2015函数、极限与连续习题加答案
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
第一章函数、极限与连续习题答案
第一章函数、极限与连续习题答案第一章函数、极限与连续1 .若」t =t 31，贝U 「t 3 1 =( D )A. t 3 1B. t 62 C. t 92 D. t 9 3t 6 3t 322.设函数 f x = In 3x ? 1 ? i 5 - 2x ? arcsin x 的定义域是(C )3.下列函数f x 与g x 相等的是（A ）4.下列函数中为奇函数的是（A )2x x八sin xf-c 2—22 ?A . y2B . y - xe x Csin xD . y = x cosx xsin xx25 .若函数 fx l=x , - 2：；x ：：：2，则 f x-1 的值域为（B ）A . 0,2B . 0,3C . 0,21D . 0,316 .函数y =10x4 -2的反函数是（D)xA . y =igB . log x 2 x —2C .1y =Iog 2_D . y =1 lg x 2xa XX 是有理数 7.设函数%是无理数°<a< p="">"，则（B ）1 5 3,2C .-1,1 3D . -1,1A . f x = x 2 , g x - x 4—2B . fx=x , gx= xC . x -1f X gx 「X 1x2=(A )C. 0A .当X r J 时，f x 是无穷大B .当x - 工:时，f x 是无穷小C .当X r -■时，f x 是无穷大D .当x —. -■时，f x 是无穷小f x 在点X 。
连续的（10.若函数f x 在某点X 。
极限存在，则（C ）f x 在X o 的函数值必存在且等于极限值8 .设f x 在R 上有定义,函数f x 在点X 。
左、右极限都存在且相等是函数A .充分条件B .充分且必要条件C .必要条件D .非充分也非必要条件x 2 a,cos x,x —1在R 上连续，则a 的值为（D ） x ::: 1C . -1D . -2B . f x 在X o 函数值必存在，但不一定等于极限值C . f X 在X o 的函数值可以不存在D . 如果f X o 存在的话, 11.数列0，3，2， A .以0为极限4，…是(B )B. 以1为极限C .以口为极限n2 . lim xsin ( CxD .不存在在极限B .不存在C . 1D . 019. lim xln x =0 __________ 。
函数、极限与连续测试卷带答案
函数、极限与连续测试卷带答案第一篇：函数、极限与连续测试卷带答案上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、函数y=3-2x|-4的定义域是；解：|3-2x|-4≥0,3-2x≥4,或3-2x≤-4 ∴-2x≥1,或-2x≤-717∴x≤-,或x≥ 2217∴x∈(-∞,-]⋃[,+∞)222、把复合函数y=earctan(1+x)分解成简单的函数________________________；解：y=eu,u=arctanv,v=1+x23、函数y=arcsin2x的反函数是_____________________；1⎡ππ⎤解：y=sinx,x∈⎢-,⎥ 2⎣22⎦⎛1+x⎫4、lim ⎪； x→∞⎝x⎭2x2⎛1+x⎫解：lim ⎪x→∞⎝x⎭2x⎡⎛1⎫x⎤=lim⎢1+⎪⎥=e2 x→∞⎝x⎭⎦⎢⎥⎣2(2x-1)15(3x+1)30=；5、limx→∞(3x-2)45(2x-1)15(3x+1)30215⨯330⎛2⎫==⎪解：lim4545x→∞(3x-2)3⎝3⎭x2-3x+26、lim2；x→2x+4x-12(x-1)(x-2)=lim(x-1)=1x2-3x+2lim解：lim2 x→2x+6x→2x+4x-12x→2x+6x-28157、x→1=；2解：lim=x→1x→x-12x→12=x→1 =x→13x-1==34x+2的连续区间为(x+1)(x-4)解：x+2≥0,且(x+1)(x-4)≠08、函数f(x)=∴x≥-2,x≠-1,x≠4,∴x∈[-2,-1)⋃(-1,4)⋃(4,+∞)ax2+bx-19、已知a，b为常数，lim=2，则a=，b=.x→∞2x+1ax2+bx-1解：因为x的最高次为2，lim=2 x→∞2x+1所以a=0，b=2，即b=42x≠0在点x=0处连续，则a=x=0x1-⎤⎡=lim⎢(1-x)x⎥x→0⎣⎦-22⎧x⎪10、已知f(x)=⎨(1-x)⎪a⎩解：limf(x)=lim(1-x)x→0x→0=e-2因为f(x)在点x=0处连续，f(0)=a=limf(x)=e-2，所以a=e-2。
函数的极限及函数的连续性典型例题.doc
函数的极限及函数的连续性典型例题一、要点难点剖析：①此定理特别重要，利用它证明函数能否存在极限。
② 要掌握常有的几种函数式变形求极限。
③函数 f(x) 在 x=x 0处连续的充要条件是在x=x 0处左右连续。
④ 计算函数极限的方法，若在x=x 0处连续，则。
⑤若函数在 [a,b] 上连续，则它在[a,b] 上有最大值，最小值。
二、典型例题例 1．求以下极限①②③④分析：①。
②。
③。
④。
例 2．已知，求m,n。
解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴x=-2 是方程 x2+mx+2=0 的根，∴m=3 代入求得 n=-1。
例 3．议论函数的连续性。
分析：函数的定义域为(-∞,+ ∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又，∴，∴ f(x) 在 x=1 处连续。
由，进而 f(x) 在点 x=-1 处不连续。
∴f(x) 在 (-∞,-1),(-1,+ ∞)上连续， x=-1 为函数的不连续点。
例 4．已知函数, (a,b 为常数 )。
试议论 a,b 为什么值时， f(x) 在 x=0 处连续。
分析：∵且，∴，∴a=1, b=0。
例 5．求以下函数极限①②分析：①。
②。
例 6．设，问常数k 为什么值时，有存在？分析：∵，。
要使存在，只要，∴ 2k=1 ，故时，存在。
例 7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1 处能否有极限？分析：由，，∵，∴f(x) 在 x=-1 处极限不存在。
三、训练题：1．已知，则2．的值是_______。
3. 已知，则=______。
4．已知，2a+b=0，求a与b的值。
5．已知，求a的值。
参照答案： 1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0。
考研数学一(函数、极限与连续)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（函数、极限与连续）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(2003年)设{an}，{bn}，{cn}均为非负数列，且则必有( )A．an＜bn对任意n成立B．bn＜cn对任意n成立C．极限不存在D．极限不存在正确答案：D解析：由于则由极限的保号性可知，存在N＞0，使得当n＞N时，an＜bn，但不是对任意的n都成立。
例如bn=1，n=1，2时不满足an＜bn，所以选项A错误。
类似地，选项B也是错误的。
例如bn=1，n=1，2时不满足bn＜cn。
由于因此是0·∞型的未定式，有可能收敛也有可能发散，所以选项C是错误的。
例如极限证明发散，可采用反证法。
假设是收敛的，由于可知也是收敛的，与已知条件矛盾，假设不成立，也即是发散的。
由此唯一正确的选项是D。
知识模块：函数、极限与连续2．(2007年)设函数f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，令un=f(n)(n=1，2，…)，则下列结论正确的是( )A．若u1＞u2，则(un}必收敛B．若u1＞u2，则{un}必发散C．若u1＜u2，则{un}必收敛D．若u1＜u2，则{un}必发散正确答案：D解析：方法一：设f(x)=x2，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＜u2，但{un}={n2}发散，排除C；设则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＞u2，但收敛．排除B；设f(x)=一lnx，则f(x)在(0，+∞)上具有二阶导数，且f”(x)＞0，u1＞u2，但{un}={一lnn}发散，排除A。
故应选D。
方法二：由拉格朗日中值定理，有un+1一un=f(n+1)一f(n)=f′(ξn)(n+1—n)=f′(ξn)，其中n＜ξn＜n+1(n=1，2，…)。
由f”(x)＞0知，f′(x)单调增加，故f′(ξ1)＜f′(ξ2)＜…＜f′(ξn)＜…，所以于是当u2一u1＞0时，有故选D。
关于高等数学函数极限与连续习题及答案
1、函数()12++=x xx f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =αβ，是∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xx y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值． 错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<x e （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sin lim ∞→＝（ x ）．∵x x nx n xn n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sinlimsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f x x x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）．∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim 1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()xx f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim （ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→x x x 101lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ k e ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x xx x x 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa3、当0→x 时，1-x e 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
