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章末复习课提纲挈领复习知识1注意区分曲线在点P 处的切线与过点P 的曲线的切线.2. 导数公式与导数的四则运算法则：(1)要注意公式的适用范围.如(x n ) = nx n -1中，n € N +,若n € Q 且n z 0,则应有x >0;(2)注意公式不要用混，如(a x ) = a x ln a ,而不是(a x ) = xa x —1.还要 f 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则f 导数在研究 f 函数中的应用—I 函数的单阔性与导数 —I 函数的极值写專薮 「I 函数的最大(小)值与导敌导数M 其应用 定积分 ［整合网络构建］一导数的计算一几个常用函数的导数生活中的优化问题举例［警示易错提醒］ 徽积分基本定理的含义 微积分基本定理的应用特别注意(u v) u V ', (*)兔・3. 利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题：(1) 注意定义域优先原则，必须在函数的定义域内解不等式 f X)>0(或 f‘ 刈V0)；(2) 在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意函数的不连续点或不可导点；(3) 注意在某一区间内f x(> 0(或f ' X V 0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分条件.4. 若y= f(x)在(a, b)内可导，f (x)>0 或f X)< 0,且y= f(x) 在(a, b)内导数f‘ x( = 0的点仅有有限个，则y=f(x)在(a, b)内仍是单调函数.5. 讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论.6. 极值与最值的区别和联系：(1) 函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性；(2) 如果连续函数在区间(a, b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值；(3) 可导函数的极值点导数为零，但是导数为零的点不一定是极值点；(4) 极值是一个局部概念，极大值不一定比极小值大.7. 导数的实际应用：(1) 在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2) 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f X)=0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值.8. 应用定积分求平面图形的面积时，要特别注意面积值应为正值，故应区分积分值为正和为负的情形.-------------- 总结归纳专题突破专题一导数的几何意义及其应用导数的几何意义是高考重点考查的内容之一，常与解析几何知识交汇命题，主要题型是利用导数的几何意义求曲线上某点处切线的斜率或曲线上某点的坐标或过某点的切线方程，求解这类问题的关键就是抓住切点P(x o, f(x o)), P点的坐标适合曲线方程，P点的坐标也适合切线方程，P点处的切线斜率k=f' x0).1 4［例1］已知曲线y= §x3+ 3・(1) 求曲线在点P(2, 4)处的切线方程；(2) 求曲线过点P(2, 4)的切线方程；(3) 求斜率为4的曲线的切线方程.1 4解：⑴因为P(2, 4)在曲线y= 3x3+3上，且丫丄x2,所以在点P(2, 4)处的切线的斜率k=y'x| = 4.所以曲线在点P(2, 4)处的切线方程为y—4= 4(x-2), 即卩4x—y —4= 0.1 4(2)设曲线y —3x3+ 3与过点P(2 , 4)的切线相切于点1 °4、A xo,孑0+剳，则切线的斜率k= y'x= x o = x2，4所以切线方程为y—；x0+ 4= x0(x—x o),即y= x0 • x- ；x3+因为点P(2, 4)在切线上，所以4= 2x2-+ 3，即x0—3x0 + 4= 0,所以X Q+ x0 —4x0 + 4= 0,所以(x o+ 1)(x o —2)2= 0,解得X O = — 1 或X o= 2,故所求的切线方程为4x—y— 4 = 0或x—y+ 2 = 0.(3)设切点为(x i, y i),则切线的斜率k= x1 = 4,得X0 =i2・所以切点为(2, 4), —2,— 3 ,4所以切线方程为y—4= 4(x—2)和y+ 3=4(x + 2),即4x—y—4= 0 和12x—3y+ 20= 0.•归纳升华(1) 解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”的问法.(2) 解决“过某点的切线”问题，一般是设切点坐标为P(x0, y。

