华东师大版九年级数学下26章二次函数知识点总结及经典例题
华东师大版九年级下册数学26.1二次函数.
随堂练习
在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
怎么(1）y=3（(x是-1）)²+1
判 (3) s=3-2t ²
断
（是）
1 (2) y x
（不是）x
1 (4) y x2 x
? (5)y=(x+3)²-x² （不是）
（不是）
(6) v=10πr²
（是）
灿若寒星
随堂练习
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园 橙子的总产量最多？
X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Y/个
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
灿若寒星
想一想
行家看“门道”
在种树问题中,种多少棵橙子树,可以使果 园橙子的总产量最多？
则k的值一定是__0_或__3_
如果函数y=(k-3) xk2 +3kkx2+1是二次函
数,则k的值一定是______ 0
灿若寒星
小结 拓展 回 味 Biblioteka 穷定义中应该注意的几个问题:
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a, b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数
. y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) 的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx ----灿若(寒星a≠0,b≠0,c=0).
二次函数素描述的关系
初中数学九年级下册第二十六章二次函数知识点总结及(K12教育文档)
初中数学九年级下册第二十六章二次函数知识点总结及(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学九年级下册第二十六章二次函数知识点总结及(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》知识点总结及精品试题第一部分 基础知识1。
定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1)抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴。
（2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系。
①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3）顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a 。
3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合)y 轴的抛物线。
4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5。
二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=;④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2。
6。
抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =。
华东师范大学出版社九年级下册数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
y ax2. 2=+的性质：y ax c Array3. ()2=-的性质：y a x h4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，。
初中数学华东师大九年级下册(2023年新编)第26章 二次函数二次函数知识总结
二次函数知识总结1.定义：形如c bx ax ++=2y （a,b,c 是常数，a ≠0）的函数叫做二次函数。
2.结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。
（2）a,b,c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
3.二次函数的几种基本形式：①2ax y = ②k ax y +=2③2)(h x a y -= ④k h x a y +-=2)( ⑤c bx ax ++=2y4.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
（1）顶点为其最低点抛物线开口向上⇔⇔>0a函数图像先下降（在对称轴左侧呈下降趋势，y 随x 的增大而减小）再上升（在对称轴右侧呈上升趋势，y 随x 的增大而增大）（2）顶点为其最高点抛物线开口向下⇔⇔<0a函数图像先上升（在对称轴左侧呈上升趋势，y 随x 的增大而增大）再下降（在对称轴右侧呈下降趋势，y 随x 的增大而减小）（3）对称轴是顶点所在的平行于y 轴的直线或y 轴（即0x=）。
（4）a 越大，开口越小 5. cb a ,,的作用（1）a 决定开口方向和开口大小。
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置。
（3）c 决定抛物线c bx ax ++=2y 与y 轴的交点）（c ,06.求抛物线顶点、对称轴的方法：a b ac a b x a c ab a a b x ac a b a b x a c a b a b a b x x a c x ab x a cbx ax 4424)2(4)2()4422()(y 222222222222222-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+⋅-+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=→+-+⋅⋅+=++=++=）（配方凑完全平方式 顶点：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，，对称轴a b x 2-= 7.几种特殊的二次函数的图像特征如下：（1）一般式：c bx ax ++=2y （a,b,c 是常数，a ≠0）已知图像上三点或三对),y x （的值，通常选用一般式。
华师大版9下数学第26章 二次函数小结与复习
（二）二次函数图象及画法
y
顶点坐标（ b ，4ac b2 ）
2a
4a
( b , c) a
c 与X轴的交点坐标
(x1,0) (x2,0)
O
x1
x2
x 与Y轴的交点坐标及它 关于对称轴的对称点
（ b ，4ac b2 ）
2a
4a
(0, c) ( b , c) a
（三）、平移，配方
1、y ax2 向 |m 左| 个( 向单 右位 )平 移 y a(x - h)2
求下列条件下的二次函数的解析式:
1.已知一个二次函数的图象经过点 （0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）
2.已知二次函数的图象的顶点坐标为 （－2，－3），且图象过点（－3，－2） 3.已知二次函数的图象的对称轴是直线x=3, 并且经过点(6,0),和(2,12)
1、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围
2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈。
已知篮圈中心到地面的距离为3.05m. y
问题1 建立如图所示的直角坐标系
，求抛物线的解析式；
问题2 这位同学身高1.7 m,
若在这次跳投中，球在头顶 上方0.25 m处出手，问：球 出手时，他跳离地面的高度
3.5m
3.05 m
是多少？
o
2.5m
x
4a
一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特点 和函数性质
(1)是一条抛物线；
(2)对称轴是:x=- 2a
(3)顶点坐标是:(- 2a (4)开口方向:
,
4ac-b2 4a
)
a>0时,开口向上；
a<0时,开口向下.
