浅谈向量混合积的应用

浅谈向量混合积的应用摘要 向量代数在数学学习过程中有着很重要的作用，本文重点列举了向量的混合积在微分几何、立体几何、空间解析几何及数学分析等方面的应用，从而体现了向量的混合积应用的广泛性. 关键词 向量；混合积向量的混合积在实际应用中在不同的方面都有着广泛的作用，下面就混合积在各领域的运用予以举例说明.混合积的定义 给定空间的三个矢量→→→c b a ,,，如果先做前两个矢量→→b a 和的失性积，再做所得的矢量与第三个矢量→c 的数性积，最后得到的这个数叫做三矢量→→→c b a ,,的混合积，记做→→→⋅⨯c b a )(或),,(→→→c b a 或).(→→→c b a性质1三个不共面矢量→→→c b a ,,的混合积的绝对值等于以→→→c b a ,,为棱的平行六面体的体积V ，并且当→→→c b a ,,构成右手系时混合积是正数；当→→→c b a ,,构成左手系时，混合积是负数，也就是有,)(V c b a ε=→→→当→→→c b a ,,是右手系时;1=ε当→→→c b a ,,是左手系时.1-=ε性质2 三矢量→→→c b a ,,共面的充要条件是.0),,(=→→→c b a性质 3 轮换混合积的三个因子，并不改变它的值，对调任何两个因子要改变乘积符号，即).()()()()()(→→→→→→→→→→→→→→→→→→-=-=-===b c a a b c c a b b a c a c b c b a推论 →→→⋅⨯c b a )(=).(→→→⨯⋅c b a性质 3 如果,,,333222111→→→→→→→→→→→→++=++=++=k Z j Y i X c k Z j Y i X b k Z j Y i X a 那么.)(333222111Z Y X Z Y X Z Y X c b a =→→→ 一、在微分几何中的应用引理 1 向量函数→)(t r 具有固定长的充要条件是对于t 的每个值，→')(t r 都与→)(t r 垂直.证明 （必要性）若=→)(t r 常数，则有==→→22)()(t r t r 常数，等号两边求微分有,0)()(2='⋅→→t r t r 故.)()(→→'⊥t r t r（充分性）若→→'⊥)()(t r t r 则,0)()(='⋅→→t r t r 即0)(2=→dtt r d ，故→)(2t r =常数，即→)(t r 有固定长.引理2向量函数→)(t r 具有固定方向的充要条件是对于t 的每个值，→')(t r ⨯→)(t r =→0.证明 （必要性）若→)(t r 具有固定方向，则可设→)(t r →=a t )(λ（→a 为单位常向量）→')(t r →'=a t )(λ+→'a t )(λ→'=a t )(λ→→→→→→→=⨯'⋅='⨯='⨯0)()()()()(a a t t a t a t t r r λλλλ.（充分性）若→')(t r ⨯→)(t r =→0，设→)(t r →=)()(t a t λ（→)(t a 为单位向量，需证→→='0)(t a ）→')(t r →'=)()(t a t λ+→')()(t a t λ又因为→→→→→→→→→='⨯='⨯+⨯'⋅='⨯0)()()()()()()()()()()(22t a t a t t a t a t t a t a t t t r r λλλλ 所以→→→='⨯0)()(t a t a而.0])()([)()(])()([])()([])()([2222→→→→→→→→→→→='⋅-'⋅='⨯⋅'⨯='⨯t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a 又因为→)(t a 为单位向量，故1)(2=→t a ，由引理1又有→→→='⋅0)()(t a t a 故2])()([→→'⨯t a t a =0)(2='→t a ， 即→→='0)(t a ， 所以→)(t a =常向量,即→)(t r →=a t )(λ（→a 为单位常向量），→)(t r 具有固定方向.定理 1 向量函数→)(t r 平行于固定平面的充要条件是对于t 的每个值，.0),,(='''→→→r r r证明 （必要性）设固定平面的单位法向量为→n ，依题意→→⊥n t r )(，则0)(=⋅→→n t r ，从而0)(,0)(=⋅''=⋅'→→→→n t r n t r ，即→)(t r ，→')(t r ，→'')(t r 与→n 都垂直，它们共面，故.0),,(='''→→→r r r（充分性）由已知→)(t r ，→')(t r ，→'')(t r 共面，若→)(t r ，→')(t r 共线，即→)(t r ⨯→')(t r =→0. 又因为→→≠0)(t r ，由引理2可知→)(t r 具有固定方向，故→)(t r 平行于固定平面.若→)(t r ，→')(t r 不共线，即→)(t r ⨯→')(t r ≠→0，则由→)(t r ，→')(t r ，→'')(t r 共面则有→→→'+='')()()()()(t r t t r t t r μλ，记,)()()(→→→'⨯=t r t r t n 则→→→→→→→→→→→→='⨯=''⨯=''⨯+'⨯'=''⨯=')()()()()()()()()()()(])()([)(t n t t r t r t t r t r t r t r t r t r t r t r t n μμ， 从而,0)()(→→→='⨯t n t n ，但,0)(→→≠'t n 故由引理2得→)(t n 具有固定方向，→→=0)(n t n （常向量）又→)(t r ⊥→0n ，故→)(t r 平行于以→0n 为法方向的平面，→)(t r 平行于固定平面. 