八年级最短路径归纳小结

最短路径问题归纳小结(刁老师数学)

最短路径问题归纳小结（刁老师数学）最短路径问题（刁老师数学）【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】AlB作法A图形原理连AB，与l交点即为P．PBl两点之间线段最短．PA+PB最小值为AB．在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．【问题2】“将军饮马” ABl作法A作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P．图形原理BPB'l两点之间线段最短．PA+PB 最小值为A B＇．在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．【问题3】l1作法P'分别作点P关于两直线的图形l1原理Pl2MPNP''l2两点之间线段最短．PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．在直线l1、l2上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．【问题4】l1QPl2作法Q'图形l1QPNP'l2原理分别作点Q 、P关于直线l1、l2的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．M两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．在直线l1、l2上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．【问题5】“造桥选址” 作法- 1 -图形原理AMNBmn A将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交n于点N，过N作NM⊥m于M．A'MNB两点之间线段最短．mnAM+MN+BN的最小值为A＇B+MN．直线m∥n，在m、n，上分别求点M、N，使MN⊥m，且AM+MN+BN的值最小．【问题6】AB作法将点A向右平移a个长度l图形A原理A'BMaN单位得A＇，作A＇关于l的对称点A＇＇，连A＇＇B，交直线MA''Nl两点之间线段最短．AM+MN+BN的最小值为A＇＇B+MN．在直线l 上求两点M、N（M在左），使MN?a，并使AM+MN+NB的值最小．l 于点N，将N点向左平移a个单位得M．【问题7】l1Pl2作法P'图形l1Pl2原理作点P关于l1的对称点P＇，作P＇B⊥l2于B，交l2于A．点到直线，垂线段最短．PA+AB的最小值为线段P＇B的长．AB在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小．【问题8】l1NAMBl2作法图形B'l1ANMA'Bl2原理作点A关于l2的对称点A＇，作点B关于l1的对称点B＇，连A＇B＇交l2于M，交l1于N．两点之间线段最短．AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．A为l1上一定点，B为l2上一定点，在l2上求点M，在l1上求点N，使AM+MN+NB的值最小．【问题9】ABl作法A图形原理垂直平分上的点到线段两B连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．P端点的距离相等．l在直线l上求一点P，使PA?PB的值最小．PA?PB＝0．- 2 -【问题10】ABl作法A图形原理三角形任意两边之差小于作直线AB，与直线l的交点即为P．B第三边．PA?PB≤AB．Pl在直线l上求一点P，使PA?PB的值最大．PA?PB的最大值＝AB．【问题11】AlB作法A图形原理三角形任意两边之差小于B'l作B关于l的对称点B＇作直线 A B＇，与l交点即为P．第三边．PA?PB≤AB＇．PA?PB最大值＝AB＇．在直线l上求一点P，使PA?PB的值最大．BP【问题12】“费马点” A作法所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠D图形原理BCAPC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．BPAE两点之间线段最短．PA+PB+PC最小值＝CD．△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．C 【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A A．23 B．26 C．3 D．6DP EB C2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD 绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）A．2B．23 D．4C．2?3- 3 -3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（）A．120° B．130° C．110° D．140°BMCNAD4．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．且ED＝AE，则线段AE的取值范围是．*****．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E 在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），AECDB6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2?BC2?AB2）7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(63，0)．OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．- 4 -8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为，此时C、D两点的坐标分别为．yABOy9．已知A（1，1）、B（4，2）．（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；（2）P为x轴上一动点，求PA?PB的值最大时P点的坐标；OAyOAxBxBx（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；10．点C为∠AOB内一点．yBAOCDx（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．A COB - 5 - 11．（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CF＝CD；（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由．DAEFB图①ABC图②C12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B 处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？- 6 -。

八年级数学最短路径题型归纳

八年级数学中的最短路径问题，通常涉及到几何图形中的点、线、面等元素，需要利用一些基本的几何知识和数学原理来求解。

以下是一些常见的最短路径题型及其解题方法：1.两点之间的最短距离：题型描述：在平面上给定两点A和B，求A到B的最短距离。

解题方法：直接连接A和B，线段AB的长度即为最短距离。

2.点到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一条直线l，求P到l的最短距离。

解题方法：作点P到直线l的垂线，垂足为Q，则PQ的长度即为最短距离。

3.直线到直线的最短距离：题型描述：在平面上给定两条直线l1和l2，求l1到l2的最短距离。

解题方法：如果l1和l2平行，则它们之间的距离即为最短距离；如果l1和l2不平行，则作l1到l2的垂线，垂足所在的线段即为最短4.点到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定一点P和一个圆O，求P到圆O的最短距离。

解题方法：如果点P在圆O内，则最短距离为P到圆心的距离减去圆的半径；如果点P在圆O外，则最短距离为P到圆心的距离；如果点P在圆O上，则最短距离为0。

5.圆到圆的最短距离：题型描述：在平面上给定两个圆O1和O2，求O1到O2的最短距离。

解题方法：如果两圆外离，则它们之间的最短距离为两圆的半径之和；如果两圆外切，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差；如果两圆相交或内切，则它们之间的最短距离为0；如果两圆内含，则它们之间的最短距离为两圆的半径之差减去两圆半径之和的绝对值。

