《方程的简单变形》教学设计

6.2.1方程的简单变形（一）知识技能目标1.理解并掌握方程的两个变形规则；2.使学生了解移项法则，即移项后变号，并且能熟练运用移项法则解方程；3.运用方程的两个变形规则解简单的方程．过程性目标1.通过实验操作，经历并获得方程的两个变形过程；2.通过对方程的两个变形和等式的性质的比较，感受新旧知识的联系和迁移；3.体会移项法则：移项后要变号．课前准备托盘天平，三个大砝码，几个小砝码．教学过程一、创设情境同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事．小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的重量．最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．我们来做这样一个实验，测一个物体的质量（设它的质量为x）．首先把这个物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的物体的质量．二、探究归纳请同学来做这样一个实验，如何移动天平左右两盘内的砝码，测物体的质量．实验1：如图(1)在天平的两边盘内同时取下2个小砝码，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量．实验2：如图(2)在天平的两边盘内同时取下2个所测物体，天平依然平衡，所测物体的质量等于2个小砝码的质量．实验3：如图(3)将天平两边盘内物体的质量同时缩少到原来的二分之一，天平依然平衡，所测物体的质量等于3个小砝码的质量．上面的实验操作过程，反映了方程的变形过程，从这个变形过程，你发现了什么一般规律？方程是这样变形的：方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变． 方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变．请同学们回忆等式的性质和方程的变形规律有何相同之处？并请思考为什么它们有相同之处？通过实验操作，可求得物体的质量，同样通过对方程进行适当的变形，可以求得方程的解．三、实践应用例1 解下列方程．(1)x －5 = 7； (2)4x = 3x －4．分析：(1)利用方程的变形规律，在方程x －5 = 7的两边同时加上5，即x －5 + 5 = 7 + 5，可求得方程的解．(2)利用方程的变形规律，在方程4x = 3x －4的两边同时减去3x ，即4x －3x = 3x －3x －4,可求得方程的解．即 x = 12．即 x =－4 ．像上面，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项(transposition )．注 (1)上面两小题方程变形中，均把含未知数x 的项，移到方程的左边，而把常数项移到了方程的右边．(2)移项需变号，即：跃过等号，改变符号．例2 解下列方程：(1)－5x = 2； (2)3123=x ； 分析：(1)利用方程的变形规律，在方程－5x = 2的两边同除以－5，即－5x ÷(－5)= 2÷(－5)(或5255-=--x )，也就是x =52-,可求得方程的解．(2)利用方程的变形规律，在方程3123=x 的两边同除以23或同乘以32，即23312323÷=÷x (或32313223⨯=⨯x )，可求得方程的解． 解 (1)方程两边都除以－5，得x = 52-． (2)方程两边都除以23，得 x = 32312331⨯=÷， 即x = 92． 或解 方程两边同乘以32，得 x = 923231=⨯． 注：1.上面两题的变形通常称作“将未知数的系数化为1” .2.上面两个解方程的过程，都是对方程进行适当的变形，得到x = a 的形式．例3下面是方程x + 3 = 8的三种解法，请指出对与错，并说明为什么？(1)x + 3 = 8 = x = 8－3 = 5；(2)x + 3 = 8，移项得x = 8 + 3，所以x = 11；(3)x + 3 = 8移项得x = 8－3 ， 所以x = 5．解 (1)这种解法是错的．变形后新方程两边的值和原方程两边的值不相等，所以解方程时不能连等；(2)这种解法也是错误的，移项要变号；(3)这种解法是正确的．四、交流反思本堂课我们通过实验得到了方程的变形规律：(1)方程的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，方程的解不变；(2)方程两边都乘以或都除以同一个不为零的数，方程的解不变．通过上面几例解方程我们得出解简单方程的一般步骤：(1)移项：通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项移到方程的右边；(2)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数（或同乘以未知数系数的倒数），得到x = a 的形式．必须牢记：移项要变号！五、检测反馈1.判断下列方程的解法对不对？如果不对，应怎样改正．(1)9x = －4，得x = 49； (2)3553=x ，得x = 1；(3)02=x ，得x = 2； (4)152+=y y ，得y =53； (5)3 + x = 5，得x = 5 + 3；(6)3 = x －2，得x = －2－3 ．