高三数学坐标系与参数方程(较适合文科生)

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2020年高考数学(文)二轮专项复习专题13 坐标系与参数方程含答案

专题13 坐标系与参数方程【知识要点】1．极坐标系的概念，极坐标系中点的表示．在平面内取一个定点O ，O 点出发的一条射线Ox ，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系．O 称为极点，Ox 称为极轴．设M 是平面内任意一点，极点O 与点M 的距离｜OM |叫做点M 的极径，记作ρ ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记作θ ，有序数对(ρ ，θ )叫做点M 的极坐标．一般情况下，约定ρ ≥0．2．极坐标系与直角坐标系的互化．直角坐标化极坐标：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ；极坐标化直角坐标：， 3．参数方程的概念设在平面上取定一个直角坐标系xOy ，把坐标x ，y 表示为第三个变量t 的函数……①，如果对于t 的每一个值(a ≤t ≤b )，①式所确定的点M (x ，y )都在一条曲线上；而这条曲线上任意一点M (x ，y )，都可由t 的某个值通过①式得到，则称①式为该曲线的参数方程，其中t 称为参数．4．参数方程与普通方程的互化把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消元法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等．把曲线C 的普通方程F (x ，y )＝0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性．要注意方程中的参数的变化范围． 5．直线、圆、椭圆的参数方程．(1)经过一定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α 的直线l 的参数方程为(t 为参数)；(2)直线参数方程的一般形式为(t 为参数)；222y x +=ρ).0(tan =/=x xyθ⎩⎨⎧==)()(t g y t f x b t a ≤≤⎩⎨⎧+=+=ααsin ,cos 00t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00,(3)圆的参数方程为(θ 为参数)；(4)椭圆的参数方程为(θ 为参数)．【复习要求】1．理解坐标系的作用．2．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．3．了解参数方程．4．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程，并会简单的应用．【例题分析】例1 (1)判断点是否在曲线上． (2)点P 的直角坐标为，则点P 的极坐标为______．(限定0＜θ ≤2π)(3)点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为______．解：(1)因为，所以点是在曲线上． (2)根据ρ 2＝x 2＋y 2，，得ρ ＝2，，又点P 在第四象限，，所以，所以点P 的极坐标为 (3)根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，得，所以点P 的直角坐标为例2 (1)圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为______．⎩⎨⎧+=+=θθsin ,cos 00r y y r x x )0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθsin ,cos b y a x )35π,23(-2cos θρ=)3,1(-)4π,3(-2365πcos2cos-==θ)35π,23(-2cos θρ=)0(tan =/=x xy θ3tan -=θ2π23π≤<θ35π=θ).3π5,2(223,223-==y x ).223,223(-(2)直线与圆ρ ＝2sin θ 交与A ，B 两点，则|AB |＝______．解：(1)由ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )，得ρ 2＝2ρ (cos θ ＋sin θ )，所以，x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2，所以圆ρ ＝2(cos θ ＋sin θ )的半径为． (2)将直线与圆ρ ＝2sin θ 化为直角坐标方程，得由得，即，由ρ ＝2sin θ ，变形为ρ 2＝2ρ sin θ ，得x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，因为圆的半径为1，圆心到直线的距离为，所以评述：(1)应熟练运用直角坐标与极坐标互化的方法解决有关极坐标的问题；(2)由直角坐标化极坐标时要注意点位于哪一个象限才能确定θ 的大小，如例1(2)，否则，极坐标不唯一； (3)例2也可以用极坐标有关知识直接解决．这需要知道一些直线与圆的极坐标方程的知识．如： ①过极点，倾斜角为α 的直线：θ ＝α (ρ ∈R )或写成θ ＝α 及θ ＝α ＋π． ②过A (a ，α)垂直于极轴的直线：ρ cos θ ＝a cos α ． ③以极点O 为圆心，a 为半径的圆(a ＞0)：ρ ＝a ．④若O (0，0)，A (2a ，0)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a cos θ ． ⑤若O (0，0)，A (2a ，)，以OA 为直径的圆：ρ ＝2a sin θ ．对于例2(2)，可以利用结论①⑤，作出直线与圆，通过解三角形的方法求|AB ｜，当然也可以用极坐标方程直接解ρ ，根据ρ 的几何意义求｜AB ｜．例3 圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ ＝4cos θ ，ρ ＝－4sin θ ． (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过圆O 1和圆O 2交点的直线的直角坐标方程．)(3πR ∈=ρθ2)(3πR ∈=ρθ3π=θxy=3πtan x y 3=21311=+=d .3)21(12||2=-=AB 2π解：(1)由ρ ＝4cos θ 得ρ 2＝4ρ cos θ ，根据x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以x 2＋y 2＝4x ．即x 2＋y 2－4x ＝0为圆O 1的直角坐标方程，同理x 2＋y 2＋4y ＝0为圆O 2的直角坐标方程．(2)由解得即圆O 1和圆O 2交于点(0，0)和(2，－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y ＝－x ．例4(1)曲线的参数方程是(t 为参数，t ≠0)，它的普通方程是________． (2)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为 (参数t ∈R )，圆C 的参数方程为(参数θ ∈[0，2π])，则圆C 的圆心坐标为______，圆心到直线l 的距离为______．解：(1)由得，带入y ＝1－t 2，得注意到，所以已知参数的普通方程为 (2)直线l 的普通方程为x ＋y －6＝0，圆C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(0，2)，圆心到直线l 的距离评述：(1)应熟练运用将参数方程化为普通方程的方法解决有关参数方程的问题；(2)在将参数方程化为普通方程的过程中应注意消参带来的范围变化问题．如例4(1)，若参数方程为(t 为参数，t ＞0)，则其普通方程为例5 求椭圆的内接矩形的最大面积．解：设内接矩形在第一象限内的顶点为P (a cos θ ，b sin θ )，P 点在两轴上的投影分别为A 、B ，则有S 内接矩形＝4S 矩形OAPB ＝4·a cos θ ·b sin θ ＝2ab sin2θ ．因为，所以2θ ∈(0，π)，S 内接矩形的最大值为2ab ． ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+,04,042222y y x x y x ⎩⎨⎧==;0,011y x ⎩⎨⎧-==.2,222y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ⎩⎨⎧-=+=t y t x 3,3⎩⎨⎧+==2sin 2,cos 2θθy x t x 11-=x t -=11,)1()2()11(122--=--=x x x x y 111=/-=t x ⋅--=2)1()2(x x x y .222|620|=-+=d ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=21,11t y t x ).1()1()2(2<--=x x x x y 12222=+by a x )2π,0(∈θ评述：圆锥曲线参数方程主要应用于利用参数方程设圆锥曲线上的点，从而讨论最值等有关问题．椭圆的参数方程为 (θ 为参数)．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为.例6 圆M 的参数方程为x 2＋y 2－4Rx cos α －4Ry sin α ＋3R 2＝0(R ＞0)． (1)求该圆的圆心坐标以及圆M 的半径；(2)当R 固定，α 变化时，求圆心M 的轨迹，并证明此时不论α 取什么值，所有的圆M 都外切于一个定圆．解：(1)依题意得圆M 的方程为(x －2R cos α )2＋(y －2R sin α )2＝R 2，故圆心的坐标为M (2R cos α ，2R sin α )，半径为R ．(2)当α 变化时，圆心M 的轨迹方程为 (α 为参数)，两式平方相加得x 2＋y 2＝4R 2，所以圆心M 的轨迹是圆心在原点，半径为2R 的圆．由于所以所有的圆M 都和定圆x 2＋y 2＝R 2外切，和定圆x 2＋y 2＝9R 2内切．例7 过P (5，－3)，倾斜角为α ，且的直线交圆x 2＋y 2＝25于P 1、P 2两点．(1)求|PP 1|·|PP 2｜的值；(2)求弦P 1P 2的中点M 的坐标．解：(1)由已知得所以已知直线的参数方程为…………………①(t 为参数)代入圆的方程化简，得…………………② ②的两个解t 1、t 2就是P 1、P 2对应的参数，由参数的几何意义及韦达定理知)0,0(12222>>=+b a b y a x ⎩⎨⎧==θθtan sec b y a x ⎩⎨⎧==pty ptx 222⎩⎨⎧==,sin 2,cos 2ααR y R x ,32)sin 2()cos 2(22R R R R R -==+αα,2)sin 2()cos 2(22R R R R R +==+αα53cos -=α53cos -=α,54sin =α⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=,543,535t y t x .095542=+-t t｜PP 1|·｜PP 2|＝|t 1|·|t 2|＝9．(2)设M (x ，y )为P 1P 2的中点，则点M 对应的参数，代入参数方程，得所以评述：根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： ①直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2｜； ②定点M 0是弦M 1M 2的中点t 1＋t 2＝0；③设弦M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值，(由此可求得|M 2M |及中点坐标)．习题13一、选择题 1．极坐标的直角坐标为 (A)(1，)(B)(－，－1)(C)(－1，－)(D)(－1，)2．椭圆(θ 为参数)的焦距等于( )(A) (B)2 (C) (D)3．已知某条曲线的参数方程为(0≤t ≤5)，则该曲线是( )(A)线段 (B)圆弧 (C)双曲线的一支 (D)射线4．若是极坐标系中的一点，则四点中与P 重合的点有( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个527221=+=t t t ,2533,2544==y x M PP PP ,9||||21=⋅).2533,2544(⇒221t t t M +=)34π(2,3333⎩⎨⎧==θθsin 5,cos 2y x 212129292⎪⎩⎪⎨⎧-=+=1,2322t y t x )3π,2(--P 、、、)3π5,2()3π8,2()3π2,2(-M R Q )3π5π2,2(-k N )(Z ∈k5．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点是，那么顶点C 的坐标可能是( ) (A) (B) (C)(D)(3，π)二、选择题6．过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为____________． 7．点M 的直角坐标(3，－3)化为极坐标是____________． 8．直线(t 为参数)过定点____________．9．曲线(t 为参数)与y 轴的交点坐标是____________．10．参数方程(θ 为参数)表示的曲线的普通方程是____________．三、解答题11．求过点，并且和极轴垂直的直线的极坐标方程．12．在椭圆上求一点，使点M 到直线的距离最小，并求出最小距离．13．设圆C 是以C (4，0)为圆心，半径等于4的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)从极点O 作圆C 的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程．)4π5,2()4π,2(B A 、)4π3,4()43π,32()π,32(6π⎩⎨⎧+-=+=t y at x 41,3⎩⎨⎧=+-=t y t x ,12⎩⎨⎧+==θθθcos sin ,2sin y x )4π,3(14922=+y x 021032=-+y x14．已知点M (2，1)和双曲线，求以M 为中点的双曲线右支的弦AB 所在直线l 的方程．专题13 坐标系与参数方程参考答案习题13一、选择题1．C 2．B 3．A 4．C 5．B 二、填空题 6．； 7．； 8．(3，－1)； 9．(0，1)，(0，－1)；三、解答题 11． 12．解：由题设知椭圆参数方程为(θ 为参数)．设M 的坐标(3cos θ ，2sin θ )由点到直线距离即d 的最小值为，此时．所以M 的坐标为13．解：(1)设P (ρ ，θ )为圆C 上任意一点，圆C 交极轴于另一点A ．由已知|OA |＝8，在Rt △ABC 中，|OP |＝|OA ｜cos θ ，即ρ ＝8cos θ ，这就是圆C 的方程．1222=-y x )(6πR ∈=ρθ)47π,23(⋅=223cos θρ⎩⎨⎧==θθsin 2,cos 3y x ,13|210)4πsin(26|13|210sin 6cos 6|-+=-+=θθθd 261344π=θ).2,223((2)连结CM ，因为M 是ON 的中点，所以CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上．由r ＝|OC |＝4，得动点M 的轨迹方程是ρ ＝4cos θ ．14．解：设AB 的方程为(t 为参数)，代入双曲线方程，得(2cos 2α －sin 2α )t 2＋(8cos α －2sin α )t ＋5＝0，由于M 为AB 的中点，则t 1＋t 2＝0，则tan α ＝4，从而AB 的方程为：4x －y －7＝0．⎩⎨⎧+=+=ααsin 1,cos 2t y t x。

高考数学文科二轮专题攻略课件：第十六讲坐标系与参数方程

(3)过点M
b,
2
且平行于极轴的直线的极坐标方程为ρsin
θ=b.
3.极坐标与直角坐标的互化方法
考点聚焦栏目索引高考导航
点M 互化公式
直角坐标(x,y)
x cos y sin
极坐标(ρ,θ)
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
考点聚焦栏目索引
(2018课标全国Ⅰ,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+
P0 P
的长度.
2.圆的参数方程
圆心在点M0(x0,y0),半径为r的圆的参数方程为
x y
x0 y0
r cos r sin
θ θ
,
(θ为
参数).
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3.圆锥曲线的参数方程
椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的参数方程为
x
y
a b
cos θ , (θ为高考参导航数);
sin θ
12
,所以 | OA | = cosθ(cosθ
cosθ 3 sin θ
| OB |
3
3
sin
θ)
=
1 6
+
1 3
sin
2θ
6
,因
为θ∈
0,
2
,所以2θ+
6
∈
6
,
7
6
,所以sin
2θ
6
∈
1 2
,1
,所以
| OA | 的最大值为 1 ,此时θ= .
| OB |
2
6
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2023年统考版《师说》高考数学复习(文科)课件选修4 坐标系与参数方程

反思感悟
求曲线的极坐标方程的步骤
(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；
(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极
角θ之间的关系式；
(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．
角度2 极坐标方程的应用
[例3] [2022·陕西省部分学校检测]在直角坐标系xOy中，曲线C1的
x = x0 + t cos α ，
ቊ
(t为参数)．若A，B为直线l上两点，其对应的参数
y = y0 + t sin α
分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结
论在解题中经常用到：
t1 +t2
(1)t0＝
；
2
(2)|PM|＝|t0|＝
t1 +t2
2
(3)|AB|＝|t2－t1|；
极坐标方程．
考点三
曲线的极坐标方程及应用
[综合性]
角度1 曲线的极坐标方程
[例2] [2021·全国乙卷]在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，
半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程；
(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
(t为参数)，则参数t的几何意义是__________________．
3．圆的参数方程
圆心为(a，b)，半径为r，以圆心为顶点且与x轴同向的射线，按逆时
针方向旋转到圆上一点所在半径成的角α为参数的圆的参数方程为
= + ，
ቊ = +
________________α∈[0，2π)．

高三数学坐标系与参数方程(较适合文科生)

高三数学坐标系与参数方程(较适合文科生)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高三数学坐标系与参数方程（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

（2）了解坐标系的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。

（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程。

（4）了解参数方程，了解参数的意义。

（5）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。

1. 极坐标系①极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。

极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。

②平面直角坐标与极坐标的区别：在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

③极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。

④如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

2.极坐标与直角坐标的互化：（1）互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；极轴与x 轴的正方向重合；③ 两种坐标系中取相同的长度单位。

（2）互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ， ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x y y x θρ 注：极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2是常用的方法. 1．已知点的极坐标分别为)4,3(π-A ，)32,2(πB ，),23(πC ，)2,4(π-D ，求它们的直角坐标。