(完整版)函数、极限与连续习题及答案
第一章 函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为 ，()0f = ，()1f = 。
2015函数极限与连续习题加答案
3.y=2x1+x2，则f[ϕ(x)+1]＝一、是非题1．y=第一章函数、极限与连续第一讲：函数x2与y=x相同；（）2.y=(2x+2-x)ln(x+1+x2)是奇函数；（3.凡是分段表示的函数都不是初等函数；（4.y=x2(x>0)是偶函数；（5.两个单调增函数之和仍为单调增函数；（6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；（7.复合函数f[g(x)]的定义域即g(x)的定义域；（8.y=f(x)在(a,b)内处处有定义，则f(x)在(a,b)内一定有界。
（二、填空题1.函数y=f(x)与其反函数y=ϕ(x)的图形关于对称；2.若f(x)的定义域是[0,1]，则f(x2+1)的定义域是；）））））））2x+1的反函数是；4.f(x)=x+1，ϕ(x)=1，ϕ[f(x)+1]＝；5.y=log(sin x+2)是由简单函数和复合而成；216.f(x)=x2+1，ϕ(x)=sin2x，则f(0)＝，f()=___________，af[ϕ(x)]=___________。
三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（）A、sin3xB、x3+1C、x3+xD、x3-x2.设f(x)=4x2+bx+5，若f(x+1)-f(x)=8x+3，则b应为（）A、1B、－1C、2D、－23.f(x)=sin(x2-x)是（）A、有界函数B、周期函数C、奇函数D、偶函数四、计算下列各题1.求定义域y=3-x+arcsin 3-2x 52.求下列函数的定义域(1)y=x2-4x+3(2)y=4-x2+1x+1(3)y=lg(x+2)+1(4)y=lg sin x3.设f(x)=x2，g(x)=e x，求f[g(x)],g[f(x)],f[f(x)],g[g(x)]；⎧ x , x < 1,6.设 ϕ ( x) = ⎨ 求 ϕ ( ) ， ϕ (- ) ， ϕ (-2) ，并作出函数 y = ϕ ( x ) 的图形。
第一章函数、极限与连续习题答案.doc
第一章函数、极限与连续1 . 若」 t =t31，贝 U 「t 31 =( D )A. t 31 B. t62 C. t92 D. t 9 3t 6 3t322. 设函数 f x = In 3x ? 1 ? i 5 - 2x ? arcsin x 的定义域是 ( C )1 5C.-1,1 D. -1,13 ,233. 下列函数 f x 与 g x 相等的是 （A ）— 2A. f x = x 2 , g x - x4B . fx=x ,gx= xC.fX gx「X 1x -14. 下列函数中为奇函数的是 （A )2x x八sin xf- c 2— 22 ?A. y2B .y - xe xCsin xD . y = x cosx xsin xx25 . 若函数 fxl=x , - 2：； x ：：： 2，则 f x-1 的值域为 （B ）A. 0,2B. 0,3C. 0,21D. 0,316 . 函数y =10x4 -2 的反函数是（D )xC .A . y =igB .log x 2x—2a X X 是有理数7.设函数 %是无理数°<a"，则（B ）1y =Iog 2_ D . y =1 lg x 2 x1A . 当 Xr J 时， f x 是无穷大B . 当 x- 工: 时， f x 是无穷小C. 当 Xr - ■时， f x 是无穷大 D . 当 x—. - ■时， f x 是无穷小8 . 设 f x 在R上有定义 ,f x 在点X。
连续的（A . 充分条件C.必要条件x2 a,cos x, 函数 f x 在点X。
左、右极限都存在且相等是函数B. 充分且必要条件D. 非充分也非必要条件x—1在 R 上连续，则 a 的值为（D）x::: 1C. -1D.-210.若函数 f x 在某点X。
极限存在，则（C ）f x 在X o的函数值必存在且等于极限值B. f x 在X o函数值必存在，但不一定等于极限值C. f X 在X o的函数值可以不存在D. 如果f X o存在的话 ,11 . 数列0，3 ，2，4，是 (B )A.以0为极限B.以1为极限C . 以口为极限D . 不存在在极限n112 . lim xsin( CxB. 不存在C. 1D. 013.li=(A )C.0x2214?无穷小量是（C）A.比零稍大一点的一个数B. —个很小很小的数C. 以零为极限的一个变量 D . 数零[2X，-1 _ x ：： 015. 设f(x)= 2, x :：: 1 则f x的定义域为[-1,3] , f 0 =x—1, 1 _x _32 __ , f 1 =0。
高等数学函数的极限与连续习题精选和答案
1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。
∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。
2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。
3、如果数列有界，则极限存在．错误 如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误 如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。
5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。
6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。
7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。
9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,不一定取得最大值、最小值 二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则 （１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）． 答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x bax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（ 不存在 ），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。
函数极限与连续习题(含答案)
基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。
函数的极限与连续训练题1、 已知四个命题：（1）若)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x x →点必有极限（2）若)(x f 在0x x →点有极限，则)(x f 在0x 点必连续（3）若)(x f 在0x x →点无极限，则)(x f 在0x x =点一定不连续（4）若)(x f 在0x x =点不连续，则)(x f 在0x x →点一定无极限。
其中正确的命题个数是（ B ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、若a x f x x =→)(lim 0，则下列说法正确的是（ C ） A 、)(x f 在0x x =处有意义 B 、a x f =)(0C 、)(x f 在0x x =处可以无意义D 、x 可以只从一侧无限趋近于0x3、下列命题错误的是（ D ）A 、函数在点0x 处连续的充要条件是在点0x 左、右连续B 、函数)(x f 在点0x 处连续，则)lim ()(lim 00x f x f x x x x →→= C 、初等函数在其定义区间上是连续的 D 、对于函数)(x f 有)()(lim 00x f x f x x =→ 4、已知x x f 1)(=，则xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0的值是（ C ） A 、21x B 、x C 、21x - D 、x - 5、下列式子中，正确的是（ B ）A 、1lim 0=→x xx B 、1)1(21lim 21=--→x x x C 、111lim 1=---→x x x D 、0lim 0=→x x x 6、51lim 21=-++→xb ax x x ，则b a 、的值分别为（ A ） A 、67和- B 、67-和 C 、67--和 D 、67和7、已知,2)3(,2)3(-='=f f 则3)(32lim 3--→x x f x x 的值是（ C ） A 、4- B 、0 C 、8 D 、不存在8、=--→33lim a x ax a x （ D ）A 、0B 、1C 、32aD 、323a9、当定义=-)1(f 2 时，xx x f +-=11)(2在1-=x 处是连续的。
经济应用数学(习题参考详细答案)
经济应用数学(习题参考详细答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2习题参考答案第1章 函数、极限与连续习题1.11．（1）不同，因为它们的定义域不同；（2）不同，因为它们的定义域和对应法则都不同． 2．（1）[2,1)(1,2]-U ；（2）(3,3)-．3．2,41,1． 4．（1）12,,ln 2+===x v v u u y ； （2）13,sin ,2+===x v v u u y ；（3）x u u y ln 1,5+==； （4）52,sin ,,2+==-==x t t v v u e y u． 5．(100)2000C =，(100)20C =． 6．2214)(x x x R -=． 7.（1）25000；（2）13000；（3）1000． 8．()1052p Q p =+⨯． 9．130,(0700)9100117,(7001000)x x y x x ≤≤⎧=⎨+<≤⎩． 习题1.21．（1）0； （2）0； （3）1； （4）0； （5）24； （6）41； （7）1； （8）41； （9）0； （10）∞． 2．（1）无穷大； （2）无穷大； （3）无穷小； （4）无穷小； （5）无穷小； （6）无穷大； （7）无穷大； （8）无穷大．2 3．（1）2；（2）1；（3）53；（4）4e ；（5）e1；（6）21e ；（7）4；（8）0．4．0lim ()lim ()lim ()1x x x f x f x f x +-→→→===-．习题1.31．（1）32；（2）2sin 2；（3）0；（4）2；（5）21；（6）∞． 2．不连续；图形略． 3．2=k ．因为函数()f x 在其定义域内连续，即在0=x 也联系，则()0lim (0)x f x f →=，即()()0lim lim x x f x f x k ++→→==，0lim ()2x f x -→=，所以2=k ． 4．略．习题1.41．