第七章_非平稳时间序列模型

其中: 1为常数项(int ercept),t为趋势项
(trend ).
在上面每一种有形中,原假设都是 0,即
存在一个单位根.
用Eviews进行单位根检验时给出了上述选项。
如果误差项是自相关的, 就把上述
(3)式修改如下:
m
yt 1 2t yt1 i yti t i 1
上式中包含有滞后的差分项, 如
若序列是有趋势的，且具有季节性，其自 相关函数特性类似于有趋势序列，但它 们是摆动的，对于按月数据，在时滞12， 24，36，……等处具有峰态；如果时间 序列数据是按季节的，则峰出现在时滞4， 8，12， ……等处。
三、特征根检验法（P146）
基本思想: 先拟合序列的适应模型,然后 求由该适应模型的参数组成的特征方程的
D(r)
渐近服从N (0,1)服布.
(3)检验方法
a.小样本情况
零假设： H0：加号和减号以随机的方式出现
检验方法：取显著性水平α(一般取0.05),查 单样本游程检验表，得出抽样分布的临 界值rL、rU
判定：若rL <r< rU则不能拒绝零假设，即 不能拒绝序列是平稳的；若r> rL 或r< rU 则拒绝零假设，序列是非平稳的。
(二)非参数检验方法在检验序列平稳性中的应用
1.游程检验方法 (1)什么是游程 一个游程定义为一个具有相同符号的连续
串，在它前后相接的是与其不同的符号 或完全无符号。
例如，观察的结果用加、减标志表示，得 到一组这样的记录顺序：
++---+----++-+ 这个样本的观察结果共有7个游程。
（2）用游程检验方法检验时间序列平稳性
第七章 非平稳时间序列模型
引言：前面我们讨论的是平稳时间序列的建模和 预测方法，即所讨论的时间序列都是宽平稳的。 一个宽平稳的时间序列的均值和方差都是常数， 并且它的协方差有时间上的不变性。
但是许多经济领域产生的时间序列都是非平 稳的。对协方差过程，非平稳时间序列会出现各 种情形，如它们具有非常数的均值μt，或非常数 的二阶矩，如非常方差σt2，或同时具有这两种情 形的非平稳序列。
b.大样本情况
零假设：
H0：加号和减号以随机的方式出现
检验方法：给定显著性水平α(一般取0.05) 查标准正态分布表，得出抽样分布的临界
值-z α,+z α。并计算统计量: Z r E(r) D(r)
判定：若-z α <z<+z α,则不能拒绝零假设，即 不能拒绝序列是平稳的;否则拒绝零假设， 序列是非平稳的。（例见P151例6.5）
设序列长度为N ,
N
N1
N2,
N1和N
分
2
别
为记号序列中""与""出现的次数，游程
总数为r，对于随机序列可以证明: 游程总
数r的期望和方差分别如下:
E(r) 2N1N2 1 N1 N2
D(r)
2N1N2 (2N1N2 N 2 (N 1)
1)
在大样本情况下(N1或N2大于15)有 : Z r E(r)
若时间序列具有上升或下降的趋势，那么对于 所有短时滞来说，自相关系数大且为正，而 且随着时滞k的增加而缓慢地下降。
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若序列无趋势，但是具有季节性，那末对 于按月采集的数据，时滞12，24， 36……的自相关系数达到最大(如果数据 是按季度采集，则最大自相关系数出现 在4，8，12， ……)，并且随着时滞的 增加变得较小。
检验方法：参见课本146
这种检验方法对于自回归阶数较低的
时间序列模型较为方便. 例如,如ARMA(1, q)模型, 平稳性条件为
1 1
ARMA(2, q)模型, 平稳性条件为:
12
2 1
1 1
2
1
一般的ARMA( p, q)模型要满足平稳性
都有如下必要条件:
1 2 p 1
这为我们判断时间序列是否平稳提供了一
非平稳过程，其实随机游走一种特殊的 齐次非平稳过程。 检验序列是否为随机游走，通常利用David Dickey和Wayne Fuller的单位根检验。 单位根的含义和检验原理如下：
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假设序列yt可由下式描述: yt yt1 ut 其中ut为白噪声(零均值, 恒定方差点,无自相关), 这时我们就遇到了所谓的单位根问题.它是一种 非平稳的情况. 如果我们作如下回归:
输出结果分析：因为P值（sig.）极小，所以拒绝零假设 ，故原序列是非平稳的。
也可以通过其它的非参数检验方法来 判断序列是否平稳，如Spearman等级
相关系数，Kendall τ相关系数等。
五、随机游走的单位根检验(Unit root test) 在第三章我们已经讲过，随机游走是一种
yt1 yt1 yt2等, 模型中要包含多 少个滞后的差分项, 要做到使上式中
（二）随机趋势模型
随机趋势模型又称齐次非平稳ARMA模型。 为理解齐次非平稳ARMA模型，可先对 ARMA模型的性质作一回顾。
假设有一个ARMA( p, q)模型如下 :
(B)xt (B)at 其中: (B) 11B 2B2 B p
(B) 11B 2B2 qBq
at为白噪声序列.
