资料包络分析法

n個產出項 m個投入項
∑
Ek =
i =1
∑
j =1 m vik X ik
k ukY j j
k X ik , Y j ≥ 0, k uk , vik ≥ 0,
i = 1,, m , j = 1,, n i = 1,, m , j = 1,, n
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資料包絡分析法簡介(2/2) 資料包絡分析法簡介
以成本效益的角度，效率等於總產出除以總投入的比 率，故每一個方案的效率如式所示：
∑u Y E= ∑v X
j∈O j i∈I i
集合I表示結果Xi越小越好的屬性
j
集合O表示結果Yj越大越好的屬性 uj與vi分別代表集合I與集合O中每個屬 性對應的相對權重
CCR 模式 模式(2/2)
以向量的形式定義效率
Yk為DMUk產出向量， Xk為DMUk投入向量
Y1k k Y2 Yk = k 與上述式子相同 Yn
U k Yk Ek = Vk X k
X 1k k X2 Xk = k X m
Uk為產出權重向量， Vk為投入權重向量
營業額最高，因此 營業額最高， 員工生產效率最高
C D
B E F
H
G
X (員工人數)
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其他議題的爭議
其他工廠可能會抗議說，他們的產品比較成熟所以單 價低，因此產出不能光看營業額而必須考慮生產量 又有工廠抗議說他們的設備比較舊需要的操作人員多， 因此投入不能只看員工人數而必須也考慮機器設備的 特性 決策分析中均有適當的方法，類似的爭辯理由往往言 之成理，可是也讓相對的比較無從進行，因為每個被 評估的對象或候選方案的利害關係人都可以找到對自 己有利的論點
i
找出相對效率值最高的備選方案，比較不同決策單位 的相對效率值，並分析效率不佳之方案應減少投入或 是提高產出，提出具體的改善方向
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工廠生產效率之員工數為例
欲同時考量投入與產出這兩類屬性，則會在建立個別 屬性的價值衡量時先予以轉換 假設所有工廠之中員工數最少的有200人，最多的有 1000人，則可能會強制令員工數=100人的價值為100， 而員工數=1100人的價值為0，使現有工廠員工數的價 值衡量會落在0到100之間 營業額的的價值衡量同為越大越好，則以相加或相乘 模式進行加總時不會抵銷價值 經過價值函數Vi與Vj的轉換後使價值同為望大，採用 一般多屬性決策分析模式的相加模式，每一個方案的 加總價值如 V ( X i , Y j ) = ∑ viVi ( X i ) + ∑ u jV j (Y j )
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n
分數規劃的形式
稱為「投入導向模式」， hk為投入導向效率(inputbased efficiency)
Max s.t. hk = ∑ u k Y jk j
j =1 n
共有m+n個變數 m+n+R+1個限制式
vik X ik = 1 ∑
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營運效率分析為例
以營業額和生產量作為衡量產出的兩項屬性，而以員 工人數作為唯一投入屬性，可將每個工廠按照其營業 額、生產量與員工人數標示於座標中而構成生產曲線
Y1
Y1 A X=R B C G C H E D
面 剖 R X=
Y1 A B
包絡線又稱為效率前 緣(efficiency frontier)
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大綱
資料包絡分析法簡介(Data Envelopment Analysis, DEA) DEA基本模式 DEA 使用步驟 DEA之特性 DEA應用實例-台電營業處經營效率及組織重整分析 偏好順序評估法 DEA的分析工具 結論
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生產產 =
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營業額 員工人數
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員工生產效率分析
生產力的目標是望大，所以營業額越高越好而員工人 數越少越好
B的員工平均每人
某公司分析其八個不同 Y (營業額) 工廠的生產效率以決定 從中選擇一間績效最好 的工廠，以營業額作為 產出，員工人數作為投 入，可將每個工廠按照 其營業額與員工人數標 A 示於二維座標中
U k = [u , u , , u ]
k 1 k 2 k n
k k Vk = [v1k , v2 , , vm ]
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數學規劃模式
DEA法之數學規劃模式乃 u k Y jk ∑ j 是以一個決策單位DMUk Max Ek = jm=1 的效率Ek最大化作為目標 ∑ vik X ik i =1 式，尋找最對DMUk最有 n 利的投入項權重組合，以 u k Y jr ∑ j j =1 及產出項權重組合，使得 s.t. ≤ 1 , r = 1,2, , R m Ek達最大值 ，但所有 ∑ vik X ir i =1 DMUk的效率Er必須小於 u k ≥ ε > 0, j = 1,2, , n j 等於1，故CCR模式的數 vik ≥ ε > 0, i = 1,2, , m 學規劃式如右
決策分析 Decision Analysis
第十章 資料包絡分析法
授課教授: 簡禎富博士 2005/12
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序論(1/2) 序論
多屬性決策分析模式中不論採取加法模式或乘法模式 計算方案之加總價值，都假設方案之價值衡量在每個 屬性上都是越大越好 有些屬性之客觀結果值越大則主觀價值越高， 例如購屋決策中的「室內空間」就是越大越好的屬 性。 有些屬性之客觀結果值越大則主觀價值卻越低， 例如購屋決策中的「上班車程時間」就是越小越好 的屬性。