本利和1186.3元，利息186.3元；本利和1164.92元，利息164.92元． 2．1173.51元；xey ⋅-=1.06000，4912.39元，4444.91元，3639.19元，2979.51元．第1章 复习题1．（-2，2），图形略． 2．（1）13,-==x u u y ；（2）x u u y 21,3+==； （3）x u u y ln 2,10+==；（4）2,,x v e u e y vu===-；（5）x v v u u y ===,ln ,；（6）x t t w w v v u u y 2,cos ,,lg ,22=====． 3．（1）()1200010C q q =+；（2）()30R q q =；（3）()2012000L q q =-． 4．280,(0900)22450400,(9002000)q q R q q ⎧=⎨+<⎩≤≤≤． 5．1,(04)1.5,(410)2,(1020)s P s p <<⎧⎪=⎨⎪<⎩≤≤≤，图形略．3 6．1-．7．（1）9-； （2）∞； （3）0； （4）0； （5）2； （6）0； （7）5； （8）2； （9）5e ； （10）8-e ． 8．1k =． 9．a π=．10．221R Q Q =++．11．150,(0300)142.52250,(300800)1358250,(8001000)q q R q q q q ⎧⎪=+<⎨⎪+<⎩≤≤≤≤．12．800001000Q P =-．13．3000100Q P =+；平衡状态时，70,10000P Q ==． 14．(600)1000400L =；．第2章 导数与微分习题2.11.（1）1-；（2）51． 2.（1）3ln 1x y ='；（2）3132-='x y ；（3）32x y -='；（4）2523--='x y ；（5）2121-='x y ；（6）3734--='x y ； （7）2ln 1x y ='；（8）x y sin -='．3．033633=--+πy x ．4．切线方程：02=-+y x ；法线方程：x y =． 5．切线方程：01-=+y x ；法线方程：03=-+y x ．4 习题2.21．（1）4|2='=x y ； （2）1sin 2|0='=x y ； （3）32|1-='=x y ； （4）213|-=='e y x ； （5）2|21-='=x y ； （6）92|1-='=x y ． 2．（1）x x y 2cos 432+='； （2）xe y x 122+='； （3）2)cos 1(sin cos 1t t t y +++='；（4）xx y ln 121+='；（5）xx x x y 3)12(-+='；（6）)63cos(6+='x y ；（7）x x x x x y tan sec sec 3tan 32++='； （8）x x y 2sin cos 22-='； （9）x e x y x 52cos 42sin 2+⋅='；（10）)sin 2(sec cos 22x x y ⋅='； （11）xx ex x y 221)2ln 1(2⋅++='；（12）xe xe y x e 11++⋅='-． 3．（1）yx y x dx dy 22+-=； （2）)2cos(sin )2cos(2cos y x y x y x y dx dy +++-=． 4．0222=-+y x ．5．（1）x y x y x y x y cos ,sin ,cos ,sin )4(=='''-=''-='； （2）x x x y cos sin 2--=''．6．切线方程：022=--y x ；法线方程：012=-+y x ．习题2.31．（1）dx x x dy )26(2-=； （2）dx x x dy )sin (cos -=；5 （3）dx xx x dy 2ln 2-=； （4）dx x e x dy x2)1(-=；（5）dx e dy x 2.04.0=； （6）dx x x dy )32(sec )32tan(42++=．2．（1）221x ； （2）x sin ； （3）||ln x ； （4）x 2．3．11.75．习题2.41．（1）2；（2）1；（3）a cos ；（4）n m ；（5）3；（6）21-；（7）21；（8）∞+．2．（1）1； （2）0．习题2.51．（1）在)2,(-∞内单调增加，在),2(∞+内单调减少，有极大值为7)2(=f ； （2）在),(∞+-∞内单调增加，无极值； （3）在),(∞+-∞内单调增加，无极值；（4）在),1()0,(∞+-∞Y 内单调减少，在)1,0(内单调增加，有极小值为0)0(=f ，有极大值为1)1(-=e f ．2．（1）最大值为69)4(=f ，最小值为61)6(-=-f ； （2）最大值为2)1(=f ，最小值为26)3(-=f ； （3）最大值为2)2(ππ=-f ，最小值为2)2(ππ-=f ．3．当销售量80=x 时，平均成本最低为40)80(=C 元．4．当学费降低15次，即学费降为325元时，这个培训班可获得最大收益，最大收益为422500元．5．当每周泵的销售量33=x 个时，每周取得利润最大约为662.31元．习题2.61．（1）凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞+，拐点为)2,1(； （2）凹区间为),2(∞+，凸区间为)2,(-∞，拐点为)3,2(； （3）凹区间为),1(∞+，凸区间为)1,(-∞，拐点为)6,1(；（4）凹区间为)1,1(-，凸区间为),1()1,(∞+--∞Y ，拐点为)2ln ,1(-和)2ln ,1(； （5）凸区间为),0()0,(∞+-∞Y ，无拐点；6 （6）凹区间为)2,(-∞，凸区间为),2(∞+，无拐点．2．平均成本函数在)80,0(内单调减少，在),80(∞+内单调增加，有极小值为40)80(=C ，在),0(∞+内是凹的．3．收益函数曲线在)6,0[内单调增加，在]80,6(内单调减少，有极大值为44.73)6(=R ，在)80,0(内是凸的．习题2.71．(20)160L =元，(20)8L =元，(20)6L '=元．2．（1）2()0.092S t t t '=++；（2）(5)29.25S =（百万元），(5)9.25S '=（百万元）；（3）(5)29.25S =表明5个月的销售总量为29.58百万元；(5)9.25S '=表明若再多销售1个月，将多销售9.25百万元．3．（1）23780()N x x '=；（2）(10)37.837N '=≈（只），表明当广告费用为1万美元时，若多投入1千美元的广告费，将再多销售船只37只；(20)9.459N '=≈（只），表明当广告费用为2万美元时，若再多投入1千美元的广告费，将多销售船只9只．4．（1）179.9美元；（2）180美元． 5．约108.27元． 6．（1）13EQ P EP =-；（2）11|3P EQ EP ==-，3|1P EQ EP ==-，55|3P EQ EP ==-．7．3EQ P EP P =+，31|2P EQ EP ==．8．（1）24EQ P EP P =--； （2）61|3P EQ EP ==-；（3）因为62|03P ER EP ==>，所以在6P =时，若价格上涨1%，总收益增加0.67%． （4）12P =时，总收益最大，最大总收益是(12)72R =． 第2章 复习题1．（1）212sin(31)y x x '=-+；（2）41y x '=+； （3）34)1(2x x y -='；（4）2222(1)x x y x -+'=-；7 （5）222sec tan (1)2sec (1)x x x x xy x +-'=+；（6）sin 22cos 2x y e x '=；（7）2(1)[2cot (1)csc ]y x x x x '=+-+；（8）22ln(1)1x x y x --=-．2．222(24)x d yx x e dx=++．3．（1）21x x y e y ye '=-+； （2）32xy y '=-．4．求下列函数的微分． （1）2(622)dy x x dx =+-； （2）(sin 22cos2)dy x x x dx =+；（3）222(1)x dy x x edx -=-； （4）2332(1)x dy dx x =-．5．切线方程：870x y --=；法线方程：890x y +-=．6．在(,0)(1,)-∞+∞U 内单调增加，在(0,1)内单调减少，有极大值为(0)0f =，有极小值为3(1)2f =-．7．在(0,24)内单调增加，在(24,)+∞内单调减少，有极大值为(24)6916f =；凹区间为(0,12)，凸区间为(12,)+∞，拐点为(12,3460)．8．生产50000个单位时，获得的利润最大，最大利润为30000)50000(=L ． 9．455100dP x Pdx x P+=-+，其实际含义为：当需求量为x 时，若需求量再增加一个单位，则价格将减少455100dP x Pdx x P+=-+元． 10．280()(2)N t t '=+，其实际意义是：当对一个新工人进行t 天培训后，若再多培训一天，该工人就能多装配280()(2)N t t '=+个元件．11.（1）生产量3Q =时，平均成本最小为(3)6C =元． （2）边际成本2()15123C Q Q Q '=-+，显然(3)(3)6C C '==元． （3）1Q ECEQ ==0.6，其经济意义为：当生产量1Q =时，若生产量增加1%，则成本将增加0.6%．8 第3章 不定积分与定积分习题3.11．（1）C x +661； （2）C x x ++2717； （3）C x+22ln 1；（4）C x x ++-sin cos ； （5）C x +22ln 81；（6）C x x ++3||ln ；（7）C x +2774；（8）C x x ++23223；（9）C x x +-232931092；（10）C x x x ++-838522325；（11）C x x +-sin 3||ln 2；（12）C x x e x +-+sin 32； （13）C x x x +++65225；（14）C x x x +++-3271344； （15）C x x x++--||ln 21；（16）C x x x x +--+23327323172．2．()f x 2)21(2x e x --=． 3．2ln +=x y （21ex ≥）． 4．2125Q Q R -=． 5．20005212++=x x C ． 习题3.21．（1）41(53)20x C ++； （2）31(32)6x C --+；（3）1sin(31)3x C ++；（4）1cos(12)2x C -+；（5）2313x e C ++；（6）2x e C --+；（7）212x e C +；（8）2214x e C --+；（9）21cos(2)2x C -++；（10）322(sin )3x C +；（11）2xeC + ；（12）2xe C --+．2．（1）532224(2)(2)53x x C +-++；（2）26ln(3)x x C -++；（3）5322210(35)(35)4527x x C -+-+； （4）3ln 322x x C ---+；（5）322(3)633x x C -+-+；（6）23ln(123)x x C --+-+．3．