6.多边形内的最短路径：题型描述：在一个多边形内给定两个点A和B，求A到B的最短解题方法：通常需要将多边形划分为多个三角形，然后利用三角形内的最短路径（即连接两点的线段）来求解。

7.立体几何中的最短路径：题型描述：在立体图形中给定两点A和B，求A到B的最短路径。

解题方法：通常需要将立体图形展开为平面图形，然后利用平面几何中的最短路径原理来求解。

在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：准确理解题目要求，确定需要求的是哪两点之间的最短距离。

八年级最短路径问题归纳

八年级最短路径问题归纳最短路径问题是图论中的一个经典问题，也是计算机科学中的重要研究领域之一。

在八年级的学习中，我们也会接触到最短路径问题，并且通过一些简单的算法来解决这个问题。

本文将对八年级最短路径问题进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地理解和应用这个问题。

一、最短路径问题的定义最短路径问题是指在一个给定的图中，找出两个顶点之间的最短路径，即路径上的边权之和最小。

其中，图由顶点和边组成，顶点表示路径中的点，边表示路径中的通路或连接。

二、最短路径问题的应用最短路径问题在生活中有着广泛的应用，比如导航系统中的最短路径规划、货物运输中的最短路径选择等等。

通过寻找最短路径，可以帮助我们节省时间和资源，提高效率。

三、最短路径问题的解决方法1. 迪杰斯特拉算法迪杰斯特拉算法是解决最短路径问题的一种常用算法。

该算法通过不断更新起点到各个顶点的最短路径，直到找到终点的最短路径为止。

迪杰斯特拉算法的具体步骤如下：- 初始化起点到各个顶点的距离为无穷大，起点到自身的距离为0；- 选择一个未访问的顶点，更新起点到其他顶点的距离；- 重复上述步骤，直到找到终点的最短路径或所有顶点都被访问过。

2. 弗洛伊德算法弗洛伊德算法是解决最短路径问题的另一种常用算法。

该算法通过不断更新任意两个顶点之间的最短路径，直到更新完所有顶点对之间的最短路径为止。

弗洛伊德算法的具体步骤如下：- 初始化任意两个顶点之间的距离，如果两个顶点之间有直接的边，则距离为边的权值，否则距离为无穷大；- 选择一个顶点作为中转点，更新任意两个顶点之间的距离；- 重复上述步骤，直到更新完所有顶点对之间的最短路径。

四、最短路径问题的注意事项在解决最短路径问题时，需要注意以下几点：1. 图的表示方式：可以使用邻接矩阵或邻接表来表示图，根据具体的问题选择合适的表示方式。

2. 边的权值：边的权值可以表示两个顶点之间的距离、时间、花费等等，根据具体的问题选择合适的权值。

八年级最短路径问题归纳小结之欧阳美创编

八年级数学最短路径问题时间：2021.01.01 创作：欧阳美【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理连AB，与l交点即为两点之间线段最短．在直线l 上求一点P ，使PA+PB 值最小． P ．PA+PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA+PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为AB ＇．【问题3】作法图形原理上分别求、在直线点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM+MN+PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理上分别求、在直线点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直＇Q 的对称点、线和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题5】“造桥选址” 作法图形原理、，在∥直线、M ，上分别求点，且MN ⊥，使N AM+MN+BN 的值最小．将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连，过N 于点，交B ＇A ．M 于NM ⊥作N两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为A ＇B+MN ．【问题6】作法图形原理N 、M 上求两点在直线（M 在左），使，并使AM+MN+NB 的值最小．个长向右平移A 将点度单位得A ＇，作A ＇＇＇，A 的对称点关于，交直线B ＇＇A 连于点N ，将N 点向左平．M 个单位得移两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为A ＇＇B+MN ．【问题7】作法图形原理上，在A 上求点在求点B ，使PA+AB 值最小．的对称点关于P 作点于B ⊥＇P ＇，作P ．A 于，交B点到直线，垂线段最短．PA+AB 的最小值为线段P ＇B 的长．【问题8】作法图形原理为B 上一定点，为A 上求上一定点，在，N 上求点，在M 点使AM+MN+NB 的值最小．的对称点关于A 作点的关于B ＇，作点A 对称点B ＇，连A ＇B ＇．N 于，交M 于交两点之间线段最短． AM+MN+NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0．【问题10】作法图形原理l PB'ABl 1l 2N MP''P'Pl 1l 2NMP'Q'Q Pl 1l 2P Qm n M NA'BA l a ABM N mnABM N lA''A'BAM Nl 1l 2A BP'Pl 2l 1ABNM l 2l 1M N A'B'ABlPBA在直线l 上求一点P ，使的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB ．的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB ＇．最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P即为所求．两点之间线段最短． PA+PB+PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（） A ．B ．C ．3D ．2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC′、AD′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（） A ．2 B ．C ．D ．43．四边形ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN+∠ANM 的度数为（）lPABlBPAB'PEDCBAAD EP B CABMNA ．120° B．130° C．110° D．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4，∠BAC＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是．5．如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB ＝6，点E在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC 中，∠C＝90°，则有）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B(，0)．OC 平分∠AOB，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在轴上，D 在轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为． 9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P 点的坐标；yxBO ADA CMyxBAO（2）P 为轴上一动点，求的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC+CD+DB 的最小值和此时C 点的坐标； 10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于F ，连AF ，求证：AF+BF+CF ＝CD ；（2）在△ABC 中，∠ABC＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A，∠C 均小于120°，求作一点P ，使PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．12．荆州护城河在CC ＇处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B 处，需经过两座桥DD ＇、EE ＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A 到B 点路径最短？时间：2021.01.01创作：欧阳美yxBO AC D y xBOA。