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——坐标系与参数方程第二课时参数方程

第二课时参数方程考试要求 1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1.曲线的参数方程一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数. 2.参数方程与普通方程的互化通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 3.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线y －y 0＝tan α(x －x 0)⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数) 圆 x 2＋y 2＝r 2⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数) 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)1.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.2.直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)参数方程⎩⎨⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数.( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量.( )(3)方程⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×解析 (4)当t ＝π3时，点M 的坐标为(2cos π3，4sin π3)，即M (1，23)，∴OM 的斜率k ＝2 3.2.(2019·北京卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋4t (t 为参数)，则点(1，0)到直线l 的距离是( ) A.15 B.25C.45D.65答案 D解析由题意可知直线l 的普通方程为4x －3y ＋2＝0，则点(1，0)到直线l 的距离d ＝|4×1－3×0＋2|42＋（－3）2＝65.故选D.3.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值是________. 答案 3解析直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.4.(2019·天津卷)设直线ax －y ＋2＝0和圆⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)相切，则实数a ＝________. 答案 34解析圆的参数方程消去θ，得 (x －2)2＋(y －1)2＝4. ∴圆心(2，1)，半径r ＝2. 又直线ax －y ＋2＝0与圆相切. ∴d ＝|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34.5.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，若l 与圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则直线l 的斜率为________. 答案 ±1515解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，得y ＝x tan α，设k ＝tan α，得直线的方程为y ＝kx ，由x 2＋y 2－4x ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2，0)，半径为1， ∴圆心到直线y ＝kx 的距离为 12－|AB |24＝12＝|2k |k 2＋1，得k ＝±1515.6.(易错题)设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎨⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0，2π))上任意一点，则yx 的最大值为________.答案 33解析由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2，0)，半径为1的圆，yx 表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设yx ＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k 2≤1，解得－33≤k ≤33，所以y x 的最大值为33.考点一参数方程与普通方程的互化1.下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2B.⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t |D.⎩⎨⎧x ＝1－cos 2t 1＋cos 2t ，y ＝tan t答案 D解析对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ；对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ；对于D ，x ＝1－cos 2t1＋cos 2t ＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2，符合y 2＝x .故选D.2.把下列参数方程化为普通方程. (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数)；(2)⎩⎨⎧x ＝sin θ，y ＝cos 2θ(θ为参数，θ∈[0，2π)). 解 (1)由已知得t ＝2x －2，代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2). 即它的普通方程为3x －y ＋5－3＝0.(2)因为sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以x 2＋y ＝1，即y ＝1－x 2. 又因为|sin θ|≤1，所以其普通方程为y ＝1－x 2(|x |≤1).3.(2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，⊙C 的圆心为C (2，1)，半径为1. (1)写出⊙C 的一个参数方程；(2)过点F (4，1)作⊙C 的两条切线.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.解 (1)由题意知⊙C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1，则⊙C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝1＋sin α(α为参数).(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y －1＝k (x －4)，即kx －y ＋1－4k ＝0，所以|2k －1＋1－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝±33，则这两条切线方程分别为y ＝33x －433＋1，y ＝－33x ＋433＋1，故这两条切线的极坐标方程分别为 ρsin θ＝33ρcos θ－433＋1，ρsin θ＝－33ρcos θ＋433＋1.感悟提升 1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.另外，消参时要注意参数的范围.2.普通方程化为参数方程时，先分清普通方程所表示的曲线类型，结合常见曲线的参数方程直接写出. 考点二参数方程的应用例 1 (2022·兰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)已知点P (3，3)，曲线C 1和C 2相交于A ，B 两个不同的点，求||P A |－|PB ||的值.解(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ，y ＝t －1t的参数t 消去得曲线C 1的普通方程为x 2－y 24＝1.∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝0，∴ρcos θ－3ρsin θ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得曲线C 2的直角坐标方程为x －3y ＝0. (2)由题意得点P (3，3)在曲线C 2上，曲线C 2的参数方程可表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32t ′，y ＝3＋12t ′(t ′为参数)，将上述参数方程代入x 2－y 24＝1得11t ′2＋443t ′＋4×29＝0，① Δ>0，设t ′1，t ′2为方程①的两根，则t ′1＋t ′2＝－43，t ′1t ′2＝4×2911，∴(|P A |－|PB |)2＝(|P A |＋|PB |)2－4|P A ||PB |＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝6411，∴||P A |－|PB ||＝81111.感悟提升 1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.2.过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t 的几何意义解题.训练1 (2022·晋中模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t ∈R ，t 为参数，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(1)求半圆C 的参数方程和直线l 的普通方程；(2)直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点D 在半圆C 上，且直线CD 的倾斜角是直线l 的倾斜角的2倍，△ABD 的面积为1＋3，求α的值. 解 (1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，将x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ代入，得半圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ， ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴y ＝ρsin θ＝2sin 2θ∈(1，2]，x ＝ρcos θ＝2sin θ·cos θ＝sin 2θ∈(－1，1)， ∴半圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1(1<y ≤2).由sin φ＝y －1∈(0，1]，cos φ＝x ∈(－1，1)知，可取φ∈(0，π)， ∴半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数，φ∈(0，π)).将直线l 的参数方程消去参数t ，得直线l 的普通方程为y ＝x tan α－2，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)由题意可知，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α，0，B (0，－2)，根据圆的参数方程中参数的几何意义，结合已知条件，可得φ＝2α，所以D (cos 2α，1＋sin 2α). 则点D 到直线AB 的距离d ＝|tan α·cos 2α－（1＋sin 2α）－2|1＋tan 2α＝|sin αcos 2α－cos αsin 2α－3cos α| ＝sin α＋3cos α，又|AB |＝（－2）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2tan α2＝2sin α.∴△ABD 的面积S ＝12·|AB |·d ＝1＋3tan α＝1＋3， ∴tan α＝ 3.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝π3.考点三参数方程与极坐标方程的综合应用例2 (2020·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos k t ，y ＝sin kt (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ－16ρsin θ＋3＝0. (1)当k ＝1时，C 1是什么曲线？(2)当k ＝4时，求C 1与C 2的公共点的直角坐标. 解 (1)当k ＝1时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝sin t ，消去参数t 得x 2＋y 2＝1，故曲线C 1是以坐标原点为圆心，1为半径的圆.(2)当k ＝4时，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 4t ，y ＝sin 4t ，消去参数t 得C 1的直角坐标方程为x ＋y ＝1.C 2的直角坐标方程为4x －16y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x －16y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，14.感悟提升在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷地解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.训练2 (2022·长春联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝t 2－2t (t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为t 1，t 2.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝2a sin θ. (1)当t 1＝1，t 2＝3时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；(2)当a ＝1时，若t 1＋t 2＝2＋3，直线MN 被曲线D 截得的弦长为3，求直线MN 的方程.解 (1)因为t 1＝1，t 2＝3，所以M (－1，－1)，N (1，3). 所以直线MN 的方程为y ＝2x ＋1. 因为ρ＝2a sin θ，所以ρ2＝2aρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以曲线D 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2，因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点(0，a )，所以a ＝1.(2)由题意可知k MN ＝（t 21－2t 1）－（t 22－2t 2）（t 1－2）－（t 2－2）＝（t 1－t 2）（t 1＋t 2－2）t 1－t 2＝3，曲线D 的方程为x 2＋(y －1)2＝1，设直线MN 的方程为y ＝3x ＋m ，圆心D 到直线MN 的距离为d ，则d ＝|m －1|2，因为d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝1，所以m ＝0或m ＝2，所以直线MN 的方程为y ＝3x 或y ＝3x ＋2.1.将下列参数方程化成普通方程.(1)⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝t 2＋1(t 为参数)； (2)⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ⎝⎛⎭⎪⎫θ为参数，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π. 解 (1)消去参数t ，得y ＝x ＋2，由于t 2≥0，所以普通方程为y ＝x ＋2(x ≥－1)，表示一条射线.(2)消去参数θ，得x 2＋y 2＝1，由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π2，π，所以x ∈[－1，0]，y ∈[0，1]，所以普通方程为x 2＋y 2＝1(－1≤x ≤0，0≤y ≤1)，表示圆的四分之一.2.(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos θ.(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点A 的直角坐标为(1，0)，点M 为C 上的动点，点P 满足AP→＝2AM →，写出点P 的轨迹C 1的参数方程，并判断C 与C 1是否有公共点.解 (1)根据ρ＝22cos θ，得ρ2＝22ρcos θ，因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝22x ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝2.(2)设P (x ，y )，M (x ′，y ′)，则AP→＝(x －1，y )，AM →＝(x ′－1，y ′). 因为AP →＝2AM →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2（x ′－1），y ＝2y ′，即⎩⎨⎧x ′＝x －12＋1，y ′＝y 2. 因为点M 为C 上的动点，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋1－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝2，即(x －3＋2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－2＋2cos α，y ＝2sin α(其中α为参数，α∈[0，2π)). 所以|CC 1|＝3－22，⊙C 1的半径r 1＝2，又⊙C 的半径r ＝2，所以|CC 1|＜r 1－r ，所以C 与C 1没有公共点.3.(2021·银川模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过定点P (3，0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫0<α<π2，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知直线l 交曲线C 于M ，N 两点，且|PM |·|PN |＝103，求l 的参数方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t 2－12t 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，2y ＝t －1t ，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝t 2＋2＋1t 2－t 2＋2－1t 2＝4， ∴x 2－(2y )2＝4，即x 2－4y 2＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4. 即曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ－4ρ2sin 2θ＝4.(2)设l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入x 2－4y 2＝4整理得(cos 2α－4sin 2α)t 2＋6t cos α＋5＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝5cos 2α－4sin 2α，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5cos 2α－4sin 2α＝103.解得cos α＝±22， ∵0<α<π2，∴cos α＝22，∴α＝π4.故l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t(t 为参数). 4.(2022·合肥检测)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）(t 为参数).在以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 2与曲线C 1交于点A ，B ，M (－2，2)，求1|MA |－1|MB |的值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22（t 14－t －14），y ＝2（t 14＋t －14）得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝t 14－t －14，12y ＝t 14＋t －14，两式平方相减得12y 2－2x 2＝4，即y 28－x 22＝1.又y ＝2(t 14＋t －14)≥22(t >0)， ∴曲线C 1的普通方程为y 28－x 22＝1(y ≥22).曲线C 2：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4－22＝0，化简，得ρsin θ－ρcos θ－4＝0，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y －x －4＝0，∴曲线C 2的直角坐标方程为x －y ＋4＝0.(2)设曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ′，y ＝2＋22t ′(t ′为参数).代入曲线C 1的方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t ′2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋22t ′2＝8，即3t ′2－202t ′＋40＝0.Δ＝320>0.设方程的两个实数根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2023，t 1t 2＝403，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|MA |－1|MB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1|t 1|－1|t 2|＝||t 2|－|t 1|||t 1|·|t 2|＝|t 1－t 2||t 1|·|t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2|t 1|·|t 2|＝853403＝55，∴1|MA |－1|MB |＝55或－55.5.(2022·陕西部分学校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋sin φ－2cos φ，y ＝cos φ＋2sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos θ＋2＝0.(1)求曲线C 1的极坐标方程并判断C 1，C 2的位置关系；(2)设直线θ＝α⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<α<π2，ρ∈R 分别与曲线C 1交于A ，B 两点，与曲线C 2交于P 点，若|AB |＝3|OA |，求|OP |的值.解 (1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝sin φ－2cos φ，①y ＝cos φ＋2sin φ，②①2＋②2得(x －3)2＋y 2＝5，即x 2＋y 2－6x ＋4＝0，将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入上式，得曲线C 1的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，ρcos θ＋2＝0得ρ2＋16＝0，此方程无解. 所以C 1，C 2相离.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－6ρcos θ＋4＝0，θ＝α得ρ2－6ρcos α＋4＝0，因为直线θ＝α与曲线C 1有两个交点A ，B ，所以Δ＝36cos 2α－16>0，得cos α>23.设方程ρ2－6ρcos α＋4＝0的两根分别为ρ1，ρ2，则⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＋ρ2＝6cos α>0，③ρ1ρ2＝4，④因为|AB |＝3|OA |，所以|OB |＝4|OA |，即ρ2＝4ρ1，⑤由③④⑤解得ρ1＝1，ρ2＝4，cos α＝56，满足Δ>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos α＋2＝0，θ＝α得ρ＝－2cos α＝－125，所以|OP |＝|ρ|＝125.6.(2022·贵阳适应性测试)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(0<r <2，α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4cos 2θ(如图所示).(1)若r ＝2，求曲线C 1的极坐标方程，并求曲线C 1与C 2交点的直角坐标；(2)已知曲线C 2既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线C 1与C 2交于不同的四点A ，B ，C ，D ，求矩形ABCD 面积的最大值.解 (1)∵r ＝2，∴x 2＋y 2＝2，又x 2＋y 2＝ρ2，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝4cos 2θ，ρ＝2，cos 2θ＝12⇒cos θ＝±32，当cos θ＝32时，sin θ＝±12，当cos θ＝－32时，sin θ＝±12，分别代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，可得四个交点的直角坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，22，⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22. (2)由(1)知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝r .由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝r ，ρ2＝4cos 2θ得cos 2θ＝r 24. ∵曲线C 2关于原点和坐标轴对称， ∴S 矩形ABCD ＝4|r cos θ||r sin θ| ＝4r 2|cos θsin θ|＝2r 2|sin 2θ| ＝2r 21－cos 22θ＝2r 21－r 416 ＝12r 216－r 4＝12r 4（16－r 4） ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫r 4＋16－r 422＝4. 当且仅当r 4＝16－r 4，即r 2＝22时等号成立. 故矩形ABCD 面积的最大值为4.。

高考文科数学常考题型训练坐标系与参数方程

常考题型大通关：第22题坐标系与参数方程1、在平面直角坐标系xOy 中,直线l的参数方程是122x t y ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩ (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）把直线l 的参数方程化为极坐标方程,把曲线C 的极坐标方程化为普通方程; （2）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(0ρ≥,02θπ≤<).2、在直角坐标系xOy 中，曲线1C：2x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-. (1).求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2).若曲线1C 与2C 交于,A B 两点,,A B 的中点为M ,点()0,1P -,求PM AB ⋅ 的值.3、在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为2545x ty t =-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点. （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若2||PA PB AB =，求a 的值4、在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为2cos ,2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）.直线l的方程为0y -=，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线交曲线C 于M ，N 两点，求ON OM OMON+的值.5、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3214x ty t=-⎧⎨=--⎩(t 为参数，t R ∈).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.(1)求2C 的直角坐标方程；(2)动点P Q ,分别在曲线12,C C 上运动，求P Q ,间的最短距离6、在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin 0ρθθ-=,P 点的极坐标为π(3,)2,在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，且倾斜角为60o .(1).写出曲线C 的直角坐标方程以及点P 的直角坐标； (2).设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11PA PB+的值. 7、在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(2π)ρθθθ=+≤<，点π1,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，以极点O 为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线:112x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)与曲线C 交于A B ,两点.1.若P 为曲线C 上任意一点，当OP 最大时，求点P 的直角坐标.2.求11MA MB+的值. 8、以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22124cos ρθ=-．1.求曲线C 的直角坐标方程；2.设过点(1,0)P 且倾斜角为45o 的直线l 和曲线C 交于两点A B ，，求11PA PB+的值． 9、已知曲线C 的极坐标方程为2229cos 9sin ρθθ=+,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线C 的普通方程;（2）,A B 为曲线C 上两个点,若OA OB ⊥,求2211OAOB+的值.10、在直角坐标系xOy 中，曲线sin cos :1sin 2x C y ααα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为：sin )0(R)a a ρθθ--=∈（1）当极点O到直线l l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C有两个不同的交点，求实数a的取值范围答案以及解析1答案及解析：答案：（1cos sin0θρθ--,2240x y x+-=（2）5(2,)3π,)6π解析：（1）122x ty⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩,消去参数t,y--=,将cossinxyρθρθ==⎧⎨⎩代入0y--cos sin0θρθ--=,曲线C的普通方程为2240x y x+-=（2）C的普通方程为2240x y x+-=,由2240yx y x--=+-=⎪⎩解得1xy⎧==⎪⎨⎪⎩3xy⎧==⎪⎨⎪⎩所以l与C交点的极坐标分别为52,,36ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点:曲线的参数方程,曲线的极坐标方程.2答案及解析：答案：(1).曲线1C的普通方程为()2225x y+-=.由222x yρ=+，cos xρθ=，得曲线2C的直角坐标方程为22430x y x+-+=.(2).将两圆的方程()2225x y+-=与22430x y x+-+=作差得直线AB的方程为10x y--=. 点()0,1P-在直线AB上，设直线AB的参数方程为1xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t为参数)代入22430x y x+-+=化简得240t-+=，所以12t t+=124t t=.因为点M对应的参数为1222t t+=，所以12122t tPM AB t t+⋅=⋅-=32==解析：3答案及解析：答案：（1）由2sin 2cos (0)a a ρθθ=>得22sin 2cos (0)a a ρθρθ=>，所以曲线C 的直角坐标方程22y ax =，因为2545x ty t =-+⎧⎨=-+⎩，所以214x y +=+，直线l 的普通方程为2y x =-；（2）直线l的参数方程为2242x ty ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入22y ax =得：)243280t a t a -+++=，设A ，B 对应的参数分别为12,t t，则)124t t a +=+，12328t t a =+，10t >，20t > 由参数1t ，2t 的几何意义得1212t PA t PB t t AB ==-=，，，由2||PA PB AB =得21212||t t t t -=，所以21212||5t t t t +=，所以)()()245328a a +=+，即2340a a +-=，故1a =，或4a =-（舍去），所以1a =. 解析：4答案及解析：答案：1.C 的普通方程为224470x y x y +--+=，()21212122ρρρρρρ+-=化为极坐标方程为2sin 704πρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭.由于直线ONOM OM ON +233223x x x ⎧>⎪⎨⎪---≤⎩22121224cos 4sin 70,.273ON OM l OM ONρρθρρπθρρθ⎧--++=+==⋅=⎪⎨=⎪⎩过原点且倾斜角为3π，故其化为()2270ρρ-+=极坐标方程为()3R πθρ=∈.（2）由知，设N M ,两点对应的极径分别为21ρρ，，则，，则212122ρρρρ+= .解析：5答案及解析：答案：(1)已知曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，由222x y ρ+=，cos x ρθ=，可得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 所以曲线2C 的直角坐标方程为()2214x y ++=. (2)由已知得曲线1C 的普通方程为270x y --=.设12cos ,2s (in )Q αα-+，R a ∈，点Q 到曲线1C 的距离为d ，则d =9αϕ-+2 (其中1tan 2ϕ=)，当且仅当()cos 1αϕ+=时，取等号所以P Q ,2. 解析：6答案及解析：答案：(1)曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为24x y =, P 点的极坐标为：3,2πP ⎛⎫⎪⎝⎭化为直角坐标为()0,3P(2).直线l 的参数方程为cos ,33sin ,3ππx t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即1,23,x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得21124t=+，整理得：2480t --=，显然有0∆>，则121248,t t t t ⋅=-+=，121248PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅=,1212PA PB t t t t +=+=-=所以116PA PB PA PB PA PB ++==⋅. 解析：7答案及解析：答案：1.由2sin 4cos ρθθ=+得22sin 4cos ρρθρθ=+， 2224x y y x ∴+=+，即()()22215x y -+-=，故曲线C 是以()2,1C '为圆心，5为半径的圆. ∵原点O 在圆C 上，∴max 25OP =，故线段OP 的中点为圆心()2,1C ，∴点P 的直角坐标为()4,22.将直线l 的方程3112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)代入2224x y y x +=+并整理得22310t t --=. 设A B ,两点对应的参数分别为12,t t ，则1223t t +=，121t t =-. 由参数t 的几何意义得11MA MB MA MB MA MB ++=12121212t t t t t t t t +-==()212121244t t t t t t +-==.解析：8答案及解析：答案：1.曲线C 的极坐标方程为22124cos ρθ=-．转换为直角坐标方程为：22143x y +=；2.点(1,0)P 且倾斜角为45o 的直线l ，转换为参数方程为：212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数，把直线的参数方程代入22143x y +=，得到：2732902t t +-=，(1t 和2t 为A B 、对应的参数)所以：11116218,7t t t t +=-=-，所以：12121143t t PA PB t t -+==．解析：9答案及解析：答案：（1） 2219x y +=（2） 109解析：（1）由2229cos 9sin ρθθ=+得2222cos 9sin 9ρθρθ+=,将cos ,sin x y ρθρθ==代入得到曲线C 的普通方程是2219x y +=.（2）因为2229cos 9sin ρθθ=+,所以2221cos sin 9θθρ=+,由OA OB ⊥,设1(,)A ρα,则B 点的坐标可设为2,2πρα⎛⎫± ⎪⎝⎭,所以2222121111OAOBρρ+=+2222cos sin 110sin cos 19999αααα=+++=+=.10答案及解析：答案：（1）直线l 的方程为：2cos sin 0(R)a a ρθρθ--=∈ 则直角坐标方程为20x y a --=极点O 到直线l 的距离为：33a -=；解得3a =±故直线l 的直角坐标方程为230x y -±= （2）曲线C 的普通方程为2(22)x y x =-≤≤ 直线20x y a --=联立曲线C 与直线l 的方程，消去y 可得220(22)x x a x -+=-≤≤ 即y a =与2()2y f x x x ==-+在22x -()f x 的最大值为12f =⎝⎭；且0f=；(4f =-∴实数a 的范围为1[0,)2解析：。