（1）3311ln 39x x x C -+；（2）221124x x xe e C -+；（3）ln3x x x C -+；（4）1(cos sin )2x x x e C ++．习题3.31.（1）32； （2）52； （3）214a π； （4）0． 2.（1）⎰102dx x ≥⎰13dx x ；（2）⎰10dx e x ≥⎰12dx e x ；（3）⎰10dx e x ≥⎰+1)1(dx x ；（4）⎰20πxdx ≥⎰2sin πxdx ．习题3.41．（1）2243； （2）0； （3）2183740--； （4）e e -3；（5）331-； （6）3340； （7）34； （8）487． 2．245．3．⎰-=503001.030201dx e p x ．4．146250元．习题3.51．（1）313； （2）431121121）（π--； （3）32---e e ； （4）)1(211--e ； （5）)1(23-e ； （6）)2cos 1(cos 21-．2．（1）52ln 8-； （2）2ln )1ln(1++-e ； （3）35； （4）15216532+-．3．（1）0； （2）0； （3）332π； （4）22π-． 4．（1）121--e ；（2））（251+-πe ． 习题3.61．（1）31； （2）2； （3）21； （4）0．2．1．习题3.71．50424.0)(2++=x x x C ．2．4200)(2x x x R -=，17500)100(=R 元，175)100(=R 元/单位．3．t e t S 08.05050)(--=，18.3)6(≈S 辆． 4．约8.97万元． 5.（1）40；（2）总收益为5200美元，平均单位收益为130美元/kg ，总成本为4200美元，总利润是1000美元．习题3.81.（1）一阶； （2）二阶； （3）五阶； （4）四阶．2．（1）C x y +=221； （2）C x y +-=21；（3）)ln(C e y x +=； （4）1-⋅=x C xy ；（5）22332x e C y -⋅+=； （6）)21(122C e x y x +-=-．3.（1）xe e y =； （2）)1(212x y --=．第3章 复习题1．（1）C x ++-)1(cos 212；（2）C x +-4)53(121；（3）C x x +++-+)22ln(422； （4）C x x +-)41(ln 44．2．（1）21； （2）24； （3）)25(6-； （4）)3132(313+e ．3．1． 4．40000． 5．约1.53美元．6．10ln0.216-≈，在[0,16]内的全部利润约87.82百元． 7．总成本函数为2()215200C x x x =++； 总利润函数为2()442200L x x x =--；11=x 个单位时，获得最大利润，最大利润是42)11(=L ．8.（1）C x y =+-)1)(1(； （2）)(2C e e y x x +-=-； （3）4)1(21+=x y ，． 第4章 矩 阵习题4.1略．习题4.21．11,3,2,7,5-====-=z u w y x ．2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=111325325310373432316317383Z ． 3．5211114208235-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦4．15461021⎡⎤⎢⎥-⎣⎦5．（1）505176213-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）1235-⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）[]13161922； （4）20742769-⎡⎤⎢⎥---⎣⎦；（5）123246369⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（6）[]70． 8．（1）12190544-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（2）26751110614-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦；（3）1111580391241424201225218--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥-⎣⎦； （4）5303128⎡⎤⎢⎥-⎣⎦；（5）5313028⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．运费 耗费 9．420000130000382000119000320001000001122000349000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一班二班三班总计 10．[]64601600010540钾氨磷习题4.31．（1）113-1-200-7470000000000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2R =； （2）120001130024000⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3R =； （3）12390236596410022⎡⎤⎢⎥--⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，3R =；（4）1312074800210000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，3R =． 2．（1）2；（2）2；（3）4；（4）3．3．（1）8=k ；（2）8≠k ，（3）k 不存在．习题4.41．因为AB =BA =E ,所以B 是A 的逆矩阵．2．11,510x y =-=．3．（1）2550291111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）414457568⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦；（3）2015215911-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦414457568⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 4．（1）1-A143153164--⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦；（2）1-A 不存在，（3）15111444411112222111144441111A -⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦；（4）1-A 1153222421731222⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 5．A =18315511115511055⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 6．1200020002B AB -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．第4章 复习题一、1．().,,2,1;,,2,1,,n j m i b a t n s m ij ij ΛΛ=====2．t l m k s n ===,,． 3．()TA 1-． 4．B ，A ． 5．非零行的行数．二、1．(d)； 2．(b)(d)； 3．(a)； 4．(c)(d)．三、1．3071845232⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦．2．()3R A =，()1R B =．3．38172777122221935222Z ⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦．第5章 线性方程组习题5.21．（1）123783x x x =⎧⎪=⎨⎪=-⎩；（2）无解；（3）123000x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（4）1233252x kx k x k ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩；（5）1123212331425351622623x k k k x k k k x k x k x k =++-⎧⎪=---+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩；（6）12342,3,1,0.x x x x =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩．2. （1）4m =，1233x k x k x k =-⎧⎪=⎨⎪=⎩； （2）3m =，1233525x k x k x k ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩．3．（1）5m ≠； （2）5,2m k =≠-； （3）5,2m k ==-． 4．（1）02p q ≠≠或时方程组无解；（2）02p q ==且时有解，解为11232123314253522263x k k k x k k k x k x kx k =++-⎧⎪=---+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=⎩5．5=m ，1122123142164555373555x k k x k k x k x k ⎧=--+⎪⎪⎪=-+⎨⎪=⎪⎪=⎩．6．（1）7349121714Z ⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦；（2）22308Z -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． 第5章 复习题一、1．111111111,n n m mn m mn m a a a a b aa a ab ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭LL MM MM M LL，无解，有唯一解，有无穷多组解，无解，未知数个数，小于2．（1）无解（2）有无穷多组解（3）有唯一解 3．3124121,2.x x x x x x =++⎧⎨=+⎩二、1. (d)；2. (c)． 三、04122112Z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦四、1．11221331427188373x k k x k k x k x k =-+⎧⎪=-+-⎪⎨=⎪⎪=⎩；2．1234,321.2x x x ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩；3．