), 然后求其切线斜率k= f'x0),写出其切线方程.而“在某点处的切线”就是指“某点”为切点.(3) 曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，我们知道直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确.［变式训练］若函数y= f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y= f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A. y= sin xB. y= In xxC. y= eD. 3 y= x解析：设函数y = f(x)图象上两点的横坐标为 x i , X 2•由题意知只 需函数 y = f(x)满足 f ' x i ) •' x 2)= — 1(x 1 工x 2)即可.y = f(x) = sin x 的导 函数为 f ' x)= cosx , f ' (0) • n )=— 1,故 A 满足；y = f(x) = In x 的1 i导函数为 f'x = x , f ' (x i ) • ’x) = x x >0,故 B 不满足；y = f(x)= e x x X 1X 2 的导函数为 f d", f '(X 1) •'(X 2)= ex q + X 2>0,故 C 不满足；y = f(x) = x 3 的导函数为 f = 3x 2, f ’(X 1)f'x ( = 9x 1x 2>0,故 D 不满 足.故选A.答案：A专题二 导数在研究函数单调性中的应用利用导数的符号判断函数的单调性，进而求出函数的单调区间，是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个重要应用，体现了数形 结合思想.这类问题要注意的是 f(x)为增函数？ f ’ (x)>0且f'W = 0 的根有有限个，f(x )为减函数？ f ’w 0且f'x )= 0的根有有限个.[例2] (2016北京卷)设函数f(x) = xe a —x + bx ,曲线y = f(x)在点 (2, f(2))处的切线方程为y =(e — 1)x + 4.(1)求a , b 的值；⑵求f(x)的单调区间. 解:(1)因为 f(x) = xe a —X + bx , 所以 f'x (= (1 — x)e a —x + b. f (2)= 2e + 2, f ’( 2)= e — 1,解得 a = 2, b = e.(2)由(1)知 f(x) = xe 2_ x + ex.由 f' X)= e 2—X (1 — x + e x — 1)及 e 2—x >0 知，f ’(x)与 1 — x + e x —1 同号. 令 g(x) = 1 — x + e x —餐 则 g ，X = — 1 + e x —1. 所以，当 x € (— x, 1)时，g f (x)<0, g(x)在区间(—x, 1)上单 调递减；依题设，知 即 + 2b = 2e + 2 —e a + b = e — 1.当x€ (1,+x)时，g‘ (x)>0, g(x)在区间(1 ,+x)上单调递增. 故g(1)= 1是g(x)在区间(一x ,+x)上的最小值，从而g(x)>0, x€ (— x ,+x).综上可知，f‘(x)>0, x€ (— x,+x).故f(x)的单调递增区间为(一x ,+x ).•归纳升华利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数f 'x;(3) ①若求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f 'x(>0或f ' x)<0・②若已知函数f(x)的单调性，贝y将原问题转化为不等式f'W》0或f 'x)< 0在单调区间上恒成立问题，再进行求解.［变式训练］已知函数f(x) = x2+ x(x M 0,常数a€ R).若函数f(x) 在［2,+x)上是单调递增的，求a的取值范围.2x3一aa解：f ' x)= 2x—二= 2 —,XX，要使f(x)在［2,+ x］上是单调递增的，只要f'x(>0在x€ ［2,+ 00 )时恒成立，戸2x3— a即x2 > 0在x€ ［2,+x)时恒成立.所以2x3—a> 0,即a< 2x3在x€ ［2,+x)上恒成立.所以a< (2x3)min・因为在x€ ［2,+x )上, y= 2x3是单调递增的，所以(2x3)min= 16,所以a< 16・2x3一16当a= 16 时，f' (x) =——x2 >0(x€ [2,+^))有且只有f' (2)0,所以a的取值范围是(一「16].专题三导数在求函数极值与最值中的应用利用导数可求出函数的极值或最值，反之，已知函数的极值或最值也能求出参数的值或取值范围.