极坐标与参数方程(文科)(最新整理)

x t cos
（2）直线
l
的参数方程为
y
t
sin
（ t 为参数）， l 与 C
相交于
A, B 两点，
AB
10 ，求 l 的斜率.
4
高中数学个性化辅导课程
5.（2017
年卷
1）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程
x 3cos
y
sin
（
为参数），直线
l
的参数方
x a 4t
程为
y 1t
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1．极坐标系：在平面上取一个定点 O，自点 O 引一条射线 OX，同时确定一个单位长度和一个
角度单位及其正方向（通常取
方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。（其中
O 称为，射线 OX 称为
）。
设 M 是平面上的任一点，表示 OM 的长度，表示以射线 OX 为始边，射线 OM 为终边所成的角，那
（ t 为参数），
（1）若 a 1 ，求 C 与 l 交点的坐标；（2）若 C 上的点到 l 的距离最大值为 17 ，求 a .
6.（2017 年卷 2）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 cos 4
（1） M 为曲线 C1 的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 OM OP 16 ，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标
x
y
x0 y0
t cos t sin
t为参数
，其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点，任一点 M
x
,y
为终点的有向线段
M 0 M 的数量，当点 M 在 M 0 上方时， t ＞0；当点 M 在 M 0 下方时， t ＜0；当点 M 与 M 0 重合时， t =0。我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长

2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——坐标系与参数方程第一课时坐标系

第1节坐标系与参数方程第一课时坐标系考试要求 1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况；2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化；3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x （λ＞0），y ′＝μ·y （μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O (极点)，自极点O 引一条射线Ox (极轴)；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角∠xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ).3.极坐标与直角坐标的互化4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ＜2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆ρ＝2r cos__θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ＜π2圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r 的圆ρ＝2r sin__θ(0≤θ＜π)过极点，倾斜角为α的直线①θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R ) ②θ＝α(ρ≥0)和 θ＝π＋α(ρ≥0)过点(a ，0)，与极轴垂直的直线ρcos__θ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，π2，与极轴平行的直线ρsin__θ＝a (0＜θ＜π)1.极坐标的四要素：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可.2.由极径的意义知ρ≥0，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角.3.曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化：对于简单的可以直接代入公式ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方，两边同乘以ρ等.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系.( )(2)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( )(3)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( ) (4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×解析 (1)一般认为ρ≥0，当θ∈[0，2π)时，平面上的点(除去极点)才与极坐标建立一一对应关系；(4)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条射线.2.(易错题)在极坐标系中，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( ) A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝ 3 C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3答案 A解析先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.3.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( ) A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4 答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)， ∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)， ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2.4.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1，0)D.(1，π)答案 B解析由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.5.(易错题)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为________. 答案 x 2＋(y －1)2＝1解析由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，即x 2＋(y －1)2＝1.6.(2018·北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a (a >0)与圆ρ＝2cos θ相切，则a ＝________. 答案 1＋ 2解析直线的方程为x ＋y －a ＝0，圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心(1，0)，半径r ＝1，由于直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即|1－a |2＝1，又a >0，所以a ＝1＋ 2.考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1.曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为________. 答案 x ′24＋y ′2＝1解析因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.2.曲线C 经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为________. 答案 4x 2＋9y 2＝1解析根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.3.在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过变换后所得的点A ′的坐标为________. 答案 (1，－1)解析设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 得到⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，所以点A ′的坐标为(1，－1).4.双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎨⎧x ′＝3x ，2y ′＝y后所得曲线C ′的焦点坐标为________.答案 (－5，0)，(5，0)解析设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎨⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，知C ′仍是双曲线，其焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0).感悟提升 1.平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0）的作用下的变换方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程.2.解答该类问题应明确两点：一是明确平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P (x ，y )与变换后的点P ′(x ′，y ′)的坐标关系，用方程思想求解.考点二极坐标与直角坐标的互化例1 (1)极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0转化成直角坐标方程为( ) A.x 2＋y 2＝0或y ＝1 B.x ＝1C.x 2＋y 2＝0或x ＝1D.y ＝1(2)点M 的直角坐标是(－1，3)，则点M 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋π3(k ∈Z ) 答案 (1)C (2)C解析 (1)ρ2cos θ－ρ＝0⇒ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝1，即x ＝1.(2)∵ρ＝（－1）2＋（3）2＝2，tan θ＝3－1＝－ 3.又点M 在第二象限，∴θ＝2π3， ∴点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2π3.感悟提升 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式；x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2.进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，要注意ρ，θ的取值范围及其影响；要善于对方程进行合理变形，并重视公式的逆向与变形使用；要灵活运用代入法和平方法等技巧.训练1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点.(1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程. 解 (1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得，ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0).当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2，0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，233. 所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R ). 考点三求曲线的极坐标方程例2 (2022·西安五校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，如图，将C 1分别绕原点O 逆时针旋转π2，π，3π2得到曲线C 2，C 3，C 4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)分别写出曲线C 1，C 2，C 3，C 4的极坐标方程；(2)直线l ：θ＝π3(ρ∈R )交曲线C 1，C 3分别于A ，C 两点，直线l ′：θ＝2π3(ρ∈R )交曲线C 2，C 4分别于B ，D 两点，求四边形ABCD 的面积.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1，得C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，设C 1上的点(ρ0，θ0)旋转π2得到曲线C 2上的点(ρ，θ)，则ρ0＝ρ，θ0＝θ－π2，代入C 1的方程得ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ－π2≤π2，所以C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2≤θ≤π，同理，C 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π≤θ≤3π2，C 4的极坐标方程为ρ＝－2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2≤θ≤2π.(2)结合图形的对称性可知S 四边形ABCD ＝4S △AOB ，将θ＝π3代入C 1得|OA |＝ρA ＝1，将θ＝2π3代入C 2得|OB |＝ρB ＝3，所以S 四边形ABCD ＝4S △AOB ＝4×12·|OA |·|OB |·sin π3＝3. 感悟提升求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.训练2 在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3. 由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2. 设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.考点四极坐标方程的应用例3 已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ，y ′＝12y 得到曲线C ′，以直角坐标中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C ′的极坐标方程；(2)若A ，B 是曲线C ′上的两个动点，且OA ⊥OB ，求|OA |2＋|OB |2的最小值. 解 (1)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α(α为参数)，转换为普通方程为x 2＋y 2＝4，曲线C经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x ，y ′＝12y得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，极坐标方程为ρ＝21＋3sin 2θ.(2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2，所以|OA |2＋|OB |2＝ρ21＋ρ22＝41＋3sin 2θ＋41＋3cos 2θ ＝8＋12（sin 2θ＋cos 2θ）（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝20（1＋3sin 2θ）（1＋3cos 2θ）＝201＋3（sin 2θ＋cos 2θ）＋94sin 22θ ＝204＋94sin 22θ≥165. 当sin 2θ＝±1时，|OA |2＋|OB |2取得最小值165.感悟提升 1.若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.2.在极坐标系中，如果P 1(ρ1，θ1)，P 2(ρ2，θ2)，那么两点间的距离公式 |P 1P 2|＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos （θ1－θ2）.两种特殊情况：(1)当θ1＝θ2＋2k π，k ∈Z 时，|P 1P 2|＝|ρ1－ρ2|； (2)当θ1＝θ2＋π＋2k π，k ∈Z ，|P 1P 2|＝|ρ1＋ρ2|.3.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.训练3 (2021·昆明诊断)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝9＋3t ，y ＝t (t为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝161＋3sin 2θ.(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)已知P 为曲线C 上的一个动点，求线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离. 解 (1)由ρ2＝161＋3sin 2θ，得ρ2＋3ρ2sin 2θ＝16，则曲线C 的直角坐标方程为x 2＋4y 2＝16，即x 216＋y 24＝1.直线l 的直角坐标方程为x －3y －9＝0.(2)可知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝2sin α(α为参数)，设P (4cos α，2sin α)，α∈[0，2π)，则M (2cos α，sin α)到直线l ：x －3y －9＝0的距离为d ＝|2cos α－3sin α－9|2＝|7sin （θ－α）－9|2≤9＋72，所以线段OP 的中点M 到直线l 的最大距离为9＋72.1.将直角坐标方程与极坐标方程互化： (1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0； (3)θ＝π3(ρ∈R )；(4)ρcos 2 θ2＝1； (5)ρ2cos 2θ＝4； (6)ρ＝12－cos θ.解 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ.化简得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0，得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)当x ≠0时，由于tan θ＝y x ，故tan π3＝yx ＝3，化简得y ＝3x (x ≠0)；当x ＝0时，y ＝0.显然(0，0)在y ＝3x 上，故θ＝π3(ρ∈R )的直角坐标方程为 y ＝3x .(4)因为ρcos 2θ2＝1，所以ρ·1＋cos θ2＝1，而ρ＋ρcos θ＝2，所以x 2＋y 2＋x ＝2.化简得y 2＝－4(x －1).(5)因为ρ2cos 2θ＝4，所以ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，即x 2－y 2＝4. (6)因为ρ＝12－cos θ，所以2ρ－ρcos θ＝1，因此2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.2.在极坐标系中，已知两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3.(1)求A ，B 两点间的距离； (2)求点B 到直线l 的距离.解 (1)设极点为O .在△OAB 中，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，由余弦定理，得 |AB |＝32＋（2）2－2×3×2×cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π4＝ 5.(2)因为直线l 的方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3，所以直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，π2，倾斜角为3π4.又B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，所以点B 到直线l 的距离为(32－2)×sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π2＝2.3.以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6，所以直线l 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).4.(2022·南宁调研)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为C 1，C 2上的点，若△OAB 为等边三角形，求|AB |. 解 (1)因为圆C 1：(x －1)2＋y 2＝1，圆C 2：(x ＋2)2＋y 2＝4，所以C 1：x 2＋y 2＝2x ，C 2：x 2＋y 2＝－4x ，因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以C 1：ρ＝2cos θ，C 2：ρ＝－4cos θ.(2)因为C 1，C 2都关于x 轴对称，△OAB 为等边三角形，所以不妨设A (ρA ，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρB ，θ＋π3，0＜θ＜π2.依题意可得，ρA ＝2cos θ，ρB ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3.从而2cos θ＝－4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，整理得，2cos θ＝3sin θ，所以tan θ＝233，又因为0＜θ＜π2，所以cos θ＝217，|AB |＝|OA |＝ρA ＝2217.5.(2021·成都诊断)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋3y －6＝0.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程；(2)若点P (x ，y )在直线l 上且y >0，射线OP 与曲线C 相交于异于点O 的点Q ，求|OP ||OQ |的最小值.解 (1)由极坐标与直角坐标的互化公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 由题意得直线l 的极坐标方程为ρcos θ＋3ρsin θ－6＝0，即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝3.(2)设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，点Q 的极坐标为(ρ2，θ)，其中0<θ<π2. 由(1)知|OP |＝ρ1＝6cos θ＋3sin θ，|OQ |＝ρ2＝2cos θ. ∴|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝62cos 2θ＋23sin θcos θ＝61＋cos 2θ＋3sin 2θ＝61＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π6.∵0<θ<π2，∴π6<2θ＋π6<7π6，∴－12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6≤1. ∴当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π6＝1，即θ＝π6时，|OP ||OQ |取得最小值2.6.已知曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，A 是曲线C 1上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点A 绕点O 逆时针旋转90°得到点B ，设点B 的轨迹方程为曲线C 2. (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1，C 2分别交于P ，Q 两点，定点M (－4，0)，求△MPQ的面积.解 (1)曲线C 1：x 2＋(y －3)2＝9，即x 2＋y 2－6y ＝0. 从而ρ2＝6ρsin θ.所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6sin θ. 设B (ρ，θ)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，θ－π2，则有ρ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π2＝－6cos θ.所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝－6cos θ. (2)M 到射线θ＝5π6(ρ＞0)的距离为d ＝4sin 5π6＝2，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 1的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρP ，5π6，其中，ρP ＝6sin 5π6＝3，射线θ＝5π6(ρ＞0)与曲线C 2的交点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρQ ，5π6，其中，ρQ ＝－6cos 5π6＝33，则|PQ |＝|ρP －ρQ |＝33－3，则S △MPQ ＝12|PQ |d ＝33－3.。

高考数学(文)二轮复习(13)坐标系与参数方程

（13）坐标系与参数方程1、平面直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数),在以原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为πsin()4ρθ-(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的倾斜角;(2)设点()0,2P ,直线l 和曲线C 交于,A B 两点,求PA PB +. 2、[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y =+⎧⎨=⎩θθ（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是5sin 6⎛⎫+= ⎪⎝⎭πρθ （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）射线()03=>πθρ与曲线1C 交于点A ，点B 在曲线2C 上，且OA OB ⊥，求线段AB 的长度．3、在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为2sin ()2cos x tt y t =⎧⎨=⎩为参数，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4⎛⎫ρθ+= ⎪⎝⎭()2,0A ．（1）求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）AP 是圆C 上动弦，求AP 中点M 到l 距离的最小值．4、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（α 为参数）.(1).求C 和l 的直角坐标方程；(2).若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为()1,2，求直线l 的斜率.5、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin x acos y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，0a >)，直线l 的参数方程为13x ty t=-+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (1)若2a =，求曲线C 与直线l 的普通方程；(2)若曲线C 上存在点P ，使得点P 到直线l为，求a 的取值范围.6、已知过点(,0)P a 的直线l的参数方程是12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (1).求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2).若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，试问是否存在实数a，使得AB =求出实数a 的值；若不存在，说明理由.7、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩(t 为参数)．在极坐标系中(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合)，圆C的极坐标方程为4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长.8、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos (2sin x t t y t αα=+⎧⎨=+⎩为参数，0π)α≤<，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos 8sin 210ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点,A B ．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设()1,2P ，求22PA PB +的取值范围． 9、选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,直线l的参数方程为12x a t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数),以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程P 为22312cos =+ρθ.10、在直角坐标系xOy 中，曲线1C：2x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C ：24cos 3ρρθ=-. (1).求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2).若曲线1C 与2C 交于,A B 两点,,A B 的中点为M ,点()0,1P -,求PM AB ⋅ 的值.答案以及解析1答案及解析：答案：(1)由3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α,得2219x y +=,即曲线C 的普通方程为2219x y +=.由πsin()4ρθ-得sin cos 2,ρθρθ-= ①将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入①,化简得2y x =+,所以直线l 的倾斜角为π4(2)由1知,点()0,2P 在直线l 上,可得直线l 的参数方程为πcos 4π2sin4x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数),即2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数), 代入2219x y +=并化简,得25270,45271080t ++=∆=-⨯⨯=>,设,A B 两点对应的参数分别为12,,t t则1212270,055t t t t +=<⋅=>,所以120,0t t <<, 所以()1211PA PB t t t t +=+=-+= 解析：2答案及解析：答案：（1）曲线1C 的参数方程化为普通方程为()2211x y -+=，即2220x y x +-=，化为极坐标方程为22cos =ρρθ即2cos =ρθ.（2）由32cos ⎧=⎪⎨⎪=⎩πθρθ得点A 的极坐标为1,3⎛⎫⎪⎝⎭π，∴1OA =，射线OB 的极坐标方程为()06=->πθρ，由65sin 36⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩πθπρθ得点B 的极坐标为2,6⎛⎫- ⎪⎝⎭π，∴2OB =，∵OA OB ⊥，∴225AB OA OB =+=.解析：3答案及解析：答案：(1)圆C 的普通方程为：224x y +=2(sin cos )22ρθρθ+= 直线l 的直角坐标方程: 04=-+y x(2) M 的参数方程为：2sin 22,()2cos 02t x t t y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩为参数即sin 1,()cos x t t y t =+⎧⎨=⎩为参数所以设M （sin 1t +，cos t ）则M 点到l 距离: 2|3)4sin(2|2|4cos 1sin |-+=-++=πt t t d当4t π=时， 1223223min -=-=d 解析：4答案及解析：答案：(1).曲线C 的直角坐标方程为221416x y +=当cos 0α=时, l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+- 当cos 0α=时, l 的直角坐标方程为1x =(2).将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①因为曲线C 截直线所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为12,t t ，则120t t +=．又由①得1224(2cos sin )13cos t t ααα++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==- 解析：5答案及解析：答案：(1)当2a =时，曲线C 的普通方程为2214y y +=.直线l 的普通方程为20x y +-=.(2)设点cos i (s n )P a θθ,，则点P 到直线l 的距离为d=(其中tanβα=).2，即a ≥0d ≤≤；2，即0a <<d ≤≤>=，所以当a . 当0a <，解得aa综上所述，a 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 解析：6答案及解析：答案：(1).消t 由2x y a =+∴直线l 的普通方程为0x a -=由6cos ρθ=，26cos ρρθ∴=∴曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=(2).由于曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=，则圆心(3,0),3r =，所以圆心到直线l 的距离32a d -=，根据垂径定理可得222()2ABd r +=，即()223792a ⎛-⎫+= ⎪⎝⎭，可求得322a =±∴实数322a =±. 解析：7答案及解析：答案：将直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=--⎩化为普通方程为240x y ＋＋＝.将圆C 的极坐标方程=42cos 4πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化为直角坐标方程为22440x y x y ＋－＋＝，即22()(22)8x y －＋＋＝，其圆心(22),-，半径为22，所以圆心C 到直线l 的距离55d ==，所以直线l 被圆C 截得的弦长为 ()2221252225⎛⎫-= ⎪⎝⎭解析：8答案及解析：答案：1.因为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩，所以sin sin cos sin cos 2cos sin cos x t y t αααααααα=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得直线的普通方程为:sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=.因为222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=，所以曲线C 的直角坐标方程2268210x y x y +--+=. 2.将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程：24(sin cos )40t t αα-++=.因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为12,t t ，则12124(sin cos ),4t t t t αα+=+=.并且216(sin cos )1632sin cos 0αααα∆=+-=> 注意到0πα<<，解得π02α<<. 因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义，有222222121212()216(sin cos )8PA PB t t t t t t αα+=+=+-=+-16sin28α=+，因为π02α<<，所以sin 2(0,1]α∈，16sin 28(8,24]α+∈. 因此22PA PB +的取值范围是(8,24]. 解析：9答案及解析：答案：1.求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程; 2.当1a =时, P 为曲线C 上动点,求点P 到直线l 距离的最大值.1.直线l 的普通方程为)y x a =-,曲线 C 的极坐标方程可化为2222cos 3+=ρρθ,化简可得2213y x +=.2.当 1a =时,直线l 0y --=.点在曲线2213y x +=上，可设点P 的坐标为(cos )P θθ因此点P 到直线l 的距离可表示为π|cos sin 1|)1|4d ==--=+-θθθ当πcos()14+=-θ时, d .解析：10答案及解析：答案：(1).曲线1C 的普通方程为()2225x y +-=.由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线2C 的直角坐标方程为22430x y x +-+=.(2).将两圆的方程()2225x y +-=与22430x y x +-+=作差得直线AB 的方程为10x y --=. 点()0,1P -在直线AB 上，设直线AB的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数) 代入22430x y x +-+=化简得240t -+=，所以12t t +=124t t =. 因为点M对应的参数为122t t +，所以12122t t PM AB t t +⋅=⋅-=32=解析：。