1231,1,1.x x x =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩；4. 1230,0,0.x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩； 5．112321324332x k k k x k x k x k =-+⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩．五、11221231422223x k k x k k x k x k =++⎧⎪=--+⎪⎨=⎪⎪=⎩．第6章 线性规划初步习题6.11．设生产1A 产品1x 万瓶，生产2A 产品2x 万瓶，获得利润L 美元． 则该问题的数学模型为：12max 80003000L x x =+12121212535003008020000..1249000,0x x x x s t x x x x +⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪⎩≤≤≤≥≥其矩阵形式为：max ..0L CX AX B s t X =≤⎧⎨≥⎩其中：[]80003000C =，12x X x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，5330080124A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，50020000900B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 2．设A 需要1x 个单位，B 需要2x 个单位，总费用为F ． 则该问题的数学模型为：121212min 20030024.0,0F x x x x s t x x =++⎧⎨⎩≥≥≥其矩阵形式为：min ..0F CX AX B s t X =⎧⎨⎩≥≥ 其中：[]200300C =，12x X x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，[]12A =，[4]B =．3．设第i 月的进货量为1i x 千件，售货量为2i x 千件（3,2,1=i ），利润为L 美元．则该问题的数学模型为：111221223132max 8969910L x x x x x x =-+-+-+111112211112212231300300..3000(1,2,3;1,2)ij x x x x s t x x x x x x i j ⎧⎪-+⎪⎨-+-+⎪⎪==⎩≤≤≤≥ 其矩阵形式为：max ..0L CX AX B s t X =⎧⎨⎩≤≥其中：[]8969910C =---，111221223132x x x X x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100000111000111110A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，300300300B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．习题6.21．（1）最优解为12032x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，最优值为min 3S =-．（2）无最优解．（3）无穷多组最优解为满足8221=+x x 且介于点（2,3）和（4,2）件的线段上的所有点，最优值为16max =S ．第6章 复习题1．设生产A 产品1x 个单位，生产B 产品2x 个单位，获得利润L 元． 则该问题的数学模型为：12max 800010000L x x =+ 12121212128940058320..642804123500,0x x x x s t x x x x x x +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪+⎪⎪⎩≤≤≤≤≥≥其矩阵形式为：max ..0L CX AX B s t X =⎧⎨⎩≤≥其中：[]800010000C =，12x X x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，895864412A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，400320280350B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦． 2．设工厂i 给工地j 的砖量为ij x 万块（其中：1,2i =分别表示工厂A 、B ，1,2,3j =分别表示工地甲、乙、丙），总运费为F 元．则该问题的数学模型为：111213212223min 5060706011027F x x x x x x =+++++112112221323111213212223171815..23270(1,2;1,2,3)ij x x x x x x s t x x x x x x x i j +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎪⎨++=⎪⎪++=⎪≥==⎪⎩ 其矩阵形式为：min ..0F CX AX B s t X ==⎧⎨≥⎩其中：[5060706011027]C =，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=232221131211x x x x x x X ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111000000111100100010*********A ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2723151817B3．设第i 个煤矿运往第j 个城市的煤量为ij x 千吨（其中：1,2,3i =分别表示甲、乙、丙三个煤矿，1,2,3,4j =分别表示A 、B 、C 、D 四个城市），总运费为F 元．则该问题的数学模型为：111213142122232431323334min 1211181191111131014137F x x x x x x x x x x x x =+++++++++++41142143131132133134149115..4780)1,2,3;1,2,3,4)j j j j j j i i i i i i i i ij x x x x s t x x x x i j =======⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑ 其矩阵形式为：min ..0F CX AX B s t X ==⎧⎨≥⎩其中：[1211181191111131014137]C =，111213142122232431323334x x x x x x X x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111100000000000011110000000000001111100010001000010001000100001000100010000100010001A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，49115478B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．4．设i A 机床生产j B 工件的数量为ij x （1,2;1,2,3i j ==），总加工费为S 元． 则该问题的数学模型为：111213212223min 139********S x x x x x x =+++++1121122213231112132122230.40.54001.1 1.26001.3500..0.41018000.5 1.2 1.39000(1,2;1,2,3)ij x x x x x x s t x x x x x x x i j +=⎧⎪+=⎪⎪+=⎪⎨++≤⎪⎪++≤⎪≥==⎪⎩ 其矩阵形式为：min ..0F CX AX Bs t AeqX BeqX =⎧⎪=⎨⎪⎩≤≥ 其中：[1391011128]C =，111213212223x x x X x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，0.4 1.110000000.5 1.2 1.3A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，800900B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 0.4000.5000 1.100 1.2000100 1.3Aeq ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，400600500Beq ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5．用图解法求下列各题．（1）最优解为1220x x ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，最优值为max 4S =．（2）无最优解为．（3）无穷多组最优解为满足121x x +=且介于点（1,0）和点（0,1）间的线段上的所有点．第7章 随机事件与概率习题7.11．（1）{}0t t Ω=≥；（2）设}{个次品取到正品前抽取了i A i =（0,1,2,3,4i =），则01234{,,,,}A A A A A Ω=；（3）设}{次中得一等奖第i A i =（1,2,i =L ），则12{,,}A A Ω=L ． 2．（1）AB ； （2）A ； （3）ABC ABC ABC ⋃⋃； （4）ABC ； （5）A B C ⋃⋃； （6）A B C ⋃⋃或ABC ； （7）ABC 或A B C ⋃⋃；（8）ABC ABC ABC ABC ⋃⋃⋃．3．（1）321A A A ；（2）321A A A ⋃⋃；（3）321321321A A A A A A A A A ⋃⋃；（4）321321321321A A A A A A A A A A A A ⋃⋃⋃．4.（1）[0,3)； （2）[0,2)； （3）(,0)[2,)-∞⋃+∞； （4）φ．习题7.21．14． 2．（1）13； （2）215； （3）815．3．（1）61； （2）b ； （3）0.84； （4）1511； （5）0.7； （6）0.6． 4．（1）61； （2）65．5．（1）158； （2）97．6．(|)0.3P B S =． 7．0.64．8．（1）0.42；（2）0.88；（3）0.46． 9.（1）89110；（2）81100．10．35．11．0.592．12．0.4，0.5，0.6，0.6，0.75． 13．0.93．第7章 复习题1．12B A A =；12C A A =；1212()()D A A A A =⋃；12E A A =⋃．其中B C D 、、两两互不相容，C 与E 为对立事件．