八上数学最短路径问题知识点

八上数学最短路径问题知识点八上数学中的最短路径问题是一个经典的问题，它涉及到多种方法和知识点。

以下是该问题的总结：知识点1：线段和角的表示方法解决最短路径问题需要先掌握线段和角的表示方法。

线段用两个端点表示，如线段AB，而角则用顶点表示，如∠AOB。

知识点2：线段和角的基本性质线段的基本性质包括两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边。

角的基本性质包括角平分线上的点到角两边的距离相等和三角形内角和为180度。

这些性质在解决最短路径问题时非常重要。

知识点3：轴对称和镜像对称轴对称和镜像对称是解决最短路径问题的两个重要概念。

通过轴对称或镜像对称，可以将图形转化为更简单的形状，从而更容易找到最短路径。

知识点4：勾股定理勾股定理是一个经典的几何定理，它可以用来解决与直角三角形有关的几何问题。

在最短路径问题中，勾股定理可以用来计算两点之间直线的距离，从而得到最短路径的长度。

知识点5：三角形的稳定性三角形的稳定性是指三角形具有稳定的结构，它可以用来解决一些与固定长度线段有关的最短路径问题。

通过将问题转化为三角形问题，可以更容易地找到最短路径。

知识点6：将军饮马问题将军饮马问题是一个经典的数学问题，它涉及到最短路径和对称性。

在最短路径问题中，将军饮马问题可以用来解决一类特殊的几何最短路径问题。

通过找到两个对称点，可以很容易地找到最短路径。

知识点7：平移、旋转和反射平移、旋转和反射是解决最短路径问题的三种重要变换。

通过这些变换，可以将图形转化为更简单的形状，从而更容易找到最短路径。

知识点8：代数方法求解最短路径除了几何方法外，代数方法也可以用来求解最短路径问题。

例如，通过建立方程来求解两点之间的最短距离。

这种方法通常适用于更复杂的场景，如非线性优化问题。

总之，八上数学中的最短路径问题涉及到多个知识点和方法，需要学生灵活运用各种工具来解决。

通过掌握这些知识点和方法，可以更好地理解和解决最短路径问题。

八年级最短路径问题归纳小结之欧阳科创编

八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA +PB +PC 值最小．足∠APB ＝∠BPC ＝∠AP C ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△AC E ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．PA +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．23B ．26C ．3D ．62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（） A ．2B ．32C ．32D ．43．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝EAADEPB CDMABMN1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+） 7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为． 9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB （2）P 为x 轴上一动点，求PB PA -的值最大时P （3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E 画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于F ，连AF ，求证：AF +BF +CF ＝CD ；（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由．12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？创作：欧阳科。

勾股定理长方体最短路径问题解题步骤小结

勾股定理长方体最短路径问题解题步骤小结嘿，咱今儿个就来讲讲勾股定理长方体最短路径问题的解题步骤哈！
你想想看，那长方体就像个大盒子，里面藏着好多秘密呢！要找到
最短路径，那可得有点小窍门。

首先呢，咱得认清这个长方体的各个面和棱。

就好比认识一个新朋友，得先知道他长啥样，有啥特点不是？然后呢，在脑海里构想出各
种可能的路径。

比如说，从一个顶点到另一个顶点，那可以直直地沿着棱走过去，
可这往往不是最短的哟！这时候就得发挥咱的想象力啦。

咱可以把长方体展开呀，就像把一个盒子打开一样。

展开之后，原
来在长方体里弯弯绕绕的路径就变得一目了然啦！然后再根据勾股定理，找到直角三角形的两条边，一计算，最短路径不就出来啦？
你可别小看这勾股定理，它就像一把神奇的钥匙，能帮咱打开最短
路径的大门呢！这不就跟咱出门找路一样嘛，得找条最近最方便的道
儿呀。