【2019版课标版】高考数学文科精品课件第十四章坐标系与参数方程

第十四章坐标系与参数方程考纲解读分析解读坐标系与参数方程是高考数学的选考部分,其中极坐标与直角坐标的互化,直线与圆的参数方程及应用是高考的重点,难度不大,题型一般为解答题,分值为10分,但部分省份可能以填空题的形式出现.本章也是对前面所学的解析几何、平面几何、三角函数等知识的综合应用和进一步的深化,考查学生的转化与化归思想的应用.(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).设P(x,y),由题设得-消去k得x2-y2=4(y≠0).所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).联立--得cos θ-sin θ=2(cosθ+sinθ).故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=,代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.五年高考考点一坐标系1.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ,则曲线C的直角坐标方程为.答案x2+y2-2y=02.(2014陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点到直线ρsin-=1的距离是.答案 13.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.解析(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cos α·-=2--≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.4.(2016课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ.(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.解析(1)消去参数t得到C1的普通方程:x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.(2分)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0.(4分)(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组--(6分)若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcosθ+1-a2=0,(8分)由已知tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcosθ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上.所以a=1.(10分)5.(2013辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos-=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解--得所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)(注:极坐标系下点的表示不唯一.)(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1,所以-解得a=-1,b=2.(10分)考点二参数方程1.(2014湖南,12,5分)在平面直角坐标系中,曲线C:(t为参数)的普通方程为.答案x-y-1=02.(2017课标全国Ⅰ,22,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为-(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.解析(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由-解得或-从而C与l的交点坐标为(3,0),-.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sinθ)到l的距离为d=--. 当a≥-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.3.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.(6分)于是ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11.|AB|=|ρ1-ρ2|=-=-.(8分)由|AB|=得cos2α=,tan α=±.(9分)所以l的斜率为或-.(10分)4.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解析(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sinα).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==-.(8分)当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)5.(2016江苏,21C,10分)[选修4—4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解析椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t1-t2|=.6.(2015课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sinθ,C3:ρ=2cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.解析(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.联立--解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2α,α).所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4-.当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.教师用书专用(7—11)7.(2013湖南,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l1:(s为参数)和直线l2:-(t为参数)平行,则常数a的值为.答案 48.(2015陕西,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解析(1)由ρ=2sin θ,得ρ2=2ρsinθ,从而有x2+y2=2y,所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=-=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).9.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:+=1,直线l:-(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sinθ)到l的距离为d=|4cos θ+3sinθ-6|,=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,则|PA|=°且tan α=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.10.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈.(1)求C的参数方程;(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.解析(1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t).由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=,t=.故D的直角坐标为,即.11.(2013课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解析(1)依题意有P(2cos α,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cos α+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一坐标系1.(人教A选4—4,一,3,A5,变式)已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcosθ=3,ρ=4cosθ(ρ≥0),则曲线C1与曲线C2交点的极坐标为.答案,-(k∈Z)2.(2018衡水中学、郑州一中12月联考,22)已知直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程;(2)若直线θ=与曲线C交于点A(不同于原点),与直线l交于点B,求|AB|的值.解析(1)ρ=2cosθ可化为ρ2=2ρcosθ,根据极坐标与直角坐标的互化公式可得x2+y2=2x,∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x.直线l的参数方程(t为参数)化为普通方程为x-y-1=0,化为极坐标方程为ρcos=.(2)将θ=代入ρ=2cosθ,可求得|OA|=1,将θ=代入ρcos=,可求得|OB|=1+,根据题意可知O、A、B三点共线,且|AB|=|OA|+|OB|=2+,∴|AB|=2+.3.(2018广东广州12月调研,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),将曲线C1经过伸缩变换后得到曲线C2,在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ-10=0.(1)说明曲线C2是哪一种曲线,并将曲线C2的方程化为极坐标方程;(2)已知点M是曲线C2上的任意一点,求点M到直线l的距离的最大值和最小值.解析(1)因为曲线C1的参数方程为(α为参数),伸缩变换为所以曲线C2的参数方程为所以C2的普通方程为x'2+y'2=4.表示圆心在坐标原点的圆.所以C2的极坐标方程为ρ2=4,即ρ=2.(2)直线l的普通方程为x-y-10=0.由(1)知曲线C2表示圆心为原点,半径为2的圆,且圆心到直线l的距离d==5,因为5所以圆C2与直线l相离.所以圆C2上的点M到直线l的距离的最大值为d+r=5+2,最小值为d-r=5-2.4.(2017山西太原模拟,22)设直线l的参数方程为(t为参数),若以直角坐标系xOy的O点为极点,Ox轴为极轴,选择相同的单位长度建立极坐标系,得曲线C的极坐标方程为ρ=.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,并指出曲线是什么曲线;(2)若直线l与曲线C交于A、B两点,求|AB|.解析(1)由ρ=得ρsin2θ=8cosθ,∴ρ2sin2θ=8ρcosθ,∴y2=8x,∴曲线C表示顶点在原点,焦点在x轴正半轴的抛物线.(2)由(t为参数)得y=2x-4,代入y2=8x,得x2-6x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,x1·x2=4,∴|AB|=·|x1-x2|=·-·=×=10.考点二参数方程5.(2018山西康杰中学等六校12月联考,22)在直角坐标系xOy中,已知点P(0,),曲线C的参数方程为(φ为参数),以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos-=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值.解析(1)由2ρcos-=得ρcosθ+ρsinθ=,即x+y-=0.由(φ为参数)得+=1.所以曲线C的普通方程为+=1,直线l的直角坐标方程为x+y-=0.(2)由(1)知:直线l的倾斜角为,所以直线l的参数方程为-(t为参数),代入曲线C的普通方程可得t2+2t-8=0.设方程的两根为t1,t2,则|PA|·|PB|=|t1t2|=8.6.(2018河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t参数,m∈R),以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2=-(0≤θ≤π).(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;(2)已知点P是曲线C2上一点,若点P到曲线C1的最小距离为2,求m的值.解析(1)由曲线C1的参数方程消去参数t,可得C1的普通方程为x-y+m=0.由曲线C2的极坐标方程得3ρ2-2ρ2cos2θ=3,θ∈[0,π],∴曲线C2的直角坐标方程为+y2=1(0≤y≤1).(2)设曲线C2上任意一点P(α,sinα),α∈[0,π],则点P到曲线C1的距离d==.∵α∈[0,π],∴cos∈-,∴2cos∈[-2,],当m+<0时,m+=-4,即m=-4-;当m-2>0时,m-2=4,即m=6.∴m=-4-或m=6.7.(2017安徽黄山二模,22)已知曲线C的极坐标方程为ρ=,过点P(1,0)的直线l交曲线C于A,B两点.(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)求|PA|·|PB|的取值范围.解析(1)由ρ=得ρ2(1+sin2θ)=2,故曲线C的直角坐标方程为+y2=1.(2)由题意知,直线l的参数方程为(t为参数),将代入+y2=1得(cos2α+2sin2α)t2+2tcos α-1=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=-,则|PA|·|PB|=|t1t2|==∈,∴|PA|·|PB|的取值范围为.8.(2017广东广州联考,22)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相同的长度单位,已知直线l的参数方程为(t为参数,0<θ<π),曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,当θ变化时,求|AB|的最小值.解析(1)由(t为参数)消去t得xcos θ-ysin θ+sinθ=0.所以直线l的普通方程为xcos θ-ysin θ+sinθ=0,由ρcos2θ=4sinθ得(ρcosθ)2=4ρsinθ,把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入上式,得x2=4y,所以曲线C的直角坐标方程为x2=4y.(2)将直线l的参数方程代入x2=4y,得t2sin2θ-4tcos θ-4=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=,t1t2=-,所以|AB|=|t1-t2|=-==,∵0<θ<π,∴当θ=时,|AB|取最小值4.9.(2016辽宁五校协作体联考,23)已知在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为-(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线l的距离d的取值范围.解析(1)直线l的参数方程为-(t为参数),将t=x+3代入y=t,得直线l的普通方程为x-y+3=0.曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ=0,将x=ρcosθ,ρ2=x2+y2代入即得曲线C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)设点P(2+2cos θ,2sinθ),θ∈R,则d=-=,∵θ∈R,∴d的取值范围是-.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:40分钟)解答题(每小题10分,共50分)1.(2018河南百校联盟12月联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为-(t为参数).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C2:ρ=2sin.(1)求曲线C1的普通方程及C2的直角坐标方程;(2)设P(k,2k),若曲线C1与C2只有一个公共点Q(Q与P不重合),求|PQ|.解析(1)由-(t为参数)消去参数t得曲线C1的普通方程为x+y-3k=0.由ρ=2sin可得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y得C2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y=0.(2)曲线C1为直线,曲线C2表示以C2(1,1)为圆心,为半径的圆,若曲线C1与C2只有一个公共点Q,则圆心C2(1,1)到直线x+y-3k=0的距离为,即-=,解得k=0或k=.当k=0时,P,Q重合于点(0,0),不满足题意,舍去.当k=时,P的坐标为,易知点P在直线C1上,|PC2|=--=.所以|PQ|=-=.2.(2017豫北名校联盟联考,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数).(1)求曲线C的普通方程;(2)经过点M(2,1)(平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A,B两点,若M恰好为线段AB的三等分点,求直线l的斜率. 解析(1)由曲线C的参数方程得(θ为参数),所以曲线C的普通方程为+=1.(2)设直线l的倾斜角为θ1,则直线l的参数方程为(t为参数).代入曲线C的普通方程,得(cos2θ1+4sin2θ1)t2+(4cos θ1+8sin θ1)t-8=0,设A,B对应的参数分别为t1,t2,所以--由题意可知t1=-2t2.所以12sin2θ1+16sin θ1cos θ1+3cos2θ1=0,即12tan2θ1+16tan θ1+3=0.解得tan θ1=-.所以直线l的斜率为-.3.(2017河北衡水中学二调,22)已知直线l:(t为参数),曲线C1:(θ为参数).(1)设l与C1相交于A,B两点,求|AB|;(2)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的,纵坐标压缩为原来的,得到曲线C2,设点P是曲线C2上的一个动点,求它到直线l的距离的最小值. 解析(1)l的普通方程为y=(x-1),C1的普通方程为x2+y2=1,联立得方程组-解得或-所以l与C1的交点为A(1,0),B-,所以|AB|=---=1.(2)由题意知C2的参数方程为(θ为参数),所以点P的坐标是,从而点P到直线l的距离d=--=-,因此当sin-=-1时,d取得最小值且最小值为(-1).4.(2016广东肇庆三模,23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-4=0.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解析(1)由曲线C1的参数方程为(t为参数),可得C1的普通方程为y2=x,将代入上式整理得ρsin2θ=cosθ,即C1的极坐标方程为ρsin2θ-cos θ=0.(2)将曲线C2的极坐标方程ρ2+2ρcosθ-4=0化为直角坐标方程为x2+y2+2x-4=0,将y2=x代入上式得x2+3x-4=0,解得x=1或x=-4(舍去),当x=1时,y=±1,所以C1与C2交点的平面直角坐标为A(1,1),B(1,-1),∵ρA==,ρB==,tan θA=1,tan θB=-1,ρ≥0,0≤θ<2π,∴θA=,θB=.故C1与C2交点的极坐标为,.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018湖北八校12月联考,22)已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线C的普通方程;(2)A,B为曲线C上两点,若OA⊥OB,求+的值.解析(1)由ρ2=得ρ2cos2θ+9ρ2sin2θ=9,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入得曲线C的普通方程是+y2=1.(2)因为ρ2=,所以=+sin2θ,设A(ρ1,α),由OA⊥OB知B点的坐标可设为,所以+=+=+sin2α++cos2α=+1=.2.(2017四川广安等四市一模,22)在平面直角坐标系中,曲线C1:(α为参数)经过伸缩变换后的曲线为C2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C2的极坐标方程;(2)设曲线C3的极坐标方程为ρsin-=1,且曲线C3与曲线C2相交于P,Q两点,求|PQ|的值.解析(1)由题意得曲线C2的参数方程为(α为参数),则曲线C2的直角坐标方程为(x'-1)2+y'2=1,所以曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosα.(2)由(1)知曲线C2是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,易知曲线C3的直角坐标方程为x-表示直线,所以曲线C2的圆心(1,0)到直线C3的距离d=--=,所以|PQ|=2-=3.(2017山西太原一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为其中φ为参数,曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.解析(1)C1的普通方程为+y2=1,C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0,C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=,联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4.令t=1+sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4t-4,当0<α<时,t∈(1,2).设f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增,∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).方法2 参数方程与普通方程的互化方法4.(2017江西南昌十校二模,22)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为(t为参数).(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C',过点F(,0)作倾斜角为60°的直线交曲线C'于A,B两点,求|FA|·|FB|.解析(1)直线l的普通方程为2曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4.(2)∵∴C'的直角坐标方程为+y2=1.易知直线AB的参数方程为(t为参数).将直线AB的参数方程代入+y2=1,得t2+则t1·t2=-,∴|FA|·|FB|=|t1·t2|=.方法3 与参数方程有关问题的求解方法5.(2018四川成都七中一诊,22)已知曲线C:(α为参数)和定点A(0,),F1、F2是此曲线的左、右焦点,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线AF2的极坐标方程;(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点,求|MF1|-|NF1|的值.解析(1)可化为+=1,表示椭圆,焦点为F1(-1,0)和F2(1,0).经过A(0,)和F2(1,0)的直线方程为x+=1,即x+y-=0,∴极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=.(2)由(1)知,直线AF2的斜率为-,因为l⊥AF2,所以l的斜率为,∴l的倾斜角为30°,∴l的参数方程为-(t为参数),将其代入椭圆C的直角坐标方程,整理得13t2-12t-36=0. ∵M,N在点F1的两侧,∴|MF1|-|NF1|=|t1+t2|=.。

