计算二重极限的几种方法00
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Ξ
e e e e y )
第 18 卷第 6 期 上 饶 师 专 学 报
V o l . 18, N o. 6
1998 年 12 月
JOU RN A L O F SHA N GRA O T EA CH ER S COL L E G E
D ec . 1998
计算二重极限的几种方法
高 炳 宋
(上饶师专数学系, 上饶, 334001)
摘 要 利用函数连续性和极限的运算法则, 归纳了二重极限的几种计算方法。 关键词 二重极限; 累次极限; 无穷小 分类号 O 174
1 利用函数连续性
定理 1 设二元函数 z = f (x , y ) 于点 P 0 (x 0 , y 0 ) 连续, 则 li m f (x , y ) = f (x 0 , y 0 )。 x →x
y →y 0
例 1 求li m ln (x + l , ( l > 0)。 x →1
y →0
x 2 + y 2 解 由于 ln (x + l y ) 及 x 2 + y 2 于点(1, 0) 连续, 且 12 + 02
= 1
y
故
li m x →1
y →0
2 利用极限的四则运算
= l n ( 1 + 1) = ln 2 1
定理 2 若 li m (x , y ) → (x 0
, y 0)
f (x , y ) = A , li m (x , y ) → (x 0
, y 0 )
g (x , y ) = B 则 li m (x , y ) → (x 0
, y 0)
li m (x , y ) → (x 0
, y 0)
li m [ f (x , y ) ±g (x , y ) ]= A ±B f (x , y ) ·g (x , y ) = A ·B
f (x , y ) = A
(B ≠0) (x , y ) → (x 0, y 0) g (x , y ) B
例 2 求li m (x 2 + y 2 ) e - (
x + y )
x →∞
y →∞
2 2
2
2
解 (x 2
+ y 2 ) e - (x + y )
=
x + y
=
x
+ y
e (x + y )
2 2
e x e y e x e y
而 li m x = li m x li m 1 = 0
x →∞
x y y →∞
x →∞ e 2
y →∞ e 同理
li m y = 0
x →∞
x y y →∞
Ξ 收稿日期: 1997- 10- 14
第 6 期 高炳宋: 计算二重极限的几种方法 77
x y
y →0
y →0
(x 故
li m (x 2 + y 2 ) e - (x + y ) = 0 x →∞
y →∞
例 3 求 li m e co s y
x →0 1+ x + y 解 li m e x y co s y = li m e x y ·li m co s y = 1 x →0 y →0
x →0 y →0
y →0
而
li m (1 + x + y ) = 1
x →0 y →0
由定理 2 得
li m e x y
co s y
= 1
3 利用两边夹法则
x →0 1 + x + y
定理 3 若于点 P 0 (x 0 , y 0 ) 的邻域内有 h (x , y ) ≢f (x , y ) ≢g (x , y ) , 且
li m h (x , y ) = li m g (x , y ) = A
x →x 0
y →y 0
x →x 0
y →y 0
则
li m f (x , y ) = A
x →x 0 y →y 0
2 2
例 4 求 li m x y
(x , y ) → (0, 0) x 2 + y 2
1 2 2 2
+ y
2 ) 2
解 由于 0≢ x y ≢ 4 = 1 (x 2 + y 2
) →0
由此可知
x 2 + y 2 x 2 + y 2
4
2 2
li m x y = 0 (x , y ) → (0, 0) x 2 + y 2
4 利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量
定理 4 若 li m (x , y ) → (x 0
, y 0)
f (x , y ) = 0, 而
g (x , y ) 于(x 0 , y 0 ) 的邻域内有界, 则 li m (x , y ) → (x 0, y 0
)
例 5 求li m (x + y ) sin 1
f (x , y ) ⎠
g (x , y ) = 0
x →0
y →0
x 2 + y 2
解 由于⎦ sin
1 ⎦ ≢M 且li m (x + y ) = li m x + li m y = 0
x 2 + y 2
x →0 y →0
x →0 y →0 故
li m (x + y ) sin 1 = 0
5 利用复合函数
x →0 y →0
x 2 + y 2
定理 5 若函数 u = Υ(x , y ) , v = Ω(x , y ) 于点 P 0 (x 0 , y 0 ) 存在极限, 并且函数 f (u , v ) 于点
( u 0 , v 0 ) 连续, 其中 u 0 = li m (x , y ) → (x 0, y 0
)
y ) ]于点 P 0 (x 0 , y 0 ) 存在极限, 且
Υ(x , y ) , v 0 =
li m (x , y ) → (x 0, y 0
)
Ω(x , y ) , , 则复合函数 f [ Υ(x , y ) , Ω(x ,