2．因为B A ⊂，所以()()P B P A <． 3．（1）2845； （2）145； （3）15； （4）1645； （5）1745； （6）4445． 4．0.97；0.03． 5．0.75；0.25．6．（1）0.988；（2）0.012；（3）0.83．7．（1）44%；（2）15%；（3）2.25%；（4）0.25%；（5）13.6%；（6）13.3%． 8．（1）0.27；（2）0.15．9．（1）0.45，0.24，0.14；（2）0.83；（3）0.54． 10．0.78． 11．0.72．12．（1）0.74；（2）0.56．第8章 随机变量分布及其数字特征习题8.11．设随机变量0,()1,()X ⎧=⎨⎩没投中投中，则(0)0.6P X ==，(1)0.4P X ==．2．设取出产品的等级为随机变量X ， X 取1、2、3分别表示产品等级为一、二、三级，则4(1)7P X ==，2(2)7P X ==，1(3)7P X ==．习题8.21．（1）是概率分布．因为满足离散型随机变量分布律的性质；（2）25.0)30(==XP；（3）35.0)25(=≤XP；（4）4.0)30(=>XP．2.（1）P (X=100) =0.25；（2）7.0)0(=>XP；（3）4.0)100(=≥XP．3．X-1 2 6)(XP0.1 0.3 0.6 4．X0 1 2P（X）213815381195．（1）X0 1 2) (X P 194949（2）X0 1 2) (X P115815256．0.14；0.95．7．0.009；0.998；7，0.617．8.（1）25.0=C；（2）0.25，0.75；（3）F (X)=0,10.25,13 0.5,3 4.51, 4.5xxxx<-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥．9．0.000008．习题8.31.（1）a =3；（2）95． 2.（1）0.2325；（2）0.5479． 3.（1）常数k=4；（2）0.5392．4.（1）c=61；（2）127；（3）()F x =20,211,241231,4x x x x <⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪⎩≤≥．5.（1）0.4773；（2）0.0227；（3）0.9545． 6． 1.96λ=．7.（1）0.475；（2）0.025．8.（1）0.09176；（2）12475支/周．习题8.41．47． 2．（1）31； （2）32； （3）2435．3．（1）c =6； （2）61； （3）67．4．0.3． 5．2．6．k =4；α=3．7．（1）445；（2）盈利57500元．习题8.51．163． 2．数学期望为0.3；方差为0.319． 3．E (X )=9元；D (X )=3.4． 4．（1）31；（2）454；（3）4516．5.（1）12-；（2）20．6.（1）4.1；（2）3.93，1.98． 7．7．8.（1）5；（2）17；（3）0． 9．a =0.6，b=1.2， D ( X )=0.08．第8章 复习题1．1()(1,2,3,4,5,6)6P X k k ===； 0,(1)1,(12)61,(23)31(),(34)22,(45)35,(56)61,(6)x x x F x x x x x <⎧⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎪⎪≤<⎪⎪≥⎪⎩2.（1）0.11；（2）0.96．3.（1）不是；（2）是． 4．0.9324． 5．0.3935． 6．（1）61；（2）21625． 7．（1）K =0.5；（2）1.414． 8．（1）0.483；（2）0.983． 9．50.85．10．（1）0.1056；（2）0.1056． 11．（1）0.5；（2）0.25；（3）43；（4）29． 12．（1）0；（2）1． 13．开发该软件．14．（1）()145,()140E X E Y ==，选择中型扩建． （2）()2725,()12400D X D Y ==，选择中型扩建． 15.（1）X 1 2 3 4 5 P4%39%29%21%7%（2）() 2.88E X =；（3）() 1.0256,() 1.013D X D X =≈．16．（1）X 1 2 3 4 5 P7/296/293/296/297/29（2）()3E X =，()11.34D X ≈；（3）略．第9章 数理统计初步习题9.1略．习题9.21.（1290,1304）．2.（1271,1323）．3.（2.08, 2.42）．4.（18,20）．5.（17.9,91.1）．习题9.31．产品合格． 2．产品合格． 3．不正常． 4．广告不真实． 5．有变化．习题9.41．（1）略；（2）ˆ 6.45 1.58=-；（3）变量x与y存在显著线性相关关系．y x2．x与y存在显著线性相关关系；ˆ41.320.53=+．y x第9章复习题1．（1）（93.54,136.72）；（26.4,46.84）；（2）略．2．该校3年级男生平均身高与全国一致，身高差异程度没有拉大．3．该生产线不正常．4．这两种药品对血压影响是相同的．5．该基金的风险没有增大．6．（71.15, 80.45）．7．（1）ˆ66.6 1.36=+；（2）y与xx存在显著线性相关关系．y x8．（1）y与x存在显著线性相关关系；（2）ˆ 4.950.18=-+．y x29目录习题参考答案 (1)第1章函数、极限与连续 (1)第1章复习题 (2)第2章导数与微分 (3)第3章不定积分与定积分 (8)第4章矩阵 (11)第4章复习题 (14)第5章线性方程组 (15)第6章线性规划初步 (17)第7章随机事件与概率 (23)第8章随机变量分布及其数字特征 (24)第9章数理统计初步 (28)。
第一章函数极限连续例题练习
【例题1.13】求极限I = lim
x→0
φ2
【例题1.14】设f (a)表示方程x +ln(1+x )=a的实数根，a∈[1,+∞).证明： lim f (a) lna = x→∞ a
1
【例题1.19】求极限I = lim n sin (2πen!)
x→∞
【例题1.23】设fn
(x)
=
xn
ln
x，求极限 lim
数n，存在ξn ∈ [0, 1]，使得f
1 ξ−
n
1 = f (ξ) −
n
2
，使 lim
x→0
arctan
x
−
x 1
+ +
αx3 βx2
是关于x的尽可能高阶的等价无穷小
【例题1.42】尝试确定常数A,B,C使得 lim esin x x→0 sin x
=
1
+ Bx + Cx2 x + Ax2
+
o
x2
【例题1.55】设f (x)在闭区间[0, 1]上连续，f (0) = 0, f (1) = 1，求证：对于任意的正整
k
√
【例题1.30】设数列{an}满足a1
>
0, an+1
=
an+1an, n
≥
1，证明： lim √ an x→∞ 4n +
1
=
2 2
1
【例题1.31】设数列{xn}定义为x1
=
1, xn+1
=
xn
+
1 xn
,
n
=
1, 2 · · · 证明： lim x2n − n n→∞ ln n
函数极限与连续复习题参考答案
函数、极限与连续 复习题一.填空题:1. 函数11ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设12)11(-=-x x x f ，则=)(x f 11x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-.4. 函数sin 12y x =+的复合过程是sin ,,12y u u v v x ===+.5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e6. =∞→xx x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )11(lim 1e - 8. 5432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设432lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+=134)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __12__，=b __3__. 12. 函数3212--=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题1、1ln(1)2y x x =+-+的定义域为（A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞）2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ）A 、x 1sinB 、x 1cosC 、x e 1D 、)1ln(2x +3、A x f x x =→)(lim 0（A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义4、设⎩⎨⎧≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、21 5、函数)(x f =32-x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、以上都不是三.求下列极限:1. )1(lim 2x x x x -++∞→ 解：)1(lim 2x x x x -++∞→=222(1)(1)lim 1x x x x x x x x→+∞+-++++ 2lim 1x xx x →+∞=++=21lim 111x x→+∞++=12 2. 30tan sin lim x x x x→- 解：30tan sin lim x x x x →-=3200sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =201cos lim x x x →-=2202lim x x x →=12 3. xx x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11lim 解：x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭=1e e -=2e - 4. xx x x x 3sin 2sin lim 0-+→解：x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→=0sin 21lim sin 31x xx x x→+-=123132+=-- 5. 521sin lim 2+∞→x x x x 解：521sin lim 2+∞→x x x x =1sin lim()125x x x x x →∞⋅+=11122⨯= 6. 0lim x x x x x∆→+∆-∆ 解：0(l i (x xx x x x ∆→+∆=∆∆ 四.讨论函数⎩⎨⎧=≥-<+=00,2,0,1)(x x x x x x f 在点处的连续性,并作出它的图像. 