2022-2022《三维设计》高三数学湘教版(文)一轮复习[精品讲义]选修4-4坐标系与参数方程

2022-2022《三维设计》高三数学湘教版（文）一轮复习[精品讲义]选修4-4坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(某，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换某，λ＞0，某′＝λ·φ：的作用下，点P(某，y)对应到点P′(某′，y′)，称φ为平面直y′＝μ·y，μ＞0角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线O某，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴O某为始边，射线OM为终边的角某OM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(某，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M互化公式直角坐标(某，y)某＝ρcoθρinθy＝极坐标(ρ，θ)ρ＝某＋yytanθ＝某某≠02224.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)ρ＝2rco_θ圆心为(r,0)，半径为r的圆－π≤θ≤π22ρ＝2rin_θ(0≤θ＜π)πr，，半径为r的圆圆心为2(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过极点，倾斜角为α的直线过点(a,0)，与极轴垂直的直线πa，，与极轴平行的直线过点2ππ－＜θ＜ρco_θ＝a22ρin_θ＝a(0＜θ＜π)1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．[试一试]1．点P的直角坐标为(1，－3)，求点P的极坐标．π解：因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与某轴所成的角为－，3π2，－.所以点P的极坐标为32．求极坐标方程ρ＝inθ＋2coθ能表示的曲线的直角坐标方程．解：由ρ＝inθ＋2coθ，得ρ2＝ρinθ＋2ρcoθ，∴某2＋y2－2某－y＝0.故故极坐标方程ρ＝inθ＋2coθ表示的曲线直角坐标方程为某2＋y2－2某－y＝0.1．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．2．直角坐标(某，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤y(1)运用ρ＝某2＋y2，tanθ＝(某≠0)某y(2)在[0,2π)内由tanθ＝(某≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．某[练一练]1．在极坐标系中，求圆心在(2，π)且过极点的圆的方程．解：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－90°，OBρ＝22＝，化简得ρ＝－22coθ.inθ－90°π22．已知直线的极坐标方程为ρin(θ＋)＝，求极点到该直线的距离．4222π2in＋co解：极点的直角坐标为O(0,0)，ρin(θ＋)＝ρ＝，∴ρinθ＋4222ρcoθ＝1，化为直角坐标方程为某＋y－1＝0.∴点O(0,0)到直线某＋y－1＝0的距离为d＝＝π222θ＋＝的距离为.，即极点到直线ρin42222考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1某′＝2某，1.(2022·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为求在这一坐标变y′＝3y，换下正弦曲线y＝in某的方程．1某＝2某′，某′＝2某，解：∵∴1y＝y′.y′＝3y，3代入y＝in某得y′＝3in2某′.某′＝2某，π2．求函数y＝in(2某＋)经伸缩变换14y′＝y21某′＝2某，某＝2某′，解：由得①1y′＝y，2y＝2y′.π1π将①代入y＝in(2某＋)，得2y′＝in(2·某′＋)，4241π即y′＝in(某′＋)．24后的解析式．某′＝3某，y23．求双曲线C：某－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．642y′＝y21某＝3某′，y22解：设曲线C′上任意一点P′(某′，y′)，由上述可知，将代入某－＝64y＝2y′，某′24y′2某′2y′21得－＝1，化简得－＝1，964916某2y2即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．916[类题通法]某，λ>0某′＝λ·平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直y′＝μ·y，μ>0线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．考点二极坐标与直角坐标的互化[典例](2022·石家庄模拟)在平面直角坐标系某Oy中，以坐标原点O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcoθ－10(ρ>0)．(1)求曲线C1的直角坐标方程；某2y2(2)曲线C2的方程为＋＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|164的最小值．[解](1)曲线C1的方程可化为3(某2＋y2)＝12某－10，2即(某－2)2＋y2＝.3(2)依题意可设Q(4coθ，2inθ)，由(1)知圆C1的圆心坐标为C1(2,0)．故|QC1|＝4coθ－22＋4in2θ＝12co2θ－16coθ＋8＝222coθ－2＋，33326，36.3|QC1|min＝所以|PQ|min＝[类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2022·安徽模拟)在极坐标系中，判断直线ρcoθ－ρinθ＋1＝0与圆ρ＝2inθ的位置关系．解：直线ρcoθ－ρinθ＋1＝0可化成某－y＋1＝0，圆ρ＝2inθ可化为某2＋y2＝2y，即某2＋(y－1)2＝1.圆心(0,1)到直线某－y＋1＝0的距离d＝考点三|0－1＋1|＝0<1.故直线与圆相交．2极坐标方程及应用[典例](2022·郑州模拟)已知在直角坐标系某Oy中，曲线C的参数方程为某＝2＋2coθ，(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系某Oy取相同的长度单位，且以y＝2inθπ原点O为极点，以某轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρin(θ＋)＝22.4(1)求曲线C在极坐标系中的方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长．[解](1)由已知得，曲线C的普通方程为(某－2)2＋y2＝4，即某2＋y2－4某＝0，化为极坐标方程是ρ＝4coθ.(2)由题意知，直线l的直角坐标方程为某＋y－4＝0，22某＋y－4某＝0，由得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为22.某＋y＝4，π在本例(1)的条件下，求曲线C与曲线C1：ρcoθ＝3(ρ≥0,0≤θ解：由曲线C，C1极坐标方程联立ρ＝4coθ，33π∴co2θ＝，coθ＝±，又ρ≥0，θ∈[0，)．422∴coθ＝π3π23，.，θ＝，ρ＝23，故交点极坐标为626[类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[针对训练](2022·荆州模拟)在极坐标系中，求过圆ρ＝6coθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．解：ρ＝6coθ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于某轴的直线方程为某＝3，其在极坐标系下的方程为ρcoθ＝3.[课堂练通考点]π1．(2022·南昌调研)在极坐标系中，求圆ρ＝2coθ与直线θ＝(ρ>0)所表示的图形的交4点的极坐标．π解：圆ρ＝2coθ可转化为某2－2某＋y2＝0，直线θ＝可转化为y ＝某(某>0)，两个方程联4π立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是(2，)．4ππ2．(2022·惠州模拟)在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求36△AOB(其中O为极点)的面积．ππ1解：由题意知A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·in3621π∠AOB＝某3某4某in＝3.263．(2022·天津高考改编)已知圆的极坐标方程为ρ＝4c oθ，圆心为C,点P的极坐标为4，π，求|CP|的值．3解：由ρ＝4coθ可得圆的直角坐标方程为某2＋y2＝4某，圆心C(2,0)．点P的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝23.4．在极坐标系中，求圆：ρ＝2上的点到直线：ρ(coθ＋3inθ)＝6的距离的最小值．解：由题意可得，圆的直角坐标方程为某2＋y2＝4，圆的半径为r＝2，直线的直角坐标|0＋3某0－6|方程为某＋3y－6＝0，圆心到直线的距离d＝＝3，所以圆上的点到直线的距2离的最小值为d－r＝3－2＝1.某＝－t，π5．(2022·银川调研)已知直线l：(t为参数)与圆C：ρ＝42co(θ－)．4y＝1＋t(1)试判断直线l和圆C的位置关系；(2)求圆上的点到直线l的距离的最大值．解：(1)直线l的参数方程消去参数t，得某＋y－1＝0.π由圆C的极坐标方程，得ρ2＝42ρco(θ－)，化简得ρ2＝4ρcoθ＋4ρinθ，所以圆C4的直角坐标方程为某2＋y2＝4某＋4y，即(某－2)2＋(y－2)2＝8，故该圆的圆心为C(2,2)，半径r＝22.|2＋2－1|32从而圆心C到直线l的距离为d＝22＝2，1＋132显然<22，所以直线l和圆C相交．232(2)由(1)知圆心C到直线l的距离为d＝，所以圆上的点到直线l的距离的最大值为23272＋22＝.22[课下提升考能]1．在直角坐标系某Oy中，以O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的πθ－＝1，M，N分别为曲线C与某轴，y轴的交点．极坐标方程为ρco3(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．π13θ－＝1得ρcoθ＋inθ＝1，解：(1)由ρco32213从而曲线C的直角坐标方程为某＋y＝1，即某＋3y＝2.22θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．π2323πθ＝时，ρ＝，所以N.233，223(2)由(1)得点M的直角坐标为(2,0)，点N的直角坐标为0，.3所以点P的直角坐标为1，323π，则点P的极坐标为，33，6π所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．6π1，，点B在直线l：ρcoθ＋ρinθ＝0(0≤θ<2π)上运动，当2．在极坐标系中定点A2线段AB最短时，求点B的极坐标．解：∵ρcoθ＋ρinθ＝0，∴coθ＝－inθ，tanθ＝－1.3π∴直线的极坐标方程化为θ＝(直线如图)．4过A作直线垂直于l，垂足为B，此时AB最短．易得|OB|＝22 .∴B点的极坐标为23π2，4.3．(2022·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcoθ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(某，y)在该圆上，求某＋y的最大值和最小值．解：(1)原方程变形为：ρ2－4ρcoθ－4ρinθ＋6＝0.某2＋y2－4某－4y＋6＝0.(2)圆的参数方程为某＝2＋2coα，y＝2＋2inα(α为参数)，所以某＋y＝4＋2inα＋π4.那么某＋y的最大值为6，最小值为2.4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：某′＝3某，2y′＝y.(1)求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)点B经过φ变换得到点B′－3，12，求点B的坐标；(3)求直线l：y＝6某经过φ变换后所得到的直线l′的方程．某′＝3某，解：(1)设A′(某′，y′)，由伸缩变换φ：某′＝3某，y′＝y得到y′＝12y，坐标为13，－2，于是某′＝3某13＝1，y′＝12某(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．(2)设B(某，y)，由伸缩变换φ：某′＝3某，某＝3某′，y′＝y得到y＝2y′.由于点B′的坐标为－3，12，于是某＝13某(－3)＝－1，y＝2某12＝1，A的由于点∴B(－1,1)为所求．某＝，某′＝3某，3(3)由伸缩变换φ：得2y′＝y，某′y＝2y′.代入直线l：y＝6某，得到经过伸缩变换后的方程y′＝某′，因此直线l的方程为y＝某.5．(2022·南京模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2coθ，ρcoθ＋π＝1.3(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C1的直角坐标方程为(某＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C23的直角坐标方程为某－3y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝>1，2所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．ρρ0＝2，(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则θ＝θ0，2ρ0＝ρ，即①θ0＝θ.因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，πθ0＋＝1，②所以ρ0co3π2θ＋＝1，将①代入②，得coρ3π13θ＋为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为某－2＋y＋2＝1，因即ρ＝2co32213此点P的轨迹是以，－为圆心，1为半径的圆．22π2θ－＝.6．(2022·苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝coθ＋inθ和直线l：ρin42(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：(1)圆O：ρ＝coθ＋inθ，即ρ2＝ρcoθ＋ρinθ，圆O的直角坐标方程为：某2＋y2＝某＋y，即某2＋y2－某－y＝0，π2θ－＝，即ρinθ－ρcoθ＝1，直线l：ρin42则直线l的直角坐标方程为：y－某＝1，即某－y＋1＝0.22某＋y－某－y＝0，某＝0，π1，.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为2某－y＋1＝0y ＝1，第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数某，y中的一个与参数t的关系，例如某＝f(t)，把它代入普通方程，求某＝ft，出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，就是曲线的参数方程．y＝gt2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹直线普通方程y－y0＝tanα(某－某0)参数方程某＝某0＋tcoαy＝y0＋tinα(t为参数)圆某＋y＝r某2y2＋＝1(a>b>0)a2b2222某＝rcoθ(θ为参数)y＝rinθ某＝acoφ(φ为参数)y＝binφ椭圆某＝某0＋tcoα，1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程y＝y0＋tinα.(t为参数)注意：t是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性．[试一试]3．(2022·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为23y＝＋22t1某＝t，2(t为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，某轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐πθ－.若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2co4值．解：首先消去参数t，可得直线方程为3某－y＋为某－2＝0，极坐标方程化为直角坐标方程21－1062＝.24222＋y－2＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB|＝2224．(2022·石家庄模拟)在平面直角坐标系某Oy中，以原点O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρin2θ＝coθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；某＝2－22t，(2)若直线l的参数方程为2y＝2t点，求|AB|的值．(t为参数)，直线l与曲线C相交于A，B两解：(1)将y＝ρinθ，某＝ρcoθ代入ρ2in2θ＝ρcoθ中，得y2＝某，∴曲线C的直角坐标方程为：y2＝某.某＝2－22t，(2)把2y＝2t，代入y2＝某整理得，t2＋2t－4＝0，Δ>0总成立．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∵t1＋t2＝－2，t1t2＝－4，∴|AB|＝|t1－t2|＝－22－4某－4＝32.[课下提升考能]某＝t＋1，1．在平面直角坐标系某Oy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的y＝2t2某＝2tanθ，参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共y＝2tanθ点的坐标．某＝t＋1，解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由某＝t＋1得t＝某－1，代入y＝y＝2t2t，得到直线l的普通方程为2某－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2某.y＝2某－1，1解方程组2得公共点的坐标为(2,2)，(，－1)．2y＝2某，2．(2022·长春模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4coθ，以极点为原点，极轴为某轴某＝5＋23t，正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为1y＝2t(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(t为参数)．(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．解：(1)由ρ＝4coθ，得ρ2＝4ρcoθ，即曲线C的直角坐标方程为某2＋y2＝4某；某＝5＋23t，由1y＝2t(t为参数)，得y＝(某－5)，即直线l的普通方程为某－3y－5＝0.3|2－3某0－5|3(2)由(1)可知C为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d＝＝，21＋3弦长|PQ|＝2某＝2＋2coφ，3．在直角坐标系某Oy中，圆C1和C2的参数方程分别是(φ为参数)和y＝2inφ某＝coφ，(φ为参数)．以O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系．y＝1＋inφ322－2＝7，因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形面积S＝2d·|PQ|＝37.2(1)求圆C1和C2的极坐标方程；(2)射线OM：θ＝α与圆C1的交点为O，P，与圆C2的交点为O，Q，求|OP|·|OQ|的最大值．解：(1)圆C1和圆C2的普通方程分别是(某－2)2＋y2＝4和某2＋(y－1)2＝1，所以圆C1和C2的极坐标方程分别是ρ＝4coθ和ρ＝2inθ.(2)依题意得，点P，Q的极坐标分别为P(4coα，α)，Q(2inα，α)，所以|OP|＝|4coα|，|OQ|＝|2inα|.从而|OP|·|OQ|＝|4in2α|≤4，当且仅当in2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP|·|OQ|的最大值是4.4．(2022·福建模拟)如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为某轴建立平面直角坐标系．已知直线l某＝－1＋tco6，的参数方程为πy＝tin6OM，BM，在Rt△OBM中，|OM|＝|OB|co∠BOM，所以ρ＝2coθ.π(t为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C上除点O，B外的任意一点，连接π可以验证点O(0，)，B(2,0)也满足ρ＝2coθ，2故ρ＝2coθ为所求圆的极坐标方程．(2)由πy＝tin6π某＝－1＋tco，6(t为参数)，得直线l的普通方程为y＝3(某＋1)，3即直线l的普通方程为某－3y＋1＝0.由ρ＝2coθ，得圆C的直角坐标方程为(某－1)2＋y2＝1.|1某1－3某0＋1|因为圆心C到直线l的距离d＝＝1，2所以直线l与圆C相切．5．(2022·郑州模拟)在直角坐标系某Oy中，直线l经过点P(－1,0)，其倾斜角为α.以原点O为极点，以某轴非负半轴为极轴，与直角坐标系某Oy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcoθ＋5＝0.(1)若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；(2)设M(某，y)为曲线C上任意一点，求某＋y的取值范围．解：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－6ρcoθ＋5＝0化为直角坐标方程为某2＋y2－6某＋5＝0.某＝－1＋tcoα，直线l的参数方程为(t为参数)．y＝tinα某＝－1＋tcoα，将(t为参数)代入某2＋y2－6某＋5＝0整理得，t2－8tcoα＋12＝0.y＝tinα∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64co2α－48≥0，∴coα≥33或coα≤－.22π50，∪∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是，.66(2)曲线C的方程某2＋y2－6某＋5＝0可化为(某－3)2＋y2＝4，某＝3＋2coθ，其参数方程为(θ为参数)．y＝2inθ∵M(某，y)为曲线C上任意一点，π∴某＋y＝3＋2coθ＋2inθ＝3＋22in(θ＋)，4∴某＋y的取值范围是[3－22，3＋22]．某＝acoφ，6．(2022·昆明模拟)已知曲线C的参数方程是(φ为参数，a>0)，直线l的y＝3inφ某＝3＋t，参数方程是(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在某轴上，以坐标原点为y＝－1－t极点，某轴的正半轴为极轴建立坐标系．(1)求曲线C的普通方程；(2)若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋2π4π111)，C(ρ3，θ＋)在曲线C上，求的值．2＋2＋33|OA||OB||OC|2某2解：(1)直线l的普通方程为某＋y＝2，与某轴的交点为(2,0)．又曲线C 的普通方程为2＋ay2某2y2＝1，所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是＋＝1.3432π4πρ2，θ＋，Cρ3，θ＋在曲线C上，即点A(ρ1coθ，ρ1inθ)，(2)因为点A(ρ1，θ)，B332π4π4π2πθ＋，ρ2in(θ＋，Cρ3coθ＋，ρ3inθ＋在曲线C上．Bρ2co3333故1111112＋2＋2＝2＋2＋2|OA||OB||OC|ρ1ρ2ρ324112＝co2＋co2＋＋co＋＋343322422in＋in＋＋in＋33481＋co2＋1＋co2＋＋co21133＋＋＋＝4222481－co2＋1－co2＋－co2113313137＝4某2＋3某2＝8.＋＋3222。

