2013年高考数学总复习-3-1导数的概念及运算课件-新人教B版

第三节
导数的概念及运算
重点难点 重点：导数的概念、公式及运算法则，导数的应用 难点：复合函数的导数及积商的导数公式
知识归纳 一、导数及有关概念 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数 y＝f(x)，x0、x1 是定义域内不同 的两点，记 Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)，则当 Δx≠0 时，商fx0＋ΔΔxx－fx0＝_ΔΔ_yx_. 称作函数 y＝f(x)从 x0 到 x1 的平均变化率．
2．两个函数的四则运算的导数 (f±g)′＝f ′±g′； (fg)′＝f ′g＋fg′，特别(cf)′＝cf ′(c 为常数)； (gf)′＝f ′gg－2 fg′(g≠0)． 3．复合函数的导数 y′x＝y′u·ux′(其中 u 是 x 的函数)
误区警示 1．导数公式 (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈ N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′ ＝xax－1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，uv′≠uv′ ′.
2．熟练掌握导数的应用 主要包括利用导数确定函数的单调性、求函数的极 值与最值、已知函数的单调性或极值求字母参数的值或 取值范围. 特别要注意能用导数的方法解决一些函数性 质的综合性问题. 3．(理)掌握定积分的概念、性质，掌握微积分基本 定理，会用定积分解决一些平面曲线围成的平面图形的 面积和变速运动的路程及变力作功等几何与物理问题．
Δs＝ft0＋Δt－ft0趋近于常数，我们把这个常数称为
Δt
Δt
t0
时刻的瞬时速度．
3．导数 设函数 y＝f(x)在 x0 处及其附近有定义，当自变量在 x＝x0 附近改变量为 Δx 时，函数值相应地改变量 Δy＝f(x0 ＋Δx)－f(x0)．如果当 Δx 趋近于 0 时，平均变化率ΔΔyx＝ fx0＋ΔΔxx－fx0趋近于一个常数 l，那么常数 l 称为函数 f(x)在点 x0 处的瞬时变化率．函数在点 x0 处的瞬时变化 率通常称为 f(x)在 x＝x0 处的导数，又称函数 f(x)在 x＝ x0 处可导．
●课程标准 1．导数概念及其几何意义 (1)通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡 到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道 瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵． (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义．
2．导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数 y＝c，y＝x，y＝x2，y ＝1x，y＝ x的导数． (2)能利用给出的基本初等函数的导数公式wenku.baidu.com导数的 四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单的复合函 数(仅限于形如 f(ax＋b))的导数． (3)会使用导数公式表．
3．导数在研究函数中的应用 (1)结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调 性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求 不超过三次的多项式函数的单调区间． (2)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必 要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函 数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项 式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质 中的一般性和有效性．
4．生活中的优化问题举例． 例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优 化问题，体会导数在解决实际问题中的作用． 5．(理)定积分与微积分基本定理 (1)通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从 问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会 定积分的基本思想，初步了解定积分的概念． (2)通过实例(如变速运动物体在某段时间内的速度 与路程的关系)，直观了解微积分基本定理的含义．
4．导数的几何意义：函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f ′(x0)，就是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的_切__线_的__ _斜__率__．_ 导数的物理意义：物体的运动方程 s＝s(t)在点 t0 处 的导数 s′(t0)，就是物体在 t0 时刻的_瞬__时__速__度__．__
一般地，函数 y＝f(x)的导数 f ′(x)=lΔixm→0ΔΔyx ＝lΔixm→0fx＋ΔΔxx－fx. 如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 都是可导的，则 称 f(x)在区间(a，b)内可导．在区间(a，b)内，f ′(x)构 成一个新的函数，我们把这个函数称为函数 f(x)的导函 数，简称为导数，f ′(x)也记作ddyx.
二、导数公式 1．常用的导数公式 C′＝0(C 为常数)； (xm)′＝mxm－1(x>0，m≠0 且 m∈Q)； (xn)′＝nxn－1(n∈N＋) (sinx)′＝cosx； (cosx)′＝－sinx；
(ex)′＝ex， (ax)′＝axlna；(lnx)′＝1x； (logax)′＝xl1na. 特别 f(x)＝1x时，f ′(x)＝－x12， f(x)＝ x时，f ′(x)＝21x .
2．(1)平均速度 设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，在 t0 到 t0 ＋ Δt 这 段 时 间 内 ， 物 体 运 动 的 平 均 速 度 是 v0 ＝ ft0＋ΔΔtt－ft0＝_ΔΔ_st_.
(2)瞬时速度
设物体运动路程与时间的关系是 s＝f(t)，当 Δt 趋近
于 0 时，函数 f(t)在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内的平均变化率
●命题趋势 (1)求导数及切线方程． (2)用导数研究函数的单调性，求函数的极值与最值． (3)已知函数的单调性或极值等讨论字母参数． (4)导数的实际应用与综合应用． (5)(理)定积分与微积分基本定理的应用．
●备考指南 1．熟练掌握导数的定义及运算法则 主要包括理解导数的定义及几何意义，熟记求导公 式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，并能运 用上述公式与法则进行求导计算. 导数的几何意义是重 点必考内容，要熟练掌握求解曲线在某点或经过某点的 切线问题．