运算正确的是（ ）A ．235a a a +=B ．3412a a a ⋅=C ．32a a a ÷=D ．()2236a a = 4．如图，ABC V 与DFE △位似，点O 为位似中心，已知:2:3AO OD =，则ABC V 与DFE △的面积比为（ ）A ．2:3B ．2:5C ．4:9D ．4:255．把抛物线21y x =+向右平移2个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为（ ） A ．23y x =+ B ．()221y x =++ C ．21y x =- D ．()221y x =-+6．估计( ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间7．随着环保意识的增强和技术的进步，纯电动汽车逐渐成为消费者的新宠．某品牌汽车7月份销量为19400辆，经过两个月广告推销，该品牌汽车9月份销量增至24900辆，设每个月销量的平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．()194001224900x +=B ．()219400124900x += C ．()224900119400x -= D ．()21940012490019400x +=- 8．用相同的小圆点按如图所示的规律拼图案，图①中有5个小圆点，图②中有9个小圆点，图③中有13个小圆点，图④中有17个小圆点，．．．，按此规律排列下去，则第8个图形中小圆点的个数为（ ）A ．33B ．35C ．37D ．409．如图，在矩形ABCD 中，3,4,AB BC DE ==平分ADB ∠交AB 于点E ，点F 是DE 的中点，连接CF ，则CF 的长为（ ）A ．B ．CD 10．已知关于x 的多项式：2222,22M x x N x nx =++=--．①若4M =，则代数式2561x x x +-的值为1011； ②当3n =时，若0M N ⋅=，则12x =或2x =-； ③若当式子M mx +中x 取值为2a 与21a --时，对应的值相等，则m 的最大值为3． 以上结论正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题11．计算：212sin 302-︒⎛⎫-+= ⎪⎝⎭． 12．若一个多边形的内角和与外角和之差为360︒，那么此多边形的边数为．13．有两组相同的纸牌，每组三张牌面数字分别为1，2，3，所有牌除牌面数字外完全相同，现在从两组牌中各随机抽出一张，则两张牌的牌面数字之和大于3的概率为．14．二次函数261y x x =++的顶点坐标为．15．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 为等腰直角三角形，90ABC ︒∠=，顶点A ，B 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，点D 是斜边AC 的中点．若反比例函数()0k y x x=>的图象经过D ，C 两点，已知2OB =，则k 的值为．16．若关于x 的一元一次不等式组32341324x m x x -<⎧⎪⎨+≥-⎪⎩恰有五个整数解，且关于y 的分式方程28333y m y y--=--有非负整数解，则符合条件的所有整数m 的和为． 17．如图，在菱形ABCD 中，点E 为AD 边上一点，连接BE ，将线段EB 绕点E 逆时针旋转120︒得到EF ，EF 交CD 于点H ，连接BF ，交CD 于点G ，已知120,3,1A AB AE ︒∠===，则BE =，FG BG=．18．一个四位数A M N =⨯，其中M N 、均为两位数，M N 、的十位数字相同且2M N -=，则A 的最小值是；将M 放在N 的左边形成一个新的四位数B ，我们称B 为A 的“合构数”，若B 的百位数字与它的个位数字相乘所得的积能被它的百位数字加4的和整除，且A能被17整除，则满足条件的B 的最小值是．三、解答题19．计算：(1)()()22x x y x y +--； (2)22591244a a a a -⎛⎫+÷ ⎪--+⎝⎭． 20．为了解医保创新工作人员的业务掌握情况，某单位举办了医保创新知识竞赛．现从甲、乙两个部门的工作人员中各随机抽取20名员工的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有员工的成绩均高于60分（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．6070x <≤；B ．7080x <≤；C ．8090x <≤；D ．90100x <≤），下面给出了部分信息：甲部门20名员工的竞赛成绩为：61，63，68，78，81，82，83，85，85，85，85，88，89，91，91，92，93，94，95．