2020年高考文科数学一轮总复习：坐标系与参数方程

2020年高考文科数学一轮总复习：坐标系与参数方程理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．能在极坐标系中给出简单图形的方程，通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义．了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.了解参数方程，了解参数的意义．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程．了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.1．坐标系(1)伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x（λ>0），y′＝μ·y（μ>0）的作用下，点P(x，y)对应到点(λx，μy)，称φ为平面直角坐标系中的伸缩变换．(2)极坐标系在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）Ｗ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos__θ＝a ． (3)直线过点M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin__θ＝b ．4．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则该圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r .(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos__θ． (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin__θ．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系．( )(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．( ) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×圆心C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，且圆C 经过极点．求圆C 的极坐标方程．解：圆心C 的直角坐标为(2，2)，则设圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝r 2，依题意可知r 2＝(0－2)2＋(0－2)2＝4，故圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4，化为极坐标方程为ρ2－22ρ(sin θ＋cos θ)＝0，即ρ＝22(sin θ＋cos θ)．确定极坐标方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1表示的曲线．解：由极坐标方程ρ2cos 2θ－2ρcos θ＝1，得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)－2ρcos θ＝1.由互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，得x 2－y 2－2x ＝1，即(x －1)2－y 2＝2.故此方程表示以(1，0)为中心，F 1(－1，0)，F 2(3，0)为焦点的等轴双曲线.极坐标与直角坐标的互化(师生共研)(1)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．(2)把曲线C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0化为极坐标方程．【解】 (1)由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，所以d ＝|2＋2＋1|2＝522.即点A 到直线l 的距离为522.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．1．(2018·高考江苏卷)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，所以曲线C 是圆心为(2，0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，则直线l 过A (4，0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcosπ4＋sin θsin π4＝2. 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22.求曲线的极坐标方程(师生共研)(2017·高考全国卷Ⅱ改编)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的极坐标方程．【解】设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点．(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．1．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，交圆C 于点N .求ON 的中点M 的轨迹的极坐标方程．解：设M (ρ，θ)，N (ρ1，θ1)．因为N 点在圆ρ＝8cos θ上，所以ρ1＝8cos θ1.①因为M 是ON 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cos θ，故点M 的轨迹的极坐标方程是ρ＝4cos θ.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ(ρ≥0，0≤θ<π)．写出曲线C 1的极坐标方程，并求C 1与C 2交点的极坐标．解：由题意可得曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝4sin θ，ρcos 2θ＝sin θ，得4sin θcos 2θ＝sin θ，此时0≤θ<π， ①当sin θ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0，0)；②当sin θ≠0时，cos 2θ＝14，当cos θ＝12时，θ＝π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π3，当cos θ＝－12时，θ＝2π3，ρ＝23，得交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，2π3，所以C 1与C 2交点的极坐标为(0，0)，⎝⎛⎭⎫23，π3，⎝⎛⎭⎫23，2π3.曲线极坐标方程的应用(师生共研)(2019·福州四校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.【解】 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )(tan θ＝3)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，所以1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长、面积等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．1．(2019·湖北省八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得ρP ＝1，把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得ρQ ＝2，所以|PQ |＝|ρP －ρQ |＝1.2．(2019·开封高三定位考试)在直角坐标系xOy 中，直线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程和交点A 的极坐标；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为B (非坐标原点)，求△OAB的最大面积．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)得曲线C 1的普通方程为y ＝x tan α，故曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入(x －2)2＋y 2＝4，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.故交点A 的坐标为(4cos α，α)．(2)由题意知，B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4. 所以S △OAB ＝⎪⎪⎪⎪12×22×4cos α×sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝ ⎪⎪⎪⎪22sin ⎝⎛⎭⎫2α－π4－2，故△OAB 的最大面积是22＋2.[基础题组练]1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝12x ，y ′＝13y后，曲线C ：x 2＋y 2＝36变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．解：设圆x 2＋y 2＝36上任一点为P (x ，y )，伸缩变换后对应的点的坐标为P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝3y ′，所以4x ′2＋9y ′2＝36，即x ′29＋y ′24＝1.所以曲线C 在伸缩变换后得椭圆x 29＋y 24＝1，其焦点坐标为(±5，0)．2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求点M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1，从而曲线C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M (2，0)．θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)得点M 的直角坐标为(2，0)，点N 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．3．在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝⎛⎭⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长．解：法一：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图，在Rt △OAM 中，∠OMA ＝90°， ∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4.因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |，所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ，即ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，验证可知，极点O 与A ⎝⎛⎭⎫4，－π6的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6为所求．(2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ，在Rt △OAP 中，∠OP A ＝90°，易得∠AOP ＝π4，所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝2 2.法二：(1)圆C 是将圆ρ＝4cos θ绕极点按顺时针方向旋转π6而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6.(2)将θ＝－5π12代入圆C 的极坐标方程ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6，得ρ＝22，所以圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长为2 2.4．(2019·南昌市第一次模拟测试卷)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ1＝π6(ρ1∈R )，θ2＝2π3(ρ2∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C 的交点分别为O ，M 和O ，N ，求△OMN 的面积．解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t ＋2得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋(y －2)2＝4，得ρ2－4ρsin θ＝0. 所以曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)由直线l 1：θ1＝π6(ρ1∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，得|OM |＝4sin π6＝2.由直线l 2：θ2＝2π3(ρ2∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，得|ON |＝4sin 2π3＝2 3.易知∠MON ＝π2，所以S △OMN ＝12|OM |×|ON |＝12×2×23＝2 3.[综合题组练]1．(2019·沈阳质量检测(一))在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝α，0<α<π.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为射线l 与曲线C 1，C 2除原点之外的交点，求|AB |的最大值．解：(1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，消去参数t 得x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.由曲线C 2的直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4，得x 2＋y 2－4y ＝0，所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α，ρ＝2sin θ，得A (2sin α，α)，所以|OA |＝2sin α，联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α，ρ＝4sin θ，得B (4sin α，α)，所以|OB |＝4sin α，所以|AB |＝|OB |－|OA |＝2sin α，因为0<α<π，所以当α＝π2时，|AB |有最大值，最大值为2.2．(2019·湖北八校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ，B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值．解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝9，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2θ，由OA ⊥OB ，设A (ρ1，α)，则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2，所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109. 3．(综合型)(2019·河南名校联盟4月联考)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(3cos θ＋sin θ)＝5.(1)求圆C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；(2)在圆上找一点A ，使它到直线l 的距离最小，并求点A 的极坐标．解：(1)x 2＋(y －1)2＝1即x 2＋y 2－2y ＝0，因为ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ，所以圆C 的极坐标方程为ρ2＝2ρsin θ，即ρ＝2sin θ.ρ(3cos θ＋sin θ)＝5即3ρcos θ＋ρsin θ＝5，因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，所以直线l 的直角坐标方程为y ＝－3x ＋5.(2)曲线C ：x 2＋(y －1)2＝1是以C (0，1)为圆心，1为半径的圆．设圆上点A (x 0，y 0)到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最短，所以圆C 在点A 处的切线与直线l ：y ＝－3x ＋5平行．即直线CA 与l 的斜率的乘积等于－1，即y 0－1x 0×(－3)＝－1.①因为点A 在圆上，所以x 20＋(y 0－1)2＝1，②联立①②可解得x 0＝－32，y 0＝12或x 0＝32，y 0＝32. 所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，12或⎝⎛⎭⎫32，32. 又由于圆上点A 到直线l ：y ＝－3x ＋5的距离最小，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，32，点A 的极径为 ⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝3，极角θ满足tan θ＝3且θ为第一象限角，则可取θ＝π3. 所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π3. 4．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点；当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.第2讲参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的数量．( )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)×在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值．解：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0，椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)，则3－a ＝0，所以a ＝3.已知点P 是椭圆x 24＋y 2＝1上任意一点，求点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值．解：因为椭圆x 24＋y 2＝1的参数方程为错误!(φ为参数)，故可设点P 的坐标为(2cos φ，sin φ)，又直线l ：x ＋2y ＝0.因此点P 到直线l 的距离d ＝|2cos φ＋2sin φ|12＋22＝22⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π45.又φ∈[0，2π)，所以d max ＝225＝2105，即点P 到直线l ：x ＋2y ＝0的距离的最大值为2105.参数方程与普通方程的互化(师生共研)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．【解】曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．1．求直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0，0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．2．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：圆的半径为12，记圆心为C ⎝⎛⎭⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ，y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．参数方程的应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率．【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为 y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cosα＋sin α)t －8＝0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)直线方程中参数t 的几何意义的应用经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：①t 0＝t 1＋t 22；②|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22；③|AB |＝|t 2－t 1|； ④|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|.[注意] 在直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.(2)圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．1．(2019·洛阳市尖子生第一次联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋2t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ，且直线l 经过曲线C 的左焦点F .(1)求直线l 的普通方程；(2)设曲线C 的内接矩形的周长为L ，求L 的最大值．解：(1)曲线C 的极坐标方程为ρ2＝41＋sin 2θ，即ρ2＋ρ2sin 2θ＝4，将ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y 代入上式并化简得x 24＋y 22＝1，所以曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 22＝1，于是c 2＝a 2－b 2＝2，F (－2，0)．直线l 的普通方程为x －y ＝m ，将F (－2，0)代入直线方程得m ＝－2，所以直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.(2)设椭圆C 的内接矩形在第一象限的顶点为(2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，所以椭圆C 的内接矩形的周长为L ＝2(4cos θ＋22sin θ)＝46sin(θ＋φ)(其中tan φ＝2)，所以椭圆C 的内接矩形的周长L 的最大值为4 6.2．(2019·长春质量检测(二))已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3＋sin 2 θ)＝12，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(1)求曲线C 1的直角坐标方程，并判断该曲线是什么曲线；(2)设曲线C 2与曲线C 1的交点为A ，B ，P (1，0)，当|P A |＋|PB |＝72时，求cos α的值．解：(1)由ρ2(3＋sin 2θ)＝12得x 24＋y 23＝1，该曲线是椭圆．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝t sin α代入x 24＋y 23＝1得t 2(4－cos 2 α)＋6t cos α－9＝0，由直线参数方程的几何意义，设|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，t 1＋t 2＝－6cos α4－cos 2α，t 1t 2＝－94－cos 2α，所以|P A |＋|PB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝124－cos 2α＝72，所以cos 2α＝47，因为α∈(0，π2)，所以cos α＝277.极坐标与参数方程的综合问题(师生共研)(一题多解)(2019·贵州省适应性考试)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos αy ＝2sin α(α为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)过原点且倾斜角为α(π6<α≤π4)的射线l 与曲线C 1，C 2分别相交于A ，B 两点(A ，B异于原点)，求|OA |·|OB |的取值范围．【解】 (1)曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0，故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ，即ρ＝4cos θ.由曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，两边同乘以ρ，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，故曲线C 2的直角坐标方程为x 2＝y .(2)法一：射线l 的极坐标方程为θ＝α，π6<α≤π4，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 1的极坐标方程得|OA |＝ρ＝4cos α，把射线l 的极坐标方程代入曲线C 2的极坐标方程得|OB |＝ρ＝sin αcos 2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4.法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，π6<α≤π4)．把射线l 的参数方程代入曲线C 1的普通方程得t 2－4t cos α＝0. 解得t 1＝0，t 2＝4cos α.故|OA |＝|t 2|＝4cos α. 同理可得|OB |＝sin αcos 2α，所以|OA |·|OB |＝4cos α·sin αcos 2α＝4tan α，因为π6<α≤π4，所以|OA |·|OB |的取值范围是⎝⎛⎦⎤433，4.处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标的综合问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1：ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0，2π]，曲线C 2：ρ＝34sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，θ∈[0，2π]． (1)求曲线C 1的一个参数方程．(2)若曲线C 1和曲线C 2相交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)由ρ2－4ρcos θ＋3＝0可知：x 2＋y 2－4x ＋3＝0，所以(x －2)2＋y 2＝1. 令x －2＝cos α，y ＝sin α；所以C 1的一个参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α∈R )．(2)C 2：4ρ⎝⎛⎭⎫sin π6cos θ－cos π6sin θ＝3，所以4⎝⎛⎭⎫12x －32y ＝3，即2x －23y －3＝0，因为直线2x －23y －3＝0与圆(x －2)2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，所以圆心到直线的距离为d ＝14，所以|AB |＝2·1－⎝⎛⎭⎫142＝2×154＝152.2．(2019·长春市质量检测(一))以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1，2)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π6，圆C 以点C 为圆心，3为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； (2)设直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |.解：(1)由题意得直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＝6sin θ.(2)由(1)易知圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9，把⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋12t代入x 2＋(y －3)2＝9，得t 2＋(3－1)t －7＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，所以t 1t 2＝－7，又|P A |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|，所以|P A |·|PB |＝7.[基础题组练]1．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，α为直线的倾斜角)． (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与曲线C 有唯一的公共点，求角α的大小．解：(1)当α＝π2时，直线l 的普通方程为x ＝－1；当α≠π2时，直线l 的普通方程为y ＝(x ＋1)tan α.由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，所以x 2＋y 2＝2x ，即为曲线C 的直角坐标方程．(2)把x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α代入x 2＋y 2＝2x ，整理得t 2－4t cos α＋3＝0. 由Δ＝16cos 2α－12＝0，得cos 2α＝34，所以cos α＝32或cos α＝－32，故直线l 的倾斜角α为π6或5π6.2．以极点为原点，以极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝10，曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α，(α为参数)．(1)判断两曲线C 和C ′的位置关系；(2)若直线l 与曲线C 和C ′均相切，求直线l 的极坐标方程．解：(1)由ρ＝10得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝100，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋5cos α，y ＝－4＋5sin α得曲线C ′的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25. 曲线C 表示以(0，0)为圆心，10为半径的圆；曲线C ′表示以(3，－4)为圆心，5为半径的圆．因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差，所以圆C 和圆C ′的位置关系是内切．(2)由(1)建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝100，（x －3）2＋（y ＋4）2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－8；可知两圆的切点坐标为(6，－8)，且公切线的斜率为34，所以直线l 的直角坐标方程为y ＋8＝34(x －6)，即3x －4y －50＝0，所以极坐标方程为3ρcos θ－4ρsin θ－50＝0.3．(2019·湘东五校联考)平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 为参数)，ρsin 2θ＝2cos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得 t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2＝20sin 2α，根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，得α＝π4或α＝3π4. 又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，所以α＝π4.4．(2019·湖北八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α是参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. (1)求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2的距离的最大值，并求此时点P 的坐标．解：(1)曲线C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，得ρsin θ＋ρcos θ＝2，得曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －2＝0. (2)设点P 的坐标为(3cos α，sin α)，则点P 到C 2的距离为|3cos α＋sin α－2|2＝⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－22，当sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1，即α＋π3＝－π2＋2k π(k ∈Z )，α＝－5π6＋2k π(k ∈Z )时，所求距离最大，最大值为22，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－32，－12. [综合题组练]1．(2019·郑州市第一次质量测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(1，0)，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ＝8cos θ1－cos 2θ. (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若α＝π4，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由题知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．因为ρ＝8cos θ1－cos 2 θ，所以ρsin 2θ＝8cos θ，所以ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，即y 2＝8x . (2)法一：当α＝π4时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，代入y 2＝8x 可得t 2－82t －16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝82，t 1·t 2＝－16，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1·t 2＝8 3.又点O 到直线AB 的距离d ＝1×sin π4＝22，所以S △AOB ＝12|AB |×d ＝12×83×22＝2 6. 法二：当α＝π4时，直线l 的方程为y ＝x －1，设M (1，0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由错误!得y 2＝8(y ＋1)，即y 2－8y －8＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8， S △AOB ＝12|OM ||y 1－y 2|＝12×1×（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝12×82－4×（－8）＝12×46＝2 6.2．(2018·高考全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当⎪⎪⎪⎪⎪⎪21＋k 2＜1，解得k ＜－1或k ＞1，即α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2或α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α(t 为参数，π4＜α＜3π4)．设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α. 又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t Psin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α(α为参数，π4＜α＜3π4)． 3．(2019·惠州市第二次调研)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)和定点A (0，3)，F 1，F 2是此曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线AF 2的极坐标方程；(2)经过点F 1且与直线AF 2垂直的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，求||MF 1|－|NF 1||的值．解：(1)曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α可化为x 24＋y 23＝1，故曲线C 为椭圆，则焦点F 1(－1，0)，F 2(1，0)．所以经过点A (0，3)和F 2(1，0)的直线AF 2的方程为x ＋y 3＝1，即3x ＋y －3＝0，所以直线AF 2的极坐标方程为3ρcos θ＋ρsin θ＝ 3.(2)由(1)知，直线AF 2的斜率为－3，因为l ⊥AF 2，所以直线l 的斜率为33，即倾斜角为30°，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，代入椭圆C 的方程中，得13t 2－123t －36＝0.因为点M ，N 在点F 1的两侧，所以||MF 1|－|NF 1||＝|t 1＋t 2|＝12313. 4．(综合型)(2019·南昌市第一次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值．解：(1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t y ＝1＋2t，所以其普通方程为x －y －a ＋1＝0.因为曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0，所以ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，所以x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x .(2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t y ＝1＋2t，得2t 2－22t ＋1－4a ＝0.。

高考文科数学复习专题-极坐标与参数方程

1．曲线的极坐标方程．(1)极坐标系：一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标(ρ，θ)的含义：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．明显，每一个有序实数对(ρ，θ)，确定一个点的位置．其中ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．极坐标系和直角坐标系的最大区分在于：在直角坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系是一一对应的，而在极坐标系中，对于给定的有序数对(ρ，θ)，可以确定平面上的一点，但是平面内的一点的极坐标却不是唯一的．(3)曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上的随意一点的极坐标满意方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．2．直线的极坐标方程．(1)过极点且与极轴成φ0角的直线方程是θ＝φ0和θ＝π－φ0，如下图所示．(2)与极轴垂直且与极轴交于点(a，0)的直线的极坐标方程是ρcos θ＝a，如下图所示．(3)与极轴平行且在x轴的上方，与x轴的距离为a的直线的极坐标方程为ρsin θ＝a，如下图所示．3．圆的极坐标方程．(1)以极点为圆心，半径为r的圆的方程为ρ＝r，如图1所示．(2)圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的方程为ρ＝2rcos_θ，如图2所示．(3)圆心在过极点且与极轴成π2的射线上，过极点且半径为r的圆的方程为ρ2rsin_θ，如图3所示．4．极坐标与直角坐标的互化．若极点在原点且极轴为x 轴的正半轴，则平面内随意一点M 的极坐标M(ρ，θ)化为平面直角坐标M(x ，y)的公式如下：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或者ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x ，其中要结合点所在的象限确定角θ的值．1．曲线的参数方程的定义．在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ），并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数．2．常见曲线的参数方程．(1)过定点P(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋tcos α，y ＝y 0＋tsin α(t 为参数)，其中参数t 是以定点P(x 0，y 0)为起点，点M(x ，y)为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．依据t 的几何意义，有以下结论：①设A ，B 是直线上随意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则|AB|＝|t B －t A |＝（t B ＋t A ）2－4t A ·t B ；②线段AB 的中点所对应的参数值等于t A ＋t B2.(2)中心在P(x 0，y 0)，半径等于r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋rcos θ，y ＝y 0＋rsin θ(θ为参数) (3)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos θ，y ＝asin θ. 中心在点P(x 0，y 0)，焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋acos α，y ＝y 0＋bsin α(α为参数)．(4)中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴)上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝asec θ，y ＝btan θ(θ为参数)⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝btan θ，y ＝asec θ. (5)顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p ，y ＝2p(t 为参数，p>0)．注：sec θ＝1cos θ.3．参数方程化为一般方程．由参数方程化为一般方程就是要消去参数，消参数时经常采纳代入消元法、加减消元法、乘除消元法、三角代换法，消参数时要留意参数的取值范围对x ，y 的限制．1．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，则点A 的直角坐标是(2，－23)．2．把点P 的直角坐标(6，－2)化为极坐标，结果为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－π6．3．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4．4．以极坐标系中的点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π6为圆心、1为半径的圆的极坐标方程是ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6．5．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的右顶点，则常数a 的值为3．解析：由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，得y ＝x －a.由椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ，得x 29＝y24＝1.所以椭圆C 的右顶点为(3，0)．因为直线l 过椭圆的右顶点，所以0＝3－a ，即a ＝3.一、选择题1．在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是(C )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3D.⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3 2．若圆的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －1(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是(B )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定3．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l 被圆C 截得的弦长为(D )A.14 B ．214 C. 2 D ．2 2解析：由题意可得直线和圆的方程分别为x －y －4＝0，x 2＋y 2＝4x ，所以圆心C(2，0)，半径r ＝2，圆心(2，0)到直线l 的距离d ＝2，由半径，圆心距，半弦长构成直角三角形，解得弦长为2 2.4．已知动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，则直线l 与圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的位置关系是(A )A ．相交B ．相切C ．相离D ．过圆心解析：动直线l 平分圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝1，即圆心(2，1)在直线l 上，又圆O ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ的一般方程为x 2＋y 2＝9且22＋12<9，故点(2，1)在圆O 内，则直线l 与圆O 的位置关系是相交．二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，若以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则曲线C 的极坐标方程可写为ρ2＋4ρsin_θ＋3＝0．解析：在平面直角坐标系xOy 中，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝sin θ－2，x ＝cos θ(θ是参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝sin θ，x ＝cos θ.依据sin 2θ＋cos 2θ＝1，可得x 2＋(y ＋2)2＝1，即x 2＋y 2＋4y ＋3＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ2＋4ρsin θ＋3＝0.6．在平面直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2．三、解答题7．求极点到直线2ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4(ρ∈R)的距离．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 8．极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB|的最小值．9．(2015·大连模拟)曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，将曲线C 1上全部点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C 2.以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6.(1)求曲线C 2和直线l 的一般方程；(2)P 为曲线C 2上随意一点，求点P 到直线l 的距离的最值．解析：(1)由题意可得C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，即C 2：x 24＋y23＝1，直线l ：ρ(cos θ－2sin θ)＝6化为直角坐标方程为x －2y －6＝0.(2)设点P(2cos θ，3sin θ)，由点到直线的距离公式得点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ－23sin θ－6|5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ5＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π65＝55⎣⎢⎡⎦⎥⎤6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6. 所以255≤d ≤25，故点P 到直线l 的距离的最大值为25，最小值为255.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P(3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程．(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA|·|PB|的值．解析：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，得一般方程为(x －1)2＋(y －2)2＝16，即x 2＋y 2－2x －4y ＝11＝0.直线l 经过定点P(3，5)，倾斜角为π3，直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 是参数)．(2)将直线的参数方程代入x 2＋y 2－2x －4y －11＝0，整理，得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1t 2＝－3，因为直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，所以|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝3.。