解：在点x=0处0(00)lim(1)1x f x -→-=+=，0(00)lim(2)2x f x +→+=-= (00)(00)f f -≠+()f x ∴函数在点x=0处不连续函数的图形如下五.设⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∞≤+>=),()(.0,,0,1sin )(2在要使x f x x a x x x x f 内连续,应当怎样选择数a. 解：10,()sin x f x x x>=时是初等函数，连续20,()x f x a x <=+时是初等函数，连续在x=0处，20(00)lim()x f a x a -→-=+=，01(00)lim sin 0,(0)x f x f a x+→+=== 则当(00)(00)(0)f f f -=+=即a=0时函数()f x 在x=0处连续因此，当a=0()(,)f x -∞+∞在连续六.设1,1,()()ln(1),1 1.x x f x f x e x x ⎧>⎪=⎨⎪+-<≤⎩求函数的间断点,并说明间断点的类型.解：在点x=1处111(10)lim x x f e e -→-==，1(10)limln(1)ln 2x f x +→+=+= (10)(10)f f -≠+ ∴x=1是函数的第一类间断点（跳跃间断点）七.某农户有稻谷10吨要出售.当购买量在4吨以内时，定价500元/吨；当购买量在4吨至8吨时，超出4吨部分定价450元/吨；当购买量大于8吨时，超出8吨部分定价400元/吨.试将销售总收入与销量的函数关系式列出来. 解：设x 表示销量，()f x 表示销售总收入，由题意知当04x ≤<时，()500f x x =当48x ≤≤时，()2000450(4)450200f x x x =+-=+当8x >时，()2000450(84)400(8)400600f x x x =+⨯-+-=+于是500,04()450200,48400600,810x x f x x x x x ≤<⎧⎪=+≤≤⎨⎪+<≤⎩。
极限与连续试题及答案
极限与连续试题及答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2在x=0处的极限是：A. 0B. 1C. 2D. 0^2答案：A2. 如果lim(x→2) [f(x) - 3] = 1，那么f(2)的值为：A. 4B. 2C. 5D. 3答案：C3. 函数f(x) = sin(x) / x在x=0处的极限是：A. 0B. 1C. 2D. 不存在答案：B二、填空题1. 设函数f(x)在点x=a处连续，则lim(x→a) f(x) = ________。
答案：f(a)2. 如果函数f(x)在区间(a, b)内可导，则f'(x)在该区间内_______。
答案：存在3. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的导数为_______。
答案：6三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x=2处的极限。
答案：将x=2代入函数f(x)中，得到f(2) = 2^3 - 6*2^2 + 11*2 - 6 = 8 - 24 + 22 - 6 = 0。
因此，lim(x→2) f(x) = 0。
2. 判断函数f(x) = x^2 - 4x + 4在x=2处是否连续，并求出该点的导数。
答案：函数f(x) = (x-2)^2是一个二次函数，它在整个实数域上都是连续的。
因此，在x=2处也是连续的。
求导数，f'(x) = 2x - 4，所以f'(2) = 2*2 - 4 = 0。
3. 已知函数g(x) = 1 / (x^2 + 1)，求lim(x→∞) g(x)。
答案：当x趋向于无穷大时，x^2 + 1趋向于无穷大，因此1 / (x^2 + 1)趋向于0。
所以，lim(x→∞) g(x) = 0。
第一章函数、极限与连续答案
习题1.1 〔A 〕一 选择1—11 BDCAA BBCCD B 二 填空 1. 12+x ；2.2111xx ++ ；3. (]0,∞- ；4. []3,1- ,()0f = 2,()1f = 0 ； 5. []1,1- ；6. ()[]=x f f 1(1)x x x-≠,()[]{}=x f f f (0,1)x x ≠ ；7. 1ln -=x y ；8. 2 三 解答1．<1> 偶函数；<2> 非奇函数又非偶函数；<3> 偶函数；<4> 奇函数；<5> 非奇函数又非偶函数；<6> 偶函数2．证：t t t t t f 155212122+++=⎪⎭⎫⎝⎛()t f =3．求下列函数的反函数<1> 解：反函数为2log 1x y x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭<2> 解：反函数为21arcsin121arcsin1---+=x x y 4. 解：<1>⎩⎨⎧≠==0,10,2x x y <2>⎩⎨⎧<->+=0,10,1x x x x y〔B 〕一 选择1—4 DDAA 二 填空1．()+∞,0；2．=x 0或±1,∈x ()(),10,1-∞-,∈x ()()+∞-,10,1 ；3．()[]=x g f 10,00,06,0x x x x x <⎧⎪=⎨⎪->⎩；4．(]e ,1；5．z =y x xy +；6．()[]=x f ϕ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-0,0,00,x x x x x 。
三 解答与证明1．解：由于()()()()00201202012f f f f =⨯=,且由假设()00≠f ,故()20121f =。
2．证：R x ∈∀,有()()()x x f x ψϕ≤≤,由于()x f 的单增性,可知()()()()f x f f x ϕ≤,又()()()()x f x ϕϕϕ<,故()()x f f x ϕϕ≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,同理可得()()()f f x x ψψ≤⎡⎤⎣⎦,于是得()[]()[]()[]x x f f x ψψ≤≤ϕϕ3．解：()[]()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0,10,00,11,11,01,1x x x x g x g x g x g f ,()[]()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<==-1,1,11,1x e x x e e x f g x f 4．解：()()yzz y yz z y z z y y z y ++++--=+-++-=+11lg 11lg 11lgϕϕ yz z y yz z y yzz y yzzy yz z y ++++--=+++++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++11lg 1111lg 1ϕ故结论成立。
第一章函数、极限与连续综合练习参考答案
1第一章 函数、极限与连续一、判断题 1 若 lim f x = A ，则 f x o 二 A ;xJ x o2、已知f x 0不存在，但lim f x 有可能存在; ^^03、若f x 0 0与f x 0 -0都存在，则lim f x 必存在;6、若f(x),g(x)在点x 0处均不连续，则f(x) g(x)在x 处亦不连续；( )7、 y =| x |在x = 0处不连续;8、 f (x)与X 。
处连续当且仅当f (x)在x 0处既左连续又右连续；( )9、 设y =f(x)在［a,b ］上连续，且无零点，则f (x)在［a,b ］上恒为正或恒为负；( ) 10、 设y=f(x)在(a,b)上连续，则f (x)在(a,b)内必有界；()1 •设f X 在R 上有定义，函数f x 在点X 0左、右极限都存在且相等是函数f x 在点X 。
连续的(C )A .充分条件 C •必要条件B .充分且必要条件 D .非充分也非必要条件lim 沁 X —•”x选择题4、22 •若函数f x 在某点x o 极限存在，则（C ） A • f x 在x o 的函数值必存在且等于极限值 B. f x 在X 。
函数值必存在，但不一定等于极限值 C. f x 在x o 的函数值可以不存在 D. 如果f X 。
存在的话，必等于极限值 3.数列0， 1，2，3，4，3456…是(B )A .以0为极限B . 以1为极限C .以“ 一2为极限n D . 不存在在极限14 . lim xsin ( C )A . ::B .不存在C . 1D . 02x5 . lim i 1=( A )xixA . e ，B .二C . 0D .-26 .无穷小量是（C ）A .比零稍大一点的一个数B . 一个很小很小的数C .以零为极限的一个变量D .数零X 二 1■在R 上连续，则a 的值为（D ）x 1C . -1D . -2xe8 .设 f (x )=」1a + x 要使f x 在x = 0处连续，则a 二A . 2B . 1C . 0D . -17.若函数f (x )=」x 2+a COS 让X,I . x 037 . lim 3n sin 二=x 。
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2015函数、极限与连续习题加答案制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续2 第一章 函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题1．2x y =与xy =相同；2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数；（ ）3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ）4. )0(2>=x x y 是偶函数；（ ）5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续3 （ ）7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ）8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。
（ ） 二、填空题1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 对称；2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2+x f 的定义域是 ； 3.122+=xxy 的反函数是 ；4.1)(+=x x f ，211)(x x +=ϕ，则]1)([+x f ϕ＝ ， ]1)([+x f ϕ＝ ； 5.)2(sin log2+=x y 是由简单函数 和复合而成； 6.1)(2+=xx f ，x x 2sin )(=ϕ，则)0(f ＝ ，___________)1(=af ，___________)]([=x f ϕ。