乙部门20名员工的竞赛成绩在C 组的成绩是：82，82，84，84，84．甲、乙两部门所抽员工的竞赛成绩统计表乙部门所抽员工的竞赛成绩统计图根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中a =______，b =______，m =______；(2)根据以上数据分析，你认为该单位甲、乙两个部门中哪个部门员工的医保创新知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）．(3)甲部门有400名员工、乙部门有500名员工参加了此次医保创新知识竞赛，估计该单位甲、乙两部门参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的总人数是多少？21．在学习了菱形的相关知识后，小明同学进行了关于菱形的判定方法的深入研究，他发现对于一个任意平行四边形，满足对角线平分其中一个内角，则该平行四边形是菱形．可利用三角形的全等和菱形的判定得到此结论，请根据这个思路完成作图和填空．(1)尺规作图：在四边形ABCD 中，作BCD ∠的角平分线，交AD 于点E ，在BC 上取一点F 、使得CF DE =，连接EF （不要求写作法，保留作图痕迹）：(2)在（1）所作的图中，其中AD BC ∥，求证：四边形CDEF 是菱形．（请补全下面的证明过程）证明：DE CF Q ∥，_____①_____，∴四边形CDEF 是平行四边形，CE Q 平分DCF ∠，∴_____②_____，DE CF Q ∥，DEC FCE ∴∠=∠，∴_____③_____，DE DC ∴=，∴平行四边形CDEF 是菱形．请根据题目表述及证明过程，写出你的结论：_____④_____是菱形．22．如图1，在平行四边形ABCD 中，60C ∠=︒，过点B 作BE CD ⊥于点,4E AB AD ==．点P 从点A A B E →→运动，到达点E 时停止．设点P 的运动时间为x 秒，APE V 的面积为y ．(1)请直接写出y 与x 的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围；(2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出y 的函数图象，并写出函数y 的一条性质：_____(3)若直线1y x b =-+与该函数图象恰有一个交点，则常数b 的取值范围是_____． 23．在充满奇幻色彩的神话世界里，黑悟空为了提升自己的修行环境，决定购买A 、B 两种神秘泡酒物，其中每个A 种泡酒物花费25单位灵蕴值，每个B 种泡酒物花费15单位灵蕴值，黑悟空花费了2700单位灵蕴值购买了A B 、两种泡酒物共120个．(1)求购买的A B 、两种泡酒物的数量分别是多少个？(2)由于黑悟空升级需求扩大，决定再次购买C D 、两种新品种泡酒物，已知每个C 品种泡酒物花费的灵蕴值为a 个单位，每个D 品种泡酒物花费的灵蕴值为()6a -个单位，购买C 品种的数量比A 品种的数量增加了1%2a ，购买D 品种的数量与B 品种的数量一致，计算发现购买C D 、两种泡酒物花费的总灵蕴值比购买A B 、两种泡酒物花费的总灵蕴值减少了15a 个单位，求a 的值．24．今年校庆期间，小南和小开相约从宿舍大门A 出发去参观学校的津之南美术馆M ．如图，小南选择路线1：A B C M →→→，小开选择路线2:A D E M →→→．经勘测，A ，D ，E 三点共线，且点D ，点E 在点A 的北偏东45︒方向上，点B 在点D 的正西方向，且在点A 的北偏西30︒方向；点C 在点B 的正北方向，且在点E 的正东方向，所有点A ，B ，C ，M ，D ，E 都在同一平面内．测量得知，点M 恰好为CE 中点，80BC =米，300BD =米．(1)求A ，E 两地之间的距离（结果保留根号）；(2)已知小南的速度为每分钟50米，小开的速度为每分钟60米，小南和小开同时从宿舍大门A 出发沿着各自选择的路线匀速前往津之南美术馆M ，请通过计算时间说明他们俩谁先到达M （时间精确到0.1 2.45≈）25．如图1，直线443y x =-+分别与y 轴，x 轴交于A ，B 两点，与二次函数218y ax bx =++在第二象限交于点C ．已知A 为BC 中点，抛物线对称轴为直线1x =，点D 为点A 关于x 轴的对称点，连接BD ．(1)求抛物线的解析式：(2)如图2，点P 是抛物线上的一动点且位于第一象限，连接AP 和BP E ，为y 轴上的一个动点，连接CE 和PE ，当34ABP ABD S S =V V 时，求点P 的坐标及PE CE -的最大值； (3)如图3，点N 直线AB 上一动点，连接DN ，若290AND ABO ︒∠+∠=，请直接写出所有符合条件的N 点坐标．26．在Rt ABC V 中，90,ACB AC BC ︒∠==，点D 为直线AC 上一点，连接BD ．