再举个例子哈，就像你要从家去个啥地方，你肯定得找最近的路走呀，总不能绕一大圈吧？那多浪费时间和精力呀！
在解这题的时候，一定要仔细认真，可别马马虎虎的。

要是算错一步，那可就前功尽弃啦！就好像你走在路上看错了方向，那不就走冤
枉路啦？
所以呀，对待这个勾股定理长方体最短路径问题，咱可得像对待宝
贝一样，小心翼翼地去解开它的秘密。

咱得不断地练习，多做几道题，这样才能熟能生巧呀！等你熟练了，再遇到这种题，那不就跟玩儿似的，轻松就解决啦！
总之呢，解勾股定理长方体最短路径问题，就得有耐心、有细心，
还得有想象力。

只要咱掌握了方法，那都不是事儿！加油吧，朋友们，相信你们一定能行！。

初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。

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八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址” ，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短” ，“三角形三边关系”，“轴对称” ，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理A Al连 AB，与 l 交点即为 P．Pl两点之间线段最短．B PA+PB 最小值为 AB．B在直线 l 上求一点P，使PA+PB 值最小．【问题 2】“将军饮马”作法图形原理A AB 作 B 关于 l 的对称点 B＇ B 两点之间线段最短．l连 A B ＇，与 l 交点即为 P．l PA+PB 最小值为 A B＇．P在直线 l 上求一点P，使B'PA+PB 值最小．【问题3】作法图形原理l 1 P' l1P分别作点 P 关于两直线的M两点之间线段最短．对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，PM +MN +PN 的最小值为l2 P在直线 l1、 l 2上分别求点与两直线交点即为 M， N．N l2线段 P＇P＇＇的长．M 、 N，使△ PMN 的周长P''最小．【问题4】作法图形原理l 1lQ' 1Q分别作点 Q 、P 关于直线P MQ 两点之间线段最短．l 1、 l 2的对称点Q＇和P＇l2 P 四边形 PQMN 周长的最小连 Q＇P＇，与两直线交点即l 2 值为线段 P＇P＇＇的长．在直线 l1、 l 2上分别求点为 M ， N．NM 、 N ，使四边形PQMN P'的周长最小．【问题 5】“造桥选址”作法图形原理- 1 -AM Nmn将点 A 向下平移MN 的长度单位得A＇，连 A＇B，交 nAA' M 两点之间线段最短．mB直线 m ∥ n ，在 m 、 n ，上分别求点 M 、N，使 MN ⊥m ，且 AM+ MN+ BN 的值最小．【问题 6】ABlM a N在直线 l 上求两点M、N（M 在左），使 MN a ，并使AM + MN+ NB 的值最小．【问题 7】l1Pl 2在l 1上求点A，在 l 2上求点 B，使 PA+ AB 值最小．于点 N，过 N 作 NM ⊥ m 于M．作法将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A＇，作 A＇关于l的对称点 A＇，连 A＇B，交直线l 于点N，将N点向左平移a 个单位得 M．作法作点 P 关于l1的对称点P ＇，作 P＇B⊥l2于 B，交l2于A．AM +MN +BN 的最小值为NnA＇B+MN ．B图形原理A A'B两点之间线段最短．lM N AM +MN +BN 的最小值为A＇B+ MN．A''图形原理l1P'P 点到直线，垂线段最短．APA+ AB 的最小值为线段P＇l 2 B的长．B【问题 8】作法l 1NAMl2 作点 A 关于l2的对称点BA ＇，作点B 关于l1的对称A 为l1上一定点，B 为l2上点 B＇，连 A＇B＇交l2于 M，一定点，在 l 2上求点M，交 l 1 于 N．在 l 1 上求点N ，使AM + MN+ NB 的值最小．【问题 9】作法图形原理B'l 1N两点之间线段最短．AAM +MN +NB 的最小值为M B l 2线段 A＇B＇的长．A'图形原理ABl在直线l 上求一点 P，使 PA PB 的值最小．连AB ，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P．A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等．lP PA PB ＝ 0．【问题 10】作法图形原理- 2 -A三角形任意两边之差小于A Bl作直线 AB ，与直线 l 的交第三边． PA PB ≤AB ．B点即为 P ．l在直线 l 上求一点 P ，使PPA PB 的最大值＝ AB ．PA PB 的值最大．【问题 11】作法图形原理AAl 作 B 关于 l 的对称点 B ＇ B'B作直线 A B ＇，与 l 交点即lP为 P ．B在直线 l 上求一点 P ，使PA PB 的值最大．三角形任意两边之差小于第三边． PA PB ≤ AB ＇．PA PB 最大值＝ AB ＇．【问题 12】“费马点”作法图形原理ABC所求点为“费马点” ，即满足∠ APB ＝∠ BPC ＝∠APC ＝ 120 °．以 AB 、 ACDAE两点之间线段最短．为边向外作等边△ ABD 、PPA+ PB+ PC 最小值＝ CD ．△ ABC 中每一内角都小于120°，在△ ABC 内求一点P ，使 PA+PB+PC 值最小．△ ACE ，连 CD 、 BE 相交于 P ，点 P 即为所求．BC【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点一点 P ，使 PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ． 23 B ． 2 6C ． 3D ． 62．如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝ 60 °，若将 △ ACD交于点 E 、 F ，则 △ CEF 的周长的最小值为（）E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有ADPEB C绕点 A 旋转，当 AC ′、 AD ′分别与 BC 、 CDA ． 2B ． 2 3C ． 2 3D ． 4- 3 -3．四边形 ABCD 中，∠ B＝∠ D ＝ 90 °，∠ C＝ 70 °，在 BC 、 CD 上分别找一点M、 N，使△ AMN 的周长最小时，∠ AMN + ∠ ANM 的度数为（）A DA ． 120°B． 130°C．110 °D． 140 °NBMC 4．如图，在锐角△ ABC 中， AB ＝ 4 2 ，∠ BAC ＝ 45 °，∠ BAC 的平分线交 BC 于点D ， M、 N 分别是 AD 和 AB上的动点，则 BM +MN 的最小值是C．DMAN B5．如图， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90 °，∠ B＝ 30 °，AB＝ 6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点B、C 重合），且 ED ＝ AE，则线段AE 的取值范围是．AEC D B 6．如图，∠AOB ＝ 30 °，点 M、 N 分别在边OA、 OB 上，且OM ＝ 1， ON＝ 3，点 P 、 Q 分别在边OB、 OA 上，则 MP ＋ PQ＋ QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°，则有AC 2BC 2AB2）7．如图，三角形△ ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B( 6 3 ， 0)．OC 平分∠ AOB ，点 M 在 OC 的延长线上，点N 为边 OA 上的点，则MA ＋ MN 的最小值是 ______．- 4 -8．已知 A（ 2， 4）、 B （4， 2）． C 在y轴上， D 在 x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C、 D 两点的坐标分别为．yABO x 9．已知A（ 1， 1）、 B （4， 2）．y（ 1） P 为 x 轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P 点的坐标；BAO x（ 2） P 为 x 轴上一动点，求PA PB 的值最大时P 点的坐标；yBAO x（ 3） CD 为 x 轴上一条动线段， D 在 C 点右边且CD ＝ 1，求当AC+ CD+ DB 的最小值和此时 C 点的坐标；yBAO C D x10 ．点 C 为∠ AOB 内一点．（ 1）在 OA 求作点 D ， OB 上求作点 E ，使△ CDE 的周长最小，请画出图形；（ 2）在（ 1）的条件下，若∠AOB ＝ 30°， OC＝ 10，求△ CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．ACO B- 5 -11．（ 1）如图①，△ ABD 和△ ACE 均为等边三角形，BE、 CE 交于 F，连 AF，求证： AF +BF +CF ＝ CD ；（ 2）在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 30°， AB＝ 6， BC＝ 8，∠ A ，∠ C 均小于 120°，求作一点 P，使 PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．DAAEFB C图①B C图②12 ．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥DD ＇、 EE ＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？- 6 -。

