极限与导数的概念

极限是微积分的基石

一、实例引入：

例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。

观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。

二、新课讲授

1、数列极限的定义：

一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0）

，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞

→lim

注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞

→lim 有时也记作当n →∞时，n a →A

②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？

例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1，

21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1

+n n ，…； （3）－2，－2，－2，…，－2，…；（4）－0.1，0.01，－0.001，…，n )1.0(-，…；

（5）－1,1，－1，…，n )1(-，…； 注：几个重要极限： （1）01

lim

=∞→n

n （2）C C n =∞→lim （C 是常数）

（3）无穷等比数列}{n

q （1

→q q n

n

2、当∞→x 时函数的极限

（1） 画出函数x

y 1

=

的图像，观察当自变量x 取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于正无穷大时，

的极限是0，记作：01

lim

=+∞→x

x

一般地，当自变量x 取正值且无限增大时，如果函数

)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数)(x f y =的极

限是A ，记作：A x f x =+∞

→)(lim

也可以记作，当x +∞→时，A x f →)(

（2）从图中还可以看出，当自变量x 取负值而x 无限增大时，函数x

y 1

=

的值无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于负无穷大时，函数x

y 1=的极限是0，记作：01

lim =-∞→x x

一般地，当自变量x 取负值而x 无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =-∞

→)(lim

也可以记作，当x -∞→时，A x f →)(

（3）从上面的讨论可以知道，当自变量x 的绝对值无限增大时，函数x

y 1

=

的值都无限趋近于0，这时就说，当x 趋向于无穷大时，函数x

y 1=的极限是0，记作01

lim =∞→x x

一般地，当自变量x 的绝对值无限增大时，如果函数)(x f y =的值无限趋近于一个常数A ，就说当x 趋向于无穷大时，函数)(x f y =的极限是A ，记作：A x f x =∞

→)(lim

也可以记作，当x ∞→时，A x f →)(

特例：对于函数C x f =)(（C 是常数），当自变量x 的绝对值无限增大时，函数C x f =)(的值保持不变，所以当x 趋向于无穷大时，函数C x f =)(的极限就是C ，即 C C x =∞

→lim

例2：判断下列函数的极限：

（1）x x )21(lim +∞→ （2）x

x 10lim -∞

→

（3）21

lim x

x ∞→ （4）4lim ∞→x

三、练习与作业

1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限 （1）1，

41，91，…，21

n

，… ；（2）7，7，7，…，7，…； （3） ,2

)1(,,81,41,21n

n

---； （4）2，4，6，8，…，2n ，…； （5）0.1，0.01，0.001，…，

n

10

1，…； （6）0，,32,21--…，11

-n ，…； （7）,41,31,21-…，11)1(1

+-+n n ，…； （8）,51,59,54…，5

2n ，…；

（9）－2, 0，－2，…，1)1(--n ,…， 2、判断下列函数的极限：

（1）x

x 4.0lim +∞

→ （2）x

x 2.1lim -∞

→

（3）)1lim(-∞

→x （4）41

lim x x ∞→ （5）x x )101(lim +∞→ （6）x

x 4

5(lim -∞→

（7）1

1

lim 2+∞→x x （8）5lim ∞→x

一、引入：

一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o

==→∞→lim ,01

lim

.若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数

的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.