(1)如图1，若点D 在边AC 上，且满足1tan ,4ABD AC ∠==BD 的长； (2)如图2，若点D 为CA 延长线上一点，点E 为BD 中点，在射线AC 上取点M 满足2AM AE =，连接AE ，过点A 作AF AE ⊥，连接,FD FM ，若245FDA EAB ︒∠+∠=，猜想线段,,AB AF FM 之间的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，点D 为AC 的中点，4AC =，点N 为直线AB 上任意一点，连接DN ，将AND △沿ND 翻折得A ND 'V ，连接,A B A C ''，当A B '最小时，将A CB '△沿A C '翻折得A CQ '△，连接,AA AQ '，请直接写出AA Q 'V 的面积．。
2024-2025学年重庆市南开中学九年级上学期9月月考数学试题及答案
重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b23．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：35．（4分）下列命题中，不一定是真命题的是（）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间8．（4分）①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．729．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于．15．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是．三．解答题（共8小题，满分78分）19．（8分）计算：（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线于点M（只保留作图痕迹）；（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm，∠EHG＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．重庆市南开中学2024-2025学年九年级上学期数学9月第一次考试模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列社交软件的标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选：B．2．（4分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．a+2a2＝3a3C．（﹣3ab）2•2ab2＝﹣18a3b4D．6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2【解答】解：a2•a3＝a5，故A错误，不符合题意；a与2a2不能合并，故B错误，不符合题意；（﹣3ab）2•2ab2＝18a3b4，故C错误，不符合题意；6ab3÷（﹣2ab）＝﹣3b2，故D正确，符合题意；故选：D．3．（4分）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，下列比值中等于sin A的是（）A．B．C．D．【解答】解：在Rt△ABC中，sin A＝，在Rt△ACD中，sin A＝，∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，在Rt△BCD中，sin∠BCD＝sin A＝．故选：B．4．（4分）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC和△A′B′C′的周长之比为（）A．1：2B．1：4C．4：9D．1：3【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，∴OA：OA′＝1：3，∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴AC∥A′C′，∴△AOC∽△A′OC′，∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，∴△ABC和△A′B′C′的周长之比为1：3，故选：D．5．（4）A．平行四边形的两条对角线长度相等B．菱形的两条对角线互相垂直C．矩形的两条对角线长度相等且互相平分D．正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分【解答】解：A、平行四边形的两条对角线长度不一定相等，故本选项命题不一定是真命题，符合题意；B、菱形的两条对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；C、矩形的两条对角线长度相等且互相平分，是真命题，不符合题意；D、正方形的两条对角线长度相等，并且互相垂直平分，是真命题，不符合题意；故选：A．