华东师大版九年级下册数学26.2二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第5课时二次函数最
26.2 二次函数的图像与性质
[归纳总结]此类问题往往利用三角形相似中对应边成比 例，用自变量表示另一个量，再由图形的面积建立二次 函数关系式，运用二次函数的性质解决问题．
26.2 二次函数的图像与性质
探究问题二 二次函数最值在实际中的应用 例2[例题拓展]某杂技团用68米长的幕布围成一个矩形临
26.2 二次函数的图像与性质
(2)如果自变量的取值范围受限制，即 x1≤x≤x2，那么首先
b
要 有当看－x＝2a_－是__2b否a__在_时自，变y量最值的＝取__4值_a_c4范_－a_围_b_2内__，；若若在－此2ba范不围在内自，变量则 的取值范围内，则需考虑函数在 x1≤x≤x2 范围内的增减性， 如果 y 随 x 的增大而增大，则当 x＝__x_2___时，y 取最大值， 当 x＝__x_1___时，y 取最小值．而这种最大值、最小值的计
所以面积的最大值为 306 平方米．
26.2 二次函数的图像与性质
[归纳总结](1)列出函数关系式后，一般要考虑自变量的取值 范围； (2)先确定二次函数的图象顶点的横坐标是不是在自变量的取 值范围内，再确定如何应用二次函数的性质来确定最值．
算只需把自变量的取值代入关系式中就可以求得．
26.2 二次函数的图像与性质
重难互动探究42，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，BC＝4，AC＝8，点D在斜边AB上，分别 作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，得四边 形DECF，设DE＝x，DF＝y.
(1)用含y的代数式表示AE； (2)求y与x之间的函数关系式，并求出x的取
值范围；
(3)设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的 函数关系式，并求出S的最大值．
图26－2－42
华东师大版九年级数学下册26.2-二次函数的图象与性质26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质课件
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
1 2 2 y x , y 2 x 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． 2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x
y
· · · －4 －3 －2 －1 4.5 2
0
1 0.5
2 2 0.5 1
3 4.5 1.5
4 8 2
· · · · · ·
y -4 -2 0 -3 -6 -9 2 4
0 0
1 -1
2 -4
3 -9… …ຫໍສະໝຸດ x议一议根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次 函数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流. y 1.y＝x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点． o x y=x2
yx
2
y ax
2
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＞0） 当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
问题2：观察图形，y随x的变化如何变化？
y x
(-1,-1)
2
y ax
(1,-1)
2
(-2,-4)
(2,-4)
知识要点
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0） 当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二
次函数y=－x2的图象上吗？ 当x=－2时，y=x2=4，
所以C点在二次函数y=x2的图象上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以B点在二次函数y=－x2的图象上；
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流. y 1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; o x
华东师大版九年级数学下26章二次函数知识点总结及经典例题
二次函数知识点总结一、二次函数概念:1二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c（ a, b , c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b，c可以为零•二次函数的定义域是全体实数•--22. 二次函数y ax bx c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
22. y ax c的性质:上加下减。
23. y a x h的性质:左加右减。
六、四、二次函数从解析式上看,b a x2a二次函数 4ac b 24a，其中 ax 2bx c 的性质ax 22axbx c 的比较 bx c 是两种不同的表达形式,4ac b 24a 后者通过配方可以得到前者,a 0向下 h , 0 X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 •24. y ax hk 的性质:a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k •a 0向下 h , k X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k •三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下:2y a x h k ，确定其顶点坐标 h, k ；y=ax 2 A y=ax 2+k向右(h>0)【或左(*0)] 平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上概括成八个字“左加右减, h 值正右移，负左移;上加下减” •k 值正上移，负下移”向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k 个单位向上(k>0)【或下(k<0)] 平移|k 个单位y=a(x h)2y=a(x h)2+k向右(h>0)【或左(h<0)]平移|k|个单位七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c （ a , b , c 为常数，a 0）； 2•顶点式：y a （x h ）2 k （ a , h , k 为常数，a 0）;3. 两根式（交点式）：y a （x x i ）（x 血）（a 0, x , X 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a当a 0时，抛物线开口向上， 当a 0时，抛物线开口向下，九、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 二次方程ax bx c 0是二次函数y x 轴的交点个数： 兀 图象与 2ax x 轴交点情况）： bx c 当函数值 y 0时的特殊情况. 