为满足平稳性,则必须有 :(B) 0的
然而要在原假设ˆ 0下,通常计算的t值并
不服从t分布.这时需要根据Dickey和Fuller计
算的 (tau)统计量进行检验.
(DF检验由此得名)
检验时：如果所计算的τ统计量的绝对值 (即|τ|)大于DF分布表中临界值的绝对值， 则拒绝δ=0的假设，原序列是平稳的；否 则，如果它小于临界值，则时间序列是非 平稳的。
的基本思想
对于一个时间序列{xt }, 设其样本均值为x , 对序列中比x小的观察值记为""号,比x大
的观察值记为""号, 这样就形成了一个符号
序列.并可求出这个序列的游程数.
如果符号序列是随机的，那么“+”和“-”将 随机出现，因此它的游程数既不会太多，又 不会太少；反过来说如果符号序列的游程总 数太少或太多，我们就可以认为时间序列存 在某种趋势性或周期性。
参数检验方法就不可靠，甚至会发生较
大偏差。
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非参数检验：非参数检验是一种不依赖于总 体分布知识的检验方法。
由于非参数检验不对总体分布加以限制性假 定，所以它也称为自由分布检验。
非参数检验与参数检验相比有如下优点： a.检验条件比较宽松，适应性强 。 b.参数检验对样本容量的要求极低。 c.检验方法灵活，用途更广泛。 非参数检验主要用顺序统计量进行检验，因此它既可检验
(B)wt (B)at
可见一个齐次非平稳过程经过若干次(d次)差分 运算后可变为平稳序列.
可见我们所能分析处理的仅是一些特殊的 非平稳序列，即齐次非平稳序列。
由于齐次非平稳序列模型恰有d个特征根 在单位圆上，即有d个单位根，因此齐次 非平稳序列又称单位根过程。
二、方差和自协方差非平稳过程
一个均值平稳过程不一定是方差和自协方 差平稳过程，同时一个均值非平稳过程 也可能是方差和自协方差非平稳过程。
我们可以引进两种非常有用的均值非平 稳过程：确定趋势模型和随机趋势模型。
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（一）确定趋势模型
当非平稳过程均值函数可由一个特定的时 间趋势表示时，一个标准的回归模型曲 线可用来描述这种现象。
例如,若均值t服从线性趋势, t 0 1t
则原序列可用确定的有趋势模型表示如下 :
不是所有的非平稳问题都可以用差分方法 解决，还有期望平稳和方差非平稳序列， 为了克服这个问题，我们需要适当进行 方差平稳化变换。
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一般用幂变换使方差平稳, 表示如下 :
xt( )
ln
xt
xt
1
0 0
这个变换最早由BOX和COX于1964年提出， 因此称作BOX—COX变换。其中λ为变换 参数。
特征根, 若所有的特征根都满足平稳性条 件,即: 1,则可以认为序列是平稳的;如果 1则该序列就是非平稳的.