6．（4分）某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架．设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是（）A．B．C．D．【解答】解：设甲种型号无人机x架，乙种型号无人机y架，根据题意可列出的方程组是：．故选：D．7．（4分）估算的值（）A．在3和4之间B．在4和5之间C．在2和3之间D．在5和6之间【解答】解：∵25＜31＜36，∴5＜＜6，∴3＜﹣2＜4．故选：A．8．（4分）下列图形都是由正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有8个正方形，第②个图形中一共有15个正方形，第③个图形中一共有22个正方形，…，按此规律排列，则第⑨个图形中正方形的个数为（）A．50B．60C．64D．72【解答】解：观察图形发现第一个图形有8个正方形，第二个图形有8+7＝15个正方形，第三个图形有8+7×2＝22个正方形，…第n个图形有8+7（n﹣1）＝7n+1个正方形，当n＝9时，7n+1＝7×9+1＝64个正方形．故选：C．9．（4分）已知四边形ABCD和DEFG都是正方形，点F在线段AB上，连接AE、BD，BD交FG于点H．若∠AEF＝α，则∠BHF＝（）A．2αB．45°+αC．22.5°+αD．90°﹣α【解答】解：过点E作EM⊥AB于点M，作EN⊥AD，交DA的延长线于N，设EF与AD交于T，如图所示：则∠N＝∠EMB＝∠EMA＝90∵四边形ABCD和DEFG都是正方形，∴∠BEF＝∠BAD＝∠EFG＝∠ADC＝∠EDG＝90°，DE＝EF，∴∠N＝∠EMA＝∠MAN＝90°，∴四边形AMEN为矩形，∴∠1+∠DTE＝90°，∠2+∠FTA＝90°，∵∠DTE＝∠FTA，∴∠1＝∠2，在△DME和△FNE中，，∴△DME≌△FNE（AAS），∴EM＝EN，∴AE平分∠DAN，∴∠EAD＝45°，∴∠EAF＝∠BAD+∠EAD＝90°+45°＝135°，∴∠2＝180°﹣∠EAF﹣AEF＝180°﹣135°﹣α＝45°﹣α，∴∠1＝∠2＝45°﹣α，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝45°，∴∠EDH＝∠1+∠ADB＝45°﹣α+45°＝90°﹣α，∴∠HDG＝∠EDG﹣∠EDH＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠BHF＝∠DHG＝90°﹣∠HDG＝90°﹣α．故选：D．10．（4分）在多项式a+b﹣c﹣d﹣e中，除首尾项a、﹣e外，其余各项都可去掉，去掉项的前面部分和其后面部分都加上绝对值，并用减号连接，则称此为“消减操作”．每种“消减操作”可以去掉的项数分别为一项，两项，三项．“消减操作”只针对多项式a+b﹣c﹣d﹣e进行．例如：+b“消减操作”为|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，﹣c与﹣d同时“消减操作”为|a+b|﹣|﹣e|，…，下列说法：①存在对两种不同的“消减操作”后的式子作差，结果不含与e相关的项；②若每种操作只去掉一项，则对三种不同“消减操作”的结果进行去绝对值，共有8种不同的结果；③若可以去掉的三项+b，﹣c，﹣d满足：（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝42，则2b+c﹣d的最大值为14．其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①﹣d“闪减操作”后的式子|a+b﹣c|﹣|﹣e|，﹣c﹣d“闪减操作”后的式子|a+b|﹣|﹣e|对这两个式子作差，得（|a+b﹣c|﹣|﹣e|）﹣（|a+b|﹣|﹣e）＝|a+b﹣c|﹣|﹣e|﹣|a+b|+|﹣e|＝|a+b﹣c|﹣|a+b|，结果不含与e相关的项，∴①正确；②若每种操作只闪退一项，则分三种情况：+b闪减操作”后的结果|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a+c+d+e，当a≥0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝a﹣c﹣d﹣e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≥0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a+c+d+e，当a≤0，﹣c﹣d﹣e≤0时，|a|﹣|﹣c﹣d﹣e|＝﹣a﹣c﹣d﹣e，﹣c“闪减操作”后的结果|a+b|﹣|﹣d﹣e|，当a