2b 4ac 0时，图象与x 轴交于两点A X i , 0 , B x 2 , 0 (X i X 2），其中的X i , X 2是一元二次方2ax bx 0的两根.. 1' 2' 0时, 0时, 当a 当a x 轴只有一个交点; x 轴没有交点. 图象与 图象与 0时，图象落在x 轴的上方，无论 0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有 x 为任何实数，都有2•当a2时,2a 2时，2a2ba 时， y 随x 的增大而减小; y 随x 的增大而增大;y 有最小值 24ac b4a0时，抛物线开口向下, 对称轴为暑，顶点坐标为b 4ac b 2 2a' 4a•当x —时，y 随2ax的增大而增大；当x时，y 随x 的增大而减小；当 x2—时，y 有最大值4^-b -2a4a八、 1. ⑴ ⑵a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下, 3. 常数项c⑴当c ⑵当c ⑶当c总结起来， b 决定了抛物线的对称轴.（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 抛物线与0时，0时， 0时， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； y轴交点的纵坐标为0 ； y 轴交点的纵坐标为负.22. 抛物线y ax bx c的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 , c)；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数y x2 4x 7的顶点坐标是()A.(2, —11)B. (- 2, 7)C. (2, 11)D. (2, - 3)2. 把抛物线y 2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是( )2 2 2 2A. y 2(x 1)B. y 2(x 1)C. y 2x 1D. y 2x 12 k3. 函数y kx k和y (k 0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数y ax2bx c(a 0)的图象如图所示当x 1和x 3时，函数值相等；③4a b 0④当y确的个数是()A.1个B.2 个C. 35.已知二次函数ax2 bx c(a由图象可知关于兀二次方程axA. — 1 .6.已知二次函数A.第一象限C.第三象限7.方程2x x2A.0个8.已知抛物线过点,则下列结论：①a,b同号；②2时,x的值只能取0.其中正个个D. 4B.-2.3C.-0.3D.-3.32ax bx c的图象如图所示，则点(ac,bc)在(B.第二象限D.第四象限-的正根的个数为( )xB. 1C.2A(2,0),B(-1,0), 与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为2A.y2x2x 2B.y2x2x 2C.y x2 x 2 或y 2 小x x 2 D.y2 2x x 2 或y x x 2二、填空题9•二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，则b ______________ 。
华东师大版九年级数学下册 26.2.1 二次函数y=ax2的图象与性质【名校课件+集体备课】
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
新课进行时
典例精析
例1 已知二次函数y=x2． （1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗? （2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关 于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D的 坐标； （3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗?在二 次函数y=－x2的图象上吗?
6
课后作业
课后作业
1、完成教材本课时对应习题； 2、完成同步练习册本课时的习题。
文本
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谢谢欣赏
THANK YOU FOR LISTENING
3.图象关于y轴对称;
4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
o
x
新课进行时
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质,与同伴交流。
1.y＝-x2是一条抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
y
o
x
y=-x2
新课进行时
知识要点
二次函数y=ax2 的图象性质： 1. 顶点都在原点; 2. 图像关于y轴对称; 3.当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下．
们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右
边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
新课进行时
方法总结
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右 两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我 们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域 中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去 比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补 法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解。
华师版九年级下册数学精品教学课件 第26章 二次函数 小结与复习
例1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为_(_1_，__2_) _． 【解析】
方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
则顶点坐标为 (1，2)．
方法二：代入公式 x
b
2
1，y 4ac b2
413 22
2，
2a 21
4a
41
则顶点坐标为(1，2)．
方法归纳
解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配方为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 的形式，得到其对称轴 是直线 x＝h，顶点坐标为 (h，k)，当自变量范围没有 限制时，其最值为 y＝k；也可以直接利用公式求解.