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資料包絡分析法簡介(1/2) 資料包絡分析法簡介
針對多個受評單位或備選方案的相對效率分析與比較， 學者(Charnes et al., 1978；Banker et al., 1984)提出「資 料包絡分析法」(Data Envelopment Analysis, DEA)的 相對比較方式。 將屬性區分為投入項與產出項，不預先設定權重之方 式分別加總產出屬性值和總投入屬性值，然後總產出 除以總投入的比率作為相對效率，。 DEA的應用目的為評估組織或單位的相對績效，因此 將被評估的對象稱為「決策單位」(Decision Making Unit, DMU) 。
C L1 G H F L2 E D
(1)針對某個產出項，除非增加投入資 源或減少其他產出項之若干產量，否 則該產出項之產量無法被增加 (2) 針對某個投入項，除非減少產出或 Y 增加其他投入項之若干投入資源，否 則該投入項的投入資源無法被減少
2
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n
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數學規劃模式
DEA法之數學規劃模式乃 u k Y jk ∑ j 是以一個決策單位DMUk Max Ek = jm=1 ∑ vik X ik 的效率Ek最大化作為目標 i =1 式，尋找最對DMUk最有 n u k Y jr ∑ j 利的投入項權重組合，以 j =1 s.t. ≤ 1 , r = 1,2, , R m 及產出項權重組合，使得 ∑ vik X ir Ek達最大值 ，但所有 i =1 DMUk的效率Er必須小於 u k ≥ ε > 0, j = 1,2, , n j 等於1，故CCR模式的數 vik ≥ ε > 0, i = 1,2, , m 學規劃式如右
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績效評估
績效評估(performance evaluation)乃是評估組織或個人 如何以較少的投入資源獲得較多之產出結果的多屬性 評估，通常使用「成本效益分析」(cost effectiveness analysis；cost benefit analysis)之「投入產出比」來同 時考慮對目標分別為負向影響與正向影響的投入屬性 與產出屬性 評估企業的營運效率高低，可以營業額與員工人數作 為屬性，成本效益分析通常以「效率」(efficiency)的 概念來分析每單位投入可產生多少產出，故生產力可 以「員工每人營業額」的比例式表達如下
參數法 (parameter approach) 利用理論建構或實證推導的方式 預先設定生產函數之形式。 無母數法 (non-parametric approach) 恰好相反 ， DEA法即為 一種無母數的生產函數分析法不預設投入與產出屬性之相對 權重，藉由實際投入產出的資料形成包絡面(envelopment surface)，推測出生產邊界
對偶模式求解
一般為了讓求解較有效率，並可以分析差額變數 (slack variable)
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序論(2/2) 序論
資料包絡分析法 (Data Envelopment Analysis, DEA)以 「效率」的概念作為加總模式，而效率則等於總產出 除以總投入，並以效率最大化為目標 。 DEA法另一個與其他多屬性決策分析模式不同之處， 在於DEA不須預設屬性之相對權重，乃是由實證資料 中推導產生，每個受評方案的效率衡量乃是分別採取 對該受評方案最有利的權重組合。 SMART與AHP的權重則著重決策者的主觀判斷，用 相同的權重來衡量所有的方案。 DEA模式對不同條件下的受評方案具有相對較公正之 基礎 。
i∈I j∈O
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生產邊界衡量效率(1/2) 生產邊界衡量效率
第一式與第二式雖然都可以進行多屬性績效評估，根 據效率最大化或加權價值最大化的決策法則選出最佳 方案，然而第一式卻比第二式更具有管理上的解讀意 早期的學者以經濟學觀點來闡釋效率，提出以生產邊 界(production frontier)為衡量效率之基礎，估計主要有 兩種方法
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CCR 模式 模式(1/2)
Charnes、Cooper及Rhodes (CCR)於1978年將Farrell (1957) 的效率評估觀念推廣至多項投入和多項產出，並推導出一 模型名為CCR模式，並將之定名為資料包絡分析法 CCR模式假設固定規模報酬(constant return to scale)，也就 是每一單位投入可得產出量是固定的，不會因規模大小而 改變 有R個決策單位DUMk為R個決策單位中的一個，效率可定 n 義如式
F
G H F R X E D Y2
Y2 Y2
柏拉圖最適境界示意圖
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AHP概論 概論
DEA基本模式 基本模式
本節將介紹資料包絡分析法中的兩種主要模式：CCR 模式與BCC模式，並另外介紹交叉模式、A&P模式兩 種衍生模式 CCR 模式 BCC模式 交叉模式 A&P模式
i =1 n m k j r j
m
u Y ∑ vik X ir ≤ 0 , r = 1,2, , R ∑
j =1 i =1
u k ≥ ε > 0, j vik ≥ ε > 0,
j = 1,2, , n i = 1,2, , m
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生產邊界衡量效率(2/2) 生產邊界衡量效率
若固定某一種生產函數關係，只有B是最佳方案，若 改變生產函數關，則只有C是最佳方案
Y1
A B
DEA法的相對效率衡量係建立在柏拉 圖最適境界(Pareto optimal frontier)之 效率觀念上：