+b≥0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b+d+e，当a+b≥0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝a+b﹣d﹣e，当a+b≤0，﹣d﹣e≥0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|＝﹣a﹣b+d+e，当a+b≤0，﹣d﹣e≤0时，|a+b|﹣|﹣d﹣e|﹣a﹣b﹣d﹣e，﹣d“闪减操作”后的结果|a+b﹣c|﹣|﹣e|，当a+b﹣d≥0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c+e，当a+b﹣d≥0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝a+b﹣c﹣e，当a+b﹣d≤0，﹣e≥0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c+e，当a+b﹣d≤0，﹣e≤0时，|a+b﹣c|﹣|﹣e|＝﹣a﹣b+c﹣e，共有12种不同的结果，∴②错误；③∵|+b|+|+b+2|＝|b﹣0|+|b﹣（﹣2）|，在数轴上表示点b与0和﹣2的距离之和，∴当距离取最小值0﹣（﹣2）＝2时，b的最小值为﹣2，同理|﹣c+1|+|﹣c+4|＝|1﹣c|+|4﹣c|，在数轴上表示点c与1和4的距离之和，∴当距离取最小值4﹣1＝3时，c的最小值为1，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|＝|1﹣d|+|﹣6﹣d|，在数轴上表示点d与1和﹣6的距离之和，∴当距离取最小值1﹣（﹣6）＝7时，d的最小值为﹣6，∴当|+b|+|+b+2|，|﹣c+1|+|﹣c+4|，|﹣d+1|+|﹣d﹣6|都取最小值时，（|+b|+|+b+2|）（|﹣c+1|+|﹣c+4|）（|﹣d+1|+|﹣d﹣6|）＝2×3×7＝42，∴③正确，故选：C．二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）11．（4分）已知，△ABC中，∠A是锐角，sin A＝，则∠A的度数是30° ．【解答】解：∵∠A是锐角，sin A＝，∴∠A＝30°，故答案为：30°．12．（4分）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是6．【解答】解：∵多边形的内角和公式为（n﹣2）•180°，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，∴这个多边形的边数是6．故答案为：6．13．（4分）如图，分别过矩形ABCD的顶点A、D作直线l1、l2，使l1∥l2，l2与边BC交于点P，若∠1＝38°，则∠BPD的度数为142° ．【解答】解：∵l1∥l2，∠1＝38°，∴∠ADP＝∠1＝38°，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴∠BPD+∠ADP＝180°，∴∠BPD＝180°﹣38°＝142°．故答案为：142°．14．（4分）已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于5．【解答】解：根据题意得a2﹣a＝1，b2﹣b＝1，所以3a2+2b2﹣3a﹣2b＝3a2﹣3a+2b2﹣2b＝3（a2﹣a）+2（b2﹣b）＝3+2＝5．故填515．（4分）如图，点B在x的正半轴上，且BA⊥OB于点B，将线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，且点B′的坐标为（1，）．若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过A点，则k＝8．【解答】解：如图，过点B′作B′D⊥x轴于点D，∵BA⊥OB于点B，∴∠ABD＝90°．∵线段BA绕点B逆时针旋转60°到BB′的位置，∴∠ABB′＝60°，∴∠B′BD＝90°﹣60°＝30°．∵点B′的坐标为（1，），∴OD＝1，B′D＝，∴BB′＝2B′D＝2，BD＝＝3，∴OB＝1+3＝4，AB＝BB′＝2，∴A（4，2），∴k＝4×2＝8．故答案为：8．16．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且只有2个整数解，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为8．【解答】解：，解得：，∴，解得2＜a≤5.5，解分式方程得y＝2a﹣5，∵y的值解为正数，∵2a﹣5＞0，且2a﹣5≠3，∵a＞2.5且a≠4，∴满足条件的整数a的值有3和5，∴3+5＝8．故答案为：8．17．