图
二象
次画
函 数
法
确定 表达式
抛物线的开 口方向
抛物线的平移
抛物线的顶 点坐标和对 称轴
二 次应 函用 数 的 性最 质值
见教材章末练习
考点五 二次函数表达式的确定
例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = -1 时，函数值为
10；当 x = 1 时，函数值为 4；当 x = 2 时，函数值为 7.
求这个二次函数的表达式.
解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c，由题意得
a b c 10，
a b c 4， 解得 a = 2，b = -3，c = 5.
二次函数
开口 方向
对称轴
顶点坐标
最 a＞0
值 a＜0
增 减
a＞0
性 a＜0
y = a(x − h)2 + k
y = ax2 + bx + c
a＞0 时开口向上
a＜0 时开口向下
x=h
第26章 二次函数 华东师大版九年级数学下册总复习(含答案)
周测十二（26.1）知识互动点对典26.1 二次函数知识点一二次函数的概念1．观察：①；②；③；④；⑤；⑥．这六个式子中，二次函数有 ①②③ ．（只填序号）解：这六个式子中，二次函数有：①；②；③；故答案为：①②③．2．若函数y＝(a－b)x2＋ax＋b是关于x的二次函数，则下列说法正确的是( B ) A．a，b为常数，且a≠0B．a，b为常数，且a≠bC．a，b为常数，且b≠0D．a，b可以为任意实数知识点二根据实际问题列出二次函数关系式3．下列具有二次函数关系的是（ D ）A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．正方形的面积y与边长x4．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销量，增加赢利，商场决定采取适当降价的措施。
经调查发现，一件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件。
设一件衬衫降价元，（为整数）每天赢利元。
（1）用含的代数式表示，并写出的取值范围；（2）分别计算当=2、20时的值。
解：（1）根据题意，可得：=（40- ）（20+ ）∵，∴（为整数）。
（2）当=2时，则=（40- ）（20+ ）= ；当=20时，则=（40- ）（20+ ）= 。
答案：，2，，，2，2×2，912，20，2×20，1200知识点三会求二次函数值5．当x＝m或x＝n（m≠n）时，代数式x2－2x＋3的值相等，则x＝m＋n时，代数式x2－2x ＋3的值为．解法一：将x＝m、x＝n代入x2－2x＋3，根据题意得：m2－2m＋3＝n2－2n＋3m2－n2＝2m－2n(m＋n)(m－n)＝2(m－n)因为m≠n所以m＋n＝2将x＝2代入x2－2x＋3＝4－4＋3＝36．若函数y＝4x2＋1的函数值为5，则自变量x的值应为（ C ）A．1 B．－1 C．±1 D．易错训练一对一易错点忽视二次项系数不为07．若函数是二次函数，那么的值是。
华师大版九年级下册数学知识点总结
华师大版九年级下册数学知识点总结第二十六章 二次函数一、二次函数概念：1、二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2。
⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质：4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”。
概括成八个字“左加右减，上加下减”。
方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，。
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二次函数知识点总结一、二次函数概念:1二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c（ a, b , c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0，而b，c可以为零•二次函数的定义域是全体实数•--22. 二次函数y ax bx c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a ,b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
22. y ax c的性质:上加下减。
23. y a x h的性质:左加右减。
六、四、二次函数从解析式上看,b a x2a二次函数 1. 4ac b 24a ，其中 ax 2 bx c 的性质当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为ax 2 2axbx c 的比较 bx c 是两种不同的表达形式, 4ac b 2 4a士，顶点坐标为后者通过配方可以得到前者,2b 4ac b2a ' 4aa 0向下 h , 0X=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值0 •24. y ax hk 的性质:a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质a 0向上h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而增大；x h 时，y 随 x 的增大而减小；x h 时，y 有最小值k •a 0向下 h , kX=hx h 时，y 随x 的增大而减小；x h 时，y 随 x 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k •三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下:2y a x h k ，确定其顶点坐标 h, k ；y=ax 2 A y=ax 2+k向右(h>0)【或左(*0)] 平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上概括成八个字“左加右减,h 值正右移，负左移;上加下减” •k 值正上移，负下移”向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k 个单位向上(k>0)【或下(k<0)] 平移|k 个单位y=a(x h)2y=a(x h)2+k向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位七、二次函数解析式的表示方法21. 