该部分内容也可能与恒成立问题、函数零点问题等结合在一起进行综合考查，是高考的重点内容.[例3] 已知函数f(x)= ln x+ a(1 —x).(1) 讨论f(x)的单调性；(2) 当f(x)有最大值，且最大值大于2a—2时，求a的取值范围.1解:(1)f(x)的定义域为(0,+「), f‘ (x) = —a.若a< 0,则f'x)>0,所以f(x)在(0,+「)上单调递增.若a>0,则当x€ 0, 1■时，f(X)>0；< a>当x€ B, +「时，Fx)v0.a丿「们11、所以f(x)在0, 1片单调递增，在订，上单调递减.(2)由(1)知，当a<0时，f(x)在(0,+「)上无最大值；当a>01 i1、 1 『1)时，f(x)在x=匚处取得最大值，最大值为fa h ln 1+ a 1 —- =— ln a a ©丿a< a丿+ a— 1.因此 f > 2a— 2 等价于In a+ a — 1 v 0.a令g(a) = In a+ a—1,贝S g(a)在(0,+「)上单调递增.又g(1) = 0,于是，当0v a v 1 时，g(a)v 0；当a> 1 时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0, 1).•归纳升华(1) 运用导数求可导函数y= f(x)的极值的步骤：①先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导数f (x);②求方程f'X) = 0的根；③检查f'X)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.(2) 求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值，可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得.(3) 当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值.b 1［变式训练］设函数f(x)= 2ax—二+ In x,若f(x)在x= 1, x=2处取得极值.(1) 求a, b的值；(2) 在4，1上存在x o使得不等式f(x0)—c< 0成立，求c的取值范围.解：⑴因为f(x) = 2ax— + In x,b 1所以f'x(= 2a+^+ 1x x1因为f(x)在x= 1, x= 2处取得极值，所以 f (時0, f' = 0.1 1所以所求a , b 的值分别为一3，— 3.1(2)在4，1上存在x o 使得不等式f(x o )— c < 0成立，只需 C >f(X )min ,2 1 12x 2— 3x +1 (2x —1)( x — 1) 由 f 刈=—3 —3x 2 + x =—3x 2 = — -------- 3x 2所以当x € ¥，3 ［寸，F (x)<0, f(x)是减函数；当x € ；, 1时，F (x)>0, f(x)是增函数；们 1 1所以f 2是f(x)在4, 1上的最小值.11111 1 而 f 2 = 3 +1°2= 3— l n 2,所以 O 3— In 2. 所以c 的取值范围为3— In 2,+. 专题四 导数在证明不等式中的应用 在用导数方法证明不等式时，常构造函数，法证明不等式.利用单调性和最值方 ［例4］ (2015福建卷)已知函数f(x) = Inx - (x — 1) 2 2 .2 证明：当 x > 1 时，f(x)v x — 1.1 — x2 + x + 1(1)解：f x) = x — x +1= x , x € (0,+x ).3 求函数f(x)的单调递增区间； 即羽+ b + 1 = o ,2a + 4b + 2=0,解得 3' b =-3,由 f f X)> 0 得]x >0， 1 0 I — x 4+ x +1 > 0, 故f(x)的单调递增区间是0,(2)证明：令 F(x)= f(x)— (x — 1), x € (0,+^). 当 x € (1,+乂)时，F ‘ (x)v 0, 所以F(x)在［1,+乂)上单调递减，故当 x > 1 时，F(x)v F(1)= 0,即当 x > 1 时，f(x) V x — 1. •归纳升华本题中，证明当 x > 1时，f(x)v x — 1•只需构造函数 F(x) = f(x) —(x — 1),证明函数F(x)在［1，+乂)上单调递减即可.一般地，如果证明f(x)>g(x), x € (a , b),可转化为证明F(x) = f(x) — g(x)>0,若F 'x)> 0,则函数 F(x)在(a , b)上是增函数，若 F(a)>0,则由增函数的定义知，F(x)> F(a)>0,从而f(x)>g(x)成立, 同理可证 f(x)V g(x), f(x) > g(x).［变式训练］当x € 0, n 时，证明：tan x >x.4 2 . 2“ cos x + sin x “ sin x , 2 —1= 2 — 1 = —2 = tan 2 x > 0cos x cos x所以f(x)在 o, 2上是增函数.