（4分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE翻折，点D恰好落在边BC的点F处，如果BC ＝10，，那么EC＝3．【解答】解：∵四边形ABCD∴AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，由折叠的性质可得AF＝AD＝10，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，，∴，∴CF＝BC﹣BF＝4，在Rt△ABF，由勾股定理得，∴，∵∠BAF+∠BF A＝90°＝∠BF A+∠CFE，∴∠BAF＝∠CFE，∴在Rt△EFC中，，∴，故答案为：3．18．（4分）一个四位自然数，若满足千位数字与十位数字的差比百位数字与个位数字的差多1，则称这样的四位数为“多一数”，如：9675，9﹣7＝6﹣5+1，9765是“多一数”；又如：6973，∵6﹣7≠9﹣3+1，∴6973不是“多一数”．现有一个“多一数”M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d（1≤c≤a≤9，0≤d≤b≤9），将M的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换，得到新的四位数N，若，F（M）能被6整除，则a﹣c＝5；规定，若G（M）为完全平方数，则满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差是2222．【解答】解：根据题意可知0≤a﹣c≤8，a﹣c＝b﹣d+1．M＝1000a+100b+10c+d，N＝1000c+100d+10a+b．＝，＝，＝10（a﹣c）+b﹣d＝10（a﹣c）+a﹣c﹣1，＝11（a﹣c）﹣1，∵F（M）能被6整除，∴a﹣c＝5．∵c≥1，∴a≥6．当a＝6时，c＝1．∵a﹣c＝b﹣d+1，∴d＝b﹣4．∴，∵G（M）为完全平方数，∴b＝3．∴d＝﹣1（舍去）．同理，当a＝7时，c＝2，M＝7420；当a＝8时，c＝3，M＝8531；当a＝9时，c＝4，M＝9642；∴满足条件的“多一数”M中，最大值与最小值的差＝9642﹣7420＝2222．故答案为：5；2222．三．解答题（共8小题，满分78分）（1）因式分解：9（x+y）2﹣25（x﹣y）2；（2）计算：．【解答】解：（1）9（x+y）2﹣25（x﹣y）2＝（3x+3y+5x﹣5y）（3x+3y﹣5x+5y）＝﹣4（4x﹣y）（x﹣4y）；（2）＝1﹣•＝1﹣＝＝﹣．20．（10分）解方程：（1）x2﹣2x﹣2＝0；（2）．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2移项得x2﹣2x＝2，配方得x2﹣2x+1＝2+1，即（x+1）2＝3，开方得，解得；；（2），去分母，得m﹣4+m+2＝0，解得m＝1，经检验，m＝1是原方程的根．21．（10分）在第18章学习了三角形的中位线定理后，小明对这一知识进行了拓展性研究．他发现，连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：（1）用直尺和圆规，作线段CD的垂直平分线，垂足为点F，连接EF，连接AF并延长AF交线段BC的延长线（2）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，E为AB中点，F为CD中点，连接EF．猜想：EF∥AD∥BC，且．证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．请你根据该探究过程完成下面命题：连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．【解答】（1）解：如图所示．.（2）证明：∵F是CD中点，∴DF＝CF．∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CMF．在△ADF和△MCF中，，∴△ADF≌△MCF（AAS）．∴AF＝FM，AD＝CM．∵在△ABM中，E是AB中点，F是AM中点，∴EF∥BM且．∵BM＝BC+CM，∴BM＝BC+AD．∴．∵EF∥BM，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC．连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且等于两底边之和的一半．故答案为：DF＝CF；∠AFD＝∠MFC；；等于两底边之和的一半．22．（10分）重庆市自发布“重庆市长江10年禁鱼通告”后，忠县内的黄钦水库自然生态养殖鱼在市场上热销，并被誉为“清凉五月天，黄钦自有贤”的美誉.2024年五一假期依依同学旅游到此，并购买了若干桂花鱼和大罗非，她发现用840元买的桂花鱼的数量比用同样价钱买大罗非的数量多20斤，且大罗非的单价是桂花鱼的1.5倍．