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根据拟合出的时序模型参数检验(P146)
基本思想：时间序列模型的平稳性条件不仅 可以用特征根来表示，也可以用模型的自 回归参数表示，因此要检验一个序列是否 平稳，可以先拟合适应的模型，然后再根 据求出的自回归参数来检验序列是否平稳。
非参数检验可以很方便的通过SPSS软件进行， 游程检验可见操作。
实例：用游程检验S&T数据的平稳性； 步骤如下：
1.打开SPSS输入数据 2.依次单击Analyze—Nonparmetric Tests—Runs; 打开Runs对话框。 3.在源变量对话框中选择“stpoor”进入“Test Variable list”栏内 4.选中“cut point”栏中“mean”选项 5.单击“OK”按纽，开始进行统计分析。
定距数据和定比数据，又可以检验定类数据和定序数据； 而参数检验只能处理定距数据和定比数据。因为这些优 点，非参数检验比参数检验应用更广泛。 d.非参数检验计算相对简单，易于理解。
非参数检验的缺点：
如果参数统计模型的所有假设在数据中事 实上都能满足，而且测量达到了所要求 的水平(定距数据或定比数据)，那么用非 参数检验就浪费了数据中的信息。也就 是说此时非参数检验的功效不如参数检 验高。
xt 0 1t yt
其中: yt是一个零均值的平稳过程,可以用 前面介绍的ARMA模型来描述.
对二次均值函数, t 0 1t 2t 2
原序列可用下式表示 :
xt 0 1t 2t 2 yt 此外，均值函数还可能是指数函数、 正弦—余弦波函数等，这些模型都可 以通过标准的回归分析处理。 处理方法是先拟合出μt的具体形式， 然后对残差序列yt={xt－ μt}按平稳 过程进行分析和建模。
优点：简便、直观。对于那些明显为非平 稳的时间序列，可以采用这种方法。
缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不 易用这种方法判断出来。
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二、通过自相关函数(ACF)判断
平稳时间序列的自相关函数(ACF)要么是截尾的， 要么是拖尾的。因此我们可以根据这个特性 来判断时间序列是否为平稳序列。
根都在单位圆外.
如果(B) 0的根不都在单位圆外, 那
么, xt就是非平稳的.
现假设(B) 0恰有d个根落在单位圆上,
而其它根都在单位圆外,则可令 :
(B) (B)(1 B)d
于是原模型可写为:
(B)(1 B)d xt (B)at
这时我们就称xt为齐次非平稳过程, d称为齐次性的阶. 令wt (1 B)d xt ,则 :
注：Eviews输出结果中直接计算出了τ统计量及 其临界值。（所列出的是麦金农MacKinnon对DF 分布表扩充后的临界值）
由于理论上和实践上的原因, 人们常用
以下形式的回归作Dickey Fuller检验 :
yt பைடு நூலகம்t1 ut
(1)
yt 1 yt1 ut
(2)
yt 1 2t yt1 ut (3)
第七章 非平稳时间序列模型
第一节 非平稳时间序列模型的种类 第二节 非平稳性的检验 第三节 求和自回归滑动平均模型(ARIMA)
第一节 非平稳时间序列模型的种类 一、均值非平稳过程 二、方差和自协方差非平稳过程
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一、均值非平稳过程
均值非平稳过程指随机过程的均值随均 值函数的变化而变化。
yt yt1 ut 并确实发现 1, 那么就说随机变量yt有一个单位
根, 一个有位单位根的时间序列就叫做随机游走时 间序列.
随机游走模型可写成如下等价形式:
yt (1 ) yt1 ut ˆyt1 ut
对上述模型作回归,如果检验出ˆ 0,则
yt 是随机游走过程, 它是非平稳的; 否则 序列是平稳的.
第二节 非平稳性的检验
一、通过时间序列的趋势图来判断 二、通过自相关函数(ACF)判断 三、特征根检验法 四、用非参数检验方法判断序列的平稳性 五、随机游走的单位根检验
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一、通过时间序列的趋势图来判断
这种方法通过观察时间序列的趋势图来判 断时间序列是否存在趋势性或周期性。
种便捷的途径.即如果上述条件不满足, 那么 原 序列 肯 定为 非 平稳 序列; 如 果满 足 则需 要 作进一步的判定.
四、用非参数检验方法判断序列的平稳性
（一）什么是参数检验和非参数检验？
参数检验：参数检验是这样一种检验，它 的模型对抽出研究样本的总体的分布作 了限制性假定。。
如果对总体的分布不知道或了解很少，则