又 f(x) = tan x — x 在 x = 0 处可导，且 f(0)= 0. 所以当x € 0,时，f(x)>f(0)恒成立.所以 tan x — x >0, 即卩 tan x >x.解得0V X V 1+ 52 则有F ，x (= 1 —x 2x证明: 设 f(x) = tan x — x , x € 0,专题五定积分及其应用定积分的基本应用主要有两个方面：一个是求坐标平面上曲边梯 形的面积，另一个是求变速运动的路程(位移)或变力所做的功.高考 中要求较低，一般只考一个小题.［例5］已知抛物线y = x 2— 2x 及直线x = 0, x = a , y = 0围成的 平面图形的面积为£求a 的值.解：作出y =x 2— 2x 的图象如图所示.(1) 当 a v 0 时，S = / 0(x 2— 2x)dx = ；x 3—x 2 |0=a34—3 + a 2=3,所以(a + 1)(a — 2)2= 0,因为a v 0,所以a = — 1. (2) 当 a >0 时，① 若0v a <2,则 S =— / a (x 2— 2x)dx =—^x 3— x 2 If = a 2— a =- -3x x |o -a - 3 = 3,所以 a 3— 3a 2 + 4 = 0, 即(a + 1)(a — 2)2 = 0.因为a >0,所以a = 2.② 当a >2时，不合题意. 综上a = — 1或a = 2. •归纳升华Sin x ” ©osxj(1)用微积分基本定理求定积分，关键是找出被积函数的原函数, 这就需要利用求导运算与求原函数是互逆运算的关系来求原函数.(2)利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：①画出图形，确定图形范围；②解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限；③ 确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置；④计算定积分，求出平面图形面积.(3) 利用定积分求加速度或路程(位移),要先根据物理知识得出被积函数，再确定时间段，最后用求定积分方法求出结果.［变式训练］⑴若函数f(x)在R上可导，f(x)= x3+ xf ⑴，则/0f(x)dx= ____ ;(2)在平面直角坐标系xOy中，直线y= a(a> 0)与抛物线y= x2 所围成的圭寸闭图形的面积为8^2，则a= _______ .解析：⑴因为f(x)= x3+ x2f' (1),所以f'x(= 3x2+ 2xf'x(,所以 f (時3+ 2f' (1)所以f (時—3,所以 / 0f(x)dx= ：x4+ ：x3F( 1) |?= —4.y= x2, 厂厂⑵由可得A(—a, a), B( a, a),y= a"'fa r /aS= (a —x2)dx= ax—3x31 & =解得a = 2. 328 23 ,答案：(1) — 4 (2)2专题六化归与转化思想在导数中的应用化归与转化就是在处理问题时，把待解决的问题或难解决的问题，通过某种转化过程，归结为一类已解决或易解决的问题，最终求得问题的解答.xe[例6] 设f(x) = 齐农，其中a为正实数.4(1) 当a= 3时，求f(x)的极值点；(2) 若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.1 I ax2—2ax解：⑴对f(x)求导得 f 'x) = e x• (4 + ax2)2•①当a= 4时，若f，x(= 0,贝卩4x2—8x+ 3= 0,3 1解得X q= 2，X2= 2综合①，可知：所以，禺=3是极小值点，X2= 2是极大值点.⑵若f(x)为R上的单调函数，则f ’K)在R上不变号，结合①与条件a> 0,知ax 2 — 2ax + 1> 0在R 上恒成立,因此△= 4a 2 — 4a = 4a(a —1)< 0, 由此并结合a >0,知0v a < 1. •归纳升华本题中，将f(x)为R 上的单调函数转化为其导数f ' (x) >0在R 恒成立，使问题得以解决.与函数相关的问题中，化归与转化思想随 处可见，女口，函数在某区间上单调可转化为函数的导数在该区间上符 号不变，不等式的证明可转化为最值问题等.［变式训练］如果函数f(x) = 2x 2— In x 在定义域内的一个子区间 (k — 1，k + 1)上不是单调函数，则实数 k 的取值范围是 _________ .解析：显然函数f(x)的定义域为(0，+^)，y '= 1 4x 2 — 14x —x = x .由y >0，得函数f(x)的单调递增区间为Q ，+x j ；( 们由y 'v 0，得函数f(x)的单调递减区间为0, 2J ，由于函数在区间(k — 1，k +1)上不是单调函数，k — 1> 0，3解得1< k < 2・所以k — 1v 2< k + 1。