一般式：y ax bx c （ a , b , c 为常数，a 0）； 2•顶点式：y a （x h ）2 k （ a , h , k 为常数，a 0）;3. 两根式（交点式）：y a （x x i ）（x 血）（a 0, x , X 2是抛物线与x 轴两交点的横坐标） 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示. 二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数的图象与各项系数之间的关系 二次项系数a当a 0时，抛物线开口向上， 当a 0时，抛物线开口向下，九、二次函数与一元二次方程:1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 二次方程ax bx c 0是二次函数y x 轴的交点个数： 兀 图象与 2ax x 轴交点情况）： bx c 当函数值 y 0时的特殊情况. 2b 4ac 0时，图象与x 轴交于两点A X i , 0 , B x 2 , 0 (X i X 2），其中的X i , X 2是一元二次方 2ax bx 0的两根.. 1' 2' 0时, 0时, 当a 当a x 轴只有一个交点; x 轴没有交点. 图象与 图象与 0时，图象落在x 轴的上方，无论 0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有 x 为任何实数，都有2•当a2时,2a 2时，2a2ba 时， y 随x 的增大而减小; y 随x 的增大而增大;y 有最小值 24ac b4a0时，抛物线开口向下, 对称轴为暑，顶点坐标为b 4ac b 2 2a' 4a•当x —时，y 随2ax的增大而增大；当x时，y 随x 的增大而减小；当 x2—时，y 有最大值4^-b -2a4a八、 1. ⑴a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下, 3. 常数项c⑴当c ⑵当c ⑶当c总结起来， b 决定了抛物线的对称轴.（同左异右 b 为0对称轴为y 轴）抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 抛物线与0时，0时， 0时， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； y 轴交点的纵坐标为0 ； y 轴交点的纵坐标为负.22. 抛物线y ax bx c的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 , c)；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数y x2 4x 7的顶点坐标是()A.(2, —11)B. (- 2, 7)C. (2, 11)D. (2, - 3)2. 把抛物线y 2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是( )2 2 2 2A. y 2(x 1)B. y 2(x 1)C. y 2x 1D. y 2x 12 k3. 函数y kx k和y (k 0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.已知二次函数y ax2bx c(a 0)的图象如图所示当x 1和x 3时，函数值相等；③4a b 0④当y确的个数是()A.1个B.2 个C. 35.已知二次函数ax2 bx c(a由图象可知关于兀二次方程axA. — 1 .6.已知二次函数A.第一象限C.第三象限7.方程2x x2A.0个8.已知抛物线过点,则下列结论：①a,b同号；②2时,x的值只能取0.其中正个个D. 4B.-2.3C.-0.3D.-3.32ax bx c的图象如图所示，则点(ac,bc)在(B.第二象限D.第四象限-的正根的个数为( )xB. 1C.2A(2,0),B(-1,0), 与y轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为2A.y2x2x 2B.y2x2x 2C.y x2 x 2 或y 2 小x x 2 D.y2 2x x 2 或y x x 2二、填空题9•二次函数y x2 bx 3的对称轴是x 2，则b ______________ 。
10. ____________________________________________________________________________ 已知抛物线y=-2 (x+3) 2^5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_________________________________ .11. 一个函数具有下列性质：①图象过点(一1, 2),②当x v 0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是___________________ (只写一个即可)。
—12•抛物线y 2(x 2)2 6的顶点为C,已知直线y kx 3过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。
2 213. 二次函数y 2x 4x 1的图象是由y 2x bx c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，贝y b= ,c= ________ 。
_14. 如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是 ______ L n取3.14). -*三、解答题:515. 已知二次函数图象的对称轴是x 3 0,图象经过(1,-6),且与y轴的交点为(0, ).2(1) 求这个二次函数的解析式；⑵当x为何值时，这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值y随x的增大而增大？1 216. 某种爆竹点燃后，其上升高度h (米)和时间t (秒)符合关系式h v0t —gt2( 0<t <第15题图2),其中重力2加速度g以10米/秒2计算.这种爆竹点燃后以v0=20米/秒的初速度上升，一(1) 这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？(2) 在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由17.如图，抛物线 y x 2 bx c 经过直线 点A B,此抛物线与x 轴的另一个交点为 (1 )求此抛物线的解析式；(2 )点P 为抛物线上的一个动点，求使 S的坐标。