2.（口答）求下列方程的解．(1)x －6 = 6； (2)7x = 6x －4；(3)－5x = 60； (4)2141=y ． 3.下面的移项对不对？如果不对，错在哪里？应当怎样改正？(1)从7 + x = 13，得到x = 13 + 7；(2)从5x = 4x + 8，得到5x - 4x = 84.用方程的变形解方程：44x + 64 = 328．6.2.1方程的简单变形（二）知识技能目标1.运用方程的变形规律熟练解方程；2.理解解方程的步骤，掌握移项变号规则．过程性目标通过解方程过程的探讨，使学生获得解方程的步骤，体会数学中由特殊到一般的思想方法．教学过程一、创设情境方程的变形是怎样的？请同学们利用方程的变形，求方程2x + 3 = 1的解．并讨论：(1)解方程的每一步的依据是什么？(2)解方程应解到什么形式为止？(3)通过解方程，你能归纳出解方程的一般步骤吗？二、探究归纳解 2x = 1－3，………………移项；2x = －2，………………合并同类项；x = －1．………………未知数的系数化为1．(1)第一步的依据是方程的变形：在方程的两边同时减去3；第二步的依据是合并同类项；第三步的依据是方程的变形：方程的两边同时除以2．(2)解方程应得到x = a 的形式．(3)解方程的一般步骤是：①移项；②合并同类项；③系数化为1．三、实践应用例1 解下列方程，并能说出每一步的变形过程．(1)8x = 2x －7 ；(2)6 = 8 + 2x ；(3)2y －21 =321 y ； (4)3y －2 = y + 1 + 6y ．解 (1)8x = 2x －7，移项，得8x －2x =－7，合并同类项，得6x = －7，系数化为1，得x = －67． (2)分析 本题含有未知数的项在方程的右边，在解题时可考虑先把8 + 2x 放到方程的左边，把6放到方程的右边，然后再解方程．解 8 + 2x = 6，移项2x = 6－8，合并同类项2x = －2，系数化为1x = －1．注意：(1)移项和改变多项式各项的顺序是不同的，把8 + 2x 放在方程左边，6放到方程的右边时，符号不变．(2)也可考虑直接把含未知数的项2x 移到方程的左边，然后再解方程． 或解 6 = 8 + 2x ，移项－ 2x = 8 － 6，合并同类项－ 2x =2，系数化为1x = －1．或解 6 = 8 + 2x ，移项6－8 = 2x ，合并同类项－2 = 2x ，即 2x = －2，系数化为1x =－1．以上三种解法，让学生通过对比分析，体会每种方法的优点，寻求较简捷的方法．(3) 2y －21 =321 y 移项2y －y 21=－3 + 21， 合并同类项y 23= －25， 系数化为1y = －25÷23= －25×32， 即 y = －35．注 将系数化为1时，如果系数是分数，要特别细心，若结果是分数，则要化为最简分数．思考：这个方程还有其他的解法吗？能否采用把方程的分母去掉把系数化为整数？并比较哪种方法更好？(4)3y －2 = y + 1 + 6y ，合并同类项3y －2 = 7y + 1，移项3y －7y = 1 + 2，合并同类项－4y = 3，系数化为1y = 3÷(－4) = 3 ×(－41) =－43 ． 通过上面的解方程，想一想，你能选择解方程的步骤了吗？例2 解下列方程，并按例1的解题格式书写解题过程．(1)2x :3 = 6:5； (2)1.3x +1.2－2x =1.2－2.7x ．分析 把方程中的比先化为分数，再解方程．解 (1) 2x :3 = 6:5，56=32x ， 系数化为1x =56÷32= 56×32= 54． (2) 1.3x + 1.2－2x =1.2－2.7x ，移项1.3x －2x +2.7x = 1.2－1.2，合并同类项2x = 0，系数化为1x = 0÷2 = 0．例3 已知y 1 = 3x + 2，y 2 = 4－x ．当x 取何值时，y 1与 y 2互为相反数？ 分析 y 1与 y 2互为相反数，即y 1+ y 2 = 0．本题就转化为求方程3x + 2 + 4－x = 0的解．解 由题意得：3x + 2 + 4－x = 0，3x －x = －4－2，x = －3．所以当x = －3时，y 1与 y 2互为相反数．四、交流反思1.解方程的一般步骤为：(1)移项；(2)合并同类项；(3)系数化为1．2.方程解的结果是化为x = a 的形式．3.移项时要注意改变符号．4.将系数化为1时，如果系数是分数，要特别细心，若结果是分数，则要化为最简分数．五、检测反馈1.解下列方程，并写出每步变形的依据．(1)3x + 4 = 0； (2)7y + 6 = －y ；(3)41852=-x －0.2x ； (4)1－3121+=x x ． 2.解下列方程：(1)3x －7 + 4x = 6x －2； (2)10y + 5 = 11y －5－2y ；(3)a －1 = 5 + 2a ； (4)x x 413243-=+； (5)512131-=--x x ； (6)415321+=-x x ． 3.已知y 1 = 3x + 2，y 2 = 4－x ．(1)当x 取何值时，y 1 = y 2？ (2)当x 取何值时，y 1比 y 2大4?。