八年级最短路径问题归纳小结(1)

八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．B ．C ．3 D2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（） A ．2B ．32A DEPB CC ．32+D ．43．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． EABCABN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？需要word文档请加！全国初中数学资料群群号：101216960。

(完整版)八年级最短路径问题归纳小结(2),推荐文档

原理
垂直平分上的点到线段两端点的距离相等． PA PB ＝0．
【问题 10】
作法
A B l
在直线 l 上求一点 P，使 PA PB 的值最大．
【问题 11】
作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P．
作法
图形
A B l P
图形
原理三角形任意两边之差小于
第三边． PA PB ≤AB．
PA PB 的最大值
原理
A B l
在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小．
【问题 3】
作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为
P．
作法
l1
P l2
在直线 l1 、 l2 上分别求点
分别作点 P 关于两直线的对称点 P＇和 P＇＇，连 P＇P＇＇，与两直线交点即为 M，N．
M、N，使△PMN 的周长最小．
八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
图形
l1
P'
P
A
B
原理
点到直线，垂线段最短． l2 PA+AB 的最小值为线段
P＇B的长．
【问题 8】
N A
M
l1
l2 B
作法作点 A 关于 l2 的对称点
A 为 l1 上一定点，B 为 l2 上一定点，在 l2 上求点 M，在 l1 上求点 N，使