18.红星建材店为某工厂代销一种建筑材料 (这里的代销是指厂家先免费提供货源， 待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理).当每吨售价为260元时，月销售量为45吨.该建材店为提高经营利润，准备 采取降价的方式进行促销.经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加 7. 5吨.综 合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100元.设每吨材料售价为 x (元)，该经销店的月利润为y (元).--(1) 当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； (2) 求出y 与x 的函数关系式(不要求写出 x 的取值范围)； (3) 该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ (4 )小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.二次函数应用题训练1、心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间 x (分)之间满足函数关系：y = -0.1x2y x 3与坐标轴的两个交 C,抛物线顶点为D.APC :SAC D5 : 4 的点 P+2.6x + 43 (0 w x w 30).(1 )当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步减弱?(2 )第10分钟时，学生的接受能力是多少?(3) 第几分钟时，学生的接受能力最强?2、如图，已知△ ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cn若在厶ABC上截出一矩形零件DEFG, 使EF在BC上，点D G分别在边AB AC上…问矩形DEFG的最大面积是多少3、如图，△ ABC中，/ B=90° ,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动；点Q 从点B开始，沿着BC边向点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q同时出发，问经过几秒钟厶PBQ的面积最大？最大面积是多少？「x -4、如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时, 达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为 3.05米.---(1) 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；(2) 该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少.5、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x m.—(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m?⑵如果中间有n(n是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少m?比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论?x -6、某商场以每件20元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量 m(件)与每件的销售价x(元)满足关系：m=140- 2x .…(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；(2) 如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？4、二次函数y=ax 2+bx+c (a ^0)的图象如图所示，则下列结论: b 2-4ac>0,其中正确的个数是()A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个c5、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1,则点M (b ,a)在()A .第一象限B .第二象限二次函数专题复习图像特征与a 、b 、符号的关系1、已知二次函数yax 2 bx c ,如图所示，若a 0 , c 0,那么它的图象大致是2、已知二次函数2axbx c的图象如图所示，则点A •第一象限B •第二象限C •第三象限D •第四象限 3、已知二次函数则下列结论正确的是 y= a ^+ bx+ c 的图象如下,( ) A ab< 0 bc< 0 C a+ b+ c> 0 Da- b+ c< 0①a>0;②c>0; ?③CC ・第三象限D •第四象限28已知二次函数 y=ax +bx+c (0)的图象如图所示， 有下列结论:① b -4ac > 0 ； ② abc > 0； ③ 8a+c >0； ④ 9a+3b+c v 0其中，正确结论的个数是( A 、1B 、2&二次函数y2axbx c的图象如图所示，贝U( )A 、a 0, b 2 4ac 0B 、a 0 , b 2 4ac 0C 、a 0, b 24ac 0D 、a 0,b 2 4ac 07、已知二次函数 2 y=ax +bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是( )A 、 ac v 0B 、a-b+c > 0C 、 b=-4aD 、关于x 的方程的根是 X 1=-1 , x 2=52 ax +bx+c=0)C 、35二次函数对应练习试题参考答案，选择题、 1. A 2 . C 二、填空题、三、解答题x 1或-5⑵开口向下，所以在爆竹点燃后的 1.5秒至108秒这段时间内,17 . (1)直线y x 3与坐标轴的交点A (3, 0), B (0,— 3).则9 3 c 0解得bc 3c0).设 P(a,a 22a 3)，则(* 412a 3) :(? 4 4)5:4.化简得 a5 得 a 4, a 2 P (4, 5)或 P (— 2, 5)所以此抛物线解析式为 y x 2 2x 3 . (2)抛物线的顶点 D( 1,— 4),与x 轴的另一个交点C (—1 ,12. 1 13 10 . x v -3.-8 7 1411 2x 2 4, y 2x 4 等(答案不唯一).1515 . (1)设抛物线的解析式为2axbx c, 由题意可得卫3 2a a b c 6解得3^ f所以y丄 x 2 3x 52 216 . (1)由已知得,15 20t10 2t ，解得t 13,t 23时不合题意，舍去。