制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续4 三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）A 、x 3sin B 、13+x C 、xx +3D 、xx -32.设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－23.)sin()(2x xx f -=是（ ）A 、有界函数B 、周期函数C 、奇函数D 、偶函数 四、计算下列各题1.求定义域523arcsin3xx y -+-=2.求下列函数的定义域制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续5 (1)342+-=x x y(2)1142++-=x x y(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =3.设2)(x x f =，xe x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g xf f x fg x g f ；4.判断下列函数的奇偶性制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续6 (1)3)(-=x x f (2)xx f )54()(=(3) xx x f -+=11lg)( (4)x x x f sin )(=5.写出下列函数的复合过程 (1))58(sin 3+=x y (2))5tan(32+=x y(3)212x y -= (4))3lg(x y -=制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续76.设⎩⎨⎧≥<=.1,0,1,)(x x x x ϕ求)51(ϕ，)21(-ϕ，)2(-ϕ，并作出函数)(x y ϕ=的图形。
第二讲：极限概念一、是非题1.在数列{}na 中任意去掉或增加有限项，不影响{}n a 的极限； （ ）2.若数列{}nn b a 的极限存在，则{}na 的极限必存在； （ ）3.若数列{}nx 和{}ny 都发散，则数列{}n ny x+也发散； （ ）4.若0)(lim =⋅∞→nnn v u ，则必有0lim =∞→nn u 或0lim =∞→nn v。
（ ）制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续8 5.若Ax f x x =→)(lim 0，则Ax f =)(0；（ ） 6.已知)(0x f 不存在，但)(limx f x x →有可能存在；（ ）7.若0()f x +与0()f x -都存在，则)(limx f x x →必存在；（ ） 8.2arctan lim π=∞→x x ；（ ） 9. 0lim =-∞→x x e ；（ ）10.非常小的数是无穷小； （ ） 11.零是无穷小；（ ）12.无限变小的变量称为无穷小； （ ）13.无限个无穷小的和还是无穷小。
（ ） 二、填空题制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续9 1.______________)1(lim =-+∞→n n n ； 2.______________2sin lim=∞→nn n π；3.______________])1(4[lim 2=-+∞→nnn ；4.______________31lim=∞→nn ；5.______________)12(lim 1=-→x x ；6.______________11lim2=+∞→x x ；7. ___________cos lim 0=→x x ，___________cos lim =∞→x x ；8.设⎩⎨⎧+=,,)(b ax e x f x 00>≤x x ，则(0)_________,(0)_________f f +-==，当_____=b 时，1)(lim 0=→x f x 。
9.设11+=x y ，当____→x 时，y 是无穷小量，当____→x 时，y 是无穷大量；10.设)(x α是无穷小量，)(x E 是有界变量，则)()(x E x α为；11. A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是当0x x →时，Ax f -)(为 ；12._____________1sin lim 0=→x x x ；1lim sin _____________x x x→∞=。
制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续10 三、选择题1.已知下列四数列： ①、2=nx；②、132+=n xn；③、132)1(1+-=+n xn n；④、1313)1(1+--=-n n xn n则其中收敛的数列为（ ）A 、①B 、①②C 、①④D 、①②③2.已知下列四数列： ①、ΛΛ,)1(,,1,1,1,11+---n ②、ΛΛ,21,0,,21,0,21,0,21,032n③、ΛΛ,12,11,,34,31,23,21+++n n n ④、ΛΛ,,,2,1n 则其中发散的数列为（ ）A 、①B 、①④C 、①③④D 、②④3.⎪⎩⎪⎨⎧=-,10,17nx n 为偶数为奇数n n ，则必有（ ）A 、0lim =∞→nn xB 、710lim -∞→=nn xC 、⎩⎨⎧=∞→为偶数，为奇数－n n xnn 710,0lim D 、nn x ∞→lim 不存在4.从1)(lim 0=→x f x x 不能推出（ ） A 、1)(lim0=→x f x x －B 、0()1f x+＝C 、1)(0＝x f D 、01)(lim 0=→】－【x f x x5.设⎩⎨⎧+=,2,1)(x x f 0=≠x x ，则)(lim 0x f x →的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、不存在6. 当1→x 时，下列变量中是无穷小的是（ ） A 、13-xB 、x sinC 、xe D 、)1ln(+x7.下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是（ ）A 、)(132+∞→+x x x B 、)(ln +∞→x xC 、ln (0)x x +→ D 、)(2cos 1∞→x nxx8.若∞=→)(limx f x x ，∞=→)(lim 0x g x x ，则下列极限成立的是（ ）A 、∞=+→)]()([lim 0x g x f x x B 、0)]()([lim 0=+→x g x f x xC 、∞=+→)()(1limx g x f x x D 、∞=→)()(limx g x f x x9.以下命题正确的是（ ） A 、无界变量一定是无穷大 B 、无穷大一定是无界变量C 、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增D 、不趋于无穷大的变量必有界 10.xx e10lim →（ ）A 、等于0B 、等于∞+C 、等于1D 、不存在11.下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（ ）； A 、xxx x sin 1sin lim20→ B 、xxx sin 11lim 1--→ C 、x x x x x sin sin lim -∞→ D 、)arctan 2(lim x x x -+∞→π四、设xx x f 2)(=，回答下列问题：1.函数)(x f 在0=x 处的左、右极限是否存在？2.函数)(x f 在0=x 处是否有极限？为什么？3.函数)(x f 在1=x 处是否有极限？为什么？五、下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？1.)(12∞→+x x x； 2.)0(13→-x xx ；3.)0(ln →x x ；4.)0(1→x ex六、当+∞→x 时，下列哪个无穷小与无穷小x1是同阶无穷小？哪个无穷小与无穷小x 1是等价无穷小？哪个无穷小是比无穷小x 1高阶的无穷小？ 1.x 21， 2.21x ， 3. x1第三讲：极限的求法一、是非题1.在某过程中，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f +无极限； （ ）2.在某过程中，若)(x f ，)(x g 均无极限，则)()(x g x f +无极限； （ ）3.在某过程中，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f 无极限； （ ）4.在某过程中，若)(x f ，)(x g 均无极限，则)()(x g x f 无极限； （ ）5.若Ax f x x =→)(lim，0)(lim 0=→x g x x ，则)()(limx g x f x x →必不存在；（ ）6. 0lim 2lim 1lim 321lim2222=+++=++++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n ΛΛ；（ ） 7. 01sin lim lim 1sinlim 000=⋅=→→→xx x x x x x ；（ ）8.0lim 3lim )3(lim 22=∞-∞=-=-∞→∞→∞→x x x x x x x ； （ ）9.1sin lim=∞→xxx ； （ ）10.e xx x =-∞→)11(lim .（ ）二、计算下列极限1.113lim 21++-→x x x ； 2. 121lim 221---→x x x x ；3.1312lim 22+++∞→x x x x ； 4.212lim x x x +∞→ ；5.2232)2(2lim-+→x x x x ；6.)1311(lim 31xx x ---→ ； 7.)11(lim 22+--++∞→x x x x x ；8.2)1(321lim n n n -++++∞→Λ ；9.500200300)12()23()12(lim +--∞→x x x x ； 10.xxx x x 1arctan1sin 2lim2++∞→ ；11.xx x x x 2tan 3sin lim0++→ ； 12.xx x 20)31(lim -→ ；13.)0(2sin2lim ≠∞→x xn n n ；14.)sin 11sin (lim 0x xx x x +→ ； 15.30sin tan limx xx x -→ ；16.xx x x )21(lim ++∞→ ；三、求函数的极限 （1）52432)76()23()34(lim +--∞→x x x x ； （2）xx x x x sin cos 2lim-+∞→；（3）xx x x 2sin 3tan lim20→； （4）xx x 3cot 5sin lim π→；（5）x x xx 10)121(lim +-→； （6）xx x x ox 23151lim2+--+→四、求数列的极限： （1）nn n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→21lim ； （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→111lim 3n n n n ；（3）)(lim nb na n e en -∞→，其中b a ,为正的常数。