八年级最短路径问题归纳小结之欧阳道创编

八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA+PB 值最小．连AB ，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为AB ．【问题2】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PA+PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． PA+PB 最小值为AB ＇．【问题3】作法图形原理上分别求、在直线点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．PM+MN+PN 的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】作法图形原理上分别求、在直线点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直＇Q 的对称点、线和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短．四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题5】“造桥选址” 作法图形原理、，在∥直线、M ，上分别求点，且MN ⊥，使N AM+MN+BN 的值最小．将点A 向下平移MN 的长度单位得A ＇，连，过N 于点，交B ＇A ．M 于NM ⊥作N两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为A ＇B+MN ．【问题6】作法图形原理N 、M 上求两点在直线（M 在左），使，并使AM+MN+NB 的值最小．个长向右平移A 将点度单位得A ＇，作A ＇＇＇，A 的对称点关于，交直线B ＇＇A 连于点N ，将N 点向左平．M 个单位得移两点之间线段最短． AM+MN+BN 的最小值为A ＇＇B+MN ．【问题7】作法图形原理上，在A 上求点在求点B ，使PA+AB 值最小．的对称点关于P 作点于B ⊥＇P ＇，作P ．A 于，交B点到直线，垂线段最短．PA+AB 的最小值为线段P ＇B 的长．【问题8】作法图形原理为B 上一定点，为A 上求上一定点，在，N 上求点，在M 点使AM+MN+NB 的值最小．的对称点关于A 作点的关于B ＇，作点A 对称点B ＇，连A ＇B ＇．N 于，交M 于交两点之间线段最短． AM+MN+NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【问题9】作法图形原理l PB'ABl 1l 2N MP''P'Pl 1l 2NMP'Q'Q Pl 1l 2P Qm n M NA'BA l a ABM N mnABM N lA''A'BAM Nl 1l 2A BP'Pl 2l 1ABNM l 2l 1M N A'B'AB在直线l 上求一点P ，使的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．＝0．【问题10】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB ．的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．≤AB ＇．最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使PA+PB+PC值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P即为所求．两点之间线段最短． PA+PB+PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为（） A ．B ．C ．3D ．2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC′、AD′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（） A ．2 B ．C ．D ．4lPBAlPABlBPAB'PEDCBAADEPB C3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN 的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（）A．120° B．130° C．110° D．140°4．如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．5．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），且ED＝AE，则线段AE的取值范围是．6．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB 上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA 上，则MP＋PQ＋QN的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°，则有）7．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(，0)．OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．8．已知A（2，4）、B（4，2）．C在轴上，D在DAM ABMNyA轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为． 9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P点的坐标；（2）P 为轴上一动点，求的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC+CD+DB 的最小值和此时C 10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于F ，连AF ，求证：AF+BF+CF ＝CD ；（2）在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝6，BC ＝8，∠A ，∠C 均小于120°，求作一点P ，使PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．12．荆州护城河在CC ＇处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B 处，需经过两座桥DD ＇、EE ＇，护城河及两yxBO ACDyxBOAy xBOA桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。

初中最短路径问题总结

初中最短路径问题总结初中最短路径问题是指在一个带权重的图中，寻找两个顶点之间的最短路径。

这个问题在实际生活中有着广泛的应用，比如在交通运输领域中寻找最短路径可以帮助我们规划最优的行车路线，提高交通效率。

在通信网络中，最短路径算法也可以帮助我们找到数据传输的最佳路径，提高网络的传输速度。

因此，了解和掌握最短路径算法对于初中生来说是非常重要的。

首先，我们来介绍最短路径算法中的两种经典算法，Dijkstra算法和Floyd算法。

Dijkstra算法是一种用于解决带权重图中单源最短路径问题的算法。

它的基本思想是从起始顶点开始，逐步扩展到所有顶点，每次选择当前距离起始顶点最近的顶点进行扩展，直到扩展到目标顶点为止。

Dijkstra算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。

Floyd算法是一种用于解决带权重图中多源最短路径问题的算法。

它的基本思想是利用动态规划的思想，逐步更新顶点之间的最短路径长度，直到得到所有顶点之间的最短路径。

Floyd算法的时间复杂度为O(V^3)。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题场景来选择合适的最短路径算法。

如果是单源最短路径问题，可以选择Dijkstra算法；如果是多源最短路径问题，可以选择Floyd算法。

除了Dijkstra算法和Floyd算法，还有一些其他的最短路径算法，比如Bellman-Ford算法、SPFA算法等。

这些算法在不同的场景下都有着各自的优势和局限性，需要根据具体的问题来选择合适的算法。

在解决最短路径问题时，我们需要注意一些常见的问题，比如负权边、负权环等。

负权边指的是图中存在权重为负数的边，而负权环指的是图中存在环路，使得环路上的边权重之和为负数。

这些情况会对最短路径算法造成影响，需要特殊处理。

总的来说，初中最短路径问题是一个重要且实用的数学问题，对于初中生来说，掌握最短路径算法有助于培养他们的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