2024高考数学全国甲卷解析(文科)(1)

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}{}1,2,3,4,5,9,1A B x x A ==+∈∣,则()A B ⋂=A {}1,2,3,4B {}1,2,3,4C {}1,2,3,4D {}1,2,3,4【答案】A【解析】因为{}{}{}1,2,3,4,5,9,10,1,2,3,4,8A B x x A ==+∈=∣,所以A {}1,2,3,4B ⋂=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】集合运算、交集 2.设z =则()z z ⋅=A .iB .1C .-1D .2【答案】D【解析】因为z =,所以2z z ⋅=,故选D .【难度】基础题【关联题点】复数运算、共轭复数3.若,x y 满足约束条件4330,220,2690,x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则5z x y =-的最小值为A .12B .0C .52-D .72-【答案】D【解析】将约束条件两两联立可得3个交点:()30,1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭、和13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,经检验都符合约束条件.代入目标函数可得:min 72z =-,故选D . 【难度】基础题【关联题点】线性规划、约束条件4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()9371,S a a =+=A -2 B73 C 1D29【答案】D【解析】令0d =,则9371291,,99n n S a a a a ===+=,故选D . 【难度】基础题【关联题点】等差数列、通项公式5.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是() A14B13C12D23【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头,且甲或乙在排尾的共有8种可能,81243P ==,故选B . 【难度】基础题【关联题点】计数原理、特殊位置法6.已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-,点()6,4-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 A .4 B .3C .2D .2【答案】C 【解析】12212F F c e a PF PF ===-,故选C . 【难度】中档题【关联题点】双曲线、离心率、圆锥曲线定义7.曲线()63f x x x =+在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为()A16B32C12【答案】A【解析】因为563y x '=+,所以1113,31,1236k y x S ==-=⨯⨯=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】导数应用、切线8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-的大致图像为()ABCD【答案】B【解析】()()()()22-ee sin()e e sin xx x x f x x x x x f x --=-+--=-+-=，所以()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，又因为2()0()22n n f n Z ππ⎛⎫=-<∈ ⎪⎝⎭，观察图像知选B 【难度】中档题【关联题点】函数的奇偶性、函数图像9.已知cos cos sin ααα=-则()tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A .1B 1C D 1【答案】B【解析】因为cos cos sin ααα=-所以tan 1tan 1tan 141tan παααα+⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭,故选B .【难度】基础题【关联题点】三角恒等变化、两角和与差的正切公式10.找不到题目11.已知已知m n 、是两条不同的直线,αβ、是两个不同的平面:①若,m n αα⊥⊥,则//m n ;②若,//m m n αβ⋂=,则//n β;③若//,//,m n m αα与n 可能异面,也可能相交,也可能平行;④若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,则m n ⊥,以上命题是真命题的是()(A )①③B 23C ①②③D ①③④ 【答案】A【解析】//m n 一定有//n α或//n β，(1)对αβ⊥时m n ⊥也有可能，n α⊂或n β⊂，(2)错.//n α且//n β一定有//m n ,(3)对n 与,αβ所成角相等，有可能，//m n ，(4)错，选A .【难度】中档题【关联题点】立体几何线面关系、线面关系的判定12.在ABC 中,内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若3B π=,294b ac =,则()sin sin A C += A32C2D2【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==,所以241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:222b a c =+94ac ac -=,即:2222131313,sin sin sin sin 4412a c ac A C A C +=+==,所以()222sin sin sin sin A C A C +=+72sin sin ,sin sin 4A C A C +=+=故选C .【难度】中档题【关联题点】余弦定理、解三角形二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.二项式1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数的最大值是___.【答案】5【解析】1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式第1r +项系数1013rr C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令第1r +项系数最大则11101011101011331133rr r r r r r r C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,711,244r r ≤≤∴=,系数最大为2210153C ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【难度】中档题【关联题点】二项式系数、组合数14.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是___. 【答案】2【解析】()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭,当且仅当56x π=时取等号. 【难度】中档题【关联题点】三角函数图像与性质、辅助角公式15.已知81151,log log 42a a a >-=-,则a =___. 【答案】64 【解析】因为284211315log log log log 22a a a a -=-=-, 所以()()22log 1log 60a a +-=,而1a >,故2log 6,64a a ==. 【难度】中档题【关联题点】一元二次方程、对数运算16.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点,则a 的取值范围为___.【答案】()2,1-【解析】令()2331x x x a -=--+,则()2331a x x x =-+-,设()()()2331,x x x x x ϕϕ=--'+()()()351,x x x ϕ=+-在()1,∞+上递增,在()0,1上递减.因为曲线33y x x =-与(y x =-21)a -+在()0,∞+上有两个不同的交点,()()01,12ϕϕ==-,所以a 的取值范围为(2-,1). 【难度】较难题【关联题点】三次函数、导数、函数零点三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.(12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n S 的通项公式. 【答案】见解析. 【解析】(1)因为1233n n S a +=-,所以12233n n S a ++=-, 两式相减可得:1223n n a a ++=-13n a +,即:2135n n a a ++=,所以等比数列{}n a 的公比53q =,又因为12123353S a a =-=-,所以1151,3n n a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭;(2)因为1233n n S a +=-,所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【难度】中档题【关联题点】数列通项公式、前n 项和与通项公式的关系18.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:(1)填写如下列联表:能否有95%99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =.设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?)12.247≈附:()()()()()()2220.0500.0100.010, 3.8416.63510.828P K k n ad bc K a b c d a c b d k ≥-=++++【答案】见解析.【解析】()()22150702426301 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯,没有99%的把握;(2)96160.6415025p === ()11112221.650.5 1.650.5 1.650.56715012.247p p p n ⨯-+=+⋅≈+⨯≈()11.65,p p p p n->+∴可以认为升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.【难度】中档题【关联题点】独立性检验、概率19.(12分)如图,已知//,//,2AB CD CD EF AB DE EF CF ====,4,10,23,CD AD BC AE M ====为CD 的中点.(1)证明://EM 平面BCF ; (2)求点M 到ADE 的距离. 【答案】见解析【解析】(1)由题意://,EF CM EF CM =,而CF 写平面,ADO EM 平面ADO ,所以EM //平面BCF ;(2)取DM 的中点O ,连结,OA OE ,则,,3,3OA DM OE DM OA OE ⊥⊥==,而23AE =,故23,3AOEOA OE S⊥=. 因为2,10DE AD ==,所以,10.AOEAD DE S DM ⊥=设点M 到平面ADE 的距离为h , 所以**1143230,33510M ADE ADEAOEV S h SDM h -====, 故点M 到ADE 的距离为2305. 【难度】中档题【关联题点】立体几何、空间向量、点到面的距离20.(12分)已知函数()()1ln 1f x a x x =--+. (1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,()1e x f x -<恒成立. 【答案】见解析【解析】()()()()111ln 1,,0ax f x a x x f x x x-=--+'=>. 若()()0,0,a f x f x ≤<的减区间为()0,∞+,无增区间; 若0a >时,当10x a<<时,()0f x '<, 当1x a >时,()0f x '>,所以()f x 的减区10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (2)因为2a ≤,所以当1x >时,()()111e e 1ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令()g x 1e2ln 1x x x -=-++,则()11e 2x g x x-=-+'.令()()h x g x =',则()121e x h x x-=-'在()1,∞+上递增,()()10h x h '>=',所以()()h x g x ='在()1,∞+上递增,()()10g x g '>=',故()g x 在()1,∞+上递增,()()10g x g >=,即:当1x >时,()1e x f x -<恒成立.【难度】较难题【关联题点】函数极值、导数、导数解不等式21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点(1M ,32⎫⎪⎭在椭圆C 上,且MF x ⊥轴.(I )求椭圆C 的方程;(2)()4,0P ,过P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点,N 为FP 的中点,直线NB 与MF 交于Q ,证明:AQ y ⊥轴. 【答案】见解析【解析】(1)设椭圆C 的左焦点为1F ,则132,2F F MF ==.因为MF x ⊥轴,所以 1MF 15,242a MF MF ==+=,解得:2224,13a b a ==-=,故椭圆C 的方程为:22143x y +=;(2)解法1:设()()1122,,,,A x y B x y AP PB λ=,则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪+=⎨⎪+⎪⎩,即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 可得:1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅⋅=+-+-,结合上式可得:5λ-2230.x λ+=,则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--,故AQ y ⊥轴.解法2:设()()1122,,,A x y B x y ,则12124444x x y y ---=-,即:()1221214x y x y y y -=-,所以(12x y -)()()()222222221221122112212121214444433y y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫+=-=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2112214,y y x y x y =-+即:1221212112,253.x y x y y y x y y y +=+=-, 则2122112335252Q y y y y x y y x ==--1y =,AQ y ⊥轴.【难度】较难题【关联题点】解析几何、圆锥曲线、韦达定理(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=cos 1ρθ+.(1)写出C 的直角坐标方程; (2)直线(x tt y t a =⎧⎨=+⎩为参数)与曲线C 交于A B 、两点,若2AB =,求a 的值.【答案】见解析.【解析】(1)因为cos 1ρρθ=+,所以()22cos 1ρρθ=+,故C 的直角坐标方程为:22(x y x +=21)+,即:221y x =+;(2)将x t y t a=⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得:()222110,2t a t a AB +-+-====,解得:34a =. 【难度】基础题【关联题点】极坐标、参数方程23.[选修4-5:不等式选讲](10分)实数,a b 满足3a b +≥. (1)证明:2222a b a b +>+; (2)证明:22226a b b a -+-≥. 【答案】见解析.【解析】(1)因为3a b +≥,所以()22222a b a b a b +≥+>+;(2)()222222222222a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+()()()()()2222216a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥【难度】较难题【关联题点】基本不等式、绝对值不等式。

高考文科数学4坐标系与参数方程考点讲解

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考点全通关 4
坐标系与参数方程
4.简单曲线的极坐标方程曲线圆心在极点,半径为r的圆圆心为(r,0),半径为r的圆 ρ=2rsin θ (0≤θ<π) 过极点,倾斜角为α的直线所有理想化模型均忽略对所研究问题无影响的因素,是研究问题的一种理想方法.在高中学习的理想过点(a,0),与极轴垂直的直线模型还有:点电荷、理想气体、弹簧振子、点光源等. (1)θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R) (2)θ=α和θ=π+α 图形极坐标方程 ρ=r(0≤θ<2π)
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考点全通关 2
坐标系与参数方程
3.极坐标和直角坐标的互化
简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中 ρ 和θ的具体含义求出 ,也可利用极所有理想化模型均忽略对所研究问题无影响的因素,是研究问题的坐标方程与直角坐标方程的互化得出 .同直角坐标方程一样,由于建系的不同, 一种理想方法.在高中学习的理想曲线的极坐标方程也会不同.在没有充分理解极坐标的前提下 ,可先化成直角模型还有:点电荷、理想气体、弹簧振子、点光源等 . 坐标解决问题 .
目录 Contents
考情精解读
考点一坐标系
考点二
参数方程
高考复习讲义
考情精解读 2
坐标系与参数方程
考查内容
考查频次
考查题型
所占分值
命题规律
极坐标系与点的极坐标 3年10考选择题、填空题、解答题选择题、填空题中占5分, 解答题中占5分-10分
命题趋势
参数方程
3年4考
填空题、解答题
填空题中占5分,解答题中占5分-10分
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【2019版课标版】高考数学文科精品课件第十五章坐标系与参数方程

