浅谈向量混合积的应用
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浅谈向量混合积的应用
摘要 向量代数在数学学习过程中有着很重要的作用，本文重点列举了向量的混合积在微分
几何、立体几何、空间解析几何及数学分析等方面的应用，从而体现了向量的混合积应用的广泛性. 关键词 向量；混合积
向量的混合积在实际应用中在不同的方面都有着广泛的作用，下面就混合积
在各领域的运用予以举例说明.
混合积的定义 给定空间的三个矢量→
→→c b a ,,，如果先做前两个矢量→
→b a 和的失性积，再做所得的矢量与第三个矢量→
c 的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量
→
→→c b a ,,的混合积，记做→→→⋅⨯c b a )(或),,(→→→c b a 或).(→
→→c b a
性质1三个不共面矢量→→→c b a ,,的混合积的绝对值等于以→
→→c b a ,,为棱的平行六面体的体积V ，并且当→
→→c b a ,,构成右手系时混合积是正数；当→
→→c b a ,,构成左手系时，混合积是负数，也就是有
,)(V c b a ε=→
→→
当→→→c b a ,,是右手系时;1=ε当→
→→c b a ,,是左手系时.1-=ε
性质2 三矢量→
→→c b a ,,共面的充要条件是.0),,(=→
→→c b a
性质 3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号，即
).()()()()()(→
→→→
→→→
→→→
→→→
→→→
→→-=-=-===b c a a b c c a b b a c a c b c b a
推论 →→→⋅⨯c b a )(=).(→
→→⨯⋅c b a
性质 3 如果,,,333222111→
→
→
→
→→
→
→
→→
→
→
++=++=++=k Z j Y i X c k Z j Y i X b k Z j Y i X a 那么
.)(3
3
3
222
111Z Y X Z Y X Z Y X c b a =→
→→ 一、在微分几何中的应用
引理 1 向量函数→)(t r 具有固定长的充要条件是对于t 的每个值，→
')(t r 都与
→
)(t r 垂直.
证明 （必要性）若=→
)(t r 常数，则有==→
→2
2
)()(t r t r 常数，等号两边求微分有,0)()(2='⋅→→t r t r 故.)()(→
→'⊥t r t r
（充分性）若→→'⊥)()(t r t r 则,0)()(='⋅→
→t r t r 即0)(2
=→dt
t r d ，故→)(2
t r =常数，即→)(t r 有固定长.
引理2向量函数→
)(t r 具有固定方向的充要条件是对于t 的每个值，
→
')(t r ⨯→
)(t r =→
0.
证明 （必要性）若→)(t r 具有固定方向，则可设→)(t r →=a t )(λ（→
a 为单位常向量）
→')(t r →'=a t )(λ+→'a t )(λ→
'=a t )(λ
→
→→→→→→
=⨯'⋅='⨯='⨯0)()()()()(a a t t a t a t t r r λλλλ.
（充分性）若→')(t r ⨯→)(t r =→0，设→)(t r →=)()(t a t λ（→
)(t a 为单位向量，需证
→
→
='0)(t a ）
→
')(t r →
'=)()(t a t λ+→
')()(t a t λ
又因为→
→→→
→→
→→→='⨯='⨯+⨯'⋅='⨯0)()()()()()()()()()()(2
2
t a t a t t a t a t t a t a t t t r r λλλλ 所以→
→→='⨯0)()(t a t a
而.0])()([)()(])()([])()([])()([2
2
2
2
→
→
→
→→→
→
→
→
→
→
='⋅-'⋅='⨯⋅'⨯='⨯t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a 又因为→
)(t a 为单位向量，故1)(2
=→t a ，由引理1又有→
→→='⋅0)()(t a t a 故2
])()([→
→
'⨯t a t a =0)(2
='→t a ， 即→
→
='0)(t a ， 所以→)(t a =常向量,
即→)(t r →=a t )(λ（→a 为单位常向量），→
)(t r 具有固定方向.
定理 1 向量函数→
)(t r 平行于固定平面的充要条件是对于t 的每个值，
.0),,(='''→
→→r r r
证明 （必要性）设固定平面的单位法向量为→n ，依题意→
→⊥n t r )(，则
0)(=⋅→
→
n t r ，从而0)(,0)(=⋅''=⋅'→
→
→
→
n t r n t r ，即→)(t r ，→')(t r ，→'')(t r 与→
n 都垂直，它们
共面，故.0),,(='''→
→→r r r
（充分性）由已知→)(t r ，→')(t r ，→'')(t r 共面，若→)(t r ，→')(t r 共线，即→)(t r ⨯→')(t r =→
0. 又因为→
→
≠0)(t r ，由引理2可知→)(t r 具有固定方向，故→
)(t r 平行于固定平面.
若→)(t r ，→')(t r 不共线，即→)(t r ⨯→')(t r ≠→0，则由→)(t r ，→')(t r ，→
'')(t r 共面则有
→
→
→
'+='')()()()()(t r t t r t t r μλ，记,)()()(→
→
→
'⨯=t r t r t n 则
→
→→→→→→→→→→→='⨯=''⨯=''⨯+'⨯'=''⨯=')()()()()()()()()()()(])()([)(t n t t r t r t t r t r t r t r t r t r t r t r t n μμ， 从而,0)()(→→→='⨯t n t n ，但,0)(→→≠'t n 故由引理2得→)(t n 具有固定方向，→
→=0)(n t n （常向量）
又→)(t r ⊥→0n ，故→)(t r 平行于以→0n 为法方向的平面，→
)(t r 平行于固定平面. 二、在立体几何中的应用 1 求解体积问题
定理 三个不共面的向量→→→c b a ,,的混合积的绝对值是以→
→→c b a ,,为棱的平行六面体的体积.
例1 求证平行六面体D C B A ABCD ''''-的体积是以B A D A AC '',,为棱的平行六面体的体积的一半.
证明 设平行六面体D C B A ABCD ''''-的体积为,V 以B A D A AC '',,为棱的平行六面体的体积记为V '.
又设→→=a AB ，→
→→→='=c A A b AD ,，则
),,(→
→
→
''='B A D A AC V