通过学习最短路径算法，可以帮助他们更好地理解数学知识在实际生活中的应用，培养他们的创新意识和实践能力。

八年级最短路径问题归纳小结

八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题, 点之间的最短路径.算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题②确定终点的最短路径问题③确定起点终点的最短路径问题④全局最短路径问题【问题原型】【涉及知识】【出题背景】【解题思路】旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结即已知起始结点，求最短路径的问题.与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.求图中所有的最短路径.“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.找对称点实现“折”转“直”，近两年岀现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理-------------- I•B在直线I上求一点P,使PA+PB值最小.【问题2】“将军饮马”连AB,与l交点即为P.AP在直线I上求一点P, PA+PB值最小.【问题3】I1两点之间线段最短.FA + PB最小值为AB.作法图形原理作B关于I的对称点B /连A B /,与I交点即为P . P七IB'两点之间线段最短.FA+PB最小值为A B/.作法图形原理•Pl2在直线I l、I2上分别求点M、^使^ PMN的周长最小.【问题4】分别作点P关于两直线的对称点P/和P〃，连P' P 〃,与两直线交点即为M , N .两点之间线段最短.l lI2PM+MN + PN的最小值为线段P P，的长.P"作法图形原理・Q•PI2在直线I i、I2上分别求点M、N，使四边形PQMN 的周长最小.【问题5】“造桥选址”分别作点Q、P关于直线l i、I2的对称点Q，和P/ 连QP,与两直线交点即为M ,N.作法I1QPN*P'Q.图形l2两点之间线段最短. 四边形PQMN周长的最小值为线段PP，的长.原理在11上求点A,在12上求点B，使PA+AB值最小.作点P关于I i的对称点P/,作PBI I2 于B,交I2于A.点到直线，垂线段最短.PA+AB的最小值为线段PB的长.A为I i上一定点，B为12上一定点，在I2上求点M, 在I i上求点N ,使AM + MN + NB的值最小.作点A关于12的对称点A/,作点B关于I i的对称点B,连A，B，交12于M, 交I i于N .AnM m•B直线m II n，在m、n , 上分别求点M、N,使MN 丄m , 且AM + MN + BN 的值最小.【问题6】在直线I上求两点M、（M 在左），使MN =a，并使AM + MN + NB的值最小.【问题7】将点A向下平移MN的长度单位得A，,连A/B,交n 于点N，过N作NM丄m于M .作法将点A向右平移a个长度单位得对称点A ,作A /关于I的A〃，连A〃B,交直线N,将N点向左平I于点移a个单位得M .作法AA'V\M去n>B图形I图形两点之间线段最短.AM +MN + BN的最小值为A B+MN.原理两点之间线段最短.AM +MN + BN的最小值为A〃B+MN .原理【问题8】作法图形原理【问题9】作法图形原理A.*B 1在直线I上求一点P, |PA —P B|的值最小.【问题10】连AB，作AB的中垂线与直线I的交点即为P. I垂直平分上的点到线段两端点的距离相等.PA —PBI =0 .作法图形原理I2两点之间线段最短.AM +MN + NB 的最小值为线段A，B，的长.BA|PA -PB |的值最大.【精品练习】1•如图所示，正方形 ABCD 的面积为12,^ ABE 是等边三角形，点 E 在正方形ABCD 内，在对角线 AC 上有一点P ,使PD+ PE的和最小，则这个最小值为（）A . 2 亦B . 2 恵C . 3D . 762•如图，在边长为 2的菱形 ABCD 中，/ ABC = 60 °,若将△ ACD 绕点A 旋转，当交于点E 、F ，则△ CEF 的周长的最小值为（）在直线丨上求一点P ,使作直线AB , 与直线I 的交点即为P .|PA —PB |的值最大. 【问题11】作法 ---- I*B 在直线I 上求一点P ,作B 关于I 的对称点B / 作直线A B/,与I 交点即为P .图形 I三角形任意两边之差小于第三边.|PA- PB < AB .|PA -PB 的最大值 =AB .原理三角形任意两边之差小于第三边.PA-PB <AB /.PA —PB 最大值=AB /.【问题12】“费马点”作法图形原理△ ABC 中每一内角都小于120 °,在^ ABC 内求一点 P ，使FA+PB + PC 值最小.所求点为“费马点”，即满足/ APB = / BPC = /APC = 120 ° .以 AB 、AC为边向外作等边^ ABD 、△ ACE ，连 CD 、BE 相交于P ,点P 即为所求.两点之间线段最短.PA+PB+PC 最小值=CD .AD '分别与BC 、CDAC'DD = 90 °, / C = 70 °,在BC 、CD 上分别找一点 M 、^使^ AMN 的周长最小时, ） C . 110 °AB = 4 42，/ BAC = 45 °, / BAC 的平分线交 BC 于点D ，M 、N 分别是 AD 和AB上的动点，贝y BM+MN 的最小值是5. 且如图，Rt △ ABC 中，/ C = 90 °, / B = 30 °, AB = 6,点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上 ED = AE ，则线段AE 的取值范围是（不与点 B 、C 重合），如图，/ AOB = 30。

八年级最短路径问题归纳小结之欧阳与创编

八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A．23．26．3 D62．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）A．2B．32C．32+D．4A DEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．DEABCDCMABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PBP 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数． 11．（1）如图①，△ABD 和△ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于F ，连AF ，求证：AF +BF +CF ＝CD ；（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由．12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。