（1）求桂花鱼、大罗非两种鱼的单价分别为多少元；（2）两种鱼在得到一致好评后，依依决定再次购买这两种鱼作为“伴手礼”．由于商家对老顾客让利，其中桂花鱼按照原单价购买，大罗非的单价每斤降低m（m＞0）元，则购买的数量会比第一次购买大罗非的数量增加2m斤，第二次一共购买80斤鱼共用了1340元．求m的值．【解答】解：（1）设桂花鱼的单价是x元，则大罗非的单价是1.5x元，根据题意得：﹣＝20，解得：x＝14，经检验，x＝14是所列方程的解，且符合题意，∴1.5x＝1.5×14＝21（元）．答：桂花鱼的单价是14元，大罗非的单价是21元；（2）第一次购买大罗非的数量是840÷21＝40（斤）．根据题意得：14（80﹣40﹣2m）+（21﹣m）（40+2m）＝1340，整理得：m2+13m﹣30＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣15（不符合题意，舍去）．答：m的值为2．23．（10分）如图矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点F为BC边上的三等分点（CF＜BF），动点P从点A出发，沿折线A→D→C运动，到C点停止运动．点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，△APF 的面积为y1．（1）请直接写出y1关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；（2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并写出函数y1的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）．【解答】解：（1）当0≤x≤3时，y1＝＝4x，当3＜x≤5时，y1＝﹣×6×（2x﹣6）﹣＝﹣4x+24，∴y1＝；（2）函数y1，y2的图象如图：函数y1的性质：当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，当3＜x≤5时，y随x的增大而减小；（3）由两个函数图像可知，当y1≤y2时x的取值范围为0＜x≤2.1或x＝5．24．（10分）已知图1是某超市购物车，图2是超市购物车的侧面示意图，现已测得支架AC＝72cm，BC＝54cm，两轮轮轴的距离AB＝90cm（购物车车轮半径忽略不计），DG、EH均与地面平行．（参考数据：）（1）猜想两支架AC与BC的位置关系并说明理由；（2）若FG的长度为80cm＝60°，求购物车把手F到AB的距离．（结果精确到0.1）【解答】解：（1）AC⊥BC，理由如下：∵AC＝72cm，BC＝54cm，AB＝90cm，∴AC2+BC2＝722+542＝8100，AB2＝8100，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC．（2）过F作FN⊥AB交AB延长线于N，过C作CM⊥AB于M，延长DG交FN于K，∵EH∥DG∥AB，∴GK⊥FN，∴四边形MNKC是矩形，∴NK＝CM，∵△ABC的面积＝AB•CM＝AC•BC，∴90CM＝72×54，∴CM＝43.2（cm），∴NK＝CM＝43.2（cm），∵EH∥DG，∴∠FGK＝∠EHG＝60°，∴sin∠FGK＝sin60°＝＝，∵FG＝80cm，∴FK＝40≈69.28（cm），∴FN＝FK+NK＝69.28+43.2≈112.5（cm）．∴购物车把手F到AB的距离约是112.5cm．25．（10分）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．（1）求k的值并直接写出点B的坐标；（2）点M、N是y轴上的动点（M在N上方）且满足MN＝1，连接MB，NC，求MB+MN+NC的最小值；（3）点P是双曲线上一个动点，是否存在点P，使得∠ODP＝∠DOB，若存在，请直接写出所有符合条件的P 点的横坐标．【解答】解：（1）根据题意可知点A（m，﹣3）在直线和双曲线的图象上，∴，解得m＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，﹣3），代入双曲线得：k＝（﹣2）×（﹣3）＝6，由图象可知点B与点A关于原点对称，∴B（2，3）；（2）过点B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为E、F，作点B关于y轴的对称点点B'，并向下平移一个单位记为B''，连接B''C，则BE∥CF，B'B''＝1，∴△DCF∽△DBE，∴，∵BC＝2CD，B（2，3），B'（﹣2，3），B''（﹣2，2），∴，BE＝3，∴CF＝1，即点C的纵坐标为1，∵点C在反比例函数的图象上，∴C（6，1），B''C＝，∴MB+MN+NC的最小值即为B'B''+B''C＝1+；（3）当∠ODP＝∠DOB时，当DP在x轴下方时，DP∥AB，设直线BC的解析式为y＝kx+b，由（2）可知：B（2，3），C（6，1），∴解得，∴，当y＝0时，，解得x＝8，∴D（8，0），∵DP∥AB，直线AB的解析式为，∴设直线DE的解析式为，把D（8，0）代入得：12+m＝∴m＝﹣12，∴，由P是直线DE与反比例函数的交点可得：，解得，此时点P在第三象限，符合题意，当DP在x轴上方时，则与下方的DP关于x轴对称，可得直线DP的解析式为：，再解方程组得，此时点P在第一象限，两个都符合题意，∴点P的横坐标为：．．