二、在立体几何中的应用 1 求解体积问题定理 三个不共面的向量→→→c b a ,,的混合积的绝对值是以→→→c b a ,,为棱的平行六面体的体积.例1 求证平行六面体D C B A ABCD ''''-的体积是以B A D A AC '',,为棱的平行六面体的体积的一半.证明 设平行六面体D C B A ABCD ''''-的体积为,V 以B A D A AC '',,为棱的平行六面体的体积记为V '.又设→→=a AB ，→→→→='=c A A b AD ,，则),,(→→→''='B A D A AC V),,(→→→→→→+++=a c c b b a=)()()(→→→→→→+⋅+⨯+a c c b b a=)()(→→→→→→→→→→+⋅⨯+⨯+⨯+⨯a c c b b b c a b a=→→→→→→→→→→→→→→→→→→⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯a c b c c b a c a c c a a b a c b a=→→→⋅⨯c b a 2=),,(2→→→c b a=V 2 命题得证. 2 求异面直线的距离定理 设两条异面直线21,L L 的方程分别为1111111:p z z n y y m x x L -=-=- 2222222:p z z n y y m x x L -=-=- 其中),,(),,,(22221111p n m s p n m s ==→→分别是直线21,L L 的方向向量，),,(1111z y x M ，),,(2222z y x M 分别是直线21,L L 上的已知点，则异面直线是我距离为222111121212222111212121)(p n m p n m k j i z z y y x x p n m p n m s s M M s s d ---=⨯⋅⨯=→→→→→例2 设空间两条异面直线21,L L 的方程分别为241312:1-=-=-z y x L13131:2-=-=+zy x L 解 两条直线的方向向量分别为)1,2,3(),2,1,1(21-==→→s s ，两条直线分别过点)4,3,2(1M ，)0,1,1(1-M ，得),4,2,3(21---=→M M 所以三向量→1s ，→2s ，→21M M 不共面，由定理得→→→→→⨯⋅⨯=212121)(s s M M s s d =123211123123211-----k ji =62625625=所以两条异面直线之间的距离为.62625=d 例3 已知1AC 为棱长为a 的正方体,求异面直线BD 和1AC 之间的距离. 解 如图建立如图所示的坐标系,易得异面直线BD 和1AC 的方程分别为a z a y a x AC 000:1-=-=- 000:-=-=--z a y a x BD 所以三个不共面的向量分别为),,,(1a a a AC =→)0,,(a a BD -=→,)0,0,(a AB =→.根据定理得.66)(11a BDAC AB BD AC d =⨯⋅⨯=→→→→→计算结果与中学立体几何中求得的结果完全一致,但是用向量代数知识处理更加方便、快捷.三、在空间解析几何中的应用在空间解析几何中的应用我们主要看看一题多解的情况，从而来看混合积解题的优点.例 4 一直线通过)9,5,3(--A 且与两直线⎩⎨⎧-=+=3253:1x z x y L ，⎩⎨⎧+=-=10574:2x z x y L 相交，求此直线方程.解 1 过点A 与直线21,L L 分别决定两个平面1π与2π，则这两个平面的交线即为所求.将1L 化为对称式，,2335:1+=-=z y x L 方向向量)2,3,1(=→a在1L 上取一点)3,5,0(1-=P ，则)6,0,3(1=→AP所以过点A 与直线1L 的平面1π的法向量)9,0,18(6323111-==⨯=→→→→→→kj iAP a n 因而平面1π的方程为0)9(9)3(18=+-+z x ，即.032=--z x同理，过点A 与直线2L 所确定的平面2π的方程为；.053634=+--z y x即所求直线方程为.053634032⎩⎨⎧=+--=--z y x z x 解2 应用平面束方程来求解,过直线1L 的平面方程为0)53(32=+-+--y x z x λ （1）（λ为任意实数），又点)9,5,3(--A 在平面上，将点A 带入（1），得.0=λ所以平面.032:1=--z x π过直线2L 的平面方程为0)105(74=+-+--z x y x μ （2）（μ为任意实数），又点)9,5,3(--A 在平面上，将点A 带入（2），得.6=μ所以平面.053634:2=+--z y x π从而所求直线方程为.053634032⎩⎨⎧=+--=--z y x z x解3 应用混合积求解在所求直线上任取一点),,(z y x P ，在1L 上取一点)3,5,0(1-=P ，1L 的方向向量为)2,3,1(=→a ，则三向量→→→a AP AP ,,1共面，从而混合积.0),,(1=→→→a AP AP 即0231603953=+-+z y x ，即 .032:1=--z x π同理在2L 上取一点)10,7,0(2-=P ，2L 的方向向量为)5,4,1(=→a ，则三向量→→→a AP AP ,,2共面，从而混合积.0),,(2=→→→a AP AP 即054119123953=-+-+z y x ，即.053634:2=+--z y x π所以所求直线方程为.053634032⎩⎨⎧=+--=--z y x z x四、在数学分析中的应用利用混合积证明三重积分的变量代换引理1 设→→→321,,e e e 是三个线性无关的向量，又设→→→321,,ααα是任意三个向量，且 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=++=→→→→→→→→→→→→332211333221123322111e c e c e c e b e b e b e a e a e a ααα那么),,(),,(321321321321321→→→→→→=e e e c c c b b b a a a ααα证明 先作向量积→→⨯21αα的运算,→→⨯21αα=)()(332211332211→→→→→→++⨯++e b e b e b e a e a e a)()()(131312121111→→→→→→⨯+⨯+⨯=e e b a e e b a e e b a)()()(232322222121→→→→→→⨯+⨯+⨯+e e b a e e b a e e b a)()()(333332323131→→→→→→⨯+⨯+⨯+e e b a e e b a e e b a→→→→→→⨯-+⨯-+⨯-=322332311331111221)()()(e e b a b a e e b a b a e e b a b a)()()(323232313131212121→→→→→→⨯+⨯+⨯=e e b b a ae e b b a ae e b b a a 这里设323231312121,,b b a a C b b a a B b b a a A ===再把→→⨯21αα与→3α作数量积运算→→→⋅⨯321)(ααα=)())()()((332211323121→→→→→→→→→++⋅⨯+⨯+⨯e c e c e c e e C e e A e e A→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=321323121321132313131213132213121212132113111211)()()()()()()()()()()()(e e e A c e e e B c e e e C c e e e C c e e e B c e e e A c e e e C c e e e B c e e e A c e e e C c e e e B c e e e A c即))(())(())(()(321212132313131213232321321→→→→→→→→→→→→⋅⨯+⋅⨯+⋅⨯=⋅⨯e e e b b a ac e e e b b a a c e e e b b a ac ααα这里),,()(321132→→→→→→=⋅⨯e e e e e e ),,()(321231→→→→→→-=⋅⨯e e e e e e所以→→→⋅⨯321)(ααα→→→⋅⨯=321321321321)(e e e c c c b b b a a a即),,(),,(321321321321321→→→→→→=e e e c c c b b b a a a ααα 证毕.例5 利用坐标变换证明下面命题设函数),,(),,,(),,,(w v u z w v u y w v u x 在uvw 空间某个闭区间Ω'上有连续的一阶偏导数，变换Ω'∈⎪⎩⎪⎨⎧===),,(),,(),,(),,(:w v u w v u z z w v u y y w v u x x T把Ω'一对一的变换到xyz 空间上的闭区域Ω,又),,(),,(w v u z y x P ∂∂=在Ω'上恒不为零，设),,(z y x f 在有界闭区域Ω上连续，则dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dxdydz z y x f ),,(),,()],,(),,,(),,,([),,(∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ'.证明 由变换T 可得到函数的全微分计算⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=dw w z dv v z du u z dz dw w y dv v y du u y dy dw w x dv v x du u x dx 将dw dv du dz dy dx ,,,,,都看作向量，再根据引理1有).,,(),,(),,(),,(),,(→→→→→→→→→∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=dw dv du w v u z y x dw dv du wz v z u z w y v y u y wx v x ux dz dy dx 上式的左端就是在空间直角坐标系中以→→→dz dy dx ,,为棱的体积元，经过坐标变换后就成为uvw 空间坐标系中的体积元),,(),,(),,(dw dv du w v u z y x ∂∂，这样就得到三重积分的坐标变换式dudvdw w v u z y x w v u z w v u y w v u x f dxdydz z y x f ),,(),,()],,(),,,(),,,([),,(∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ'.。