第十五章坐标系与参数方程命题探究解答过程(1)曲线C的普通方程为+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由-解得或从而C与l的交点坐标为(3,0),-.(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离d=--.当a≥-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=8;当a<-4时,d的最大值为.由题设得=,所以a=-16.综上,a=8或a=-16考纲解读分析解读坐标系与参数方程是高考数学的选考内容,重点考查直线与圆的极坐标方程,极坐标与直角坐标的互化;直线、圆与椭圆的参数方程以及参数方程与普通方程的互化.本章在高考中以极坐标方程(参数方程)为载体,考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识,分值约为10分,属中档题.五年高考考点一坐标系与极坐标1.(2017北京,11,5分)在极坐标系中,点A在圆ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0上,点P的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为.答案12.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos-+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为.答案23.(2017课标全国Ⅱ,22,10分)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4.(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.解析(1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0).由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.由|OM|·|OP|=16得C2的极坐标方程ρ=4cosθ(ρ>0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).(2)设点B的极坐标为(ρB,α)(ρB>0).由题设知|OA|=2,ρB=4cosα,于是△OAB面积S=|OA|·ρB·sin∠AOB=4cosα·-=2--≤2+.当α=-时,S取得最大值2+.所以△OAB面积的最大值为2+.4.(2016课标全国Ⅱ,23,10分)在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.解析(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ可得圆C的极坐标方程ρ2+12ρcosθ+11=0.(3分)(2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R).(4分)设A,B所对应的极径分别为ρ1,ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2+12ρcosα+11=0.于是ρ1+ρ2=-12cosα,ρ1ρ2=11.(6分)|AB|=|ρ1-ρ2|=-=-.(8分)由|AB|=得cos2α=,tanα=±.(9分)所以l的斜率为或-.(10分)5.(2015课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解析(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C1的极坐标方程为ρcosθ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0.(5分)(2)将θ=代入ρ2-2ρcosθ-4ρsinθ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.(10分)教师用书专用(6—21)6.(2014安徽,4,5分)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是-(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为()A. B.2C. D.2答案 D7.(2014江西,11(2),5分)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,则线段y=1-x(0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A.ρ=,0≤θ≤B.ρ=,0≤θ≤C.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤D.ρ=cos θ+sin θ,0≤θ≤答案 A8.(2013安徽,7,5分)在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2 B.θ= (ρ∈R)和ρcos θ=2 C.θ= (ρ∈R)和ρcos θ=1 D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1答案 B9.(2016北京,11,5分)在极坐标系中,直线ρcos θ- ρsin θ-1=0与圆ρ=2cos θ交于A,B 两点,则|AB|= .答案 210.(2015湖南,12,5分)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,则曲线C 的直角坐标方程为 . 答案 x 2+y 2-2y=011.(2015广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ+sin θ)=-2,曲线C 2的参数方程为(t 为参数),则C 1与C 2交点的直角坐标为 .答案 (2,-4)12.(2014湖南,11,5分)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l 与曲线C: (α为参数)交于A,B 两点,且|AB|=2,以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l 的极坐标方程是 . 答案 ρcos=113.(2014重庆,15,5分)已知直线l 的参数方程为 (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ-4cos θ=0(ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ= . 答案14.(2014广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ=cos θ和ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C 1和C 2交点的直角坐标为 .答案 (1,1)15.(2014天津,13,5分)在以O 为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a 相交于A,B 两点.若△AOB 是等边三角形,则a 的值为 . 答案 316.(2013北京,9,5分)在极坐标系中,点到直线ρsin θ=2的距离等于 . 答案 117.(2013湖北,16,5分)(选修4—4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的参数方程为(φ为参数,a>b>0),在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin=m(m 为非零常数)与ρ=b.若直线l 经过椭圆C 的焦点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为 .答案18.(2013广东,14,5分)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的参数方程为(t为参数),C在点(1,1)处的切线为l.以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为.答案ρcosθ+ρsinθ=219.(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.(1)写出C的参数方程;(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解析(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为C上点(x,y),依题意,得由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(2)由-解得或不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=-,化为极坐标方程,并整理得2ρcosθ-4ρsinθ=-3,即ρ=-.20.(2013课标全国Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).解析(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由---解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.21.(2013辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos-=2.(1)求C1与C2交点的极坐标;(2)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.解析(1)圆C1的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0.解--得所以C1与C2交点的极坐标为,.(6分)注:极坐标系下点的表示不唯一.(2)由(1)可得,P点与Q点的直角坐标分别为(0,2),(1,3).故直线PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.由参数方程可得y=x-+1,所以-解得a=-1,b=2.(10分)考点二参数方程1.(2017江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.解析直线l的普通方程为x-2y+8=0.因为点P在曲线C上,设P(2s2,2s),从而点P到直线l的距离d=-=-.当s=时,dmin=.因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值.2.(2016课标全国Ⅲ,23,10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.解析(1)C1的普通方程为+y2=1.C2的直角坐标方程为x+y-4=0.(5分)(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cosα,sinα).因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)==3-2.(8分)当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.(10分)3.(2015陕西,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)写出☉C的直角坐标方程;(2)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解析(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,从而有x2+y2=2所以x2+(y-)2=3.(2)设P,又C(0,),则|PC|=-=,故当t=0时,|PC|取得最小值,此时,P点的直角坐标为(3,0).4.(2014课标Ⅰ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解析(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=|4cosθ+3sinθ-6|.则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.5.(2013课标全国Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P,Q都在曲线C:(t为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程;(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.解析(1)依题意有P(2cosα,2sinα),Q(2cos2α,2sin2α),因此M(cosα+cos2α,sinα+sin2α).M的轨迹的参数方程为(α为参数,0<α<2π).(2)M点到坐标原点的距离d==(0<α<2π).当α=π时,d=0,故M的轨迹过坐标原点.教师用书专用(6—13)6.(2014北京,3,5分)曲线(θ为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=-2x上C.在直线y=x-1上D.在直线y=x+1上答案B7.(2014湖北,16,5分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2,则C1与C2交点的直角坐标为.答案(,1)8.(2013湖南,9,5分)在平面直角坐标系xOy中,若直线l:-(t为参数)过椭圆C:(φ为参数)的右顶点,则常数a的值为.答案39.(2013陕西,15C,5分)(坐标系与参数方程选做题)如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程为.答案(θ为参数)10.(2016江苏,21C,10分)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l 与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解析椭圆C的普通方程为x2+=1.将直线l的参数方程代入x2+=1,得+=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-.所以AB=|t-t2|=.111.(2014福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为-(t为参数),圆C的参数方程为(θ为参数).(1)求直线l和圆C的普通方程;(2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.解析(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0,圆C的普通方程为x2+y2=16.(2)因为直线l与圆C有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d=≤4,解得-2≤a≤212.(2014江苏,21C,10分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长.解析将直线l的参数方程代入抛物线方程y2=4x,得=4,解得t=0,t2=-8.1所以AB=|t-t2|=8.113.(2013福建,21(2),7分)选修4—4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos-=a,且点A 在直线l上.(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.解析(1)由点A在直线ρcos-=a上,可得a=.所以直线l的方程可化为ρcosθ+ρsinθ=2,从而直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,所以圆C的圆心为(1,0),半径r=1,因为圆心C到直线l的距离d==<1,所以直线l与圆C相交.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一坐标系与极坐标1.(2018四川南充模拟,22)在极坐标系中,已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,圆C的圆心是C,半径为1,求:(1)圆C的极坐标方程;(2)直线l被圆C所截得的弦长.解析(1)因为圆C的圆心是C,半径为1,所以转化成直角坐标为C,半径为1,所以圆的方程为-+-=1,转化成极坐标方程为ρ2-ρcosθ-ρsinθ=0.(2)已知直线l的极坐标方程为ρsin=1,所以ρ=1,即x+y-=0.直线l的方程为x+y-=0,圆心C满足直线的方程,所以直线经过圆心,所以直线l被圆C所截得的弦为圆的直径.由于圆的半径为1,所以所截得的弦长为2.2.(2018四川德阳模拟,22)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数).(1)将曲线C的极坐标方程化成直角坐标方程,将直线l的参数方程化成普通方程;(2)当m=0时,直线l与曲线C异于原点O的交点为A,直线ρ=-与曲线C异于原点O的交点为B,求三角形AOB的面积.解析(1)曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.转化为直角坐标方程为x2+y2=4x.直线l的参数方程为(t为参数),转化为直角坐标方程为y=x-m.(2)当m=0时,A,B,所以S△=×2×2sin=+1.AOB3.(2017安徽合肥二模,22)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.(1)求出圆C的直角坐标方程;(2)已知圆C与x轴交于A,B两点,直线l:y=2x关于点M(0,m)(m≠0)对称的直线为l',若直线l'上存在点P使得∠APB=90°,求实数m的最大值.解析(1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ,故x2+y2-4x=0,即圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)l:y=2x关于点M(0,m)的对称直线l'的方程为y=2x+2m,易知AB为圆C的直径,故直线l'上存在点P使得∠APB=90°的充要条件是直线l'与圆C有公共点,故≤2,于是,实数m的最大值为4.(人教A选4—4,一,1-3,5,变式)在极坐标系中,曲线C:ρ=4acosθ(a>0),直线l:ρcos-=4,C与l有且只有一个公共点.(1)求a的值;(2)若O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.解析(1)曲线C的直角坐标方程为(x-2a)2+y2=4a2(a>0),曲线C表示以(2a,0)为圆心,2a为半径的圆.l的直角坐标方程为x+y-8=0.由题意知直线l与圆C相切,则-=2a,解得a=(舍负).(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=cosθ+cos=8cosθ-sinθ=cos,所以当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值,为.考点二参数方程5.(2018四川达州模拟,22)在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l:(t为参数),曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcosθ+1=0,l与C相交于A、B两点.(1)求l的普通方程和C的直角坐标方程;(2)已知M(0,-1),求|MA|·|MB|的值.解析(1)直线l的参数方程为(t为参数),转化为直角坐标方程为x-y-1=0.曲线C的极坐标方程是ρ2-6ρcosθ+1=0,转化为直角坐标方程为x2+y2-6x+1=0.(2)把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-6x+1=0,得到t2-4t+2=0,A点对应的参数为t1,B点对应的参数为t2,则|MA|·|MB|=|t·t2|=2.16.(2018广东茂名模拟,22)在平面直角坐标系中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=asinθ(a≠0).(1)求圆C的直角坐标方程与直线l的普通方程;(2)设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍,求a的值.解析(1)直线l的参数方程为(t为参数),消去参数t,可得4x+3y-8=0.由圆C的极坐标方程为ρ=asinθ(a≠0),可得ρ2=aρsinθ,根据ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,可得圆C的直角坐标方程为x2+y2-ay=0,即x2+-=.(2)由(1)可知圆C的圆心为,半径r=,直线方程为4x+3y-8=0,圆心到直线l的距离d=-=-,直线l截圆C的弦长为=2-,解得a=32或a=,故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时,a的值为32或.7.(2017河北石家庄二中3月模拟,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1和C2的参数方程分别是(t是参数)和(φ为参数).以原点O 为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程;(2)射线OM:θ=α∈与曲线C1的交点为O,P,与曲线C2的交点为O,Q,求|OP|·|OQ|的最大值.解析(1)C1的普通方程为y2=4x,C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)由(1)可得C1的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ,与直线θ=α联立可得:ρ=,即OP=,同理可得OQ=2sinα.所以|OP|·|OQ|==,令f(α)=,易知f(α)在α∈上单调递减,所以(|OP|·|OQ|)max==8.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:35分钟)解答题(共40分)1.(2018辽宁鞍山一模,22)在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:+=1,以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.已知直线l:ρ(2cosθ-sinθ)=6.(1)试写出直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程;(2)在曲线C1上求一点P,使点P到直线l的距离最大,并求出此最大值.解析(1)曲线C1:+=1,设θ为参数,令x=cosθ,y=2sinθ,则曲线C1的参数方程为(θ为参数).又直线l:ρ(2cosθ-sinθ)=6,即2ρcosθ-ρsinθ-6=0,化为直角坐标方程是2x-y-6=0.(2)设P(cosθ,2sinθ),则P到直线l的距离d=--=-,∴cos=-1,即P-时,点P到直线l的距离最大,最大值为=2.2.(2018四川绵阳模拟,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是(α为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C的极坐标方程;(2)设l1:θ=,l2:θ=,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.解析(1)∵曲线C的参数方程是(α为参数),∴将C的参数方程化为普通方程为(x-3)2+(y-4)2=25,即x2+y2-6x-8y=0.(2分)∴C的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ.(4分)(2)把θ=代入ρ=6cosθ+8sinθ,得ρ1=4+3∴A.(6分)把θ=代入ρ=6cosθ+8sinθ,得ρ=3+4,2∴B.(8分)∴S△AOB=ρ1ρ2sin∠AOB=×(4+3(3+4-=12+.(10分)3.(2017福建泉州二模,22)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,圆C的方程为ρ=4cosθ.(1)求l的普通方程和圆C的直角坐标方程;(2)当φ∈(0,π)时,l与C相交于P,Q两点,求|PQ|的最小值.解析(1)由直线l的参数方程(t为参数),消去参数t,得(x-3)sinφ-(y-1)cosφ=0,即直线l的普通方程为xsinφ-ycosφ+cosφ-3sinφ=0.由圆C的极坐标方程ρ=4cosθ,得ρ2-4ρcosθ=0(*).将代入(*)得,x2+y2-4x=0.即圆C的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4.(2)将直线l的参数方程代入(x-2)2+y2=4,得t2+2(cosφ+sinφ)t-2=0.设P,Q两点对应的参数分别为t,t2,1则t+t2=-2(cosφ+sinφ),t1t2=-2.1所以|PQ|=|t-t2|1=-·=2=2因为φ∈(0,π),所以2φ∈(0,2π),所以当φ=,即sin2φ=-1时,|PQ|取得最小值2.4.(2017河南洛阳一模,22)在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(φ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求圆C的普通方程;(2)直线l的极坐标方程是2ρsin=5,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解析(1)因为圆C的参数方程为(φ为参数),所以圆心C的坐标为(0,2),半径为2,圆C的普通方程为x2+(y-2)2=4.(2)将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入x2+(y-2)2=4,得圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.设P(ρ1,θ1),则由解得ρ1=2,θ1=.设Q(ρ2,θ2),则由解得ρ2=5,θ2=.所以|PQ|=3.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1极坐标方程与直角坐标方程的互化方法1.(2018四川德阳模拟,22)已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点,极轴为x轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,曲线C的参数方程为(α为参数),直线l过点(-1,0),且斜率为,射线OM的极坐标方程为θ=.(1)求曲线C和直线l的极坐标方程;(2)已知射线OM与曲线C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解析(1)∵曲线C的参数方程为(α为参数),∴曲线C的普通方程为(x+1)2+(y-1)2=2,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入整理得ρ+2cosθ-2sinθ=0,即曲线C的极坐标方程为ρ=2sin-.∵直线l过点(-1,0),且斜率为,∴直线l的方程为y=(x+1),∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+1=0.(2)当θ=时,|OP|=2sin-=2,|OQ|==,故线段PQ的长为2-=.2.(2018四川凉山州模拟,22)在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴)中,圆C的方程为ρ=6sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程;(2)若点P(1,2),设圆C与直线l交于点A,B,求证:|PA|×|PB|为定值.解析(1)圆C的方程为ρ=6sinθ,转化为直角坐标方程为x2+y2-6y=0.(2)证明:点P(1,2),圆C与直线l交于点A,B,把直线l的参数方程(t为参数)代入x2+y2-6y=0中,整理得t2+2(cosα-sinα)t-7=0,设t1和t2分别为A和B对应的参数,则t1·t2=-7(定值),故|PA|×|PB|=|t1·t2|=7为定值.3.(2017山西太原一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为其中φ为参数,曲线C2:x2+y2-2y=0,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(均异于原点O).(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)当0<α<时,求|OA|2+|OB|2的取值范围.的普通方程为+y2=1,解析(1)C1C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+2ρ2sin2θ-2=0,C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程得|OA|2=,的极坐标方程得|OB|2=4sin2α,联立θ=α(ρ≥0)与C2则|OA|2+|OB|2=+4sin2α=+4(1+sin2α)-4.令t=1+sin2α,则|OA|2+|OB|2=+4t-4,当0<α<时,t∈(1,2).设f(t)=+4t-4,易得f(t)在(1,2)上单调递增,∴|OA|2+|OB|2∈(2,5).方法2参数方程与普通方程的互化方法4.(2018湖北荆州一模,22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为-(α为参数).(1)求曲线C的普通方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的方程为ρsin-+=0,已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|.解析(1)曲线C的参数方程为-(α为参数),sinα=,cosα=-,普通方程为+-=1,化简得x2+y2=2.(2)由ρsin-+=0,知ρ(cosθ-sinθ)+=0,化为普通方程为x-y+=0,圆心到直线l的距离d=,由垂径定理得|AB|=.5.(2018河南郑州质检,22)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为ρsin-=.(1)求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角;(2)设点P(0,2),l和C交于A,B两点,求|PA|+|PB|.解析(1)由(α为参数)消去参数α,得+y2=1,即曲线C的普通方程为+y2=1,由ρsin-=,得ρsinθ-ρcosθ=2,①将代入①得y=x+2,所以直线l的倾斜角为.(2)由(1)知,点P(0,2)在直线l上,可设直线l的参数方程为(t为参数),即(t为参数),将其代入+y2=1并化简得5t2+18t+27=0,Δ=(18)2-4×5×27=108>0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-<0,t1t2=>0,所以t1<0,t2<0,所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=.6.(2017湖南长郡中学六模,22)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ的中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.解析(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+=1,C1表示圆心是(-4,3),半径是1的圆,C2表示中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (2)当t=时,P(-4,4),又Q(8cosθ,3sinθ),故M-,又C3的普通方程为x-2y-7=0,则M到C3的距离d=|4cosθ-3sinθ-13|=|3sinθ-4cosθ+13|=|5(sinθ-φ)+13|其中φ满足tanφ=,所以d的最小值为.。

高考文科数学。坐标系与参数方程大题 -知识点、考法及解题方法

高考文科数学。

坐标系与参数方程大题 -知识点、考法及解题方法
极坐标与参数方程题型及解题方法
极坐标与参数方程是高中数学选考题之一，通常包含两个小题。

第一小题是极坐标方程与普通方程的互化或参数方程与普通方程的互化。

第二小题则包括求交点联立方程并解方程、求线段距离、面积、定值以及取值范围或最值问题。

考点一是极坐标与直角坐标的互化。

练时可以应用代入法、平方法等技巧，同时还需掌握同乘（同除以）ρ等方法。

例如，将圆的普通方程x2+（y－2）2=4化为极坐标方程，可得
ρ=2sinθ+2cosθ。

考点二是极坐标方程与直角坐标方程的互化解题方法。

同样可以采用代入法、平方法等技巧，还可以用同乘（同除以）ρ等技巧。

例如，将极坐标方程ρ=2sinθ+2cosθ转化为直角坐
标方程，可得x=2cosθ，y=2sinθ+2.
考点三是参数方程与普通方程的互化。

将普通方程化为参数方程的步骤包括将x、y移到左边，右边只放一个常数，然后右边常数乘以，最后带入x、y得到参数方程。

需要注意的是，参数方程一般不唯一。

在综合题中，需要求解交点时，可以联立方程并解方程。

求最值时，需要求取导数并令其为0，然后求出极值。

求定值时，需要将参数带入方程中进行计算。

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高三数学坐标系与参数方程
（1）了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

（2）了解坐标系的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。

（3）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程。

（4）了解参数方程，了解参数的意义。

（5）能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程。

1. 极坐标系
①极坐标是用“距离”与“角度”来刻画平面上点的位置的坐标形式。

极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。

②平面直角坐标与极坐标的区别：
在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

③极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。

④如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

2.极坐标与直角坐标的互化：（1）互化的前提：
①极点与直角坐标的原点重合；极轴与x 轴的正方向重合；③ 两种坐标系中取相同的长度单位。

（2）互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ， ⎪⎩
⎪
⎨⎧≠=+=0,t a n 2
22x x y y x θρ
注：极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2是常用的方法.
1．已知点的极坐标分别为)4,3(π-A ，)32,2(πB ，),23
(πC ，)2,4(π-D ，求它们的直角坐标。

答案：A
（
22-
(((0,4)2
B C D --- 2、已知点的直角坐标分别为)32,2(),3
5
,0(),3,3(---C B A
，求它们的极坐标。

答案：34)()(4,).632
3
A
B C πππ
x
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分） 1．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（）
A ．1
21
2x t y t -⎧=⎪⎨⎪=⎩
B ．sin 1sin x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
C ．cos 1cos x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．tan 1tan x t y t =⎧⎪⎨=⎪⎩ 2．曲线25()12x t
t y t =-+⎧⎨
=-⎩为参数与坐标轴的交点是（）
A ．21(0,)(,0)52、
B ．11(0,)(,0)52、
C ．(0,4)(8,0)-、
D ．5(0,)(8,0)9
、
3．直线12()2x t
t y t =+⎧⎨=+⎩为参数被圆229x y +=截得的弦长为（）
A ．125 B
4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2
4()4x t t y t
⎧=⎨
=⎩为参数上，则PF 等于（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
5．极坐标方程cos 20ρθ=表示的曲线为（）
A ．极点
B ．极轴
C ．一条直线
D ．两条相交直线
6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（） A ．cos 2ρθ= B ．sin 2ρθ= C ．4sin()3π
ρθ=+ D ．4sin()3
π
ρθ=-
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）
1．已知曲线2
2()2x pt t p y pt
⎧=⎨=⎩为参数,为正常数上的两点,M N 对应的参数分别为12,t t 和，120t t +=且，
那么MN = 。

2
．直线2()3x t y ⎧=-⎪⎨
=⎪⎩为参数上与点(2,3)A -。

3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ
θθθ
=+⎧⎨=-⎩为参数，则此圆的半径为。

4．极坐标方程分别为cos ρθ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为。

5．直线cos sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩与圆42cos 2sin x y α
α=+⎧⎨=⎩
相切，则θ= 。

高三数学坐标系与参数方程参考答案
一、选择题
1．D 1xy =，x 取非零实数，而A ，B ，C 中的x 的范围有各自的限制 2．B 当0x =时，25t =
，而12y t =-，即15y =，得与y 轴的交点为1(0,)5；当0y =时，12t =
，而25x t =-+，即12x =，得与x 轴的交点为1
(,0)2
3．
B 11221x x t y t y ⎧
=⎪=+⎧⎪
⇒⎨⎨
=+⎩⎪=+⎪⎩
，把直线122x t y t =+⎧⎨=+⎩代入 229x y +=得222(12)(2)9,5840t t t t +++=+-=
1212
5
t t -===
12t -=4．C 抛物线为24y x =，准线为1x =-，PF 为(3,)P m 到准线1x =-的距离，即为4 5．D cos 20,cos 20,4
k π
ρθθθπ===±
，为两条相交直线
6．A 4sin ρθ=的普通方程为22(2)4x y +-=，cos 2ρθ=的普通方程为2x = 圆22(2)4x y +-=与直线2x =显然相切
二、填空题
1．14p t 显然线段MN 垂直于抛物线的对称轴。

即x 轴，121222MN p t t p t =-= 2．(3,4)-,或(1,2)-
2
2
2
2
1()),,22
t t +===±
3．5 由3sin 4cos 4sin 3cos x y θθ
θθ
=+⎧⎨
=-⎩得2225x y +=
4
．2
圆心分别为1(,0)2和1(0,)2
5．
6
π，或56π 直线为tan y x θ=，圆为22
(4)4x y -+=，作出图形，相切时，
易知倾斜角为
6
π，或56π
三、解答题
1．已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+⎧⎨
=+⎩ （t 为参数）， C 2：8cos ,
3sin ,
x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）。

（1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C 1上的点P 对应的参数为2
t π
=
，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线 332,
:2x t C y t =+⎧⎨
=-+⎩
（t 为参数）距离的最小值。

答案解解析：（Ⅰ）22
2
2
12:(4)(3)1,:
1.649
x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆.
2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
（Ⅱ）当2t π=
时，3
(4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2
P Q M θθθθ--++故
3C 为直线3270,4cos 3sin 13|.x y M C d θθ--==
--到的距离
从而当43cos ,sin 55θθ=
=-时，5
d 取得最小值。

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