26．（10分）在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，过A作AD⊥BC于点D．（1）如图1，过D作DE⊥AB于点E，连接CE，若AE＝2，求线段CE的长；（2）如图2，H为平面内一点，连接AH、CH，在△AGH中，AG＝AH，∠GAH＝120°，延长AG与CB交于点F，过点H作HP∥AF交BC于点P，若C、H、G在一条直线上，求证：BF＝CP；（3）如图3，M为AD上一点，连接BM，N为BM上一点，若，，∠BAN﹣∠CBN＝30°，连接CN，请直接写出线段CN的长．【解答】解：（1）∵∠B＝30°，AD⊥BC，∴∠BAD＝60°，∴AD＝2AE＝4，∴AB＝2AD＝8，BD＝AD＝4，∴BE＝AB﹣AE＝6，∴EF＝BE＝3，BF＝BE＝3，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴CF＝2BD﹣BF＝8﹣3＝5，∴CE＝＝2，（2）证明：∵∠ABC＝30°，AB＝AC，∴∠BAC＝120°，又∵∠GAH＝120°，∴∠F AB＝∠CAH，∵AH＝AG，∴∠AHG＝30°＝∠ABC，∴∠ABF＝∠AHC，∴△ABF∽△AHC，∴＝，∵PH∥FG，∴△CHP∽△CGF，∴＝，又∵△ABC∽△AGH，∴＝，∴＝，∴＝，∵＝，∴＝＝+1＝+1＝，∴CP＝FB；（3）延长BM交AC于F，延长AN到E，使NE＝BN，连接BE，如图3：∵∠BAN﹣∠CBN＝30°，∴∠BAN＝∠CBN+30°，∴∠BNE＝∠BAN+∠ABN＝∠CBN+∠ABN+30°＝60°，∵NE＝BN，∴△BEN是等边三角形，∴∠E＝60°，∵∠ANB＝180°﹣∠BNE＝120°＝∠BAC，∴△ABN∽△FBA，∴＝＝，∠BAE＝∠AFB，∴△ANF∽△BEA，∴＝＝，∴FN＝＝＝，∴BF＝FN+BN＝，∴AB2＝BN•BF＝5+，过F作FG⊥BC于F，过N作NH⊥BC于H，∵∠ACB＝30°，∴FG＝FC＝（AB﹣AF）＝AB，CG＝AB，∴BG＝BC﹣CG＝AB﹣AB＝AB，∵NH∥CF，∴＝＝＝，∴NH＝AB，BH＝AB，∴CH＝BC﹣BH＝AB，∴CN2＝CH2+NH2＝9，∴CN＝3．。
南开区数学初中教研组(3篇)
第1篇一、引言南开区数学初中教研组是南开区教育局直属的一个专业团队，主要负责南开区初中数学教育教学的研究、指导、培训和评估工作。
自成立以来，南开区数学初中教研组始终坚持“以学生发展为本，以教师专业成长为核心”的理念，积极开展教育教学研究，努力提高教育教学质量，为南开区初中数学教育事业的发展做出了积极贡献。
二、教研组基本情况1. 组建背景南开区数学初中教研组成立于2000年，由南开区教育局组织成立，旨在加强南开区初中数学教育教学研究，提高数学教学质量，推动南开区初中数学教育事业的全面发展。
2. 组建目的（1）提高南开区初中数学教育教学质量，促进学生全面发展；（2）加强教师队伍建设，提升教师专业素养；（3）推广先进的教育教学理念和方法，促进教育教学改革；（4）为南开区初中数学教育事业的发展提供有力支持。
3. 组建原则（1）以学生发展为本，关注学生个体差异；（2）以教师专业成长为核心，关注教师综合素质提升；（3）注重理论与实践相结合，提高教育教学研究水平；（4）加强区域合作，共享教育资源。
三、教研组主要工作1. 教育教学研究（1）开展数学教育教学专题研究，探索适合南开区初中数学教育教学的新方法、新途径；（2）组织教师参加各类学术交流活动，了解国内外数学教育发展趋势；（3）开展数学教育教学课题研究，推动教育教学改革。
2. 教师培训（1）组织教师参加国家级、省级、市级各类培训，提升教师教育教学水平；（2）开展教师教学技能比赛，激发教师教学热情，提高教学质量；（3）组织教师参加教育教学经验交流会，促进教师相互学习、共同进步。
3. 教学资源建设（1）收集、整理国内外优秀数学教育教学资源，为教师提供丰富、实用的教学素材；（2）开发校本课程，满足不同学生的需求；（3）搭建网络平台，实现教育教学资源共享。
4. 教学评估与指导（1）定期对南开区初中数学教学质量进行评估，发现问题，及时整改；（2）对学校、教师的教学工作进行指导，提高教育教学质量；（3）开展教学质量监测，确保教育教学质量稳步提升。