最短路径问题归纳总结

最短路径问题归纳总结本文介绍了数学中的最短路径问题，该问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图中两结点之间的最短路径。

具体的算法形式包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题和全局最短路径问题。

其中，“将军饮马”、“造桥选址”和“费马点”是该问题的原型。

解决该问题需要涉及知识包括“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”和“平移”等。

在解题思路方面，可以通过找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

本文还列举了十二个基本问题，包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点终点的最短路径问题、全局最短路径问题、将军饮马、造桥选址等。

对于每个问题，本文都给出了详细的作法和图形原理，以及需要用到的知识原理。

问题6】给定直线m和直线n，求在它们上面的两个点M和N，使得XXX的值最小。

根据垂线段最短的原理，将点A向右平移a个长度得到A'，作A'关于直线m的对称点A''，连A''B，交直线MN于点M，直线NB于点N，使得MN⊥m且MN=a。

则AM+MN+BN的最小值为A''B+MN。

在直线l上求两点M、N（M在左），使MN=a，并使AM+MN+NB的值最小。

将N点向左平移a个单位得到M。

问题7】给定两条直线l1和l2，求在它们上面的两个点A和B，使得PA+AB的值最小。

根据垂线段最短的原理，作点P关于l1的对称点P'，作P'B⊥l2于B，交l2于A。

则PA+AB的最小值为线段P'B的长。

在l1上求点A，在l2上求点B，使PA+AB值最小。

问题8】给定两条直线l1和l2，求在它们上面的两个点A和B，使得AM+MN+NB的值最小。

根据两点之间线段最短的原理，作点A关于l2的对称点A'，作点B关于l1的对称点B'，连A'B'交l2于M，交l1于N。

初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题.②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题】A・*B l在直线l上求一点P,使|PA—PB|的值最大. 作直线AB，与直线l的交点即为P.--^^lP三角形任意两边之差小于第三边.pA^i - PB W AB.|PA- PB|的最大值一AB .【问题11]作法图形原理Al■B在直线l上求一点P,使|PA—PB|的值最大. 作B关于l的对称点B' 作直线A B"与l交点即为P.—r^lB三角形任意两边之差小于第三边.pA^i - PB\ W AB ;|PA—PB| 最大值一AB【问题12]“费马点”作法图形原理A zAB C△ ABC中每一内角都小于120°,在4ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小. 所求点为“费马点”，即满足N APB =N BPC =NAPC =120° .以AB、AC 为边向外作等边^ ABD、△ACE，连CD、BE相交于P,点P即为所求.D"一B C两点之间线段最短.PA+PB+PC最小值一CD.【精品练习】1.如图所示，正方形ABCD的面积为12,八ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点尸，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2V3B.2V16C. 3D. v162.如图，在边长为2的菱形ABCD中，N ABC=60°, 交于点E、F，则△ CEF的周长的最小值为（）A. 2B. 2t3C. 2 + J3D. 4若将^ACD绕点A旋转，当AC、AD，分别与BC、CD3.四边形ABCD 中，N B =/D = 90°,N C =70°,在BC 、CD 上分别找一点M 、乂使^ AMN 的周长最小时，上的动点，则BM +MN 的最小值是5 .如图，Rt △ ABC 中，N C =90°,N B = 30°, AB = 6,点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED =AE ，则线段AE 的取值范围是6 .如图，N AOB = 30°,点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =1, ON =3,点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP +PQ + QN 的最小值是.（注”勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt △ ABC 中，N C =90°,则有 AC 2 + BC 2 = AB 2 )7 .如图，三角形"BC 中，N OAB =N AOB = 15°,点B 在％轴的正半轴，坐标为B （6<3 , 0）.OC 平分N AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA +MN 的最小值是/AMN +N ANM 的度数为( A . 120°B . 130°)C . 110°D . 140°4.如图，在锐角^ABC 中，AB = 4v2 ,N BAC =45°,N BAC 的平分线交BC 于点D , M 、N 分别是AD 和AB8.已知A (2, 4)、B (4, 2). C在y轴上，D在％轴上，则四边形ABCD的周长最小值为此时C、D两点的坐标分别为9.已知A (1, 1)、B (4, 2).(1)P为％轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标;(2)P为％轴上一动点，求|PA PB|的值最大时P点的坐标;(3)CD为％轴上一条动线段，D在C点右边且CD =1,求当AC + CD+DB的最小值和此时C点的坐标;10.点C为N AOB内一点.(1)在OA求作点D, OB上求作点E，使△ CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若N AOB = 30°, OC =10,求4CDE周长的最小值和此时N DCE的度数.如图①，△ ABD 和^ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于凡连AF ，求证：AF +BF + CF = CD ；在^ABC 中，N ABC =30°, AB = 6, BC =8,N A ,N C 均小于 120°,求作一点尸，使 PA+PB+PC 的12.荆州护城河在CC '处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B 处，需经过两座桥DD '、EE '，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，11. (1) (2) 值最小，试求出最小值并说明理由.图①。